UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FEB - FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA HEITOR TENCA BOLZAN

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Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para

suspensão de assentos de veículos

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Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para

suspensão de assentos de veículos

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Bauru, programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica na Área de Projeto Mecânico, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Junior

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Bolzan, Heitor Tenca.

Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para suspensão de assentos de veículos / Heitor Tenca Bolzan, 2016

100 f. : il.

Orientador: Bento Rodrigues de Pontes Junior

Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2016

1. Estrutura de rigidez negativa. 2. Vibração em assento de veículo. 3. Não-linearidade geométrica. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de

Engenharia. II. Título.

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Ao grande amigo João Rafael Alves, pela ajuda, por compartilhar seu conhecimento e disponibilizar seu tempo ao longo do curso de mestrado.

Ao Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves e ao Prof. Dr. André Luiz Andreoli pelos comentários e observações valiosos no processo de qualificação da dissertação.

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“Pouco conhecimento faz com que as pessoas se sintam orgulhosas. Muito conhecimento, com que se sintam humildes.”

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trabalho os sistemas foram aplicados para absorver a vibração de um assento veicular buscando melhorar o conforto do condutor. Apresentou-se as equações usadas nas análises teóricas. Gerou-se resultados de análises estáticas, gráficos de força por deslocamento e energia potencial elástica por deslocamento, e de análises dinâmicas, curvas de resposta em frequência, plano de fase e histórico do deslocamento, para entender como os parâmetros influenciam nas respostas dos sistemas. Para as análises dinâmicas aplicou-se uma excitação de base do tipo senoidal e utilizou-se o método de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem para a integração numérica das equações de movimento dos sistemas. Comparou-se as respostas, em regime permanente, dos sistemas com NSS e com DNSS com o sistema massa mola amortecedor, muito conhecido na literatura. Nas frequências naturais de cada sistema, chegou-se a reduzir o valor RMS do deslocamento da massa em com NSS e com DNSS quando comparados com o sistema massa mola amortecedor.

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BOLZAN, H. T. Dynamics of a negative stiffness structure for vehicle seats

suspension. Dissertation (Master’s degree) - Faculdade de Engenharia,

Universidade Estadual Paulista, Bauru, 100 p., 2016.

The research project aimed at the understanding of the dynamics of two single-degree-of-freedom systems: the first is made of a negative stiffness structure, NSS, the second is made of a damped negative stiffness, DNSS. In this work the systems were applied to absorb the vehicle seat vibration seeking to improve the driver's comfort. It was presented the equations used in the theoretical analysis. Results of static analysis, force by displacement and elastic potential energy by displacement, and of dynamics analysis, frequency response curves, phase portrait and displacement history, were generated to understand how the parameters influence the systems responses. For the dynamics analysis, a sinusoidal base excitation was applied and the fourth and fifth order Runge-Kutta method was used for the system motion equations numerical integration. The responses were compared, in stationary state, of the NSS and DNSS systems with the mass damping spring system, well known in the literature. In the natural frequencies of each system, it was possible to reduce the RMS value of the mass displacement by with NSS and with DNSS when compared to the mass damping spring system.

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Figura 2.6 - Esquema do sistema com rigidez quase zero (CARRELLA; BRENNAN; WATERS,

2007) ... 24

Figura 2.7 - Esquema do sistema com alta rigidez estática e baixa rigidez dinâmica (CARRELLA et al., 2007) ... 24

Figura 2.8 - Assentos veiculares com rigidez negativa; (a) e (b) modelo com deformação elástica; (c) modelo com mola pneumática. (LEE; GOVERDOVSKIY; TEMNIKOV, 2007) ... 25

Figura 2.9 - Modelo da suspensão de assento veicular com estrutura de rigidez negativa; (a) representação esquemática do sistema de isolador ilustrado em (b). (LE; AHN, 2011) ... 26

Figura 3.1 - Modelo de um assento veicular: banco, corpo humano, suspensão e piso da cabine ... 27

Figura 3.2 - Modelo do sistema com rigidez positiva (PSS) ... 29

Figura 3.3 - Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) ... 31

Figura 3.4 - Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial ... 33

Figura 3.5 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial ... 34

Figura 3.6 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) com deslocamento em ... 34

Figura 3.7 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS), forças de vínculo provocadas pela mola horizontal ... 35

Figura 3.8 - Modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS) ... 42

Figura 3.9 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS) com deslocamento em ... 43

Figura 3.10 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS), forças de vínculo provocadas pelo amortecedor horizontal ... 44

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Tabela 1.1 - Frequências naturais de partes do corpo submetidas a vibrações no sentido vertical

(KROEMER, K.H.E; KROEMER, H.N, KROEMER-ELBERT, K.E, p766, 1994) ... 18

Tabela 5.1 - Conversão da velocidade da máquina em frequência de excitação ... 55

Tabela 5.2 - Parâmetros constantes dos sistemas ... 55

Tabela 5.3 - Parâmetros da Figura 5.1 e da Figura 5.6 ... 56

Tabela 5.6 - Parâmetros da Figura 5.4 ... 60

Tabela 5.8 - Parâmetros das Figuras 5.10 e 5.11 ... 67

Tabela 5.9 - Parâmetros das Figuras 5.16 e 5.17 ... 74

Tabela 5.12 - Parâmetros da Figura 5.24 e 5.25 ... 85

Tabela 5.13 - Valores dos parâmetros constantes das Figuras 5.30, 5.31, 5.32 e 5.33 ... 92

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Vetor força, partícula 1 sobre partícula 2

Vetor força, partícula 2 sobre partícula 1

Massa em suspensão

Rigidez linear da mola vertical

Coeficiente de amortecimento linear do amortecedor vertical Deslocamento vertical da massa em relação a sua origem

Deslocamento vertical da base em relação a sua origem

Tempo Velocidade da massa Aceleração da massa Velocidade da base Aceleração da base Transmissibilidade de deslocamento

Amplitude do deslocamento da massa em regime permanente

Amplitude do deslocamento da base

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Distância inicial da massa às molas horizontais

Ângulo da barra com a horizontal

Deslocamento do bloco guia com relação à sua posição inicial

Deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais

Deformação da mola vertical ao suportar o peso da massa

Força peso

Aceleração da gravidade

Força estática que mola vertical exerce sobre massa Força que mola vertical exerce sobre a massa

Força que o amortecedor vertical exerce sobre a massa Força equivalente que a mola horizontal exerce sobre a massa Componente horizontal da força da mola horizontal

Componente na direção da barra da força da mola horizontal Força das molas vertical e horizontais

Energia potencial elástica da mola horizontal Energia potencial elástica da mola vertical

Constante de integração

Energia potencial elástica das molas horizontais e vertical

Constante de integração

Coeficiente de amortecimento linear dos amortecedores horizontais

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1.1 MOTIVAÇÃOEJUSTIFICATIVA... 17

1.2 OBJETIVO ... 19

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 20

2.1 ABSORÇÃODEVIBRAÇÃOEMBAIXAFREQUÊNCIA ... 20

2.2 RIGIDEZNEGATIVAEASSENTOSVEICULARES ... 21

3 MODELAGEM DOS SISTEMAS ESTUDADOS ... 27

3.1 MODELODOSISTEMACOMRIGIDEZPOSITIVA ... 28

3.2 TRANSMISSIBILIDADEDEDESLOCAMENTO ... 30

3.3 MODELODOSISTEMACOMRIGIDEZNEGATIVA ... 31

3.3.1 FORÇA DAS MOLAS ... 37

3.3.2 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO ... 39

3.4 MODELODOSISTEMACOMRIGIDEZNEGATIVAAMORTECIDA ... 42

3.4.1 VELOCIDADE DO BLOCO GUIA VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO ... 46

3.4.2 FORÇA DOS AMORTECEDORES VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO ... 46

4 METODOLOGIA ... 48

4.1 EQUAÇÕESEMESPAÇODEESTADO ... 49

4.1.1 ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM PSS ... 50

4.1.2 ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM NSS ... 50

4.1.3 ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM DNSS ... 52

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 53

5.1 FONTEDEEXCITAÇÃODOSSISTEMAS ... 53

5.2 PARÂMETROSDOSSISTEMAS... 55

5.3 RESPOSTADOMODELODOSISTEMACOMNSS ... 55

5.3.1 FORÇA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL ... 55

5.3.2 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL ... 61

5.3.3 ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DAS MOLAS HORIZONTAIS ... 66

5.3.4 ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DISTÂNCIA INICIAL DA MASSA ÀS MOLAS HORIZONTAIS ... 74

5.4 ANÁLISEDECOMPORTAMENTODOMODELOCOMDNSS ... 82

5.4.1 ANÁLISE DA VELOCIDADE DO BLOCO GUIA ... 82

5.4.2 FORÇA DOS AMORTECEDORES HORIZONTAIS E VERTICAL ... 83

5.4.3 ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO DOS AMORTECEDORES HORIZONTAIS ... 84

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1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho posiciona-se dentro da área da dinâmica, mais especificamente no estudo de vibrações, com relevância em aspectos ergonômicos e isoladores de vibrações.

Meirovitch (pg. XVI, 2001, tradução nossa) define

Dinâmica é o ramo da física que estuda o movimento dos corpos sob ação de forças. Vibração, ou oscilação, pode ser vista como uma divisão da dinâmica em que um sistema é submetido às de restauração que oscila sobre uma posição de equilíbrio, onde o sistema é definido como uma montagem de partes agindo juntas como um todo. As forças de restauração surgem devido à elasticidade ou à gravidade.

De acordo com Griffin (1990), o estudo da resposta do corpo humano à vibração refere-se às relações estabelecidas entre os vários efeitos (afetar de forma prejudicial o conforto, as atividades e a saúde) e suas causas.

Segundo Rao (2008), há numerosas fontes de vibração em um ambiente industrial: processos de impacto como cravação de estacas e limpezas por jateamento; maquinaria rotativa e alternativa como motores, compressores e máquinas motrizes; veículos de transporte como caminhões, trens e aeronaves; o fluxo de fluidos e muitas outras. A presença de vibração muitas vezes resulta em desgaste excessivo de mancais, formação de trincas, afrouxamento de parafusos, falhas estruturais e mecânicas, manutenção frequente e dispendiosa de máquinas, mau funcionamento de equipamentos eletrônicos devido a fraturas de juntas soldadas e abrasão do isolamento ao redor de condutores elétricos causando curtos-circuitos. A exposição ocupacional de seres humanos à vibração resulta em dor, desconforto e eficiência reduzida. Às vezes, a vibração pode ser eliminada com base na análise teórica aplicada ao projeto e à construção do sistema.

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forma que a resposta à excitação fique aceitável. Este método trabalha com o sistema mecânico de vibração.

3. Controle: absorver ou dissipar as vibrações usando dispositivos externos, através de sensores e controles implícitos ou explícitos. Este método trabalha primeiramente com a resposta do sistema.

Rao (2008, p.320) define isolamento da vibração

Isolamento da vibração é um procedimento pelo qual os efeitos indesejáveis da vibração são reduzidos. Basicamente, envolve a inserção de um membro resiliente (ou isolador) entre a massa vibratória (ou equipamento, ou carga útil) e a fonte de vibração, de modo a obter a redução da resposta dinâmica do sistema sob condições de vibração especificadas.

Trabalhou-se no sistema mecânico a fim de reduzir a transmissão das forças externas ao homem, especificamente em assentos de cabines em veículos utilitários como: caminhões, tratores, máquinas agrícolas e máquinas de construção.

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(ocorre quando a contribuição ergonômica se faz durante o projeto do produto, da máquina, ambiente ou sistema).

1.1 MOTIVAÇÃO E JUSTIFICATIVA

O homem fazendo parte do sistema vibratório fica sujeito aos efeitos nocivos que a transmissão da vibração do sistema ao homem pode causar.

Griffin (1990) explica que a transmissão das vibrações para o corpo humano pode causar diversos prejuízos, tais como: dor, desconforto, perda de eficiência e concentração no trabalho, tontura, náusea, turvamento da visão, perturbação da fala, fadiga, perturbações neurológicas ou musculares, lesões ósteo-articulares, patologias na região lombar e até mesmo lesões da coluna vertebral. Ainda em Griffin (1990), o risco de exposição à vibração depende da amplitude, frequência, direção, tempo de exposição e comportamento da vibração ao longo do tempo (contínua, intermitente ou transitória).

Iida (2005) afirma que o organismo humano, sendo uma estrutura complexa, composta de diversos ossos, articulações, músculos e órgãos, não reagem uniformemente ao efeito das vibrações. Cada parte dor organismo pode tanto amortecer como amplificar as vibrações.

Rao (2008) afirma que quando a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a frequência de excitação externa ocorre o fenômeno da ressonância, o qual resulta em grandes amplitudes de vibração.

Kroemer (1994) mostra as faixas de frequências naturais de algumas partes do corpo, descritos na Tabela 1.1, quando submetidas à vibração vertical e seus efeitos.

O avanço do estudo da ergonomia e dos comportamentos dinâmicos dentro da engenharia junto ao aumento da demanda de máquinas agrícolas e de construção formou um mercado mais exigente por conforto e segurança dos equipamentos de trabalho. Dentro deste ambiente surgiram os assentos dotados de suspensão para proteger o operador dos efeitos nocivos da vibração que a cabine transmite ao homem proporcionando menos desgaste físico e mental.

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Tabela 1.1 - Frequências naturais de partes do corpo submetidas a vibrações no sentido vertical (KROEMER, K.H.E; KROEMER, H.N, KROEMER-ELBERT, K.E, p766, 1994)

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frequência, seu corpo sofre sérios riscos à saúde metal e física reduzindo sua capacidade e eficiência no trabalho. Por esses motivos, os estudos das suspensões de assento nas cabines das máquinas utilitárias ganham importância dentro da engenharia, da ergonomia e da segurança no trabalho.

1.2 OBJETIVO

Seguem os principais objetivos dessa dissertação de mestrado:

1) Compreender o comportamento do sistema com rigidez negativa e do sistema com rigidez negativa amortecida.

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diretamente na resposta da suspensão), o foco da revisão bibliográfica e do presente trabalho é em suspensões passivas.

2.1 ABSORÇÃO DE VIBRAÇÃO EM BAIXA FREQUÊNCIA

Virgin, Santillan e Plaut (2008) estudaram o modelo ilustrado na Figura 2.1, consiste em uma tira fina e elástica unida nas pontas desposta de maneira que forme um laço. A base em que as pontas da tira estão unidas recebe a vibração de entrada, o lado oposto à base, onde forma o laço, sustenta a carga estática e atua como um isolador da vibração composto por uma mola não linear. Quanto maior o tamanho do laço menor é a rigidez equivalente do sistema, com isso consegue-se uma frequência natural baixa e bons resultados como isolador da vibração para baixas frequências.

(a) (b) (c)

(24)

Plaut et al. (2008) estudaram um isolador de vibração de base que consiste em pares de colunas pré-curvadas fixas com um preenchimento viscoelástico, as colunas suportam uma barra rígida horizontal. O modelo, ilustrado na Figura 2.2, obteve respostas com baixa transmissibilidade em uma grande faixa de frequências da fonte de excitação para os parâmetros estudados, inclusive em baixas frequências.

Figura 2.2 - Modelo da barra rígida com o isolador de colunas (PLAUT et al., 2008)

2.2 RIGIDEZ NEGATIVA E ASSENTOS VEICULARES

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Figura 2.3 - Modelo massa mola amortecedor pneumáticos para assentos veiculares (HOSTENS; DEPREZ; RAMON, 2004)

Du Plooy, Heyns e Brennan (2005) estudaram um isolador de vibrações adaptável. O modelo, conforme pode ser observado na Figura 2.4, consiste em isolar a massa da base vibratória por duas molas pneumáticas interligadas, com uma das membranas, de cada mola, em contato com um líquido inerte que por sua vez influencia o comportamento dinâmico das molas pneumáticas, e por uma mola de rigidez linear, que suporta a carga estática, em série com o conjunto de molas pneumáticas. O resultado é a diminuição da rigidez dinâmica comparada a rigidez estática do sistema, além de possibilitar o controle da rigidez dinâmica alterando a pressão das molas pneumáticas. O modelo foi testado matematicamente e fisicamente conseguindo respostas com baixa transmissibilidade de deslocamento.

(a) (b)

(26)

Platus (1991) apresentou alguns sistemas que usam mecanismos de rigidez negativa para anular a rigidez da mola da suspensão (rigidez positiva) com a intenção de melhorar o desempenho da um isolador de vibrações. Um dos sistemas estudados está ilustrado na Figura 2.5, que consiste em um mola vertical para sustentar a carga estática de rigidez e um mecanismo de rigidez negativa para anular ou diminuir a rigidez equivalente do sistema, de rigidez equivalente . Este conceito apresentou uma capacidade de isolar a vibração em frequências abaixo de e de apresentar a primeira frequência natural acima de .

(a) (b) (c)

Figura 2.5 - Modelo do isolador de vibrações com rigidez negativa; (a) sistema sem carga; (b) sistema com carga, ; (c) sistema com carga, , e força compressiva, . (PLATUS, 1991)

Carrella, Brennan e Waters (2007, p. 678, tradução nossa) constatam que

A faixa de frequência em que o isolador de vibrações passivo e linear é efetivo, é frequentemente limitado pelo valor da rigidez necessária para suportar a carga estática. Isto pode ser melhorado usando uma montagem não linear incorporando elementos de rigidez negativa configurado de modo a fornecer ao sistema uma rigidez dinâmica menor que rigidez estática.

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Figura 2.6 - Esquema do sistema com rigidez quase zero (CARRELLA; BRENNAN; WATERS, 2007)

Carrella et al. (2008) estudaram matematicamente e experimentalmente um modelo composto por duas molas lineares em série separadas por uma massa, em cada extremidade das molas (lados externos) há um imã permanente. A massa central é atraída, magneticamente, pelos imãs conforme ilustrado na Figura 2.7. Esta disposição fornece ao sistema alta rigidez estática e baixa rigidez dinâmica ao mesmo tempo. Como resultado, a frequência natural do sistema caiu pela metade ao acrescentar os imãs com um comportamento próximo da linearidade.

(28)

Lee, Goverdovskiy e Temnikov (2007) apresentaram modelos compactos de suspensão veicular com mecanismos de rigidez negativa, ilustrados na Figura 2.8, em que 1 é a base da suspensão, 1(+) é a mola e 2 é o braço de ligação do guia do mecanismo. Os modelos das Figuras 2.8(a) e 2.8(b) seguem o conceito da deformação elástica da viga de metal, e o modelo da Figura 2.8(c) segue o conceito de uma mola pneumática atrelada a um mecanismo de barras. Os modelos apresentaram bons resultados dinâmicos em baixa frequência, entre e .

(a) (b) (c)

Figura 2.8 - Assentos veiculares com rigidez negativa; (a) e (b) modelo com deformação elástica; (c) modelo com mola pneumática. (LEE; GOVERDOVSKIY; TEMNIKOV, 2007)

Le e Ahn (2011) estudaram um modelo não linear, um isolador de vibrações passivo usando estrutura de rigidez negativa e aplicado a assentos veiculares. O modelo, Figura 2.9, é composto por uma mola vertical, que sustenta a carga estática, um amortecedor vertical, em paralelo com a mola, e duas molas horizontais ligadas a massa por barras articuladas, fazendo a função de estrutura de rigidez negativa. O modelo foi testado matematicamente e fisicamente. O resultado foi um ótimo desempenho do isolador nas frequências de a chegando a reduzir em o deslocamento em RMS da massa em regime permanente quando comparado com um sistema sem a estrutura de rigidez negativa.

(29)

(a) (b)

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3 MODELAGEM DOS SISTEMAS ESTUDADOS

O modelo do assento de um veículo é composto pela estrutura onde sentamos (banco), um sistema de isolamento de vibração (suspensão) e o corpo humano (pessoa sentada no banco), como mostra a Figura 3.1. O foco do trabalho foi estudar o comportamento da suspensão do assento, sendo assim o modelo apresentado nesse trabalho desconsiderou as interações do assento com o corpo humano como a elasticidade do estofamento do banco, a rigidez e o amortecimento das partes do corpo humano. Considerou-se a soma da massa do banco com a do corpo humano como sendo a massa em suspensão.

Figura 3.1 - Modelo de um assento veicular: banco, corpo humano, suspensão e piso da cabine

Utilizou-se a mecânica Newtoniana para as deduções das equações de movimento dos sistemas em estudo. Meirovitch (1970) descreveu as três leis do movimento de Newton que compõem a mecânica Newtoniana:

 Primeira Lei: se não há força agindo em uma partícula, a partícula

(31)

Sendo o momento linear ( ) igual ao produto da massa ( ) com a velocidade da partícula, , é possível descrever a segunda lei de Newton da seguinte forma:

(3.2)

 Terceira Lei: quando duas partículas exercem forças uma sobre a

outra, os vetores força possuem mesma direção, mesma intensidade e direção oposta.

Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Se é o vetor força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 e o vetor força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1, é possível descrever a terceira lei de Newton da seguinte forma:

(3.3)

3.1 MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ POSITIVA

(32)

inglês: positive stiffness structure). Esse sistema, por ser muito conhecido e estudado na área de vibrações, serviu de base comparativa e referência para os estudos dos outros modelos apresentados neste trabalho. A Figura 3.2 representa esquematicamente o sistema PSS:

Figura 3.2 - Modelo do sistema com rigidez positiva (PSS)

Em que:

 é a massa em suspensão ;  é a rigidez linear da mola ;

 é o coeficiente de amortecimento linear do amortecedor viscoso ;

 é o deslocamento vertical da massa em relação a sua origem em função do tempo ;

 é o deslocamento vertical da base em relação a sua origem em função do tempo ;

(33)

 é a aceleração da massa em função do tempo ;  é a velocidade da base em função do tempo ;  é a aceleração da base em função do tempo .

Reescreve-se a equação 3.4 da seguinte forma:

(3.5)

3.2 TRANSMISSIBILIDADE DE DESLOCAMENTO

Rao (2008) definiu a transmissibilidade de deslocamento como sendo a razão entre a amplitude da resposta , e a amplitude do movimento da base :

(3.6)

Em que:

 é a transmissibilidade de deslocamento (adimensional);

 é a amplitude do deslocamento da massa em regime permanente ;

 é a amplitude do movimento da base Da equação 3.6 conclui-se que:

(34)

 Para tem-se o isolamento do movimento;

 Para tem-se a amplificação ou isolamento nulos do movimento.

3.3 MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ NEGATIVA

Um dos modelos estudado foi o sistema de isolamento com duas estruturas de rigidez negativa dispostas simetricamente na horizontal, um amortecedor e uma mola verticais e paralelos, como mostra a Figura 3.3. Ao longo da dissertação o sistema com rigidez negativa foi identificado como NSS (em inglês: negative stiffness

structure).

Figura 3.3 - Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS)

A Figura 3.3 representa o modelo físico do sistema utilizado na modelagem matemática, além das variáveis descritas anteriormente tem-se:

 a rigidez linear de cada mola horizontal ;

 o comprimento da barra que liga o bloco guia à massa em suspensão ;

(35)

Cada estrutura de rigidez negativa possui uma mola linear disposta na horizontal com um dos lados ligado à estrutura do assento e o outro lado ligado a um bloco, de dimensão desprezível chamado bloco guia, que desliza horizontalmente sem atrito. O bloco guia, por sua vez, está ligado a um dos terminais da barra por uma articulação. O outro terminal da barra está ligado na parte suspensa do assento por outra articulação. A articulação é livre para girar com um grau de liberdade sem atrito. A massa se movimenta apenas no sentido vertical. Essa disposição faz com que as molas horizontais trabalhem em paralelo com o conjunto mola-amortecedor vertical.

Na Figura 3.3 tem-se a posição de equilíbrio da massa esquematizada em linhas contínuas, e em linhas tracejadas a posição da massa deslocada na vertical. Na posição de equilíbrio as molas horizontais estão relaxadas, todo o peso da massa é suportado pela mola vertical. Quando a base é excitada pela vibração de entrada, a vibração é transmitida da base para o banco através da mola vertical e do amortecedor. O nível de vibração da massa vai depender da rigidez dinâmica do sistema de isolamento.

Como visto anteriormente utilizou-se a mecânica Newtoniana para determinar a equação que rege o movimento da massa.

(36)

Figura 3.4 - Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial

Em que:

 é a deformação estática da mola vertical ao suportar a força peso gerada pela massa .

A força peso é dada por:

(3.7)

Em que:

 é a aceleração da gravidade .

(37)

inicial

A força exercida pela mola vertical, , é dada por:

(3.8)

Aplicando a primeira lei de Newton tem-se que a somatória das forças em é igual a zero:

(3.9)

= (3.10)

Utilizou-se a segunda lei de Newton para a análise dinâmica do modelo do sistema com NSS. Na Figura 3.6 tem-se o diagrama de corpo livre da massa com deslocamento em .

(38)

Tem-se a força que a mola vertical exerce sobre a massa:

(3.11)

Tem-se a força que o amortecedor exerce sobre a massa:

(3.12)

Tem-se a força que a mola horizontal exerce sobre a massa no sentido vertical. A Figura 3.7 mostra as forças de vínculo para a dedução de .

Figura 3.7 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS), forças de vínculo provocadas pela mola horizontal

Tem-se a força que a mola horizontal exerce sobre o bloco guia:

(3.13)

Tem-se a componente da na direção da barra:

(3.14)

(39)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

Substituindo as equações 3.13, 3.17, 3.18 e 3.19 na equação 3.16, tem-se:

(3.20)

Aplicando a segunda lei de Newton no diagrama de corpo livre da Figura 3.6 tem-se a equação que rege o movimento da massa:

(3.21)

Substituindo as deduções das forças na equação 3.21 e fazendo as operações matemáticas necessárias tem-se:

(3.22)

Percebe-se que a força peso, , é anulada pelo primeiro termo da equação 3.11 que define a força que a mola vertical exerce sobre a massa, .

(40)

(3.23)

3.3.1 FORÇA DAS MOLAS

Para melhor entendimento e para uma análise mais abrangente do modelo com sistema NSS estudou-se a força que as molas horizontais e vertical exercem sobre a massa, , em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais, , de forma parametrizada.

O deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais é definido como:

(3.24)

Por se tratar de um estudo estático e atemporal, considerou-se a seguinte condição:

(3.25)

Inicialmente fez-se o estudo da força que a mola horizontal exerce sobre a massa de forma isolada. Substituindo a equação 3.24 e 3.25 na equação 3.20, tem-se:

(3.26)

Descreve-se as variáveis parametrizadas que definem o modelo do sistema com NSS:

(41)

Substituindo as variáveis parametrizadas na equação 3.26 e multiplicando por dois, por serem duas molas horizontais, obtém-se a equação da força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais parametrizado:

(3.33)

Completa-se a análise proposta estudando a força que as molas horizontais e a mola vertical exercem juntas sobre a massa em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais ( ) de forma parametrizada:

(3.34)

Além das variáveis parametrizadas definidas anteriormente, tem-se:

(3.35)

(3.36)

Por se tratar de um estudo estático e atemporal, considerou-se a seguinte condição além da descrita na equação 3.25:

(42)

Substitui-se as equações 3.24, 3.25 e 3.37 na equação 3.11 para obter a equação que a força da mola vertical exerce sobre a massa em função de :

(3.38)

Substitui-se as equações 3.26 e 3.38 na equação 3.34 para obter a equação da força que as molas horizontais e vertical exercem sobre a massa em função de :

(3.39)

Substitui-se as variáveis parametrizadas na equação 3.39 para obter a equação da força parametrizada que as molas horizontais juntas com a mola vertical exercem sobre a massa em função do deslocamento vertical parametrizado da massa em relação às molas horizontais:

(3.40)

3.3.2 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS VERSUS

DESLOCAMENTO RELATIVO

Com a intensão de fazer uma análise de estabilidade do modelo com sistema NSS, estudou-se a energia potencial elástica das molas horizontais, , e da mola vertical, , em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais, de forma parametrizada, que se deu através da integral da força que as molas exercem sobre a massa em , para as condições descritas nas equações 3.25 e 3.37.

Integra-se a força que a mola horizontal exerce sobre a massa, equação 3.26.

(3.41)

(43)

A condição de contorno se deu devido ao fato de as molas horizontais estarem relaxadas quando no início do movimento .

Aplica-se a condição de contorno na equação 3.42:

(3.43)

Parametriza-se a energia potencial elástica das molas horizontais:

(3.44)

Substituindo as varáveis parametrizadas na equação 3.42 e 3.43, tem-se:

(3.45)

Completou-se a análise proposta estudando a energia potencial elástica das molas horizontais e da mola vertical juntas, designada de pela variável , em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais ( ) de forma parametrizada.

(44)

(3.46)

Resultado da integração da equação 3.46:

(3.47)

Para o cálculo da constante de integração , a equação 3.47 deve respeitar a seguinte condição de contorno:

 quando .

Aplica-se a condição de contorno na equação 3.47:

(3.48)

Além das variáveis parametrizadas definidas anteriormente, tem-se:

(3.49)

(45)

Figura 3.8 - Modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS)

A Figura 3.8 representa o modelo físico do sistema utilizado na modelagem matemática, além das variáveis descritas anteriormente tem-se:

 o coeficiente de amortecimento dos amortecedores horizontais .

(46)

está ligado na parte suspensa do assento por outra articulação, a articulação é livre para girar com um grau de liberdade e sem atrito. A massa se movimenta apenas no sentido vertical. Esta configuração faz com que os conjuntos amortecedor horizontais fiquem conectados em paralelo com o conjunto mola-amortecedor vertical.

Na Figura 3.8 tem-se a posição de equilíbrio da massa esquematizada em linhas contínuas, e em linhas tracejadas a posição da massa deslocada na vertical. Na posição de equilíbrio as molas horizontais estão relaxadas, na condição estática todo o peso da massa é suportado pela mola vertical. Quando a base é excitada pela vibração de entrada, a vibração é transmitida da base para o banco através da mola vertical e do amortecedor vertical. O nível de vibração da massa vai depender da rigidez dinâmica do sistema de isolamento.

Como visto anteriormente utilizou-se a mecânica Newtoniana para determinar a equação que rege o movimento da massa. Como a diferença entre o modelo do sistema com NSS e o modelo do sistema com DNSS é apenas a entrada dos amortecedores horizontais, as equações 3.10, 3.11, 3.12 e 3.20 que definem respectivamente , , e também fazem parte do desenvolvimento da equação que rege o movimento da massa no sistema com DNSS.

Utilizou-se a segunda lei de Newton para a análise dinâmica do modelo do sistema com DNSS. Na Figura 3.9 tem-se o diagrama de corpo livre da massa com deslocamento em .

(47)

Figura 3.10 - Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS), forças de vínculo provocadas pelo amortecedor horizontal

Tem-se a força que o amortecedor horizontal exerce sobre o bloco guia:

(3.51)

Em que:

 é a velocidade do bloco guia em função do tempo . Tem-se a componente da na direção da barra:

(3.52)

A força que o amortecedor horizontal exerce sobre a massa, , é dada por:

(3.53)

(48)

(3.54)

A velocidade do bloco guia é dada através da derivada do deslocamento do bloco guia no tempo:

(3.55)

Substituindo as equações 3.18, 3.19, 3.51 e 3.55 na equação 3.54, tem-se:

(3.56)

Aplicou-se a segunda lei de Newton no diagrama de corpo livre da Figura 3.9 para obter a equação que rege o movimento da massa:

(3.57)

Substituindo as deduções das forças na equação 3.57 e fazendo as operações matemáticas necessárias, tem-se:

(3.58)

Reescreve-se a equação 3.58 da seguinte forma:

(49)

rigidez negativa parametrizada .

Define-se a velocidade do bloco guia parametrizada:

(3.60)

Para este estudo considerou-se a estrutura do banco estática:  e .

Aplica-se as variáveis parametrizadas e a equação 3.24 na equação que define a velocidade do bloco guia, 3.55:

(3.61)

3.4.2 FORÇA DOS AMORTECEDORES VERSUS DESLOCAMENTO

RELATIVO

Outra forma de entender a influência do elemento de dissipação de energia junto à estrutura de rigidez negativa na resposta dinâmica do modelo com sistema DNSS é analisar a força parametrizada que os amortecedores horizontais e vertical exercem sobre a massa em função do deslocamento vertical relativo parametrizado .

(50)

(3.62)

Para este estudo considerou-se a estrutura do banco estática:  e .

Substitui-se as equações 3.12, 3.24 e 3.56 na equação 3.62:

(3.63)

Define-se as variáveis parametrizadas:

(3.64)

(3.65)

Substitui-se as variáveis parametrizadas na equação 3.63:

(51)

São gráficos muito conhecidos e utilizados nos trabalhos que envolvem sistemas dinâmicos:

 Histórico do deslocamento:

É a curva dada pelo deslocamento em função do tempo. No histórico do deslocamento tem-se o regime transiente (início do movimento, com deslocamentos não periódicos) e o regime permanente (momento em que o deslocamento alcança um comportamento periódico e previsível). Nesse trabalho estuda-se apenas o regime permanente, uma vez que o foco é o controle da vibração.

 Plano de fase:

É a curva dada pela velocidade em função do deslocamento. Nesse trabalho o plano de fase é construído apenas para o regime permanente, como comentado anteriormente.

 Seção de Poincaré:

(52)

plotados no plano de fase, comprovando a existência de várias frequências diferentes no movimento do sistema.

 Resposta em frequência:

É a curva dada pela amplitude de deslocamento da massa em regime estacionário em função da frequência de excitação. Neste trabalho a curva de resposta em frequência foi gerada pela transmissibilidade de deslocamento, , em função da frequência de excitação.

 RMS do deslocamento:

A raiz do valor quadrático médio, RMS (em inglês: root mean square), é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores. Neste trabalho usa-se uma quantidade de números discretos, pontos gerados no tempo pela integração numérica da equação de movimento, para o cálculo do RMS do deslocamento.

A integração numérica das equações diferenciais que regem o movimento dos sistemas foi feita através do software Matlab®, usando o integrador ode45 que emprega o método de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem com passo variável (Dormand-Prince). É um método muito usado nos trabalhos que envolvem comportamentos dinâmicos, traz bons resultados na maioria dos casos incluindo este trabalho.

O tempo de integração utilizado foi de 100 segundos, em todos os casos foi suficiente para que o sistema entrasse em regime permanente. O passo de integração para a construção do gráfico (ode45 usa passo de integração variável) foi de 0,001 segundos.

4.1 EQUAÇÕES EM ESPAÇO DE ESTADO

(53)

(4.1)

(4.2)

Substitui-se as equações 3.5 e 4.1 na 4.2:

(4.3)

A equação 4.3 permite a integração numérica para obter a resposta do sistema (deslocamento, velocidade).

4.1.2 ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM NSS

Para transformar a equação diferencial de segunda ordem que rege o movimento da massa do modelo do sistema com NSS (equação 3.23) em equação diferencial de primeira ordem, utiliza-se as correlações descritas anteriormente, equações 4.1 e 4.2.

(54)

(4.4)

Para as barras não inverterem o sentido do movimento e não chegarem à posição vertical, o que seria prejudicial à resposta do modelo uma vez que anulariam as forças verticais, limita-se o movimento da massa de acordo com a seguinte inequação:

(4.5)

A escolha do valor da equação 4.5 foi feita de forma a conseguir os melhores resultados na simulação numérica.

Para o modelo matemático responder à inequação 4.5, simula-se que a massa atinge uma mola de rigidez , muito mais elevada que a rigidez da mola vertical quando o deslocamento da massa atinge valores fora da inequação 4.5.

Para valores de dentro da inequação 4.5 integra-se numericamente a equação 4.4, para os demais valores de integra-se a seguinte equação:

(4.6)

Para as simulações, respeita a seguinte equação.

(4.7)

(55)

(4.8)

Da mesma forma que o modelo do sistema com NSS, o modelo do sistema com DNSS também respeita a inequação 4.5, portanto, para valores de dentro da inequação 4.5 integra-se numericamente a equação 4.8, para os demais valores de integra-se a seguinte equação:

(56)

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES

O modelo com rigidez positiva (PSS) é um modelo muito conhecido e estudado na área das vibrações, as respostas deste modelo foram usadas como base comparativa para a análise dos resultados dos modelos dos sistemas com NSS e com DNSS.

Os parâmetros dos sistemas apresentados a seguir foram todos escolhidos de tal forma que possibilite construção de um modelo real.

Para todos os casos simulados apresentados neste trabalho, as condições iniciais de movimento foram consideradas nulas ( e ) com as molas horizontais relaxadas, no comprimento .

5.1 FONTE DE EXCITAÇÃO DOS SISTEMAS

A fonte de excitação do sistema obedece a seguinte equação:

(5.1)

A equação 5.1 refere-se a uma fonte de vibração harmônica senoidal em que:  é o deslocamento vertical da base dos sistemas em função do

tempo (ilustrado nos modelos) ;

 é a amplitude da fonte de excitação ;  é a frequência da vibração harmônica ;  é o tempo .

A excitação da base foi baseada em uma entrada do tipo linha contra a linha de plantio, comumente encontrada em aplicações agrícolas, constituída basicamente por lombadas com altura em torno de , e espaçadas em média de , dados retirados de Pontelli (2007). Como forma de estudar as respostas dos sistemas em outra amplitude, além de simular um linha de plantio com de altura de lombada, simula-se também para uma linha de plantio de de altura.

(57)

Conforme visto anteriormente, reescreve-se a equação 5.3 substituindo por :

(5.4)

Para este trabalho supõe-se que a cabine onde o assento está instalado fica em cima do eixo da máquina e descarta-se qualquer tipo de absorção da vibração que possa existir antes do assento (suspensão e efeito mola dos pneus da máquina). Considera-se também que a máquina tenha uma velocidade de trabalho dentro de faixa de e . A Tabela 5.1 mostra a relação da velocidade da máquina com as faixas de frequência de excitação ( e ) que servem de referência para os estudos comparativos.

As equações 5.5 e 5.6 transforma a velocidade da máquina em frequência de excitação em e consecutivamente. (5.5) (5.6) Em que:

(58)

Tabela 5.1 - Conversão da velocidade da máquina em frequência de excitação Velocidade da máquina [ ] Frequência de excitação [ ] Frequência de excitação [ ] 2 6,98 1,11 10 34,91 5,56

5.2 PARÂMETROS DOS SISTEMAS

A Tabela 5.2 mostra os valores dos parâmetros que foram mantidos constantes em todas integrações numérica.

A massa, , representa a soma da massa de uma pessoa de mais a massa de um banco de .

Tabela 5.2 - Parâmetros constantes dos sistemas

Parâmetro [unidade] Valor do parâmetro

100

10000

300

0,500

O valor adotado para a dimensão foi escolhido de forma que possibilite a construção real de um assento com os sistemas com NSS e com DNSS e que seja possível montar nas cabines das máquinas agrícolas ou em caminhões.

Os valores de e foram escolhidos proporcionalmente ao valor da massa, , de forma que apresente bons resultados dinâmicos.

5.3 RESPOSTA DO MODELO DO SISTEMA COM NSS

5.3.1 FORÇA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL

Como foi mencionado, o modelo do sistema com NSS se diferencia do sistema com PSS por possuir dois elementos de rigidez negativa.

(59)

fisicamente.

Tabela 5.3 - Parâmetros da Figura 5.1 e da Figura 5.6

Parâmetro Valor do parâmetro

1,0

0,8

1,6

Figura 5.1 - Força das molas horizontais parametrizada, , em função do deslocamento da massa

relativo às molas horizontais parametrizado, , para os parâmetros da Tabela 5.3

É possível distinguir três comportamentos distintos da força resultante das molas horizontais parametrizada , denominadas de Região 1, Região 2 e Região 3.

(60)

5.1 tem-se uma rigidez positiva quando a força diminui com o deslocamento positivo.

Na Região 1 tem-se uma rigidez positiva, uma vez que a força diminui com o deslocamento positivo da massa. Na Região 2 tem-se uma rigidez negativa, uma vez que a força aumenta com o deslocamento positivo da massa. Na Região 3 tem a rápida anulação da força resultante, na região positiva com deslocamento positivo e na região negativa com deslocamento negativa, é uma região de rigidez negativa por ter um aumento da força com o deslocamento positivo. O comportamento da Região 3 se deve ao fato de as barras estarem quase verticais. A força parametrizada, , é nula nos valores de e justamente porque as barras estão na vertical, e .

A força parametrizada, , é nula em mais três pontos:

 e : posição da massa em que iguala à , ou seja, posição de equilíbrio estático do sistema, em que as molas horizontais estão relaxadas.

 : posição da massa em que as barras estão na horizontal, . O sistema com NSS inverte o sinal da rigidez equivalente das molas horizontais mesmo sendo molas lineares.

Próximo passo é entender como os parâmetros e influenciam a construção do gráfico visto na Figura 5.1.

A Figura 5.2 mostra a força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado , equação 3.33. Para entender a influência de mantem-se constante o e varia o valor de para cada curva gerada. O parâmetro , por depender de e , varia como resultado da equação 3.30. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.2 estão na Tabela 5.4. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

Interpreta-se a Figura 5.2:

(61)

configuração a maior influência da estrutura de rigidez negativa.

Curva 1 0,00 2,00 1,00 2 0,50 1,87 3 0,80 1,60 4 0,90 1,44 5 1,00 1,00

relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante

(62)

A Figura 5.3 é a mesma curva da Figura 5.2, porém varia-se o valor de , para cada curva gerada e mantem-se constante para entender como influencia a força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa . Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.3 estão na Tabela 5.5. Da mesma forma que a Figura 5.2, o deslocamento relativo varia de a , toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

Curva 1 0,80 1,00 0,80 2 1,00 1,60 3 1,20 1,90 4 1,40 2,15

relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante Interpreta-se a Figura 5.3:

 O valor de limita o curso de deslocamento da massa, a medida que aumento o valor de as curvas ficam mais extensas.

 Na curva 1 tem-se , como observado na Figura 5.2, não se tem a Região 3 ilustrada na Figura 5.1.

(63)

vertical exercem sobre a massa, , em função do deslocamento parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.40. Para entender a influência de mantem-se constantes , e . Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.4 estão na Tabela 5.6. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

Tabela 5.6 - Parâmetros da Figura 5.4

Curva 1 0,5 1,0 0,8 1,6 2 1,0 3 2,0 4 4,0 5 6,0

Figura 5.4 - Força das molas horizontais e vertical parametrizada, , em função do deslocamento relativo da massa parametrizado, , para diferentes valores de

(64)

 Quanto menor o valor de mais linear fica a força em função de , menos a estrutura de rigidez negativa influencia no comportamento dinâmico da massa.

 É possível identificar as 3 regiões ilustradas na Figura 5.1, porém no deslocamento inferior à posição de equilíbrio vê-se a inversão do sentido da força apenas em , para a força resultante tem o mesmo sentido da força da mola vertical em todo o deslocamento da massa.

5.3.2 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS HORIZONTAIS E

VERTICAL

Outra forma de estudar o comportamento do sistema com NSS é analisando a energia potencial elástica das molas horizontais e vertical em função do deslocamento vertical da massa relativo às molas horizontais.

Timoshenko e Gere (1961) demonstra os três casos de equilíbrio representados por uma esfera apoiada sobre uma superfície, Figura 5.5. Conclui-se que em (a) superfície côncava tem-se o equilíbrio estável, em (b) superfície convexa tem-se o equilíbrio instável e em (c) superfície plana tem-se o equilíbrio indiferente ou neutro. Fazendo uma analogia ao gráfico da energia potencial elástica em função do deslocamento tem-se no primeiro caso (Figura 5.5a) que ao movimentar a esfera, seu centro de gravidade sobe, sendo necessária uma certa quantidade de trabalho para produzir um deslocamento, assim a energia potencial aumenta com qualquer deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio; no segundo caso (Figura 5.5b) ao movimentar a esfera, seu centro de gravidade cai, assim a energia potencial diminui com qualquer deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio; no terceiro caso (Figura 5.5c) não há alteração de energia potencial com o deslocamento da esfera.

(a) (b) (c)

(65)

Figura 5.6 - Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada, , em função do

deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado,

Na Figura 5.6 é possível observar dois pontos de equilíbrio estável e um ponto de equilíbrio instável. Os dois pontos de equilíbrio estável em e e o ponto de equilíbrio instável em se dão quando . No decorrer do trabalho simula-se o comportamento dinâmico da massa com início do movimento em , posição de equilíbrio estável no deslocamento positivo.

(66)

A Figura 5.7 mostra a energia potencial elástica parametrizada das molas horizontais, , em função do deslocamento vertical parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.45. Para entender a influência de mantem-se constante o e varia o valor de para cada curva gerada. O parâmetro , por depender de e , varia como resultado da equação da equação 3.30. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.7 estão na Tabela 5.4. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante. Em 1, ; 2, ; 3, ; 4, ; 5,

 Para vê-se apenas um ponto de equilíbrio estável, um comportamento semelhante a um sistema com PSS, uma mola linear ligada diretamente à massa. Reforça a interpretação da Figura 5.2, esta condição influencia pouco no comportamento dinâmico da massa.  Para a se vê os três pontos de equilíbrio ilustrados na

Figura 5.6, percebe-se que quanto maior o valor de maior a energia potencial elástica no ponto de equilíbrio instável. Confirma a interpretação da Figura 5.6 em que os pontos de equilíbrio estável do

(67)

ponto de equilíbrio instável que apresenta boas respostas dinâmicas.

A Figura 5.8 mostra a energia potencial elástica parametrizada das molas horizontais em função do deslocamento vertical parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.45. Para entender a influência de mantem-se constante o e varia o valor de para cada curva gerada. O parâmetro , por depender de e , varia como resultado da equação 3.30. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.8 estão na Tabela 5.5. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

(68)

 O valor de limita o curso de deslocamento da massa, a medida que aumenta o valor de as curvas ficam mais extensas.

 Na curva 1 tem-se , como observado na Figura 5.7, a curva apresenta um ponto de equilíbrio instável.

 Conforme o valor de aumenta e fica mais distante de , a energia potencial elástica no ponto de equilíbrio instável fica menor, aproximando o comportamento da curva à de um sistema com um ponto de equilíbrio estável, sistema com PSS.

Das interpretações das Figuras 5.3 e 5.8 escolhe-se como base para as análises dinâmicas o valor de para por possuir um comportamento bem definido para um sistema com estrutura de rigidez negativa e apresentar um curso de deslocamento suficiente para ter boas respostas dinâmicas.

Como última análise estuda-se a influência do na construção dos gráficos vistos anteriormente.

Estuda-se a soma da energia potencial elástica parametrizada das molas horizontais e mola vertical, , em função do deslocamento vertical parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.50. Para entender a influência de mantêm-se constantes , e e varia o valor de para cada curva gerada. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.9 estão na Tabela 5.7. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

 Quanto menor o valor de mais o comportamento da curva se aproxima à de um sistema com PSS, menos a estrutura de rigidez negativa influencia no comportamento dinâmico da massa. Em têm-se apenas um ponto de equilíbrio estável.

(69)

Figura 5.9 - Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada, , em função do deslocamento relativo da massa parametrizado, , para diferentes valores de

5.3.3 ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DAS MOLAS

HORIZONTAIS

Para o estudo da influência da rigidez das molas horizontais no comportamento dinâmico do sistema, analisa-se a curva de resposta em frequência, a transmissibilidade de deslocamento, , em função da frequência de excitação . Para todas curvas de resposta em frequência varreu-se a frequência de excitação (em ) de a , faixa de frequência relevante para análise ergonômica, ISO 2631-1 (Organização Internacional de Normalização, 1997).

Na intenção de analisar a influência da rigidez das molas horizontais ( ) no comportamento do sistema em regime permanente, em todas simulações desta seção manteve-se os parâmetros , e constantes. Faz-se a análise do

(70)

comportamento dinâmico para duas amplitudes de excitação do sistema, . Constrói-se seis curvas de resposta em frequência para cada amplitude, uma curva para o comportamento do sistema com PSS e as outras cinco curvas para cada valor de .

Os parâmetros usados para a construção do gráfico da Figura 5.10 e Figura 5.11 estão descritos na Tabela 5.8.

Tabela 5.8 - Parâmetros das Figuras 5.10 e 5.11

Curva 1 - 2 10000 (1) 0,3125 (1,0) 0,2500 (0,8) 0,5000 (1,6) 3 20000 (2) 4 40000 (4) 5 60000 (6) 6 100000 (10)

(71)

Figura 5.11 - Transmissibilidade, , em função da frequência de excitação, , para diferentes valores de .

Nas Figuras 5.10 e 5.11 a curva vermelha é o comportamento da massa no modelo do sistema com PSS, como explicado anteriormente usa-se este modelo como base comparativa para as análises.

Interpreta-se as Figuras 5.10 e 5.11:

 O sistema com NSS diminui transmissibilidade de deslocamento, , em baixas frequências comparado ao sistema com PSS. Apresenta um resultado muito superior quanto a absorção da vibração nas frequências abaixo da frequência natural do sistema. Quanto maior o valor da rigidez das molas horizontais, , menor é o valor de nas baixas frequências, observa-se que a queda do valor de é significativa até o valor de , a partir deste valor não se vê diminuição significativa de na frequências abaixo na frequência natural..

 O sistema com NSS diminui o máximo valor da transmissibilidade de deslocamento, , comparado ao sistema com PSS. Quanto maior o valor da rigidez das molas horizontais, , menor é o valor de máximo de , valor de na frequência natural do sistema, observa-se que a queda do valor máximo de é significativa até o valor de .

(72)

 A rigidez das molas horizontais, , por alterar a rigidez equivalente, altera a frequência natural do sistema. Quanto maior o valor de maior a frequência natural sistema, o sistema fica mais rígido.

Ao comparar a Figura 5.10 com a 5.11 entende-se que o sistema com NSS é sensível ao valor da amplitude da fonte de excitação, :

 Para , vê-se curvas com comportamento semelhante à curva do sistema com PSS. Curvas bem comportadas com um pico de transmissibilidade na frequência natural.

 Para , vê-se curvas com diferentes comportamentos. Para , a curva de resposta em frequência apresenta seis saltos de amplitude, devido a não linearidade da rigidez equivalente das molas horizontais, com quatro picos de amplitude de deslocamento em frequências diferentes, comportamento ruim quando procura-se a absorção da vibração. Para , a curva de resposta em frequência apresenta cinco saltos de amplitude com quatro picos na amplitude de deslocamento, mesmo com um comportamento mais estável que a curva anterior, ainda apresenta uma resposta ruim quanto a absorção da vibração. Para a curva de resposta em frequência apresenta quatro saltos de amplitude com três picos na amplitude de deslocamento, mesmo com um comportamento mais estável que as curvas anteriores, ainda apresenta uma resposta ruim quanto a absorção da vibração. Para , têm-se curvas com comportamentos mais estáveis comparadas com as curvas anteriores, observa-se dois saltos de amplitude de deslocamento da resposta bem definidos com um pico de amplitude.

 Comportamento dinâmico do sistema com NSS é mais sensível ao valor de quando excitado a uma amplitude de .

(73)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 5.12 - Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ;

(74)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(75)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(76)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(77)

ÀS MOLAS HORIZONTAIS

Para o estudo da influência da distância inicial da massa às molas horizontais, , no comportamento dinâmico do sistema analisa-se a curva de resposta em frequência, a transmissibilidade de deslocamento, , em função da frequência de excitação, . Para todas as curvas de resposta em frequência varreu-se a frequência de excitação (em ) de a , faixa de frequência relevante para análise ergonômica, ISO 2631-1 (Organização Internacional de Normalização, 1997).

Na intenção de analisar influência a distância inicial da massa às molas horizontais, , no comportamento dinâmico do sistema em regime permanente, em todas simulações desta seção manteve-se os parâmetros , e constantes. Faz-se a análiFaz-se do comportamento dinâmico para duas amplitudes de excitação do sistema construindo sete curvas de resposta em frequência, uma curva para o comportamento do sistema com PSS e as outras seis curvas para cada valor de , para cada amplitude.

Os parâmetros usados para a construção do gráfico da Figura 5.16 e Figura 5.17 estão descritos na Tabela 5.9.

Tabela 5.9 - Parâmetros das Figuras 5.16 e 5.17

(78)

Nas Figuras 5.16 e 5.17 a curva vermelha é o comportamento da massa no modelo do sistema com PSS, como explicado anteriormente usa-se este modelo como base comparativa para as análises.

(79)

sistema com PSS, e os valores de não alteram significativamente a frequência natural do sistema e a amplitude máxima de deslocamento, tem pouco efeito na rigidez equivalente das molas horizontais.

 Para valores de , o comportamento das curvas de resposta em frequência se assemelham ao comportamento da curva do sistema com PSS, com o aumento da transmissibilidade somente nas proximidade da frequência natural. Os valores de alteram significativamente a frequência natural do sistema e a amplitude máxima de deslocamento, altera a rigidez equivalente das molas horizontais quanto maior o valor de .

Como visto na Figura 5.7, valores da distância inicial da massa às molas horizontais, , muito próximo do valor do comprimento das barras, , possuem um ponto de equilíbrio instável somente, o que torna a resposta do sistema inviável para o uso como isolador de vibrações uma vez que passaria a amplificá-las. Não foram testados valores de maiores que pelo motivo explicado anteriormente e por estar muito próximo do limite de deslocamento imposto pelo comprimento das barras, .

Ao comparar a Figura 5.16 com a 5.17 entende-se que o sistema com NSS é sensível ao valor da amplitude da fonte de excitação, , para valores de :