; D ' = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}

Capítulo 2 – Generalidades sobre funções

F15

Pág. 37

1.1. (x, 2); (p, 2); (t, 2); (o, 2)

1.2. Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais quando e apenas quando a = c e b = d.

Assim, ^_^{− ×3 2}₅^{; a}_⁼

(

^{b; 1,5}

)

^{quando − × =3} ₅^{2 b e a =} 1,5, ou seja, = −6

b 5 e a = 1,5.

2. A 1 (1, 3); B 1 (3, 7); C 1 (5, 2); D 1 (7, 0); E 1 (9, 1); F 1 (9, 8).

3.1. I 1 (− 2, 2); B 1 (− 2, − 2); P 1 (8, − 4); T 1 (5, 3) 3.2.

3.3. 4 unidades

Pág. 38

4. A 1 (4, 6); B 1 (1, 1); C 1 (6, 4); D 1 (4, 0); E 1 (6, –4); F 1 (1, –1) ; G 1 (4, –6); H 1 (0, –4); I 1 (–4, –6); J 1 (–1, –1); K 1 (–6, –4); L 1 (–4, 0);

M 1 (–6, 4); N 1 (–1, 1); O 1 (–4, 6); P 1 (0, –4) 5.

6. Por exemplo: O pirata dirigiu-se sucessivamente para os pontos de coordenadas (2, 1), (4, 0), (6, 2) e (4, 4).

F16

Pág. 39 1. As correspondências em 1.1. e 1.2. e 1.4. são funções, pois a cada elemento do conjunto

A corresponde um e um só elemento do conjunto B.

A correspondência em 1.3. não é uma função, pois o elemento 3 do conjunto A não tem correspondência no conjunto B.

2.1. a) ^{f a}

( )

^{= −1 b) f b}

( )

^{= −2 c) f c}

( ) ( )

^{=f d =0}

2.2. Domínio de f: D_f ⁼

{

a b c d , , ,

}

Contradomínio de f: D^'f ^{= −}

{

^{2, −1, 0}

}

Conjunto de chegada de f:

{

^{−2, −}1, 0, 1

}

Pág. 40

3.1. O João deve dormir 11 horas. A Joana tem 16 anos.

3.2. A correspondência entre a idade e o número de horas de sono é uma função, pois a cada idade (em anos) de um indivíduo corresponde apenas um número de horas de sono.

3.3. D_f ⁼

{

2, 6, 10, 12, 16, 18

}

{ }

=

'_f 8, 9, 11, 12, 15, 16

D

3.4. ^f

( )

^{6 =1,5}. Significa que uma criança com 6 anos deve dormir 15 horas por dia.

3.5. O objeto 10.

3.6. ^f

( )

^{2 =16 e f}

( )

^{16 =9.}

4.1. D_g ⁼

{

1, 2, 3, 4

}

; D^'g ^{= −}

{

^{2, −1, 0}

}

4.2. a) ^g

( )

^{1 = −2 b) g}

( )

^{2 =g}

( )

^{3 = −1 c) g}

( )

^{4 =0}

4.3.

5.1. a(2.^a feira) = leite 5.2. s(3.^a feira) = chocolate 5.3. j(6.^a feira) = água

5.4. m(6.^a feira) = água 5.5. a(3.^a feira) = s(2.^a feira) 5.6. m(6.^a feira) = j(4.^a feira)

F17

Pág. 41

1.1. a)  

= − − 

 

1 3 1; ; ; 2,5

2 2

Dg e D^'_g ^{= −}

{

1; 0; 0,5

}

b) Conjunto de chegada:

{

⁻1; 0; 0,5; 2

}

c) ^

(

⁻

)

^_^{−   }_{ } ^{− }_

(

⁻

)

^

 

1 3

1, 0 ; ; 0,5 ; , 1 ; 2,5; 1

2 2

Gg

1.2. a) D_h ^{= −}

{

^{4, −}2, 0, 2, 4, 6, 8, 10

}

e D^'_h ^{= −}

{

2, 0, 1, 2, 4

}

b) ^h

( )

^{0 =4; h}

( )

^{− =2 1; h}

( )

^{6 = −2}

c) 2 é o objeto cuja imagem por h é 0.

d) A afirmação é falsa. 2 é imagem, por f, dos objetos – 4, 4 e 10.

e) G_h ^{= −}

{ (

^{4, 2 ;}

) (

⁻2, 1 ; 0, 4 ; 2, 0 ; 4, 2 ; 6,

) ( ) ( ) ( ) (

⁻2 ; 8, 4 ; 10, 2

) ( ) ( ) }

Pág. 42

1.3. a) O conjunto A. O conjunto B não pode representar o gráfico de uma função, pois é constituído por pares ordenados com o mesmo 1.° elemento.

b) D^{= −}

{

1; 0,5; 2; 3

}

e ^{D'= −}

{

^{1, 1, 2}

}

2. O gráfico C não representa uma função, pois ao número 0 correspondem dois números distintos, 1 e 4.

3.1. Variável independente: tempo (s); Variável independente: distância percorrida, em (m).

3.2.

F18

Pág. 43

1.1. a) D_f ⁼

{

1, 2, 3, 4, 5

}

e D^'_f ⁼

{

3, 6, 9, 12, 15

}

b) Observando o diagrama conclui-se que a cada valor de x faz-se corresponder o seu triplo. Assim, ^{f x}

( )

⁼³x , sendo x∈A.

1.2. a) Como, f

( )

− = × − + = −3 2

( )

3 3 3, f

( )

− = × − + = − + =1 2

( )

1 3 2 3 1, ^f

( )

^{2 = × + =2 2 3 7e}

( )

^{5 = × + =2 5 3 13}

f , então D^'_f ^{= −}

{

3, 1, 7, 13

}

.

Como ^g

( ) ( )

^{− = −3 3 2− = − =2 9 2 7, g}

( ) ( )

^{− = −1 12 − = − = −2 1 2 1,}

( )

^{2 =22 − = − =2 4 2 2}

g e g(5)=5²− =2 25− =2 23, então D^'_f ^{= −}

{

1, 2, 7, 23

}

. b) ^{f x}

( )

^{=2x+3 e g x}

( )

^{=x2−2 .}

1.3. a) Determinemos, para cada valor x∈A , (x).

( )

^{0,5 = −0,5+0,5=0}

h ^h

( )

^{1 = − +1 0,5= −0,5}

( )

^{1,5 = −1,5+0,5= −1}

h ^h

( )

^{2 = − +2 0,5= −1,5}

( )

^{2,5 = −2,5+0,5= −2}

h

Assim, Dh ^{= −}

{

^{2; −1,5; −1; −0,5; 0}

}

.

b) Representemos os pontos do plano no referencial cartesiano.

Pág. 44

1.4. a) D_f ^{= −}

{

1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

}

; D^'_f ^{= −}

{

^{2, −}1, 0, 1, 2, 3, 4

}

b) A cada valor de x do domínio corresponde f x , tal que

( )

^{f x}

( )

^{= −x 1.}

Assim, a função pode ser definida pela expressão ^{f x}

( )

^{= −x 1.}

2.1.  

= − 

 

1, 1, 2, 5

h 3

D ;  

= − − − 

 

1 1 2 5

' , , ,

3 3 3 9

Dh

2.2.

2.3. Por exemplo,

2.4. Para cada valor de x do domínio da função h, h x é definido pela expressão

( )

^{h x}

( )

^{= −}₃^x.

3.1. O lucro é calculado a partir da diferença entre a receita obtida e o custo.

Assim, ^{L n}

( )

^=3n−500.

3.2. A variável independente é o número de bilhetes e a variável dependente é o lucro.

3.3. A Associação de Estudantes obterá lucro máximo se conseguir esgotar a capacidade do pavilhão, ou seja, vender os 400 bilhetes.

Assim, ^L

(

⁴⁰⁰

)

corresponde ao lucro máximo, ou seja, 400 3× −500=1200−500=700. O lucro máximo é 700 €.

3.4. A Associação terá de vender um determinado número de bilhetes, n, tal que, no mínimo,

= 3n 500.

Ora, 3n=500 é equivalente a n=500 : 3≈166,67. Portanto, no mínimo, é necessário vender 167 bilhetes.

A2

Pág. 45

1.1. Df ⁼

{

^{1, 2, 3}

}

; D^'f ⁼

{

^{3, 5, 7}

}

Conjunto de chegada:

{

3, 5, 7, 8

}

1.2. • ^f

( )

^{1 =3}

• ^f

( )

^{3 =5}

• O objeto que tem por imagem 5 é 2.

2.1. É, pois a cada hora do dia corresponde um e um só valor de temperatura.

2.2. e 2.3.

2.4. Não, pois só se conhece a temperatura às 13 h e às 15 h.

2.5. A temperatura máxima foi 40 °C e ocorreu às 11 h.

2.6. A temperatura aumentou entre as 9 h e as 11 h e entre as 17 h e as 21 h.

A temperatura diminuiu entre as 11 h e as 17 h e entre as 21 h e as 23 h.

2.7. O gráfico, pois a sua visualização permite responder à questão anterior de forma mais rápida.

Pág. 46

3.1. Determinemos, para cada valor de x∈A , o valor de ^{f x :}

( ) ( )

^{− =2 −2+ = − + =2 1 2 1}

f 2

  −

− = + = − + = − + =

 

  1

1 2 2 1 2 1 8 7

2 2 4 4 4 4

f

 = + = + = + =

   1

1 3 2 1 2 1 12 13

3 2 6 6 6 6

f

 = + = + = + =

   3

3 4 2 3 2 3 16 19

4 2 8 8 8 8

f

( )

^{2 = + = + =2}₂ ^{2 1 2 3}

f

Portanto,  

= 

 

7 13 19

' 1, , , , 3

4 6 8

Df

3.2. ^{= −}

( )

^^{−  }  ^{ }  ^

( )

^

     

 

1 7 1 13 3 19

2, 1 ; , ; , ; , ; 2, 3

2 4 3 6 4 8

Gf

4.1. Determinemos os valores de g x , para cada valor de

( )

x∈A .

( )

^{− = − + =2 2 2 0}

g

 

− = − + =

 

 

1 1 3

2 2 2 2

g

( )

^{0 = + =0 2 2}

g

( )

^{1 = + =1 2 3}

g

( )

^{2 = + =2 2 4}

g

Logo,  

= 

 

' 0, 3, 2, 3, 4

g 2

D .

4.2. ^{= −}

( )

^_^{− }_^

( ) ( ) ( )

^

 

1 3

2, 0 ; , ; 0, 2 ; 1, 3 ; 2, 4

2 2

Gh

5.1. ^c

(

^Marta

)

corresponde ao número total de idas ao cinema pela Marta no primeiro semestre de 2012.

( )

= + + + + + =2 1 3 3 4 5 18 c Marta

Significa que a Marta foi 18 vezes ao cinema neste período de tempo.

5.2. D_c ⁼

{

Marta, Afonso, João, Sofia

}

(

Afonso

)

= + + + + + =3 0 1 3 2 3 12

c c

(

João

)

= + + + + + =2 1 1 2 3 3 12

(

Sofia

)

= + + + + + =2 2 1 2 3 2 12

c

Logo, ^{D'c =}

{

^{12, 18}

}

5.3. ^p

(

^Afonso

)

^{=12 4,50× =54}

(

^Afonso

)

p corresponde ao custo total que o Afonso teve coma compra dos bilhetes de cinema no 1.° trimestre do ano de 2012.

5.4. D_p ⁼

{

Marta, Afonso, João, Sofia

}

Determinemos para cada valor de x, ^{p x :}

( ) (

^Marta

)

^=18+4,50=81

p ; ^p

(

^João

)

^=p

(

^Sofia

)

^=p

(

^Afonso

)

⁼⁵⁴

Portanto, ^{D'p =}

{

^{54, 81}

}

5.5. Ora,

(

^Marta

)

₌¹⁸₌₃

6 6

c

Significa que, em média, a Marta foi ao cinema, no 1.° semestre de 2012, 3 vezes ao cinema, por mês.

5.6.

(

^Afonso

)

₌

(

^João

)

₌

(

^Sofia

)

₌¹²₌₂

6 6 6 6

c c c

Portanto, em média, o Afonso, o João e a Sofia foram 2 vezes ao cinema, por mês, no 1.°

semestre de 2012.