Daniel da Silveira Guimarães

Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática

A transformação vetorial de Ribaucour para

subvariedades de curvatura constante.

Daniel da Silveira Guimarães

Orientador: Prof. Dr. Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior

A transformação vetorial de Ribaucour para

subvariedades de curvatura constante.

Daniel da Silveira Guimarães

Orientador: Prof. Dr. Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior

Tese apresentada ao Programa de Pós Graduação em Matemática como parte dos requisitos para obtenção do Título de doutor em Matemática.

São Carlos Junho de 2015

Autor Orientador

2000Mathematics Subject Classification. 53B25.

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária/UFSCar

G963tv

Guimarães, Daniel da Silveira.

A transformação vetorial de Ribaucour para

subvariedades de curvatura constante / Daniel da Silveira Guimarães -- São Carlos : UFSCar, 2015.

156 f.

Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2015.

1. Geometria diferencial. 2. Transformação de Ribaucour. 3. Espaços de curvatura constante. 4. Subvariedade Lagrangiana. 5. Imersão isométrica horizontal. I. Título.

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 5

1.1 Fibrados vetoriais . . . 5

1.2 Teoria básica de subvariedades . . . 11

1.3 EDP’s associadas às subvariedades de curvatura constante. . . 14

1.4 Subvariedades Lagrangianas . . . 21

1.4.1 Subvariedades Lagrangianas com curvatura nula . . . 22

1.4.2 Imersões isométricas horizontais . . . 25

1.4.3 Subvariedade horizontais de curvatura constante . . . 29

2 As equações matriciais 34 2.1 A equação de Sylvester . . . 34

2.1.1 A aplicação X 7−→AX+XB. . . 34

2.1.2 Soluções explícitas . . . 40

2.2 A equação XA−At_{X =C. . . 46}

2.2.1 Unicidade de soluções com X ∈An(R) e C∈Sn(R) . . . 46

2.2.2 Existência de soluções comX ∈An(R) e C ∈Sn(R) . . . 50

2.2.3 Soluções explícitas . . . 52

2.3 Um sistema de equações matriciais . . . 53

2.3.1 Existência de soluções inversíveis . . . 55

2.4 A equação de Lyapunov . . . 66

2.4.1 Propriedades da solução de uma equação de Lyapunov . . . 68

3 A transformação de Ribaucour 72 3.1 A transformação escalar de Ribaucour . . . 72

3.2 A transformação de Combescure . . . 76

3.3 A transformação vetorial de Ribaucour . . . 80

3.3.1 Propriedades básicas . . . 80

3.3.2 O Teorema da decomposição . . . 84

3.3.3 A transformação vetorial de Ribaucour em QN_s (˜c) . . . 89

3.3.4 O Teorema da decomposição em QN_s (˜c) . . . 93

SUMÁRIO viii

3.3.5 O cubo de Bianchi . . . 94

4 A L₋Transformação de Ribaucour 97

4.1 AL-transformação para subvariedades de curvatura constante. . . 97 4.2 O Teorema de decomposição para aL-transformação. . . 108 4.2.1 O L-Cubo . . . 114

5 A P-transformação de Ribaucour 117 5.1 AP-transformação de subvariedades Lagrangianas com curvatura nula. . . 118 5.2 AP-transformação de subvariedades horizontais com curvatura constante. 125 5.3 Teoremas de decomposição para a P-transformação. . . 132

5.3.1 Decomposição da P-transformação de subvariedades Lagrangianas com curvatura nula. . . 133 5.3.2 Decomposição da P-transformação de subvariedades horizontais. . . 137 5.3.3 O P-cubo . . . 139 5.4 Exemplos . . . 141

A Sistemas de equações diferenciais parciais 149

A.1 Sistemas lineares completamente integráveis . . . 149 A.2 O sistema de Bourlet . . . 150

Introdução

O estudo de imersões isométricas f :Mm_{(c)→ Q}m+p_{(˜c) de uma variedade Riemanniana} Mm_{(c) com curvatura seccional constantece dimensãomem uma variedade Riemanniana} completa e simplesmente conexa Qm+p(˜c) de curvatura seccional constante ˜ce dimensão m+p tem despertado o interesse de várias gerações de geômetras.

Para m _≥3, resultados fundamentais foram obtidos por E. Cartan, por meio de sua teoria de formas quadráticas exteriormente ortogonais. Em particular, Cartan mos-trou que, se c <c, então˜ p_≥m₋1 e, quandop=m₋1, então f possui fibrado normal plano. Este fato permite mostrar que existem localmente sistemas de coordenadas em Mm_{(c) cujos campos coordenados são direções principais, o que, por sua vez, permite} estabelecer uma correspondência entre tais imersões e as soluções de um sistema de equa-ções diferenciais parciais não lineares, chamado deequações generalizadas de sine-Gordon, se 0 6=c <c, e˜ equações generalizadas da onda, se 0 =c < ˜c(ver [1], [2], [32], [33], [34]).

Resultados duais aos de Cartan foram obtidos mais tarde por J.D.Moore ([27]). Moore desenvolveu a teoria de formas bilineares Euclidianas com valores em espaços vetoriais munidos de formas bilineares h·,_·i não-degeneradas, estendendo a teoria de for-mas quadráticas exteriormente ortogonais de Cartan, que corresponde ao caso em que

h·,_·i é positivo-definida. Usando essa teoria, Moore reobteve um resultado devido a O’Neill [28], segundo o qual a segunda forma fundamental de uma imersão isométrica f :Mm_(c)→Qm+p_{(˜c), com c >˜ce p≤m−2, se decompõe ortogonalmente como}

αf =√c₋˜c_h·,_·iη+γ, (0.0.1) em queηé um campo unitário normal af. Um pontox_∈M no qualαf _{se decompõe como} em (0.0.1) é denominado umponto fracamente umbílicoparaf. Se todos os pontosx_∈M forem fracamente umbílicos para f, diz-se que f é fracamente umbílica. Parap=m₋1, Moore provou que se f não tem pontos fracamente umbílicos então f é holonômica, em particular tem fibrado normal plano. Isso permitiu mostrar que tais imersões estão em correspondência com as equações generalizadas de Sinh-Gordon, se 06=c >c, ou com as˜ equações generalizadas de Laplace se 0 =c >c˜(ver [10]).

Posteriormente, Dajczer e Tojeiro mostraram em ([8]) que uma imersão isomé-trica f: Mm_{(c) → Q}m+p_{(˜c), com c > ˜c e p ≤ m−2 é, localmente em um subconjunto}

Introdução 2

aberto e denso deMm_{, uma composiçãof =i◦h, em quei: M}m_(c)→Qm+1_{(˜c) é uma}

in-clusão umbílica e h: U →Qm+p(˜c) é uma imersão isométrica de um aberto U ⊂Qm+1(˜c) contendo i(Mm_{(c)). O mesmo resultado é ainda válido se p = m−1 e f é fracamente} umbílica.

Com o intuito de produzir exemplos explícitos de imersões isométricasf:Mm_(c)→ Q2m−1(˜c),c >˜c, sem pontos fracamente umbílicos, Dajczer e Tojeiro estenderam em ([12]) a transformação clássica de Ribaucour. Essa transformação permite obter, a partir de uma dada imersão isométrica com certas propriedades, parametrizações de uma família de no-vas imersões isométricas do mesmo tipo, em termos de soluções de um sistema linear de EDP´s. Em particular, começando-se com soluções triviais é possível, em muitos casos, encontrar as soluções do sistema linear de EDP´s e, então, obter exemplos explícitos de imersões com aquelas propriedades.

A transformação de Ribaucour foi também aplicada com sucesso para a constru-ção de imersões isométricas Lagrangianas não totalmente geodésicasf :Mn_(c)→M˜n_(4c). Uma imersão isométricaf :Mn _→M˜m _{de uma variedade Riemanniana n-dimensional em} uma variedade de Kaehler de dimensão complexaméLagrangianasen=me a estrutura quase complexa J de ˜Mm _{satisfaz J(f}

∗TpM)⊂NfM(p) para todo p∈M.

Com o objetivo de descrever adequadamente a iteração de transformações esca-lares de Ribaucour, Dacjzer, Florit e Tojeiro definem em [7] a transformação vetorial de Ribaucour de uma subvariedade deRN, motivados por tal noção para sistemas ortogonais, estudada anteriormente por Lius e Manas em [24]. Em particular, os autores estendem um resultado clássico devido a Bianchi, conhecido como o Teorema de permutabilidade. É um fato conhecido que duas transformadas de Ribaucour de uma superfície determinam uma família a 1-parâmetro de tais transformadas, chamada de família associada às duas transformadas iniciais. Bianchi mostrou que existe uma outra família a 1-parâmetro de superfícies, a família conjugada, cada elemento da qual é uma transformada de Ribaucour de todos os elementos da família associada. Assim, cada elemento da família conjugada, a superfície original e suas duas transformadas iniciais formam uma quadra de superfí-cies, chamada um quadrilátero de Bianchi, cada elemento do qual é uma transformada de Ribaucour dos dois elementos adjacentes. Em [7] mostrou-se que, a partir dek tais trans-formadas escalares f1, . . . , fk de uma subvariedade f de RN e de uma escolha genérica,

para quaisquer 1≤i6=j ≤k, de uma imersãofij com a propriedade de que{f, fi, fj, fij}

forma um quadrilátero de Bianchi, existe um único cubo k-dimensional que tem f como um dos vértices, f1, . . . , fk como os vértices contíguos a esse, e {fij,1≤i6=j ≤k} como

os vértices adjacentes a esses últimos. Além disso, cada um dos vértices desse cubo é dado por meio de fórmulas algébricas explícitas.

Introdução 3

V tem dimensão um, a L-transformação reduz-se à redução da transformação escalar de Ribaucour para subvariedades de curvatura seccional constante obtida em [12]. Obtemos um teorema de decomposição para a L-transformação, do qual decorre, em particular, que uma L-transformação determinada por um tensor simétrico L é a iterada de dim V transformações escalares de Ribaucour do mesmo tipo. Em particular, mostramos que k tais transformadas escalares de uma subvariedade de curvatura seccional constante c determinam um único k-cubo de Bianchi cujos vértices são todos subvariedades com a mesma curvatura seccional constante, cada uma das quais é dada por meio de fórmulas algébricas explícitas. Observamos, por outro lado, que umaL-transformação determinada por um tensor não-simétrico L produz subvariedades com curvatura seccional constante que não são obtidas pela iteração de uma sequência de L-transformações de Ribaucour escalares.

Através de uma redução adicional daL-transformação, obtemos uma transforma-ção que preserva a classe das subvariedades Lagrangianas de dimensão n com curvatura e índice de nulidade relativa nulos de R2n. Tal transformação fica expressa em termos de um novo operador linear P de um espaço vetorial Euclidiano V, assim a chamamos de P-transformação de Ribaucour. Determinamos as P-transformações que preservam a classe de subvariedades Lagrangianas de dimensão n com curvatura nula contidas em S2n−1 _⊂R2n, as quais são obtidas como levantamentos de subvariedades Lagrangianas de curvatura nula e dimensão n−1 de CPn−1.

Obtemos, mais geralmente, uma P-transformação para a classe de subvariedades de curvatura constantece dimensãonque sãohorizontais com respeito à fibração de Hopf deQ2_ǫn+1(c), a qual induz uma transformação para a classe das subvariedades Lagrangianas de dimensão n, curvatura ce índice de nulidade relativa nulo de um espaço complexo de dimensão (complexa) n e curvatura holomorfa constante 4c. Obtemos ainda um teorema de decomposição para a P-transformação, do qual decorre, em particular, que uma P -transformação determinada por um tensorsimétricoP é a iterada de dimV transformadas escalares de Ribaucour do mesmo tipo. Em particular, mostramos como obter, a partir de k P-transformadas escalares de uma subvariedade Lagrangiana de dimensão n com curvatura e índice de nulidade relativa nulos deR2n, fórmulas explícitas para uma família de novas subvariedades da mesma classe, a qual está em correspondência com os vértices de um cubo k-dimensional, do qual as k subvariedades iniciais são os vértices contíguos àquele associado à subvariedade dada. Um resultado análogo é obtido para a classe das subvariedades de curvatura constante c e dimensão n que são horizontais com respeito à fibração de Hopf de Q2_ǫn+1(c).

Introdução 4

Para demonstrar, no Capítulo 4, a existência de L-transformadas de subvarie-dades com curvatura constante satisfazendo certas propriesubvarie-dades adicionais, é necessário provar a existência de soluções inversíveis de certo sistema de equações matriciais, cada uma das quais é um caso particular da chamada equação de Sylvester AX +XB = C (ver [21], [22] e [25]). Com o intuito de mostrar tal resultado, fazemos no capítulo 2 um estudo minucioso da equação de Sylvester e de alguns de seus casos particulares. Por outro lado, para provar, no Capítulo 5, a existência deP-transformadas de subvariedades Lagrangianas e horizontais com curvatura constante, é necessário provar a existência e unicidade de soluções inversíveis de uma certa equação de Lyapunov, ou seja, de uma equação matricial do tipo At_{X+XA =C. Isso é feito na seção 2.4. Observamos que o} problema de encontrar soluções inversíveis de tais equações matriciais tem sido explorado por vários matemáticos ( ver [6], [14], [15], [20] e [36]).

No Capítulo 3, descrevemos a teoria da transformação escalar de Ribaucour e também a teoria da transformação vetorial de Ribaucour de subvariedades do RN. Boa parte dos resultados são dos trabalhos de Dajczer e Tojeiro. Finalizamos tal capítulo estendendo a transformação vetorial de Ribaucour para o caso em que o espaço ambiente tem curvatura seccional constante não nula e obtemos uma versão do teorema do cubo de Bianchi nesse contexto. Verificamos ainda que uma hipótese de tal resultado, feita em [7], é de fato desnecessária.

Os principais resultados deste trabalho estão nos capítulos 4 e 5. O Capítulo 4 contém os resultados sobre a L-transformação para subvariedades de curvatura sec-cional constante descritos anteriormente, enquanto no Capítulo 5 estão aqueles sobre a P-transformação para subvariedades Lagrangianas e horizontais com curvatura constante. Exemplos explícitos de subvariedades Lagrangianas de dimensãon com curvatura e índice de nulidade relativa nulos de R2n, assim como de subvariedades de curvatura constante c e dimensãonque são horizontais com respeito à fibração de Hopf deQ2_ǫn+1(c), são obtidos no final do Capítulo 5 aplicando a P-transformação de Ribaucour.

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo são expostos alguns resultados necessários para os teoremas principais de nosso trabalho. Em toda a tese,M denota uma variedade Riemannianan-dimensional de classe C∞ _{cuja topologia é de Hausdorff e tem base enumerável.}

1.1 Fibrados vetoriais

Para o estudo da transformação vetorial de Ribaucour são necessários alguns fatos sobre fibrados vetorias. Nesta seção, introduzimos tais fibrados e os conceitos de seção, conexão e tensor curvatura, dentre outros. Esta primeira parte encontra-se nos livros [5] e [23].

Definição 1.1.1. Seja π : E _→ M uma aplicação diferenciável de classe C∞ _{entre as}

variedades diferenciáveis E e M. Dizemos que (π, E, M) é um fibrado vetorial de posto k, se para cada x_∈M,

i) Ex :=π−1_{(x) é um espaço vetorial real de dimensão k.}

ii) existem uma vizinhança aberta U de x e um difeomorfismo ϕ : π−1_{(U) → U ×R}k que aplica Ey isomorficamente sobre Rk_{≈ {}y} ×R, para cada y∈U.

Denotamos esse fibrado por π :E →M, E ou por E =Sx∈M Ex.

As variedades E e M são chamadas de espaço total e base, respectivamente, e a aplicação π a projeção. Para cada x ∈ M, o espaço vetorial Ex = π−1_{(x) é chamado de}

fibra de π sobre x. A aplicação ϕ : π−1_{(U) → U ×R}k _{é chamada de uma trivialização} local e uma família de trivializações locais {Uα, ϕα} tal que{Uα} é um aberto sobreM é dita um atlas do fibrado vetorial π:E →M.

Como exemplos, temos o fibrado tangente T M = Sx∈MTxM, o fibrado trivial M ×Rk = S_x∈MRk, o fibrado de homomorfismos entre dois fibrados vetoriais E e F, dado por Hom(E, F) = Sx∈MHom(Ex, Fx), em queHom(Ex, Fx) é o espaço vetorial das aplicações lineares de Ex em Fx, o fibrado dual E∗ _{= Hom(E,R) e o fibrado induzido}

pela aplicação diferenciável f :N →M, dado porf∗_{E :=}S

x∈NEf(x).

Preliminares 6

Dados dois fibrados πi : Ei → M, 1 ≤ i ≤ 2, uma aplicação diferenciável α : E1 → E2 é chamada de um morfismo de fibrados vetoriais sobre M se aplica π1−1(x)

linearmente sobre π2−1(x) para todo x ∈ M. Se α é uma bijeção, então α é dita um

isomorfismo entre fibrados vetoriais.

Se π :E → M é um fibrado vetorial de posto k e F ⊂ E é um subconjunto tal que a restrição πF :F → M também tem a estrutura de um fibrado vetorial de posto j tal que a inclusão i:F →E é um morfismo entre fibrados vetoriais, então F é chamado um subfibrado vetorial de E.

Uma seção local ξ num fibrado E é uma aplicação C∞ _{de um aberto U de M}

em E tal que π◦v = idU, ou seja, v(x) ∈ Ex pata todo x ∈ M. Denotamos o conjunto das seções sobre U por Γ(U, E), e abreviamos Γ(M, E) por Γ(E). O conjunto Γ(E) é um módulo sobre o anel C∞_(M).

Uma seção X :M → T M do fibrado tangente π : T M → M de uma variedade diferenciável é um campo de vetores de M. O conjunto dessas seções é denotado por

X(M) = Γ(T M). Se_f :_{N →M} é uma aplicação diferenciável e_π :_{E →M} é um fibrado

vetorial, então uma seção ξ ∈ Γ(f∗_{E) do fibrado induzido f}∗_{E é também chamada de}

uma seção de E ao longo de f. Em particular, um campo vetorial ao longo de f é uma seção de f∗_{T M.}

Dados uma trivialização local (U, ϕ) e uma seçãoξ ∈Γ(E), existe uma aplicação diferenciável ξϕ _{:U →R}k_{, chamada departe principal deξ com respeito aϕ, tal que}

ϕ(ξ(x)) = (x, ξϕ_(x)),

∀ x_∈U.

A diferenciabilidade de ξ é equivalente à diferenciabilidade de ξϕ _{para cada trivialização} local (U, ϕ). Em particular, a seção nula de E, fazendo corresponder a cada x ∈ M a origem de Ex, é claramente diferenciável, pois sua parte principal com respeito a uma trivialização local é uma aplicação constante.

Temos o seguinte resultado

Proposição 1.1.2. Sejam π1 : E → M e π2 : F → M fibrados vetoriais. Existe um

isomorfismo de módulos entre Hom(Γ(E),Γ(F)) e Γ(Hom(E, F)).

Seja π : E → M um fibrado vetorial de posto k. Um referencial móvel sobre um subconjunto aberto U ⊂ M é um conjunto de k seções ξ1, ..., ξk ⊂ Γ(U, E) tal que

{ξ1(x), ..., ξk(x)} é uma base de Ex para todo x ∈ U. Cada trivialização local (U, ϕ) de

E determina um referencial móvel η1, ..., ηk sobre U por

ηi(x) = ϕ−1(x, ei), 1_≤i_≤k,

em que{e1, ..., ek}é a base canônica deRk. Reciprocamente, um referencial móvelξ1, ..., ξk

Preliminares 7

em que, para cada x ∈ U, ϕx é o isomorfismo entre Ex e Rk determinado pela base

{ξ1(x), ..., ξk(x)}. Em outras palavras,

ϕ−1(x, c1, ..., ck) = k

X

i=1

ciξi(x).

Segue desse fato o seguinte Corolário

Lema 1.1.3. Um fibrado vetorial de posto k é trivial se, e só se, admite um referencial móvel global.

Sejag : Γ(E)×Γ(E)→C∞_{(M) uma aplicação C}∞_{(M)-bilinear, ou}

equivalente-mente, uma seção deHom2_{(E,R). Entãogé dita umamétrica pseudo-Riemannianasobre}

E se para todo e_∈ E existe um f _∈ E tal que π(e) = π(f) e g(e, f) 6= 0. Se g(e, e) >0 para todo e _∈ E, a métrica g é chamada de métrica Riemanniana sobre E. Um fibrado dotado com uma tal métrica g será chamado um fibrado vetorial pseudo-Riemanniano. Usando partições da unidade é possível mostrar que todo fibrado vetorial admite uma métrica Riemanniana.

Definição 1.1.4. Seja π : E _→ M um fibrado vetorial. Uma conexão em E é uma aplicação R-bilinear

∇E _{: Γ(M)×Γ(E) → Γ(E),}

(X, v) 7−→ ∇E_{(X, v) :=∇}E Xv,

tal que i) ∇E

f Xv =f∇EXv, ii) ∇E

Xf v =X(f)v+f∇EXv.

Além disso, dizemos que tal conexão é compatível com a métrica g em E se Xg(u, v) =g∇E

Xu, v

+gu,∇E Xv

, X ∈Γ(M) e u, v ∈Γ(E). Sabemos que (_∇E

Xv)(x) depende apenas dos valores de X em x e de v ao longo de uma curva c:I _→M com 0_∈I, c(0) =x e c′_{(0) =Xx.}

Alguns exemplos importantes de conexões: A conexão de Levi-Civita em T M, a qual é a única conexão em T M compatível com a métrica e simétrica (_∇XY − ∇YX = [X, Y] :=XY ₋Y X, X, Y _∈Γ(M)), e a conexão no fibrado trivial M _×Rk, definida de modo que, para uma seção ξ dada por ξ(x) = (x, f(x)) para uma função suave f : M _→ Rk, a parte principal de _∇Xξ é a função X(f).

Preliminares 8

Um subfibrado vetorialF ⊂Eéparalelose∇Xξé uma seção deF para quaisquer X ∈X(M) e _{ξ ∈}Γ(F).

Seja π : E → M um fibrado vetorial com a conexão ∇ e seja f : N → M uma aplicação diferenciável. Então existe uma única conexão f∗_{∇no fibrado induzidof}∗_{E tal}

que

f∗∇X(ξ◦f) =∇f∗Xξ

para quaisquer X _∈ X(N) e _{ξ ∈}Γ(E). Tal conexão é chamada de conexão induzida. Se

γ é uma curva em M e ξ_∈Γ(E), denotamos γ∗_{∇d/dt(ξ◦γ) simplesmente por∇}

d/dtξ. Seja π : E _→ M um fibrado vetorial com uma conexão ∇. Dada uma curva γ :J _→M, para cadaa _∈J e cadae_∈Eξ(a)existe uma única seçãoηtal queηé paralela

ao longo de γ e η(a) = e. Tal seção é chamada deextensão paralela dee ao longo de γ, e seu valor η(b) em algumb _∈J o transporte paralelo de e deγ(a) a γ(b).

Seja G = Hom(E, F) = E∗ _{⊗F. A derivada covariante ∇ζ ∈ Γ(T M}∗ _{⊗G) =}

Hom(Γ(T∗_{M),Γ(G)) de uma seção ζ ∈Γ(G) é definida por}

∇GXζ

(ξ) = _∇F

xζ(ξ)−ζ(∇EXξ),

para quaisquer X ∈ Γ(T M) e ξ ∈ Γ(E). Se ω ∈ Γ(T∗_{M ⊗E) é uma 1-forma sobre M}n com valores em E, então ∇ω∈Γ(T∗_{M ⊗T}∗_{M⊗E) é definida por}

∇ω(X, Y) := (∇TX∗M⊗Eω)(Y) =∇EXω(Y)−ω(∇XY),

em que a conexão ∇ do lado direito da equação é a conexão de Levi-Civita de Mn_. A derivada exterior dω∈Γ(Λ2_T∗_{M ⊗E) de ω está relacionada com ∇ω por}

dω(X, Y) = _∇ω(X, Y)_{− ∇}ω(Y, X) = ∇E

Xω(Y)− ∇EYω(X)−ω([X, Y]).

A 1-forma ω é fechada se dω = 0. Seζ ∈Γ(E), então ∇ζ =dζ ∈Γ(T∗_{M ⊗E) é}

a 1-forma dada por ∇ζ(X) = ∇E Xζ.

Definição 1.1.5. Seja π :E → M um fibrado vetorial munido de uma conexão ∇E_{. O} tensor de curvatura de ∇E _{é a aplicação}

RE : Γ(T M)_×Γ(T M)_→Γ(E) definido por RE_{(X, Y) = [∇}E

X,∇EY]− ∇E[X,Y].

É fácil verificar que R é trilinear sobre C∞_{(M). Assim, dados X, Y ∈Γ(T M) e}

Preliminares 9

curvatura ¯R da conexão induzida sobre f∗_{E é dado em qualquer ponto x∈N por}

¯

R(X, Y)e=R(f∗X, f∗Y)e,

para quaisquer X, Y ∈TxN e para todo e ∈Ef(x).

Dizemos que uma conexão linear∇sobre o fibrado vetorialE é plana seRE _≡0. Um fibrado vetorial dotado com uma tal conexão será chamado umfibrado vetorial plano. Tais fibrados admitem a seguinte caracterização.

Teorema 1.1.6. Seja π :E _→M um fibrado vetorial com uma conexão linear ∇. Então cada e_∈E admite uma extensão local paralela se, e só se, E é um fibrado vetorial plano.

A versão global desse resultado é

Teorema 1.1.7. Seja π :E _→M um fibrado vetorial de postok com uma conexão linear

∇ sobre uma variedade simplesmente conexa. São equivalentes:

i) R ≡0,

ii) existe um referencial global paralelo ξ1, ..., ξk,

iii) existe um isomorfismo paralelo Φ :E _→M _×Rk. Como consequência, temos:

Corolário 1.1.8. Seja π : E _→ M um fibrado vetorial pseudo-Riemanniano de posto k com uma conexão compatível linear ∇ sobre uma variedade simplesmente conexa. São equivalentes:

i) R _≡0,

ii) existe um referencial ortonormal global paralelo ξ1, ..., ξk,

iii) existe uma isometria paralela Φ :E →M ×Rk.

Dadas ζ1 ∈Γ(E∗⊗F) e ζ2 ∈Γ(F∗⊗H), definimosζ2ζ1 ∈Γ(E∗⊗H) por

ζ2ζ1(ξ) = ζ2(ζ1(ξ)), ξ∈Γ(E).

Para ζ _∈Γ(E∗_{⊗F), definimosζ}t _∈Γ(F∗_{⊗E) por}

hζt(η), ξi=hη, ζ(ξ)i, η ∈Γ(F) e ξ∈Γ(E).

Preliminares 10

Lema 1.1.9. Valem as seguintes afirmações:

(i) Se ζ1 ∈Γ(E∗⊗F) e ζ2 ∈Γ(F∗⊗H), então d(ζ2ζ1) = (dζ2)ζ1+ζ2(dζ1).

(ii) Se ζ _∈Γ(E∗_{⊗F) então dζ}t _{= (dζ)}t_.

(iii) Se ξ _∈Γ(E) então d2_{ξ(X, Y) = R}E_{(X, Y)ξ.}

(iv) Se G=E∗_{⊗F e Z ∈Γ(G) então(R}G_{(X, Y)ζ)(ξ) = R}F_{(X, Y)ζ(ξ)−ζ(R}E_{(X, Y)ξ).}

Demonstração. i) Por um lado,

d(ζ2ζ1)(X)(ξ) = (∇E

∗_⊗H

X (ζ2ζ1))ξ =∇HXζ2(ζ1(ξ))−ζ2ζ1(∇EXξ). Por outro lado,

(dζ2)(X)ζ1(ξ) = (∇F

∗_⊗H

X ζ2)(ζ1(ξ)) =∇HXζ2(ζ1(ξ))−ζ2(∇FXζ1(ξ)),

e

ζ2(dζ1)(X)ξ=ζ2(∇E

∗_⊗F

X ζ1)(ξ) = ζ2(∇FXζ1(ξ)−ζ1(∇FXξ)) =ζ2(∇FXζ1(ξ))−ζ2ζ1(∇EXξ). ii) Temos dζ _∈Γ(T M∗_⊗E∗_{⊗F) e dζ}t_{∈Γ(T M}∗_⊗F∗_{⊗E). Por um lado,}

hdζt_{(X)η, ξi =} D_(∇F∗_⊗E

X ζt)(η), ξ

E

=D_∇E

Xζtη−ζt(∇FXη), ξ

E

= D∇E Xζtη, ξ

E

−Dζt_(∇F Xη), ξ

E

= X_hζt_{η, ξi −}D_ζt_η,∇E Xξ

E

−D∇F Xη, ζξ

E

.

Por outro lado,

D

(_∇E∗_⊗F

X ζ)t(η), ξ

E

= Dη,(_∇XE∗⊗Fζ)ξE =Dη,_∇F

Xζ(ξ)−ζ(∇EXξ)

E

= Dη,_∇F Xζ(ξ)

E

−Dη, ζ(∇E Xξ)

E

= Xhη, ζ(ξ)i −D∇F

Xη, ζ(ξ)

E

−Dζt_(η),∇E Xξ

E

.

iii) Temos

d2_{ξ(X, Y) = ddξ(X, Y) = ∇dξ(X, Y)− ∇dξ(Y, X)}

= (_∇T M∗_⊗E

X dξ)(Y)−(∇T M ∗_⊗E

Y dξ)(X) = ∇E

Xdξ(Y)−dξ(∇XY)− ∇EYdξ(X) +dξ(∇YX) = ∇E

X∇EYξ− ∇EY∇XEξ− ∇E∇XYξ+∇

E

∇YXξ

Preliminares 11

(iv) (RE∗_⊗F

(X, Y)ζ)(ξ) = (∇E∗_⊗F X ∇E

∗_⊗F

Y ζ)(ξ)−(∇E ∗_⊗F Y ∇E

∗_⊗F

X ζ)(ξ)−(∇E ∗_⊗F

[X,Y]ζ)(ξ)

= _∇F X(∇E

∗_⊗F

Y ζ(ξ))− ∇E ∗_⊗F

Y ζ(∇EXξ)− ∇FY(∇E ∗_⊗F X ζ(ξ)) +∇EX∗⊗Fζ(∇EYξ)− ∇F[X,Y]ζ(ξ) +ζ(∇E[X,Y]ξ)

= ∇F

X(∇FYζ(ξ)−ζ(∇EYξ))− ∇YFζ(∇EXξ) +ζ(∇FY∇EXξ)

−∇F

Y(∇FXζ(ξ)−ζ(∇EXξ)) +∇XFζ(∇EYξ)−ζ(∇EX∇EYξ)

−∇F

[X,Y]ζ(ξ) +ζ(∇F[X,Y]ξ)

= ∇F

X∇FYζ(ξ)− ∇FXζ(∇EYξ)− ∇YFζ(∇EXξ)−ζ(∇EY∇EXξ)

−∇F

Y∇FXζ(ξ) +∇FYζ(∇EXξ) +_∇F

Xζ(∇FYξ)−ζ(∇EX∇EYξ)− ∇F[X,Y]ζ(ξ) +ζ(∇E[X,Y]ξ)

= RF_{(X, Y)ζ(ξ)−ζ(R}E_{(X, Y)ξ).}

1.2 Teoria básica de subvariedades

Sejam Mn _{e ˜M}m _{variedades diferenciáveis com dimensões n e m, respectivamente.} Di-zemos que a aplicação diferenciável f : Mn _{→ M}˜m _{é uma imersão se a diferencial} f_∗ : TxM _→ Tf(x)M˜ é injetiva para todo x ∈ Mn. O número p = m−n é chamado

de codimensão de f. Em particular, f é uma hipersuperfície se p= 1.

Uma imersãof :Mn _→M˜m _{entre variedades Riemannianas com métricash., .i} M e _h., ._iM˜ é umaimersão isométrica se

hX, YiM =hf∗X, f∗Yi_M˜ , (1.2.1)

para quaisquer x _∈ M e X, Y em TxM. Se f : Mn _{→ M}˜m _{é uma imersão e h., .i}

˜

M é uma métrica Riemanniana em ˜M, então a métrica Riemanniana sobre Mn _{definida por} (1.2.1) é chamada a métrica induzida por f, com respeito à qual f se torna uma imersão isométrica.

Denotamos por f∗_{T M o fibrado induzido por f sobre M}n_{, cuja fibra no ponto} x_∈Mn _{é Tf}

(x)M˜. O complemento ortogonal def∗TxM em Tf(x)M˜ é chamado de espaço

normal def emxe é denotado porNfM(x). O fibradoNfM =Sx∈MNfM(x) é chamado de fibrado normal def.

A conexão de Levi-Civita ˜_∇ de ˜Mm _{induz naturalmente uma única conexão ˆ∇} em f∗_TM˜ _{tal que ˆ∇}

X(Z◦f) = ˜∇f∗XZ, para quaisquerx∈M

n_{eX, Z ∈TM}˜_{. Daqui por} diante identificamos ˆ_∇ com ˜_∇.

Dados os campos de vetores X, Y _∈T M, temos a decomposição ortogonal ˜

Preliminares 12

nas componentes tangente e normal com respeito a f. É fácil mostrar que

∇XY =f_∗−1( ˜∇Xf∗Y)⊤

coincide com a conexão de Levi-Civita em M.

A aplicação α: Γ(T M)×Γ(T M)→Γ(NfM) definida por αf(X, Y) = ( ˜∇Xf∗Y)⊥,

é chamada de segunda forma fundamental de f, a qual pode ser considerada como uma seção em Hom(T M, T M;NfM). Dessa forma, temos a fórmula de Gauss

˜

∇Xf∗Y =f∗∇XY +α(X, Y).

O primeiro espaço normal N1f(x) de f em x∈M é definido como o subespaço do espaço

normal NfM(x) dado por

N₁f(x) =ger_{αf(X, Y); ∀ X, Y ∈TxM}.

O operador de forma Aξ def em x_∈Mn _{com respeito a ξ∈NxM é definido por}

hAξX, Yi=hα(X, Y), ξi

para quaisquer X, Y _∈ TxM. Assim, dados os campos de vetores X, Y _∈ Γ(T M) e ξ _∈Γ(NfM), temos

D

˜

∇Xξ, f∗Y

E

=−Dξ,∇˜Xf∗Y

E

=− hα(X, Y), ξi=− hAξX, Yi.

Logo, a componente tangente de ˜_∇Xξ é −f∗AξX e, assim, podemos considerar A ∈

Γ(Hom(T M, NfM;T M)). A componente normal _∇⊥

Xξ := ( ˜∇Xξ)⊥ define uma conexão compatível em NfM, chamada conexão normal de f. Assim, temos a fórmula de Wein-garten

˜

∇Xξ =−f∗AξX+∇⊥Xξ.

Denote ˜R=RM˜_{, R}⊥ _=RNfM, _R =_RM, e ()⊥ e ()⊤ as respectivas projeções em

NfM e T M. A partir das fórmulas de Gauss e Weingarten, é possível mostrar as três importantes equações de segunda ordem

• Equação de Gauss: R(X, Y˜ )Z⊤ =R(X, Y)Z−Aα(Y,Z)X+Aα(X,Z)Y.

• Equação de Codazzi: R(X, Y˜ )Z⊥ = (∇⊥

Xα)(Y, Z)−(∇⊥Yα)(X, Z), equivalente a essa temos

˜

Preliminares 13

• Equação de Ricci: ( ˜R(X, Y)ξ)⊥_=R⊥_{(X, Y)ξ+α(AξX, Y)−α(X, AξY).}

Sejam K eKM˜ _{= ˜K as curvaturas seccionais deM e ˜M, respectivamente. Segue} da equação de Gauss que

K(σ) = ˜K(σ) +_hα(X, X), α(Y, Y)_{i − ||}α(X, Y)_||2_,

em que {X, Y} é uma base ortonormal do plano σ tangente a M. Se ˜Mm _{= ˜M}m

c denota uma variedade Riemanniana com curvatura seccional cons-tante c, a equação de Gauss se escreve

R(X, Y)Z =c(X∧Y)Z+Aα(Y,Z)X−Aα(X,Z)Y, (1.2.2)

em que

(X∧Y)Z =hY, ZiX− hX, ZiY. A equação de Codazzi tem as duas versões equivalentes

(_∇⊥

Xα)(Y, Z) = (∇⊥Yα)(X, Z) (1.2.3) e

(∇YA)(X, ξ) = (∇XA)(Y, ξ), e a equação de Ricci se reduz a

( ˜R(X, Y)ξ)⊥ _{=α(X, AξY)−α(AξX, Y), (1.2.4)}

ou equivalentemente,

D

R⊥(X, Y)ξ, ηE=_h[Aξ, Aη]X, Y_i.

Seja f : Mn _{→ M}˜m _{uma imersão isométrica. O subespaço de nulidade relativa}

∆(x)_⊂TxM de f em xé o subespaço

∆(x) =kerα(x) =_{X _∈TxM; α(X, Y) = 0 para todoY ∈TxM}, e sua dimensão νf(x) é chamada deíndice de nulidade relativa de f em x.

Nosso foco neste trabalho é estudar as imersões isométricas de variedades Rieman-nianas com curvatura seccional constante em espaços simplesmente conexos e completos Qm(c)com curvatura seccional constantec, os quais são o espaço EuclidianoRm sec= 0,

a esfera Sm_c se c >0e o espaço hiperbólico Hm_c se c <0.

Uma demonstração do teorema a seguir encontra-se em [17]

Preliminares 14

i) Existência: Sejam Mn _{uma variedade Riemanniana simplesmente conexa, E um} fibrado vetorial Riemanianno de postopem Mn_{com conexão compatível∇}E _{e tensor}

curvaturaRE_{, seja aindaα}E _{uma seção simétrica de Hom(T M×T M,E). Para cada}

ξ ∈Γ(E), defina AE

ξ ∈Γ(Hom(T M, T M)) por

D

AE_ξX, YE =DαE(X, Y), ξE.

Suponha que (∇E_{, α}E_{, A}E_{, R}E_{) satisfaça a (1.2.2), (1.2.3) e (1.2.4). Então existe}

uma imersão isométrica f : Mn _{→ Q(c)}n+p _{e uma isometria φ :E → NfM tal que} αf =φ◦αE _{e ∇}⊥_{φ =φ∇}E_.

ii) Unicidade: Sejam f, g : Mn _{→ Q}n+p_{(c) imersões isométricas. Suponha que exista} um isometria φ:NfM →NgM tal que

φ_◦αf =αg e φf_∇⊥=g _∇⊥φ.

Então existe uma isometria τ :Qn+p(c)→Qn+p(c) tal que τ ◦f =g e τ_∗|NfM =φ.

Como consequência do Teorema fundamental das subvariedades, se c < ˜c, existe

uma imersão isométrica umbílica i :Qn+p(˜c)→ Qn+p+1(c). Com efeito, o endomorfismo

A = √˜c−cI satisfaz as equações de Gauss e Codazzi para uma imersão isométrica de Qn+p(˜c) em Qn+p+1(c). De forma análoga, prova que se c > c, existe uma imersão˜

isométrica umbílica i: Qn+p+1(˜c) →Ln+p+1(c), em que Ln+p+1(c) denota uma variedade

Lorentziana geodesicamente completa e simplesmente conexa.

1.3 EDP’s associadas às subvariedades de curvatura

constante.

Nesta seção estudamos a correspondência que existe entre subvariedades de curvatura seccional constante ce fibrado normal plano de Qn_s+p(˜c) e soluções de certos sistemas de equações diferenciais parciais, em queQn_s+p(˜c)é umespaço pseudo-Riemanniano completo e simplesmente conexo de curvatura seccional constante c e índice s. Quando s = 0, usaremos simplesmente a notação Qn+p(˜c).

Lembramos que, segundo um resultado devido a Cartan, uma imersão isométrica f : Mn(c) → Q2n−1(˜c), com c < c, tem necessariamente fibrado normal plano. O caso˜

c > ˜c foi estudado posteriormente Moore, que mostrou que o mesmo resultado é válido nesse caso, desde que f não possua pontos fracamente umbílicos, ou seja, desde que em nenhum ponto x deM exista um vetor unitário δ∈NfM(x) tal que Af_δ =√c−˜cId.

Dada uma imersão isométricaf :Mn →Qn_s+p(c)de uma variedade Riemanniana,

dizemos que N1f(x) é não degenerado seN

f

1(x)∩N

f

Preliminares 15

Em todo o trabalho, vamos usar a seguinte convenção de índices: i, j, k _{∈ {}1, ..., n_}, α_{∈ {}n+ 1, ..., p_} e r, s_{∈ {}1, ..., p_}.

A próxima Proposição foi enunciada e demonstrada em [10], e a forma aqui apre-sentada encontra-se no artigo [35].

Proposição 1.3.1. Sejam Mn_{(c) uma variedade Riemanniana e simplesmente conexa e} f : Mn_{(c) → Q}n+p

s (c) uma imersão isométrica com fibrado normal plano e νf ≡ 0. Se s ≥1, suponha que N1f(x)seja não degenerado para todox∈M. Nessas condições,p≥n

e existem localmente um sistema de coordenadas principais (u1, ..., un) sobre Mn(c), um

referencial ortonormal ξ1, ..., ξp de NfM e funções diferenciáveis v1, ..., vn e hiα, 1 ≤i ≤

n, n+ 1 ≤α≤p, com v1, ..., vn positivas, tais que

ds2 =X

j

v_j2du2_j, α(∂i, ∂j) =viδijξi, (1.3.1)

∇∂iXj =hjiXi, e ∇⊥∂iξs=hisξi,1≤i6=j ≤n, 1≤s 6=i≤p, (1.3.2)

em que Xi = (1/vi)(∂i), com ∂i = _∂u∂_i, e hij = (1/vi)∂i(vj) para i 6= j. Além disso, o par (v, h), em que v = (v1, ..., vn) e h = (his), satisfaz o sistema de equações diferenciais parciais

    

i) ∂j(vi) = hjivj, ii) ∂i(hij) +∂j(hji) +Pkhkihkj +cvivj = 0, iii) ∂j(his) =hijhjs, iv) ǫj∂j(hij) +ǫi∂i(hji) +Psǫshishjs= 0,

(1.3.3)

em que i₆=j, _{k, s_{} ∩ {}i, j_}=_∅ e ǫs =_hξs, ξs_i.

Reciprocamente, seja (v, h) uma solução de (1.3.3) em um subconjunto aberto e

simplesmente conexo U _⊂ Rn tal que vi ₆= 0 em todos os pontos de U. Então existe uma imersão f :U _→Qn_s+p(c)com fibrado normal plano, νf _≡0, N₁f não-degenerado de posto n e métrica induzida ds2 ₌P

ivi2du2i de curvatura seccional constante c.

Demonstração. Como f tem fibrado normal plano, a equação de Ricci implica que AξAη =AηAξ, ∀ξ, η ∈NfM.

Assim, para cada ponto x _∈ M existe uma base ortonormal _{X1, ..., Xn} de TxM que

diagonaliza Aξ para todo ξ _∈ NfM(x), ou equivalentemente, α(Xi, Xj) = 0 se 1 _≤

i ₆= j _≤ n. Em particular, como νf _≡ 0, temos que ηi := α(Xi, Xi) ₆= 0. Portanto

p _≤ dim(N₁f) =n. Além disso, _hηi, ηj_i = 0 pela equação de Gauss, e do fato de ser N₁f não degenerado quandos_≥1temos que_hηi, ηi_{i 6}= 0para1_≤i_≤n. Portanto_{η1, . . . , ηn}

é um conjunto ortogonal.

Preliminares 16

NfM, respectivamente, e funções diferenciáveis positivas v1, . . . , vn tais que

α(Xi, Xj) =δijviξi, 1_≤i₆=j _≤n.

É fácil verificar que as equações de Codazzi para f são equivalentes às seguintes equações

i) ∇XiXj =v−

1

i Xj(vi)Xi, i6=j, ii) ∇⊥

Xiξj =v

−1

i Xi(vj)ξi, i6=j.

Afirmamos que existem um referencial{ξn+1, ..., ξp}deN1⊥ e funções suaves{giα}

tais que

∇⊥

Xiξα =giαξi, (1.3.4)

ou seja, que D∇⊥

Yξα, ξβ

E

= 0 seα 6=β. Pelo Teorema 1.1.7, basta provar que o tensor de

curvaturaR1 da conexão∇1 _{induzida por∇}⊥ _{em (N}f

1)⊥ é identicamente nulo, e escolher

{ξn+1, ..., ξp}como um referencial paralelo com respeito a tal conexão. SejaΠ1 a projeção

ortogonal de NfM sobre (N1f)⊥. Por (ii) temos

∇1Xiξα = Π1(∇

⊥

Xiξα) =∇

⊥

Xiξα−

D

∇⊥Xiξα, ξi

E

ξi,

e assim, para i6=j,

∇1

Xj∇

1

Xiξα = Π1(∇

⊥

Xj(∇

1

Xiξα))

= Π1

∇⊥

Xj(∇

⊥

Xiξα−

D

∇⊥

Xiξα, ξi

E

ξi) = Π1

∇⊥

Xj∇

⊥

Xiξα−Xj

D

∇⊥

Xiξα, ξi

E

ξi₋D_∇⊥

Xiξα, ξi

E

∇⊥

Xjξi

= Π1(∇⊥Xj∇

⊥

Xiξα).

Portanto R1_(X

i, Xj)ξα = Π1(R⊥(Xi, Xj)ξα) = 0, o que mostra a afirmação. Obtemos de (i) que

[viXi, vjXj] = viXi(vj)Xj +vivj_∇XiXj −vjXj(vi)Xi−vjvi∇XjXi

= 0, i₆=j.

Dessa forma, existe localmente um sistema de coordenadas (u1, ..., un) sobre Mn(c) com

∂i =viXi para 1≤i≤n. Novamente por (i) temos

∇XiXj =v

−1

i Xj(vi)Xi =v−i 1vj−1∂j(vi)Xi =vi−1hjiXi,

o que implica a primeira equação em (1.3.2). A segunda equação em (1.3.2), para 1 ≤

s ≤n, segue de (ii), pois

Preliminares 17

Para n+ 1 ≤s≤p, tal equação é consequência de (1.3.4), definindohis =vi−1gis.

Agora vamos mostrar que(v, h) satisfaz ao sistema (1.3.3). Da segunda equação

em (1.3.2) temos

0 = R⊥_(∂

i, ∂j)ξi =∇⊥∂i∇

⊥

∂jξi− ∇

⊥

∂j∇

⊥

∂iξi

= ∂i(hji)ξj +hji_∇⊥

∂iξj − ∇

⊥

∂j

−Ps6=iǫshisǫiξs

= ∂i(hji)ξj +hjihijξi+Ps6=iǫs∂j(his)ǫiξs+Ps6=iǫshisǫi∇⊥∂jξs

= ∂i(hji)ξj +hjihijξi+Pj6=s6=iǫs∂j(his)ǫiξs+∂j(hij)ǫjǫiξj

+Pj6=s6=iǫshisǫihjsξj+hijǫjǫi∇⊥∂jξj

= ∂i(hji)ξj +hjihijξi+Pj6=s6=iǫs∂j(his)ǫiξs+∂j(hij)ǫjǫiξj

+Pj6=s6=iǫshisǫihjsξj−hijǫi

P

s6=jǫshjsξs.

Fazendo o produto interno com ξj e ξs, obtemos respectivamente (iv) e (iii) de (1.3.3). Usando que ∇∂iXi =

P

k6=ih∇∂iXi, XkiXk = −

P

k6=ihkiXk, obtemos, por um lado, que

R(∂i, ∂j)Xi = _∇∂i∇∂jXi− ∇∂j∇∂iXi

= _∇∂i(hijXj) +∇∂j(

P

k6=ihkiXk)

= ∂i(hij)Xj +hijhjiXi+Pj6=k6=i∂j(hki)Xk+

P

j6=k6=ihkihkjXj

+∂i(hji)Xj−hjiPk6=jhkjXk

= ∂i(hij)Xj +Pj=6 k6=i∂j(hki)Xk+

P

j6=k6=ihkihkjXj

+∂j(hji)Xj ₋hjiP_i6=k6=jhkjXk.

Por outro lado, como ds2 _{tem curvatura seccional constante c, temos que}

R(∂i, ∂j)Xi =c(∂i_∧∂j)Xi =₋cvi∂j,

logo a equação (ii) de (1.3.3) é satisfeita. Observamos que a equação (iii) de (1.3.3) decorre também de

R(∂i, ∂j)Xk= 0, i6=j 6=k 6=i.

Reciprocamente, considere U com a métrica ds2 ₌ P

iv2idu2i. Definindo Xi =

(1/vi)∂i, segue a primeira equação em (1.3.2). De (i), (ii) e (iii) em (1.3.3) decorre queds2

tem curvatura seccional constante c. Seja Mn_{={U, ds}2_{}. Para concluir a demonstração}

a partir do Teorema fundamental das subvariedades, considere o fibrado vetorial trivial E =Mn_×Rp_{, em que R}p _=span{e

1, ..., ep} é dotado com o produto interno

Preliminares 18

Agora, defina a conexão ∇′ _{em E por}

∇′∂ies=hisei, i6=s.

Decorre de (iii) e (iv) em (1.3.3) que essa conexão é plana. Defina αf ∈C∞_{(Hom(T M×}

T M, E))por

αf(∂i, ∂j) =viδijei.

É imediato que αsatisfaz a equação de Gauss para uma imersão isométrica de Mn(c)em

Qn_s+p(c). As equações de Codazzi seguem de (i) e as equações de Ricci são satisfeitas pois

∇′ _{é plana e α é ortogonalmente diagonalizável.}

O sistema (1.3.3) é um sistema de Bourlet (ver Apêndice A.2), resolvendo as equações (ii) e (iv) para ∂j(hji) e ∂j(hij), respectivamente, supondo i > j. Como ui é paramétrica para vi, hir e hij, i > j, as soluções do sistema (1.3.3) dependem de n+n(n₋1) +n(n₋p) =np funções arbitrárias de uma variável.

Seja Qn_ǫ0+p(˜c) uma variedade Riemanniana ou Lorentziana, conforme ǫ0 = 0 ou

ǫ0 = 1. Em [10], Dacjzer e Tojeiro caracterizam, em termos da solução associada de

(1.3.3), as imersões isométricas f tais que f(Mn_{(c)) está contida em alguma} hipersuper-fície umbílica Qn+p−1(˜c) de Q_ǫn₀+p(c) com curvatura constante ˜c. Antes de enunciar tal resultado, afirmamos que existem localmente funções vα tais que

∂j(vα) =hjαvj.

De fato, usando as equações (i) e (iii) temos

∂i(hjαvj) = ∂i(hjα)vj+hjα∂i(vj) =hjihiαvj +hjαhijvi

= hiα∂j(vi) +∂j(hiα)vi =∂j(hiαvi).

Chamamos (V, h), com V = (v1, ..., vn, vn+1, ..., vp), uma solução estendida do sistema

(1.3.3). Temos

Proposição 1.3.2. Existe uma hipersuperfície umbílica Qn+p−1(˜c) _⊂ Qn_ǫ0+p(c) tal que

f(Mn_(c))⊂Qn+p−1_{(˜c) se, e só se, existe uma solução estendida do sistema (1.3.3)}

satis-fazendo a

p

X

r=1

v_r2 = 1 ˜

c₋c. (1.3.5)

Além disso, a equação (iv) de (1.3.3) segue de (1.3.5).

Agora, considere a imersão isométrica f : Mn_{(0) → S}2n−1_{. Sabemos, pelo}

Preliminares 19

Corolário 1.3.3. Sejam Mn_{(0) uma variedade simplesmente conexa e f :M}n_(0)→R2n uma imersão isométrica com fibrado normal plano e νf ≡ 0. Nessas condições, existem

localmente um sistema de coordenadas principais em Mn_{(0) com ds}2 ₌P

jvj2duj, vj >0 e um referencial normal ortonormal (ξ1, ..., ξn) satisfazendo as equações (1.3.1) e (1.3.2).

Além disso, o par (v, h) satisfaz o sistema (1.3.3) com ǫk = 1, ∀k e c = 0. E ainda,

f(Mn_(0))⊂S2n−1 _{se e somente se,} P

ivi2 = 1.

Reciprocamente, seja(v, h)uma solução de (1.3.3) sobre um subconjunto aberto e

simplesmente conexoU ⊂Rntal quevi(x)6= 0para todox∈U. Então existe uma imersão f :U →R2n com fibrado normal plano, νf ≡0 e métrica induzida plana ds2 ₌P

ivi2dui.

Agora, seja f : Mn_{(c) → Q}n+p

s (ce) uma imersão isométrica com fibrado normal plano com c6=cetal que

θi =_hαf(Xi, Xi), αf(Xi, Xi)_i+ce₋c₆= 0, para 1_≤i_≤n, (1.3.6) para um referencial ortonormal de direções principais {X1, ..., Xn}. Seja aindag =i_ec_c◦f,

em que ic

ec é a inclusão umbílica de Q n+p

s (ce) em Q n+p+1

s+ǫ0 (c) e ǫ0 = 0 ou 1 conforme c < ˜c ou c >˜c, respectivamente. Sabemos que

αg(X, Y) =αf(X, Y) +

q

|ec₋c_{| h}X, Y_ie, (1.3.7) com e normal a ic

e

c ehe, ei=

(_ec−c)

|ec−c|. Assim, NgM é plano e como

hαg(Xi, Xj), αg(Xi, Xj)i=δijθi,

temos que (1.3.6) é equivalente ao fibrado N1g ser não degenerado. Observe paras = 0 e

c < ˜c que N1g é não degenerado se f : Mn(c) → Qn+p(˜c) não possui pontos fracamente

umbílicos.

Assim, g satisfaz as hipóteses da Proposição 1.3.1, logo existe localmente um sistema de coordenadas (u1, ..., un) em Mn(c) cujas curvas coordenadas são as linhas de

curvatura de g. Seja ξ1, ..., ξp um referencial ortonormal paralelo de NfM e defina as

funções Vis, i= 1, ..., n, s= 1, ..., p, por

AξsXi =v−

1

i VisXi,

equivalentemente

α(∂i, ∂j) =

p

X

r=1

ǫrδijviVirξr, (1.3.8) sendov1, ..., vncomo na Proposição (1.3.1). SejamV = (Vir)∈Mp×n(R)eVˆ ∈M(p+1)×n(R) definida por

ˆ

Vir =Vir, para 1≤r≤p, eVˆi(p+1) =

q

|c₋˜c_|vi.

Preliminares 20

Vt_{JV = ˜J, com Jij =ǫiδij e Jij}˜ _{= ˜ǫiδij, ǫi sendo −1 para s de indice 1, ..., p e 1 para os} outros, e o ˜ǫi sendo −1 para t de indices 1, ..., ne 1 para outros.

Assim, temos a seguinte Proposição dada em [12]

Proposição 1.3.4. Nas condições acima, a tripla (v, h, V) associada a f com respeito a um referencial normal ortonormal e paralelo ξ1, ..., ξp satisfaz o seguinte sistema de

equações diferenciais parciais

    

i) ∂i(vj) =hijvi ii) ∂k(Vir) =hkiVkr,

iii) ∂i(hij) +∂j(hji) +Pkhkihkj+ _|ec−c_c|vivj = 0, iv) ∂j(hik) = hijhjk,

(1.3.9)

em que i6=j 6=k 6=i. Além disso, a matriz Vˆ ∈O_st_+ǫ0((p+ 1)×n), em que ǫ0 = 0 ou 1

de acordo com c > ce ou ec < c, respectivamente, e t é o número de índices tal que θi <0. Reciprocamente, suponha ce6=c e que (v, h, V) seja uma solução de (1.3.9) sobre

um subconjunto aberto e simplesmente conexo U ⊂ Rn tal que Vˆ ∈ O_st_+ǫ0((p+ 1)×n) e

vi(x)6= 0 para todo x ∈ U. Então existe uma imersão isométrica f : U →Qn_s+p(ce) com

θi < 0 para o índice t, que tem (v, h, V) como tripla associada e cuja métrica induzida

ds2 ₌P

iv2idu2i tem curvatura seccional constante c.

Demonstração. Definindo hij por ∂j(vi) = hjivi, i 6= j, como vimos na Pro-posição 1.3.1, as equações (iii) e (iv) expressam o fato da métrica ds2 ₌ P

ivi2du2i ter curvatura constante c. A equação (ii) segue da equação Codazzi de f calculadas com respeito aos referenciais ξ1, ..., ξp eX1, ..., Xn. Para a última afirmação, observe que

c(∂i_∧∂j)Xi =₋cvi∂j.

Agora, como αf(∂i, ∂i) = Prǫrhαf(∂i, ∂i), ξriξr =

P

rǫrhAξr∂i, ∂iiξr =

P

rǫrVirviξr, temos

Aαf(∂i,∂i)∂j =

X

r

VirviǫrAξr∂j =

X

r

viǫrVirVjrXj.

Substituindo essas informações na equação de Gauss

cvivj =ecvivj +X

r

ǫrVirVjr,

implicando que ǫ0(˜c−c)Vip+1Vjp+1+PrǫrVirVjr= 0. Agora, pela equação (1.3.7) temos v−_i 2ǫ˜i =hαg(Xi, Xi), αg(Xi, Xi)i

=hαf(Xi, Xi), αf(Xi, Xi)i+ (˜c−c)ǫ0 =Prǫr(vi−1Vir)2+ (˜c−c)ǫ0.

Logo

˜

ǫi =X

r

ǫrV_ir2+ (˜c−c)ǫ0v2i =

X

r