PRIMEIRO SIMULADO - CÁLCULO I Aula 14

PRIMEIRO SIMULADO - C´

ALCULO I

Aula 14

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de S˜ao Paulo

S˜ao Carlos SP, Brazil

27 de Abril de 2020 Primeiro Semestre de 2020

Quest˜

ao (1)

Qual ´e o valor de lim

x →4

h_{f (x )g (x )−4}

9f (x )+4g (x )

i

sabendo que lim

x →4f (x ) = 4 e

lim

x →4g (x ) = 5?

[A.] 2₇ [B.] 4₇ [C .] 3₇ [D.] 5₇ [E .] 6₇

Solu¸c˜ao: Como lim

x →4f (x ) = 4 e limx →4g (x ) = 5 , temos que

limx →4 h f (x )g (x )−4 9f (x )+4g (x ) i = lim x →4[f (x ) · g (x ) − 4] lim x →4[9f (x ) + 4g (x )] = ( lim x →4f (x )) · ( limx →4g (x )) − 4 9( lim x →4f (x )) + 4( limx →4g (x )) = _9·4+4·54·5−4 = 2₇

Quest˜

ao (2)

Sabendo que lim

x →0 f (x )

x2 = 10 e lim x →0

g (x )

x+x2= 20, ´e correto afirmar que: A. Nada se pode afirmar sobre lim

x →0 f (x ) sen(x ) B. lim x →0 f (x ) xg (x ) = 1 2 C. lim x →0 g (x ) x = 10 D. lim x →0  f (x ) x 2 = 100

E. Nada se pode afirmar sobre lim

Solu¸c˜ao: Note que que lim x →0 f (x ) x2 = 10 e lim x →0 g (x ) x +x2 = 20

A. Nada se pode afirmar sobre lim

x →0 f (x )

sen(x ). Falsa, pois

lim x →0 f (x ) sen(x ) = lim_{x →0} f (x ) x2 · _{sen(x )}1 x · x ! = lim x →0 f (x ) x2 · 1 limx →0 sen(x ) x · lim x →0x = 10 ·1₁ · 0 = 0 B. lim x →0 f (x ) xg (x ) = 1 2. Verdadeira, pois lim x →0 f (x ) xg (x ) = lim_{x →0} f (x ) x2 _{x +x}x 2 _{g (x )}1 x +x2 ! = lim x →0 f (x ) x2 lim x →0 1 1+x 1 limx →0_{x +x}g (x )2 = 10 · 1 ·₂₀1 = 1₂

C. lim x →0 g (x ) x = 10. Falsa, pois lim x →0 g (x ) x = lim_{x →0} _{g (x )} x +x2 ·x 2_+x x  = lim x →0 g (x ) x +x2 · lim x →0 x +1 1 = 20 · 1 = 20 D. lim x →0 _{f (x )} x 2 = 100. Falsa, pois lim x →0 _{f (x )} x 2 = lim x →0 _{f (x )} x2 · f (x ) x2 · x2  = lim x →0 f (x ) x2 · lim x →0 f (x ) x2 · lim x →0x 2 = 10 · 10 · 0 = 0

Quest˜

ao (3)

A partir do gr´afico de f dado a seguir podemos afirmar que:

A. lim x →−6f (x ) = 3. B. lim x →−1f (x ) = 5. C. lim h→0 f (1+h)−f (1) h = 5. D. lim h→0 f (6+h)−f (6) h = − 5 2. E. lim x →5f (x ) = 4.

MATH 1060 Test 1 Spring 2016 Calculus of One Variable I Version A Sections 1.5, 1.6, 2.1 - 2.8, 3.1

Version A Page 7 of 14

Free Response. The Free Response questions will count 67% of the total grade. Read each question carefully. To receive full credit, you must show legible, logical, and relevant justification which supports your final answer. Give answers as exact values

1. (8 pts.) Use the graph of to find each of the following limits, if it exists. (1 pt. each) Infinite limits should be ans ered ith = or = , hichever is appropriate. If the limit does not exist (and cannot be answered as or ), state DNE.

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

De fato: A reta que passa por (4, 5) e (6, 0) tem equa¸c˜ao

y = −5₂(x − 6). Logo f (x ) = −5₂(x − 6), para x ∈ (4, ∞). Assim, lim h→0 f (6+h)−f (6) h = lim_h→0 −5 2h h = − 5 2

Quest˜

ao (4)

Sobre a fun¸c˜ao f (x ) = _|x|x + 3 podemos dizer que:

A. Seus limites laterais em 1 existem e s˜ao distintos.

B. Seus limites laterais em 1 n˜ao existem.

C. Seus limites laterais em 1 s˜ao iguais mas o limite em 1 n˜ao existe.

D. O limite em 1 existe.

E. Nenhuma das anteriores.

Solu¸c˜ao: Note que, para x > 0, f (x ) = x_x + 3 = 4. Logo, f ´e cont´ınua em x = 1. Sendo assim, existe o limite lim

x →1f (x ) = 4.

Quest˜

ao (5)

Assinale o valor de lim

x →3

x2_−2x−3 x2_−x−6.

[A.] 2₃ [B.] 0 [C .] 4₅ [D.] 3₂ [E .] 4

Solu¸c˜ao: Como o numerador e o denominador se anulam em x = 3, n˜ao podemos calcular o limite, diretamente, pela regra do quociente. No entanto, observe que

x2− 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) e x2− x − 6 = (x − 3)(x + 2). Logo lim x →3 x2_−2x−3 x2_−x−6 = lim x →3 (x −3)(x +1) (x −3)(x +2) = lim_{x →3} x +1 x +2 = 4 5

Quest˜

ao (6)

Considere as fun¸c˜oes f (x ) =  x2+ 3 se x ≤ 1, x + 1 se x > 1, e g (x ) =  x2 se x ≤ 1, 2 se x > 1. Ent˜ao ´e correto afirmar que:

A. Os limites lim

x →1f (x ), limx →1g (x ) e limx →1[f (x )g (x )] n˜ao existem.

B. Os limites lim

x →1f (x ) e limx →1g (x ) n˜ao existem, mas limx →1[f (x )g (x )] existe.

C. O limite lim

x →1f (x ) existe, mas limx →1g (x ) e limx →1[f (x )g (x )] n˜ao existem.

D. O limite lim

x →1g (x ) existe, mas limx →1f (x ) e limx →1[f (x )g (x )] n˜ao existem.

E. Os limites lim

Solu¸c˜ao: Note que, como f (x ) =  x2+ 3 se x ≤ 1, x + 1 se x > 1, e g (x ) =  x2 se x ≤ 1, 2 se x > 1. temos lim

x →1−f (x ) = 4, _{x →1}lim+f (x ) = 2, _{x →1}lim−g (x ) = 1 e _{x →1}lim+g (x ) = 2.

Logo, n˜ao existem os limites lim

x →1f (x ) e limx →1g (x ). Das propriedades

de limite

lim

x →1−f (x )g (x ) = 4, _{x →1}lim+f (x )g (x ) = 4.

Consequentemente, existe o limite lim

x →1f (x )g (x ) = 4. Sendo assim,

a ´unica alternativa verdadeira ´e a alternativa B.

Quest˜

ao (7)

A partir de uma cartolina medindo 14 × 22 vamos construir uma caixa sem tampa do seguinte modo: recortamos e descartamos quadrados de

lado x em cada um dos v´ertices da cartolina e dobramos as quatro abas

resultantes (veja a figura abaixo). Seja V (x ) a express˜ao que fornece

o volume da caixa obtida em fun¸c˜ao de x . Ent˜ao ´e correto afirmar que:

A. E sempre poss´ıvel construir uma caixa se´

x ∈ ]0, 7[ e lim

x →0+V (x ) = lim_{x →7}−V (x ) = 0.

B. E sempre poss´ıvel construir uma caixa se´

x ∈ ]0, 11[ e lim

x →0+V (x ) =_{x →11}lim−V (x ) = 0.

C. E sempre poss´ıvel construir uma caixa se´

x ∈]0, 7[ e lim

x →2V (x ) = 180.

D. _{E sempre poss´ıvel construir uma caixa se}´

x ∈]0, 11[ e lim

x →2V (x ) = 180.

E. Nenhuma alternativa est´a correta.

x x

Solu¸c˜ao: As medidas da base da caixa s˜ao 14 − 2x e 22 − 2x enquanto a altura ´e x . O volume da caixa ´e dado por

V (x ) = (14 − 2x )(22 − 2x )x . Assim,

I Note que, V (x ) > 0 (todas as medidas s˜ao positivas) se, e somente se, x ∈]0, 7[ e lim

x →0+V (x ) = lim_{x →7}−V (x ) = 0 .

I lim

x →2V (x ) = 10 · 18 · 2 = 360.

Sendo assim, a ´unica alternativa correta ´e a alternativa A.

Quest˜

ao (8)

Assinale o valor de lim

x →0 x2_+3x 3 sen(x ).

[A.] 2₃ [B.] 0 [C .] 1 [D.] 1₃ [E .] 2

Solu¸c˜ao: Note que

limx →0 x 2_+3x 3 sen(x ) = limx →0  x +3 3 1 sen(x ) x  = limx →0x +3₃ · 1 lim x →0 sen(x ) x = 1.

Quest˜

ao (9)

Suponha que lim

x →0 f (x ) x = 1. Ent˜ao: A. lim x →0 f (3x ) x = 1. B. lim x →0 f (x2₎ x n˜ao existe. C. lim x →1 f (x2₋₁₎ x −1 = 2. D. lim x →0 f (3x ) 7x = 1 7.

E. Nenhuma alternativa est´a correta.

Solu¸c˜ao: A alternativa correta ´e a alternativa C . A. lim x →0 f (3x ) x = 3 lim_{x →0} f (3x ) 3x = 3. B. lim x →0 f (x2₎ x = lim_{x →0}  f (x2₎ x2 · x  = lim x →0 f (x2₎ x2 · lim x →0x = 1 · 0 = 0. C. lim x →1 f (x2₋₁₎ x −1 = lim_{x →1}  f (x2₋₁₎ x2₋₁ · x2₋₁ x −1  = lim x →1 f (x2₋₁₎ x2₋₁ · lim x →1(x + 1) = 2. D. lim x →0 f (3x ) 7x = lim_{x →0} f (3x ) 3x _{x →0}lim 3x 7x = 3 7.

Quest˜

ao (10)

Qual das seguintes implica¸c˜oes ´e FALSA?

A. lim x →0 f (x ) x = 0 =⇒ x →0lim f (x ) |x| = 0 B. lim x →pf (x ) = L =⇒ x →plim |f (x) − L| = 0 C. lim x →0 f (x ) |x| = 0 =⇒ x →0lim f (x ) x = 0 D. lim x →p|f (x) − L| = 0 =⇒ x →plimf (x ) = L E. lim x →p|f (x)| = |L| =⇒ x →plimf (x ) = L.

Solu¸c˜ao: I A e C. lim x →0 f (x ) x = 0 ⇔ limx →0+ f (x ) x = 0 = limx →0− f (x ) x ⇔ lim x →0+ f (x ) |x| = limx →0+ f (x ) x = 0 = limx →0− f (x ) −x = limx →0− f (x ) |x| e, portanto, lim x →0 f (x ) |x| = 0 ⇔ limx →0 f (x ) x = 0. I B e D. lim

x →pf (x ) = L se, e somente se,

dado  > 0 existe δ > 0 tal que

x ∈ Df= D|f (x)−L|, 0 < |x −p| < δ ⇒ |f (x )−L| = ||f (x )−L|−0| < 

se, e somente se, lim

x →p|f (x) − L| = 0.

I E. lim

x →p|f (x)| = |L| 6⇒ x →plimf (x ) = L. A fun¸c˜ao f (x ) = |x|

x

para x 6= 0 ´e tal que limx →0|f (x)| = 1 enquanto que o limite