Hélio Magalhães de Oliveira, Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária Recife - PE

Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br

Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco

Cidade Universitária Recife - PE

URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html

Wavelets:

Uma Evolução na Representação de Sinais

• A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas mais poderosas.

• Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A

Transformada de Wavelet

• Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas.

ORIGEM- Escola Francesa

(Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)

... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.

Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada.

As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são continuamente diferenciáveis.

Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P.

Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets

Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta

teoria com o processamento digital de sinais.

Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não

triviais, continuamente diferenciáveis.

Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de

wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).

Gama de aplicações:

geologia sísmica

visão computacional e humana radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos turbulência

distinção celular (normais vs patológicas)

modelos para trato auditivo compressão de imagens

análise de tons musicais neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais médicos

espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica

modelagem geométrica

caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos

Telecomunicações

previsão em mercados financeiros Estatística

solução de eq. dif. ordinárias& parciais

Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:

"La Théorie Analytique de la Chaleur":

Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas ⎯ verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo.

Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no

Definição (ANÁLISE DE FOURIER):

A transformada de Fourier de um sinal f(t),-∞<t<+∞ é

∫

−

= f t e dt w

F( ) : ( ) jwt _{, denotada algumas vezes ℑ[ f (t)], se a integral} imprópria existe.

TEOREMA DE PARSEVAL.

Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia do sinal pode ser calculada em qualquer dos domínios, i.e,

∫

∫

f

t

dt

=

F

f

df

|

)

(

|

)

(

Por que wavelets?

Em que esta ferramenta pode ser mais potente

que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as

wavelets?

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local.

Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração.

(a)

(b)

Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal estacionário,

(b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário.

O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou

menos" semelhante em qualquer trecho analisado...

Evolução na TF clássica:

(STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela (transformada de Fourier de tempo curto).

Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local.

Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local.

seqüência de "fotos" do espectro:

Sinais práticos "bem comportados" com relação à estacionaridade: sinais periódicos.

Não é a toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente restrita a esta classe de sinais.

FOTOS:

• Uma única foto representativa do indivíduo, uma "foto média". Essa foto média representa o espectro de Fourier.

• Um caráter local (no tempo) => trabalhar com mais fotos, => maior complexidade, capacidade de armazenamento/ processamento

A classe de sinais cujo espectro permanece relativamente

independente no tempo é referida como aquela dos sinais estacionários.

É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3×4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa).

Diferentes níveis de "estacionaridade":

¾ seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos;

¾ seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem);

¾ seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu);

¾ seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc.

Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido? A resposta não é fechada.

A Transformada de Gabor

Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem.

A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas freqüencial.

Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT – Short Time

A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário.

Formalmente, dt τ) e (t t)W f( STFT(w +∞ * −jwt ∞ − − =

∫

τ

Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo.

As próximas perguntas:

‰ Por que a STFT não é suficiente?

‰ O que seria mais apropriado, além de um transformada local

A Guisa de uma Análise de Wavelets

Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência : A análise visualizada como um banco de filtros.

resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante).

FOTOS NOVAMENTE:

Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com uma meia dúzia de fotos

(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos). (1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).

Figura. Exemplo de uma ondinha:

ondelette de Morlet (Matlab®).

As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de qualidade constante.

Interpretação: "mapas".

Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global.

1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo

Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto as árvores.

Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as

f f_{0 0 0 0}2f 3f 4f ...

f f 2f 4f 8f ....

0 0 0 0 Banda passante constante (STFT)

Banda passante relativa (Q) constante (WT)

Figura. Análise Espectral com banco de Filtros:

(a) STFT e (b) WT.

Wavelets Contínuas

Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma

alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução.

Fixada a janela para a STFT, as resoluções no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constantes em todo o plano t-f.

CWT:

ƒ Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas ƒ Alta resolução freqüêncial e baixa resolução temporal para freqüências

Freqüência Freqüência

Tempo Tempo

(a) (b)

Figura . Resolução no plano t-f pela análise

A Transformada de Wavelet Contínua CWT

∫

ψ

ψ

)}

(

{

)}

(

{

ψ

t

→

ψ

t

Comprimida da wavelet mãe, se a<1; Dilatada da wavelet mãe, se a>1.

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes têm a mesma energia!

Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − a b t a |ψ | 1

garante a mesma energia para qualquer wavelet!

Define-se CWT(a,b):=

∫

Analogia com Fourier:

¾ Fourier F(w), em cada w:

Projeção de f(t) na direção das ondas

{ }

e

Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento não-local no tempo, mas de -∞ a +∞.

¾ Wavelets:

decomposição de f(t) em sinais

{

ψ

}

Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta

A combinação oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração (inha) gera o termo ondinhas, ondeletas, ondelettes no original, ou de forma já consagrada, wavelets.

Critério para definir wavelets:

• Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no domínio temporal é nulo.

∫

ψ

( dt

t

)

= 0

• Condição de admissibilidade,

Dado o par transformada de Fourier:

ψ

(

t

)

↔

Ψ

(

ω

)

+∞

<

Ψ

=

∫

ζ

ζ

ζ

d

C

|

|

|

)

(

|

0

)

0

(

=

Ψ

∫

ψ

Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros, note os seguintes fatos:

0 ) 0 ( = Ψ _{(pela admissibilidade)} 0 ) (±∞ =

Ψ _{(pois ψ é de energia finita).}

|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β.

Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser essencialmente não nulo.

O escalonamento é o processo de compressão e dilatação do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos.

O termo |a|-1/2 é um fator de normalização da energia do sinal e

0 , 1 ) ( , ⎟ ≠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = a a b t a t b a ψ

Uma wavelet

ψ

(

t

)

Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via 2 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( a dadb a b t a b a CWT C t f

∫ ∫

Sejam f(t)∈ L2(ℜ) e ψ_a,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ). Sob que condições é possível "pegar uma onda"? (catch the wave...)

Escolher uma wavelet protótipo tal que

Exemplos: Um mar de Wavelets

Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como wavelets mãe.

Nome da família de Wavelets

'haar' Haar wavelet.

'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets.

'coif' Coiflets.

'bior' Biorthogonal wavelets.

'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet.

'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet.

'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets.

'deO' de Oliveira wavelets. 'beta' beta wavelets.

'legd' Legendre wavelets. 'cheb' Chebyshev wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'Gegen' Gegenbauer wavelets.

Wavelet de Haar

Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.

contrário caso 1 t 0 0 t 1 0 2 1 2 1 : ) ( ) ( < ≤ ≤ < ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧− = t H ψ .

Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets).

Wavelet Sombrero

Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que

ψ

(

t

)

=

−

ρ

''

(

t

)

3 ) 1 ( 2 ) ( 4 / 1 2 / 2 ) ( 2 π ψ Mhat _{t =} t − e−t .

Wavelet densidade Gaussiana

Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana (gaus1) é dada por:

4 1 2 2

2

1

₍

_t

₎

_gaus

_:

te

π

ψ

=

=

Figura. Wavelet derivada da densidade de probabilidade gaussiana:

Wavelet complexa de Morlet

Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa:

Wavelet de Shannon

A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon.

Espectro da Wavelet real:

∏

∏

Tomando a transformada inversa:

Assumindo t=2x+1, 1 2 ) 2 sen( )) 1 ( 2 sen( 2 ) ( ) ( + − + = x x x x Sha π π π ψ _.

No caso da wavelet complexa, pode-se usar t j CSha _{t Sinc t e} π

ψ

Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon

Constata-se facilmente que esta wavelet tem suporte infinito (i.é., ∃/M tal que |ψ(t)|=0 ∀|t|>M).

Wavelet de Meyer

A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como:

Figura. Wavelet de Meyer:

Wavelets de Daubechies

Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são ortogonais.

As 1as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto.

Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis.

Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):

Figura. Diversas versões de uma db2.

Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets

Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ(t) quanto na wavelet-mãe ψ(t)_.

Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos

Wavelet de "de Oliveira"

Nova família de wavelets ortogonais complexas.

Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a

Q-constante.

Basta escolher Φ(w) (raiz de cosseno elevado).

• não são de suporte compacto.

A característica da função φ(t) no domínio frequencial:

−(1+α)π −(1−α)π (1−α)π (1+α)π

Figura. Característica frequencial da AMR ortogonal "de Oliveira" .

Definição. A função pulso cossenoidal de parâmetros t0, θ0,w0 e B é definida por

(

)

_∏

a sua transformada inversa é:

(

)

(

)

4 2 0 2 4 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 alpha=0.1 alpha=0.2 alpha=0.3 0.435 0.087 − φ t 0.1( , ) φ t 0.2( , ) φ t 1 3 , ⎛⎜ ⎝ ⎞ ⎠ 5 5 − t

Figura. Função escala de "de Oliveira".

Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por

( )

.

)

(

_w

=

_e

_S

_w

Ψ

em que

|

Ψ

(

w

)

|

=

S

( )

w

Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante.

Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = _m m o m b a a a nb t a t a b a t 0 0 0 n m, , 1 ) ( -t 1 ) ( ψ ψ ψ ψ

em que m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, b0

A Transformada Discreta de Wavelets:

As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)

Formas discretas são atraentes do ponto de vista: i) implementação e ii) computacional.

A discretização da WT

1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação),

Retículado 2D no plano escala-translação:

A grade é indexada por dois inteiros m e n:

m => passos na escala discreta

n => passos das translações discretas.

Fixam-se dois valores dos passos, a0 e b0.

Escala discreta (logarítmica): a=a0m m=1,2,3,...

Assim

∫

f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,

Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas para valores positivos de escala (a0>0), porém esta restrição não é

severa.

Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo

CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ)

f(t) |→ CTWS(m,n)

Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT:

• Série

∑

e

F

representação de tempo contínuo, com coeficientes discretos • DFT

∑

)

(

e

k

f

Reticulado

: A escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação.

A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a discretização da escala e translado.

O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por:

n (deslocamento)

Figura. Resolução de transformadas wavelets:

A Transformada Discreta de Wavelets:

Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)

Além da discretização do plano “escala-translação”, a variável independente do sinal pode também ser discretizada.

Neste caso, define-se:

Assim, as DTWS consistem em um mapeamento do tipo

DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ)

f(k) |→ DTWS(m,n).

Enunciado de forma alternativa: sinais discretos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes.

O menor passo inteiro para a escala é a0=2. Usa-se então este fator de

escalonamento, o que é referido como escalonamento diádico. O menor passo inteiro de translação temporal é b0=1.

A Análise de Multirresolução

Introdução à Multirresolução

A Função de Escala

A função de escala (LPF), denotada aqui por

φ

Análise de Multirresolução Ortonormal

Método de construção de wavelets ortogonais, (Mallat e Meyer): a análise de multirresolução.

Este método permite construir a maioria das wavelets ortogonais. Notação:

U

m m A clos

denota a união dos conjuntos Am , incluindo todos

os pontos limites em L2(ℜ).

(∀m ∈Z), cria-se um subespaço fechado Vm ⊂ L2(ℜ) formado por sinais

Uma análise de multirresolução em L2(ℜ) consiste numa seqüência de subespaços fechados Vm⊂L2(ℜ), m∈Z, satisfazendo as relações:

(AMR1) Vm ⊂ Vm-1 (∀m). (AMR2) f(t) ∈ Vm ⊂ L2(ℜ) ⇔ f(2t) ∈ Vm-1. (AMR3) = ∈

U

I

Equação Básica de Dilatação (refinamento)

Considerando como espaço de referência V0 ⊂ V-1, qualquer sinal

nele contido pode ser decomposto em termos das funções de uma base de

V-1.

Em particular, isto deve ser válido para a função de escala

φ

Subespaço Base

V0

{

φ

(

t

− )

n

}

V-1

{

φ

}

∑

−

=

t

n

h

t

)

2

(

2

)

(

φ

φ

∑

h

<

+∞

|

|

Esta é a principal equação da AMR.

Ela tem solução única, de forma que os coeficientes {hn} podem ser

usados para determinar univocamente a função de escala φ(t)_.

Os coeficientes {hn} são chamados de "coeficientes do filtro

A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2.

Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não perpétuas).

Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira ou passa-baixa), a

Filtragem, Wavelets e

Análise de Multirresolução

Filtros suavizador e de detalhes (H e G)

As seqüências

{

h

}

{

g

}

∑

∑

podem ser exploradas como definindo um processo de filtragem.

{hn} Filtro suavizador ou filtro de escala

{gn} Filtro de detalhe ou filtro wavelet.

Condições sobre os coeficientes que resultam em MRA ortogonal:

A relação de escala dupla estabelece que

∑

−

=

t

n

h

t

)

2

(

2

)

(

φ

φ

Aplicando-se Fourier em ambos os membros, com

φ

(

t

)

↔

Φ

(

w

)

∑

∑

=

Φ )

(w

∑

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∈

∑

De modo análogo, partindo-se de:

∑

−

=

t

n

g

t

)

2

(

2

)

(

φ

ψ

Definindo o "espectro" do filtro {gn} pela relação:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Ψ 2 2 2 1 ) (w G w w _.

As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial são portanto (Equações de escala dupla):

Construção de AMR Ortogonal - QMF

A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida impondo as condições de ortogonalidade:

{ }

φ

{

}

{φ(t − )n }n∈Z ⊥

{ }

{ }

Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier, permitindo estabelecer:

Proposição 1. A Função de Transferência H(w) verifica a relação (∀w)

|

H

(

w

)

|

+

|

H

(

w

+

π

)

|

=

2

Proposição 2. A Função de Transferência G(w) verifica a relação (∀w) | G(w) |2 + | G(w+π) |2= 2_.

Proposição 3. As Funções de Transferência H(w) e G(w) verificam a relação

Lema (AMR).

Uma condição (necessária) sobre a função de escala de uma AMR ortogonal, obtida como passo intermediária na demonstração das proposições acima corresponde a:

Tabela. Relações Básicas Wavelets e Funções Escala.

As condições de ortogonalidade sobre os filtros correspondem a:

0

)

0

(

=

H

π

π

Estas condições podem ser convertidas para o domínio do tempo, obtendo as relações sobre os coeficientes {hn}n∈Z e {gn}n∈Z .

Codificação em Sub-Bandas

wavelets discretas => uma série de coeficientes wavelet, também chamada de Série de Decomposição de Wavelet.

É possível implementar uma WT sem implementar explicitamente as wavelets!

As translações são limitadas à duração do sinal, logo existe um limite superior. Resta então analisar o escalonamento. "Quantas escalas serão

A solução para este obstáculo é simplesmente não cobrir o espectro até a origem! Com este valor calcula-se o limite inferior para o escalonamento, único parâmetro restante.

Figura. Compressão no tempo gera uma expansão do espectro da

wavelet.

O modo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal modo que “particione” o espectro do sinal exatamente ao meio.

Mudança de notação (apropriada p/ filtragem digital)

dm[n]:=dm,n e cm[n]:=cm,n; h[l]:=hl.

n Avaliação dos coeficientes de escala cm[n]

∑

=

−

[

n

]

h

[

k

n

].

c

[

k

]

c

2

Apenas os coeficientes do filtro suavizador {h_k} são requeridos.

o Avaliação dos coeficientes de escala dm[n].

Os coeficientes da decomposição wavelet (detalhes), i.e., os coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via:

∑

=

−

[

n

]

g

[

k

n

].

c

[

k

]

d

2

Apenas os coeficientes do filtro de detalhes {gk} são requeridos.

A expressão de filtragem de sub-banda requer uma sub-amostragem por 2 (down-sampling), processo conhecido por Dizimação (ou decimação).

Figura.

Figura. Cálculo dos coeficientes da Transformada Discreta de Wavelet

Os valores de g[n] e h[n] correspondem a LPF e HPF, respectivamente.

¾ Wavelets de suporte infinito (e.g. wavelets de Meyer, Battle-Lemarié ...) possuem infinitos valores não nulos de h[n] e g[n] ⎯ implementada com IIR.

Aplicações de Wavelets

Provocações... (!)

Wavelets em Descontaminação de Sinais

Infelizmente, descontaminação é um problema difícil ⎯ não há fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído.

Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes "incoerentes" com o sinal de informação.

As wavelets tem se mostrado como ferramentas importantes no combate e remoção de ruído.

• sinal original fk

• ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano.

• observações yk = fk +

σ

Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se

)

(

)

(

)

(

y

DWT

f

DWT

n

DWT

=

+

σ

SNR alta:

Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets onde a contribuição do sinal é "importante".

É comum o uso de um limiar abrupto (hard threshold),

Algoritmo Waveshrink

P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações via ~ =yk yk / Km .

P2. Calcule a DWT da observações normalizadas.

P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos.

O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por:

contrário

caso

T

|

x

|

se

T

|

x

|

).

x

(

Sgn

)

x

(

C

>

⎩

⎨

⎧

−

=

0

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão:

¾ Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.

¾ padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o

Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de Transmissão

Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção

(e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo).

Identificação de Faltas

Um Método Baseado nos Sinais de Fase

Solanki e colaboradores apresentaram um método para detectar e classificar faltas em linhas de transmissão de extra-alta tensão, para aplicação em relés de proteção de alta velocidade.

Tempo real => MRA foi considerada.

Escolha da wavelet mãe: Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e

Um Método Baseado nas Componentes Modais

Magnago e Abur propuseram o uso da teoria das ondas viajantes e da transformada de wavelet na localizar faltas em linhas de transmissão.

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs

Os algoritmos utilizados para localizar faltas em LTs podem ser classificados:

1) aqueles baseados nas componentes na freqüência fundamental;

2) aqueles que fazem uso das componentes de alta freqüência dos sinais transitórios relacionados à falta.

¾ Determinação da reatância aparente da linha de transmissão durante a falta.