UMA ABORDAGEM DIFERENTE NA DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.
João Victor Medeiros Rocha1, Antonio Gomes Nunes(Orientador)2
1Graduando em Bacharelado em Ciência e Tecnologia na Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). Mossoró, RN, Brasil. E-mail: jonny.medeiros@hotmail.com
2Doutor em engenharias de processos pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG). Professor efetivo na Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). Mossoró, RN, Brasil. E-mail: nunesag@ufersa.edu.br
Resumo: Neste trabalho foi apresentado uma demonstração completa do Teorema Fundamental do Cálculo - TFC. Tendo como inovação, comprovar a existência do teorema nas extremidades de um intervalo, no qual se usa para solucionar problemas quando a derivada ou a integral da função é conhecida. Resultados matemáticos como o teorema do valor médio para diferenciação e integração, como também problemas da história da matemática, o da tangente e o da área, os quais relacionam o cálculo diferencial com o integral foram ferramentas fundamentais para essa demonstração. O objetivo do trabalho foi expor de forma didática e concisa a demonstração do TFC.
Palavras-chave: teorema fundamental do cálculo; diferenciação; integração; intervalos; função.
1. INTRODUÇÃO
A matemática é a área da ciência que mais tem preservado sua estrutura. Mesmo com o avanço da tecnologia, a essência do cálculo não modificou-se, ainda que o uso de aparelhos eletrônicos como calculadoras e computadores, úteis na resolução de problemas que envolvam cálculos complexos tenham aumentado.
Atualmente o cálculo é subdividido em dois grandes ramos, sendo eles os cálculos diferencial e integral, que foram estudados e desenvolvidos há mais de 2.500 anos por grandes matemáticos como Fermat (1601-1655), Torricelli (1608-1647), Barrow (1630-1677), Newton (1642-1727), Leibnez (1646-1716), dentre outros [1].
Por muito tempo estes cálculos foram analisados de maneiras separadas, principalmente pelos matemáticos Isaac Newton e Gottfried Leibnez que contribuíram de maneira significativa para a diferenciação e a integração, por isso são considerados os fundadores. Após a necessidade de solucionar dois grandes problemas matemáticos, o da função tangente, que consistiu em determinar as retas tangentes a uma curva qualquer e o da área, que determina a área de uma região delimitada por curvas, foi possível associar esses dois ramos do cálculo em um teorema importante para a ciência contemporânea, que mensura a maioria dos fenômenos, desde a Física até a economia, denominado Teorema Fundamental do cálculo - TFC.
2. DESENVOLVIMENTO
2.1. Surgimento do Teorema Fundamental do Cálculo
Na matemática, o cálculo diferencial e integral, foi desenvolvido a partir de conexões entre problemas e formulações que antes não possuíam solução. Desta forma, em busca de resolver alguns destes problemas foram desenvolvidos novas teorias e assim a obtenção de soluções para diversos problemas, a partir da união de conceitos fundamentais.
2.1.1 Problema da tangente
O problema da tangente surgiu a partir da dificuldade de determinar uma reta tangente a um único ponto de uma curva. Após várias tentativas, verificou-se que a equação desta reta poderia ser obtida se sua inclinação “𝑚”
fosse conhecida, no entanto é necessário possuir no mínimo dois pontos distintos sobre a reta e no problema apenas um ponto é conhecido, onde a reta tangencia a função, como pode ser visto na Figura 01 [2].
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA Trabalho de Conclusão de Curso (2018.1).
Figura 01. Reta tangenciando a parábola no ponto P [7].
Diante disso, foi necessário encontrar uma aproximação para a inclinação da reta tangente, sendo analisado outro ponto na função, como está representado na Figura 02 por Q. Assim, vemos na Equação 1 a relação entre o coeficiente angular da reta tangente com os valores da função aplicada aos pontos P e Q.
𝑚𝑃𝑄= 𝑡𝑔 𝜃1= 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0 ; 𝑥1≠ 𝑥0. (1)
Figura 02. Aproximação da inclinação da reta tangente pela reta secante 𝑃𝑄⃡ [7].
Sendo assim, a cada ponto que aproxima-se de P, mais próximo a inclinação “𝑚” da reta tangente será obtida (Figura 03), ou seja, quando o limite do ponto Q se aproximar de P, como é mostrado na Equação 2.
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑄→𝑃𝑚𝑃𝑄 (2)
Figura 03. Retas secantes aproximando-se da reta tangente [7].
Assim, pode-se definir que a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada é igual ao limite de um ponto da função tendendo a um ponto distinto da reta tangente, como visto na Equação 3.
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 →𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 ; 𝑥 ≠ 𝑎. (3)
2.1.2 Problema da Área
Uma das maiores contribuições para a matemática foi obtida pelo matemático Eudoxo, no século IV antes de cristo. Ele foi o precursor do método da exaustão, que consiste em inscrever e circunscrever polígonos de 𝑛 lados em um círculo de forma que quanto maior a quantidade dos lados dos polígonos (Figura 04), maior a aproximação da área do círculo, representada na Equação 4 [5].
𝑛 →∞𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛= 𝐴𝑐 (4)
Figura 04. Polígonos de “𝑛” lados inscritos e circunscritos em círculos [7].
Diante disso, o método da exaustão foi analisado para resolução do problema da área, que foi introduzido por August Cauchy e Rieeman [1], no qual consistiu em construir “𝑛” retângulos em uma área delimitada por uma curva, com o intuito de calcular sua área, tendo em vista que a área de um retângulo qualquer é conhecida, como na Figura 05.
Figura 05. Aproximação por dez retângulos de uma área delimitada pelo gráfico de uma função [7].
Assim, quanto mais retângulos for possível inserir abaixo da curva da função, mais próximo será o valor da área analisada. Logo, se o número de retângulos tender ao infinito, a área será obtida, como pode ser visto na Figura 06.
Figura 06. Aproximação por “𝑛” retângulos de uma área abaixo delimitada pelo gráfico de uma função [7].
Assim, a aproximação da área será o valor máximo de retângulos inseridos abaixo da curva, ou seja, quando o limite destes tender ao infinito, como poder ser visto na Equação 05.
𝑛 →∞𝑙𝑖𝑚(𝐴1+ 𝐴2+ 𝐴3+ ⋯ + 𝐴𝑛) = 𝐴 (5)
2.2. O TFC-Teorema fundamental do cálculo
A diferenciação e a integração são conectadas pelos problemas da tangente e da área, onde Barrow estabeleceu esta relação, dando origem ao TFC- Teorema Fundamental do Cálculo. Desta forma, um outro precursor desta conexão foi Torricelli, que percebeu a relação inversa entre a área e a tangente [2].
2.2.1 Definições
Seja 𝑓 uma função definida em [𝑎, 𝑏] e seja 𝑃 uma partição de [𝑎, 𝑏]. A integral definida de 𝑓, de 𝑎 até 𝑏, denotada por ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 é definida na Equação 6, desde que o limite exista.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝑙𝑖𝑚
‖𝑃‖→0∑ 𝑓(𝑤𝑘 𝑘)∆𝑥𝑘 (6)
A representação de cada subintervalo [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘] da partição 𝑃 é representando por ∆𝑥𝑘, sendo que 𝑤𝑘 está contido em [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘] e ‖𝑃‖ = 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘.
Seja 𝑓 uma função contínua e positiva definida em [𝑎, 𝑏], neste caso, a área sob o gráfico de 𝑓 é representada na equação 7.
𝐴 = ∫ f(x)dxab (7)
Uma vez que 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏], então 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑥], com 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 e portanto 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑥]. Assim, cada valor de 𝑥 𝜖 [𝑎, 𝑏] (Figura 07) corresponde a um único número 𝐴(𝑥), que pode ser determinado pela Equação 8.
Figura 07. Área sob o gráfico de 𝑓(𝑥) no intervalo [𝑎, 𝑏].
A(𝑥) = ∫ f(t)dtax (8)
Serão utilizados dois teoremas para o desenvolvimento do TFC, são eles o teorema do valor médio do cálculo diferencial e o para o cálculo integral. A demonstração destes pode ser encontrado em [6].
2.2.2 Teorema do valor médio do cálculo diferencial
Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] e diferenciável em (𝑎, 𝑏) , existe um 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que a derivada da função no ponto 𝑐 é igual ao coeficiente angular da reta AB⃡ (Figura 08), como visto na Equação 9, que compreende a definição da derivada, sendo a reta tangente paralela à reta secante e ambas possuindo o mesmo coeficiente angular.
f′(𝑐) = f(b)−f(a)
b−a ; b ≠ a. (9)
Figura 08. Interpretação geométrica do TVM para o cálculo diferencial [4].
2.2.3 Teorema do valor médio para integrais definidas
Seja 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏], então existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) , tal que, sua área pode ser determinada pela Equação 10.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎) (10)
Na Figura 09, a área abaixo da curva é calculada como sendo a área do retângulo AHGB, onde a área J é equivalente a área K.
Figura 09. Interpretação geométrica do teorema do valor médio para integrais [1].
2.2.4 Primeira parte da demonstração do teorema fundamental do cálculo
Na primeira parte do teorema será mostrado como utilizar qualquer antiderivada para encontrar o valor de
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 .
Definição: Uma função 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓 em um intervalo 𝐼 se 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐼.
Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] e se 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓 em [𝑎, 𝑏], a Equação 11 pode ser denotada como:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝐹(𝑥)|𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) (11)
Demonstração: Sejam 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1 pontos quaisquer do intervalo [𝑎, 𝑏], tais que 𝑎 < 𝑥1< 𝑥2< ⋯ < 𝑥𝑛−1<
𝑏. Estes pontos dividem [𝑎, 𝑏] em “𝑛” subintervalos, [𝑎, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], … , [𝑥𝑛−1, 𝑏], cujo comprimento será denotado por ∆𝑥1, ∆𝑥2, … , ∆𝑥𝑛.
Por hipótese, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Assim, pelo teorema (2.2.2), existem 𝑥̇1, 𝑥̇2, … , 𝑥̇𝑛, no interior dos respectivos subintervalos, como são mostrados nas Equações 12,13 e 14, tais que:
𝐹(𝑥1) − 𝐹(𝑎) = 𝐹′(𝑥̇1)(𝑥1− 𝑎) = 𝐹′(𝑥̇1)∆𝑥1 (12)
𝐹(𝑥2) − 𝐹(𝑥1) = 𝐹′(𝑥̇2)(𝑥2− 𝑥1) = 𝐹′(𝑥̇2) ∆𝑥2 (13)
. . . . . .
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑥𝑛−1) = 𝐹′(𝑥̇𝑛)(𝑏 − 𝑥𝑛−1) = 𝐹′(𝑥̇𝑛) ∆𝑥𝑛 (14)
Somando membro a membro essas igualdades, obtêm-se a Equação 15.
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∑𝑛𝑘=1𝑓(𝑥̇𝑘) ∆𝑥𝑘 (15)
Se o valor de “𝑛” for aumentado, ou seja, o 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘→ 0 e como 𝑓 é contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], tem-se a Equação 16.
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘→0∑𝑛𝑘=1𝑓(𝑥𝑘̇ ) ∆𝑥𝑘= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 (16)
∎ 2.2.5 Segunda parte do teorema fundamental do cálculo
A Segunda parte do teorema fundamental do cálculo evidencia o fato de que, se 𝑓 é qualquer função contínua e 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 , então 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓.
Definição: Seja 𝑓 contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e definida de tal forma que 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então 𝑓 é diferenciável em [𝑎, 𝑏] e 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Demonstração: Se 𝑥0 é um ponto qualquer de um intervalo (𝑎, 𝑏), logo, utilizando a definição da derivada (Equação 03), obtém-se as Equações 17, 18, 19 e 20.
𝐹′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝐹(𝑥0+ℎ)−𝐹(𝑥0)
ℎ (17)
𝐹′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
∫𝑎𝑥0+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡−∫𝑎𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℎ (18)
𝐹′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0 1
ℎ{∫𝑎𝑥0+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡− ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 }𝑎𝑥0 (19)
𝐹′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0 1
ℎ∫𝑥𝑥0+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0 (20)
Pelo teorema (2.2.3), existe um número 𝑐 ∈ (𝑥0, 𝑥0+ ℎ), visto na Equação 21, tal que:
∫𝑥𝑥0+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0 = ℎ𝑓(𝑐) (21)
Quando ℎ → 0, resulta-se que 𝑐 → 𝑥0, pois tem-se um intervalo tendendo a um ponto 𝑥0 e como 𝑓 é contínua no mesmo ponto, a Equação 22, pode ser escrita como sendo,
𝐹′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0 1
ℎ∗ ℎ𝑓(𝑐) = 𝑙𝑖𝑚
𝑐→𝑥0𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥0) (22)
Portanto, 𝐹′(𝑥0) = 𝑓(𝑥0) e desde que 𝑥0 é arbitrário temos que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
∎
2.2.5 Demonstração nos extremos do intervalo
Foi comprovado que para qualquer ponto contido em um intervalo arbitrário (𝑎, 𝑏), 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ou seja, que F é uma antiderivada de 𝑓. No entanto, com as demonstrações feitas, os extremos dos intervalos não foram levados em consideração. Desta forma, será demonstrado o teorema fundamental do cálculo nos limites deste intervalo, isto é, em 𝑥 = 𝑎 𝑒 𝑥 = 𝑏.
2.2.5.1 No extremo 𝒙 = 𝒂
Utilizando os métodos análogos à segunda parte da demonstração do teorema fundamental do cálculo, ou seja, a definição da derivada, obtida na Equação 3, obtêm-se as Equações 23, 24 e 25.
𝐹+′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0+
𝐹(𝑎+ℎ)−𝐹(𝑎)
ℎ (23)
F+′(a) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0+
∫𝑎𝑎+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡−∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑎
ℎ (24)
F+′(a) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0+ 1
ℎ∫𝑎𝑎+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (25)
Pelo teorema(2.2.3), existe um número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑎 + ℎ), como mostrado na Equação 26.
∫𝑎𝑎+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡= ℎ𝑓(𝑐) (26)
𝐹+′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0+ 1
ℎ(ℎ𝑓(𝑐)) = 𝑙𝑖𝑚
𝑐→𝑎+𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑎) (27)
Pois, 𝑓 é contínua em 𝑎 e se ℎ → 0+ então 𝑐 → 𝑎+. 2.2.5.2 No extremo 𝒙 = 𝒃
Utilizando o método, aplicado ao item 2.2.5.1, ou seja, ao extremo a, são resultadas as Equações 28,29, 30, 31 e 32.
F−′(b) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−
𝐹(𝑏+ℎ)−𝐹(𝑏)
ℎ (28)
F−′(b) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−
∫𝑎𝑏+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡−∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏
ℎ (29)
F−′(b) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−
∫𝑎𝑏+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡−[∫𝑎𝑏+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡+∫𝑏+ℎ𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡]
ℎ (30)
F−′(b) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0− 1
ℎ{∫𝑎𝑏+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡− [∫𝑎𝑏+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑏+ℎ𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ]} (31) F−′(b) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−−1
ℎ∫𝑏+ℎ𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (32)
Pelo teorema do valor médio para integrais definidas, existe um número 𝑐 ∈ (𝑏 + ℎ, 𝑏), representado na Equação 33.
∫𝑏+ℎ𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡= −ℎ𝑓(𝑐) (33)
Logo, conclui-se que a derivada da primitiva de uma função no limite superior é igual a função aplicada ao mesmo ponto, resultando na Equação 34.
𝐹−′(𝑏) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−(−1
ℎ) ∗ (− ℎ𝑓(𝑐)) = 𝑙𝑖𝑚
𝑐→𝑏−𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑏) (34)
Pois, 𝑓 é contínua em 𝑏, sendo assim, se ℎ → 0− então 𝑐 → 𝑏−.
Dessa forma, conclui-se que 𝐹 também será um primitiva de 𝑓 nas extremidades de um intervalo (𝑎, 𝑏), pois 𝐹+′(𝑎) = 𝑓(𝑎) e 𝐹−′(𝑏) = 𝑓(𝑏).
∎
2.3 Consequências do TFC.
Com base no que foi abordado nas seções anteriores, é sabido que a integração é uma operação inversa da diferenciação, desta forma é possível calcular a derivada de uma função que está delimitando uma região, não precisando conhecer sua primitiva e apenas utilizando o teorema fundamental do cálculo.
2.3.1 Variação no intervalo de integração de uma constante à uma função.
Seja 𝑓 uma função contínua e 𝛽 uma função diferenciável e sendo 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑐𝑥 , logo 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ,
∀ 𝑥 ∈ ℝ, então é possível calcular a derivada de uma integral (Equação 35), sem conhecer sua primitiva.
𝑑
𝑑𝑥{∫𝑐𝛽(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡} (35)
Portanto, a Equação 36 pode ser escrita, conhecendo-se a função 𝑓(𝑡) e a função do limite superior da integração, assim sendo possível determinar a derivada da primitiva de 𝑓(𝑡).
𝑑
𝑑𝑥{∫𝑐𝛽(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡} = 𝑑
𝑑𝑥 𝐹(𝛽(𝑥)) = 𝐹′(𝛽(𝑥))𝛽′(𝑥) = 𝑓(𝛽(𝑥))𝛽′(𝑥) (36)
2.3.2 Variação no intervalo de integração de uma função à uma constante.
Analisando a Equação 37, onde 𝑓 é contínua e 𝛼 é uma função diferenciável e sendo 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑐𝑥 , então 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
𝐹(𝛼(𝑥)) = ∫𝑐𝛼(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡= − ∫𝛼(𝑥)𝑐 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (37)
Portanto, a Equação 38 pode ser escrita, conhecendo-se a função 𝑓(𝑡) e a função do limite inferior da integração, assim sendo possível determinar a derivada da primitiva de 𝑓(𝑡).
𝑑
𝑑𝑥{∫𝛼(𝑥)𝑐 𝑓(𝑡)𝑑𝑡} = 𝑑
𝑑𝑥 (−𝐹(𝛼(𝑥)) = −𝐹′(𝛼(𝑥))𝛼′(𝑥) = −𝑓(𝛼(𝑥))𝛼′(𝑥) (38)
2.3.3 Variação no intervalo de integração de uma função à uma função.
Tem-se a variação no intervalo de integração de duas funções, como visto na Equação 39.
∫𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡= F(𝛽(𝑥)) − F(𝛼(𝑥)) (39)
Sendo assim, combinando as Equações 36 e 38, resulta-se a Equação 40.
𝑑
𝑑𝑥{∫𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡} = 𝑓(𝛽(𝑥))𝛽′(𝑥) − 𝑓(𝛼(𝑥))𝛼′(𝑥) (40)
2.4 A diferenciação e integração como processos inversos
Juntas, as duas partes do teorema fundamental do cálculo revelam que a diferenciação e a integração são processos inversos, no sentido de que cada uma desfaz o que a outra faz. Confirmando isso, tem-se que a primeira parte do teorema afirma que, ∫ 𝑓𝑎𝑥 ′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎), significando que a função 𝑓 pode ser obtida a partir de sua derivada 𝑓′ por integração.
Já a segunda parte do teorema afirma que, 𝑑
𝑑𝑥{∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 } = 𝑓(𝑥), significando que a função 𝑓 pode ser obtida a partir da sua integral por diferenciação.
3. CONCLUSÕES
Neste trabalho foi feita uma demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo tanto no interior como nas extremidades de um intervalo, ou seja, uma abordagem diferente de como é encontrada nos livros didáticos.
É importante destacar a utilização do teorema em casos que não é possível realizar a integração da função em um intervalo, pois se utilizado corretamente as propriedades do teorema, é possível determinar a primitiva ou primitiva da função, na qual é uma das consequências do TFC.
Diante disso, conclui-se que o teorema fundamental do cálculo tem uma grande importância para a ciência, pois problemas como a inclinação da reta tangente e o problema da área podem ser resolvidos juntos, ou seja, se um for resolvido o outro também passa a ser solucionado.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
CARDOSO, Dienefer Tainara. Teorema Fundamental do Cálculo: Uma Abordagem dinâmica. 2016. 132 f.Monografia (Graduação de Licenciatura em Matemática) –Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2016.
[2]
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 5ª ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2011.[3]
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Vol 2. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC. 2001b.[4]
NETTO, Rubens Lopes. Uma Aplicação do Teorema do Valor Médio. 2017. 65f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Universidade Federal do Maranhão, São Luíz, 2017.[5]
SOUZA, Veriano Catinin. A Origem do Cálculo Diferencial e Integral. 2016. 27f. Monografia (Especialização em Orientação Educacional) - Universidade Candido Mendes, Rio de Janeiro, 2001.[6]
STEWART, J. Cálculo. Vol 1. 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.[7]
PROJETO NEWTON, Cálculo, 2015 Universidade Federal do Pará. Disponível em: <http://www.aedmoodle.ufpa.br/course/view.php?id=4060>. Acesso em: 19 Julho 2018.
