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UNIVERSIDADEFEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA GRADUAÇÃO EM FÍSICA LUCAS DE PAULA MIRANDA

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UNIVERSIDADEFEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA GRADUAÇÃO EM FÍSICA

LUCAS DE PAULA MIRANDA

INFLUÊNCIA DO CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UMA PARTÍCULA CARREGADA NO BILHAR CLÁSSICO

(2)

LUCAS DE PAULA MIRANDA

INFLUÊNCIA DO CAMPOMAGNÉTICOSOBRE UMA PARTÍCULA CARREGADANO BILHAR CLÁSSICO

Monografia de Bacharelado apresentadaà Co ordenação da Graduação do Curso de Fí -sica,da Universidade Federaldo Ceará,como requisito parcialpara aobtenção do Título deBacharelem Física.

Orientador:Prof.Dr.Raimundo Nogueira da Costa Filho

(3)
(4)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Física

M644i Miranda, Lucas de Paula

Influência do campo magnético sobre uma partícula carregada no bilhar clássico / Lucas de Paula Miranda. – 2016.

38 f. : il. algumas color.

Monografia (Graduação em Física) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Física, Curso de Bacharelado em Física, Fortaleza, 2016.

Orientação: Prof. Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho. Inclui bibliografia e apêndice.

1. Campo magnético. 2. Movimento de partículas. 3. Dinâmica do bilhar clássico. 4. Invariantes adiabáticos. 5. Método de integração. I. Costa Filho, Raimundo Nogueira da. II. Título.

(5)

AosMeusPais e

(6)

AGRADECIMENTOS

Aosmeuspais,João Arturda Ro cha Miranda e Maria Irlanda de Paula Miranda,pelo carinho e cuidadosqueme deram.

Ao meu orientador,e professor,Raimundo Nogueira pela orientação,conselhose paciência que tevecomigo durante a minha graduação.

À Lorena Duarte,minha namorada e melhoramiga.

AosprofessoresAndrey Chaves,André Auto,José Soares,Murilo Pereira,João Milton, Humb erto de Andrade Carmona,Eduardo Bedê,Renan Landim,Othon Lopese Apiano Moraispelosconhecimentosque me passaram.

(7)

RESUMO

O bilharclássico consiste de uma partícula confinada em uma região com duasdimensõ es delimitada porfronteira fixa(f(r,θ)= f0)na quala partícula semovimenta em linha

reta com velo cidade constante e colide elasticamente com a fronteira.Iremosutilizaresse modelo para estudarosefeitosde um camp o magnético sobre uma partícula carregada no bilhar. Esse tip o de estudo é de grande utilidade para física de plasmas,onde se estuda amplamente o movimento de partículascarregadassobre a influência de camp os magnéticos.Quando uma partícula entra em uma região com camp o magnético constante, esta passa apresentarum movimento de órbita definida como órbita deLarmor.Asso ciado aomovimentoem órbita da partícula carregadatemosum momentodedipolomagnético que surge para resistira mudançasde fluxo de camp o magnético na órbita da partícula. Iremosmostrarque o momento de dip olo magnético é uminvarianteadiabáticodo sistema e vercomo este se comp orta em uma região com campo magnético não uniforme.Seguindo alinha de estudo para sistemasdinâmicos, iremosestudaro espaço de fase gerado pelo bilhare descrevercomo este se comp orta com mudançasno camp o magnético.

(8)

ABSTRACT

The classic billiard consistsofa particle confined in a region by fixed boundary(f(r,θ)= f0)in which the particle movesin a straightline atconstantsp eed and collideselastically

with the boundary. We willuse thismo delto study the effectsof a charged particle underthe influence ofa magnetic field in the billiard. Thistyp e ofstudy isusefulin plasmaphysics,whichitheavily studiesthe movementofa particle underthe influence ofmagnetic fields.Whena particle entersin a region with a constantmagneticfield, itstartsto describ e orbiting movement,defined asLarmororbit.Asso ciated with the charged particle orbitswe haveamagneticdipolemomentthatcomesto opp osite to the changesin the magnetic fieldflux in the orbitsof the particle.We willshow thatthe magnetic dip ole momentisanadiabaticinvariantofthe system and see how itbehavesin a region with nonuniform magnetic field.Followingthe lineofDynamicSystems,wewill study the phase space generated by the billiard and see how itbehavesunderchangesof the magnetic field.

(9)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Uma imagem da estrela do nosso sistema planetário exemplificandoo

plasma{Fonte:http://goo.gl/jmT82S}... 11 Figura 2 – Imagem demonstrando a magnetosfera{Fonte:https://goo.gl/nSFSve}. 12 Figura 3 – Imagem demonstrando a magnetosfera{Fonte:https://goo.gl/jc24AU}. 12 Figura 4 – Bilharstádio de Bunimovich.{Fonte:https://en.wikipedia.org/wiki/

Dynamical_billiardshold.jpg}... 13 Figura 5 – Mapa de fase e a seção de Poincaré para um pêndulo{ Fonte:http:

//goo.gl/0Osnq8}... 15 Figura 6 – Á esquerda a tra jetória de uma partícula em um bilharclássico.Ádireita,

o map eamento da trajetória em um espaço de fase... 17 Figura 7– Trajetória da partícula em movimento ciclotrônico,no plano(x,y),em

colisão com uma fronteira elíptica... 19 Figura 8– Valordo momento dipolo magnético gerado poruma partícula carregada

em movimento ciclotrônicodurante simulação mostradana Figura(??).. 19 Figura 9 – Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5, campo

magnético B =0.0. ... 25 Figura 10 –A Figura mostra doistiposde trajetóriasda partícula em um bilhar

clássico (B= 0.0)cujo asórbitasno espaçode fase são caracterizadas

comolibração (a esquerda)e rotação (adireita). ... 26 Figura 11–Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5, campo

magnéticoB =0.z... 26

Figura 12–Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5, campo magnéticoB =1.z... 27

Figura 13–Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5, campo magnéticoB =2.z... 27

Figura 14–Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5, campo magnéticoB =3.z... 28

Figura 15–Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5,camp o magnético

B =1.z. ... 28

(10)

Figura 17 –Variação do momento dipolo magnético respectivo a trajetória descrita na Figura (16)... 30 Figura 18 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético

dado pela equação (5.2)comA =0.5... 30

Figura 19 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético dado pela equação (5.2)comA =1.0... 30

Figura 20 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético dado pela equação (5.2)comA =2.0... 31

Figura 21 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético dado pela equação (5.2)comA =3.0... 31

Figura 22 –Trajetória da partícula carrega sobre a influência de uma campo magné-tico não uniforme descrito pela função (5.3)... 32 Figura 23 –Variação do momento dipolo magnético respectivo a trajetória descrita

na Figura (22)... 32 Figura 24 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético

dado pela equação (5.3)comA =0.5... 32

Figura 25 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético dado pela equação (5.3)comA =1.0... 33

Figura 26 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético dado pela equação (5.3)comA =2.0... 33

Figura 27 –Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e campo magnético dado pela equação (5.3)comA =3.0... 33

Figura 28 –Trajetória e espaço de fase bilharelíptico,com excentricidade0.5,A=

(11)

SUMÁRIO

1 INT RODUÇÃO ... 11

2 DINÂMICADOBILHARCLÁSSICO. ... 14

2.1 Dinâmica Clássica ... 14

2.2 Bilhar clássico ... 16

3 MOVIMENTO DE UMA PARTíCULA CARREGADA.... 18

3.1 Movimento ciclotrônico ... 18

3.2 Momento dipolo magnético ... 18

3.3 Efeitosdo campo mangnético não uniforme... 19

4 INVARIANTES ADIABÁTICOS. ... 23

4.1 O momento dipolo magnético como um invariante adiabático. 23 4.2 O fluxo do campo magnético como um invariante adiabático . 24 5 SIMULAÇÕESERESULTADOS. ... 25

5.1 Campo Magnético constante. ... 26

5.2 Campo magnético não uniforme.Função exp onencial.... 29

5.3 Campo magnético não unifome... 31

6 CONCLUSÕES. ... 35

7 APÊNDICE. ... 36

7.1 Método de integração ... 36

(12)

11

1INTRODUÇÃO

Temoscomo ob jetivo neste pro jeto estudaro movimento de uma partícula carregada s o-bre efeito de um camp o magnético em um bilharclássico [1].

O estudo do movimento de partículascarregadastorna-se interessantedevido asuaapli -cação em física de plasmas[2].O plasma po de serdescrito como um gáseletricamente neutro formado poríonspositivose negativos,ou seja,átomosionizados.Para que ocorra a ionizaçãoé necessárioforneceruma enorme quantidade de energiapara o átomo. As -sim,é preciso uma alta temp eratura para criare,consequentemente,mantero plasma.A Figura(1)mostra umaestrela comoum exemplo deplasma.

Figura 1:Uma imagem da estrela do nosso sistema planetário exemplificando o plasma {Fonte:http://goo.gl/jmT82S}

(13)

12

Figura 2:Imagem demonstrandoa magnetosfera {Fonte:https://goo.gl/nSFSve}.

Outroincentivoparao estudodepartículascarregadasenvolve o estudo da ionosfera e da magnetosfera [3],assim como o estudo de descargaselétricas.

Figura 3:Imagem demonstrandoa magnetosfera {Fonte:https://goo.gl/jc24AU}.

Como sistema de estudo,iremosutilizarum bilharcircularpara realizarassimulaçõ es. No bilhara partícula encontra-se confinada dentro de uma fronteira fixa dada p oruma funçãof(r,θ)= f0,em que ascolisõ escom esta fronteira são elásticas.Obilharclássico

(14)

13

Figura 4:Bilharstádiode Bunimovich.

{Fonte:https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_billiardshold.jpg}.

Em sistemasdinâmicos,é deinteresseencontrarconstantesde movimentospara analisar aintegrabilidade do sistema [5].Assim iremosanalisaro comp ortamento dosinvariantes adiabáticos[6]jáconhecidosdo movimento de uma partícula carregada,nomeadamente, o momento dip olo magnético e o fluxo magnético [2].

(15)

14

2 DINÂMICA DO BIL HAR CLÁSSICO

Antesde começarmosa estudaro sistema sugerido no título precisamosdefiniralgumas propriedadesdo sistemaafimde analisare caracterizarnossosresultados.

2.1 Dinâmica Clássica

Um sistema dinâmico po de serdescrito atravésda Hamiltoniana,

H =H(qi,pi), (2.1)

ondei=1, 2,....,N.Sendoqi um grau de lib erdade do sistemae pi seu momento conjugado.

Talfunção ob edece asseguintesrelaçõ es,conhecidascomo equaçõ esde Hamilton,

dqi

dt = ∂H

∂pi, (2.2)

dpi

dt = ∂H

∂qi. (2.3)

Um sistema com N grausde lib erdade é então dito integrávelquando este apresentaN constantesde movimento,

fi =fi(qi,pi)= constante, (2.4)

parai= 1,2,....,N.

A curva formada pelo conjunto de p ontos(qi,pi)formam uma tra jetória em plano.O plano formado pela variávelqe seu momentoconjugadopédenominadoespaçode fase. Para analisaro espaço de fase do sistema iremosutilizara ab ordagem criada p orHenry Poincaré [7].Em vez de analisara curva em um espaço de fase formada porqi(t)epi(t), Poincaré analisa ospontosem que a tra jetória dessa curva atravessa em seção do espaço de fase.Na Figura (5)temoso espaço de fase e a seção de Poincaré para um pêndulo com um grau de lib erdade.Umalinha é traçada emuma certaregião doespaço defase, e o mapa da seção de Poincaré é o conjunto de pontosem que astra jetóriasdo espaço de fase cruzam essa linha.Vemosentãoque a seção dePoincarépara umsistema comdois grausde liberdade,como o bilharclássico,deve possuirduasdimençõ es.

(16)

15

Figura 5:Mapa de fase e a seção de Poincaré para um pêndulo{Fonte:

http://goo.gl/0Osnq8}.

libração e rotação [6].Emumespaçode fase,curvasfechadassãoo que definimoscomo libração.Quando ascurvasnão são fechadasmasse rep etem com uma certa frequência, são o quechamamosde rotação.

Algo que precisamosdaratenção é o fato de,a princípio,não termosinformaçõ essobrqei epi.Então precisamostransformarasvariáveisque temos.Devidoa presença dascons -tantesde movimento po demosencontrarum novo conjunto de variáveis(φi,Ii)aplicando uma transformação canônica2nasvariáveis(q

i,pi).Definimosasnovasvariáveisdetal formaque a nova hamiltoniana fique na forma,

H =H(Ii). (2.5)

Asnovasequaçõ esde Hamilton ficam,

dIi

dt = ∂H

∂φi =0, (2.6)

dφi

dt = ∂H

∂Ii =ωi =constante. (2.7)

Com isso,temos,

Ii = ci, (2.8)

φi = ωit+φ0i, (2.9)

tra jetória.

(17)

16

ondeci =constante,i= 1,2,...,N.

Temosentão,paraumsistemaintegrável,umnovoconjuntodevariáveisonde φi apresenta valoresperió dicoscom frequência dada p orωi,eIi permanece constante.Assim,para um sistema integrável,ap enascertosvaloresdo espaço de fase são acessíveisao sistema. Quando não p odemosintegraro sistema p ormeio de quadratura,atravésdasequaçõ esde Hamilton (2.2)e (2.3),passamosa lidarcomsistema não-integráveis,ou quase-integráveis [5]. Sistemasassim apresentam um comp ortamento ergódico [4]. Um sistemaé dito ergódico,quando to dosospossíveisestadosde energia são igualmente acessíveisNo . caso em estudo,um sistema é dito ergó dico quando o espaço de fase é preenchido para um número grande de interaçõ esdo sistema.

2.2 Bilhar clássico

O bilharconsiste de uma partícula se movendo livremente em uma região confinada por uma fronteira,onde ascolisõ esentre a partícula e a fronteira são elásticasEmum . bilhar clássico aenergia se conserva, logoele é um sistema conservativo. Parauma fronteira circulardada p ela equação (2.10)o momento angularcom relação ao centro tamb émé conservado.

Momento angularno ponto de colisão com a fronteira é dado porL =r×mv=mr v sin(β), β éo ângulo entreo vetor r ev.No casodobilharcircularnãodeformado,o ângulo da

direção da tra jetória,referente a reta tangente ao ponto de impacto, não mudae r é

sempre normala reta tangente ao ponto de impacto.Vemosentão queo ângulo entrer

evé sempre o mesmo,e logoo momentoangularseconserva.

Assim em um sistema com doisgrausde lib erdade temosduasgrandezasque são conser -vadas.Logoo bilhardescritoé um sistemaintegrávele escritona forma,

f(x,y)= x2+y2=r2. (2.10)

O espaço de fase para o bilharclássico é mapeado atravésdascolisõ esque a partícula faz com afronteira. Assim a seção de Poincaré é formada pelo conjunto de p ontos (S(θ)i,p(α)i) (S(θ)i+1,p(α)i+1),ondeS(θ)é a distância do ponto de colisão à um ponto de origem (distância dada p orum comprimento de arco)descrita p or(2.11),p(α)

é o cosseno do ângulo(α)da tra jetória referente a tangente do ponto de impacto (2.12)

(18)

17

S(θ) = 1 L

θ

0

r2(θ)+ dr(θ)

2

dθ, (2.11)

p = cos(α). (2.12)

Vemosna Figura (6)o bilharclássico para um fronteira circulardada pela equação (2.10) e seu resp ectivo espaço de fase para uma única condição inicial.

Figura 6:Á esquerda a tra jetória de uma partícula em um bilharclássico.Ádireita,o map eamento da tra jetória em um espaço de fase.

O raio do bilharé dado pela equação,

R(θ ,e)= 1− e2

1+ecos(θ), (2.13)

ondeθé a co ordenada angularda partículaeedeformao bilharcircularnaforma de uma

(19)

18

3MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA

3.1 Movimento ciclotrônico

Uma partícula se movimentando,emum plano (x,y), sobre a influência de um campo eletromagnético p erceb e uma força descrita por:

F =QE +v × B. (3.1)

Chamadaforça de Lorenzt[8].Consideramosque a partícula se move em uma região onde o camp o elétrico é nulo e o campo magnético é constanteB =Bzˆ.Omovimento

característico é um movimento ciclotrônico com uma órbita p erp endincularà direção do camp o magnético.No sistema em estudo,o camp o magnético é perpendicularao plano ao plano no quala partícula se movimenta.Assim,a força de Lorentz nesse sistema equivale a força centríp eta,

F =Q|v||B |=mv

2

R, (3.2)

ondeR =QBmv é o raio da tra jetória da partícula,chamado tamb ém raio da órbita de

Larmor[8]

3.2 Momento dipolo magnético

Quando uma partícula entra em uma região com camp o magnético,um momento mag-nético surge como uma forma de resistira variação do fluxo magnético na tra jetória da partícula.Logo o momento magnético é paralelo e de sentido oposto ao camp o magnético. Parauma partícula carregada em um movimento ciclotrônico, éatribuídoum momento de dip olo magnético[8]dado por:

µ=I da, (3.3)

ondedaéa áreaquea órbitada partícula encerrae Iécorrentegerada devidoaomovi

-mento da partícula.Vetorialmente o dip olo magnético p ossuiuma direção p erp endicular a velo cidade de órbita da partícula.No caso em estudo,em mó dulo,

µ=IπR2,

(3.4)

comI =Tq =2qvπR (T sendo o perío do de órbita)e o raio da órbitaR =mvqB,temosentão

(20)

19

µ=mv

2

2B . (3.5)

Na Figura (7)vemosa tra jetória de uma partícula carregada colidindo com uma fronteira elíptica.A presença do camp o magnético faz com que a partícula tenha um movimento ciclotrônico como descrito por(3.2).A Figura (8)mostra o momento dip olo magnético gerado pela tra jetória descrita em (7). Como esp erado,o momento dip olo magnético permanece constante em um sistema regular.

Figura 7:Tra jetória da partícula em movimento ciclotrônico,no plano (x,y),em colisão com uma fronteira elíptica.

Figura 8:Valordo momento dip olo magnético gerado p oruma partícula carregada em movimentociclotrônicodurantesimulaçãomostrada na Figura( ??).

3.3 Efeitosdo campo mangnético não uniforme.

(21)

20

A partirda equação de Lorentz (3.1)p odemosmontarasequaçõ esde movimento. Con-siderando uma região com camp o elétrico iguala zero e o camp o magnético ao longo do eixo-ze emfunção de xe y, B =B(x,y)ˆz,temos,

Fx = qvyBz(x,y), (3.6)

Fy = −qvxBz(x,y), (3.7)

Fz =0.0. (3.8)

O camp o magnético variando no espaço,poruma função escalarBz =Bz(x,y),indica que há um grandiente de campo magnético diferente de zero cujo o mó dulo aponta para a direção de maiorvariação.Assim,utilizamosa série de Taylorem trêsdimensõ es[9] para encontraro valordo camp o em um dado ponto(x0,y0)(centro da órbita de Larmor).

Temosaexpançãode Taylor[9],

Ψ(r +a)=

inf

n=0

1

n!(a.∇)Ψ(r), (3.9)

então o camp o magnético fica na forma:

Bz(x − x0,y − y0)= Bz(x0,y0)+(x − x0)

∂Bz

∂x +(y − y0) ∂Bz

∂y +.... (3.10)

Substituindo (3.10)nasequaçõ esde movimento,temos,

mv˙x = qvy Bz(x0,y0)+(x − x0)

∂Bz

∂x +(y − y0) ∂Bz

∂y , (3.11)

mv˙y = −qvx Bz(x0,y0)+(x − x0)

∂Bz

∂x +(y − y0) ∂Bz

∂y . (3.12)

Derivando aequação (3.11)esubstituindo˙vy daequação (3.12),temos,

¨

vx =−ω2vx, (3.13)

onde,

ω= q

m Bz(x0,y0)+(x − x0) ∂Bz

∂x +(y − y0) ∂Bz

∂y , (3.14)

é a frequênciadeoscilação do sistema. Etemosentão,

(22)

21

e,

vy= −ωC1exp(iωt)dt=−iC1exp(iωt)+C2. (3.16)

Antesda partícula começara sofrerinfluência do camp o magnético ela possuiascaracterís -ticasde uma partícula se movendo em linha reta a velo cidade constantev0.No momento

t= 0 a partícula possuiuma velo cidade inicialv0.Assim,em t= 0,vx =v0cos(θ)e

vy =v0sin(θ),paraθconstante.Temostambém que ap óst= 0 quev⊥ =v0,sendov⊥

a velo cidade tangencialà órbita da partícula.Com isso vemosqueC1=v⊥ eC2=0,

Assim,temos

vx = v⊥exp(iωt), (3.17)

vy = −iv⊥exp(iωt). (3.18)

Porém,estamosinteressadosap enasna parte realdasexpressõ esLogo,.

vx = v⊥cos(ωt), (3.19)

vy = v⊥sin(ωt). (3.20)

Agora,considerando o raiode Larmorna forma:

r2=(x − x

0)2+(y − y0)2, (3.21)

p o demosescrever,

(x − x0) = rcos(ωt), (3.22)

(y − y0) = rsin(ωt). (3.23)

Substituindo asequaçõ es(3.10),(3.19),(3.20),(3.22)e (3.23)nasequaçõ esdo movimento,

Fx = qv⊥sin(ωt)Bz(x0,y0)+rcos(ωt)

∂Bz

∂x +rsin(ωt) ∂Bz

∂y , (3.24)

Fy = −qv⊥cos(ωt)Bz(x0,y0)+rcos(ωt)

∂Bz

∂x +rsin(ωt) ∂Bz

∂y , (3.25)

Fz =0 .0. (3.26)

(23)

22

< F>=

τciclo

0 (

Fxxˆ+Fyyˆ+Fzzˆ)dt. (3.27)

Logo,

< F> =

τciclo

0 qv

⊥sin(ωt)Bz(x0,y0)+rcos(ωt)∂Bz

∂x +rsin(ωt) ∂Bz

∂y xdtˆ

τciclo

0

qv⊥cos(ωt)Bz(x0,y0)+rcos(ωt)∂Bz

∂x +rsin(ωt) ∂Bz

∂y ydt.ˆ

(3.28)

Utilizando propriedadesdo cálculo de integraisem regiõ esp erió dicasdasfunções,temos,

<sin 2(θ)=< cos2(θ)>=1/2>,< cos(θ)sin(θ)>=cos(θ)=sin(θ)=0, paraθ

variando de 0à2 π correspondente ao perío do de um ciclo.Portanto,aequação (3.27)

p o de serescrita como,

<F> =1

2qv⊥r

∂B ∂xxˆ+

∂B

∂yy .ˆ (3.29)

(24)

23

4INVARIANTES ADIABÁTICOS

Uminvariante adiabático é alguma propriedade dosistemaque semantém constante em uma transformação adiabática [6]. Considerando alguma pertubação no sistema,o invariante adiabático éalguma propriedade,em que,pequenasvariaçõ essó são notadas em temp osde escala muito grandes.

Na mecânica clássica,temosuma hamiltoniana que sofre uma lenta variação p orum parâmetroλ.O invariantuma integral de ação,dada por(4.1),em umaórbita no

espaço de fase,

I =

τór bita

pdq, (4.1)

ondeIé a área definida p oruma tra jetória no espaço de fase.

Em sistemasdinâmicosé imp ortante encontraralguma propriedade do sistema que se mantenha constante,p oisisso caracteriza um movimento p erió dico.Ao aplicarmoso campo magnético (p ertubação no sistema)precisamosencontrargrandezasque se man-tém constantespara analisarmosa integrabilidadedo sistema.

4.1 O momento dipolo magnético como um invariante adiabático

Usando uma integralde ação po demosmostrarqueµ é um invarianteadiabático [6].

Considerandouma integralde ação:

I = pdq, (4.2)

onde p éo momento angulardapartícula em órbita e qé a variávelangular(q=θ),assim

dq =dθ.Ep=mr × v=mrv⊥,sendoro raioda órbita dapartículae v⊥ a velo cidade perp endicularao momento dip olo magnético.Logo,

I = 2

π

0

mrv⊥dθ=2π mrv⊥. (4.3)

Como réo raio domovimentociclotrônico,

r =mv qB =

2µ

q. (4.4)

(25)

24

I =4πm

q µ. (4.5)

Logo seIéuma constante domovimento,logo µ deveserconstante [6].

Quando a partícula entra em uma região com um campo magnético maiorp erceb emos que a frequência orbitalaumenta.Isso ocorre devido a invariância do momento dip olo magnético.Temosque,

µ=mv

2 0

2B0= mv2

1

2B1, (4.6)

logo,v2

1=

v2 0B1

B0 .

4.2 O fluxo do campo magnético como um invariante adiabático

Devido a órbita da partícula temosum fluxo de camp o magnético atravésda área delimi -tada pela órbita da partícula.

Temosque:

Φ= B .da=Bπr2, (4.7)

assim,

Φ= 2πmq2 µ, (4.8)

ecomoµé um invarianteadiabático,temosque,

dΦ dt =

2πm q2

dt =0. (4.9)

(26)

25

5SIMULAÇÕES E RESULTADOS

Aplicamosváriostiposde camp o magnético à partícula e estudamosde que maneirao camp o magnético altera sua tra jetória.Para integrarmosnumericamente asequaçõ esde movimento para a partícula carregada utilizamoso méto do de Boris[3]descrito no Apên-dice 1.

Para cada sistema realizamos35 simulaçõ es,para cada nova simulação definimos,aleatori -amente,novascondiçõ esiniciaisreferentesa posição iniciale direção inicialda trajetória. Para analisarosmapasdefase dossistemasiremosutilizarobilharcirculardeformado naforma de uma elipse,pois,mesmo sendo um sistema integrável,assim comoo bilhar não deformado,este apresenta um comp ortamento maisrico quando passamosanalisar o espaço de fase.Um bilhardeformado na forma de uma elipse apresenta doistip osde órbitas:órbitasde libraçãoe órbitasde rotaçãoseparadasumregião quechamamosse separatriz,como po demosverna Figura (9).O bilharclássico deformado na forma de uma elipse sem camp o magnético já foiamplamente analisadoem [10]. Veremosentão quaisefeitosa presença de um camp o magnético cria no espaço de fase.

Libração

Rotação

(27)

26

Figura 10:A Figura mostra doistip osde tra jetóriasda partícula em um bilharclássico (B= 0.0)cujoasórbitasnoespaço defasesão caracterizadascomolibração (a

esquerda)e rotação (a direita).

5.1 Campo Magnético constante

O primeiro sistema que estudamosé descrito para um camp o magnético constante,

B(x,y)= Az,ˆ (5.1)

ondeAé um parâmetro de controle para aumentarmosa intensidade do camp o magnético.

Figura 11:Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5,campo magnéticoB =0.z.

(28)

27

da partícula até a fronteiraseja menorque o diâmetro da órbita de Larmor. Logoa partícula colide ap enasquando esta muito próxima da fronteira,o que descreve asórbitas de rotação.

Figura 12:Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5,campo magnéticoB =1.z.

(29)

28

Figura 14:Mapa do espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5,campo magnéticoB =3.z.

Algo interessante a se notarno comp ortamento dastrajetóriasno espaço de fase é que com o aumento do mó dulo do campo magnético asórbitasde libração começam a se concentrarna regiãocos(θ)<0.Assimulaçõ esacima foram feitascom um camp o

mag-nético orientado na direção +ˆz,a partícula então possuiuma órbitano sentido horário.

Se mudarmoso sentido do camp o magnético a partícula irá girarno sentido anti-horário. A Figura (15)mostra o espaço de fase para um camp o magnéticoB =−Bzˆ.Vemosque

a forma do espaço fase é o mesmo do mostrado na Figura (12),porém agora temosuma concentração dasórbitasdelibração na região cos(θ)>0.0

Figura 15:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5,camp o magnético

(30)

29

5.2 Campo magnético não uniforme.Função ex p onencial.

Como exemplo de camp o magnético não uniforme temosum campo dado pela seguinte exp onencial,

B(x,y)= A(e(x+0.5)2+y2

). (5.2)

O fator0.5 somadoa variávelxé apenaspara que o p onto onde a exp onencialtem valor máximo coincida com o centro da elipse.

Pela função exp onencialvemosque o camp o possuivalormáximo no centro e vaia zero nasbordas,como mostra a Figura (16).

Devido a não uniformidade do camp o o centro da órbita da partícula é deslocado col o-cando a partícula assim em um movimento de deriva provo cado pelo gradiente do campo magnético,como vimosnaseção 3.3.

Vemospela Figura (17)momento dip olo magnético não é maisconservado. Ele oscila com relação a um certo valore apresenta alteraçõesdevido ascolisõ esda partícula com afronteira.

Figura 16:Trajetória da partícula sobre a influência de uma camp o magnético não uniforme descrito pela função (5.2).

(31)

30

Figura 17:Variação do momento dipolo magnético resp ectivo a trajetória descrita na Figura (16).

Figura 18:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.2)comA =0.5.

(32)

31

Figura 20:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.2)comA =2.0.

Figura 21:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.2)comA =3.0.

5.3 Campo magnético não unifome. O camp o magnético descrito por:

B(x,y)= A(1 +((x −0.5)2

+y2

)), (5.3)

é prop osto no artigo [11],sendoAum parâmetro de controle intro duzido que controlaa intensidade do camp o.O camp o magnético varia na forma de uma circunferência de raio unitário.Ele apresenta valormáximo nasbordase mínimo em (0.5,0.0).

Devido a não uniformidade do camp o magnético o momento magnético não é maiscons -tante,p orém seu valorapresenta uma perio dicidade com grandesvariaçõ esquandoa partículacolide coma fronteira,Figura(22). Comojávimos,a presençadeumgradiente de camp o magnético provoca um movimento de deriva na partícula (seção (3.3)).

(33)

32

Figura 22:Trajetória da partícula carrega sobre a influência de uma camp o magnético não uniforme descrito pela função (5.3).

Figura 23:Variação do momento dipolo magnético resp ectivo a trajetória descrita na Figura (22).

Figura 24:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.3)comA =0.5.

(34)

33

Figura 25:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.3)comA =1.0.

Figura 26:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.3)comA =2.0.

Figura 27:Espaço de fase bilharelíptico com excentricidade 0.5 e camp o magnético dado pela equação (5.3)comA =3.0.

similaresa vales.

(35)

34

do campo magnético com relação ao tip o de fronteira. No caso,o camp o magnéticoé maioremθ=πemenorθ=0.NaFigura(28)a partículanãocolidecom outroextremo

da borda,logo a tra jetória no espaço de fase é descontinuada próxima a região onde

S(θ)=0.5.Assim podemosconfirmarque o camp o magnético é maisintenso próximo de S(θ)=0.5,nesse sistema esp ecífico.

Vemostamb ém,pelosespaçosde fase estudados,que quanto maioro valorde p,ou seja, quanto menoro ângulo que a tra jetória faz com reta tangente ao p onto de impacto,menor é o declive dosvalesnosespaçosde fase.

(36)

35

6CONCLUSÕES

A partirde um mo delo simplescomo o bilharpo demosestudaro comportamento de um sistema maiscomplexo.Analisando o espaço de fase gerado pordiversossistemasvemos o quão rico p ode sero comp ortamento do movimento de uma partícula carregada sobre a influência de um camp o magnético.

Aplicando uma certa pertubação ao sistema (camp o magnético uniforme),vimosque cer -tasgrandezas(momento magnético)se mantém constante (seção 5.1). Vimostamb ém, ao analisarmosoespaço de fase,queo sistema semantém regular(integrável). Àmedida que aumentamosa intensidade do camp o osraiosda órbitasde Larmorficam menores (seção 3.1),oque diminuio número de configuraçõesdo sistema onde ocorrem colisõ es. Po demosveresse comp ortamento analisando asórbitasdosespaçosde fase presentesna seção 5.1.

Quando aplicamoscamp osmagnéticosnão uniformesao sistema,secções(5.2)e (5.3),o momento magnético não maisse conserva,e perceb emoso aparecimento de regiõ eser gó-dicasno espaço de fase.O que caracteriza um tra jetória caótica da partícula carregada. Com o aumento da intensidade do camp o magnético,vemoso mesmo comp ortamento mostrado para o camp o magnético uniforme.A medida que a intensidade do camp o mag-nético aumenta,o raio daórbita de Larmordiminui e órbitasde libração desaparecem gradativamente do espaço de fase.Vemostamb ém um comp ortamentomisto[5]do sis -tema p elosgráficosdo espaço de fase.Nele podemosvercomp ortamentosde sistemas integráveise ergó dicos.

(37)

36

7APÊNDICE

7.1 Método de integração

O método de Eulerpara integração dasequaçõ esde movimento para uma partícula car -regada se mostra ineficiente,pois,ao o utilizarmos,perceb emosum aumento na energia cinética do sistema.Com isso a partícula não maisse movimenta em uma órbita de La-mor[8],massim em uma espiral.Isso ocorre devido a imprecisão do méto do de Euler,a cada passo calculamosa velo cidade da partícula com um certo erro,esse erro se acumula a cada interação e gradativamente a velo cidade da partícula muda em módulo.Gerando assim um movimento emespiral.

O méto do de Boris[3]é o méto do padrão utilizado para integrarasequaçõesde movi -mento de uma partícula carregada em um camp o eletromagnético [3].Eleusa o mesmo conceito de méto doscomoLeapfrog[12]para calculara velo cidade média em um p onto vi usando a velo cidadesem pontosvi+1/2evi−1/2.Assim,

dvi

dt =

vi+1/2− vi−1/2

δt =

Q

m E +

vi+1/2− vi−1/2

2 × B. (7.1) Escrevendo asvelo cidadesna forma,

vi−1/2 = v−−

QE δt

m2, (7.2)

vi+1/2 = v++

QE δt

m2, (7.3)

temos,

v+− v

δt = Q

2m v+− v

× B.

(7.4)

O méto do de Borisconsiste em calcularvelocidade média adicionando metade da aceler a-ção à velocidade no momento ’i’e dep oisoutra metade da aceleração usando asequações (7.2)e (7.3).Ospontos’antes’e ’p ós’são dadosp ortransformaçõ esgeométricasfeitas porBoris.Assim,calculamosa primeirarotaçãoadicionando parte daaceleração,

v =v−

+v−× τ,

(7.5)

ondeτ=aBt/2m.

Então,adicionamosa outra metade da aceleração,

(38)

37

Ovetors=2τ/(1+τ2)é basicamente o mesmo que o vetorde rotaçãoτ,ele é normali

-zado para satisfazera condição de que a magnitude da velo cidade se mantém constante.

(39)

38

REFERÊNCIAS

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[2]R.Fitzpatrick,"PlamaPhysics."HomePageforRichardFitzpatrick.The University ofTexasatAustin,032011.

[3]M.K.Öztürk,“Tra jectoriesofcharged particlestrapp ed in earth’smagnetic field,”

[4]M.Hoffmann,KarlHeinz;Schreib er,ComputationalStatisticalPhysics.From Billi -ardstoMonteCarlo.Springer,Verlag Berlin Heidelb erg,2002.

[5]A.Mijolaro,Estudodadistribuiçãodeespaçamentosdedubletosutilizandoomodelo dobilharanular.Instituto de Geo ciênciase CiênciasExatasda Universidade Estadual Paulista.,2004.

[6]L.NivaldoA.,MecânicaAnalítica.LIVRARIADA FÍSICA,2ed.,2007.

[7]J.B.Thornton,Stephen T;Marion,Dinâmicaclássicadepartículasesistemas . CENGAGE Learning,5ed.

[8]D.J.Griffths,Eletrodinâmica.PEARSON,3 ed.

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