Projeto de doutorado
Recolora¸ c˜ ao Convexa de ´ Arvores
Orientadora: Yoshiko Wakabayashi
Area de Concentra¸´ c˜ao: Otimiza¸c˜ao Combinat´oria Resumo
Dada uma ´arvore T = (V, E), uma colora¸c˜ao de T ´e uma fun¸c˜ao f : V → C, ondeC ´e um conjunto de cores. Notamos que n˜ao estamos nos referindo aqui a uma colora¸c˜ao pr´opria (como definido em teoria dos grafos), trata-se aqui de uma simples atribui¸c˜ao de cores, sem nenhuma restri¸c˜ao. Uma colora¸c˜ao de T ´e convexa se para toda cori∈ Co conjunto de v´ertices coloridos com a coriinduz uma sub´arvore deT. Quando uma colora¸c˜ao de uma ´arvore n˜ao ´e convexa, ´e desej´avel saber qu˜ao distante esta est´a de uma colora¸c˜ao convexa. O conceito de distˆancia de recolora¸c˜ao captura essa medida, definida com sendo o n´umero m´ınimo de altera¸c˜oes de cor que precisam ser efetuadas para que a ´arvore fique com uma colora¸c˜ao convexa. Uma altera¸c˜ao de cor consiste simplesmente na mudan¸ca de uma cor (de um v´ertice) para uma outra cor distinta. Estudos sobre distˆancia de recolora¸c˜ao surgiram em estudos de ´arvores filogen´eticas (´arvores que representam o curso de evolu¸c˜ao de um conjunto de esp´ecies), objetos de muito interesse em biologia computacional. O presente projeto consiste no estudo do problema da recolora¸c˜ao convexa de ´arvores, com enfoque nos seus aspectos algor´ıtmicos e computacionais. Em 2005, Moran e Snir [3] mostraram que encontrar essa distˆancia ´e NP-dif´ıcil mesmo para o caso especial de caminhos. Dando continuidade a este trabalho, ainda em 2005, Moran e Snir [4] apresentaram uma vers˜ao preliminar do trabalho [5] no qual apresentaram um algoritmo de 3-aproxima¸c˜ao para calcular tal distˆancia. Para o caso especial em que T ´e um caminho, esses autores obtiveram um algoritmo de 2-aproxima¸c˜ao. Posteriormente, tamb´em em 2005, Bar- Yehuda, Feldman e Rawitz [1] apresentaram um algoritmo de (2+ǫ)-aproxima¸c˜ao.
Temos interesse em obter algoritmos com desempenho melhor do que os j´a existentes na literatura, ou obter resultados sobre limiar de aproximabilidade do problema em foco e de suas variantes. A variante mais simples ´e aquela em que as altera¸c˜oes de cor s˜ao contadas uniformemente (apenas contabilizando quantos v´ertices tiveram suas cores alteradas): essa ´e a vers˜ao sem pesos. No caso caso mais geral, os v´ertices podem ter pesos distintos e a distˆancia de recolora¸c˜ao ´e a que minimiza a soma dos pesos dos v´ertices que tiveram suas cores alteradas. Os algoritmos conhecidos utilizam t´ecnicas combinat´orias ad hoc talhadas para os problemas em foco. Esperamos desenvolver outras t´ecnicas e obter resultados que contribuam para o estado-da-arte deste assunto.
1 Introdu¸ c˜ ao
Em biologia computacional, o estudo de ´arvores filogen´eticas ocupa um lugar de grande destaque, pois trata de uma quest˜ao fundamental que ´e o da evolu¸c˜ao das esp´ecies. As folhas de uma ´arvore filogen´etica representam as esp´ecies existentes, e os v´ertices internos representam esp´ecies extintas. Um caractere ´e um atributo biol´ogico compartilhado entre todas as esp´ecies em considera¸c˜ao. Um caractere pode ser visto como uma colora¸c˜ao de esp´ecies (v´ertices), onde cada cor representa um estado do caractere. Por exemplo, um tipo de caractere considerando um conjunto de seres vivos ´e a forma como as esp´ecies se locomovem, e alguns estados de caracteres s˜ao rastejamento, locomo¸c˜ao na ´agua e no ar.
Cada estado destes pode ser representado por uma cor. Uma colora¸c˜ao (dos v´ertices) de uma ´arvore ´e chamadaconvexa se para quaisquer dois v´erticesuev coloridos com a cori, todo v´ertice no caminho deu parav tem tamb´em a cor i. Ou, equivalentemente, se cada cor induz uma sub´arvore.
Uma ´arvore colorida T, cujo conjunto de cores ´eC´e denotada por (T,C). Dada uma ´arvore colorida (T,C), o problema de recolora¸c˜ao convexa consiste em determinar a distˆancia de recolora¸c˜ao de (T,C). No modelo sem peso nos v´ertices, a distˆancia de recolora¸c˜ao ´e defi- nida como sendo o n´umero m´ınimo de altera¸c˜ao de cores que precisam ser efetuadas para que a ´arvore T fique com uma colora¸c˜ao convexa. Para o modelo com pesos nos v´ertices, dada uma fun¸c˜ao peso com valores n˜ao-negativos sobre os v´ertices de T, a distˆancia de recolora¸c˜ao ´e definida como sendo a soma dos pesos dos v´ertices recoloridos. Esses mode- los (com peso e sem peso nos v´ertices) s˜ao ditos uniformes quando o custo de trocar a cor de um v´ertice independe das cores envolvidas. A maioria dos modelos que estudaremos ser˜ao modelosn˜ao-uniformes: nestes, o custo de colorir um v´ertice vcom uma cor d´e um n´umerocusto(v, d) n˜ao-negativo arbitr´ario.
Na figura 1 exemplificamos a transforma¸c˜ao de uma ´arvore filogen´etica com colora¸c˜ao n˜ao-convexa em uma ´arvore com colora¸c˜ao convexa. Supondo que os pesos nos v´ertices s˜ao unit´arios para todos os v´ertices da ´arvore, neste exemplo, o custo para obter a nova colora¸c˜ao ´e 2, visto que somente dois v´ertices tiveram suas cores alteradas. Tais v´ertices est˜ao indicados em negrito. Propomos assim, como resultado da pesquisa eos estudos ser˜ao conduzidos individualmente pela aluna, sob a supervis˜ao da orientadora, e sempre que necess´ario ser˜ao realizados semin´arios para esclarecimentos de d´uvidas.
Figura 1: Transforma¸c˜ao de uma ´arvore filogen´etica com colora¸c˜ao n˜ao-convexa em uma com colora¸c˜ao convexa
Dado um conjunto de esp´ecies relacionadas, o objetivo da reconstru¸c˜ao filogen´etica ´e obter uma ´arvore que melhor descreva a evolu¸c˜ao desse conjunto de esp´ecies. Usualmente ´e dada uma ´arvore T filogen´etica, e ´e introduzido um novo caractere o qual atribui estado a algumas esp´ecies. Temos assim uma ´arvore filogen´etica com colora¸c˜ao parcial, pois uma colora¸c˜aoCatribui cores somente a algum subconjuntoU ⊆V. Neste contexto, a defini¸c˜ao de colora¸c˜ao convexa ´e estendida a ´arvore colorida parcialmente. Umacolora¸c˜ao parcial ´e dita convexa se esta pode ser estendida a uma colora¸c˜ao convexa total.
Uma restri¸c˜ao natural biol´ogica ´e que a reconstru¸c˜ao filogen´etica tem a propriedade de que cada um dos caracteres pode ter evolu´ıdo sem transi¸c˜ao reversa ou transi¸c˜ao con- vergente. Numatransi¸c˜ao reversa algumas esp´ecies recuperam um estado de caractere de
algum ancestral distante enquanto seu ancestral recente perdeu este estado. Umatransi¸c˜ao convergente ocorre se duas esp´ecies possuem o mesmo estado de caractere, enquanto seu ancestral comum mais pr´oximo possui um estado diferente.
Em termos de teoria dos grafos, a falta de transi¸c˜ao reversa e a falta de transi¸c˜ao conver- gente numa reconstru¸c˜ao filogen´etica significam que o caractere ´e convexo nesta ´arvore, no sentido de que cada uma das cores que representam um dos estados do caractere induz uma sub´arvore. Dessa forma, uma ´arvore com colora¸c˜ao convexa (caractere convexo) cor- responde a uma ´arvore filogen´etica perfeita. O problema da filogenia perfeita recebe um conjunto de esp´ecies (v´ertices), um conjunto de caracteres (colora¸c˜oes), e cada caractere (colora¸c˜ao) atribui o estado de caractere (cor) `a esp´ecie (v´ertice). A quest˜ao ´e decidir se existe uma ´arvoreT contendo todas as esp´ecies (v´ertices) em que todos os caracteres (colora¸c˜oes) s˜ao convexos.
Moran e Snir [3] estudaram a complexidade de calcular a distˆancia de recolora¸c˜ao moti- vados pelo cen´ario de introduzir um novo caractere numa ´arvore filogen´etica existente, ou seja, inserindo colora¸c˜ao nesta ´arvore. Eles mostraram que encontrar a distˆancia de reco- lora¸c˜ao no modelo sem peso nos v´ertices ´e NP-dif´ıcil mesmo para um caminho e tamb´em para o caso onde os estados de caracteres s˜ao dados somente nas folhas (colora¸c˜ao parcial).
Apresentaram algoritmos para calcular a distˆancia de recolora¸c˜ao em modelos de pesos uniformes e n˜ao-uniformes.
Em 2005, Moran e Snir [4, 5], apresentaram um algoritmo de 3-aproxima¸c˜ao para o pro- blema de recolora¸c˜ao convexa de complexidadeO(|C|n2), e um algoritmo de 2-aproxima¸c˜ao para o mesmo problema em caminhos de complexidade O(|C|n), onde n ´e o n´umero de v´ertices da ´arvore. Em 2006, Yehuda, Feldman e Rawitz [1] melhoraram o algoritmo ob- tido por Moran e Snir, exibindo uma (2 +ǫ)-aproxima¸c˜ao. Al´em desses algoritmos de
aproxima¸c˜ao s˜ao conhecidos algoritmosFTP (Fixed Parameter Tractability) [2, 6].
2 O projeto
Este projeto tem como foco o problema da recolora¸c˜ao convexa de ´arvores. Trata-se de um problema que surgiu motivado por estudos de filogenia, que ´e tamb´em interessante do ponto de vista t´eorico, pelas quest˜oes desafiadoras que levanta.
Em se tratando de um problema relativamente recente, ´e um t´opico que ainda requer pesquisas mais exaustivas, tanto na busca de melhores resultados algor´ıtmicos como na busca de resultados te´oricos que mostrem ser imposs´ıvel (sob a hip´otese de que P6= NP) obter raz˜oes de aproxima¸c˜ao melhores. No caso de caminhos, uma quest˜ao interessante ´e descobrir se o problema admite um esquema de aproxima¸c˜ao polinomial. Abordaremos as vers˜oes sem pesos e com pesos.
Referˆ encias
[1] Reuven Bar-Yehuda, Ido Feldman, and Dror Rawitz. Improved approximation algo- rithm for convex recoloring of trees. InApproximation and online algorithms, volume 3879 ofLecture Notes in Comput. Sci., pages 55–68. Springer, Berlin, 2006.
[2] Hans L. Bodlaender, Michael R. Fellows, Michael A. Langston, Mark A. Ragan, Fran- ces A. Rosamond, and Mark Weyer. Quadratic kernelization for convex recoloring of trees. InProceedings COCOON 2007, volume 4598 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 86–96. Springer.
[3] Shlomo Moran and Sagi Snir. Convex recolorings of strings and trees: definitions, hardness results and algorithms. In Algorithms and data structures, volume 3608 of
Lecture Notes in Comput. Sci., pages 218–232. Springer.
[4] Shlomo Moran and Sagi Snir. Efficient approximation of convex recolorings. In Ap- proximation, randomization and combinatorial optimization, volume 3624 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 192–208. Springer, Berlin, 2005.
[5] Shlomo Moran and Sagi Snir. Efficient approximation of convex recolorings.J. Comput.
System Sci., 73(7):1078–1089, 2007.
[6] Igor Razgon. A 2O(k)poly(n) algorithm for the parameterized convex recoloring pro- blem. Inform. Process. Lett., 104(2):53–58, 2007.
