EM41G TRANSFERÊNCIA DE CALOR

EM41G

Sumário



Abordagens Alternativas



O Método da Separação de Variáveis

O Método Gráfico

 Metodologia para Construção de um Gráfico de Fluxo  Determinação da Taxa de Transferência de Calor

 O Fator de Forma da Condução

Abordagens

Alternativas

As linhas de fluxo de calor (fluxo térmico) são vetores

perpendiculares, em qualquer ponto, às linhas de temperatura constante (isotermas).

Na análise de condução, há dois objetivos principais:

 Determinação da distribuição de temperaturas no meio, o

que, para o presente problema (condução 2D em RP), significa a determinação de T(x,y)

Estes objetivos são alcançados através da resolução da forma apropriada da Equação do Calor e da aplicação da Lei de

Fourier.

Para tal, os métodos (abordagens) de solução são:

 Analíticos,  Gráficos,  Numéricos.

0













y

T

x

T

Os métodos analíticos fornecem resultados exatos em

qualquer ponto.

Os métodos gráficos e numéricos podem fornecer somente resultados aproximados para pontos discretos.

O Método da

Separação de

Para ilustrar a natureza e a importância das técnicas analíticas, uma solução exata para a Equação do Calor (condução 2D em RP) é apresentada utilizando o Método da Separação de Variáveis.

Nosso objetivo, é encontrar a distribuição de temperaturas T(x,y). Para simplificar a solução, tem-se que

e, com isso, a Equação do Calor torna-se

1 2 1

T

T

T

T









0













y

x





Como esta equação diferencial é de segunda ordem em x e y, duas condições de contorno são necessárias para cada uma das coordenadas.

e e

Portanto, três das quatro condições de contorno são homogêneas e o valor de θ limitou-se ao intervalo de 0 a 1.

 

0

,

y



0



 

L

,

y



0



 

x

,

0



0





x

,

W





1



Aplica-se, então, a Técnica da Separação de Variáveis, considerando-se uma solução na forma de

Com isso,

Fica evidente que a equação diferencial é, de fato, separável.

 

   

Desta forma, a igualdade se aplica em geral somente se ambos os lados forem iguais a uma mesma constante.

Identificando esta constante de separação, até então desconhecida, por λ2, tem-se que

E a EDP foi reduzida para duas EDO’s.

2 2 2

0

d X

X

dx







0

d Y

Y

dy







As soluções gerais para estas EDO’s são:

e, neste caso, a forma geral da solução bidimensional é

x

sen

c

x

c

X



cos







e

c

e

c

Y













e

c

e

c

x

sen

c

x

c









cos





Aplicando-se a condição θ(0,y) = 0, fica evidente que

c₁ = 0

Em função da exigência de que θ(x,0) = 0, tem-se que

que somente pode ser satisfeita se

c₃ = – c₄





2sen x c  c 

Aplicando-se a condição θ(L,y) = 0, obtém-se que

A única forma na qual essa condição pode ser satisfeita (e ainda possuir solução não-nula) é exigir que λ assuma valores discretos para os quais sen(λL) = 0. Para tal,esses valores são n = 1,2,3 ...





0

c c sen L e





e



L

n







A solução desejada pode, então, ser expressa como

Combinando-se as constantes e admitindo que a nova constante pode depender de n, tem-se





















e

e

x

L

n

sen

c

c





 



























y

L

n

senh

x

L

n

sen

c

y

x







,

Portanto, existem um número infinito de soluções que

satisfazem à equação diferencial e às condições de contorno. Contudo, como o problema é linear, uma solução mais geral

pode ser obtida por uma superposição na forma

 





























y

L

n

senh

x

L

n

sen

c

y

x







,

Para determinação de c_n utiliza-se a condição de contorno restante, θ(x,W) = 1. n = 1,2,3 ...

 























L

W

n

senh

n

c





1

1

2

Finalmente, a solução final é expressa na forma

Esta expressão é uma série convergente, na qual o valor de θ pode ser determinado para qualquer x e y.

 



 















































L

W

n

senh

y

L

n

senh

x

L

n

sen

n

y

x











1

1

2

,

Soluções exatas foram obtidas para muitas outras geometrias e condições de contorno, incluindo sistemas cilíndricos e

esféricos.

Tais soluções são apresentadas em livros especializados na transferência de calor por condução.

 Schneider (1955)

 Carslaw & Jaeger (1959)  Özisik (1980)

 Kakaç & Yener (1985)  Poulikakos (1994)

O Método

Gráfico

Este método pode ser empregado na solução de problemas 2D de transferência de calor que envolvam fronteiras

adiabáticas e isotérmicas.

O procedimento exige “alguma paciência” e um “dote

artístico”, e vem sendo substituído pelas soluções obtidas

Apesar de suas limitações, este método ainda pode ser utilizado na obtenção de uma primeira estimativa da

distribuição de temperaturas e no auxílio na percepção da

natureza física do campo de temperatura e do fluxo térmico

Metodologia para a Construção de um

Gráfico de Fluxo

O Método Gráfico está alicerçado no fato de as curvas de temperatura constante (isotermas) deverem ser normais às linhas que indicam a direção do fluxo térmico.

Seu objetivo é o de construir de maneira sistemática a rede de isotermas e linhas de fluxo (gráfico de fluxo).

2 2 bd ac y cd ab x       6  N 5  M

 Procedimento para construção do gráfico de fluxos

 Identificação de todas as linhas de simetria relevantes

 As linhas de simetria (linhas de fluxos) são adiabáticas (adiabátas)  Identificação de todas as isotermas (elas devem ser sempre normais

às adiabátas)

 Criação de uma rede de quadrados curvilíneos (linhas de fluxo de

É difícil criar uma rede satisfatória de quadrados curvilíneos na primeira tentativa, e, com frequência, são necessárias numerosas iterações.

Este processo de tentativa e erro envolve o ajuste das

isotermas e adiabáticas (linhas de fluxo térmico) até que quadrados curvilíneos satisfatórios sejam obtidos na maior parte da rede.

Uma vez obtido o gráfico de fluxos, ele pode ser usado para inferir a distribuição de temperatura no meio. Então, através de uma análise simples, a taxa de transferência de calor

Determinação da Taxa de Transferência

de Calor

A taxa à qual energia é conduzida através de uma faixa (região entre adiábatas adjacentes), é designada por q_i.

Se o gráfico de fluxos for construído de forma correta, o valor de

A taxa de transferência de calor total pode ser representada por

sendo que em que M é o número de faixas utilizadas no gráfico.







M

q

q

q

Baseando-se no quadrado curvilíneo e na aplicação da Lei de

Fourier, q_i, pode ser expresso por



ΔT

é a diferença de temperaturas entre isotermas sucessivas

A

é a área de transferência de calor para a condução na faixa

l é o comprimento do canal na direção normal





x

T

l

y

k

x

T

kA

q















A diferença global de temperaturas entre fronteiras, ΔT_1–2, pode ser representada como

sendo N o número total de incrementos de temperatura.

1 2 1 N j j j T T N T









Reconhecendo que Δx ≈ Δy para os quadrados curvilíneos, obtém-se que

Fica evidente a maneira como o gráfico de fluxos pode ser

empregado para se obter a taxa de transferência de calor em um sistema bidimensional. 2 1



k

T

N

l

M

q



O Fator de Forma da Condução

Em muitos casos, problemas de condução de calor 2D e 3D podem ser resolvidos rapidamente usando-se soluções existentes da Equação do Calor.

Estas soluções são apresentadas em termos de um fator de

forma, S, ou de uma taxa de condução de calor adimensional, q*_RP, em regime permanente.

 Taxa de transferência de calor

sendo que ∆T_1–2 é a diferença de temperatura entre os contornos.

 Resistência Condutiva Bidimensional 2 1





Sk

T

q

Sk

R



1

Para um dado gráfico de fluxos, tem-se que

Fatores de Forma foram obtidos analiticamente para

numerosos sistemas 2D e 3D e, para algumas configurações comuns, os resultados são resumidos na Tab. 4.1 do Livro-Texto.Resultados também estão disponíveis para muitas outras configurações na literatura.

N

l

M

S 

A Taxa de Condução de Calor

Adimensional

Para os casos que envolvem meio infinito, resultados úteis podem ser obtidos com a definição de um comprimento característico

sendo que A_s é a área superficial do objeto.

















4

A

L

Taxas de transferência de calor por condução do objeto para um meio infinito pode, então, ser representadas em termos de uma taxa de condução de calor adimensional





T

T

kA

qL

q





 INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. &

LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de Calor e

de Massa. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC, 643p.

 BERGMAN, T.L., LAVINE, A.S., INCROPERA, F.P. &

DEWITT, D.P., 2011. Fundamentals of Heat and Mass Transfer. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 1048p.

Referências Complementares

 CARSLAW, H.S. & JAEGER, J.C., 1959. Conduction of Heat

in Solids. New York, NY, USA: Oxford, 510p.

 ARPACI, V.S., 1991. Conduction Heat Transfer. Boston, MA,

USA: Addison-Wesley, 490p.

 BEJAN, A., 2004. Convection Heat Transfer. Hoboken, NJ,

USA: John Wiley & Sons, 694p.

 KAYS, W., CRAWFORD, M. & WEIGAND, B., 2005.

Convective Heat and Mass Transfer. New York, NY,

 HOWELL, J.R., SIEGEL, R. & MENGUC, M.P., 2010.

Thermal Radiation Heat Transfer. Boca Raton, FL, USA:

CRC, 987p.

 ROHSENNOW, W.M., HARTNETT, J.P. & CHO, Y.I., 1998.

Handbook of Heat Transfer. New York, NY: McGraw-Hill,

1344p.

 BEJAN, A. & KRAUS, A.D., 2003. Heat Transfer Handbook.

4ª Lista de Exercícios

Capítulo 4 (Incropera et al, 2008):

 4.2, 4.3, 4.9, 4.10, 4.11, 4.15, 4S.1

INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. &

LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de Calor