Calculando distâncias e direções utilizando Coordenadas Geográficas CARLOS EDUARDO FALCONI
INTRODUÇÃO
Antes de iniciar este estudo, é preciso relembrar os conceitos de DLA (diferença de latitude) e DLO (diferença de longitude).
A primeira – DLA – é a diferença angular entre duas latitudes, podendo ser de no máximo 180 graus, pois é a diferença entre 90ºN e 90ºS.
A segunda – DLO – é a menor diferença angular entre duas longitudes, podendo ser, também, de no máximo 180 graus, pois é a diferença entre a longitude de um meridiano qualquer e seu anti-meridiano (oposto a ele em 180º).
Para se calcular a distância entre duas localidades apenas sabendo-se as coordenadas, precisaremos também lembrar como converter estes valores de DLA e DLO em distância.
Para se calcular a direção entre duas localidades será necessário relembrar conceitos de trigonometria, como veremos mais à frente.
TRANSFORMANDO UM VALOR DE DLA OU DLO EM DISTÂNCIA
Para transformar um valor angular em distância, basta relembrar suas equivalências.
Como se sabe, 1º = 60 NM, assim pode-se concluir que 60′ = 60 NM \ 1′ = 1 NM.
Ocorre que 1′ = 60″, assim pode-se concluir que 60″ = 1 NM, ou seja, 1″ = 1/60 NM.
Sabendo-se estas equivalências, fica fácil transformar qualquer valor de DLA ou DLO em distâncias. Observe o exemplo a seguir.
Vamos converter o valor 23º 30’ 36” em distância. Basta isolar cada valor e converter individualmente, somando os resultados.
23º X 60 = 1.380
30’ X 1 = 30 36” ÷ 60 = 0,6
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1.380 + 30 + 0,6 = 1.410,6 NM x 1,852 = 2.612,4 Km
Obviamente, este método vale para distâncias pequenas (menores do que 800 NM), pois o correto seria levar em conta a curvatura terrestre; no entanto, o método funciona muito bem, como veremos adiante.
CALCULANDO A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS GEOGRÁFICOS
Pode ocorrer de, em determinado momento, o piloto ter as coordenadas entre dois pontos, mas não ter em mãos a carta ou algum equipamento para calcular a distância entre elas. Quando isto acontecer, basta utilizar o que já se conhece sobre coordenadas geográficas. Já foi visto que uma coordenada geográfica utiliza o sistema cartesiano para indicar localidades. Fazendo uma análise simples, qualquer coordenada pode ser representada em um sistema de eixos do tipo “x” e “y”.
Vamos pegar como exemplo as coordenadas geográficas das duas cabeceiras da pista de SBMT (Aeroporto Campo de Marte, São Paulo):
SBMT: PISTA 12 (23º 30’ 29,93” S/046º 38’ 32,90” W) -SBMT: PISTA 30 (23º 30’ 36,50” S/046º 37’ 53,01” W)
Vamos agora calcular o comprimento da pista, utilizando as duas coordenadas.
Basta uma pequena análise para se perceber que o comprimento da pista é definido por uma linha que liga os dois pontos e que esta linha nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo definido pelas diferenças de latitude (DLA) e de longitude (DLO), que são os catetos entre estes pontos. Veja o esquema abaixo:
Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Podemos
considerar que um dos catetos é a DLA e o outro a DLO, sendo a hipotenusa o comprimento da pista (ou a distância entre os dois pontos). Assim, valerá sempre a fórmula:
COMPRIMENTO 2 = DLA 2 + DLO 2 Vamos, então, calcular as DLA e DLO:
DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57”
DLO = 046º 38’ 32,90” –046º 37’ 53,01” = 39,89”
Sabendo o valor das DLA e DLO, basta transformá-las em distância, dividindo-as por 60:
DLA = 6,57” ÷ 60 = 0,1095 NM x 1.852 = 202,8 metros DLO = 39,89” ÷ 60 = 0,6648 NM x 1.852 = 1.231,2 metros Colocando-se os valores na fórmula:
COMPRIMENTO 2 = 202,8 2 + 1.231,2 2 = raiz (41.127,84 + 1.515.853,44) COMPRIMENTO = 1.247,8 metros
Para provar que o cálculo está correto, vamos utilizar a ferramenta régua do Google Earth:
CALCULANDO A DIREÇÃO ENTRE DOIS PONTOS GEOGRÁFICOS
Até o momento, utilizou-se apenas uma calculadora simples para os cálculos, necessitando-se somente do valor de uma raiz quadrada.
Veremos agora que, apesar de um pouco complexo, há a possibilidade de se efetuar o cálculo da direção entre dois pontos geográficos. Para isso, será necessário rever conceitos de básicos de trigonometria e da teoria dos triângulos.
Como o triângulo que vamos estudar é um triângulo retângulo, teremos o seguinte desenho:
Pela teoria dos triângulos, a soma interna de todos os ângulos é sempre igual a 180º. Assim,
α + β + 90º = 180º
Basta, portanto, achar α para achar β ou vice-versa:
α = 90º –β β = 90º –α
Para calcular o valor dos ângulos, é necessário lembrar-se dos conceitos de trigonometria.
O valor de um ângulo em um triângulo retângulo pode ser assim calculado:
•Tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre o adjacente
•Seno de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa
•Cosseno de um ângulo é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa
Sabendo-se disso, tomando-se por base o ângulo α , podemos deduzir que:
tan α = DLA ÷ DLO sen α = DLA ÷ distância cos α = DLO ÷ distância
Uma vez que os valores de DLA e DLO são mais facilmente encontrados, vamos, então, aplicar estes valores utilizando a fórmula da tangente de α :
tang α = 202,8 ÷ 1.231,3 = 0,1647
Sabendo-se o valor da tangente, basta calcular a tangente inversa, ou seja, o arco-tangente deste ângulo. O resultado desta operação, que deverá ser feita utilizando-se uma calculadora com esta função ou o Excel – como veremos a seguir – pode ser assim representado:
arctan α = tan-1 α
Esta operação dá o valor em radianos, os quais devem ser convertidos em graus.
Uma calculadora mais avançada faz este cálculo rapidamente, bastando clicar na função “inverso” e depois na função “graus/radianos”.
No Excel basta colocar a seguinte fórmula:
=graus(atan(tanα))
=graus(atan(DLA/DLO))
Aplicando esta fórmula no Excel, temos:
α = graus(atan(0,1647)), o resultado será 9,352651º, ou seja, arredondando-se para números inteiros, será 9º.
Se α = 9º, β = 90º –α \ β = 90º – 9º = 81º, ou seja:
α = 9º β = 81º
É importante ressaltar que estes valores são da parte interna do triângulo, que ficará assim:
Portanto, os valores dos Rumos Verdadeiros (RV) das pistas 12 e 30 serão, respectivamente:
RV PISTA 12 = 180º – 81º = 99º RV PISTA 30 = 270º + 9º = 279º
Como a declinação magnética do SBMT é 21ºW, os Rumos Magnéticos serão, respectivamente:
RM PISTA 12 = 99º + 21º = 120º RM PISTA 30 = 279º + 21º = 300º
Isto prova que os cálculos estão corretos, pois senão as pistas não seriam 12 e 30.
