MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME – PROFESSOR FABIO TEIXEIRA
1. (Ufrs 2011) Um satélite geoestacionário está em órbita circular com raio de aproximadamente 42.000 km em relação ao centro da Terra. Sobre esta situação, são feitas as seguintes afirmações.
(Considere o período de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo igual a 24h.)
Sobre esta situação, são feitas as seguintes afirmações.
I. O período de revolução do satélite é de 24h.
II. O trabalho realizado pela Terra sobre o satélite é nulo.
III. O módulo da velocidade do satélite é constante e vale 3500π km/h.
Quais estão corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
2. (G1 - cps 2011) Salto de penhasco é um esporte que consiste em saltar de uma plataforma elevada, em direção à água, realizando movimentos estéticos durante a queda. O saltador é avaliado nos seguintes aspectos: criatividade, destreza, rigor na execução do salto previsto, simetria, cadência dos movimentos e entrada na água.
Considere que um atleta salte de uma plataforma e realize 4 rotações completas durante a sua apresentação, entrando na água 2 segundos após o salto, quando termina a quarta rotação.
Sabendo que a velocidade angular para a realização de n rotações é calculada pela expressão n.360
t
em que n é o número de rotações e té o tempo em segundos, assinale a alternativa que representa a velocidade angular das rotações desse atleta, em graus por segundo.
a) 360 b) 720 c) 900 d) 1080 e) 1440
3. (Unicamp 2011) Várias Leis da Física são facilmente verificadas em brinquedos encontrados em parques de diversões. Suponha que em certo parque de diversões uma criança está brincando em uma roda gigante e outra em um carrossel.
a) A roda gigante de raio R = 20 m gira com velocidade angular constante e executa uma volta completa em T = 240 s. No gráfico a) abaixo, marque claramente com um ponto a altura h da criança em relação à base da roda gigante nos instantes t = 60 s, t = 120 s, t = 180 s e t = 240 s, e, em seguida, esboce o comportamento de h em função do tempo. Considere que, para t = 0, a criança se encontra na base da roda gigante, onde h = 0.
b) No carrossel, a criança se mantém a uma distância r = 4 m do centro do carrossel e gira com velocidade angular constante 0. Baseado em sua experiência cotidiana, estime o valor de 0 para o carrossel e, a partir dele, calcule o módulo da aceleração centrípeta ac da criança nos instantes t = 10 s, t = 20 s, t = 30 s e t = 40 s. Em seguida, esboce o comportamento de ac em função do tempo no gráfico b) abaixo, marcando claramente com um ponto os valores de ac para cada um dos instantes acima. Considere que, para t = 0, o carrossel já se encontra em movimento.
4. (G1 - ifce 2011) Numa pista circular de diâmetro 200 m, duas pessoas se deslocam no mesmo sentido, partindo de pontos diametralmente opostos da pista. A primeira pessoa parte com velocidade angular constante de 0,010 rad/s, e a segunda parte, simultaneamente, com velocidade escalar constante de 0,8 m/s.
As duas pessoas estarão emparelhadas após (use πcom duas casas decimais) a) 18 minutos e 50 segundos.
b) 19 minutos e 10 segundos.
c) 20 minutos e 5 segundos.
d) 25 minutos e 50 segundos.
e) 26 minutos e 10 segundos.
5. (Uesc 2011) A figura representa uma parte de um toca-discos que opera nas frequências de 33rpm, 45rpm e 78rpm. Uma peça metálica, cilíndrica C, apresentando três regiões I, II e III de raios, respectivamente, iguais a R1, R2e R3, que gira no sentido indicado, acoplada ao eixo de um motor.
Um disco rígido de borracha D, de raio RD, entra em contato com uma das regiões da peça C, adquirindo, assim, um movimento de rotação. Esse disco também está em contato com o prato P, sobre o qual é colocado o disco fonográfico. Quando se aciona o comando para passar de uma frequência para outra, o disco D desloca-se para cima ou para baixo, entrando em contato com outra região da peça C.
A análise da figura, com base nos conhecimentos sobre movimento circular uniforme, permite afirmar:
a) A frequência do disco D é igual a 0,75R / R2 D.
b) Todos os pontos periféricos da peça C têm a mesma velocidade linear.
c) O disco D e o prato P executam movimentos de rotação com a mesma frequência.
d) A peça C e o disco D realizam movimentos de rotação com a mesma velocidade angular.
e) A velocidade linear de um ponto periférico da região I, do cilindro C, é igual a 2,6 R cm / sπ 1 , com raio medido em cm.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Nesta prova adote os conceitos da Mecânica Newtoniana e as seguintes convenções:
O valor da aceleração da gravidade: g = 10 m/s2. O valor π= 3.
A resistência do ar pode ser desconsiderada.
6. (Ufpb 2011) Na modalidade de arremesso de martelo, o atleta gira o corpo juntamente com o martelo antes de arremessá-lo. Em um treino, um atleta girou quatro vezes em três segundos para efetuar um arremesso. Sabendo que o comprimento do braço do atleta é de 80 cm, desprezando o tamanho do martelo e admitindo que esse martelo descreve um movimento circular antes de ser arremessado, é correto afirmar que a velocidade com que o martelo é arremessado é de:
a) 2,8 m/s b) 3,0 m/s c) 5,0 m/s d) 6,4 m/s e) 7,0 m/s
7. (Uepg 2010) A figura a seguir ilustra três polias A, B e C executando um movimento circular uniforme.
A polia B está fixada à polia C e estas ligadas à polia A por meio de uma correia que faz o sistema girar sem deslizar. Sobre o assunto, assinale o que for correto.
01) A velocidade escalar do ponto 1 é maior que a do ponto 2.
02) A velocidade angular da polia B é igual a da polia C.
04) A velocidade escalar do ponto 3 é maior que a velocidade escalar do ponto 1.
08) A velocidade angular da polia C é maior do que a velocidade angular da polia A.
8. (Udesc 2010) O velódromo, nome dado à pista onde são realizadas as provas de ciclismo, tem forma oval e possui uma circunferência entre 250,0 m e 330,0 m, com duas curvas inclinadas a 41o. Na prova de velocidade o percurso de três voltas tem 1.000,0 m, mas somente os 60π últimos metros são cronometrados. Determine a frequência de rotação das rodas de uma bicicleta, necessária para que um ciclista percorra uma distância inicial de 24πmetros em 30 segundos, considerando o movimento uniforme. (O raio da bicicleta é igual a 30,0 cm.) Assinale a alternativa correta em relação à frequência.
a) 80 rpm b) 0,8πrpm c) 40 rpm d) 24πrpm e) 40πrpm
9. (G1 - cftsc 2010) Na figura abaixo, temos duas polias de raios R1 e R2, que giram no sentido horário, acopladas a uma correia que não desliza sobre as polias.
Com base no enunciado acima e na ilustração, é correto afirmar que:
a) a velocidade angular da polia 1 é numericamente igual à velocidade angular da polia 2.
b) a frequência da polia 1 é numericamente igual à frequência da polia 2.
c) o módulo da velocidade na borda da polia 1 é numericamente igual ao módulo da velocidade na borda da polia 2.
d) o período da polia 1 é numericamente igual ao período da polia 2.
e) a velocidade da correia é diferente da velocidade da polia 1.
10. (Unicamp 2010) Quando uma pessoa idosa passa a conviver com seus filhos e netos, o convívio de diferentes gerações no mesmo ambiente altera a rotina diária da família de diversas maneiras.
a) O acesso do idoso a todos os locais da casa deve ser facilitado para diminuir o risco de uma queda ou fratura durante sua locomoção. Pesquisas recentes sugerem que uma estrutura óssea periférica de um indivíduo jovem suporta uma pressão máxima P1 = 1,2×109 N/m2, enquanto a de um indivíduo idoso suporta uma pressão máxima P2 = 2,0×108 N/m2. Considere que em um indivíduo jovem essa estrutura óssea suporta uma força máxima F1 = 24 N aplicada sob uma área A1 e que essa área sob a ação da força diminui com a idade, de forma que A2 = 0,8A1 para o indivíduo idoso. Calcule a força máxima que a estrutura óssea periférica do indivíduo idoso pode suportar.
b) Na brincadeira “Serra, serra, serrador. Serra o papo do vovô. Serra, serra, serrador. Quantas tábuas já serrou?”, o avô realiza certo número de oscilações com seu neto conforme representado na figura a seguir. Em uma oscilação completa (A-O-A) a cabeça do menino se desloca em uma trajetória circular do ponto A para o ponto O e de volta para o ponto A. Considerando um caso em que o tempo total de duração da brincadeira é t = 10 s e a velocidade escalar média da cabeça do menino em cada oscilação (A-O-A) vale v = 0,6 m/s, obtenha o número total de oscilações (A-O-A) que o avô realizou com o neto durante a brincadeira. Use h = 50 cm e π = 3.
11. (Ufpe 2010) Uma bicicleta possui duas catracas, uma de raio 6,0 cm, e outra de raio 4,5 cm. Um ciclista move-se com velocidade uniforme de 12 km/h usando a catraca de 6,0 cm. Com o objetivo de aumentar a sua velocidade, o ciclista muda para a catraca de 4,5 cm mantendo a mesma velocidade angular dos pedais.
Determine a velocidade final da bicicleta, em km/h.
12. (Ufg 2010) A Lua sempre apresenta a mesma face quando observada de um ponto qualquer da superfície da Terra. Esse fato, conhecido como acoplamento de maré, ocorre porque
a) a Lua tem período de rotação igual ao seu período de revolução.
b) a Lua não tem movimento de rotação em torno do seu eixo.
c) o período de rotação da Lua é igual ao período de rotação da Terra.
d) o período de revolução da Lua é igual ao período de rotação da Terra.
e) o período de revolução da Lua é igual ao período de revolução da Terra.
13. (Pucrs 2010) O acoplamento de engrenagens por correia C, como o que é encontrado nas bicicletas, pode ser esquematicamente representado por:
Considerando-se que a correia em movimento não deslize em relação às rodas A e B, enquanto elas giram, é correto afirmar que
a) a velocidade angular das duas rodas é a mesma.
b) o módulo da aceleração centrípeta dos pontos periféricos de ambas as rodas tem o mesmo valor.
c) a frequência do movimento de cada polia é inversamente proporcional ao seu raio.
d) as duas rodas executam o mesmo número de voltas no mesmo intervalo de tempo.
e) o módulo da velocidade dos pontos periféricos das rodas é diferente do módulo da velocidade da correia.
14. (Ufg 2010) A figura abaixo ilustra duas catracas fixas, cujos dentes têm o mesmo passo, da roda traseira de uma bicicleta de marchas que se desloca com velocidade constante, pela ação do ciclista.
Os dentes P e Q estão sempre alinhados e localizados a distâncias RP e RQ (RP > RQ) em relação ao eixo da roda.
As grandezas ω, v, α, e a, representam, respectivamente, a velocidade angular, a velocidade tangencial, a aceleração angular e a aceleração centrípeta. As duas grandezas físicas que variam linearmente com o raio e a razão de cada uma delas entre as posições Q e P são:
a) v, ω e 0,7 b) a, v e 1,4 c) α, v e 1,4 d) v, a e 0,7 e) ω, α e 1,4
15. (Ueg 2010) Observe a figura.
Nessa figura, está representada uma máquina hipotética constituída de uma sequência infinita de engrenagens circulares E1, E2, E3... que tangenciam as retas s e t. Cada engrenagem En tangencia a próxima engrenagem En+1.
Para todo número natural positivo n, Rn e ωn são, respectivamente, o raio e a velocidade angular do circuito En.
Considerando estas informações e que R1 = 1,0u.
a) Determine Rn em função de n.
b) Mostre que ωn+1 = 3ωn para todo n.
16. (Ufg 2010) O funcionamento de um dispositivo seletor de velocidade consiste em soltar uma esfera de uma altura h para passar por um dos orifícios superiores (O1, O2, O3, O4) e, sucessivamente, por um dos orifícios inferiores (P1, P2, P3, P4) conforme ilustrado a seguir.
Os orifícios superiores e inferiores mantêm-se alinhados, e o sistema gira com velocidade angular constante . Desprezando a resistência do ar e considerando que a esfera é liberada do repouso, calcule a altura máxima h para que a esfera atravesse o dispositivo.
17. (Ufrgs 2010) Levando-se em conta unicamente o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo imaginário, qual é aproximadamente a velocidade tangencial de um ponto na superfície da Terra, localizado sobre o equador terrestre?
(Considere π=3,14; raio da Terra RT = 6.000 km.) a) 440 km/h.
b) 800 km/h.
c) 880 km/h.
d) 1.600 km/h.
e) 3.200 km/h.
18. (Pucmg 2010) “Nada como um dia após o outro”. Certamente esse dito popular está relacionado de alguma forma com a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, realizando uma rotação completa a cada 24 horas.
Pode-se, então, dizer que cada hora corresponde a uma rotação de:
a) 180º b) 360º c) 15º d) 90º
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O ano de 2010 começou sacudindo o planeta. Nos seus primeiros 19 dias houve terremotos no Haiti, na Argentina, na Papua Nova Guiné, no Irã, na Guatemala, em El Salvador e no Chile. A fim de medir a magnitude de um terremoto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter em 1935. Na escala Richter, a magnitude M é dada por M = log(A) − log(A0), em que A é a amplitude máxima medida pelo sismógrafo e A0 é uma amplitude de referência padrão. Sabe-se também que a energia E, em ergs (1 erg = 10-7 Joules), liberada em um terremoto está relacionada à sua magnitude M por meio da expressão log(E) = 11,8 + 1,5M. No caso do terremoto no Chile, a escala Richter registrou 8,8 graus, enquanto no terremoto no Haiti a mesma escala mediu 7,0 graus. Como foi amplamente divulgado na mídia, suspeita-se que o eixo terrestre tenha sofrido uma variação angular de 2 milésimos de segundo de arco provocada pelo tremor de 9,0 graus na escala Richter, o que causou o devastador tsunami. Terremotos geram ondas sonoras no interior da
Terra, e ao contrário de um gás, a Terra pode experimentar tanto ondas transversais (T) como longitudinais (L).
Tipicamente, a velocidade das ondas transversais é de cerca de 5,0 km/s e a das ondas longitudinais de 8,0 km/s (um sismógrafo registra ondas T e L de um terremoto). As primeiras ondas T chegam 3 minutos antes das primeiras ondas L.
19. (Ueg 2010) Responda aos itens a seguir:
a) Com a suposta variação angular que o eixo terrestre tenha sofrido, determine qual foi o deslocamento de um ponto no polo terrestre.
b) Discorra sobre as possíveis implicações da mudança do eixo da Terra em relação ao plano da sua órbita ao redor do Sol em relação a alterações nas quatro estações climáticas do ano.
20. (Uerj 2009) Uma pequena planta é colocada no centro P de um círculo, em um ambiente cuja única iluminação é feita por uma lâmpada L. A lâmpada é mantida sempre acesa e percorre o perímetro desse círculo, no sentido horário, em velocidade constante, retornando a um mesmo ponto a cada período de 12 horas. Observe o esquema.
No interior desse círculo, em um ponto O, há um obstáculo que projeta sua sombra sobre a planta nos momentos em que P, O e L estão alinhados, e o ponto O está entre P e L.
Nessas condições, mediu-se, continuamente, o quociente entre as taxas de emissão de O2 e de CO2 da planta. Os resultados do experimento são mostrados no gráfico, no qual a hora zero corresponde ao momento em que a lâmpada passa por um ponto A.
As medidas, em graus, dos ângulos formados entre as retas AP e PO são, aproximadamente, iguais a:
a) 20 e 160 b) 30 e 150 c) 60 e 120 d) 90 e 90
21. (Fgv 2009) Uma grande manivela, quatro engrenagens pequenas de 10 dentes e outra de 24 dentes, tudo associado a três cilindros de 8 cm de diâmetro, constituem este pequeno moedor manual de cana.
Ao produzir caldo de cana, uma pessoa gira a manivela fazendo-a completar uma volta a cada meio minuto.
Supondo que a vara de cana colocada entre os cilindros seja esmagada sem escorregamento, a velocidade escalar com que a máquina puxa a cana para seu interior, em cm/s, é, aproximadamente,
Dado: Se necessário use π = 3.
a) 0,20.
b) 0,35.
c) 0,70.
d) 1,25.
e) 1,50.
22. (Ufc 2009) Uma partícula de massa m gira em um plano vertical, presa a uma corda de massa desprezível, conforme a figura a seguir. No instante indicado na figura, a corda se parte, de modo que a partícula passa a se mover livremente. A aceleração da gravidade local é constante e apresenta módulo igual a g.
Assinale a alternativa que descreve o movimento da partícula após a corda ter se rompido.
23. (Ita 2009) Considere uma bola de basquete de 600 g a 5 m de altura e, logo acima dela, uma de tênis de 60 g. A seguir, num dado instante, ambas as bolas são deixadas cair. Supondo choques perfeitamente elásticos e ausência de eventuais resistências, e considerando g = 10 m/s2, assinale o valor que mais se aproxima da altura máxima alcançada pela bola de tênis em sua ascenção [sic] após o choque.
a) 5 m b) 10 m c) 15 m d) 25 m e) 35 m
24. (Ufg 2009) Sabe-se que a razão entre o período da Terra (TT) e o mercúrio (TM), em torno do Sol, é da ordem de 4. Considere que os planetas Terra e Mercúrio estão em órbitas circulares em torno do Sol, em um mesmo plano. Nessas condições,
a) qual é, em meses, o tempo mínimo entre dois alinhamentos consecutivos desses dois planetas com Sol?
b) Qual é, em graus, o ângulo que a Terra terá percorrido nesse intervalo de tempo?
25. (Ufc 2009) Um relógio analógico possui um ponteiro A, que marca as horas e um ponteiro B, que marca os minutos. Assinale a alternativa que contém o tempo em que os ponteiros A e B se encontram pela primeira vez após as três horas.
a) 15 min 16 (81/90) s.
b) 15 min 21 (81/99) s.
c) 16 min 16 (81/99) s.
d) 16 min 21 (81/99) s.
e) 16 min 21 (81/90) s.
26. (Puc-rio 2009) O ponteiro dos minutos de um relógio tem 1 cm. Supondo que o movimento deste ponteiro é contínuo e que π = 3, a velocidade de translação na extremidade deste ponteiro é:
a) 0,1 cm/min.
b) 0,2 cm/min.
c) 0,3 cm/min.
d) 0,4 cm/min.
e) 0,5 cm/min.
27. (Ufc 2009) Duas partículas A e B, de massa m, executam movimentos circulares uniformes sobre o plano x y (x e y representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por:
xA(t) = 2a + acos(ωt), yA(t) = asen(ωt) e xB(t) = -2a + acos(ωt), yB(t) = asen(ωt),
sendo ω e a constantes positivas.
a) Determine as coordenadas das posições iniciais, em t = 0, das partículas A e B.
b) Determine as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas partículas A e B no instante t = 0.
c) Determine as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas partículas A e B em um instante qualquer t .
d) Mostre que a trajetória do centro de massa é uma circunferência de raio a, com centro no ponto (x = 0, y = 0).
28. (Puc-rio 2009) Um satélite geoestacionário encontra-se sempre posicionado sobre o mesmo ponto em relação à Terra. Sabendo-se que o raio da órbita deste satélite é de 36 × 103 km e considerando-se π= 3, podemos dizer que sua velocidade é:
a) 0,5 km/s.
b) 1,5 km/s.
c) 2,5 km/s.
d) 3,5 km/s.
e) 4,5 km/s.
29. (Unesp 2009) Admita que em um trator semelhante ao da foto a relação entre o raio dos pneus de trás
rT e o raio dos pneus da frente
rF é rT1,5 r . FChamando de vT e vF os módulos das velocidades de pontos desses pneus em contato com o solo e de fTe fF as suas respectivas frequências de rotação, pode-se afirmar que, quando esse trator se movimenta, sem derrapar, são válidas as relações:
a) vTv e fF T f .F b) vTv e 1,5 fF T f .F c) vT v e fF T 1,5 f . F d) vT1,5 v e f F T f .F e) 1,5 v T v e fF T f .F
30. (Ufrj 2009) No dia 10 de setembro de 2008, foi inaugurado o mais potente acelerador de partículas já construído. O acelerador tem um anel, considerado nesta questão como circular, de 27 km de comprimento, no qual prótons são postos a girar em movimento uniforme.
Supondo que um dos prótons se mova em uma circunferência de 27 km de comprimento, com velocidade de módulo v = 240.000 km/s, calcule o número de voltas que esse próton dá no anel em uma hora.
31. (Uerj 2009) Segundo o modelo simplificado de Bohr, o elétron do átomo de hidrogênio executa um movimento circular uniforme, de raio igual a 5,0 × 10-11 m, em torno do próton, com período igual a 2 × 10-15 s.
Com o mesmo valor da velocidade orbital no átomo, a distância, em quilômetros, que esse elétron percorreria no espaço livre, em linha reta, durante 10 minutos, seria da ordem de:
a) 102 b) 103 c) 104 d) 105
32. (Uerj 2009) Dois móveis, A e B, percorrem uma pista circular em movimento uniforme. Os dois móveis partiram do mesmo ponto e no mesmo sentido com as velocidades de 1,5 rad/s e 3,0 rad/s, respectivamente; o móvel B, porém, partiu 4 segundos após o A.
Calcule o intervalo de tempo decorrido, após a partida de A, no qual o móvel B alcançou o móvel A pela primeira vez.
33. (Unicamp 2009) A evolução da sociedade tem aumentado a demanda por energia limpa e renovável. Tipicamente, uma roda d'água de moinho produz cerca de 40 kWh (ou 1,4 10 J 8 ) diários.
Por outro lado, usinas nucleares fornecem em torno de 20% da eletricidade do mundo e funcionam através de processos controlados de fissão nuclear em cadeia.
a) Um sitiante pretende instalar em sua propriedade uma roda d'água e a ela acoplar um gerador elétrico. A partir do fluxo de água disponível e do tipo de roda d'água, ele avalia que a velocidade linear de um ponto da borda externa da roda deve ser v = 2,4 m/s. Além disso, para que o gerador funcione adequadamente, a frequência de rotação da roda d'água deve ser igual a 0,20 Hz. Qual é o raio da roda d'água a ser instalada? Useπ = 3.
b) Numa usina nuclear, a diferença de massa Δm entre os reagentes e os produtos da reação de fissão é convertida em energia, segundo a equação de Einstein E = Δmc2, onde c 3 10 m / s8 . Uma das reações de fissão que podem ocorrer em uma usina nuclear é expressa de forma aproximada por:
(1000 g de U235) + (4 g de nêutrons) > (612 g de Ba144) + (378 g de Kr89) + (13 g de nêutrons) + energia.
Calcule a quantidade de energia liberada na reação de fissão descrita acima.
34. (Uerj 2008) Um feixe de raios paralelos de luz é interrompido pelo movimento das três pás de um ventilador. Essa interrupção gera uma série de pulsos luminosos.
Admita que as pás e as aberturas entre elas tenham a forma de trapézios circulares de mesma área, como ilustrados a seguir.
Se as pás executam 3 voltas completas por segundo, o intervalo de tempo entre o início e o fim de cada pulso de luz é igual, em segundos, ao inverso de:
a) 3 b) 6 c) 12 d) 18
35. (Fuvest 2008)
Uma regra prática para orientação no hemisfério Sul, em uma noite estrelada, consiste em identificar a constelação do Cruzeiro do Sul e prolongar três vezes e meia o braço maior da cruz, obtendo-se assim o chamado Polo Sul Celeste, que indica a direção Sul. Suponha que, em determinada hora da noite, a constelação seja observada na Posição I. Nessa mesma noite, a constelação foi/será observada na Posição II, cerca de
a) duas horas antes.
b) duas horas depois.
c) quatro horas antes.
d) quatro horas depois.
e) seis horas depois.
36. (Fgv 2008) Sobre o teto da cabine do elevador, um engenhoso dispositivo coordena a abertura das folhas da porta de aço. No topo, a polia engatada ao motor gira uma polia grande por intermédio de uma correia. Fixa ao mesmo eixo da polia grande, uma engrenagem movimenta a corrente esticada que se mantém assim devido a existência de outra engrenagem de igual diâmetro, fixa na extremidade oposta da cabine. As folhas da porta, movimentando-se com velocidade constante, devem demorar 5 s para sua abertura completa fazendo com que o vão de entrada na cabine do elevador seja de 1,2 m de largura.
Dados:
diâmetro das engrenagens .... 6 cm diâmetro da polia menor ... 6 cm diâmetro da polia maior ... 36 cm π ... 3
Nessas condições, admitindo insignificante o tempo de aceleração do mecanismo, a frequência de rotação do eixo do motor deve ser, em Hz, de
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 6.
37. (Ufsc 2008) Um carro com velocidade de módulo constante de 20 m/s percorre a trajetória descrita na figura, sendo que de A a C a trajetória é retilínea e de D a F é circular, no sentido indicado.
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O carro tem movimento uniforme de A até C.
02) O carro tem movimento uniforme de A até F.
04) O carro tem aceleração de A até C.
08) O carro tem aceleração de D até F.
16) O carro tem movimento retilíneo uniformemente variado de D até F.
38. (Uece 2008) Uma roda de raio R, dado em metros, tem uma aceleração angular constante de 3,0 rad/s2. Supondo que a roda parta do repouso, assinale a alternativa que contém o valor aproximado do módulo da aceleração linear total, em m/s2, de um ponto na sua periferia, depois de 1 segundo da partida.
a) 3,6 R b) 6,0 R c) 9,5 R d) 8,0 R
39. (Unesp 2008) Pesquisadores têm observado que a capacidade de fertilização dos espermatozoides é reduzida quando estas células reprodutoras são submetidas a situações de intenso campo gravitacional, que podem ser simuladas usando centrífugas. Em geral, uma centrífuga faz girar diversos tubos de ensaio ao mesmo tempo; a figura representa uma centrífuga em alta rotação, vista de cima, com quatro tubos de ensaio praticamente no plano horizontal.
As amostras são acomodadas no fundo de cada um dos tubos de ensaio e a distância do eixo da centrífuga até os extremos dos tubos em rotação é 9,0 cm. Considerando g = 10 m/s2, calcule a velocidade angular da centrífuga para gerar o efeito de uma aceleração gravitacional de 8,1 g.
40. (Uerj 2008) Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho.
Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.
Suponha que uma das marchas foi selecionada para a bicicleta atingir a maior velocidade possível. Nessa marcha, a velocidade angular da roda traseira é Wr e a da coroa é Wc . A razão Wr/Wc equivale a:
a) 7 2 b) 9
8 c) 27
14 d) 49
24
41. (Ufscar 2008) Diante da maravilhosa visão, aquele cãozinho observava atentamente o balé galináceo. Na máquina, um motor de rotação constante gira uma rosca sem fim (grande parafuso sem cabeça), que por sua vez se conecta a engrenagens fixas nos espetos, resultando, assim, no giro coletivo de todos os franguinhos.
a) Sabendo que cada frango dá uma volta completa a cada meio minuto, determine a frequência de rotação de um espeto, em Hz.
b) A engrenagem fixa ao espeto e a rosca sem fim ligada ao motor têm diâmetros respectivamente iguais a 8 cm e 2 cm. Determine a relação entre a velocidade angular do motor e a velocidade angular do espeto (ωmotor/ωespeto).
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
I. Correto: para ser geoestacionário tem que ter período igual ao da Terra, isto é, 24hs.
II. Correto: a força de atração é perpendicular à velocidade em todo o movimento.
III. Correto:
2 r 2 x42.000
V 3.500 km / h
T 24
π π
π .
Resposta da questão 2:
[B]
Dados: n = 4; t= 2s.
Substituindo esses valores na fórmula dada:
4 (360 ) 2
= 720°/s.
Resposta da questão 3:
a) Dados: R = 20 m; T = 240 s.
A Fig. 1 mostra a roda gigante e as posições da criança em cada um dos instantes citados.
No gráfico a) estão assinalados esses pontos.
Para traçar a curva do gráfico a), vamos encontrar a função que fornece a altura em função do tempo [h = f(t)].
Novamente na Fig.1 notamos que:
h R Rcos hR 1 cos
h20 1 cos (I).
Mas:
= t = 2 T t
= 2 240t
= t 120
(II).
Substituindo (II) em (I):
h 20 1 cos t 120
.
A partir dessa função, obtemos a tabela abaixo para a construção do gráfico. A curva tem forma senoidal.
b) Dados: R = 4 m; = 3.
Estimando um período de 20 s para o movimento do carrossel, temos:
0 0
2 2 3
0,3 rad/s.
T 20
Como se trata de movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta tem módulo constante.
Calculando-o:
ac = 20R
0,3 24 ac = 0,36 m/s2 (constante). Assim, o gráfico é um segmento de reta horizontal.Resposta da questão 4:
[E]
Dados: D = 200 m r = 100 m; 2 0,01 rad/s; 3,14. A velocidade da pessoa mais rápida é:
t(s) h(m)
0 0,0
30 5,9
60 20
90 34,1 120 40 150 34,1 180 20 210 5,9 240 0
2 2
v r 0,01 100 1 m / s.
Como partem de pontos diametralmente opostos, a distância (d) entre eles é meia volta.
d r 3,14 100 314 m.
A pessoa mais rápida leva vantagem (velocidade relativavrel) de 0,2 m/s.
O tempo para tirar essa diferença é:
rel
d 314
t 1570 s t 26 min e 10 s.
v 0,2
Resposta da questão 5:
[A]
Comentário: a questão foi classificada como de dificuldade ELEVADA e avaliada como RUIM porque houve dois deslizes da banca examinadora na sua elaboração:
1º) Faltou a frequência do motor para que fossem verificadas as opções A e E;
2º) A opção dada como correta é A. Para tal, há um erro de digitação: deveria constar nessa opção
0,75R / RP D
em vez de
0,75R / R2 D
, e faltou especificar que o valor ali digitado é para a frequência expressa em Hz.Vamos à resolução:
As regiões I, II e III da peça C giram com a mesma frequência do motor, pois estão ligadas ao seu eixo. A velocidade linear do prato P é igual à velocidade linear do disco D, que também é igual à velocidade linear da região da peça C à qual está acoplada, pois trata-se de acoplamento tangencial.
Lembrando que v R
2 f R v 2 Rf, temos:C D P região motor D D P P
região motor D D P P
v v v 2 R f 2 R f 2 R f
R f R f R f .
Tomando o primeiro e o terceiro termos dessas igualdades, vem:
região P P motor
R R f
f .
Essa expressão nos mostra que o raio da região da peça C a ser acoplado o disco é diretamente proporcional à frequência de rotação do prato. Assim temos:
Região I 33 rpm = 0,55 Hz Região II 45 rpm = 0,75 Hz Região III 78 rpm = 1,30 Hz
A figura dada mostra um acoplamento do disco com a região II, ou seja, o prato está efetuando 45 rpm ou 0,75 Hz.
Como já destacado acima:
P P P
D D P P D D
D D
f R 0,75 R
R f R f f f Hz.
R R
Resposta da questão 6:
[D]
V R .R 4x2 x0,8 6,4m / s
t 3
Δθ π
ω Δ
.
Resposta da questão 7:
02 + 04 + 08 = 14
As polias A e B apresentam acoplamento tangencial (por correia): v1 = v2 e B > A. As polias C e D estão acopladas coaxialmente (mesmo eixo): B = C > A e v3 > v2.= v1. Resposta da questão 8:
[A]
S 24 8
V R .0,3 rd / s
t 30 3
8 4voltas 4
rd volta
3 3 3
1s 4volta 4
X 60. 80 voltas
3 3
60s X
80RPM
Resposta da questão 9:
[C]
Como não há deslizamento, as velocidades lineares ou tangenciais dos pontos periféricos das polias são iguais em módulo, iguais à velocidade linear da correia.
v1= v2 = vcorreia.
Resposta da questão 10:
a) A2 = 0,8A1 = 1,6x 10-8 m2
F2 = P2A2 = (2,0x108 N/m2) x (1,6 x 10-8 m2) = 3,2 N
b)
M Vesc t 0,6 m /s x10s
N 4
h 3x0,5m
Resposta da questão 11:
16 Km/h.
Dados:
Raio da roda da bicicleta: R Velocidade inicial da bicicleta:
v1
= 12 km/h Velocidade final da bicicleta:
v2
= ? Velocidade angular dos pedais e da coroa:
Velocidade angular inicial da catraca:
1
Velocidade angular final da catraca:
2
Raio inicial da catraca:
R1
= 6 cm Raio inicial da catraca:
R2
= 6 cm Raio da coroa: r
Como a velocidade angular da roda da bicicleta é igual à velocidade angular da catraca, a velocidade linear da bicicleta é
1 1 2 2 2 2
2 2 1 1 1
v R v v
(I)
v R v 12
A velocidade linear da coroa é igual à velocidade linear da catraca:
1 1 1 1 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1
r R R R 6
1 (II)
r R R R 4,5
Combinando (I) e (II):
2
2
2
v 6 72
v
12 4,5 4,5
v 16 km / h.
Resposta da questão 12:
[A]
Para que a Lua tenha a mesma face voltada para a Terra, a cada volta em torno da Terra ela deve dar também uma volta em torno do próprio eixo. Logo, a Lua tem período de rotação (em torno do próprio eixo) igual ao período de revolução (em torno da Terra).
Resposta da questão 13:
[C]
Nesse tipo de acoplamento (tangencial) as polias e a correia têm a mesma velocidade linear (v).
Lembrando que v = R e que = 2f, temos:
vA = vB ARA = BRB (2fA)RA = (2fB)RB fARA =fBRB. Grandezas que apresentam produto constante são inversamente proporcionais, ou seja: quanto menor o raio da polia maior será a sua frequência de rotação.
Resposta da questão 14:
[D]
Os dentes das duas engrenagens têm o mesmo passo (ou o mesmo comprimento) (p). O número de dentes (N) de uma engrenagem é dado pela razão entre o comprimento da circunferência e o passo dos dentes. Ou seja:
N = 2 R p
.
As engrenagens maior e menor têm 20 dentes 14 dentes, respectivamente. Então:
NQ = 2 RQ p
e NP = 2 RP p
.
Fazendo a razão entre essas expressões:
Q Q
P P
N 2 R p
N p 2 R
Q
P
14 R
20 R Q
P
R 0,7.
R
Como as engrenagens estão acopladas coaxialmente (mesmo eixo) as duas têm mesma velocidade angular ().
Q = P.
Como o movimento é uniforme, a aceleração angular () é nula.
Q = P = 0
A velocidade tangencial (v) é diretamente proporcional ao raio: v = R.
A aceleração centrípeta (a) é diretamente proporcional ao raio: a = 2R.
Assim, fazendo as razões pedidas:
Q Q Q
P P P
v R R
v R R 0,7.
2
Q Q Q
2
P P P
a R R
a R R 0,7.
Resposta da questão 15:
a) Analisemos a figura acima. Façamos relações trigonométricas para cada uma das engrenagens até obtermos uma lei matemática de formação.
sen 30° = R1 1 R1
r 2 r
1 r 2R
sen 30° =
2 2
2 1 2 2 1
1 2 1 1 2
R 1 R
2R R R 3R R
r R R 2 2R R R R1 = 3R2 . Então:
2 1
R 1R
3
sen 30° =
3 3 3
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3
R 1 R 1 R
r R 2R R 2 2R R 2R R 2 3R 2R R 2R3 = R2 – R3 3R3
= R2 R2 = 3R3. Então:
R3 = 2
1R 3
Continuando obteremos: R4 = 1 3
3R ; R5 = 1 4
3R ... Rn+1 = 1 n 3R .
Como R1 = 1 R2 = 1
3 R3 =
1 1 1 2
3 3 3 R4 =
1 3
3 . Assim:
Rn =
1 n 1
3 .
b) Como o acoplamento é tangencial, todas as engrenagens têm mesma velocidade linear (v). Assim:
vn + 1 = vn. Lembrando que v = R, vem:
n + 1 (Rn + 1) = n (Rn) n + 1 1 n
3R = n Rn
n + 1 = 3n.
Resposta da questão 16:
Seja v a velocidade da esfera ao atingir um orifício superior. Aplicando Torricelli:
2 2
v v02 g h.
Como a velocidade inicial é nula:
v2 = 2gh = (I)
A altura máxima h é aquela que faz com que a esfera atravesse o dispositivo percorrendo a altura H no menor intervalo de tempo, correspondente ao tempo para o cilindro dar ¼ de volta, ou seja, o tempo é ¼ do período de rotação do dispositivo. Assim:
t T
4. Mas: T = 2
.
Então: 2
t t
4 2
.
Aplicando a equação do espaço para o percurso H, temos:
2 2g g
H v t t H v
2 2 2 2
2 2
v H g
2 2 4
2 2
2 g 2
v H
2 4
2
2 2
v H g
4
(II).
Igualando (I) e (II), vem:
2gh = 2 2
H g
4
h = 1 2 g
2 2
H g
4
Resposta da questão 17:
[D]
Dados: = 3,14 e raio da Terra: RT = 6.000 km.
O período de rotação da Terra é T = 24 h. Assim:
v = S 2 RT 2 (3,14) (6.000)
1.570
t T 24
km/h
v 1.600 km/h.
Resposta da questão 18:
[C]
Sabemos que o ângulo de uma volta é 360°, o que a Terra completa em 24 h. Assim, por simples regra de três:
24 = 360° = 360
24 = 15°.
Resposta da questão 19:
a) I. Devemos primeiramente estimar o valor dessa variação angular em graus. Para tal, note que:
II. Cada grau possui 60 minutos de arco;
III. Cada minuto de arco, possui 60 segundos de arco;
IV. Portanto, um grau possui 60 x 60 = 3.600 segundos de arco.
V. Se o eixo terrestre girou cerca de 2 milésimos de segundo de arco ou seja, 2/1.000 de 1/3.600 de grau, o que corresponde a 2/3.600.000 de grau, ou seja, 1/1.800.000 de grau.
Consideremos o seguinte esquema comparativo:
Como d<<R, podemos usar relações trigonométricas. Assim, R
d 1
sen( ) d Rsen( ) d 6.400.000sen d 6cm
R 1.800.000
α α
b) É a inclinação do eixo da Terra em relação ao plano da sua órbita ao redor do sol que determina a quantidade de irradiação solar nos hemisférios norte e sul do planeta e, com isso, provoca as quatro estações climáticas do ano.
Note que neste caso, o valor do deslocamento d calculado é muito pequeno comparado ao raio da Terra, sendo, portanto, imperceptível. Se o eixo mudar bastante de posição, isso terá efeitos drásticos sobre o clima do planeta, além de mudar aquilo que se pode ver no céu noturno em diferentes pontos do globo terrestre.
Resposta da questão 20:
[C]
Resolução
Se a lâmpada passa pela posição A em t = 0 com período de 12 h, então a lâmpada passa por A nos instantes registrados de 12 h e 24 h.
O alinhamento com o ponto O ocorre nas quedas do quociente de oxigênio e gás carbônico, pois a sombra projetada reduz a quantidade de luz que atinge a planta. Então os alinhamentos ocorrem nos instantes 10 h e 22 h.
Assim existe uma diferença de 12 – 10 = 2 h entre estar alinhado com O e estar na posição A do ponto de vista da lâmpada giratória. Estas 2 h em relação ao período de 12 h corresponde a 2/12 = 1/6 de volta, ou seja, 360/6 = 60, que é um dos ângulos formados pelas retas AP e PO. O outro ângulo é o suplementar de 120.
Resposta da questão 21:
[B]
Resolução
A velocidade com a qual a cana é puxada é igual a velocidade tangencial dos cilindros.
Os cilindros giram com a mesma frequência da roda de 24 dentes.
A manivela completa uma volta a cada 30 s, o que significa que o período da manivela e da pequena engrenagem acoplada a ela é de 30 s.
Como a engrenagem maior é 24/10 = 2,4 vezes mais lenta que a pequena então ela terá período de 30.2,4 = 72 s.
Este é o período dos cilindros. A velocidade dos cilindros é v = (2r)/T v = (2.3.4)/72 = 0,33 cm/s
Resposta da questão 22:
[A]
Resolução
Como no ponto em questão o vetor velocidade é vertical para cima, a partícula inicialmente terá movimento vertical para cima, até atingir altura máxima, e então, cairá verticalmente.
Resposta da questão 23:
[E]
A queda de 5 m de altura faz com que o corpo atinja a velocidade de
v2 = v02 + 2.a.S
v2 = 0 + 2.10.5
v = 10 m/s
Assim a bola de tênis estará chegando ao solo com 10 m/s no instante em que a bola de basquete está subindo com 10 m/s, visto que o choque com o solo foi perfeitamente elástico.
Designando por v a velocidade da bola de basquete após a colisão e por u a velocidade da bola de tênis após a colisão, pela conservação da quantidade de movimento, é verdadeiro afirmar que:
600.v + 60.u = 600.10 – 60.10
10.v + u = 90Pelo coeficiente de restituição (= 1, pois as colisões são perfeitamente elásticas)
u – v
20
= 1
u – v = 20Resolvido o sistema formado pelas duas últimas equações em v e u temos que u =
290
11
m/s, que é a velocidade com a qual a bola de tênis irá iniciar sua ascensão. Aplicada a equação de Torricelli mais uma vez:v2 = v02 + 2.a.S =
290
211
– 20.H = 0
H =290
211 20
=84100 2420
= 35 m
Resposta da questão 24:
a) Dado: Sendo TMe TT os períodos de translação de Mercúrio e da Terra, respectivamente, temos M
T
T T = 4.
Podemos resolver essa questão de duas maneiras, pelo menos: uma apelando para um raciocínio mais dedutivo (“na raça”) e outra de uma forma mais técnica, usando as equações já definidas para o movimento circular. Vejamos as duas maneiras:
1ª) O período de translação da Terra é 12 meses. Ou seja, a Terra gira em sua órbita
360 30
12 a cada
mês. Já, Mercúrio gira 4 vezes mais rápido, girando então 120° a cada mês. Assim Mercúrio a cada mês gira 90° a mais que a Terra. Ora, ocorrido um alinhamento, o próximo ocorrerá quando Mercúrio estiver 180° à frente, ou seja:
t =
180
90 = 2 meses.
A figura ilustra dois alinhamentos consecutivos: o primeiro com os dois planetas posicionados do mesmo lado em relação ao Sol, e o próximo, com o Sol entre eles. Os índices indicam as posições dos planetas a cada mês, após o alinhamento inicial (t = 0) nas posições M0 e T0.
2ª) Ocorrido um alinhamento, o próximo ocorrerá quando Mercúrio der meia volta ( rad) a mais que a Terra, ou seja:
M – T = . Lembrando que = t e que = 2 T , vem:
M T
2 2
t t
T T . Considerando que o período de translação da Terra é TT = 12 meses, o período de Mercúrio é, então, 12
4 3meses. Cancelando e substituindo esses valores, temos:
2 2 8 2 12
t 1 t 1 t
3 12 12 6
t = 2 meses.
b) T = T t T = 2 4
(2) 60
12 12 3 .
Resposta da questão 25:
[D]
Resolução
Considere um sistema de referência angular com = 0 radianos na marca 12 e sentido horário. As três horas o ponteiro das horas está na marca 3 onde = /2 radianos e o ponteiro dos minutos está na marca 12, onde = 0 radianos. O ponteiro das horas tem período de 12 h = 720 min. Assim o ponteiro das horas possui velocidade angular igual a = 2/T = 2/720 = /360 rad/min. O ponteiro dos minutos tem período de 1 h = 60 min e assim terá velocidade angular = 2/60 = /30 rad/min.
Tomando como base a função horária do movimento circular uniforme, = 0 + .t, o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos terão as seguintes equações, respectivamente:
horas =
.t
2 360
minutos =
.t 30
O encontro ocorrerá em horas = minutos
.t .t
2 360 30
.t .t
2 30 360
12 .t .t
2 360 360
11 .t 2 360
1/2 = (11/360).t
t = 360/22 min = 16 min + 8/22 min = 16 min + (8/22).60 s t = 16 min e 480/22 s = 16 min e 21+(18/22) s = 16 min e 21+(9/11)s
Resposta da questão 26:
[A]
Resolução
v = S/t = 2r/T = 2.3.
1 60
=6
60
= 0,1 cm/min
Resposta da questão 27:
a) xA(0) = 2a + acos (ω × 0) = 3a;
yA(0) = asen (ω × 0) = 0.
xB(0) = -2a + acos (ω × 0) = - a;
yB(0) = asen (ω × 0) = 0.
b) xCM(0) = (mxA(0) + mxB(0)) / (m + m) =
= (3a + (-a)) / 2 = a.
e
yCM (0) = (myA(0) + myB(0)) / (m + m) =
= (0 + 0) / 2 = 0.
c) xCM(t) = (2a + acos(ωt) - 2a + acos(ωt)) / 2 =
= acos(ωt).
e
yCM(t) = (asen(ωt) + asen(ωt)) / 2 = asen(ωt).
d) (xCM)2 + (yCM)2 = a2 Resposta da questão 28:
[C]
Resolução v = S/t v = (2..r)/T v = (2.3.36.103)/24 v = (216.103)/24
v = 9000 km/h = 2500 m/s = 2,5 km/s
Resposta da questão 29:
[B]
As velocidades são iguais à velocidade do próprio trator:
vT vF
. Para as frequências temos:T F T T F F T F F F F T
v v 2 f r 2 f r f 1,5 r f r f 1,5 f .
Resposta da questão 30:
Pela velocidade média
v = S/tA distância percorrida é S = 27.n onde n é o número de voltas de 27 km que são feitas.
Então
v = S/t
240000 = 27.n/3600
n = 240000.3600/27 = 32 000 000 voltasResposta da questão 31:
[D]
Resolução
Velocidade = v = (2.3,14.5.10-11) / (2.10-15) = 15,7.104 m/s = 1,57.105 m/s
Distância = S = 1,57.105.(600) = 942.105 = 9,42.107 m = 9,42.104 km
ordem de grandeza 105 (pois a parte significativa é maior que raiz quadrada de 10).
Resposta da questão 32:
A equação horária de posição do móvel A é = 1,5.t
A equação horária de posição do móvel B é = 3.(t – 4), verdadeira apenas t 4 s
Na igualdade 1,5.t = 3.(t – 4)
1,5.t = 3.t – 12
3.t – 1,5.t = 12
1,5.t = 12
t =12 1,5
= 8 s
Resposta da questão 33:
Como a velocidade linear é constante (visto que existe uma frequência) é verdadeiro escrever:
v = ΔS/Δt = (2πr)/T = 2πrf v = 2πrf
2,4 = 2.3.r.0,2 2,4 = 1,2.r r = 2,4/1,2 = 2 m
A massa dos reagentes é 1000 + 4 = 1004 g A massa dos produtos é 612 + 378 + 13 = 1003 g Existe uma variação de massa igual a 1004 – 1003 = 1 g Esta massa foi convertida em energia, segundo Einstein
E Δm c2
.
3 8 2 13
E 1 10 (3 10 ) 9 10 J. Resposta da questão 34:
[D]
Resposta da questão 35:
[D]
Resposta da questão 36:
[D]
Resposta da questão 37:
1 + 2 + 8 = 11
Resposta da questão 38:
[C]
ω = ω0 + γ.t
ω = 0 + 3.1 = 3 rad/s v = ω.R = 3R
a(tangencial) = ∆v/∆t = 3R 1 = 3R
a(centrípeta) = v2/R = 9R2
R = 9R
a(resultante) =
3R 2 9R
2
a(resultante) = 9R2 81R2
a(resultante) = 90R2 9,5.R
Resposta da questão 39:
30 rad/s
Resposta da questão 40:
[A]
Resposta da questão 41:
a) Frequência é o número de voltas na unidade de tempo
N 1 volta 1
f Hz
t 30 segundos 30
b) Este acoplamento é o mesmo da figura abaixo.
O ponto de contato entre as engrenagens tem a mesma velocidade linear.
m
motor espeto m m e e m e
e
V V R R 2 8 4
