UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
GEOGEBRA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO POLINOMIAL
RICARDO ANTÔNIO FAUSTINO DA SILVA BRAZ
Natal-RN 2020
RICARDO ANTÔNIO FAUSTINO DA SILVA BRAZ
GEOGEBRA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO POLINOMIAL
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
Orientadora: Profa. Dra. Claudianny Amorim Noronha
Natal-RN 2020
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
Braz, Ricardo Antônio Faustino da Silva.
GeoGebra e a resolução de problemas na aprendizagem da função polinomial / Ricardo Antônio Faustino da Silva Braz. - 2020. 137f.: il.
Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. Natal, 2020.
Orientadora: Claudianny Amorim Noronha.
1. Matemática - Tese. 2. Plataforma GeoGebra - Tese. 3. Resolução de problemas - Tese. 4. Função polinomial - Tese. I. Noronha,
Claudianny Amorim. II. Título.
RN/UF/CCET CDU 51
RICARDO ANTÔNIO FAUSTINO DA SILVA BRAZ
GEOGEBRA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO POLINOMIAL
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática.
Aprovada em: 01/07/2020.
BANCA EXAMINADORA
Profa. Dra. CLAUDIANNY AMORIM NORONHA Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal
Orientadora
Profa. Dra. MARCIA GORETTE LIMA DA SILVA Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal
Membro Suplente Interno
Profa. Dra. HALANA GARCEZ BOROWSKY Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal
Membro Titular Externo ao Programa
Prof. Dr. FREDY ENRIQUE GONZALEZ
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal Membro Titular Externo ao Programa
Profa. Dra. JOSINALVA ESTACIO MENEZES Universidade de Brasília – UnB/Brasília
Membro Titular Externo à Instituição
Prof. Dra. JUSSARA PATRÍCIA ANDRADE ALVES PAIVA Universidade Federal da Paraíba – UFPB/Rio Tinto
Membro Titular Externo à Instituição
Prof. Dra. GLAUCIANNY AMORIM NORONHA Universidade da Amazônia – UNAMA/Belém
Membro Titular Externo à Instituição
AGRADECIMENTOS
A DEUS, louvado seja Nosso Senhor Jesus Cristo, para sempre seja louvado.
À Professora Claudianny Amorim Noronha, pela parceria, colaboração, cooperação e confiança em ter me selecionado para ser seu orientando nesse trabalho.
À Professora Josinalva Estácio Menezes a quem tenho muito carinho, respeito e admiração pela forma como orienta e faz suas colaborações e sugestões.
Aos professores e colegas de turma que me deram muita força para continuar no desenvolvimento desta tese.
Aos funcionários do Departamento de Matemática e da empresa terceirizada que sempre foram solícitos com minhas necessidades.
À Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA), por me possibilitar o afastamento para que pudesse me dedicar aos estudos na elaboração desta tese.
À minha esposa Handressa Câmara de Almeida Braz que sempre me confortou com palavras de otimismo, desde antes da seleção para este Programa de Doutorado.
À minha filha Raissa Azevedo Braz que, no período quando esteve morando comigo, rezava junto rogando a Deus por sucesso na elaboração desta tese.
Aos meus Pais, Antônio Faustino da Silva Braz e Lindalva Ventura Nunes Braz por sempre acreditarem incondicionalmente no meu potencial e rezarem toda noite pelo meu sucesso.
Ao meu avô, Alberto Nunes da Costa Dias (In memoriam), por ter acreditado no meu potencial desde criança me motivando a ser Doutor em Matemática com seus maravilhosos desafios com conceitos matemáticos.
RESUMO
A motivação para este estudo se deu pela necessidade de investigar uma nova proposta dinâmica para o ensino de funções polinomiais usando uma plataforma de aprendizagem e buscando embasamento na Teoria Histórico-Cultural associada ao campo de estudo da Resolução de Problemas. Para a apropriação do saber pelo campo de estudo da Resolução de Problemas vislumbramos a possibilidade de apresentar tanto para estudantes quanto para professores o ensino por investigação. Desse modo, desenvolvemos uma sequência de atividades que foi executada via plataforma GeoGebra, a qual potencializou a elaboração das ações e protocolos de construção proporcionando o diálogo entre os envolvidos. Vale ressaltar que conseguimos estabelecer uma relação evidente entre a representação da função polinomial em suas quatro formas propostas pelo autor que norteou a hipótese deste estudo. Consideramos um estudo de pesquisa qualitativa, pois os dados foram constituídos no momento de execução do curso oferecido a estudantes da Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Os dados apresentados nos instrumentos escritos e gravados, tanto em áudio quanto em vídeo, forneceram o material para a análise posterior. Nos diálogos, os estudantes e o pesquisador interagiram com as atividades que foram vivenciadas na plataforma GeoGebra. Com o objetivo de motivar os estudantes para a resolução dos problemas apresentamos questões dentro do seu contexto social e cultural. A proposta de atividade elaborada e a análise dos resultados obtidos foram guiadas por aspectos do campo de estudos da Resolução de Problemas. A pretensão da investigação foi apresentar aos estudantes e professores como representar, na plataforma GeoGebra, construções dinâmicas que são aplicativos e validem a formação do conceito de funções polinomiais de forma dinâmica e interativa. No decorrer da resolução dos problemas buscamos aprimorar a construção e a representação dinâmica das atividades implementando com os comandos da plataforma GeoGebra e favorecendo a criação de novos aplicativos. Considerando tanto nossas avaliações instantâneas quanto as tomadas de decisões dos estudantes na resolução dos problemas propostos, constatamos que houve um aprendizado levando ao desenvolvimento do estudante. Diante disso, concluímos que uma abordagem dada ao ensino da função polinomial utilizando as ferramentas, os comandos e aplicativos da Plataforma GeoGebra favorecem ao desenvolvimento e a aprendizagem deste conteúdo. Assim, potencializando uma ideia nova e mais abrangente consideramos um diálogo na formação tanto dos estudantes quanto no apoio em sala de aula para os professores. Delimitando dificuldades didáticas tanto no cotidiano quanto em sala de aula em busca de formas de aprendizado, apontamos a tecnologia como um suporte para o ensino nas novas gerações.
Palavras-chave: Plataforma GeoGebra, Função Polinomial, Resolução de Problemas, Formação Continuada de Professores de Matemática.
ABSTRACT
The motivation for this study was due to the need to investigate a new dynamic proposal for the teaching of polynomial functions using a learning platform seeking to base the Historical-Cultural Theory associated to the field of study of Problem Solving. For to the appropriation of knowledge by the field to study of Problem Solving, we envision the possibility of presenting research teaching to both students and teachers. In this way, we developed a sequence of activities that was carried out via the GeoGebra platform in which it enhanced the development of actions and construction protocols providing dialogue between those involved. It is worth mentioning that we evident relationship between the representations of the polynomial function in its four forms proposed by the author who guided the hypothesis of this study. We consider it a qualitative research study, since the data were constructed at the time of the course offered to undergraduate students in Mathematics at the Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). The date presented in the instruments written and recorded in both audio and video and provided material for further analysis. In the dialogues, the students and the researcher interacted with the activities that were performed on the GeoGebra platform. In order to motivate students to solve problems, we present questions within their social and cultural context. The aspects of the field of study of Problem Solving guided the activity proposal and the analysis of the results obtained. The intention of the investigation was to show students and teachers how to represent dynamic constructions, which are applications on the GeoGebra platform and which validate the formation of the concept of polynomial functions in a dynamic and interactive way. In the course of solving problems, we seek to improve the construction and dynamic representation of activities by implementing with the commands of the GeoGebra platform and favoring decision-making in solving the problem. Considering both our instant assessments and student decision-making in solving the proposed problems, we found that there was a learning process leading to the student's development. Therefore, we concluded that an approach given to the teaching of the polynomial function using the tools, commands and applications of the GeoGebra Platform, favor the development and learning of this content. Thus, potentiating a new, more comprehensive idea, we consider a dialogue in the training of both students and in classroom support for teachers. Delimiting didactic difficulties both in daily live and in the classroom in search of ways of learning, we point to technology as a support for teaching in new generations.
Keywords: GeoGebra Platform, Polynomial Function, Problem Solving, Mathematics Teachers Continuing Education.
LISTA DE FIGURAS E QUADROS
Quadro 1. Classificação de tarefas. ... 38
Figura 1. Divulgação no site do I Congresso Brasileiro do GeoGebra. ... 18
Figura 2. Função Polinomial representada nas três janelas da plataforma. ... 28
Figura 3. Função Polinomial Racional. ... 28
Figura 4. Apresentação inicial da plataforma GeoGebra. ... 54
Figura 5. Página inicial da plataforma GeoGebra on-line. ... 57
Figura 6. Página GeoGebra Gráfica. ... 57
Figura 7. Resolução de uma equação. ... 60
Figura 8. Representação visual de funções polinomiais. ... 61
Figura 9. Representação paramétrica de uma função. ... 61
Figura 10. Visualização 3D – Sólido de Revolução. ... 62
Figura 11. Parametrização de curvas. ... 63
Figura 12. Janela CAS, de álgebra e de visualização da Plataforma GeoGebra. ... 65
Figura 13. Exibir protocolo de construção. ... 66
Figura 14. Representação algébrica da função polinomial de E2. ... 81
Figura 15. Registro escrito de E2, relação entre volume e altura. ... 84
Figura 16. Apropriação do conteúdo usando os controles deslizantes. ... 84
Figura 17. Estudante generalizando função polinomial do segundo grau. ... 85
Figura 18. Função Polinomial de grau “n”. ... 85
Figura 19. Sistematização para obter a fórmula. ... 86
Figura 20. Fórmula obtida por E1. ... 87
Figura 21. Fórmula algébrica para as duas operadoras. ... 87
Figura 22. Representação algébrica para as operadoras. ... 88
Figura 23. Justificando o uso das construções dinâmicas na plataforma GeoGebra. ... 89
Figura 24. Representado as construções e seus efeitos na plataforma GeoGebra. ... 90
Figura 25. Resposta do E3, plano da operadora. ... 91
Figura 26. Construções dinâmicas na plataforma GeoGebra na função polinomial 1º grau. .. 91
Figura 27. Controles deslizantes na variação das famílias de funções. ... 91
Figura 28. Controles deslizantes caracterizando as funções. ... 92
Figura 29. Generalização da função para a atividade da operadora. ... 92
Figura 30. Representação visual das tarifas para cada operadora. ... 103
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 10
2. ASPECTOS TEÓRICOS ... 24
2.1 Elementos da Teoria Histórico-Cultural assumidos na investigação ... 244
2.2 Função Polinomial ... 2626
2.3 O campo de estudo da Resolução de Problemas ... 30
2.4 Estado da Arte: a Plataforma GeoGebra ... 445
2.5 A Plataforma GeoGebra: contribuições para a educação matemática ... 534
3. ELEMENTOS METODOLÓGICOS ... 68
3.1 Problemas e tarefas sugeridos através da Resolução de Problemas ... 75
4. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ... 80
4.1 Apresentação temática das respostas dos estudantes ... 80
4.2 Registros escritos pelos estudantes ... 81
4.3 Transcrições dos áudios dos participantes ... 93
4.4 Análise dos dados construídos... 98
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 101
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 107
ANEXOS... 114
Respostas das atividades ... 115
APÊNDICES ... 123
Comitê de Ética – Carta de anuência ... 124
Comprovante de envio do projeto ... 125
Termo de concessão ... 126
Termo de confidencialidade ... 127
Cronograma da aplicação das atividades ... 128
Declaração ... 129
Folha de rosto para pesquisa envolvendo seres humanos ... 130
Formulário CEP/UFRN ... 131
Termo de autorização para uso de imagens (fotos e vídeos) ... 133
Orçamento detalhado ... 134
10
1. INTRODUÇÃO
A arte de ensinar e aprender faz com que tenhamos pretensões em articular mudanças na postura e prática docente em nosso laboratório, a sala de aula. Por esse viés, identificamos ao longo de nossa atuação, tanto no ensino na Educação Superior quanto em nossas pesquisas, que os estudantes apresentam dificuldades em compreender a representação visual gráfica de uma Função Polinomial. Nesse sentido, nossa pesquisa está voltada ao processo de ensino e aprendizagem da representação visual gráfica da Função Polinomial, no contexto da disciplina de Matemática Básica.
Para isso, adotamos a plataforma de gestão de aprendizagem, denominada plataforma GeoGebra, associada a uma sequência de problemas propostos para serem resolvidos pela metodologia de ensino da Resolução de Problemas. Além da metodologia que utilizamos e da inserção em um ambiente virtual de aprendizagem nos fundamentamos nos pressupostos teóricos da Teoria Histórico-Cultural para a elaboração dos problemas, considerando o viés sociocultural dos sujeitos.
Em se tratando do conceito da representação visual gráfica da função polinomial, tomamos as definições adotadas por Duval (1993), mas não mergulhamos no estudo desta teoria por não ser o propósito maior nesse estudo.
Duval (1993), no âmbito da Teoria dos Registros de Representações Semióticas, define: Representação semiótica é uma representação de uma ideia ou um objeto do saber, constituída a partir da mobilização de um sistema de sinais. Sua significação é determinada, de um lado, pela sua forma, no sistema semiótica e de outro lado, pela referência, do objeto representado (DUVAL, 1993, p. 38).
Nesse sentido, conforme a citação de Duval, apoiamo-nos na representação semiótica pelo campo da ideia constituída na mobilização de um sistema de sinais. É importante destacar que por não nos estendermos sobre esta teoria em nosso estudo, a menção desses elementos tem o intuito de elencar alguns termos bem como algumas definições.
Os estudiosos Henriques e Almoulond (2016) chamam a atenção para o uso dos termos objeto e representação ao afirmar que: “nesse tratamento, dois termos não devem ser confundidos, a saber: objeto e representação” (HENRIQUES, ALMOULOND, 2016, p. 467). Sendo assim, devemos delimitar estes termos segundo as definições elencadas pelos pesquisadores no momento da elaboração dos problemas geradores.
Atuando como docentes na Educação Superior em uma Instituição Pública Federal localizada no Estado do Rio Grande do Norte, sempre tivemos a preocupação de pesquisar
11 alternativas que pudessem favorecer a aprendizagem e a apropriação do conhecimento por parte dos estudantes associadas ao uso das tecnologias. Com essa aspiração fundamos o Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte em julho de 2011, iniciativa a partir da qual criamos grupos de pesquisa na base do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Dando continuidade às ações do Instituto, organizamos eventos acadêmicos desde 2013, publicamos artigos em eventos nacionais e internacionais, proferimos palestras e participamos de mesa-redonda. Essas ações tiveram e ainda têm o objetivo de ampliar nosso conhecimento sobre a plataforma GeoGebra e sobre suas potencialidades no processo de ensino e aprendizagem, possibilitando a disseminação desses conhecimentos.
Observamos em nossas aulas, por experiência na prática docente na Educação Superior, que é comum que os estudantes apresentem dificuldades em compreender e analisar os diversos modelos de representação da função polinomial, especialmente por ainda não terem desenvolvido habilidades suficientes para construir e analisar a representação visual da função polinomial e os conceitos matemáticos envolvidos neste conteúdo.
Do ponto de vista da relação do conteúdo função polinomial com a disciplina de Matemática Básica, tomando como referência nossa longa experiência de ensino no magistério superior, contatamos um elevado índice de reprovações. Rosa, Alvarenga e Santos (2019) discutem os índices de reprovações na disciplina de Cálculo afirmando que: “em geral os estudantes que conseguiram bons resultados em matemática na educação básica acreditam que o Cálculo não representaria obstáculos ao seu aprendizado” (ROSA, ALVARENGA, SANTOS, 2019, p. 10). Esta afirmação procede quando estamos debatendo com os estudantes, na Educação Superior, a respeito do insucesso deles na aprendizagem dos conteúdos desta disciplina.
Seguindo com a discussão referente às dificuldades apresentadas pelos estudantes as pesquisadoras avançam afirmando: “[...] na Educação Superior, têm essa expectativa frustrada, visto que os conteúdos são mais aprofundados, densos e complexos” (ROSA, ALVARENGA, SANTOS, 2019, p. 10). De fato, os estudantes não estão habituados com este aprofundamento de conteúdo e ainda vêm da educação básica com a vivência de uma prática docente distinta da apresentada no ensino superior.
Para melhor situar nossa proposta de pesquisar o conteúdo função polinomial e em que curso e disciplina ele é estudado apresentamos a seguir um panorama em que sua oferta acontece.
12 A Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), lócus da realização dessa pesquisa, apresenta na estrutura curricular do curso de Licenciatura em Matemática que se encontra distribuído em oito semestres, a disciplina de Matemática Básica no âmbito da qual é estudado o conteúdo de Função Polinomial. Essa disciplina é oferecida atualmente aos estudantes que cursam o primeiro semestre do curso e é pré-requisito para Cálculo I, disciplina ofertada no semestre seguinte.
Um dos fatores que pode favorecer a aprendizagem é a mudança de postura de docentes e estudantes, levando em consideração aspectos como promover o pensamento matemático articulado para a apropriação do conhecimento através da Resolução de Problemas.
Menezes et al (2001) afirmam que:
Professores e alunos precisam estar mais sintonizados em torno de um tema comum que é a formação de profissionais de nível superior incluindo docentes de matemática em geral, e o aprofundamento do pensamento matemático incluindo o ensino-aprendizagem do Matemática Básica em particular. (MENEZES et al, 2001, p. 12).
Essa proposição de Menezes et al (2001) sugere uma aproximação de docentes e estudantes voltada para a formação profissional na Educação Superior, o que desperta, ao nosso ver, uma sistematização para elaboração de atividades a serem vivenciadas em sala de aula baseada em uma teoria. Nesse caso, podemos articular a metodologia de Resolução de Problemas com a Teoria Histórico-Cultural, considerando os pressupostos epistemológicos assumidos para fundamentar nossa pesquisa.
Sob esse olhar, articulamos atividades socioculturais para o ensino da função polinomial, por meio da representação visual e de uma proposta de trabalho colaborativo entre os estudantes que teve como foco a apropriação do conhecimento.
Para a elaboração das atividades, consideramos as quatro formas de representação da função polinomial na qual Stewart (2016, p. 04) afirmou que, “é possível representar uma função de quatro maneiras”, são elas: a representação Verbal, quando narramos um caso de função; a Numérica, quando representamos em forma de tabelas valores dispostos em colunas, sinalizando os eixos cartesianos; Visual, que consiste na representação em forma de gráfico, com os valores distribuídos no plano cartesiano e ainda a representação Algébrica, quando nos utilizamos de uma fórmula algébrica explícita.
Considerando as representações citadas por Stewart (2016), optamos em dar ênfase na representação visual, muito embora na resolução dos problemas todas as representações da função sejam contempladas. Para tratar do ensino da representação visual para a Função
13 Polinomial por meio do desenvolvimento de problemas entendemos que, com a aquisição da habilidade de representação visual do gráfico da função polinomial, o estudante poderá avançar a compreensão para outras famílias de funções.
Vale ressaltar que convém uma mudança de postura no tocante ao uso de determinadas estratégias na educação superior para que possamos lograr êxito no ensino através da Resolução de Problemas, por entendermos que essa metodologia requer um esforço tanto do docente quanto do estudante. Essa mudança se pauta na forma crítica, colaborativa e interativa como cada um deveria ser portar.
Um caminho que dirige mudanças na prática docente é a utilização da plataforma GeoGebra que, associada ao desenvolvimento do ensino de matemática através da Resolução de Problemas, pode potencializar a apropriação do conhecimento.
Entendemos que a apresentação de qualquer conceito matemático aos estudantes, não apenas da função polinomial, de forma desarticulada e fragmentada pode ser um dos motivos do desinteresse na aprendizagem, bem como pode levar à reprovação na disciplina. O fato é que os índices de reprovações de diversos estudantes do ensino superior por não entenderem elementos conceituais podem refletir tanto no aprendizado da Matemática Básica quanto nos conteúdos de disciplinas correlatas.
Em casos específicos, o fator motivação pode ser um critério de potencialidade no ensino de conteúdos da matemática. Mesmo que em determinados contextos matemáticos esse não seja um critério explícito como, por exemplo, em aplicações da Matemática Pura, a motivação tem seu potencial no ensino de matemática, assim como de outras áreas do conhecimento. Nesse ponto de vista, um elemento que pode contribuir para este panorama é uma mudança na prática docente com vistas a proporcionar aos estudantes um ambiente de discussão e desenvolvimento do conhecimento de forma colaborativa.
Para Melo (2012) é necessário uma “[...] reflexão social sobre como a escola deve se comportar na condição de instituição responsável pela propagação dos conhecimentos historicamente construídos e acumulados pela humanidade [...]”. Esse princípio coloca a escola em evidência, uma que destaca como necessária e suficiente a “[...] formação das pessoas para entenderem e viverem de acordo com as exigências da sociedade atual” (MELO, 2012). Essa é uma forma valorizar uma educação preocupada com a compreensão e que destaque nossa realidade.
Assim, a educação vista enquanto processo educativo e principal fator responsável pela transformação de uma sociedade, de forma que “deve ser concedido às pessoas, [...], o direito
14 de aprender, de ampliar e ressignificar os seus conhecimentos, habilidades, competências e valores que possibilitem a realização de si mesmas, tornando-as capazes de se transformar seu lugar no mundo” (MELO, 2012). Isto porque “[...] o desenvolvimento de uma sociedade passa necessariamente pela educação” (MELO, 2012). Com isso podemos reconhecer o papel transformador da educação para toda e qualquer sociedade.
Ponte e Serrazina (1998) apontam para a relação das tecnologias como meio de troca de informações em diversas situações, e trata como uma ferramenta para o trabalho colaborativo:
Na verdade, estas tecnologias (i) constituem um meio privilegiado de acesso à informação, (ii) são um instrumento fundamental para pensar, criar, comunicar e intervir sobre numerosas situações, (iii) constituem uma ferramenta de grande utilidade para o trabalho colaborativo e (iv) representam um suporte do desenvolvimento humano nas dimensões pessoal, social, cultural, lúdica, cívica e profissional (PONTE, SERRAZINA, 1998, p. 02). A nosso ver, um dos aspectos de inserção social que pode favorecer à quebra de paradigma e a relação de problemas associados com o uso das tecnologias na Educação Superior justifica um avanço na prática docente.
Considerando a relação das tecnologias e os conteúdos matemáticos, Ubiratan D´Ambrósio (1996) fez a seguinte afirmação:
Ao longo da evolução da humanidade, Matemática e tecnologia se desenvolveram em íntima associação, numa relação que poderíamos dizer simbiótica. A tecnologia entendida como convergência do conhecimento (ciência) e do fazer (técnica), e a matemática são intrínsecas à busca solidária do sobreviver e de transcender. A geração do conhecimento matemático não pode, portanto, ser dissociada da tecnologia disponível (D´AMBRÓSIO, 1996, p. 40).
A relação das ciências naturais e da matemática com as tecnologias favorece ao ensino e à aprendizagem, desde que sejam por ações educativas planejadas e articuladas para serem trabalhadas no ambiente de sala de aula. Esse poderá ser um diferencial relevante na mudança da prática docente. Diante desse panorama, justificamos o uso da plataforma GeoGebra apropriando-nos de seus comandos e potencialidades para desenvolver nossas ações educativas com os estudantes no ambiente de sala de aula, processo que pode favorecer à aproximação com o conhecimento.
Além de concordar com essas ideias, cabe-nos colocar que a proposta como um todo está voltada para a melhoria da prática docente, bem como tem o intuito de possibilitar que o
15 estudante compreenda o conhecimento discutido em sala de aula e efetive tomadas de decisões sob uma postura mais consciente.
Com base nesse argumento, entendemos que o conhecimento deva ter o rigor, mas ao mesmo tempo seja significativo no processo de ensino e aprendizagem. O rigor proposto por alguns cientistas na criação de um modelo de ciência avança para caracterização de teorias e modelos de aprendizagem, mas sempre focado em atender aos anseios da humanidade. Em nome da ciência é um rótulo dado a ela e que tentamos levar para a sala de aula em negociações que favoreçam a aprendizagem na representação de conceitos matemáticos.
Nesse sentido, partimos do princípio de que a aprendizagem tem um impacto relevante quando trabalhada com rigor através, por exemplo, da criação de construções dinâmicas desenvolvidas por ferramentas tecnológicas como no caso da plataforma GeoGebra. Essa plataforma permite trabalharmos com rigor o aprendizado de forma interativa, colaborativa e participativa, proporcionando a apropriação do conhecimento, sob uma proposta de representação dinâmica do conteúdo. Os elementos fundamentais do conteúdo passam a ser aprendidos proporcionando desenvolvimento, colocando o conhecimento em movimento, em ciclo.
Considerando uma proposta metodológica, podemos citar pesquisadores como Dantas (2016) que sinalizam para uma das mais importantes contribuições da plataforma GeoGebra: a visualização de construções e modelos matemáticos e objetos matemáticos que potencializam o pensar matematicamente. Com o apoio dessa importante ferramenta pedagógica, os estudantes podem visualizar a construção da Função Polinomial em distintas situações e compreender melhor a representação matemática dos conceitos envolvidos.
Para promover o ensino e a pesquisa por meio de aplicação elaboradas através da plataforma GeoGebra, criamos e cadastramos junto ao CNPq um Grupo de Pesquisa intitulado Aplicativo GeoGebra no Ensino das Ciências Exatas, Tecnológicas e Engenharias. O intuito foi desenvolver ações tanto na instituição em que atuamos profissionalmente – a Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA) – quanto divulgar ações educativas em diversos formatos.
Esse Grupo de Pesquisa iniciou suas atividades em junho de 2016 e desenvolve trabalhos em cinco áreas do conhecimento: matemática, física, computação, engenharia civil e engenharia de produção. Dentre os componentes desse grupo temos nove docentes e treze discentes trabalhando no desenvolvimento de ações para serem discutidas e socializadas. As
16 ações são desenvolvidas por docentes e discentes do curso de bacharelado em Ciência e Tecnologia da UFERSA.
Atualmente estamos engajados em um projeto de extensão cujo objetivo é desenvolver ações com o aplicativo GeoGebra para ministrar aulas, promover minicursos, oficinas e palestras tanto para os discentes quanto para docentes das diversas instituições públicas do Brasil. Além disso, esse projeto teve o objetivo de apresentar os resultados de nossas ações de pesquisa e extensão, um exemplo disso são as diversas publicações publicadas desde 2011. Apresentamos a seguir um panorama de publicações desenvolvidas nesse âmbito.
O artigo intitulado Concepções dos alunos no uso do software GeoGebra como ferramenta de ensino e aprendizagem da matemática (BRAZ et al, 2015) apresentado como comunicação científica no XIII Congresso Internacional de Tecnologias na Educação, foi resultado de uma pesquisa desenhada em parceria com os estudantes, integrantes do Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte e do curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia da UFERSA.
A comunicação científica intitulada A aplicação da plataforma GeoGebra no ensino de funções (BRAZ, BEZERRA, MARCIANO, 2011) foi fruto de resultados do grupo de pesquisa dos integrantes do Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte. Esse artigo foi publicado no XIII Congresso Interamericano de Educação Matemática – XIII CIAEM.
O uso do GeoGebra nas visualizações gráficas de Teoremas (BRAZ, BRAZ, 2011) é um artigo que foi apresentado em um evento científico no formato de comunicação oral. Esse é mais um dos produtos que foram elaborados em ações promovidas pelos integrantes do Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte. Essa produção foi publicada no XIII Congresso Interamericano de Educação Matemática – XIII CIAEM.
Estudando e aprendendo Funções com o GeoGebra (ARAÚJO et al, 2011) é um artigo que surgiu como produto de ações elaboradas e executadas nas escolas da Educação Básica pelos estudantes da Educação Superior. O artigo foi elaborado com apoio dos discentes e integrantes do Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte. A publicação desse artigo foi feita na I Conferência Latino-Americana do GeoGebra realizada na Pontifícia Universidade Católica (PUC/SP).
Com objetivo de favorecer a apropriação de conteúdos de cálculos algébricos por parte dos estudantes, produzimos uma aplicação elaborada em uma sequência de atividades com o uso da plataforma GeoGebra. Esse esforço rendeu a publicação do artigo A aplicação do GeoGebra em cálculo algébricos (FIGUEIREDO et al, 2011) fruto de uma das ações educativas
17 desenvolvidas apresentado no modelo de comunicação científica. Essa publicação foi feita na I Conferência Latino-Americana do GeoGebra realizada na Pontifícia Universidade Católica (PUC/SP).
Como resultado de ações educativas desenvolvidas com o objetivo de tratar a relação de conteúdos da Geometria e Álgebra através do GeoGebra publicamos o artigo intitulado Um estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear com o GeoGebra (MARCIANO et al, 2011). Esse produto foi apresentado como uma comunicação científica na I Conferência Latino-Americana do GeoGebra realizada na Pontifícia Universidade Católica PUC/SP.
Avançando nas pesquisas e desenvolvimento das ações educativas fomos contemplados por nossos estudantes, mestrandos e orientandos que produziram pesquisas em formato de dissertações e artigos publicados em eventos acadêmicos e revistas científicas.
Um trabalho publicado nesse sentido é a dissertação de mestrado intitulada Uma proposta para o ensino das seções cônicas no ensino básico mediante o uso de um ambiente dinâmico (LIMA, 2014) da qual participamos da banca de defesa. Participamos também da banca de defesa da dissertação de mestrado nomeada O ensino dos quadriláteros notáveis com o software educativo e didático GeoGebra (DAMIÃO, 2015). A defesa referida ocorreu no ano de 2015.
Citamos ainda como produto dessas pesquisas, a dissertação de mestrado intitulada Cálculo Diferencial de Funções Polinomiais no Ensino Médio: fundamentação teórica e suas aplicações (RIBEIRO, 2015) e a dissertação O ensino de Funções Polinomiais do segundo grau: uma aplicação com o software GeoGebra (SILVA, 2015).
No tocante à participação em eventos científicos, com o propósito de publicarmos nossas ações e socializarmos experiências com outros colegas e ainda com os integrantes do nosso Instituto GeoGebra participamos do III Seminário Internacional de Educação Matemática. Na oportunidade publicamos um artigo intitulado: Estudando e aprendendo Funções com o GeoGebra (ARAÚJO et al, 2011). A partir de 2012, iniciamos a organização de eventos acadêmicos com a comunidade de GeoGebra Iberoamericana. Como proposta inicial, organizamos em nossa instituição o I Seminário do International GeoGebra of Institute do Rio Grande do Norte. No ano de 2013, publicamos o artigo Ensino de Geometria plana nas séries iniciais no I Día de GeoGebra Iberoamericano.
Continuando nossas ações, em 2016 organizamos o I Congresso Brasileiro do GeoGebra, que contou com a participação de oito convidados nacionais e de dois convidados de outros países. Nesse evento houve palestras, minicursos, oficinas, mesa-redonda e a
18 apresentação de artigos em comunicações orais. Atualmente estamos participando da organização do II Congresso Brasileiro do GeoGebra que será realizado no Instituto Federal do Rio Grande do Norte e ocorrerá ainda esse ano, 2020. A Figura 1 a seguir apresenta a divulgação que ocorreu no site mundial do Instituto GeoGebra Mundial.
Figura 1. Divulgação no site do I Congresso Brasileiro do GeoGebra.
Fonte. https://events.geogebra.org/archive.
Nesse evento, as ações foram voltadas ao desenvolvimento de pesquisas que pudessem ser aplicadas tanto no ambiente de sala de aula da Educação Superior quanto na vida profissional dos futuros profissionais da matemática e das ciências naturais. As ações desenvolvidas, por exemplo, na matemática e na computação envolveram a robótica com atividades já apresentadas em eventos acadêmicos.
Um dos resultados importantes que citamos é a permanência dos estudantes da UFERSA na instituição, além do interesse despertado pela pesquisa. Esse grupo de pesquisa está ligado ao nosso Instituto GeoGebra do Estado, com sede na mesma Universidade.
As ações educativas desenvolvidas para serem aplicadas nas escolas partiram de levantamentos de dados coletados em conversas junto aos docentes com o objetivo de atender às necessidades dos estudantes, conforme as turmas e os conteúdos sugeridos. As atividades foram desenhadas para serem aplicadas com crianças desde a educação infantil com o, por exemplo, a criação do “GeoBolinha”, um “personagem” elaborado com o propósito de dar
19 ênfase à aproximação com o conteúdo de geometria para estudantes do segundo ao quarto ano da Educação Básica. Partimos da educação básica, desenvolvendo ações educativas até atingirmos a educação superior. Sempre selecionamos o conteúdo e o nível de ensino após estudo das necessidades a serem trabalhadas em sala de aula.
Na Universidade, assim como no Instituto GeoGebra, foram elaboradas ações educativas com docentes e discentes integrantes do instituto, com objetivo de apresentar os conteúdos para os estudantes de forma motivadora em construções dinâmicas. O dinamismo possibilita modificar os valores das variáveis envolvidas nas construções proporcionando um potencial de análise dos dados. O objetivo dessas ações educativas era apresentar aos docentes e discentes formas de visualizações dinâmicas baseadas nos conteúdos sugeridos.
Um dos indicadores do desempenho dos integrantes do nosso Instituto é o que os docentes desenvolvem em colaboração com os discentes tendo o objetivo no conteúdo a serem assistidos nas aulas.
Consideramos pertinentes as informações oferecidas por diversos motivos, dentre os quais está a ênfase em nossa imersão tanto com relação ao ensino através da plataforma GeoGebra quanto com a experiência em pesquisas voltadas para a prática docente. Por esse motivo, recebemos em 2014 um convite para Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) para participar do Stanford Teacher Education Program, IStep, um curso de formação de docentes na Stanford University, localizada na cidade de Palo Alto no estado da Califórnia, Estados Unidos.
O curso referido, considerado um padrão tanto na Califórnia quanto em outras províncias dos Estados Unidos, é ofertado para os futuros profissionais de matemática que atuarão nas escolas da educação básica. Consideramos o convite para participar dessa formação como um prêmio resultante do trabalho feito frente à coordenação Institucional do Programa de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) em nossa instituição. Participamos como Coordenador Institucional do PIBID em nossa instituição no período de 2011 a 2015, cinco anos de muita dedicação e compromisso. Vale destacar que o PIBID foi aprovado junto à CAPES por nossa competência e trabalho, vez que em edições passadas a instituição enviou propostas e não logrou êxito. Ao sermos convidados pela reitoria da nossa Universidade começamos a elaborar uma proposta, enviamos à CAPES e aprovamos a primeira edição desse programa em nossa instituição.
Os estudantes usam a Plataforma GeoGebra como aplicativo que substitui os comandos da calculadora gráfica, haja visto que essa plataforma tem sua versão gráfica para celular e
20 proporciona diversas formas dinâmicas para visualização de uma construção. Além de fazer parte de diversos projetos elaborados em sala de aula em atividades colaborativas e com a participação de docentes e estudantes.
Em nosso estudo, percebemos que poderíamos trabalhar com esse método em nosso país. Usar a plataforma GeoGebra para desenvolver o conteúdo com os estudantes em sala de aula, em projetos, de forma dinâmica e colaborativa. Sendo assim surgiram os seguintes questionamentos: Poderia esse ser um dos potenciais da plataforma GeoGebra? Articular seus comandos a construções dinâmicas que tenham impacto relevante na apropriação do conhecimento por parte dos estudantes? Poderia ser esse um diferencial? Sob o nosso olhar, foi um desafio transformar essa hipótese em uma tese.
Vale salientar que a Universidade de Stanford é uma das mais respeitadas em programas de formação de docentes e esse curso nos proporcionou uma troca de experiência única para nossa formação tanto acadêmica quanto profissional.
Ressaltamos ainda que em 2017 veio a aprovação no Programa de Pós-Graduação de Ensino de Ciências Naturais e Matemática, do Centro de Ciências Exatas e da Terra no Departamento de Matemática na Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN/Campus Natal). No ano seguinte, um dos nossos orientandos do grupo de pesquisa foi aprovado em concurso para docente da Universidade Federal de Juiz de Fora em Minas Gerais. Estes são alguns dos exemplos de excelentes resultados que nosso grupo de pesquisa obteve no curso do tempo.
Essa tese de doutorado foi idealizada a partir da constatação, em nosso trabalho docente, que os estudantes da Educação Superior quando se deparam com a disciplina de Matemática Básica apresentam dificuldades no entendimento da construção e análise da representação visual gráfica da Função Polinomial. Isso nos instigou a investigar, com mais detalhes, que contribuições o uso da plataforma GeoGebra em atividades direcionadas para esses aspectos poderia minimizar as referidas dificuldades.
Por meio da questão de pesquisa instituída buscamos dar respostas para a afirmação: A utilização da Plataforma GeoGebra e do campo de estudo da Resolução de Problemas, a partir de uma abordagem na perspectiva da Teoria Histórico-Cultural tem impacto relevante no processo de ensino e aprendizagem da representação visual da Função Polinomial.
Estamos cientes de que outras questões podem perpassar essa proposição. Para essa investigação, especificamente, optamos por nos limitar a investigar as questões descritas acima.
21 A princípio, buscamos uma teoria que nos possibilitasse um arcabouço de pressupostos teóricos e metodológicos que pudesse fundamentar nosso processo de pesquisa. Para tanto selecionamos a Teoria Histórico-Cultural, cujos elementos teóricos oferecem uma base que nos permite elaborar atividades que favoreçam a apropriação de um conhecimento para os estudantes. Um dos elementos importantes e de destaque no âmbito dessa teoria é a relação do sujeito com seus aspectos sociais e culturais.
No caso da matemática, entendemos que estudos e discussões em grupo podem contribuir para amenizar essas dificuldades. De fato, transcender o conceito matemático entre a álgebra e a geometria não parece ser simples para alguns estudantes. Por exemplo, pode ser um obstáculo para o estudante ir além do entendimento produzido pela leitura da questão para efetivar relações com o conhecimento, em uma tarefa elaborada pelo docente. O que ocorre é que em determinado contexto o conhecimento se apresenta no campo da geometria ou no campo da álgebra, fato que levar a um descompasso e que nem todos percebam essa relação com facilidade.
Com o intuito de estabelecer um trabalho colaborativo, participativo e interativo no desenvolvimento do conteúdo em sala de aula deixamos claro para os estudantes que nessa teoria o conteúdo foi tratado em conjunto com uma mudança de postura do docente e dos estudantes com o conhecimento. Não esqueçamos que a autonomia do docente em sala de aula permanece, mas essa se estende aos estudantes de forma colaborativa, participativa e interativa. Sendo esse um propósito de avançar nas pesquisas e darmos encaminhamento aos produtos de nossa pesquisa, lançando mão das ideias teóricas escolhidas para a elaboração e execução da pesquisa que realizamos, trazemos algumas possíveis contribuições desse trabalho, tanto para o conhecimento das funções polinomiais quanto para o auxílio na prática docente.
Vale salientar que pesquisas que apontam para algumas dificuldades no processo de ensino e aprendizagem da disciplina de Cálculo I nos cursos de graduação revelam que uma disciplina de Pré-cálculo pode aproximar os estudantes dos conteúdos propostos. Pode inclusive amenizar, em alguns casos, dificuldades no tocante ao aprendizado das funções polinomiais em pelo menos uma de suas representações, a visualização do gráfico. Por questões de análise e interpretação nas representações das funções polinomiais, variações das construções e visualizações gráficas, por exemplo.
Partindo dessa premissa, argumentamos que do ponto de vista da utilização da plataforma GeoGebra seus comandos e potencialidades, as construções dinâmicas poderão favorecer a visualização do conteúdo de forma mais dinâmica. Após isso, outro aspecto
22 relevante que consideramos, é o fato de que desenvolvemos construções dinâmicas através da plataforma GeoGebra para o aprendizado da Função Polinomial, representando graficamente o conteúdo.
Podemos, dessa forma, dar subsídios para o estudo de outras famílias de Funções por esse meio. Aqui convém destacar que entendemos por construções dinâmicas, um meio tecnológico como na plataforma GeoGebra, os diversos comandos, seus respectivos efeitos e suas potencialidades, que podem ser selecionados para a realização de tarefas dinâmicas.
Além disso, o modelo de representação gráfica de uma função manipulada por meio de construções dinâmicas como o controle deslizante, na plataforma GeoGebra, pode permitir o dinamismo na visualização da construção de forma interativa, possibilitando uma relação no pensar matematicamente e na materialização do conteúdo.
Quanto à prática docente buscamos inserir no ambiente de sala de aula uma nova possibilidade de materialização do conhecimento por meio da tecnologia, com o objetivo de potencializar o aprendizado da Função Polinomial de forma participativa, interativa e colaborativa. Neste sentido, planejamos uma proposta metodológica que, através da Resolução de Problemas e fundamentada na teoria histórico-cultural, assumiu como pressuposto a atualização do conhecimento por meio do trabalho coletivo e em grupos, onde docentes e estudantes trocam experiências para atingir o objetivo da aprendizagem.
Temos como objetivo geral da nossa tese de doutorado, investigar o impacto da utilização da plataforma GeoGebra e da Resolução de Problemas em uma perspectiva da teoria histórico-cultural, no processo de ensino e aprendizagem da representação visual da função polinomial.
Com a intenção de desenvolver nosso objetivo geral, elaboramos os objetivos específicos que descrevemos a seguir:
Avaliar a aplicação de uma sequência de atividades com problemas que foram resolvidos em grupo por meio da plataforma GeoGebra;
Criar categorias indicadas pelos excertos escritos pelos estudantes no instrumento de construção dos dados, no desenvolvimento dos problemas com a finalidade de identificar o avanço no aprendizado;
Analisar os registros apresentados pelos estudantes para identificar como ocorreu a evolução da aprendizagem na representação visual de gráficos da Função Polinomial por meio de tomada de decisões;
23 Estabelecer relação das soluções apresentadas pelos estudantes com as
categorias de representação da Função Polinomial indicadas por Stewart.
Na medida em que os objetivos foram sendo contemplados validamos a relação com o referencial teórico que selecionamos tomamos como base.
Essas pesquisas iniciais geram desdobramentos, dos quais apresentaremos aqueles relacionados à nossa tese mais adiante, no estado da arte.
24
2. ASPECTOS TEÓRICOS
Neste capítulo apresentamos as ideias básicas da teoria que escolhemos para nortear a pesquisa, juntamente com os elementos que orientam os procedimentos metodológicos. Assim, iniciamos expondo brevemente:
Os fundamentos de uma Subárea da Educação Matemática o Campo de Estudo da Metodologia de ensino de matemática através da Resolução de Problemas; discussão das potencialidades dos aplicativos implantados na plataforma GeoGebra para o desenvolvimento de habilidades do indivíduo, destacando o lado epistemológico; Exposição das ideias vigentes sobre a Resolução de Problemas e os efeitos de um ensino nesta perspectiva; descrição da Teoria Histórico-Cultural e as ideias usadas nessa tese; finalmente, comentaremos brevemente algumas pesquisas feitas com o uso da plataforma GeoGebra em questões semelhantes às que estamos tratando, e sinalizaremos as possibilidades de um trabalho com esta plataforma elaborado à luz das ideias apresentadas até o momento.
Escolhemos trabalhar com a Teoria Histórico-Cultural e o campo de estudo da metodologia de Resolução de Problemas por entender que os pressupostos identificados, tanto da teoria quanto da metodologia, deram suporte ao trabalho empírico escolhido para a nossa investigação.
A Teoria Histórico-Cultural ofereceu suporte ao trabalho que sinaliza para uma prática docente voltada para o ensino e a aprendizagem da representação visual da função polinomial em sala de aula. Ao nosso ver, na teoria histórico-cultural, o sentido de ensino e aprendizagem tem uma dimensão diferenciada de outras teorias no que diz respeito à prática docente e à forma como o estudante está inserido no processo.
Na teoria histórico-cultural o saber passa a ser considerado conhecimento por meio de uma atualização ou materialização.
2.1 Elementos da Teoria Histórico-Cultural assumidos na investigação
Para iniciarmos vamos apresentar o psicólogo Lev Semenovich Vigotski, cujas colocações sobre funções psicológicas superiores nortearam esse estudo. Vigotski foi um advogado e filósofo russo que surgiu com suas contribuições após a Revolução Russa de 1917. Antes de mais nada, vamos destacar que as publicações de Vigotski deixaram de circular por motivos políticos na antiga União Soviética entre os anos de 1936 a 1956, período da ditadura
25 de Stalin, stalinista. No Brasil, suas publicações chegaram na década de 80, mais especificamente, no ano de 1984.
Salientamos, dos trabalhos de Vigotski, os aspectos do materialismo histórico-dialético embasado na realidade do sujeito e na compreensão através de suas contradições e sobre o processo histórico em transformação, fundamentando um sistema psicológico atual.
Estudiosos como Engels (2000) relacionam a concepção histórico-social do sujeito que elabora seu pensamento enxergando o trabalho como uma transformação da natureza, ideia aqui transcrita:
É precisamente a modificação da natureza pelos homens, e não unicamente a Natureza como tal, o que constitui a base mais essencial e imediata do pensamento humano; e é na natureza em que o homem aprendeu a transformar a Natureza que sua inteligência foi crescendo. A concepção naturalista da história (ENGELS, 2000, p.139).
É conveniente alertar que, a partir de momento em que o sujeito interage com o ambiente no qual está inserido com o propósito de uma aprendizagem que leve ao desenvolvimento, devemos ressaltar as contribuições sociais da natureza.
No que afirma Marx (2003), as relações com as ações de consciência do sujeito estão ligadas às mudanças históricas tanto na vida material quanto impostas pela sociedade.
O modo de produção da vida material condiciona o desenvolvimento da vida social, política e intelectual em geral. Não é a consciência dos homens que determina o ser; é o seu ser social que, inversamente, determina a sua consciência (MARX, 2003, p. 5).
Antes de tudo queremos afirmar que a influência do convívio social dos sujeitos permite que ocorra uma liderança entre eles e que, em certos casos, se faz por aquele que apresenta mais desenvolvimento intelectual, mesmo que aparentemente.
No que diz respeito aos aspectos da Teoria Histórico-Cultural que utilizamos nessa pesquisa, podemos destacar as funções psicológicas superiores. Esse aspecto da Teoria permite pressupor a natureza social da aprendizagem contando com as interações sociais nas quais o indivíduo desenvolve as funções psicológicas superiores, “O aprendizado humano pressupõe a natureza social específica e um processo através do qual as crianças penetram na vida intelectual daqueles que as cercam” (VIGOTSKI, 2007, p.100).
26 Com base nessa citação, entendemos que as funções psicológicas superiores, que podemos considerar também como modelos mentais, mecanismos psicológicos complexos, são características próprias dos seres humanos como, por exemplo: as ações de consciência, a memória lógica, o pensamento abstrato e o comportamento intencional.
Estes aspectos foram ressaltados em nosso estudo nos momentos de resolução dos problemas geradores.
2.2 Função Polinomial
Os estudantes têm acesso ao conteúdo de Função Polinomial a partir da Educação Básica, mais especificamente, no oitavo ano quando eles passam a estudar o conceito de polinômios e em seguida equações polinomiais com suas operações de adição, subtração, multiplicação e a divisão.
Uma das principais operações a ser estudada é a divisão, que deve ser a mais utilizada na Educação Superior quando iniciamos o estudo de limites e, em seguida, de derivadas. No conteúdo de limites a importância de o estudante saber efetuar a divisão entre polinômios poderá garantir a ele sucesso no aprendizado desse conteúdo, haja visto que alguns exemplos de indeterminação de limites podem ser “fatorados” por meio da operação de divisão de polinômios.
Ao longo de nossa experiência profissional na educação superior, com atuação nos cursos da área de ciências exatas e matemática, identificamos que os estudantes possuem dificuldade para efetuar a operação de divisão entre polinômios na tentativa de chegar ao resultado do valor numérico do limite de uma função racional formada por polinômios no numerador e no denominador.
A Base Nacional Comum Curricular – BNCC – (BRASIL, 2017) traz, com relação ao desenvolvimento de habilidades no ensino da função polinomial do primeiro grau para o ensino médio:
a) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial do 1 grau.
27 b) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial do 1 grau do tipo y = ax2.
(BRASIL, 2017, p. 533).
A referência adotada para os professores e estudantes seguindo as orientações da BNCC (BRASIL, 2017) está voltada para a representação visual, cartesiana, da função polinomial tanto do primeiro grau quanto do segundo grau, mesmo que sinalize para o desenvolvimento de habilidades a investigação entre números, para representar em tabelas. Não identificamos a proposta de representação verbal, por exemplo. Há uma explanação na BNCC (BRASIL, 2017) para as quatro formas de representação adotadas por Stewart, mas prevalece a representação algébrica da função.
Dessa forma, apresentamos uma definição para a função polinomial descrita da seguinte forma por Stewart (2016):
Uma Função P é denominada um Polinômio se P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +
a2x2 + a1x + a0. Onde n é um número inteiro não negativo e os números a0, a1,
a2, ..., an são constantes chamadas coeficientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é ℝ = (-∞, ∞). Se o coeficiente dominante an ≠ 0, logo o grau do polinômio será n (STEWART, 2016, p. 18).
Diante dessa definição citada por Stewart, entendemos que o elemento fundamental da função polinomial é o monômio anxn. A partir desse elemento se consagra a função polinomial.
Sendo assim, devemos ter o cuidado em entender as características desse elemento, pois ele será associado a outros monômios formando o polinômio.
Estabelecido esse panorama, partimos para a caracterização da função polinomial que é formada por um conjunto de monômios associados por meio das quatro operações básicas da matemática. Pode-se afirmar que a função polinomial é composta por pelo menos um monômio como, por exemplo, r(x) = 50x2020, sendo essa uma função polinomial composta de um monômio, com coeficiente 50 e que apresenta grau 2020.
Com o propósito de exemplificar uma função polinomial fazemos a representação, na Figura 2 a seguir, de uma função polinomial em três janelas, sendo a primeira a janela de álgebra, a segunda a janela de representação em duas dimensões e a terceira a janela de representação em terceira dimensão.
28 Figura 2. Função Polinomial representada nas três janelas da plataforma.
Fonte. Construção elaborada pelo autor.
Na figura 02 temos a representação algébrica, visual em duas e em três dimensões de uma função polinomial do quarto grau.
É oportuno salientar que, se considerarmos uma função polinomial contendo as quatro operações básicas da matemática, teremos um exemplo de função polinomial real. A figura 03 traz a representação na janela CAS, visual em duas e três dimensões.
Figura 3. Função Polinomial Racional.
Fonte. Construção elaborada pelo autor.
Nesta Figura 03 estamos apresentando a entrada dos dados para a resolução da Função Polinomial Racional por meio da janela de Cálculo Simbólicos (CAS) e a representação da solução nas janelas de visualização em duas e em três dimensões. Observando na segunda linha da janela CAS o polinômio racional, se o valor de x for igual a 3, teremos uma indeterminação
29 como resposta. Diante dessa situação, devemos efetuar a divisão dos polinômios, usando o algoritmo da divisão de polinômios de “Euclides”, como resultado teremos um polinômio de grau 1, x – 2. Em seguida, nas janelas de visualização em duas e três dimensões temos as representações da solução da função polinomial racional.
Desde a Educação Básica, o ensino de função polinomial normalmente é abordado por uma das representações de funções, a representação algébrica. Ou seja, os professores costumam apresentar aos estudantes a fórmula que está associada a função polinomial, escolhendo esta como a principal representação. Isto acontece desde a exposição do conteúdo em sala de aula com o procedimento formal que inicia com o conceito ou definição, exemplos e contraexemplos. Nesse modelo, o professor costuma apresentar para os estudantes em sala de aula, a representação algébrica da função polinomial.
A nosso ver esta “exclusividade” ou prioridade pode ser um dos fatores que impede o avanço na apropriação deste conhecimento diante das demais representações da função polinomial.
Diante desse panorama, um fato que nos chamou atenção foi a possibilidade de apresentar aos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática uma nova proposta de ensino da Função Polinomial articulada com problemas de vida real para serem resolvidos pela plataforma GeoGebra utilizando os elementos da metodologia de ensino de matemática através da Resolução de Problemas.
Nossa proposta aponta para uma mudança de prática docente utilizando o campo de estudo da metodologia de Resolução de Problemas aliado a um ambiente de gestão de aprendizagem articulando as atividades do meio social e cultural dos estudantes. Essa proposta, trabalhada de forma interativa e colaborativa, coloca os estudantes juntamente com o docente objetivando a apropriação do conhecimento.
Na tentativa de proporcionar uma mudança de prática docente que favoreça a aprendizagem devemos repensar atitudes que entendem como “as organizações matemáticas são globais, resultado do estabelecimento de relações entre conteúdos matemáticos e conhecimentos anteriores adquiridos, caracterizando-se por demonstrações e generalizações opostas à pura prática de procedimentos algorítmicos” (SILVA, 2011, p. 401).
Com o intuito de amenizarmos o desafio de ensinar função polinomial aos estudantes propusemos levar para o ambiente de sala de aula problemas da vida real e de cunho sociocultural.
30 2.3 O campo de estudo da Resolução de Problemas
Neste tópico apresentamos os pressupostos do campo de estudo da metodologia de ensino através da Resolução de Problemas que serviram como base norteadora no desenvolvimento e aplicação dos problemas propostos nessa tese.
Pesquisadores como Ferreira, Silva e Martins (2017) afirmam que:
Diversas pesquisas mostram que a utilização da Resolução de Problemas em Cursos do Ensino Superior pode ser um diferencial no processo de ensino, aprendizagem e avaliação de Matemática. Inclusive, nos Cursos de Licenciatura em Matemática no Brasil, isso é uma realidade, não apenas como pesquisa, mas também como prática (FERREIRA, SILVA, MARTINS, 2017, p. 189).
Partindo da ideia apresentada na citação acima de que a mudança na prática docente poderá favorecer na aprendizagem, podemos considerar que o ensino através da Resolução de Problemas utilizando a plataforma GeoGebra pode promover a apropriação do conteúdo por parte dos estudantes.
Sendo assim, percebemos que alguns estudantes, ao se depararem com elementos conceituais no ensino superior, ainda trazem deficiências de aprendizagem da educação básica, necessitando que ocorra, nesse caso, uma mudança na prática docente para uma perspectiva motivadora, que proporcione o aprendizado de forma significativa.
Partindo dessa premissa, entendemos que a metodologia de ensino através da Resolução de Problemas é uma prática a ser levada em conta em sala de aula. Pesquisadores como Ferreira, Silva e Martins (2017) avançam nessa questão quando afirmam que constataram na prática que a “resolução de problemas pode também ser trabalhada conjuntamente com outros recursos metodológicos, tornando-se ainda mais eficiente” (FERREIRA, SILVA, MARTINS, 2017, p. 193).
As colocações desses autores fortalecem a escolha para esta pesquisa de articular questões a serem resolvidas com o uso da plataforma GeoGebra por meio da metodologia de ensino de matemática através da Resolução de Problemas.
Consideramos também o que Borba (2010) trata a respeito da representação visual: Algumas particularidades do aspecto visual, em educação matemática, proporcionadas pelas tecnologias computacionais podem ser destacadas, dentre elas: visualização é parte da atividade matemática e uma maneira de resolver problemas. Visualização constitui um meio alternativo de acesso ao conhecimento matemático (BORBA, 2010, p. 03-04).
31 Com base na citação podemos destacar o que afirma o pesquisador e que vem corroborar com um dos objetivos desse trabalho: o aspecto da representação visual. Vale ressaltar que a particularidade da visualização é uma das potencialidades da plataforma GeoGebra e ainda que a proposição que trabalhamos com os estudantes tem como fator de destaque a representação visual da função polinomial usando a plataforma GeoGebra através da Resolução de Problemas. Pesquisadoras como Allevato, Jahn e Onuchic (2017, p. 249) colocam em cena a discussão que “na realidade, o computador privilegia o pensamento visual sem, contudo, implicar na eliminação do algébrico”. Essa discussão vem corroborar com o que propusemos nos problemas para os estudantes no momento da elaboração da atividade que foi resolvida na plataforma GeoGebra para potencializar a representação visual. Além disso, privilegiamos a representação escrita por eles no instrumento de construção dos dados.
No tocante à representação visual Allevato, Jahn e Onuchic (2017, p. 250) alegam que “a abordagem visual tem demonstrado facilitar a formulação de conjecturas, refutações, explicações de resultados e sobre comportamentos dos objetos, dando espaço, portanto, à reflexão”. Nesse sentido, destacamos a abordagem visual como ponto de reflexão para os estudantes no momento da resolução do problema.
No que concerne a relação de ensino e aprendizagem de forma colaborativa, em rede, essas pesquisadoras colocam: “As explorações implementadas conduzem-se, por vezes, por caminhos inesperados, configurando uma forma de aprender e pensar como “rede”, tornando possível estabelecer conexões e novas relações de significados na aprendizagem” (ALLEVATO, JAHN, ONUCHIC, 2017, p. 250).
A nosso ver, quando os estudantes e o docente trabalham através da metodologia de Resolução de Problemas em problemas do convívio social e cultural próprios se estabelece uma relação de significados que pode favorecer à apropriação do conhecimento.
O termo “problema” na compreensão de Onuchic (1999, p. 215) “[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”. Nessa direção, é de fundamental importância como motivação que o estudante tenha acesso a problemas que estão em seu convívio social.
Um dos documentos oficiais ao qual nos reportamos, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997, 2002), para o ensino de matemática, apontam para o ensino por meio da Resolução de Problemas. Esse viés da Resolução de Problemas que deve ser explorado no ensino básico poderá favorecer os estudantes em sua formação individual bem como futuros cidadãos que, para a vida em sociedade, necessitam de uma postura
crítico-32 reflexiva. Assim sendo, a velocidade com a qual as informações se difundem, a nível exponencial, requer dos estudantes, cada vez mais, o desempenho do seu papel nas tomadas de decisões e promoção de rumos da sociedade a qual está inserido.
Os PCN voltados para o Ensino Médio (BRASIL, 2002) abordam os temas Linguagens, Códigos e suas Tecnologias:
Como a capacidade humana de articular significados coletivos e compartilhá-los, em sistemas arbitrários de representação, que variam de acordo com as necessidades e experiências da vida em sociedade. A principal razão de qualquer ato de linguagem é a produção de sentido (BRASIL, 2002, p.13).
Nessa perspectiva, entendemos que a atividade colaborativa favorece a aprendizagem bem como ao desenvolvimento, no estudante, da habilidade de representação visual por meio das tarefas propostas, assim como possibilita que suas concepções sejam socializadas com os colegas.
Com base nesse argumento, Menezes et al (2001) avança com a seguinte ideia:
Segundo esses documentos, é parte do trabalho do docente familiarizar o indivíduo enquanto aluno com novas situações-problema que lhe permitam desenvolver e mobilizar habilidades mentais conhecimentos anteriores e, associando com situações semelhantes vivenciadas anteriormente, seja capaz de encontrar soluções para esses problemas (MENEZES et al, 2001, pp. 02-03).
Com base nessa proposta de Menezes et al (2001) apresentamos para os estudantes ações educativas articuladas em contextos socioculturais com potencial de promover a apropriação do conhecimento. É importante que os estudantes busquem a solução para o problema rebuscando modelos mentais anteriores. Nossa ação permitiu o debate entre eles e o docente favorecendo a aproximação com o conhecimento.
A BNCC define competências como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2017, p. 8). Vale ressaltar que a BNCC está voltada para a educação básica e nossa pesquisa é direcionada para a educação superior, porém trabalhamos um conteúdo que é introduzido no nível básico e que tem sua continuidade no nível superior.
Como principal documento oficial atualmente utilizado na educação básica, no tocante às competências gerais, a BNCC propõe o incremento de habilidades que possibilitem a aprendizagem com o objetivo de que o estudante obtenha um desenvolvimento:
