1Introdu¸c˜ao Geod´esicaseMomentoAngularConstantenoespa¸coAnti-deSitter(2,3)

Geod´esicas e Momento Angular Constante no espa¸co Anti-de Sitter (2,3)

Samuel A. Wainer

Instituto Tecnol´ogico de Aeron´autica, S˜ao Jos´e dos Campos, SP

Resumo. ConsidereM^adSLo Espa¸co de Anti-de Sitter Lorentziano de assinatura (2,3). Neste tra- balho demontraremos o fato de que se o movimento de uma part´ıcula restrita `aM^adSL, sem a¸c˜ao de nenhuma for¸ca detet´avel por observadores emM^adSL, acontece sob momento angular constante, visto emR^2,3,ent˜ao essa trajet´oria acontece em uma geod´esica tipo-tempo. Tamb´em demonstra- remos que qualquer trajet´oria em um geod´esica na estrutura M^adSL implica em movimento sob momento angular constante, visto emR^2,3.

Palavras-chave. Anti-de Sitter, Momento Angular, Geod´esicas, Relatividade Geral.

1 Introdu¸ c˜ ao

ConsidereR^p,q como sendo o par (R^p+q,˚g),onde˚g´e a m´etrica pseudo-Euclideana de assinatura (p, q). No que segue, denotaremos porSO(p, q) o grupo pseudo-ortogonal emR^p,q.

O espa¸co de Anti-de SitterM =SO(2,3)/S(1,3) de assinatura (2,3) ´e uma brana, ou seja uma subvariedade, na estrutura R^2,3. Definimos o espa¸co de Anti-de Sitter Lorentziano de assinatura (2,3) como a estruturaM^adSL= (M,g, D, τ_g,↑),onde sei:M →R⁵´e a aplica¸c˜ao inclus˜ao, ent˜ao g=i^∗˚g´e a m´etrica induzida,D´e a conex˜ao de Levi-Civita deM,τ_g ´e uma orienta¸c˜ao e↑´e uma orienta¸c˜ao no tempo emM (para mais detalhes, consulte [8, 9]).

Al´em disso, (M,g) ´e uma pseudo-esfera na estrutura R^2,3 e ´e um espa¸co-tempo com curva- tura Riemanniana constante. O grupo SO(2,3) age transitivamente em SO(2,3)/SO(1,3),que ´e, portanto, um espa¸co homogˆeneo (paraSO(2,3)).

O espa¸co de Anti-de Sitter e tamb´em o espa¸co de de Sitter vem sendo usados por muitos f´ısicos [4, 5] como espa¸co alternativo para movimento de part´ıculas e campos ao inv´es do espa¸co- tempo de MinkowskiM. Como ´e bem conhecido, o movimento natural de uma part´ıcula livre de massa mem Macontece sob momento linear constante p=mγ_∗ =cte, ondeγ :R→M ´e uma curva tipo-tempo. A quest˜ao que surge aqui ´e a seguinte:

Qual ´e o movimento natural de uma part´ıcula livre na estrutura (M,g)?

Uma sugest˜ao natural para o espa¸co de de Sitter [2] ´e que tal movimento acontece sob momento angular constanteLdeterminado por observadores do espa¸co ambiente em queM est´a mergulhado.

Guiados por tal ideia, apresentamos aqui o seguinte resultado:

a) Se uma part´ıcula viaja em uma geod´esica na estruturaM^asSL, ent˜ao seu momento angular LemR^2,3´e constante.

1wainer@ita.br.

b) Se uma part´ıcula de massamrestrita a se mover emM com momento angular constante em R^2,3, ent˜ao seu movimento quando visto por um observador na brana M ser´a descrito por uma geod´esica tipo-tempo na estruturaM^adSL.

Este trabalho est´a estruturado da seguinte maneira: na Se¸c˜ao 2 fixamos as nota¸c˜oes necess´arias, descrevemos o espa¸co Anti-de SitterM como uma pseudo-esfera mergulhada emR^2,3 e apresenta- mos a equa¸c˜ao de movimento geod´esico (de uma part´ıcula livre de massam) na estruturaM^adSL. Na Se¸c˜ao 3 apresentamos a equa¸c˜ao de movimento que uma part´ıcula de massa m restrita a se mover emM com momento angular constante em R^2,3 e com isso enunciamos o resultado de que os conceitos de momento angular constante e movimento geod´esico s˜ao equivalentes na estrutura M^adSL. Por fim, na Se¸c˜ao 4 apresentamos nossas conclus˜oes e perspectivas de trabalhos futuros.

2 Geod´ esicas no Espa¸ co Anti-de Sitter (2, 3)

Primeiramente vamos apresentar a descri¸c˜ao do espa¸co Anti-de Sitter de assinatura (2,3), M, como uma pseudo-esfera de raiol dentro da estruturaR^2,3.

Seja (X⁻¹, X⁰, X¹, X², X³) coordenadas cartesianas globais deR^2,3.A equa¸c˜ao representando a pseudo-esfera ´e

X⁻¹2

+ X⁰2

− X¹2

− X²2

− X³2

=l².

Aplicando a proje¸c˜ao estereogr´afica emM podemos introduzir coordenadas conformes{x^µ}em M. Imediatamente temos que²:

g=i^∗˚g=gµνdx^µ⊗dx^ν = Ω²ηµνdx^µ⊗dx^ν, onde

g_µν = Ω²η_µν, σ²=η_µνx^µx^ν, Ω = 4l²

4l²+σ² = 1 1 + _4l^σ22

, e X^µ = Ωx^µ, X⁻¹=lΩ

σ² 4l² −1

=l(1−2Ω).

Agora, escrevendoD_∂µ∂_ν= Γ^α_µν∂_α, os coeficientes de conex˜ao n˜ao nulos s˜ao:

Γ⁰₀₀=−Ω

2l²x⁰, Γ⁰₀₁= Ω

2l²x¹, Γ⁰₀₂= Ω

2l²x², Γ⁰₀₃= Ω 2l²x³, Γ⁰₁₁=−Ω

2l²x⁰, Γ⁰₂₂=− Ω

2l²x⁰, Γ⁰₃₃=− Ω

2l²x⁰, Γ¹₀₀= Ω 2l²x¹, Γ¹₀₁=−Ω

2l²x⁰, Γ¹₁₁= Ω

2l²x¹, Γ¹₁₂= Ω

2l²x², Γ¹₁₃= Ω 2l²x³, Γ¹₂₂=−Ω

2l²x¹, Γ¹₃₃=− Ω

2l²x¹, Γ²₀₀= Ω

2l²x², Γ²₀₂=−Ω 2l²x⁰, Γ²₁₁=−Ω

2l²x², Γ²₁₂= Ω

2l²x¹, Γ²₂₂= Ω

2l²x², Γ²₂₃= Ω 2l²x³, Γ²₃₃=−Ω

2l²x², Γ³₀₀= Ω

2l²x³, Γ³₀₃=− Ω

2l²x⁰, Γ³₁₁=−Ω 2l²x³, Γ³₁₃= Ω

2l²x¹, Γ³₂₂=− Ω

2l²x³, Γ³₂₃= Ω

2l²x², Γ³₃₃= Ω 2l²x³.

(1)

2A matriz com entradasηµν ´e uma matriz diagonaldiag(1,−1,−1,−1).

Sejaγ:I→M, s7→γ(s) uma geod´esica tipo-tempo emM. N´os sabemos que o campo vetorial tangenteγ_∗(s) = dx^α◦γ(s)

ds

∂

∂x^α _γ

satisfazDγ∗γ_∗= 0,que escrito em coordenadas ´e d²x^α

ds² + Γ^α_µνdx^µ ds

dx^ν

ds = 0. (2)

Usando os coeficientes de conex˜ao dados pela Eq.(1) obtemos a equa¸c˜ao da geod´esica para o espa¸co de Anti-de Sitter de assinatura (2,3):

d²x^α ds² −Ω

l²xµ

dx^µ ds

dx^α ds + Ω

2l²x^αdxµ

ds dx^µ

ds = 0. (3)

3 Momento Angular Constante e Geod´ esicas

Seja

EA:= ∂

∂X^A

, A=−1,0,1,2,3 a base canˆonica deTR^2,3 e seja

E^A:=dX^A uma base de T^∗R^2,3 dual a{EA}.

A m´etrica˚gem R^2,3´e dada por

˚g=η_ABE^A⊗E^B,

onde ´e a matriz com entradasη_AB ´e a matriz diagonaldiag(1,1,−1,−1,−1).

Al´em disso seja

˚g=η^AB =E_A⊗E_B

a m´etrica do fibrado cotangente (com η^ABη_BC =δ_C^A). Finalmente seja{EA}a base rec´ıproca de E^A , i.e., ˚g(E^A, EB) =δ_B^A.Introduzimos a base{EA}deR⁵e consideramos a identifica¸c˜ao usual EA(p)'EA(p⁰)' EA, ∀p, p⁰ ∈R⁵.

Sejam X = X^AEA o covetor posi¸c˜ao, P = mX¨^BEB o covetor momento linear em R^2,3 e L = X ∧P o momento angular de uma part´ıcula de massa m em R^2,3. Se a part´ıcula est´a se movendo livremente³na subvariedadeM,uma hip´otese natural ´e que o momento angular emR^2,3 desta part´ıcula seja uma constante de movimento.

L=cteimplica imediatamente em 1

2(X^AX¨^B−X¨^AX^B)EA∧ EB= 0. (4) Assim, paraα, β= 0,1,2,3 teremosX^αX¨^β−X¨^αX^β= 0, i.e.,

x^α

−Ω l²x_µdx^µ

ds dx^β

ds +d²x^β ds²

−

−Ω l²x_µdx^µ

ds dx^α

ds +d²x^α ds²

x^β= 0. (5)

Tamb´em, da equa¸c˜aoX^αX¨⁻¹−X¨^αX⁻¹= 0,segue que

−(2Ω−1) d²x^α

ds² + 1 l²Ωxi

dxⁱ ds

dx^α ds

+ 1 2l²Ω

1 l²Ωxixj

dxⁱ ds

dx^j ds +dxi

ds dxⁱ

ds +xi

d²xⁱ ds²

x^α= 0. (6)

3Do ponto de vista f´ısico, dizer que se move livremente quer dizer que observadores morando emM n˜ao podem detectar nenhuma for¸ca agindo na part´ıcula.

Estas s˜ao as equa¸c˜oes do movimento de acordo com a estruturaM^adSL. Fixadas tais nota¸c˜oes e hip´oteses, podemos demonstrar a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 3.1.

a) Se uma part´ıcula viaja em uma geod´esica na estrutura M^asSL, ent˜ao seu momento angular Lem R^2,3 ´e constante.

b) Se uma part´ıcula de massamrestrita a se mover emM com momento angular constante em R^2,3, ent˜ao seu movimento quando visto por um observador na brana M ser´a descrito por uma geod´esica tipo-tempo na estruturaM^adSL.

Tal resultado segue da compara¸c˜ao entre as Eqs. (5), (6), com a Eq. (3).

4 Conclus˜ oes

O espa¸co de Anti-de Sitter e tamb´em o espa¸co de de Sitter vem sendo estudados como um espa¸co natural para o movimento de part´ıculas e campos ao inv´es do espa¸co-tempo de Minkowski M.Discutimos essas propriedades para o espa¸co de de Sitter em [7, 8]. Recentemente [6], demons- tramos que usando o formalismo do fibrado de Clifford [9], a hip´otese que uma part´ıcula movendo livremente no espa¸co de de Sitter com momento angular constante visto do espa¸co ambiente leva naturalmente `a uma equa¸c˜ao de Dirac [1] nesse espa¸co. Com as afirma¸c˜oes demonstradas na Pro- posi¸c˜ao 3.1, sobre a equivalˆencia entre geod´esicas e momento angular constante visto do espa¸co ambiente, podemos esperar que o mesmo ´e v´alido para o Espa¸co Anti-de Sitter, isto ´e, utilizando o formalismo do fibrado de Clifford, podemos obter uma equa¸c˜ao de Dirac, o que pretendemos demonstrar em trabalhos futuros.

Referˆ encias

[1] Dirac, P. A. M., The Electron Wave Equation in De-Sitter Space, Ann. Math. 36, 657-669, 1935.

[2] G¨ursey, F., Introduction to Group Theory, in DeWitt, C. and DeWitt, B. (eds.), Relativity, Groups and Topology, pp 91-161, Gordon and Breach, New York, 1964.

[3] Hawking, S. W. e Ellis, G. F. R.,The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ.

Press, Cambridge, 1973.

[4] Pereira, J. G. e Sampson, A. C., de Sitter Geodesics: Reappraising the Notion of Motion,Gen Relativ Gravit,44, 1299–1308, (2012).

[5] Pereira, J. G., Sampson, A. C. e Savi L. L., de Sitter Transitivity, Con-formal Transformations and Conservation Laws,Int. J. Mod. Phys, D23, 1450035 (2014).

[6] Rodrigues, W. A. Jr., Wainer, S. A., Rivera-Tapia, M., Notte-Cuello, E. A., Kondrashuk, I., A Clifford Bundle Approach to the Wave Equation of a Spin 1/2 Fermion in the de Sitter Manifold,Adv. Appl. Clifford Algebras, 253-277 (2016).

[7] Rodrigues, W. A. Jr. and Wainer, S. A., Notes on Conservation Laws, Equations of Motion and Particle Field in Lorentzian and Teleparallel de Sitter Spacetime Structures,Adv. Math.

Phys.2016, 5465263 (2016)

[8] Rodrigues, W. A. Jr., Wainer, S.A. On the Motion of a Free Particle in the de Sitter Manifold.

Adv. Appl. Clifford Algebras 27, 1761–1767 (2017).

[9] Rodrigues, W. A. Jr. and Capelas de Oliveira, E., The Many Faces of Maxwell, Dirac and Einstein Equation,. A Clifford Bundle Approach (second edition, revised and enlarged), Lec- ture Notes in Physics922, Springer, Heidelberg, 2016.