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Introdução à probabilidade e à estatística II

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Academic year: 2022

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Introdu¸c˜ ao ` a probabilidade e ` a estat´ıstica II

Distribui¸c˜ao amostral

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/∼patriota

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Estima¸c˜ ao

Quando n˜ao conhecemos a fun¸c˜ao densidade de probabilidades (ou fun¸c˜ao de probabilidades para o caso discreto) criamos um modelo estat´ıstico para que os dados indiquem a medida de probabilidade mais adequada a ser utilizada.

SejaX uma vari´avel aleat´oria de interesse com modelo estat´ıstico (X,P), sendoP ={Pθ: θ∈Θ}.

Um dos interesses ´e estimar θ, ou seja, escolher uma medida de probabilidades da fam´ıliaP para descrever o comportamento dos dados. Assim poderemos fazer inferˆencias sobre a vari´avel de interesse (calcular probabilidades, predizer valores, etc).

Para isso retiramos uma amostra deX (vari´aveis independentes e identicamente distribu´ıdas),X1,X2, . . . ,Xn em que todas essas vari´aveis possuem exatamente a mesma distribui¸c˜ao de X.

(3)

M´ etodos de estima¸c˜ ao

Pode-se obter estimadores para a quantidade desconhecidaθ aplicandos algum m´etodo de estima¸c˜ao. Os seguintes foram estudados:

1. M´etodos de momentos (igualando os momentos populacionais com os amostrais),

2. M´axima verossimilhan¸ca (maximizando a fun¸c˜ao de verossimilhan¸caL(θ)).

Existem outros m´etodos de estima¸c˜ao, a saber: m´ınimos quadrados, quasi-verossimilhan¸ca, verossimilhan¸ca perfilada, Bayesiano, etc.

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Estudo do comportamento dos estimadores

Seja ˆθo estimador deθ obtido segundo algum dos m´etodos de estima¸c˜ao estudados.

Sabemos que o valor observado de ˆθ(a estimativa obtida) depende dos valores observados da amostrax1, . . . ,xn.

Se tivessemos retirado outra amostrax1, . . . ,xn ter´ıamos obtido outra estimativa ˆθ.

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Exemplo 1: Vari´ aveis de Bernoulli

Seja “X uma v.a. que vale 1 se o paciente tiver algum tipo de cˆancer e zero caso contr´ario”,

Ent˜ao, utilizaremos o modelo estat´ıstico de Bernoulli, em que para cadaθ∈Θ≡(0,1), temos:

Pθ(X = 1) =θ e Pθ(X = 0) = 1−θ, sendoθa probabilidade de ter algum tipo de cˆancer.

Para estimarθcriamos um experimento que produza uma amostra X1, . . . ,Xn, sendoXi = 1 se o paciente apresentar cˆancer e zero caso contr´ario.

Segundo o m´etodo de momentos (e m´axima verossimilhan¸ca) obtemos o seguinte estimador:

θˆ= ¯X

(6)

Exemplo 1: Vari´ aveis de Bernoulli

Paran= 3, a distribui¸c˜ao associada ao estimador da propor¸c˜ao (m´edia amostral) ´e:

(X1,X2,X3) θˆ P(X1,X2,X3) (0,0,0) 0 (1−θ)3 (1,0,0) 1/3 θ(1−θ)2 (0,1,0) 1/3 θ(1−θ)2 (0,0,1) 1/3 θ(1−θ)2 (1,1,0) 2/3 θ2(1−θ) (1,0,1) 2/3 θ2(1−θ) (0,1,1) 2/3 θ2(1−θ)

(1,1,1) 1 θ3

Na pr´atica podemos observar uma das possibilidades acima!

Qual a esperan¸ca e variˆancia de ˆθ= ¯X para este caso?

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Exemplo 1

Paran geral, a distribui¸c˜ao associada a propor¸c˜ao amostral (m´edia amostral, pois ˆθ= ¯X) ´e:

P

θˆ= i n

= n

i

θi(1−θ)n−i,

parai = 0,1,2, . . . ,n. Ou seja,conseguimos saber a distribui¸c˜ao exata da m´edia amostral quando as vari´aveis envolvidas s˜aode Bernoulli. Calcule a esperan¸ca e variˆancia de ˆθ.

Note que se ˆθ= ni, ent˜ao observamos na nossa amostra i sucessos en−i fracassos:

(x1,x2, . . . ,xn) = (

i

z }| { 1,1, . . . ,1,

n−i

z }| { 0,0, . . . ,0).

Ser´a que sempre ´e poss´ıvel obter a distribui¸c˜ao da m´edia amostral?

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Exemplo 2: Vari´ aveis de Poisson

Seja “X o n´umero de pacientes que entram em um hospital durante 8:00–9:00” uma vari´avel Poisson.

Ent˜ao, podemos utilizar o modelo estat´ıstico de Poisson, em que para cadaθ∈Θ≡R+:

Pθ(X =k) = exp(−θ)θk k!

Para estimarθcriamos um experimento que produza uma amostra deX, a saberX1, . . . ,Xn.

Segundo o m´etodo de momentos (e m´axima verossimilhan¸ca) obtemos o seguinte estimador:

θˆ= ¯X

(9)

Paran= 3, a distribui¸c˜ao associada ao estimador deθ (m´edia amostral) ´e:

(X1,X2,X3) θˆ P(X1,X2,X3) (0,0,0) 0 exp(−3θ) (1,0,0) 1/3 exp(−3θ)θ (0,1,0) 1/3 exp(−3θ)θ (0,0,1) 1/3 exp(−3θ)θ (2,0,0) 2/3 exp(−3θ)θ2/2 (0,2,0) 2/3 exp(−3θ)θ2/2 (0,0,2) 2/3 exp(−3θ)θ2/2 (1,1,0) 2/3 exp(−3θ)θ2 (1,0,1) 2/3 exp(−3θ)θ2 (0,1,1) 2/3 exp(−3θ)θ2 (3,0,0) 1 exp(−3θ)θ3/6 (0,3,0) 1 exp(−3θ)θ3/6 (0,0,3) 1 exp(−3θ)θ3/6

... ... ...

Note a dificuldade em listar todas as possibilidades...

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Distribui¸c˜ ao da m´ edia amostral para n grande

Conseguimos derivar a distribui¸c˜ao da m´edia amostral para vari´aveis de Bernoulli.

Por´em, observamos certa dificuldade em encontrar a distribui¸c˜ao da m´edia amostral para outros tipos de vari´aveis (algumas vari´aveis discretas e cont´ınuas).

Veremos que quando o tamanho amostraln´e grande, poderemos aproximar a distribui¸c˜ao da m´edia amostral pela distribui¸c˜ao normal.

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Distribui¸c˜ ao da m´ edia amostral: Caso Bernoulli

n=10 e θ =0.1

θ^

0.00.10.20.3

0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1

n=50 e θ =0.1

θ^

0.000.050.100.15

0 0.08 0.20.30.40.50.60.70.80.9 1

n=100 e θ =0.1

θ^

0.000.040.080.12

0 0.080.190.30.40.50.60.7 0.80.9 1

n=10 e θ =0.5

θ^

0.000.050.100.150.20

0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1

n=50 e θ =0.5

θ^

0.000.020.040.060.080.10

0 0.08 0.20.30.40.50.60.70.80.9 1

n=100 e θ =0.5

θ^

0.000.020.040.06

0 0.080.190.30.40.50.60.7 0.80.9 1

n=10 e θ =0.9

θ

^

0.00.10.20.3

0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1

n=50 e θ =0.9

θ

^

0.000.050.100.15

0 0.08 0.20.30.40.50.60.70.80.9 1

n=100 e θ =0.9

θ

^

0.000.040.080.12

0 0.080.190.30.40.50.60.7 0.80.9 1

(12)

Distribui¸c˜ ao da m´ edia amostral: Caso Bernoulli

Os gr´aficos sugerem que a distribui¸c˜ao m´edia amostral para o caso Bernoulli se aproxima de uma distribui¸c˜ao normal `a medida quen cresce.

Observe que o ponto de localiza¸c˜ao da m´edia amostral ´eθ e a variabilidade vai diminuindo quandon cresce.

Assim quandon´e grande, podemos ent˜ao aproximar a distribui¸c˜ao da propor¸c˜ao amostral padronizando a m´edia amostral:

X¯ −E( ¯X) pVar( ¯X)

≈N(0,1)

Precisamos calcular a esperan¸ca matem´atica e a variˆancia de ¯X.

(13)

Propriedades da M´ edia e Variˆ ancia – para o caso geral

SejaX uma vari´avel aleat´oria e X1, . . . ,Xn uma amostra aleat´oria (independentes e identicamente distribu´ıdas) deX.

Ent˜ao:

E( ¯X) =E 1

n

n

X

i=1

Xi

= 1 n

n

X

i=1

E(Xi) =E(X) e

Var( ¯X) =Var 1

n

n

X

i=1

Xi

= 1 n2

n

X

i=1

Var(Xi) = Var(X) n

Importante: A variˆancia da soma ser´a a soma das variˆancias quando as vari´aveis envolvidas forem independentes.

(14)

Distribui¸c˜ ao da m´ edia amostral: Caso Bernoulli

Utilizando as regras da esperan¸ca matem´atica, para o caso Bernoulli temos queEθ(X) =θe Varθ(X) =θ(1−θ).

Portanto

Eθ( ¯X) =θ e

Varθ( ¯X) = θ(1−θ) n

Assim, quandon ´e grande:

X¯ ≈N

θ,θ(1−θ) n

ou padronizando:

√n ( ¯X −θ)

pθ(1−θ) ≈N(0,1)

(15)

Teorema do Limite Central

De forma geral, a aproxima¸c˜ao acima vale para outras vari´aveis aleat´orias, n˜ao s´o para a Bernoulli.

SejaX1, . . . ,Xn uma amostra aleat´oria deX tal que Eθ(X) =µθ e exista a variˆancia Varθ(X) =σ2θ <∞. Ent˜ao, a aproxima¸c˜ao

√n( ¯X−µθ) q

σ2θ

≈N(0,1)

´e v´alida paran grande.

Note queX pode ser qualquer distribui¸c˜ao que satisfa¸ca σθ2<∞:

o modelo estat´ıstico pode ser Bernoulli, Binomial, Poisson, Exponencial, Uniforme, etc.

Verifique se vale para a t-Student com 1 grau de liberdade.

(16)

Exemplos

Ache a distribui¸c˜ao amostral aproximada (usando o teorema do limite central) para os seguintes modelos estat´ısticos

1. Exponencial 2. Poisson 3. Uniforme

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Caso especial

Um caso especial ocorre para o modelo estat´ıstico Normal, ou seja, quandoX ∼N(µ, σ2) e θ= (µ, σ2)∈Θ≡R×R+. Neste caso temos que

SejaX1, . . . ,Xn uma amostra aleat´oria deX e pelo m´etodo de momentos (e de m´axima verossimilhan¸ca) temos que ˆµ= ¯X. Sabemos que

√n( ¯X −µ)

σ2 ∼N(0,1)

´e v´alida para qualquer valor den≥1.

Ou seja, quando assumimos o modelo normal, a distribui¸c˜ao de ¯X ser´a normalEXATA.Para outros casos temos apenas uma aproxima¸c˜ao.

Referências

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