Slides Limites

(1)

Limites de Funções

Bases Matemáticas

BIS 0003

(2)

Visão Geral 1 _{Limites Finitos} Preliminares Limite no ponto Limites laterais Limite para x → ±∞ 2 Limites infinitos Limite no ponto

Limites laterais infinitos Limite para x → ±∞

3 _Continuidade

Definição e exemplos Resultados importantes

4 _{Cálculo de Limites}

Uso de continuidade para cálculo de limites Funções Compostas

(3)

3 _Continuidade

(4)

3 _Continuidade

(5)

3 _Continuidade

(6)

Limites Finitos

(7)

Limites Finitos Preliminares

Preliminares

Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto

O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação em torno de um ponto.

Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo. Convém então lembrar que são equivalentes as expressões

|a − b| < r b − r < a < b + r

(8)

Preliminares

Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação em torno de um ponto.

|a − b| < r b − r < a < b + r

(9)

Preliminares

Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.

Convém então lembrar que são equivalentes as expressões |a − b| < r

b − r < a < b + r a ∈ (b − r , b + r )

(10)

Preliminares

|a − b| < r b − r < a < b + r

(11)

Assim, para expressar

"a está suficientemente próximo de b"

dizemos

(12)

Assim, para expressar

"a está suficientemente próximo de b" dizemos

(13)

Limites Finitos Limite no ponto

Limite para x → a

Ponto de acumulação

Seja dada uma função f (x) e um número real a. Dizemos que a é ponto de acumulação de Dom f , se

∃ r > 0(a − r , a + r ) ⊂ Dom f \{a}

Em outras palavras, se "pequenas perturbações em torno de a ficam dentro do domínio da função f ".

(14)

Limite para x → a

Seja dada uma função f (x) e um número real a.

Dizemos que a é ponto de acumulação de Dom f , se ∃ r > 0(a − r , a + r ) ⊂ Dom f \{a}

(15)

Limite para x → a

∃ r > 0(a − r , a + r ) ⊂ Dom f \{a}

(16)

Limite para x → a

∃ r > 0(a − r , a + r ) ⊂ Dom f \{a}

(17)

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a que seja ponto de acumulação de Dom f , dizemos que

lim

x →af (x ) = L se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(18)

Limite para x → a

lim

x →af (x ) = L se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(19)

Limite para x → a

lim

x →af (x ) = L se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(20)

Limite para x → a

lim

x →af (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(21)

Limite para x → a

Interpretação gráfica (GeoGebra: LF ponto.ggb)

(22)

Limite para x → a

Exemplo

lim

x →2(3x + 1) = 7

Dado > 0, tome δ = ₃. Se x é tal que 0 < |x − 2| < ₃, então |f (x) − 7| = |(3x + 1) − 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3

(23)

Limite para x → a

Exemplo

lim

x →2(3x + 1) = 7

Dado > 0, tome δ = ₃. Se x é tal que 0 < |x − 2| <₃, então |f (x) − 7| = |(3x + 1) − 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3

(24)

Limite para x → a

Exemplo

lim

x →2(3x + 1) = 7

Dado > 0, tome δ = ₃. Se x é tal que 0 < |x − 2| < ₃, então

|f (x) − 7| = |(3x + 1) − 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3 3 =

(25)

Limite para x → a

Exemplo

lim

x →2(3x + 1) = 7

Dado > 0, tome δ = ₃. Se x é tal que 0 < |x − 2| < ₃, então |f (x) − 7| = |(3x + 1) − 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3

(26)

Limite para x → a

Exemplo @ lim x →0sen 1 x

Dado L ∈ R, L 6= 1, tome > 0, tal que 1 /∈ (L − , L + ). Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π₂ + 2kπ > 1_δ. Logo,

x0 = 1 π 2 + 2kπ < δ e sen 1 x0 = 1 /∈ (L − , L + ).

(27)

Limite para x → a

x0 = 1 π 2 + 2kπ < δ e sen 1 = 1 /∈ (L − , L + ).

(28)

Limite para x → a

x0 = 1 π 2 + 2kπ < δ e sen 1 x0 = 1 /∈ (L − , L + ).

(29)

Limite para x → a

x0 = 1 π 2 + 2kπ < δ e sen 1 = 1 /∈ (L − , L + ).

(30)

Limite para x → a

x0 = 1 π 2 + 2kπ < δ e sen 1 x0 = 1 /∈ (L − , L + ).

(31)

Limite para x → a

Exemplo lim x →3(x 2_{− 2) = 7} |(x2_{− 2) − 7| = |x}2_{− 9| = |x − 3||x + 3|} |x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3| + 6 Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7 Tome δ < min{1,₇} 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2_{− 2) − 7| <}

(32)

Limite para x → a

(33)

Limite para x → a

(34)

Limite para x → a

(35)

Limite para x → a

(36)

Limite para x → a

(37)

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a

+

Definição de limite lateral direito

lim

x →a+f (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(38)

Limite para x → a

+

Definição de limite lateral direito lim

x →a+f (x ) = L se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(39)

Limite para x → a

+

Definição de limite lateral direito lim

x →a+f (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(40)

Limite para x → a

−

Definição de limite lateral esquerdo

lim

x →a−f (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(41)

Limite para x → a

−

Definição de limite lateral esquerdo lim

x →a−f (x ) = L se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(42)

Limite para x → a

−

Definição de limite lateral esquerdo lim

x →a−f (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ δ > 0

(43)

Limites laterais

Interpretação gráfica

(44)

Limites laterais

Exemplos lim x →2+||x − 2| − 1| = 1 lim x →2−||x − 2| − 1| = 1

(45)

Limites laterais

(46)

Limites laterais

(47)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

lim

x →af (x ) = L

e

lim

(48)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes: lim

x →af (x ) = L e

lim

(49)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

x →af (x ) = L

e

lim

(50)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

x →af (x ) = L

e

lim

(51)

Limites laterais

Exemplo

Determine o valor de c de modo que exista lim x →2f (x ) onde f (x ) = −2x + 5 se x > 2 x2+ c se x < 2

(52)

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (positivo)

lim

x →+∞f (x ) = L se

∀ > 0 ∃ M > 0 x > M ⇒ |f (x ) − L| <

(53)

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (positivo) lim

x →+∞f (x ) = L se

∀ > 0 ∃ M > 0 x > M ⇒ |f (x ) − L| <

(54)

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (positivo) lim

x →+∞f (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ M > 0 x > M ⇒ |f (x ) − L| <

(55)

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (negativo)

lim

x →−∞f (x ) = L se

∀ > 0 ∃ M > 0 x < −M ⇒ |f (x ) − L| <

(56)

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (negativo) lim

x →−∞f (x ) = L se

∀ > 0 ∃ M > 0 x < −M ⇒ |f (x ) − L| <

(57)

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (negativo) lim

x →−∞f (x ) = L

se

∀ > 0 ∃ M > 0 x < −M ⇒ |f (x ) − L| <

(58)

Limite para x → ±∞

Interpretação gráfica

(59)

Limite para x → ±∞

Assíntotas horizontais Suponha que lim x →±∞f (x ) = L

(60)

Limite para x → ±∞

Assíntotas horizontais Suponha que lim x →±∞f (x ) = L

(61)

Limite para x → ±∞

Exemplos

A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 lim x →±∞ 1 x = 0 2 lim x →−∞2 x _{= 0} 3 lim x →+∞2 −x _{= 0} 4 lim x →+∞arctan x = π 2 5 lim arctan x = −π 2

(62)

Limite para x → ±∞

Exemplos

1 lim x →±∞ 1 x = 0 2 lim x →−∞2 x _{= 0} 3 lim x →+∞2 −x _{= 0} 4 lim x →+∞arctan x = π 2 5 lim x →−∞arctan x = − π 2

(63)

Limite para x → ±∞

Exemplos

(64)

Limite para x → ±∞

Exemplos

(65)

Limite para x → ±∞

Exemplos

(66)

Limite para x → ±∞

Exemplos

(67)

Limite para x → ±∞

Exemplos lim x →+∞ x x + 1 = 1

(68)

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (positivo)

lim

x →af (x ) = +∞ se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M

(69)

Limite para x → a

Definição de limite infinito (positivo) lim

x →af (x ) = +∞ se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M

(70)

Limite para x → a

Definição de limite infinito (positivo) lim

x →af (x ) = +∞

se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M

(71)

Limite para x → a

Definição de limite infinito (negativo)

lim

x →af (x ) = −∞ se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M

(72)

Limite para x → a

Definição de limite infinito (negativo) lim

x →af (x ) = −∞ se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M

(73)

Limite para x → a

Definição de limite infinito (negativo) lim

x →af (x ) = −∞

se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M

(74)

Limite para x → a

Assíntotas verticais Suponha que lim x →af (x ) = ±∞

(75)

Limite para x → a

Assíntotas verticais Suponha que lim x →af (x ) = ±∞

(76)

Limite para x → a

Exemplo lim x →0 1 x2 = +∞ 1 x2 > M ⇔ x 2_< 1 M ⇔ |x| < 1 √ M

(77)

Limite para x → a

Exemplo lim x →0 1 x2 = +∞ 1 x2 > M ⇔ x 2_< 1 M ⇔ |x| < 1 √ M

(78)

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a

+

Limite lateral direito infinito

lim

x →a+f (x ) = +∞ (−∞)

se

∀ M > 0 ∃ δ > 0

(79)

Limite para x → a

+

Limite lateral direito infinito lim

x →a+f (x ) = +∞ (−∞) se

∀ M > 0 ∃ δ > 0

(80)

Limite para x → a

+

Limite lateral direito infinito lim

x →a+f (x ) = +∞ (−∞)

se

∀ M > 0 ∃ δ > 0

(81)

Limite para x → a

−

Limite lateral esquerdo infinito

lim

x →a−f (x ) = +∞ (−∞)

se

∀ M > 0 ∃ δ > 0

(82)

Limite para x → a

−

Limite lateral esquerdo infinito lim

x →a−f (x ) = +∞ (−∞) se

∀ M > 0 ∃ δ > 0

(83)

Limite para x → a

−

Limite lateral esquerdo infinito lim

x →a−f (x ) = +∞ (−∞)

se

∀ M > 0 ∃ δ > 0

(84)

Limite para x → a

± Assíntotas verticais Suponha que lim x →a±f (x ) = ±∞

(85)

Limite para x → a

± Assíntotas verticais Suponha que lim x →a±f (x ) = ±∞

(86)

Limites laterais

Exemplos 1 lim x →0+ 1 x = +∞ 2 lim x →0− 1 x = −∞ 3 lim x →0+log2x = −∞ 4 lim x →0+log1/2x = +∞ 5 lim x →π₂− tan x = +∞ 6 lim x →π₂+ tan x = −∞

(87)

Limites laterais

Exemplos 1 lim x →0+ 1 x = +∞ 2 lim x →0− 1 x = −∞ 3 lim x →0+log2x = −∞ 4 lim x →0+log1/2x = +∞ 5 lim x →π₂− tan x = +∞ lim tan x = −∞

(88)

Limites laterais

(89)

Limites laterais

(90)

Limites laterais

(91)

Limites laterais

(92)

Limites laterais

(93)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

lim

x →af (x ) = +∞ e

lim

(94)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

x →af (x ) = +∞

e lim

(95)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

lim

x →af (x ) = −∞ e

lim

(96)

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

x →af (x ) = −∞

e lim

(97)

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (positivo)

lim

x →+∞f (x ) = +∞ (−∞) se

∀ M > 0 ∃ N > 0

(98)

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (positivo) lim

x →+∞f (x ) = +∞ (−∞) se

∀ M > 0 ∃ N > 0

(99)

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (positivo) lim

x →+∞f (x ) = +∞ (−∞)

se

∀ M > 0 ∃ N > 0

(100)

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (negativo)

lim

x →−∞f (x ) = +∞ (−∞) se

∀ M > 0 ∃ N > 0

(101)

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (negativo) lim

x →−∞f (x ) = +∞ (−∞) se

∀ M > 0 ∃ N > 0

(102)

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (negativo) lim

x →−∞f (x ) = +∞ (−∞)

se

∀ M > 0 ∃ N > 0

(103)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

1 lim x →±∞x 2 _{= +∞} 2 lim x →+∞x 3 _{= +∞} 3 lim x →−∞x 3 _{= −∞} 4 lim x →+∞x n_{= +∞} 5 lim x →−∞x n_{= +∞, se n é par}

(104)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

1 lim x →±∞x 2 _{= +∞} 2 lim x →+∞x 3 _{= +∞} 3 lim x →−∞x 3 _{= −∞} 4 lim x →+∞x n_{= +∞} 5 lim x →−∞x n_{= +∞, se n é par} 6 lim x →−∞x n_{= −∞, se n é ímpar}

(105)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(106)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(107)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(108)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(109)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(110)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 lim x →+∞2 x _{= +∞} 2 lim x →−∞2 −x _{= +∞} 3 lim x →+∞log2x = +∞ 4 lim x →+∞log1/2x = −∞

(111)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(112)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(113)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(114)

Limite infinito para x → ±∞

Exemplos

(115)

Limite para x → ±∞

Exemplos 1 lim x →+∞ x2 x +1 = +∞ 2 lim x →−∞ x2 x +1 = −∞

(116)

Limite para x → ±∞

(117)

Limite para x → ±∞

(118)

Continuidade

(119)

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Motivação

Dependência contínua dos dados iniciais:

"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas" variações de f (x) em torno de f (a).

(120)

Funções Contínuas

Motivação

(121)

Funções Contínuas

Motivação

(122)

Funções Contínuas

Motivação

(123)

Funções Contínuas

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se lim

(124)

Funções Contínuas

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se

lim

(125)

Funções Contínuas

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se lim

(126)

Funções Contínuas

Definição Assim, f é contínua em a se ∀ > 0 ∃ δ > 0 |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| <

(127)

Funções Contínuas

Definição Assim, f é contínua em a se ∀ > 0 ∃ δ > 0 |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| <

(128)

Funções Contínuas

Definição

(129)

Funções Contínuas

Exemplos

1 f (x ) = ax + b é contínua [vide Exercício da aula passada] 2 f (x ) = cos x é contínua [demonstração a seguir]

(130)

Funções Contínuas

Exemplos

(131)

Funções Contínuas

Exemplos

(132)

Funções Contínuas

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

2 sen x − a 2 | = 2| sen x + a 2 || sen x − a 2 |

2 |

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE) | cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

(133)

Funções Contínuas

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a 2 sen x − a 2 | = 2| sen x + a 2 || sen x − a 2 |

2 |

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE) |x − a|

(134)

Funções Contínuas

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a 2 sen x − a 2 | = 2| sen x + a 2 || sen x − a 2 | | sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R ⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| senx − a

2 |

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE) | cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

(135)

Funções Contínuas

2 | | sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

(136)

Funções Contínuas

2 | | sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

(137)

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)

1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc) 2 funções racionais

3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais 4 funções exponenciais e logarítmicas

5 funções trigonométricas e suas inversas 6 funções modulares

(138)

Continuidade

(139)

Continuidade

(140)

Continuidade

(141)

Continuidade

(142)

Continuidade

(143)

Continuidade

(144)

Continuidade Resultados importantes

(145)

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ).

Informalmente:

Se f é positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positiva em uma vizinhança desse ponto.

(146)

Preservação do sinal

Proposição

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ).

Informalmente:

(147)

Preservação do sinal

Proposição

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Informalmente:

(148)

Preservação do sinal

Proposição

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Informalmente:

(149)

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ).

Informalmente:

Se f é negativa em um ponto de seu domínio, f ainda é negativa em uma vizinhança desse ponto.

(150)

Preservação do sinal

Proposição

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ).

Informalmente:

(151)

Preservação do sinal

Proposição

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Informalmente:

(152)

Preservação do sinal

Proposição

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Informalmente:

(153)

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha lim

x →af (x ) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}.

Informalmente:

Se lim

x →af (x ) é positivo, f (x ) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o próprio a).

(154)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}.

Informalmente:

Se lim

(155)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}. Informalmente:

Se lim

(156)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}. Informalmente:

Se lim

x →af (x ) é positivo, f (x ) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o

(157)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}.

Informalmente:

Se lim

x →af (x ) é negativo, f (x ) é negativa em uma vizinhança de a (excluído o próprio a).

(158)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}.

Informalmente:

Se lim

(159)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}. Informalmente:

Se lim

(160)

Preservação do sinal

Suponha lim

x →af (x ) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}. Informalmente:

Se lim

x →af (x ) é negativo, f (x ) é negativa em uma vizinhança de a (excluído

(161)

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo, para x suficientemente próximo de 4:

(162)

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo, para x suficientemente próximo de 4:

(163)

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo, para x suficientemente próximo de 0:

1 2− sen2_x x2 +cos 2_x x2 assumindo que lim x →0 sen2x x2 = 1

(164)

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo, para x suficientemente próximo de 0:

1 2− sen2_x x2 +cos 2_x x2 assumindo que lim x →0 sen2x x2 = 1

(165)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b). Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}. Então, para todo y ∈ (m, M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:

Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

(166)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).

Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}. Então, para todo y ∈ (m, M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:

Informalmente:

Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge todos os valores entre u e v .

(167)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b). Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m, M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:

(168)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b). Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}. Então, para todo y ∈ (m, M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y . Em outras palavras:

Informalmente:

(169)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f . Informalmente:

(170)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f . Informalmente:

(171)

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI) - caso particular

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

(172)

Teorema do Valor Intermediário

(173)

Teorema do Valor Intermediário

(174)

Teorema do Valor Intermediário

(175)

Teorema do Valor Intermediário

Exemplo de aplicação do TVI

(176)

Teorema do Valor Intermediário

Exemplo de aplicação do TVI

(177)

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b] → [c, d ] contínua e inversível. Então f−1 : [c, d ] → [a, b] é contínua.

(178)

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b] → [c, d ] contínua e inversível.

(179)

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b] → [c, d ] contínua e inversível. Então f−1 : [c, d ] → [a, b] é contínua.

(180)

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b] → [c, d ] contínua e estritamente crescente (decrescente). Então f é inversível, f−1: [c, d ] → [a, b] é contínua e estritamente crescente (decrescente).

(181)

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b] → [c, d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).

Então f é inversível, f−1: [c, d ] → [a, b] é contínua e estritamente crescente (decrescente).

(182)

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b] → [c, d ] contínua e estritamente crescente (decrescente). Então f é inversível, f−1: [c, d ] → [a, b] é contínua e estritamente crescente (decrescente).

(183)

Cálculo de Limites

(184)

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

A expressão

lim

x →af (x ) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a, ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular

lim x →af (x ).

(185)

Cálculo direto via continuidade

A expressão

lim

x →af (x ) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,

ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular lim

(186)

Cálculo direto via continuidade

A expressão

lim

x →af (x ) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a, ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular

lim

(187)

Cálculo direto via continuidade

Exemplos: 1 lim x →c(ax + b) = ac + b 2 lim x →πsen x = 0 3 lim x →πcos x = −1 4 lim x →32 x _{= 8} 5 lim x →1₂ log₂x = −1 6 lim arccos x = π 3

(188)

Cálculo direto via continuidade

Exemplos: 1 lim x →c(ax + b) = ac + b 2 lim x →πsen x = 0 3 lim x →πcos x = −1 4 lim x →32 x _{= 8} 5 lim x →1₂ log₂x = −1 6 lim x →1₂ arccos x = π 3

(189)

Cálculo direto via continuidade

(190)

Cálculo direto via continuidade

(191)

Cálculo direto via continuidade

(192)

Cálculo direto via continuidade

(193)

Cálculo direto via continuidade

(194)

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitiva Calcular lim x →π₆ 9 sen x Sabemos que lim x →π₆ sen x = 1 2 e também que lim x →1₂ 9x = 3. Podemos concluir que

(195)

Funções Compostas

(196)

Funções Compostas

(197)

Funções Compostas

(198)

Funções Compostas

Ideia intuitiva Calcular lim x →π₆ 9 sen x Sabemos que lim x →π₆ sen x = 1 2 e também que lim x →1₂ 9x = 3.

Podemos concluir que

(199)

Funções Compostas

(200)