Curvas elípticas e números congruentes

Texto

(1)BRUNO ANDRADE DE SOUZA. Curvas Elípti as e Números Congruentes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 2013 i.

(2) ii. BRUNO ANDRADE DE SOUZA. Curvas Elípti as e Números Congruentes. Dissertação. apresentada. ao. Programa. de. Pós-. Graduação em Matemáti a da Universidade Federal de Uberlândia, omo parte dos requisitos para obtenção do título de. MESTRE EM MATEMÁTICA.. Área de Con entração: Matemáti a. Linha de Pesquisa: Geometri a Algébri a. Orientador:. Prof.. Dr.. mann.. UBERLÂNDIA - MG 2013. Vi tor Gonzalo Lopez Neu-.

(3) iii.

(4) iv.

(5) v. Dedi atória. Dedi o este trabalho a todos meus familiares, em espe ial à minha Mãe Edvania Aragão Andrade, ao meu Pai Sergio Luiz de Souza e a minha Avó Apare ida Lu izzano, pela maravilhosa riação e por todo apoio dado ao longo da minha vida a adêmi a..

(6) vi. Agrade imentos Agradeço a Deus em primeiro lugar por todas as bençãos realizadas em minha vida. À minha mãe Edvania Aragão Andrade que foi a úni a pessoa que nun a deixou de a reditar em mim, até mesmo quando eu desa reditava.. É por ela e para ela que luto todos os dias.. Quando eu penso em desistir, eu lembro que tem uma guerreira lá em Andradina tor endo e orando por mim. Ao meu Pai Sergio Luiz de Souza por todo amor, arinho e apoio dado ao longo desta trajetória a adêmi a. Por ser meu porto seguro e por nun a medir esforços para me ajudar. À minha Avó Apare ida Lu izzano, que ontribuiu muito em minha riação para que eu me tornasse um homem de aráter. Ao meu orientador Vi tor Gonzalo Lopez Neumann, pela dedi ação e pa iên ia durante esse periodo. Por ser um ex elente prossional, es lare endo sempre as minhas dúvidas om muita disposição e por ter um baita oração. Aos professores Cí ero Fernandes de Carvalho e Herivelto Martins Borges Filho, por terem a eito o onvite para fazer parte desta ban a. Aos meus amigos de Andradina, que onsidero omo irmãos: Homero, Fabri io A ialdi, Bruno Henrique, Herik, Raniery (Ranão) e Marlon Uatanabe por estarem sempre ao meu lado em todos os momentos. Em espe ial, ao meu par eiro Ed arlos Santos (Kidão), que sabe bem o que eu passei e sempre esteve junto omigo. A amizade é tudo ! Aos amigos do DEX/CPTL-UFMS, Thiago Madalena (Tubias), Wendhel Raa, Leandro, Joel Be ker, Rogério Lima, Ana Carla Lelis, Janaina, por todos os momentos espe iais que passamos juntos durante a graduação. De modo espe ial, aos par eiros Mar os Eduardo (Mar ão) e Raildo Lima, pelo ompanheirismo e fortale imento da nossa amizade. Ao Raildo, um agrade imento a parte, pela ajuda om as guras da Dissertação. Aos amigos da turma do mestrado Iego, Rafael, Otoniel e aos alunos das outras turmas também, que ontribuiram muito em minha formação. Em espe ial, agradeço a minha grande amiga Leti ia, que é uma pessoa extraordinária e responsável por grande parte do meu amadure imento matemáti o. Ao meu amigo Romerson, que me a olheu em Uberlândia e me ajudou o tempo que foi ne essário para me estabilizar em Uberlândia. A todos os professores da Pós-Graduação em Matemáti a da UFU, em espe ial aos que ministraram alguma dis iplina durante o mestrado. Aos professores do DEX/CPTL-UFMS, em espe ial aos meus grandes mestres Antnio Carlos Tamarozzi, Renato César, Snia Angelina, Eugenia, Rosana Takehara e Paulo Henrique.

(7) vii. pelo in entivo e pela onança. À FAPEMIG pelo apoio nan eiro. A todos men ionados anteriormente, e aos que eu venha a ter esque ido, meu MUITO OBRIGADO!.

(8) viii. SOUZA, B. A. Curvas Elípti as e Números Congruentes. 2012. 69 p. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG.. Resumo. O objetivo deste trabalho é rela ionar Curvas Elípti as e Números Congruentes. Des revemos uma operação sobre a urva, que torna o onjunto de seus pontos, sobre um orpo qualquer, um grupo abeliano.. Em seguida, apresentamos o Teorema de Nagell-Lutz, que nos dá as. ondições ne essárias para que um ponto tenha ordem nita no grupo. Feito isto, provamos o Teorema de Mordell para urvas do tipo. y 2 = x3 + ax2 + bx;. tal teorema nos diz que o. onjunto dos pontos ra ionais sobre a Curva Elípti a é um grupo abeliano nitamente gerado. Finalmente, denimos números ongruentes, apresentamos algumas propriedades e exemplos sobre tais números e estabele emos a onexão entre Números ongruentes e Curvas Elípti as.. Palavras- have : (Curvas Elípti as, Teorema de Mordell, Números Congruentes)..

(9) ix. SOUZA, B. A. Congruent Numbers and Ellipti Curves 2013.. 69 p.. M. S .. Dissertation,. Federal University of Uberlândia, Uberlândia-MG.. Abstra t. The aim of this paper is to relate Congruent Numbers and Ellipti Curves.. We des ribe an. operation on the urve, whi h makes the set of its points, on any eld, an abelian group. Next we present the Nagell-Lutz theorem, whi h gives us the ne essary onditions for a point that has nite order in the group. Having done this, we prove the Mordell theorem for urves like. y 2 = x3 + ax2 + bx;. this theorem tells us that the set of rational points on ellipti urve is. a nitely generated abelian group.. Finally, we dene ongruent numbers, we present some. properties and examples of su h numbers and establish the onne tion between Congruent Numbers and Ellipti Curves.. Keywords : (Ellipti urves, Mordell Theorem, Congruent numbers)..

(10) SUMÁRIO. Resumo. viii. Abstra t. ix. Introdução. 1. 1 Curvas Elípti as. 3. 1.1. Curvas Algébri as e o Plano Projetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. O Teorema de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3. Curvas Elípti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.4. A Forma Normal de Weirstrass de uma Curva Elípti a. . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.5. Fórmulas Explí itas para a Lei de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2 Pontos de Ordem Finita. 19. 2.1. Pontos de Ordem 2 e de Ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.2. Teorema de Nagell-Lutz e o Teorema de Mazur. 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 O Teorema de Mordell. 24. 3.1. Altura de um Ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.2. Propriedades da Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.3. A Altura de. P + P0. 3.4. A Altura de. 2P. 3.5. Um Homomorsmo Importante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.6. Demonstração do Lema 3.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 4 Números Congruentes. 50. 4.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.2. Equações Cúbi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. x.

(11) xi. 4.3. Redução Módulo p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.4. Relação entre Curvas Elípti as e Números Congruentes. . . . . . . . . . . . . . .. 54 56.

(12) INTRODUÇ

(13) O. As urvas elípti as têm sido muito utilizadas para lançar luz sobre alguns problemas importantes omo problemas em riptograa, o problema de empa otamentos de esferas e o problema dos números ongruentes. Uma urva elípti a. E. sobre um orpo. K. é uma urva projetiva denida por uma equação. do tipo. y 2z = x3 + ax2 z + bxz 2 + cz 3 onde. a, b, c ∈ K. e o dis riminante. ∆ = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27b2. E. de. é não nulo.. Um dos fatos mais interessantes sobre as urvas elípti as é que, o onjunto dos pontos ra ionais sobre ela tem uma estrutura de grupo abeliano nitamente gerado, mais espe i amente, temos o seguinte teorema: Teorema de Mordell: Seja. E. uma urva elípti a dada pela equação. E : y 2z = x3 + ax2 z + bxz 2 + cz 3 , onde. a,b,c. são inteiros e seja. abeliano nitamente gerado.. E(Q) = {[x : y : z] ∈ E : x, y, z ∈ Q}.. Então. E(Q). é um grupo. Através do Teorema 3.6.5 da teoria dos grupos nitamente gerados, podemos de ompor:. E(Q) ∼ = E(Q)tors ⊕ Zr , onde. E(Q)tors. é o grupo de pontos de torção e o inteiro. r. é o posto da urva elípti a.. Um número ra ional é dito ongruente, se for a área de um triângulo retângulo ujos lados são ra ionais. Estamos interessados no problema dos números ongruentes, que onsiste em saber se um dado número ra ional é ongruente ou não. A relação entre números ongruentes e urvas elípti as se dá, através do seguinte resultado: Um número. n. é ongruente se, e somente se, o posto da urva elípti a. positivo. 1. y 2 = x3 − n2 x. é.

(14) 2. Nossa dissertação está organizada da seguinte maneira: No primeiro apítulo daremos alguns on eitos sobre as urvas elípti as. Começamos om alguns on eitos de urvas algébri as, denindo urva am, plano projetivo, urvas projetivas. A seguir enun iamos o Teorema de Bézout, que é essen ial na onstrução da lei de grupo sobre o onjunto de pontos de uma urva elípti a. O segundo apítulo trata sobre o onjunto de pontos de ordem as propriedades que satisfazem pontos de ordem. 2. e. 3.. 2 e 3.. Começamos mostrando. A seguir enun iamos os teoremas de. Nagell-Lutz e de Mazur, que nos ajudarão a en ontrar todos os pontos ra ionais de torção de uma urva elípti a. No ter eiro apítulo demonstraremos o Teorema de Mordell para uma lasse de urvas e daremos alguns resultados da teoria de grupos, úteis no próximo apítulo. No quarto apítulo daremos algumas propriedades sobre os números ongruentes, enun iaremos e provaremos a relação entre Números Congruentes e Curvas Elípti as.. Bruno Andrade de Souza Uberlândia-MG, 26 de Fevereiro de 2013..

(15) CAPÍTULO 1. CURVAS ELÍPTICAS Neste apítulo, apresentaremos alguns on eitos da teoria das urvas elípti as. Denotaremos por. K. um orpo e por. K. seu fe ho algébri o. A teoria deste apítulo pode ser en ontrada em. [2℄ e [4℄.. 1.1 Curvas Algébri as e o Plano Projetivo Denição 1.1.1.. Seja. f (x, y)um. polinmio não onstante em. R[x, y].. Chamamos o onjunto. Cf = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 0} uma urva algébri a plana real.. Exemplo 1.1.2. b) Cír ulo:. a) Retas:. f (x, y) = ax + by + c, (a, b) 6= (0, 0);. f (x, y) = x2 + y 2 − 1;. ) Parábola:. f (x, y) = y − x2 ;. d) Seja. f (x, y) = x2 + y 2. e) Seja. f (x, y) = x2 + y 2 + 1. Observação 1.1.3.. então. Cf = {(0, 0)};. então. Cf = ∅.. Estamos hamando. Cf. de urva, logo nos exemplos. d). e. e). esta nomen-. latura pode pare er estranha. Agora, se nós permitirmos soluções omplexas para a equação. f (x, y) = 0. em. d). Denição 1.1.4. K. é o onjunto Seja. e. e),. Seja. então,. K. Cf. passa a ter innitos pontos.. um orpo algebri amente fe hado. O espaço am de dimensão. Kn .. S ⊂ K[x1 , . . . , xn ].. O onjunto,. CS = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn : f (x1 , . . . , xn ) = 0, ∀f ∈ S}, 3. n. de.

(16) 4. é hamado uma variedade algébri a am. É natural bus ar soluções para equações polinomiais em duas variáveis pelo seu aspe to geométri o. Estamos interessados no aso em que polinmio não onstante em. K[x, y].. n=2. e. S = {f (x, y)},. Cf. sobre. K. determinada por. f (x, y). é um. Neste aso teremos a seguinte denição:. Denição 1.1.5. Seja f (x, y) um polinmio não onstante em K[x, y]. am. onde. f (x, y). A urva algébri a plana. é o onjunto: 2. Cf = {(x, y) ∈ K : f (x, y) = 0}. Utilizaremos também a notação Denimos o grau da urva. Cf. Cf : f (x, y) = 0.. omo sendo o grau do polinmio. f,. uja notação é. grau(f ).. Curvas de graus 1, 2 e 3 são hamadas retas, ni as e úbi as, respe tivamente.. Observação 1.1.6.. Como. K. é algebri amente fe hado e. f (x, y). é não onstante, então. Cf. é. innito.. Observação 1.1.7. tantes em. K[x, y],. Se. f (x, y) = g(x, y)h(x, y) onde g(x, y). então. e. h(x, y). são polinmios não ons-. Cf = Cg ∪ Ch .. Denição 1.1.8.. Dizemos que a urva. não onstantes em. K[x, y] tais que, f (x, y) = g(x, y)h(x, y).. Cf. é redutível se existem. g(x, y). e. h(x, y). polinmios. Caso não exista uma de omposição. dessa forma, a urva é dita irredutível. Daqui em diante denotaremos. f (x, y). simplesmente por. f.. Lema 1.1.9. (Lema de Gauss) Seja D um domínio de fatoração úni a e K seu orpo de frações. Seja. f ∈ D[x]. um polinmio primitivo ( i.é. o. mdc. dos oe ientes de. f. é igual a 1) e. arbitrário. Então: i) ii). f. é irredutível em. f |g. em. D[x] ⇐⇒ f. D[x] ⇐⇒ f |g. em. é primitivo em. D[x]. e irredutível em. g ∈ D[x]. K[x]. K[x].. Demonstração. Ver [3℄, Lema II.3.6, Pág. 54 Um dos teoremas entrais da geometria algébri a é o Teorema de Bézout, que nos mostra omo al ular o número de interseções de duas urvas algébri as, levando em onta as interseções no innito e as multipli idades de interseções.. Primeiramente deniremos o que signi a as. interseções no innito e a multipli idade de interseções, em seguida enun iaremos o Teorema de Bézout. Por exemplo, sabemos que duas retas distintas têm um úni o ponto de interseção, a não ser que elas sejam paralelas. Neste aso, diremos que elas se en ontram no innito. Então devemos in orporar um ponto no innito para ada direção do plano am. Para visualizarmos o modo.

(17) 5. Ss Ss´. Rr Rr´. Figura 1.1: Pares de retas paralelas.. que devemos adi ionar pontos no plano am, onsideremos. s′. retas paralelas a. r. e. s. r. e. s. duas retas on orrentes e. r′. e. respe tivamente.. Se adi ionarmos um úni o ponto no innito, todo par de retas, on orrentes ou paralelas, se interse tariam nesse ponto. Por exemplo, as retas da gura anterior se interse tariam em dois pontos omo na gura abaixo.. Rr´ Rr. S´. S Figura 1.2: Pontos no innito.. Convém então adi ionar um ponto no innito para ada direção do plano am, ou equivalentemente, para ada reta ontendo a origem. Dessa forma poderiamos denir o plano projetivo omo sendo. R2 ∪ {Retas Se identi armos. R2. do plano que passam pela origem} .. om o plano. z = 1,. em. R3 ,. vemos que para ada ponto do plano. z = 1,. existe uma úni a reta que passa por esse ponto e a origem. Isto nos permite denir o plano projetivo omo sendo o onjunto de retas de. R3. que passam. pela origem. As retas que se en ontram no plano identi am om pontos de. xy ,. são os pontos no innito e as outras retas se. R2 .. Motivados por esta orrespondên ia, denimos o plano projetivo sobre o orpo. K da seguinte. forma:. Denição 1.1.10.. Considere a seguinte relação de equivalên ia entre os pontos de. (x1 , x2 , x3 ) ∼ (y1 , y2 , y3 ) ⇔ ∃λ ∈ K∗ : λ(x1 , x2 , x3 ) = (y1 , y2 , y3).. K3 :.

(18) 6. Denimos o plano projetivo sobre. K. omo o onjunto destas lasses de equivalên ia. . P2 (K) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ K3 : (x1 , x2 , x3 ) 6= (0, 0, 0) ∼,. ou ainda,. P2 (K) =. Notação 1.1.11. : será denotada por Fazendo. Se. Retas em. K3. que passam pela origem. .. (x1 , x2 , x3 ) ∈ K3 , (x1 , x2 , x3 ) 6= (0, 0, 0), então, sua lasse de equivalên ia. [x1 : x2 : x3 ]. K=R. . ou por l(x1 ,x2 ,x3 ) .. temos:. Iz. Il. п. Il ´ O. Iy Ix Figura 1.3: Plano Projetivo. Deniremos urvas planas projetivas, desta ando o fato de que um ponto no plano projetivo é uma lasse de equivalên ia, logo possui vários representantes. Portanto, para que a denição de urva plana projetiva seja onsistente, trabalharemos om uma lasse espe i a de polinmios.. Denição 1.1.12.. Um polinmio. f ∈ K[x, y, z]. n ≥ 1,. é dito homogêneo de grau. de seus monmios possui grau (total) n. Observemos que, se. f (x, y, z) ∈ K[x, y, z]. f (λx, λy, λz) = λn f (x, y, z), ∀λ ∈ K. anula em. é um polinmio homogêneo de grau. E mais, se. f. se anula em um ponto. se ada um. n ≥ 1,. (x, y, z),. então. então. f. se. (λx, λy, λz).. Como antes, denotaremos. f. ao invés de. f (x, y, z).. Podemos assim, denir uma urva projetiva plana, asso iada a um polinmio homogêneo.. Denição 1.1.13.. Seja. algébri a plana projetiva. Seja. F. uma extensão de. f Cf. um polinmio homogêneo não onstante em sobre. K. determinada por. f. é o onjunto:. Cf = {[x : y : z] ∈ P2 K : f (x, y, z) = 0}.. K,. o onjunto de pontos de. Cf. K[x, y, z].. denidos sobre. . Cf (F) = [x : y : z] ∈ Cf : [x : y : z] ∈ P2 (F) .. F. é. A urva.

(19) 7. Denimos o grau de uma urva algébri a plana projetiva omo sendo o grau do polinmio que a dene. Curvas projetivas de graus 1, 2 e 3 são ditas, respe tivamente, retas, ni as e úbi as projetivas.. Denição 1.1.14. Dizemos que uma urva algébri a plana projetiva Cf todo. P ∈ Cf. é não singular, se para. vale:. ∂f (P ) 6= 0 ∂x. ∂f (P ) 6= 0 ∂y. ou. Os asos mais interessantes o orrem quando. ∂f (P ) 6= 0. ∂z. ou. K=Q. e temos que:. Cf (Q) ⊆ Cf (R) ⊆ Cf (C). O interesse aritméti o é onhe er. f. Cf (Q).. Trataremos dos asos em que o grau do polinmio. é menor ou igual a 3, e nos apítulos seguintes, abordaremos os asos em que o grau de. f. é. exatamente 3. Seja a função injetora:. K2 → P2 (K) (x, y) 7→ [x : y : 1] que identi a os pontos do plano am, om os pontos do plano projetivo. Chame de denida por. V3. a imagem desta função, então. f (x, y, 1).. Cf ∩ V3. Do mesmo modo, uma urva plana am, dada por urva plana projetiva denida pela funçao homogênea grau do polinmio. g.. De formar similar, denimos os planos ans. V1. e. pode ser visto omo a urva plana am. g ∈ K[x, y],. pode ser estendida a uma. g (x, y, z) = z n g(x/z, y/z) e V2. da seguinte forma:. em que. n. é o. Seja a função. injetora:. K2 → P2 (K) (y, z) 7→ [1 : y : z] Chame de dada por. V1. a imagem desta função, então. f (1, y, z).. Com respeito a variável. hamado de desomogeneização de. Cf ∩ V1. y. pode ser vista omo a urva plana am. o pro edimento é o mesmo.. Este pro esso é. Cf .. 1.2 O Teorema de Bézout Considere a ni a dada por. l3 : y = x + 1 . Gra amente, vemos que. Cf : y − x2 = 0 l0. e as retas. l0 : y = 0 , l1 : x = 0 , l2 : x = y. interse ta o grá o da urva. o orrendo om a reta l1 . Já as retas l2 e l3 interse tam. Cf. Cf. e. apenas na origem, o mesmo. em dois pontos..

(20) 8. il1. Cf. il3. Ix + 1 = y. il2 Ix = y 1. -1. il0. 1. Figura 1.4: Visualizando o Teorema de Bézout. Note que. l0. é tangente a. Cf. no ponto. (0, 0),. assim, podemos imaginar que o ponto. (0, 0). onte omo se fosse um ponto de interse ção dupla. Isto motiva a idéia de defenir um índi e de interse ção entre duas urvas. Já a reta l1 interse ta. Cf. em um úni o ponto. Pre isamos introduzir a noção de pontos no. innito (trabalhando no plano projetivo), para en ontrar um segundo ponto de interse ção. Assim, a interse ção entre uma reta e uma ni a, no plano projetivo, ontém dois pontos. Intuitivamente, a interseção entre urvas de graus. m. e. n. deve onter. mn. pontos.. O teorema de Bézout mostra que este ra io ínio pode ser generalizado, quando omputamos de forma orreta os pontos de interseção entre urvas planas projetivas. Estas urvas devem satisfazer uma outra hipótese (de não possuirem omponentes em omum), derivada da denição 1.2.2.. Proposição 1.2.1. f1 , f2 ∈ K[x, y, z]. polinmio. fj. Um polinmio homogêneo. se, e somente se, ada polinmio. dene uma urva plana projetiva. Demonstração.. (⇐). Por absurdo, suponha. Seja. grau(f1) = k .. Seja. f1. l = min{j : gj 6= 0}.. Assim:. fj , j = 1, 2,. é homogêneo.. f = f1 f2 ,. Logo ada. Cfj : fj = 0, j = 1, 2.. não homogêneo.. f1 = gk + gk−1 + · · · + g0 ,. Considere agora,. pode ser fatorado omo. É laro.. (⇒). Então. f ∈ K[x, y, z]. onde. Por hipótese. gj. é homogêneo de grau. j , j = 0, 1, . . . , k .. l < k , logo f1 = gk +gk−1 +· · ·+gl , om gl 6= 0, gk 6= 0.. f2 = hs + hs−1 + · · · + ht ,. om. ht 6= 0, hs 6= 0. e. t ≤ s.. f = f1 f2 = gk hs + (gk hs−1 + gk−1hs ) + . . . + gl hl , onde e. grau(gk hs ) = k + s e gk hs 6= 0, pois K[x, y, z] é um domínio.. hl gt 6= 0. Temos que,. grau(gl ht ) = l + t. pelo mesmo motivo.. Também:. l < k. ABSURDO! Portanto,. f1. e. t ≤ s,. é homogêneo.. então. l + t < k + s.. E isto impli a que. f. não é homogêneo..

(21) 9. Denição 1.2.2. Seja Cf : f (x, y, z) = 0 uma urva plana projetiva e f = f1 . . . fn , a fatoração de. f. sobre. K. em polinmios irredutíveis. Cada urva. omponente irredutível de. Cfj : fj (x, y, z) = 0, j = 1, . . . , n,. é dita. Cf .. Primeiramente, vamos mostrar que a interseção entre duas urvas planas ans é nita se os polinmios que as denem não possuem omponente omum não onstante.. Proposição 1.2.3.. f. Sejam. e. g. polinmios sem omponentes omuns em. Cf : f (x, y) = 0. interseção entre as urvas planas ans. f. Demonstração. Temos que o orpo de frações de. K[x].. K(x)[y],. r(x). logo existem. g. e. e. Cg : g(x, y) = 0. podem ser vistos omo polinmios em. Pelo lema de Gauss, temos que e. s(x). f. e. g. K[x, y].. Então a. é nita.. K(x)[y],. onde. K(x). é. são relativamente primos em. tais que:. r(x)f + s(x)g = 1. Isto impli a, em parti ular, que. r(x) =. r1 (x) , r2 (x). s(x) =. s1 (x) onde s2 (x). f e g não possuem omponentes em omum sobre K. r1 , r2 , s1 , s2 ∈ K[x],. Es revendo. obtemos:. r1 (x) s1 (x) f+ g = 1 ⇔ r1 (x)s2 (x)f + r2 (x)s1 (x)g = r2 (x)s2 (x). r2 (x) s2 (x) Seja. P = (x0 , y0 ) ∈ Cf ∩ Cg .. Logo,. f (x0 , y0 ) = g (x0 , y0 ) = 0,. Assim, vemos que existe um número nito de valores para de. x0. ou seja. r2 (x0 ) s2 (x0 ) = 0.. limitado pelo número de raízes. r2 (x)s2 (x) = 0. Para ada. menos que. x0. xado, existe um número nito de valores para. (x − x0 ). seja fator omum de. em todos os asos, para. x0. f.. Mas nesse aso,. f. y0. tais que. f (x0 , y0) = 0,. não é fator omum de. xado, existe um número nito de valores de. y0. g.. tais que. f. a. Assim, e. g. se. anulam ao mesmo tempo, omo queriamos demonstrar.. Este resultado pode ser estendido para urvas planas projetivas. Se. f (x, y, z). e. g(x, y, z). são polinmios homogêneos em. K[x, y, z],. sem omponentes em. omum, então a interseção entre as urvas planas projetivas, denidas por estes polinmios, pode ser es rita omo. . . [x : y : 1] ∈ P2 (K); f (x, y, 1) = g(x, y, 1) = 0 ∪ [x : y : 0] ∈ P2 (K); f (x, y, 0) = g(x, y, 0) .. Estes dois onjuntos são nitos pela proposição 1.2.3, pois os polinmios onsiderados se. en ontram em Sejam. K[x, y].. Cf : f (x, y, z) = 0 e Cg : g(x, y, z) = 0 duas urvas projetivas planas sem omponentes. omuns. Para omputar o número de pontos na interseção destas urvas é pre iso levar em onta de que maneira elas se interse tam em um dado ponto. Vamos agora denir a multipli idade de interseção de duas urvas ans. Cf. e. Cg. em um ponto xo. P..

(22) 10. Denição 1.2.4.. 2. P = (a, b) ∈ K. Sejam. F (K) = {(Cf , Cg ) : f, g ∈ K[x, y] F (K) → N. Denimos a apli ação. e. Cf , Cg. e. não têm omponente omum ontendo. tal que o par. (Cf , Cg ). é enviado em um número. P}.. (Cg , Cf )P. satisfazendo as seguintes propriedades: 1). (Cf , Cg )P = 1,. 2). (Cf , Cg )P =(Cg , Cf )P ,. 3). (Cf , Cgh )P = (Cf , Cg )P + (Cf , Ch )P ,. 4). (Cf , Cg+f h )P = (Cf , Cg )P ,. 5). (Cf , Cg )P = 0,. Proposição 1.2.5.. se. se. f (x, y) = x − a para todo. P 6∈ Cg. e. g(x, y) = y − b;. (Cf , Cg ) ∈ F (K); para todos. (Cf , Cg ). para todos e. e. (Cf , Cg ), (Cf , Ch ) ∈ F (K); (Cf , Ch ). em. F (K);. (Cf , Cg ) ∈ F (K).. A apli ação denida anteriormente existe e é úni a.. Demonstração. Ver [2℄, proposição 1.8, pág 8-9.. Observação 1.2.6.. O número. (Cf , Cg )P. é hamado de índi e de interse ção das urvas. Cf. e. Cg. Exemplo 1.2.7.. f (x, y) = x. Considere. entre estas urvas no ponto. P = (0, 0). e. g(x, y) = y 2 − x3 + x.. A multipli idade de interseção. é dada por:. (Cf , Cg )P = (x, y 2 − x3 + x)P = (x, y 2 − x(x2 − 1))P = (x, y 2 )P = (x, y)P + (x, y)P = 1 + 1 = 2 De fato a reta Sejam. Cf. e. Cg. x=0. é tangente à urva. urvas projetivas e. as urvas planas ans. Cf. e. Cg. P. y 2 = x3 − x. P = (0, 0).. um ponto que se en ontra em. V3. (por exemplo). Sejam. denidas pelas funções :. f (x, y) = f (x, y, 1) respe tivamente. Se. no ponto. P = [x : y : 1] ∈ Cf ∩ Cg ,. e. g(x, y) = g(x, y, 1) ,. então. P = (x, y) ∈ Cf ∩ Cg .. A interseção no plano projetivo está denida pela interseção no plano am da seguinte forma:. (Cf , Cg )P := (Cf , Cg )P , onde a interseção da direita está denida pela proposição 1.2.4 Construções similares podem ser feitas nos planos ans. V1. e. V2 .. Finalmente, podemos enun iar o:. Teorema 1.2.8. (Teorema de Bézout). .. Sejam. Cf : f (x, y, z) = 0, Cg : g(x, y, z) = 0 duas urvas planas projetivas sem omponentes omuns de graus. X. (Cf , Cg )P = mn.. P ∈Cf ∩Cg. Demonstração. Ver [1℄ Apêndi e A, seção 4.. m e n respe tivamente.. Então:.

(23) 11. 1.3 Curvas Elípti as Nesta seção (e nas próximas seções),. Denição 1.3.1. denida sobre. K. K. Uma urva elípti a. denota um orpo de ara terísti a diferente de 2 e 3.. E. sobre. K. é uma urva plana projetiva não singular. de grau 3, juntamente om um ponto ra ional. Denição 1.3.2.. Um ponto. P. sobre uma urva elípti a. multipli idade de interseção da reta tangente om a urva. E. E. O ∈ E. é dito ponto de inexão, se a. no ponto. P. é. ≥ 3.. A proposição a seguir, mostra formas equivalentes de denir uma urva elípti a.. Proposição 1.3.3.. As seguintes denições de urvas elípti as são equivalentes:. a) O mesmo que a denição 1.3.1, que. O. é um ponto de inexão.. b) Uma urva plana projetiva não singular. E. sobre. K. da forma :. y 2 z + a1 xyz + a3 yz 2 = x3 + a2 x2 z + a4 xz 2 + a5 z 3 ujos oe ientes estão em. K.. Demonstração. Ver [2℄, págs 45-46. Pelo teorema de Bézout, duas urvas úbi as projetivas se interse tam em 9 pontos, ontando as multipli idades. Um teorema muito importante da geometria algébri a, a qual daremos a prova (de um aso espe í o) nesta dissertação é o teorema de Mordell (Teorema 3.6.4) que diz que o grupo dos pontos ra ionais sobre uma urva elípti a é um grupo nitamente gerado. Para demonstrar o Teorema de Mordell pre isamos denir uma lei de grupo sobre o onjunto de pontos de uma urva elípti a.. Para tal, denimos uma operação, que notaremos. ∗,. para. en ontrar um ponto a partir de dois outros. Esta operação será denida de forma geométri a. Dados dois pontos. P. e. Q na urva elípti a, onsidere a reta que passa por estes. Por Bézout, esta reta interse ta a urva em um ter eiro ponto que denotaremos. dois pontos.. P ∗ Q.. Esta operação ainda não é uma lei de grupo, pois não possui elemento neutro, por exemplo.. P. Q P. P*Q. P*P. Figura 1.5: Composição de pontos em uma úbi a. No entanto podemos denir uma lei de grupo, om a seguinte regra: Tome a reta que passa por. P. e. Q,. sendo. P ∗Q. o ter eiro ponto de interseção om a úbi a. A reta que passa por. O. e.

(24) 12. P. Q P*Q. P+Q Figura 1.6: Lei de Grupo em uma úbi a.. P ∗Q. por. denição,. interse ta a úbi a em um novo ponto, o qual será denotado por. P + Q.. Assim, por. P + Q = O ∗ (P ∗ Q). Teorema 1.3.4. Seja E uma urva elípti a sobre um orpo K om um ponto O ∈ E(K). E(K). é um grupo abeliano om a lei + denida a ima.. Demonstração. Esta operação é laramente omutativa, pois a reta que passa por mesma que passa por. Q e P.. Provemos que. P ∗O. Bézout, existe um ter eiro ponto e por seja,. Então. P ∗O. O. l. é a própria reta. P +O = P.. na interseção. Seja. E ∩ l.. l. a reta que pasa por. P. P. e e. Q. O.. é a Por. O. Note que, a reta que passa por. P +O = P,. ou. a reta tangente à úbi a no ponto. O,. e o ter eiro ponto de interseção é o ponto. P,. é o elemento neutro da lei de grupo.. daí,. P*O P+O=P. Figura 1.7: Veri ação de que. Agora, a hemos o inverso e seja. S. de um ponto. r. S = O).. a reta que passa por. pois a reta que passa por. Q. é a reta l , que é tangente a. e. E. Q. e. −Q. S.. Então. é a reta. no ponto. Q.. E∩l. o ter eiro ponto de interseção de. 1.3.5, então Seja. −Q. O,. r,. (P + Q) ∗ R = P ∗ (Q + R). Sejam l2 a reta que passa por. Na gura. 1.9. as retas. r1 , r2. por um traçoo pontilhado.. e. Seja. l. −Q. logo. isto é,. P. e. Q. e. O. satisfaz (b) da proposição. será o ter eiro ponto de interseção de. Q ∗ (−Q) = S .. O ∗ S = O.. A reta que passa por. Assim. Q + (−Q) = O.. P ,Q e R três pontos sobre a urva E .. é su iente para provar que. Sejam l1 a reta que passa por. Sejam l3 a reta que passa por. é o elemento neutro.. (observe que se. Por m, mostremos que + é asso iativa. Sejam que. O. P ∗ Q, r1. O. e. S. Provar. (P + Q) + R = P + (Q + R).. a reta que passa por. P + Q, R e (P + Q) ∗ R, r2. E ∩ l,. O, P ∗ Q. a reta que passa por. e. P + Q.. Q, R e Q ∗ R.. O, Q∗R e Q+R, r3 a reta que passa por P ,Q+R e P ∗(Q+R). r3. estão desenhadas por um traço ontinuo, e a retas l1 , l2 e l3.

(25) 13. Q S -Q. Figura 1.8: Inverso. Considere também as úbi as de. r1 , r2. Q∗R. e. e. r3 .. Note que. Q + R.. E. e. El. El. e. de um ponto. P ∗ (Q + R).. Q. denida pela união de l1 , l2 e. E. e. Er. Assim,. l3. e. e. denida pela união. O, P ∗ Q, P + Q, Q, R,. se interse tam nos pontos. E ∩ El. Er. P , Q, P ∗ Q, R, (P + Q) ∗ R, O,. se interse tam nos pontos. Note também que. Q ∗ R, Q + R, P. −Q. E ∩ Er. possuem oito pontos em omum.. Logo, pela proposição 1.3.5 a seguir, o nono ponto de interseção deve ser o mesmo.. Isto é. (P + Q) ∗ R = P ∗ (Q + R).. R Q P. Q*R. P*Q. P+Q Q+R. (P+Q)*R=P*(Q+R). Figura 1.9: Veri ando que a lei é asso iativa. Proposição 1.3.5.. Se duas urvas úbi as em. P2 (K). se interse tam em exatamente nove pon-. tos, então toda urva úbi a que passa por oito desses pontos, também passará pelo nono ponto. Demonstração. Sejam. Cf. e. Cg. duas úbi as. Pelo Teorema de Bézout, elas se inter e tam em. nove pontos. Sejam eles provar que oe ientes. P1 , . . . , P9. P9 ∈ h.. h uma úbi a que. Uma úbi a da forma:. a1 , . . . , a10 .. A ondição: dada por. e seja. Cf. passa por um ponto. a1 x3 + a2 x2 y + · · · + a10 z 3 = 0.. passa pelos oito pontos. P1 , . . . , P8 .. 2. Queremos. f (x, y, z) = a1 x + a2 x y + · · · + a10 z 3. P = (x : y : z). 3. é uma ondição linear em. tem 10. a1 , . . . , a10 ,.

(26) 14. Os oito pontos. P1 = (x1 : y1 : z1 ), . . . , P8 = (x8 : y8 : z8 ), estão em "posição geral"se os vetores. (x3i , x3i yi , . . . , zi3 ), i = 1, . . . , 8,. são linearmente indepen-. dentes. Considere. Ω = { úbi as Então Se. dim Ω = 2. Cf 6= Cg ,. Como. omo espaço vetorial sobre. então. f (P9 ) = 0. que passam por P1 , . . . , P8. e. f. e. g. são L.I e. g(P9) = 0,. K.. Ω = hf, gi.. então. }.. Então. h(P9 ) = 0.. h = λf + µg. Quando os. Pi ′ s. om. λ, µ ∈ K. .. não estão em posição geral,. a prova ompleta é dada pelo estudo aso a aso (ver [8℄, III, 6.2.). 1.4 A Forma Normal de Weirstrass de uma Curva Elípti a Provaremos o teorema de Mordell, utilizando fórmulas explí itas para a lei de grupo.. Para. tornar essas fórmulas tão simples quanto possível, é importante saber que, qualquer úbi a om um ponto ra ional pode ser transformada em uma nova forma espe ial, dita Forma Normal de Weierstrass.. Não daremos uma prova ompleta disto, mas sim uma indi ação da prova.. Além disso, elaboraremos um exemplo espe í o para ilustrar a teoria geral.. Em seguida,. iremos restringir nossa atenção para úbi as dadas sob a forma Normal de Weierstrass, o que. y 2 = 4x3 − b2 x − b3 .. lassi amente onsiste em uma equação do tipo:. Utilizaremos uma equação um pou o mais geral, que hamaremos forma de Weierstrass. Seja. E. uma urva elípti a sobre. K,. dada por;. E : y 2z + a1 xyz + a2 yz 2 = x3 + a2 x2 z + a4 xz 2 + a6 z 3 . Fazendo uma substituição de variáveis, em que termo. xyz. da equação a ima.. Fazendo uma nova substituição de variáveis, onde eliminaremos os termos. y. ′. ′. x = x ,y = y − ′. x = x′′ +. a3 x e 2. a2 z, 3. e hegaremos em uma equação da forma:. ′. z = z. ′. , eliminamos o. y =y−. a3 z e 2. ′. z =z. ′′. ,. y 2 z = x3 + ax2 z + bxz 2 + cz 3 . Trabalhando no plano. z=1. teremos a equação:. y 2 = x3 + ax2 + bx + c, que será a equação de Weierstrass usada neste trabalho.. Teorema 1.4.1.. Seja. K. um orpo de ara terísti a diferente de 2 e 3. Cada urva elípti a. é isomorfa a uma urva da forma:. E(a, b, c) : y 2z = x3 + ax2 z + bxz 2 + cz 3 . Demonstração. As ontas feitas a ima provam o teorema.. E.

(27) 15. 1.5 Fórmulas Explí itas para a Lei de Grupo P. No teorema 1.3.1, dados. e. Q. perten entes a. determinar as oordenadas do ponto. P +Q.. E(K),. Não seria então possível provar esta asso iatividade. diretamente, estudando as oordenadas dos pontos. Q?. nós temos um pro esso geométri o para. P +Q. em função das oordenadas de. P. e. Sim! isto é possível. Considere. E. a urva elípti a denida por:. y 2 z = x3 + ax2 z + bxz 2 + cz 3 . z=1. No plano am. esta urva está denida por:. y 2 = x3 + ax2 + bx + c. Substituindo idade. 3. z=0. na interseção. na equação original, obtemos. E ∩ z = 0.. x3 = 0,. ou seja,. [0 : 1 : 0]. Assim ,este ponto é de inexão da úbi a.. Desse modo, para uma urva elípti a na forma de Weierstrass, o ponto que se en ontra no innito (em relação ao plano am. z = 1).. Podemos então armar que o onjunto de pontos da urva elípti a. (x, y). satisfazendo. A gura. 1.11. 2. 3. possui multipli-. 2. y = x + ax + bx + c,. E. O é o ponto [0 : 1 : 0] é o onjunto de pares. juntamente om o ponto no innito. ilustra o pro esso de adição dos pontos. P. e. Q. O.. sobre uma urva elípti a na. forma de Weierstrass, visto que a reta que passa por um ponto qualquer e o ponto reta verti al no plano am. Vamos então determinar as oordenadas de perten entes a. P1 + P2 ,. a partir das oordenadas de. E(K).. Sejam. P1 = (x1 , y1). Então. P1 + P2 = (x3 , −y3 ).. e. P2 = (x2 , y2 ). pontos na úbi a. O. E. e seja. P1 ∗ P2 = (x3 , y3).. ‘y. Q=(x,y). X. -Q=(x,-y). Figura 1.10: O inverso de um ponto na úbi a de Weierstrass.. é uma. P1. e. P2.

(28) 16. ‘y. P1=(x1,y1). P2=(x2,y2) P1*P2=(x3,y3) X. P1+P2=(x3,-y3). Figura 1.11: Lei da adição na úbi a de Weirstrass.. Assumiremos que. P1 = (x1 , y1 ). P2 = (x2 , y2 ). e. que a equação da reta que passa por. P1. e. P2. (x3 , y3 ).. são dados e al ularemos. tem omo equação,. υ = y1 − λx1 = y2 − λx2 .. Pelo teorema de Bézout, esta reta orta a úbi a nos pontos. y = λx + υ ,. P1 , P2. e. onde. P1 ∗ P2 .. Observe. λ=. y2 −y1 e x2 −x1. Para obtermos. este ter eiro ponto de interseção basta substituir a equação da reta na úbi a:. y 2 = (λx + υ)2 = x3 + ax2 + bx + c. Daí,. λ2 x2 + 2λxυ + υ 2 = x3 + ax2 + bx + c x3 + (a − λ2 )x2 + (b − 2λυ)x + (c − υ 2 ) = 0. Assim, obtemos uma úbi a em. P2. e. P1 ∗ P2 ,. x,. ujas raízes são as abs issas. x1 , x2. e. x3. dos pontos. P1 ,. respe tivamente.. Logo:. x3 + (a − λ2 )x2 + (b − 2λυ)x + (c − υ 2 ) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) x3 + (a − λ2 )x2 + (b − 2λυ)x + (c − υ 2 ) = x3 + (−x1 − x2 − x3 )x2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x − x1 x2 x3 . Igualando os oe ientes do termo. x2. em ambos os lados, en ontramos que:. (a − λ2 ) = −x1 − x2 − x3 x3 = λ2 − a − x1 − x2 . Portanto:. x3 = λ2 − a − x1 − x2 que são as fórmulas para o ál ulo de Vejamos um exemplo.. Exemplo 1.5.1.. e. y3 = λx3 + υ,. P1 + P2 = (x3 , −y3 ).. Seja a urva elípti a. y 2 = x3 + 17. e os pontos. perten entes a urva. Cal ularemos. P1 + P2. utilizando as fórmulas anteriores.. P1 = (−1, 4). e. P2 = (2, 5).

(29) 17. Como,. y2 − y1 5−4 1 = = x2 − x1 2 − (−1) 3. λ= e. υ = y1 − λx1 = y2 − λx2 = então. 13 , 3. 1 13 y = x+ . 3 3. Então,. 2 8 1 − 0 − (−1) − (2) = − x3 = λ − a − x1 − x2 = 3 9 2. e. 1 y3 = λx3 + υ = 3. Portanto,. 8 13 109 − + = . 9 3 27. 8 109 . P1 + P2 = (x3 , −y3 ) = − , − 9 27. As fórmulas utilizadas para o ál ulo de. P1. pelos pontos. P2 ,. e. suponhamos que temos. a saber. λ.. reta tangente à urva passando por. λ.. envolvem a in linação da reta que passa. E o aso em que os dois pontos oin idem?. P0 = (x0 , y0 ). utilizar a mesma formula para. P1 + P2. e en ontraremos. P0 .. P0 + P0 = 2P0 .. Como as oordenadas. x. e. Sendo assim, a partir da relação. y. Neste aso,. Pre isamos en ontrar a. são iguais, não podemos. y 2 = f (x). en ontramos por. derivação que: ′. dy f (x0 ) λ= = , dx 2y0 que é a fórmula de expli ita para. 2P. λ. quando queremos dupli ar um ponto. É onveniente ter uma expressão. em termos das oordenadas de. Para isso, substituiremos. λ=. dy dx. =. P = (x, y).. ′. f (x) nas fórmulas anteriores, ou seja: 2y. x3 = λ2 − a − x1 − x2 x3 = λ2 − a − 2x ′ 2 f (x) x3 = − a − 2x 2y ! 2 (3x2 + 2ax + b) − a − 2x x3 = 4y 2 x3 =. (9x4 + 12ax3 + 6bx2 + 4abx + b2 ) + (−8x4 − 12ax3 − 4a2 x2 − 8bx2 − 4abx − 4cx − 4ac) 4x3 + 4ax2 + 4bx + 4c. Esta é a fórmula para Note que. y3 =. ′. f (x) x3 2y. x4 − 2bx2 − 8cx + b2 − 4ac . x3 = 4x3 + 4ax2 + 4bx + 4c en ontrar a abs issa x de 2P . + υ,. é a fórmula para en ontrar a oordenada. y. de. 2P ..

(30) 18. Muitas vezes estas fórmulas são hamadas de fórmulas de dupli ação do ponto. Estas são as fórmulas bási as apli áveis a adição de pontos sobre uma úbi a, quando a mesma, está na forma normal de Weierstrass. Usaremos estas fórmulas para provar muitos fatos sobre pontos ra ionais em urvas úbi as, in luindo o teorema de Mordell..

(31) CAPÍTULO 2. PONTOS DE ORDEM FINITA Nos próximos apítulos estudaremos urvas elípti as denidas sobre o orpos dos ra ionais. Dizemos que um elemento. P. de um grupo tem ordem. m. se. mP = |P + P + {z· · · + P} = O, m vezes. mas. P. nP 6= O ,. para todo inteiro. 1 ≤ n < m.. Caso. m. exista, então. P. tem ordem nita, se não,. é de ordem innita. Neste apítulo faremos um estudo sobre os pontos de ordem nita de. E (Q).. A urva elípti a. E. será dada por:. E : y 2z = x3 + ax2 z + bxz 2 + cz 3 , om. a, b, c ∈ Z. e. ∆ = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 6= 0.. O o modelo am desta urva é:. y 2 = x3 + ax2 + bx + c. Denotaremos por. E(Q)tors. o subgrupo de torção de. de ordem nita e. E[m](Q). o subgrupo de. E(Q),de. Observe que:. E(Q)tors = Se. P = (x, y). [. m≥1. E(Q), ou seja, o grupo dos pontos ra ionais pontos. P. tais que. mP = O.. E [m] (Q).. então suas oordenadas ans são denotadas por. x(P ). e. y(P ).. 2.1 Pontos de Ordem 2 e de Ordem 3 Proposição 2.1.1.. Seja. E. uma urva úbi a não singular, denida por:. E : y 2 = x3 + ax2 + bx + c. Então: 19.

(32) 20. a) Um ponto b). E. P = (x, y) 6= O. em. E. tem ordem 2 se, e somente se,. tem exatamente três pontos de ordem 2.. formam o grupo. Demonstração.. E[2]. isomorfo a. y = 0.. Estes pontos juntamente om o ponto. Z/2Z ⊕ Z/2Z .. a) Por denição um ponto. P = (x, y). em. E. O. de ordem 2 é tal que. 2P = O ⇔ P + P = O ⇔ P + O = −P ⇔ P = −P ⇔ (x, y) = (x, −y) ⇔ y = 0, omo queríamos. b) Primeiro pro uraremos quantos pontos de ordem 2 a urva que se. E. possui. Do item. a). temos. P = (x, y) 6= O ∈ E tem ordem 2, então y = 0, isso impli a que x3 +ax2 +bx+c = 0.. Assim esta equação tem três raizes em. Q.. Como. f. é não singular, estas três raizes são. distintas. Logo existem três pontos de ordem 2. Desse modo qual ada. Pi. é diferente de. O.. Como. Z/2Z ⊕ Z/2Z. E[2](Q) = {O, P1 , P2 , P3 } no. é o úni o grupo a quatro elementos. que não possui elementos de ordem 4 (isto segue da teoria dos grupos), então. E[2] ∼ = Z/2Z ⊕ Z/2Z . = {O, P1 , P2 , P3 } ∼. Proposição 2.1.2.. Seja. E. uma urva úbi a não singular, denida por:. E : y 2 = x3 + ax2 + bx + c. Então: a) Um ponto. P = (x, y) 6= O. em. E. tem ordem 3 se, e somente se,. x. é raiz do polinmio. 3x4 + 4ax3 + 6bx2 + 12cx + (4ac − b2 ) = 0. b). E. tem exatamente oito pontos de ordem 3.. formam o grupo Demonstração.. E[3]. a) Seja. isomorfo a. Estes pontos juntamente om o ponto. Z/3Z ⊕ Z/3Z. P = (x, y) 6= O. em. E,. .. O. então:. 3P = O ⇔ 2P = −P ⇔ x(2P ) = x(−P ) = x(P ) pela fórmula de dupli ação de um ponto, temos que:. x4 − 2bx2 − 8cx + b2 − 4ac = x, 4x3 + 4ax2 + 4bx + 4c que é equivalente a,. ψ(x) = 3x4 + 4ax3 + 6bx2 + 12cx + (4ac − b2 ) = 0.. (2.1).

(33) 21. Re ipro amente, se. x. é raiz do polinmio. ψ(x) = 3x4 + 4ax3 + 6bx2 + 12cx + (4ac − b2 ) = 0. temos que,. x4 − 2bx2 − 8cx + b2 − 4ac = x, 4x3 + 4ax2 + 4bx + 4c x(2P ) = x(P ) = x(−P ). Portanto por (2.1), segue que P. ou seja, b) Seja. P = (x, y). um ponto de ordem. 3.. Pelo item (a), temos que. tem ordem três.. ψ(x) = 0.. Através de ál ulos simples, observa-se que: ′. ψ (x) = 12f (x) e ′′. 2. ′. ψ(x) = 2f (x)f (x) − f (x) = 0. Então,. ψ. tem raíz múltipla se, e somente se,. f (x) = f ′ (x) = 0,. Isso impli a que,. 12f (x) = 0. e. ′′. ′. 2. 2f (x)f (x) − f (x) = 0.. o que é impossível. Assim,. ψ. possui quatro raízes. distintas. Sejam. β1 , β2 , β3. e. β4. tais raízes, então para ada valor de. x temos. dois valores para. y. em. nossa úbi a. Para ada raiz de. x, existem dois pontos sobre a úbi a E. Logo, a urva E tem exatamente. 8 pontos de ordem três. Desse modo, Como. E[3] = {O, P1 , P2 , . . . P8 }. Z/3Z ⊕ Z/3Z. onde ada. Pi. é diferente de. O.. é o úni o grupo (abeliano), a menos de isormorsmo, om nove. elementos tais que ada elemento tem ordem 3, então. E[3] ∼ = Z/3Z ⊕ Z/3Z. = {O, P1 , P2 , . . . P8 } ∼. 2.2 Teorema de Nagell-Lutz e o Teorema de Mazur Teorema 2.2.1 (Teorema de Nagell-Lutz). Sejam a, b, c ∈ Z e seja E. a urva elípti a denida. por:. y 2 = f (x) = x3 + ax2 + bx + c. Em parti ular,. f (x). não possui raízes múltiplas. Seja. ∆. o dis riminante do polinmio úbi o. f (x), ∆ = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 6= 0. Se. P = (x, y). temos que. é um ponto ra ional de ordem nita sobre a urva, então. y=0. (e neste aso. P. é de ordem. 2). ou. y2. divide. ∆.. x. e. y. são inteiros e.

(34) 22. Demonstração. Ver Proposições 2.2.2 e 2.2.4. O teorema nos forne e um algorítmo para en ontrar todos os pontos ra ionais de torção sobre uma urva elípti a. y=0. ou. y 2 | ∆,. c−y. divide. 2. E,. denida por. y 2 = x3 + ax2 + bx + c.. deve-se a har as raízes inteiras de. ) e depois deve-se veri ar se. Para ada. y ∈ Z,. x3 + ax2 + bx + c − y 2 = 0. P = [x : y : 1] ∈ E(Q). A re ípro a do teorema não é válida: um ponto. satisfazendo. (uma raiz inteira. é um ponto de torção.. P = [x : y : 1] ∈ E(Q). pode satisfazer as. ondições do teorema sem que ele seja um ponto de torção. O teorema pode, muitas vezes, ser usado para provar que um ponto. P ∈ E(Q). é de ordem nita. Mostraremos um exemplo desta. apli ação, no último ápitulo. O teorema de Nagell-Lutz segue dos dois próximos resultados:. Proposição 2.2.2. Seja P = [x1 : y1 : 1] ∈ E(Q). estabele emos. z = 1),. então. Demonstração. Sejam suponha ainda. y1 = 0. ou. P = [x1 : y1 : 1]. Se. P. e. 2P. têm oordenadas inteiras (quando. y12 | ∆. e. 2P = [x2 : y2 : 1]. em. E(Q),. om oordenadas inteiras;. y1 6= 0.. Pela fórmula de dupli ação, temos:. x2 =. x41 − 2bx21 − 8cx1 + b2 − 4ac . 4x31 + 4ax21 + 4bx1 + 4c. Façamos,. f (x) = x3 + ax2 + bx + c , g(x) = x4 − 2bx2 − 8cx + b2 − 4ac . Assim,. x2 = Como. y12 = f (x1 ),. g(x1 ) ∈ Z. 4f (x1 ). então:. y12 | f (x1 ). e. y12 | g(x1 ) .. Da seguinte identidade,. (3x3 −ax2 −5bx+ 2ab−27c)f (x) −(3x2 + 2ax+ 4b−a2)g(x) = −4a3 c + a2b2 + 18abc −4b3 −27c2 . Con luímos que. y12 | ∆.. Observação 2.2.3.. Os polinmios. 3x3 − ax2 − 5bx + 2ab − 27c. e. 3x2 + 2ax + 4b − a2 ,. foram obtidos utilizando o sistema de álgebra omputa ional Máxima.. Proposição 2.2.4.. Se. P = [x : y : 1] ∈ E(Q)tors ,. Demonstração. Ver [1℄, Capítulo II, Seção 4.. então. x, y ∈ Z..

(35) 23. Teorema 2.2.5 e suponha que. .. (Teorema de Mazur). E(Q). Seja. E. uma urva elípti a, denida sobre os ra ionais,. ontenha um ponto de ordem. 1 ≤ m ≤ 10. ou. m.. Então. m = 12 .. Mais pre isamente, o onjunto de todos os pontos de ordem nita em isomorfo a um dos grupos seguintes (i) (ii). Z/nZ,. onde. 1 ≤ n ≤ 10. Z/2Z ⊕ Z/2nZ,. onde. ou. n = 12.. 1 ≤ n ≤ 4.. Demonstração. Ver [6℄ e [7℄.. E(Q). formam um grupo.

(36) CAPÍTULO 3. O TEOREMA DE MORDELL O objetivo prin ipal deste apítulo é a demonstração do Teorema de Mordell, o qual arma que o grupo de pontos ra ionais de uma urva elípti a é nitamente gerado. Este teorema foi onje turado primeiramente por Poin aré em 1901 e demonstrado em 1922 por Louis Mordell.. 3.1 Altura de um Ponto Denição 3.1.1.. Seja um número ra ional. x=. m , n. mdc(m, n) = 1.. Denimos a altura. H(x). omo sendo o máximo valor absoluto do numerador e do denominador, ou seja:. H(x) = H. m n. = max{|m|, |n|}.. A altura de um ponto ra ional mede o quanto o ponto é omplexo do ponto de vista da Teoria dos Números; esta altura é um inteiro positivo. Por que a altura é uma boa forma de medir o quanto um número ra ional é ompli ado? Por exemplo, porque não basta tomar o valor absoluto de Considere os dois números ra ionais. 1. e. |x|?. 999 . Ambos tem aproximadamente o mesmo valor 1000. absoluto, mas o segundo é mais ompli ado que o primeiro, pelo menos do ponto de vista da Teoria dos Números.. Se esta razão não for onvin ente, então possivelmente a seguinte. propriedade de altura, expli ará por que é uma noção tão útil.. 3.2 Propriedades da Altura Proposição 3.2.1.. é nito.. Seja. M. um número real positivo. O Conjunto,. o n m ∈ Q : H(x) ≤ M x= n. 24.

(37) 25. x=. Demonstração. Se a altura de. m é menor que alguma onstante xada, então n. |m|. e. |n| são. menores que esta onstante, por isso há somente um número nito de possibilidades para. m. e. n. Se. E : y 2 = f (x) = x3 + ax2 + bx + c, é uma urva úbi a não singular om oe ientes inteiros ra ional na urva, denimos a altura de. P. a, b, c. e se. P = (x, y). é um ponto. sendo simplesmente a altura da abs issa. x,. isto é,. H(P ) = H(x). Veremos que a altura se omporta omo se fosse uma função multipli ativa. Por exemplo, ompararemos. H(P + Q). om o produto. H(P )H(Q).. Por razão de notação, é mais onveniente ter uma função que possui um omportamento aditivo, então denimos a função. h. omo altura tomando o logaritmo de. H,. ou seja,. h(P ) = log H(P ). Assim,. h(P ). é sempre um numero real não negativo, pois. H(P ) ≥ 1 ⇒ log H(P ) = h(P ) ≥ log 1 = 0. H(O) = 1. A altura para o ponto no innito é denida por:. ou, equivalentemente,. Nosso objetivo neste apítulo, é provar que o grupo dos pontos ra ionais. h(O) = 0.. E(Q) é nitamente. gerado; tal fato seguirá dos lemas 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 e 3.2.6, os quais vamos enun iar, demonstrar e utilizar para demonstrar o Teorema de Mordell.. Lema 3.2.2.. Para todo número real positivo. Demonstração. Considere. (x, y). satisfaz a equação. P ∈ E(Q). 2. 3. tal que. 2. M,. h(P ) ≤ M .. h(P ) = h(x) = log H(x) ≤ M. Pela proposição 3.2.1, existem no máximo parte inteira de. e. x,. Seja. k(2k + 1). P 6= O,. , isto é,. então. P = (x, y),. 1 ≤ H(x) ≤ eM .. valores possíveis para. x,. existem no máximo dois valores possíveis para. {P ∈ E(Q) : h(P ) ≤ M}. Lema 3.2.3.. Se. é nito.. onde. onde. k. é a. .. Como para ada valor de onjunto. {P ∈ E(Q) : h(P ) ≤ M}. y = x + ax + bx + c.. Por denição temos que. M. o onjunto. P0. é nito.. um ponto ra ional em. E : y 2 = f (x) = x3 + ax2 + bx + c, xado. Existe uma onstante. k0 ,. dependendo de. P0. e de. a,b,c. tal que:. h(P + P0 ) ≤ 2h(P ) + k0 , ∀ P ∈ E(Q).. y,. então o.

(38) 26. Demonstração. Ver seção 3.3.. Lema 3.2.4.. Existe uma onstante. k,. dependendo de. a,b,c. tal que:. h(2P ) ≥ 4h(P ) − k, ∀ P ∈ E(Q). Demonstração. Ver seção 3.4.. Observação 3.2.5.. Os lemas 3.2.3 e 3.2.4 rela ionam a lei de grupo em. E,. que é denida. geometri amente, om a altura dos pontos que é uma ferramenta da Teoria dos Números. Assim, de erta forma pode-se pensar na altura, omo uma ferramenta para traduzir informações geométri as em informações aritméti as.. Lema 3.2.6.. O índi e. [E(Q) : 2E(Q)]. é nito.. Demonstração. Ver seção 3.6. Usamos a notação. 2E(Q). são o dobro dos pontos de. para denotar o subgrupo de. E(Q).. E(Q). Para qualquer grupo abeliano. que onsiste dos pontos que. G,. a multipli ação por. m:. m. G− → G, P 7→ P · · + P} = mP, | + ·{z m termos. é um homomorsmo, e a imagem deste homomorsmo é o subgrupo. G = E(Q),. arma que, para. o subgrupo. 2G. tem índi e nito em. mG. de. G.. O lema 3.2.6. G.. Esses lemas estão em ordem res ente de di uldade. O lema 3.2.2 já foi provado. Os lemas 3.2.3 e 3.2.4 estão rela ionados à teoria das alturas e números ra ionais. Já o lema 3.2.6 é mais sutil, e omo queremos nos restringir ao trabalho om números ra ionais, provaremos o lema apenas para uma lasse de urvas úbi as. Provaremos o teorema. y 2 = f (x) = x3 + ax2 + bx + c. de Mordell para urvas elípti as da forma menos um ponto de ordem 2, isto é,. f (x). deve ter pelo menos uma raiz ra ional. Fazendo uma. mudança de variáveis, podemos supor que. f (x) = x3 + ax2 + bx.. Para omeçar mostraremos omo estes quatro lemas impli am que nitamente gerado.. Suponha também que. G. e. h. Seja. G. G,. es rito aditivamente, e a função altura. satisfazem os quatro lemas.. agora de novo nossas hipóteses e provaremos que. Teorema 3.2.7.. E(Q) é um grupo abeliano. Podemos esque er ompletamente os pontos ra ionais de uma urva e. supor somente que temos um grupo omutativo. h : G → [0, ∞].. G. um grupo omutativo. Suponha que existe uma função. 1) Para ada número real positivo. P0 ∈ G. Apresentaremos. pre isa ser nitamente gerado.. om as três propriedades abaixo:. 2) Para ada. que possuem pelo. M,. o onjunto. existe uma onstante. k0. {P ∈ G : h(P ) ≤ M}. tal que. h(P + P0 ) ≤ 2h(P ) + k0 , ∀ P ∈ G.. h : G → [0, ∞]. é nito..

(39) 27. 3) Existe uma onstante. k. tal que:. 2G. Suponha ainda que o subgrupo Demonstração. Seja tantes de Seja. h(2P ) ≥ 4h(P ) − k, ∀ P ∈ G.. tem índi e nito em. [G : 2G] = n. e onsidere. G2G.. P ∈ G, ∃ i1. tal que. P ∈ 2G + Qi1. logo. G.. Então. G. {Q1 , · · · , Qn } ⊂ G, ∃ P1 ∈ G. é nitamente gerado. um onjunto de represen-. tal que. P = 2P1 + Qi1 ⇒ P − Qi1 = 2P1 . Também,. ∃ i2. tal que. P1 ∈ 2G + Qi2. ∃ P2 ∈ G. logo. tal que. P1 = 2P2 + Qi2 ⇒ P1 − Qi2 = 2P2 . Repetindo este pro esso obtemos uma sequên ia de pontos. (Pm )m≥1. tais que,. P = 2P1 + Qi1 ; P1 = 2P2 + Qi2 ;. (3.1). . . .. Pm = 2Pm+1 + Qim+1 onde e. Qi1 , . . . , Qim. P, P1, . . .. são es olhidos no onjunto de representantes das lasses laterais. são elementos de. G.. Vemos então que para todo. m ∈ N,. P = Qi1 + 2Qi2 + 4Qi3 + · · · + 2m−1 Qim + 2m Pm . Do item 2) temos que, para. −Qj. existe. kj. tal que, para todo. P ∈G. temos,. h (P − Qj ) ≤ 2h(P ) + kj . Comparemos as alturas de. Pj. e. Pj−1 .. De (3.2), temos que. Pj−1 = Qij + 2Pj . Tome. k ′ = max {kj }.. Assim,. ∀ P ∈ G : h(P − Qj ) ≤ 2h(P ) + kj ≤ 2h(P ) + k ′ . Apli ando os itens 2) e 3) em (3.1). 4h (Pj ) − k ≤ h (2Pj ) = h Pj−1 − Qij ≤ 2h (Pj−1 ) + k ′ ⇒ 4h (Pj ) − k ≤ 2h (Pj−1 ) + k ′ k + k′ 1 ⇒ h (Pj ) ≤ h (Pj−1 ) + 2 4. Como. 1 2. =. 3 4. −. 1 , então: 4. {Q1 , . . . , Qn }. (3.2).

(40) 28. 1 k + k′ 3 h (Pj ) ≤ h (Pj−1 ) − h (Pj−1) + 4 4 } |4 {z − 14 (h(Pj−1 )−(k+k ′ )). Armação:. ∃ m ∈ N : h (Pm ) < k + k ′. Por absurdo suponha:. ∀ m ≥ 0 : h (Pm ) ≥ k + k ′ , então,. h (Pj−1) − k − k ′ ≥ 0, ou seja,. 1 − (h (Pj−1 ) − k − k ′ ) ≤ 0. 4. Daí,. 1 3 3 3 h (Pj ) ≤ h (Pj−1 ) − (h (Pj−1 ) − k − k ′ ) ≤ h (Pj−1 ) ⇒ h (Pj ) ≤ h (Pj−1) . 4 4 | 4 {z } 4 ≤0. Assim:. 3 h (P1 ) ≤ h (P ) 4. e. 3 h (P2 ) ≤ h (P1 ) ≤ 4. 2 3 h (P ) . 4. Por indução:. Como Logo,. h (Pj ) ≤. m k+k′ = 0, então existe m ≥ 0 tal que 34 < h(P ) j→∞ m h (Pm ) ≤ 43 h (P ) < k + k ′ , o que ontradiz nossa suposição. lim. 3 j 4. 3 j h (P ) . 4. Logo,. ∃ m ∈ N : h (Pm ) < k + k ′ .. Assim, ada ponto. P ∈ G,. se es reve omo ombinação linear de elementos do onjunto. {Q1 , . . . , Qn } ∪ {P ∈ G : h(P ) ≤ k + k ′ } . Pelo item 1) este onjunto é nito. Logo. G. é nitamente gerado.. Este teorema é hamado de Teorema da Des ida, haja vista que sua demonstração é feita no estilo do método de Fermat de des ida nita. nosso aso o ponto menor.. P ∈ E(Q),. Começamos om um ponto arbitrário, em. e om algumas manipulações produzimos um ponto de altura. É pre iso ter uma forma de mensurar o tamanho do ponto, para isso usamos a altura. Com sorte, a apli ação repetida deste pro esso leva a uma das on lusõs seguintes. Em nosso aso,.

(41) 29. repetimos o pro esso até a har um ponto que se en ontra, em um onjunto nito. Em outros asos, se hega a uma ontradição, usualmente a existên ia e um inteiro estritamente entre zero e um. Então podemos on luir que não existe solução. Este método usado por Fermat, mostra que. x4 + y 4 = 1. para provar que. não tem solução ra ional om. n. n. x +y =1. xy 6= 0;. não tem solução para todo. ele queria utilizar o mesmo ra io ínio. n ≥ 3.. Infelizmente ompli ações adi ionais surgiram quando o. n. aumenta.. Tendo em vista o. Teorema da Des ida, e a demonstração do lema 3.2.2 a ima, resta-nos provar os lemas 3.2.3, 3.2.4 e 3.2.6.. 3.3 A Altura de P + P0 Nesta seção será feita a prova do lema 3.2.3, que nos dá uma relação entre a altura de. P + P0 .. e. Para isso façamos antes algumas observações.. Primeiramente, se. P = (x, y) é um ponto ra ional em nossa x=. om. P , P0. m,n. inteiros,. e>0. e. m e2. e. y=. mdc(m, e) = mdc(n, e) = 1.. urva, então. xey. n e3 Em outras palavras, se vo ê es rever as. oordenadas de um ponto ra ional na forma irredutível, então o denominador de de um numero ujo ubo é o denominador de Com efeito, suponha. x=. m e M. y=. têm a forma:. x é o quadrado. y.. n na forma irredutível om N. M >0. e. N > 0.. Substituindo na equação da urva temos:. y 2 = x3 + ax2 + bx + c. n2 m3 m2 m = + a +b +c 2 3 2 N M M M. m3 + am2 M + bmM 2 + cM 3 n2 M 3 = N 2M 3 M3. m3 N 2 + aN 2 m2 M + bN 2 mM 2 + cN 2 M 3 n2 M 3 = N 2M 3 N 2M 3. n2 M 3 = m3 N 2 + aN 2 m2 M + bN 2 mM 2 + cN 2 M 3 . Veja que. N 2 |n2 M 3 .. N2. (3.3). é um fator omum de todos os termos do lado direito da igualdade (3.3), então.

(42) 30. Como. mdc(n, N) = 1. então. N 2 |M 3 .. M 3 |N 2 .. Agora mostraremos que. De fato, pela equação (3.3) vemos que. M|N 2 m3. e omo. mdc(m, M) = 1,. M|N 2 .. obtemos. Ou seja,. M 2 |n2 M 3 , aN 2 m2 M, bN 2 mM 2 , cN 2 M 3 . De (3.3) temos: Como. N 2 m3 = n2 M 3 − (aN 2 m2 M + bN 2 mM 2 + cN 2 M 3 ),. mdc(m, M) = 1. temos. Isso impli a que. M 2 |N 2 ,. ou seja,. logo. M|N .. M 2 |N 2 m3 .. M 3 |n2 M 3 − (aN 2 m2 M + bN 2 mM 2 + cN 2 M 3 ). Novamente por (3.3) seque se que. M 3 = N 2,. Con lui-se que Como. M|N ,. seja. e=. N M. ∈ N,. e2 = Portanto. pois. M 3 |N 2 m2. e omo. mdc(m, M) = 1,. então. M, N > 0.. M 3 |N 2 .. então,. N2 M3 = =M M2 M2. e. e3 =. N3 N3 = = N. M3 N2. m n , e y = 2 e e3 mdc(m, e) = mdc(n, e) = 1. x=. om. m,n. inteiros,. e>0. e. Nossa segunda observação diz respeito sobre omo denimos a altura de um ponto ra ional em nossa urva. Se o ponto. P. é dado por. Em parti ular, oordenada. y. |m| ≤ H(P ). em termos de. dependendo de. P =. a,b,c. tal que. e. m n , e2 e3 2. H(P ).. . então a altura de P é o máximo entre. e ≤ H(P ).. |m|. e. Podemos também vin ular o numerador da. Pre isamente, mostremos que há uma onstante 3 2. |n| ≤ KH(P ). e2 . K > 0,. .. Provaremos isto usando o fato de que o ponto. P. substituiremos o ponto na equação e multipli ando por. satisfaz a equação da urva.. 6. e. De fato,. e ex luiremos o denominador:. y 2 = x3 + ax2 + bx + c n2 m3 m2 m m3 + am2 e2 + bme4 m + ce6 = + a + b + c = e6 e6 e4 e2 e6 n2 = m3 + am2 e2 + bme4 m + ce6 . Agora tomando o valor absoluto e onsideremos as desigualdades, e a desigualdade triangular teremos:. |m| ≤ H(P ), e2 ≤ H(P ). |n2 | ≤ |m3 | + |am2 e2 | + |bme4 m| + |ce6 | ≤ H(P )3 + |a|H(P )3 + |b|(H(P )3 + |c|H(P )3 ) = H(P )3 (1 + |a| + |b| + |c|)..

(43) 31. K=. Tomando. p. 1 + |a| + |b| + |c|,. teremos: 3. |n2 | ≤ K 2 H(P )3 ⇒ |n| ≤ K(H(P )) 2 .. Provaremos agora o Lema 3.2.3.. Demonstração. Observe que o lema é trivial se. P0 = O ,. pois para qualquer. P ∈ E(Q). tem se. h(P + P0 ) = h(P ) ≤ 2h(P ) < 2h(P ) + k0 . k0 > 0.. para qualquer. P0 6= O, P0 = (x0 , y0 ).. Seja então. Observação 3.3.1. para. P. Note que é su iente provar que a desigualdade vale para todo. P. perten e a um onjunto nito, existe somente um número nito. h(P + P0 ) − 2h(P ).. de diferenças. P 6= ±P0 ,. então. pois onsiderando. k0 = max{k0′ , k0′′ }.. Seja então. Seja. Como. P + P0 = (ζ, η).. Para obter a altura de fórmula de. ζ. Isto é, a haremos. Da seção 1.5 temos: Assim:. P ∈ / {−P0 , O, P0 }. P + P0 ,. em termos de. (x, y). e. então. h (P + P0 ) < 2h(P ) + k0′ , P ∈ {O, ±P0 }},. om. teremos. x ∈ Q, x 6= x0 . ζ. e pre isamos também da. (x0 , y0 ).. ζ=. ζ=. tal que. pre isamos al ular a altura de. ζ = λ2 − a − x − x0 ,. ζ=. k0′ > 0,. k0′′ = max{h (P + P0 ) − 2h(P ),. P ∈ E(Q), P ∈ / {−P0 , O, P0 }.. P = (x, y).. Es reva. ζ=. ex eto. em algum onjunto nito.. Isto é verdade pois se. para. P. om. λ=. y−y0 . x−x0. (y − y0 ) − a − x − x0 (x − x0 ). (y − y0 )2 − (x − x0 )2 (x + x0 + a) (x − x0 )2. (y 2 − 2yy0 + y0 2 ) − (x2 − 2xx0 + x0 2 ) (x + x0 + a) (x − x0 )2. (y 2 − 2yy0 + y0 2 ) − (x3 + x2 x0 + x2 a − 2x2 x0 − 2xx0 2 − 2axx0 + x0 2 x + x0 3 + ax0 2 ) . (x − x0 )2. Fazendo. y 2 − x3 = ax2 + bx + c. ζ=. (pois o ponto P está na urva) temos:. ax2 + bx + c − 2y0y + y0 2 + x2 x0 + x0 2 x − ax2 − ax0 2 − x0 3 + 2axx0 (x − x0 )2. ζ=. (−2y0 ) y + (x0 ) x2 + (b + x0 2 + 2ax0 ) x + (c + y0 2 − x0 3 − ax0 2 ) . x2 + (−2x0 ) x + x0 2. Podemos es rever a expressão a ima da seguinte maneira:. ζ =. Ay+Bx2 +Cx+D om Ex2 +F x+G. termos de. a,b,c,x. e. x0 .. A,B ,C ,D ,E ,F. e. G. números ra ionais que podem ser expressos em.

(44) 32. Mas se multipli armos o numerador e o denominador pelo mínimo denominador omum de. A, . . . , G. podermos assumir que. Em resumo: todo ponto. ζ=. temos inteiros. P = (x, y). A, . . . , G. são inteiros.. A, . . . , G. não perten ente a. Ay+Bx2 +Cx+D . Ex2 +F x+G. que dependem de. {−P0 , O, P0}. x=. y0 x. de modo que para. P + P0. de. é igual a. P0 são xos, então esta expressão. P.. Por isso, temos que a onstante Agora substituindo. e. a oordenada. É importante ressaltar que, uma vez que a urva e o ponto é orreta para todo ponto. a,b,c,x0. m e e2. y=. ζ= Logo temos uma expressão para. k. A, . . . , G. depende de. ontanto que não dependa de. x. e. y.. n e4 e multipli ando a fração por 4 en ontramos e3 e. ζ. Ane + Bm2 + Cme2 + De4 . Em2 + F ne2 + Ge4 om um inteiro dividido por outro inteiro.. Não onhe emos esta expressão na forma irredutível, mas por an elamento do fator omum a altura é menor que o máximo entre estes números. Daí, por um lado temos que. . H (ζ) ≤ max |Ane + Bm2 + Cme2 + De4 |, |Em2 + F ne2 + Ge4 | .. Por outro lado, temos as seguintes estimativas:. |e| ≤ H(P )1/2 , |n| ≤ K H(P )3/2 ,|m| ≤ H(P ) ′. onde. k. ′. depende somente de a,b, . Usando. estas desigualdades e a desigualdade triangular temos:. |Ane + Bm2 + Cme2 + De4 | ≤ |Ane| + |Bm2 | + |Cme2 | + |De4 | ′ ≤ |Ak | + |B| + |C| + |D| H(P )2. e. |Em2 + F ne2 + Ge4 | ≤ |Em2 | + |F me2 | + |Ge4 | ≤ (|E| + |F | + |G|) H(P )2 . Portanto:. n. o. H (P + P0 ) = H (ζ) ≤ max |Ak | + |B| + |C| + |D|, |E| + |F | + |G| H(P )2 . ′. Apli ando logaritmo em ambos os lados obtemos:. ′. h (P + P0 ) ≤ 2h(P ) + k0 , onde a onstante. k0′′ e. k0′ = max {k ′ , k ′′ }. n o ′ = log max |Ak | + |B| + |C| + |D|, |E| + |F | + |G|. depende somente de. a,b,c,x0. e. A observação 3.3.1 ompleta a demonstração.. y0. e independe de. P = (x, y)..

(45) 33. 3.4 A Altura de 2P Na seção anterior provamos que: Se. a,b. e. c. P0. é um ponto ra ional em. E. xado, existe uma onstante. k0 ,. P0. dependendo de. e de. h (P + P0 ) ≤ 2h(P ) + k0 , ∀ P ∈ E(Q).. tal que:. Nesta seção daremos a prova do Lema 3.2.4, que nos diz: Existe uma onstante. k. dependendo de. a,b. e. c. tal que. E(Q).. h(2P ) ≥ 4h(P ) − k. para todo. P. em. Da mesma forma que na prova do Lema 3.2.3, podemos ignorar qualquer onjunto nito de pontos, haja vista que pode-se es olher. k. maior. 4h(P ). para todos pontos desse onjunto.. Então des artamos o onjunto nito de pontos que satisfazem Seja. P = (x, y). e es reva. 2P = (ζ, η). ζ + 2x = λ2 − a. A fórmula de dupli ação é:. onde. λ=. 2P = O.. ′. f (x) , logo: 2y. ′. f (x) ζ= − a − 2x. 4y 2 Colo ando tudo sobre um denominador omum e usando a seguinte expressão para. ζ: ′. ζ=. f (x). 2. pois. y 2 = f (x). é não singular por suposição, portanto, sabemos que. oe ientes em. Z.. 2P 6= O.. − (8x + 4a) f (x) x4 · · · = 3 . 4 (f (x)) 4x · · ·. f (x) 6= 0. Note que. A úbi a. y 2 = f (x) = x3 + ax2 + bx + c obtemos. Assim,. ζ. é o quo iente de dois polinmios em. f (x). e. ′. x. f (x). om. não. tem raízes em omum. Sabendo que. h(P ) = h(x). e. h(2P ) = h (ζ). estamos tentando provar que. O seguinte lema on lui a demonstração.. Lema 3.4.1. Seja. d. Sejam. φ(x). e. ψ(x). o máximo dos graus de. polinmios om oe ientes inteiros e raízes não omuns.. φ(x). e. ψ(x).. Então:. R ≥ 1 dependendo de φ(x) d m mdc n φ m , n ψ n divide R. n. 1) Existe um inteiro. m temos: n 2) Existem raízes de. h (ζ) = 4h(x) − k .. e. ψ(x),. tal que para todo número ra ional. d. k1. e. k2 ,. ψ. temos:. dependendo de. dh. m n. φ(x). e. − k1 ≤ h. ψ(x),. φ ψ. tal que para todo ra ional. !. m n m n. ≤ dh. m n. + k2 .. m que não são n.

(46) 34. Demonstração.. m n. n φ. número. Logo. 1) Primeiro observe que. d. m n. nd φ. . . φ(x). e. ψ(x). têm grau menor ou igual a. d,. logo o. é inteiro inteiros pois:. φ(x) = ad xd + ad−1 xd−1 + . . . + a0 m md md−1 φ = ad d + ad−1 d−1 + . . . + a0 . n n n. ∈ Z.. De maneira inteiramente análoga. m n. nd ψ. . ∈ Z.. Então faz sentido en ontrar maximo divisor omum de. nd φ. m n. . e. nd ψ. . m . n. O resultado que mostraremos é que não há muito a simpli ar quando realizamos o quo iente destes dois números. O que devemos simpli ar está limitado por Sem perda de generalidade suponhamos que. grau φ ≥ grau ψ. R.. pois:. m m m m mdc nd φ , nd ψ = mdc nd ψ , nd φ . n n n n grau φ = d e grau ψ = e ≤ d.. Temos então:. Assim podemos es rever:. d. n φ e. d. n ψ. md md−1 = n ad d + ad−1 d−1 + · · · + a0 = ad md + ad−1 md−1 n + · · · + a0 nd n n. m n. m n. d. me me−1 = n be e + be−1 e−1 + · · · + e0 = be me nd−e + be−1 me−1 nd−e−1 + · · ·+ b0 nd . n n d. Para simpli ar a notação faremos:. m n. Φ (m, n) = nd φ. . e. . m . n. Ψ (m, n) = nd ψ. Pre isamos a har uma estimativa para. mdc (Φ (m, n) , Ψ (m, n)). que independa de. m. ou. n. Como. φ(x). Q[x].. Eles geram o ideal unitário, assim podemos a har polinmios. e. ψ(x). não tem raízes em omum, eles são primos entre si no anel eu lidiano. F (x). e. G(x). om. oe ientes ra ionais tais que. F (x)φ(x) + G(x)ψ(x) = 1(∗). Seja. A um inteiro grande o su iente tal que AF (x) e AG(x) tenham oe ientes inteiros.. Mas seja Note que. D = max {grau F (x), grau G(x)}. A. e. D. independem de. ambos os lados por. D+d. An. m. ou. n.. Substituindo. x =. m em n. (∗). , temos,. AnD+d = nD AF. m n. nd φ. m n. + nD AG. m n. nd ψ. m n. e multipli ando.