UM ESTUDO SOBRE A RESOLUÇÃO DE TAREFAS MATEMÁTICAS

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ANALISADAS NA PERSPECTIVA DO

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Milena Conceição Coutinho Unesp / Bauru – Brasil milenaccoutinho@hotmail.com Nelson Antonio Pirola Unesp / Bauru – Brasil npirola@uol.com.br Giovana Pereira Sander Unesp / Bauru – Brasil giovanapsander@gmail.com

RESUMO

Um dos temas estudados pela Psicologia da Educação Matemática é o sentido de número, que envolve, de maneira geral, o trabalho com números e as operações com compreensão. Quando o sentido de número não é desenvolvido, componentes como cálculo mental e uso de estimativas são deixados de lado, dando lugar ao desenvolvimento do cálculo algorítmico, acarretando a chamada fixidez funcional. Este trabalho buscou investigar como os alunos utilizam seus conhecimentos sobre números e operações para resolver tarefas matemáticas. Participaram da pesquisa 28 alunos do quarto ano do ensino fundamental que responderam a duas tarefas utilizando componentes do sentido de número. Buscou-se identificar as estratégias de resolução e as dificuldades apresentadas pelos participantes. Os resultados mostraram que os alunos recorreram majoritariamente ao uso de algoritmo para resolvê-las e sua maior dificuldade se concentrou na interpretação da tarefa e na aplicação do algoritmo. Portanto, conclui-se que esses alunos não possuíam o sentido de número desenvolvido de forma adequada e reduziram suas estratégias de resolução ao uso de técnicas algorítmicas sem sentido, que mesmo sendo a mais utilizada não foram desenvolvidas de forma satisfatória.

PALAVRAS-CHAVE: Sentido de número; anos iniciais do Ensino Fundamental; tarefas matemáticas; Psicologia da Educação Matemática

ABSTRACT

One of the subjects studied by the Psychology of Mathematics Education is the number sense, which generally involves working with numbers and operations with understanding. When number sense is not developed, components such as mental calculation and use of estimates are ignored, giving path to the development of algorithmic calculus, leading to the functional fixedness. This work aimed to investigate how students use their knowledge of numbers and operations to solve mathematical tasks. There were 28 students from the fourth grade of

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elementary school that participated in the study answering two tasks using number sense components. It aimed to identify the strategies of resolution and the difficulties presented by the participants. The results showed that the students used mainly the algorithm to solve them and their main difficulty was the interpretation of the task and the application of the algorithm. Therefore, it was concluded that these students did not have the number sense adequately developed and reduced their strategies of resolution to the use of algorithmic techniques without meaning, that even being the most used, were not developed in a satisfactory way.

KEYWORDS: Number sense; Elementary School; Mathematical Tasks; Psychology of Mathematics Education.

INTRODUÇÃO

A Psicologia da Educação Matemática – PEM – é uma área de investigação interdisciplinar que tem como principal objetivo compreender os processos de aprendizagem (do ponto de vista cognitivo e afetivo) e de ensino, tendo como suporte as diferentes teorias da Psicologia. Um dos temas pesquisados nessa área é o sentido de número. Vários estudos, como os de Brocardo, Serrazina e Kraemer (2003), têm sido conduzidos visando à compreensão de como os alunos utilizam os seus conhecimentos sobre números e como selecionam as estratégias para solucionar tarefas matemáticas. Além disso, estudos como os de Buys (2008) buscaram analisar como os alunos utilizam o cálculo mental e processos de estimativas na resolução de tarefas matemáticas.

Pesquisas como as de Pirola e Sander (2012) têm mostrado que o trabalho com tarefas que envolvem as operações aritméticas no primeiro ciclo do Ensino Fundamental não tem priorizado o desenvolvimento da flexibilidade para se trabalhar com números e operações, sendo que a ênfase maior se concentra na aprendizagem de algoritmos. Como a flexibilidade de pensamento é um dos componentes da criatividade (KRUTETSKII, 1976), pode-se dizer que o ensino centrado somente nos algoritmos não valoriza outras formas de pensamento sobre os números, acarretando a chamada fixidez funcional que, segundo Sternberg (2000) diz respeito a “uma configuração mental na qual a pessoa não consegue perceber um uso alternativo para alguma coisa que era conhecida previamente, como tendo um determinado uso” (p. 337). Sendo assim, por meio da fixidez funcional, os alunos não conseguem transferir um conceito (ou um procedimento) já aprendido e utilizado para resolver novos problemas. Há uma

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tendência, segundo Taxa-Amaro (2005), de os professores trabalharem a resolução de problemas aritméticos por meio de palavras-chave (por exemplo: problemas que possuem a palavra “mais” são de adição). Nesse caso, além de ser um procedimento equivocado, contribui para o desenvolvimento da fixidez funcional, ou seja, os alunos só conseguem identificar a aplicação da adição em problemas que possuem a palavra “mais”, não colaborando para o desenvolvimento do sentido de número e da operação, cuja base é a flexibilidade de pensamento.

SENTIDO DE NÚMERO, CÁLCULO MENTAL E ALGORITMO

O sentido de número é considerado pelas Normas para o Currículo e a Avaliação da Matemática Escolar (NCTM, 1985, 2000) como o ponto-chave para o ensino e aprendizagem dos números e operações. O referido documento refuta a ideia de que o cálculo numérico se resume ao algorítmico, salientando que há uma grande variedade de capacidades matemáticas que vão além da mera capacidade de cálculo.

Diversos estudos caracterizaram sentido de número como a capacidade de tomar decisões inteligentes baseadas numa sólida compreensão das relações entre os números, suas utilizações e contextos de problemas. Para McIntosh, Reys e Reys (1992, p. 4),

O sentido de número refere-se ao conhecimento geral que uma pessoa tem acerca de números e das suas operações a par com a capacidade e inclinação para usar esse conhecimento de forma flexível para construir raciocínios matemáticos e desenvolver estratégias úteis para lidar com números e operações. Reflecte uma inclinação e uma capacidade de usar números e métodos quantitativos como meio de comunicação, processamento e interpretação de informação. Resulta numa perspectiva de que números são úteis e de que existe uma certa ordem na Matemática.

Brocardo, Serrazina e Kraemer (2003) partem da perspectiva de que o ensino precoce de técnicas algorítmicas prejudica o desenvolvimento do sentido do número bem como do pensamento crítico sobre o sentido das operações, tendo como consequência o não desenvolvimento de outras estratégias de cálculo, como o cálculo mental e por estimativa.

Ao calcular, podemos recorrer ao uso de diferentes estratégias que variam desde o uso de contagem e estratégias pessoais, como o cálculo mental, até o uso de

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estratégias mais formais, como o algoritmo. Para Heuvel-Panhuizen e Buys (2008), o cálculo mental é desenvolvido como a forma mais básica de cálculo e constitui a base para progredir para as outras formas de cálculo possíveis.

O cálculo mental é caracterizado como um cálculo que ocorre de uma forma flexível e acessível, com o uso de todos os tipos de relações numéricas e propriedades aritméticas para obter uma resposta exata diante de um problema a partir da realização de cálculo aritmético (HEUVEL-PANHUIZEN; BUYS, 2008). Thompson (2010) complementa que se pode utilizar registros escritos no cálculo mental, quando necessário, para que a pessoa não se perca em seu raciocínio. De acordo com Heuvel-Panhuizen e Buys (2008), não é necessário realizar o cálculo inteiro na cabeça e para isso é possível utilizar vários tipos de estratégias em que utiliza-se propriedades matemáticas, relações de dobro e metade, entre outras. Sendo assim, o aspecto chave dessa forma de aritmética é que o cálculo mental ocorre na cabeça e não ‘de cabeça’.

O estudo longitudinal desenvolvido por Carpenter et al. (1998) exemplifica a importância do desenvolvimento do cálculo mental evidenciando que alunos do 1.º ao 3.º ano, antes de aprenderem os algoritmos de adição e subtração, demonstraram um melhor conhecimento dos conceitos do número e tiveram maior sucesso em ampliar seus conhecimentos para novas situações quando comparados aos alunos que inicialmente aprenderam algoritmos padrão. Desta forma, eles concluíram que os alunos podem inventar estratégias para adicionar e subtrair bem como ilustram o que essa invenção oferece e o papel que diferentes conceitos desempenham nesse invento. Os autores também salientam que se pode esperar que o uso de estratégias inventadas reduza a ocorrência de erros sistemáticos baseados estritamente nas aplicações de procedimentos simbólicos.

Ainda, os estudos de Sander (2018) evidenciaram um grande foco no uso de procedimentos algorítmicos por alunos do 3.º ano do Ensino Fundamental. Em sua investigação, além do algoritmo para calcular, foi observado que muitos alunos compreendem os números como uma mera junção de dígitos ignorando-se sua composição a partir da base decimal, entre outras formas. Além do mais, a pesquisadora levanta a hipótese de que o ensino de cálculos para os alunos inicia-se com procedimentos de contagem e com o uso de recursos pictóricos e evolui diretamente

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para os algoritmos. Desta forma, os alunos deixam de desenvolver estratégias pessoais de cálculo que requerem conhecimentos sobre os números e de propriedades matemáticas utilizados no cálculo mental.

Nesta perspectiva, os algoritmos tradicionais de papel e lápis, normalmente ensinados em muitas escolas de forma mecânica e sem sentido, podem ser ensinados e considerados como uma estratégia mais elaborada de cálculo cuja compreensão é facilitada pelo trabalho com cálculo mental. Assim, Buys (2008) considera o cálculo algorítmico como um procedimento de cálculo padronizado que pode ser interpretado como uma estratégia cristalizada e abstraída do cálculo mental.

METODOLOGIA

Objetivos: Esta pesquisa faz parte de um estudo maior que investiga o sentido de

número apresentado por alunos dos anos iniciais do ensino fundamental em tarefas matemáticas. No contexto dos estudos sobre o sentido de número, esta pesquisa tem como principal objetivo analisar como alunos do quarto ano do ensino Fundamental utilizam seus conhecimentos sobre números e operações para resolver tarefas matemáticas. Sendo assim, são analisadas as suas estratégias e dificuldades.

Participantes: Participaram da pesquisa 28 alunos que estavam finalizando o quarto

ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior do Estado de São Paulo. A escolha da escola foi feita por sorteio aleatório.

O quarto ano foi escolhido, pois os resultados da análise das tarefas poderiam ser utilizados pelo professor ao longo do quinto ano (término do primeiro ciclo do Ensino Fundamental) considerando as dificuldades encontradas pelos estudantes na resolução de tarefas matemáticas envolvendo as operações aritméticas, evidenciadas por este estudo.

Instrumento: O estudo que está sendo desenvolvido consta de 6 tarefas que foram

elaboradas levando-se em consideração o sentido de número e resolvidas individualmente pelos participantes. Considerando a natureza qualitativa da análise dos dados, faremos a discussão de duas tarefas, mostradas a seguir:

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Quadro 1 – Tarefas analisadas

O voo do avião Vamos pensar...

Fonte: Autoria própria.

Método: A pesquisa teve uma abordagem qualitativa, utilizando-se dos pressupostos

teóricos de Lüdke e André (1986), resumidos a seguir:

1- A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento (p.11);

2- Os dados coletados são predominantemente descritivos (p.12);

3- A preocupação com o processo é muito maior do que com o produto (p.12);

4- O “significado” que as pessoas dão às coisas e à sua vida são focos de atenção especial pelo pesquisador (p.12);

5- A análise dos dados tende a seguir um processo indutivo (p.12).

Categorias de análise: Os dados foram analisados levando-se em consideração:

1- Desempenho na tarefa: Foram considerados os acertos totais, acertos parciais e os erros. Na categoria de acertos parciais foi considerado se os alunos conseguiram interpretar a tarefa de forma correta;

2- Estratégias: utilização de algoritmos, uso do cálculo mental, cópia dos valores contidos no enunciado;

3- Dificuldades: aplicação do algoritmo, interpretação da tarefa, dificuldade em explicar como resolveu a tarefa (aspecto este solicitado na tarefa “Vamos pensar...”).

7 ANÁLISE DOS DADOS

Os dados coletados por meio da realização das tarefas possibilitou a análise do desempenho, das estratégias de resolução e das dificuldades dos participantes.

De uma maneira geral, os alunos apresentaram maiores dificuldades de interpretação do enunciado das tarefas e de não saber ou conseguir resolver as tarefas matemáticas apresentadas, o que eles mesmos, em algumas situações, expressaram por meio de sentenças do tipo “não consegui resolver”. Alguns tiveram mais de uma dificuldade na mesma tarefa como, por exemplo, a dificuldade de interpretação associada à aplicação do algoritmo em que, além de não terem tido o raciocínio correto para resolver a tarefa, desenvolviam o algoritmo de maneira errada.

A tabela 1 apresenta os resultados obtidos na tarefa “O voo do avião”.

Tabela 1 – Distribuição dos alunos quanto ao desempenho, estratégia de resolução e dificuldades na tarefa ‘O voo do avião’

Desempenho Estratégia Dificuldades

Categoria N. Categoria N. Categoria N.

Certo 12 Algoritmo 12 Nenhuma 12

Meio certo 2 Algoritmo 2 Aplicação do algoritmo 2

Errado 13

Algoritmo 11 Aplicação do algoritmo 3 Não identificado 1 Interpretação 11

Não identificado 1

Em branco 2 Em Branco 2 Em Branco 2

Fonte: Autoria própria.

A tabela 1 retrata que o número de erros e de acertos na tarefa “O voo do avião” ficou bem próximo e que o algoritmo foi a estratégia de cálculo mais utilizada pelos alunos para resolver a tarefa. No entanto, a maior dificuldade apresentada foi a interpretação do enunciado da tarefa sendo que a aplicação do algoritmo de forma equivocada também acarretou em dificuldades para os alunos.

As dificuldades em interpretar o enunciado ficaram evidentes pela forma como os alunos resolveram a tarefa, como foram os casos dos alunos de números 13 e 17 apresentados no quadro a seguir.

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Quadro 2 – Exemplos de resolução dos alunos na tarefa “O Voo do avião”

Resolução do aluno de número 13 Resolução do aluno de número 17

Fonte: Acervo dos autores

Nota-se na figura que o aluno de número 13, por apresentar um cálculo de adição somando os valores que representam as altitudes do avião demonstra que ele não compreendeu o que foi solicitado na tarefa. Já o aluno 17, apesar de compreender que a situação requer uma subtração para ser resolvida, aplica o algoritmo de forma equivocada, deixando de subtrair 6 centenas de 3 centenas. Erros como este também foram encontrados por Sander (2018) sendo que, por se tratar de uma subtração, professores usualmente explicam para seus alunos que devemos “tirar o menor do maior” com a intenção de facilitar a compreensão de seus alunos, semelhantemente ao uso de palavras-chave discutido por Taxa-Amaro (2005). Desta forma, o aluno ‘tira 3 dezenas de 7 dezenas’, mas não consegue fazer o mesmo com as centenas. Sendo assim, esse procedimento evidencia um processo de fixidez funcional, de acordo com Sternberg (2000).

A tabela 2 apresenta os resultados obtidos na tarefa “Vamos pensar...”.

Tabela 2 – Distribuição dos alunos quanto ao desempenho, estratégia de resolução e dificuldades na tarefa ‘Vamos pensar...’

Desempenho Estratégia Dificuldades

Categoria N. Categoria N. Categoria N.

Certo 5 Algoritmo 5 Nenhuma 5

Meio certo 7 Algoritmo 7

Aplicação do algoritmo 1 Não soube explicar 7

Errado 14

Algoritmo 5 Aplicação do algoritmo 1 Não identificado 4 Não identificado 1 Copia valores do

enunciado 5

Interpretação 9 Não soube resolver 4

Em Branco 2 Em Branco 2 Em Branco 2

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A tabela 2 mostra que o desempenho dos alunos na tarefa “Vamos pensar...” foi mais baixo, sendo que houve mais erros do que acertos, mesmo a tarefa em si apresentando algumas formas de ser resolvida. Assim como na tarefa anterior, o algoritmo foi a estratégia de resolução mais utilizada, porém, não garantiu o sucesso dos alunos em suas respostas. Quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos, as mais recorrentes foram a interpretação do enunciado da tarefa e saber explicar como a resolveu. A resolução do aluno de número 13 exemplifica a dificuldade em compreender a tarefa bem como em se aplicar o algoritmo.

Figura 1 – Resolução do aluno de número 13

Nota-se que o aluno realiza uma adição com os valores presentes na tarefa, porém, na expressão ele acrescenta um valor que não foi o obtido em seu cálculo.

Solicitar que o aluno explique como resolveu a tarefa é um aspecto discutido por autores que investigam o sentido de número quando objetiva-se desenvolvê-lo, como Sander (2018). Nesta perspectiva, o papel do professor passa a ter a atribuição de ouvir as explicações dos alunos e interrogá-los sobre o porquê resolvem determinadas tarefas de uma forma e não de outra, permitindo que eles expliquem sua forma de pensar aos seus colegas. Apesar das dificuldades encontradas pelos alunos em explicar a tarefa, aspecto este evidenciado também por Sander (2018), as resoluções dos alunos de número 1 e 10 revelam tarefas bem resolvidas e explicadas.

Podemos observar no quadro 3 que os alunos, além de resolverem corretamente a tarefa proposta, explicam com clareza como resolveram, tal como foi solicitado no enunciado da tarefa.

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Quadro 3 – Exemplos de resolução dos alunos na tarefa “Vamos pensar...” Resolução do aluno de número 1 Resolução do aluno de número 10

“Eu montava a conta de 1662 menos 998 e o resultado coloca no meio para fazer a conta de adição colocando 998 mais o resultado e tem que dar 1662.”

“R: Eu encontrei 664. Eu pensei para chegar ao resultado precisa tirar 998 do número 1662.”

Fonte: Acervo dos autores

De acordo com Brocardo et al. (2009), solicitar explicações como essa contribui com o desenvolvimento de competências de comunicação e argumentação bem como oferece elementos para o professor perceber o que e como seu aluno pensa para fazê-lo progredir na aprendizagem. Além do mais, Mendes (2012) acrescenta que essa postura também contribui com a compreensão de ideias e com discussões sobre processos de soluções alternativas para os alunos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A pesquisa teve como objetivo analisar como alunos do quarto ano do ensino Fundamental utilizam seus conhecimentos sobre números para resolver tarefas matemáticas. Neste sentido, foram analisadas as suas estratégias e dificuldades.

A análise mostrou forte predomínio do uso de cálculos algorítmicos na resolução das duas tarefas matemáticas, sendo que as maiores dificuldades se concentraram na interpretação do enunciado. Embora a técnica algorítmica tenha sido a mais utilizada pelos participantes, o que chama a atenção é o fato de haver alunos que não a utilizaram de forma correta, como ficou evidente na tarefa “O voo do avião”.

De maneira geral, o processo educativo, especificamente no que diz respeito ao ensino da matemática escolar, tem dificultado o desenvolvimento do sentido de número. O ensino das operações aritméticas, no Brasil, é feito por meio de algoritmos, e de forma precoce, diferentemente de outros países, como Holanda e Inglaterra em que os

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algoritmos convencionais são introduzidos aos poucos, como mostram Brocardo e Serrazina (2008). Embora o desenvolvimento de aspectos relativos ao sentido do número, como cálculo mental e uso de estimativas, seja preconizado por documentos curriculares, o que se percebe é que essa concretização está longe das aulas de matemática, como aponta Sander (2018). As reflexões sobre a importância do desenvolvimento do sentido de número nos anos iniciais do Ensino Fundamental devem ser realizadas nos cursos que formam professores que ensinam Matemática. Desenvolver o sentido de número é valorizar a compreensão dos números e operações e as diferentes formas flexíveis e criativas de resolver tarefas matemáticas. A dificuldade em interpretar as tarefas mostra uma tendência em se valorizar mais a operação a ser utilizada do que a compreensão da estrutura da tarefa.

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