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CAPÍTULO 1 – PROBABILIDADE

1.1 Conceito

O conceito de probabilidade está sempre presente em nosso dia a dia: qual é a probabilidade de que o meu time seja campeão? Qual é a probabilidade de que eu passe naquela disciplina? Qual é a probabilidade de que eu ganhe na loteria?

Probabilidade é uma espécie de medida associada a um evento. No caso específico da primeira pergunta do parágrafo anterior o evento em questão é “meu time será campeão”. Se este evento é impossível de ocorrer, dizemos que a sua probabilidade é zero. Se, entretanto, ele ocorrerá com certeza, a sua probabilidade é igual a um (ou cem por cento).

Chamando este evento simplesmente de “A”, então dizemos que:

Se A é impossível de ocorrer, então P(A) = 0.

Se A ocorre com certeza, então P(A) = 1.

Onde a expressão P(A) é lida como “probabilidade de A ocorrer”, ou simplesmente

“probabilidade de A”.

A probabilidade de um evento A qualquer pode ser definida, de uma maneira simplificada1 como:

P(A) =

ocorrem eventos

os todos que em vezes de número

ocorre A que em vezes de número

Esta definição desse ser vista com ressalvas: não se trata do número de vezes que de fato ocorreriam em um experimento, mas sua proporção teórica. Assim, se jogássemos uma moeda comum três vezes e nas três ela desse “cara”, isto não significa que a probabilidade de dar “cara” é igual a 1, o que nos levaria a concluir que com certeza esta moeda dará “cara” sempre, o que é um absurdo.

O conjunto de todos os eventos possíveis deste experimento (conjunto este que chamamos de espaço amostral) é composto de dois possíveis resultados: “cara” ou “coroa”. Considerando que estes dois eventos têm a mesma chance de ocorrer (o que vale dizer que a moeda não está viciada), teremos:

P(“cara”) =

ocorrem eventos

os todos que em vezes de número

cara"

"

ocorre que em vezes de número

= 2 1 = 0,5

“Todos os eventos”, neste caso, são dois: “cara” ou “coroa”. Destes dois, um deles é o evento em questão (“cara”). Portanto a probabilidade de dar cara é igual a 0,5 (ou 50%).

E, de maneira idêntica, temos para o evento “coroa”:

P(“coroa”) =

ocorrem eventos

os todos que em vezes de número

coroa"

"

ocorre que em vezes de número

= 2 1 = 0,5

1 No apêndice 1.B deste capítulo é dada uma definição formal de probabilidade.

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Repare que a soma das duas probabilidades é igual a 1. E tinha que ser mesmo. A soma das probabilidades (neste caso específico) representa a probabilidade do evento “dar cara ou coroa”, ou generalizando “ocorrer qualquer evento possível”, que é algo que ocorrerá com certeza.

Se mudarmos o jogo, de cara ou coroa para dados, se jogarmos o dado uma única vez, temos seis possibilidades, que correspondem aos números inteiros de 1 a 6. A probabilidade de cair um número qualquer (digamos, o 3) será dada por:

P(“cair 3”) =

ocorrem eventos

os todos que em vezes de número

"3"

ocorre que em vezes de número

= 6 1

Uma outra maneira de encontrarmos estas probabilidades seria se fizéssemos um experimento (por exemplo, jogar a moeda) um número muito grande de vezes (na verdade, deveriam ser infinitas vezes) e encontrássemos a proporção entre caras e coroas. Este experimento foi feito2 e os resultados são mostrados na tabela abaixo:

no de jogadas no de caras no de coroas proporção de caras proporção de coroas

10 6 4 0,6000 0,4000

100 47 53 0,4700 0,5300

1000 509 401 0,5090 0,4010

10000 4957 5043 0,4957 0,5043

25000 12486 12514 0,4994 0,5006

O experimento evidencia que, à medida que o número de jogadas aumenta, a proporção de caras e de coroas se aproxima do valor 0,5.

Chamando de n o número de vezes que o experimento é feito, uma maneira de definir probabilidade é:

P(A) = limn→∞

n

ocorre A que em vezes de número

Que é chamada de definição de probabilidade pela freqüência relativa ou ainda, definição freqüentista de probabilidade.

Exemplo 1.1.1

Qual a probabilidade de, jogando um único cartão, acertar a sena (seis dezenas em um total de 60)?

O acerto exato das seis dezenas é uma única possibilidade entre todas as combinações possíveis (combinações mesmo3, já que a ordem em que os números são sorteados não é relevante):

P(“ganhar na sena”) = C60,6

1 =

! 6

! 54

! 60

1

×

=50.063.860

1 ≅ 0,00000002

2 Na verdade a moeda não foi realmente jogada 25000 vezes, mas os resultados foram obtidos através de uma simulação por computador.

3 Para uma revisão de análise combinatória veja o apêndice 1.A.

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Portanto, a probabilidade de acertar a sena com apenas um cartão é de uma para cada 50.063.860 ou aproximadamente 0,000002%.

Exemplo 1.1.2

Sendo o conjunto X definido por X = {x ∈ú| 0 < x < 2}, qual a probabilidade de, ao sortearmos um número qualquer deste conjunto este número pertença ao intervalo [0,5; 1,5]? E qual a probabilidade deste número ser exatamente igual a 1?

O conjunto X é um conjunto contínuo, já que contém todos os números reais que sejam maiores do que 0 e menores do que 2. Tem, por exemplo, o número 1; o número 0,5; o número 0,4;

mas também tem o 0,45; o 0,475; o 0,46. Dados dois elementos deste conjunto, sempre é possível encontrar um número que esteja entre estes dois. Não há “saltos” ou “buracos”, daí a idéia de continuidade. Ao contrário do dado em que os valores possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (não existe 1,5 ou 2,1), que é um conjunto discreto4.

Neste caso, a probabilidade de sortearmos qualquer número entre 0,5 e 1,5 (inclusive), que é um intervalo de comprimento igual a 1 (= 1,5 – 0,5), de um intervalo possível que tem comprimento igual a 2 (= 2 – 0) será dada por:

P(0,5 ≤ x ≤ 1,5) = 2 1

E a probabilidade de ser exatamente 1? Ou seja, de sortear um único número entre um total de números presente no conjunto X de... infinitos! A probabilidade será dada, então por:

P(x = 1) = limn→∞

n 1= 0

Portanto, embora seja possível de ocorrer, a probabilidade de ser igual a 1 (ou igual a qualquer número) é igual a zero, se estivermos falando de um conjunto contínuo. A probabilidade só será diferente de zero se estivermos falando de um intervalo contido neste conjunto.

Como conseqüência disso, não fará diferença se o intervalo para o qual encontramos inicialmente a probabilidade (entre 0,5 e 1,5) fosse fechado ou aberto (isto é, incluísse ou não os extremos), pois a probabilidade de ser exatamente 0,5 ou 1,5 é zero. Portanto, como X é um conjunto contínuo:

P(0,5 ≤ x ≤ 1,5) = P(0,5 < x < 1,5) = 2 1

1.2 Probabilidade subjetiva

Nos casos exemplificados acima, assumindo que os dados e as moedas utilizadas não sejam viciados, as probabilidades calculadas são exatas. Nem sempre isto é possível.

Imagine o evento “meu time será campeão”. Não é possível repetir este experimento (o campeonato) um número muito grande de vezes. Na verdade, este campeonato, com estes times, com os mesmos jogadores nas mesmas condições só é jogado uma única vez. Entretanto, é possível atribuir um valor que represente as chances do time ganhar o campeonato mas, evidentemente, este

4 Não há necessidade de que um conjunto discreto seja composto apenas por números inteiros, entretanto. Uma prova com 20 questões de múltipla escolha, cada uma delas valendo meio ponto terá notas variando neste intervalo, isto é, poderá haver nota 7,0 ou 7,5, mas nunca 7,2 ou 7,3. É um conjunto discreto, portanto.

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valor será diferente para cada pessoa que opinar a respeito: um torcedor fanático tenderá atribuir um valor maior do que um analista frio e imparcial (se é que isto existe).

Qualquer que seja este valor, entretanto, deve seguir as mesmas “regras” que a probabilidade objetiva, isto é, tem que estar entre 0 e 1, sendo 0 correspondendo à impossibilidade e 1 à certeza de que o time será campeão.

E assim vale para uma série de situações: a probabilidade de que o governo mude a política econômica (é certamente maior em períodos de crise); a probabilidade de chover ou não (é maior ou menor quando a previsão do tempo afirma que vai chover?); a probabilidade de ser assaltado quando se passa por determinada rua, etc.

Exemplo 1.2.1

Qual a probabilidade de se acertar os treze pontos na loteria esportiva?

Aí é mais complicado porque depende da avaliação subjetiva que se faz dos times em cada um dos jogos. É de se imaginar que um teste da loteria esportiva em que predominem jogos equilibrados será mais difícil de acertar e tenderá a ter menos acertadores do que um teste que tenha mais “barbadas”.

Por exemplo, Flamengo x Olaria (um jogo teoricamente fácil):

P(Flamengo) = 70%

P(empate) = 20%

P(Olaria) = 10%

Já Corinthians x São Paulo (jogo equilibrado):

P(Corinthians) = 30%

P(empate) = 40%

P(São Paulo) = 30%

Todos estes números, evidentemente, sujeitos à discussão. Esta avaliação teria que ser feita jogo a jogo para se computar a probabilidade de ganhar na loteria esportiva.

1.3 Probabilidade do “e” e do “ou”

No início do capítulo chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os eventos possíveis. O uso do termo “conjunto”, não foi por acaso. De fato, há uma associação muito grande entre a teoria dos conjuntos (e a sua linguagem) e a de probabilidade.

Chamando de S o espaço amostral (que equivale a todos os eventos, portanto P(S)=1) e sendo A um evento deste espaço amostral (isto é, A é um subconjunto de S), uma representação gráfica da probabilidade de A é mostrada na figura abaixo:

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Em que a região em que o conjunto A está representado representa a sua probabilidade em relação ao espaço amostral S. Esta representação gráfica de probabilidade é conhecida como Diagrama de Venn.

Um caso particular importante é um evento que não está em S (impossível de ocorrer), como o dado cair no número 7 ou a moeda não dar nem cara, nem coroa, representado pelo conjunto vazio (∅), em que, evidentemente5 P(∅) = 0.

Pelo diagrama de Venn podemos verificar uma relação importante: a probabilidade de “não- A”, ou seja, o complementar de A, representado6 por A . O conjunto A é representado por todos os pontos que pertencem a S, mas não pertencem a A, o que no Diagrama de Venn abaixo é representado pela região sombreada:

A probabilidade de A será dada então por:

P( A ) = P(S) – P(A) Mas como P(S) = 1, então:

P(A) = 1 – P(A) Ou:

5 A recíproca não é verdadeira. Pelo exemplo 1.1.2, vimos que P(A) pode ser igual a zero mesmo que A não seja um conjunto vazio. No exemplo P(x=1) = 0 não porque x não pudesse ser igual a 1, mas por fazer parte de um conjunto contínuo.

6 Há quem prefira a notação AC.

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P(A) + P( A ) = 1

Isto é, a soma da probabilidade de um evento com a do seu complementar é sempre igual a 1.

Suponhamos agora dois eventos quaisquer de S, A e B. A representação no Diagrama de Venn será:

Dados dois eventos poderemos ter a probabilidade de ocorrer A e B, isto é, ocorrer A e também B. Por exemplo, jogar dois dados e dar 6 no primeiro e 1 no segundo; ser aprovado em Estatística e em Cálculo. Em linguagem de conjuntos, a ocorrência de um evento e também outro é representada pela intersecção dos dois conjuntos (A∩B). No Diagrama de Venn é representada pela área sombreada abaixo:

P(A e B) = P(A∩B)

Há ainda a probabilidade de ocorrência de A ou B. Isto equivale a ocorrer A, ou B, ou ambos7. Em linguagem de conjuntos equivale a união de A e B (A∪B), representada abaixo:

7 Não confundir com o chamado “ou exclusivo”, em que ocorre A, ocorre B, mas não ambos.

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P(A ou B) = P(A∪B)

Podemos verificar que, se somarmos as probabilidades de A e B, a região comum a ambos (a intersecção) será somada duas vezes. Para retirarmos este efeito, basta subtrairmos a intersecção (uma vez). Portanto:

P(A ou B) = P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Um caso particular desta regra é aquele em que A e B jamais ocorrem juntos, são eventos ditos mutuamente exclusivos (ocorrer um implica em não ocorrer outro).Os conjuntos não terão pontos em comum, portanto (a intersecção é o conjunto vazio) e A e B então são ditos disjuntos, como mostrado abaixo:

Neste caso, não há dúvida:

P(A ou B) = P(A∪B) = P(A) + P(B)

Portanto, a chamada “regra do ou” pode ser resumida assim:

Se A e B são eventos quaisquer:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos):

P(A∪B) = P(A) + P(B)

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Exemplo 1.3.1

Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um número maior que 4?

Número maior do que 4 no dado temos o 5 e o 6, portanto:

P(maior que 4) = P(5 ou 6)

Que são eventos disjuntos, já que, se der 5, é impossível dar 6 e vice-versa.

P(5 ou 6) = P(5) + P(6) = 6 1 +

6 1 =

3 1

Exemplo 1.3.2 (desespero dos pais de gêmeos)

Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas (a mais chorona) chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia e ambas choram, ao mesmo tempo, 30% do dia. Qual a probabilidade (qual o percentual do dia) de que pelo menos uma chore? E qual a probabilidade de que nenhuma chore?

A probabilidade de que pelo menos uma chore é a probabilidade de que a primeira chore ou a segunda chore. Chamando de C1 o evento “a primeira criança chora” e C2 “a segunda criança chora”, temos:

P (C1 ou C2) = P(C1) + P(C2) – P(C1 e C2) = 0,65 + 0,45 – 0,3 = 0,8

Portanto, pelo menos uma criança estará chorando 80% do tempo. “Nenhuma das crianças chora” é o evento complementar:

P(nenhuma chora) = 1 – P(C1 ou C2) = 1 – 0,8 = 0,2

Assim sendo, os pais destas crianças terão paz em apenas 20% do tempo.

1.4 Probabilidade Condicional

Qual a probabilidade de que o Banco Central aumente a taxa de juros? Qual a probabilidade de que ele aumente a taxa sabendo-se que ocorreu uma crise que pode ter impacto sobre a inflação?

Qual a probabilidade do seu time ganhar o próximo jogo? E se já é sabido que o adversário jogará desfalcado de seu principal jogador?

Qual a probabilidade de, jogando dois dados em seqüência, obter-se um total superior a 7? E se, na primeira jogada, já se tirou um 6?

Você acorda de manhã e o céu está azul e sem nuvens. Você pega o guarda-chuva ou não? É claro que, de posse dessa informação, a probabilidade estimada para o evento “chover” diminui.

E assim vale para os três exemplos anteriores. O acontecimento de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Um casal que tem três filhos homens vai para o quarto filho. Qual a probabilidade de ser (afinal!) uma menina? Infelizmente para o casal, não é diferente daquela que seria caso fosse o primeiro. Não façamos confusão: é claro que, para um casal que vai ter quatro filhos, a

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probabilidade de serem quatro meninas é pequena. Mas se ele já teve três meninas, isto não afeta a probabilidade do próximo filho ser menino ou menina (afinal, os pobres espermatozóides não têm a menor idéia do histórico familiar).

A pergunta que se faz, seja em um caso ou em outro é: qual a probabilidade de um evento sabendo-se que um outro evento já ocorreu (ou vai ocorrer)? Qual probabilidade de A dado que B já é um fato da vida.

No Diagrama de Venn acima, B já ocorreu! A probabilidade de A ocorrer então só pode ser naquele pedaço em que A e B têm em comum (a intersecção). Mas a probabilidade deve ser calculada não mais em relação a S, mas em relação a B, já que os pontos fora de B sabidamente não podem acontecer (já que B ocorreu). Portanto, a probabilidade de A tendo em vista que B ocorreu (ou ocorrerá), representada por P(A|B) (lê-se probabilidade de A dado B), será dada por:

P(A|B) = P(B) P(AeB)

(1.4.1)

A “regra do e”, já apresentada na seção anterior, ganha uma nova forma:

P(A e B) = P(A|B)×P(B) ou P(A e B) = P(B|A)×PA)

Se o evento B não tiver qualquer efeito sobre a probabilidade do evento A, então teremos:

P(A|B) = P(A) e

P(B|A) = P(B)

E A e B são ditos eventos independentes (a probabilidade condicional é igual à não condicional).

Serão eventos dependentes em caso contrário, isto é:

P(A|B) ≠ P(A) e

P(B|A) ≠ P(B)

Então, se A e B forem eventos independentes, vale:

P(A e B) = P(A)×P(B)

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Não confunda: o fato de dois eventos serem independentes não quer dizer que eles sejam mutuamente exclusivos. Pelo contrário: se dois eventos (não vazios) são mutuamente exclusivos (disjuntos) eles são, necessariamente, dependentes, já que a ocorrência de um implica a não ocorrência de outro.

Resumindo: para dois eventos independentes temos:

P(A e B) = P(A)×P(B)

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)

Para dois eventos disjuntos (mutuamente exclusivos):

P(A e B) = 0

P(A ou B) = P(A) + P(B) Para dois eventos quaisquer:

P(A e B) = P(A)×P(B|A) = P(B)×P(A|B) P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Exemplo 1.4.1

Qual a probabilidade de que, jogando dois dados em seqüência, obtenhamos exatamente 7? E se na primeira jogada já obtivemos um 6?

Para obtermos um total de 7 temos os seguintes resultados possíveis: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1. O resultado de cada dado é independente do resultado do outro, de modo que:

P(1 e 6) = P(2 e 5) = P(3 e 4) = P(4 e 3) = P(5 e 2) = P(6 e 1) = 6 1×

6 1=

36 1

A probabilidade de que ocorra qualquer um desses resultados, tendo em vista que eles são mutuamente exclusivos é:

P[(1 e 6) ou (2 e 5) ou (3 e 4) ou (4 e 3) ou (5 e 2) ou (6 e 1)] = 36

1 + 36

1 + 36

1 + 36

1 + 36

1 + 36

1 = 6 1

Se já deu 6 no primeiro dado o único resultado possível para somar 7 é que dê 1 no segundo dado. A probabilidade é

6

1, portanto. De fato, usando a definição 3.4.1:

P(soma=7|1odado=6) =

6) dado P(1o

6) dado 1o e 7 P(soma

=

=

= =

6) dado P(1o

6) dado 1o e 1 dado P(2o

=

=

= =

6 1 36

1

=6 1

Note que:

P(soma=7|1odado=6) = P(soma=7)

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Referências

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