Transformações de Visualização 2D: Clipping. Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

Transformações de

Visualização 2D:

Clipping

Clipping

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping (recorte)

(recorte)

Qualquer procedimento que identifica porções de uma

figura que estão ou dentro ou fora de uma região

específica é chamada de

clipping

Muitos pacotes gráficos combinam a transformação

window-to-viewport

com

clipping

de

primitivas

gráficas de saída.

gráficas de saída.

Algumas aplicações:

extrair parte de uma cena

identificar superfícies visíveis em visões 3D

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping (cont

(cont...

...))

Clip window: a região na qual um objecto será

“clipado” (geralmente uma área rectangular)

Primitivas:

Pontos

Linhas (segmentos de recta)

Áreas (polígonos)

Curvas

Texto

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping de

de Pontos

Pontos

Assumir que a

clip-window é rectangular

Um ponto

P = (x, y)

será considerado para visualizar se

forem satisfeitas as seguintes condições:

xw

_{≤ x ≤ xw}

yw

_{≤ y≤ yw}

As arestas da

clip window

podem ser coordenadas da

janela das

world coordinates

ou os límites da

viewport

.

Se alguma das condições não for satisfeita, o objecto é

clipped

, ou seja, fica fora da zona da visualizção

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping de

de Linhas

Linhas (segmentos

(segmentos de

de recta)

recta)

Recorte de um linha contra uma área rectangular resulta sempre num segmento de recta.

A parte que recai dentro da área de recorte é apresentada. As restantes são ignoradas

Dividimos o processo de recorte (clipping) em duas fases:

I. Identificar os segmentos de recta que intersectam a fronteira I. Identificar os segmentos de recta que intersectam a fronteira

da janela e que portanto, necessitam de ser recortados.

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping de

de Linhas

Linhas (segmentos

(segmentos de

de recta)

recta)

Como identificar os segmentos de recta que intersectam a

fronteira da janela e que portanto, necessitam de ser

recortados?

Todos os segmentos de recta caem numa das seguintes categorias de recorte:

Visível –

Visível –

os dois pontos terminais do segmento de recta estão situados dentro da janela.

Não visível –

se ambos os pontos extremos se encontram no exterior da área de recorte e não existe intersecção com a mesma

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping de

de Linhas

Linhas (segmentos

(segmentos de

de recta)

recta)

Exemplo das categorias do segmento:

Não Visível

Visível

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping de

de Linhas

Linhas (segmentos

(segmentos de

de recta)

recta)

Visível –

os dois pontos terminais do segmento de recta estão situados dentro da janela:

Não visível –

o segmento de recta satisfaz alguma das seguintes

x

<x

, x

<x

; y

<y

,y

<y

o segmento de recta satisfaz alguma das seguintes desigualdades:

Candidato ao recorte –

x

, x

>x

; x

, x

<x

;

y

>y

,y

;y

,y

>y

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo de

de Cohen

Cohen--Sutherland

Sutherland ((clipping

clipping))

Organigrama Geral

Testar os pontos extremos, para verificar se o segmento

está todo contido na janela de recorte, evitando cálculos de

intersecção.

Se o segmento é classificado como

candidato a recorte

então:

então:

é dividido em dois segmentos, a partir de uma das

arestas da janela de recorte, de forma que um dos

segmentos possa ser classificado como

não-visível

.

repete-se o processo de divisão do segmento restante

até cada um dos segmentos seja

visível

/

não-visível

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo de

de Cohen

Cohen--Sutherland

Sutherland ((cont

cont…

…))

Para facilitar o processamento, emprega um cálculo lógico ao nível do bit da seguinte forma:

Atribuição de um código de 4 bits a cada ponto extremo do segmento de recta:

O código é determinado de acordo com cada uma das nove regiões possíveis, do plano à qual o ponto extremo pertence:

(

)

bit 1 setado: se x < x

bit 2 setado: se x > x

bit 3 setado: se y < y

bit 4 setado: se y > y

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo de

de Cohen

Cohen--Sutherland

Sutherland (cont

(cont...

...))

I. Atribuição de um código de 4 bits a cada ponto extremo do

segmento de recta:

(

)

bit 1 setado: se x < x

bit 2 setado: se x > x

bit 3 setado: se y < y

I. O segmento de recta:

é visível se os códigos dos dois pontos extremos são 0000, é não-visível se o AND lógico dos códigos não é 0000 e

é um candidato ao recorte se o AND lógico dos códigos dos pontos terminais é 0000

bit 3 setado: se y < y

bit 4 setado: se y > y

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo de

de Cohen

Cohen--Sutherland

Sutherland (cont

(cont...

...))

Exemplo:

H’

H’’

I’

Critérios:

é

visível

é

não-visíve

é um

candidato ao recorte

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo de

de Cohen

Cohen--Sutherland

Sutherland (cont

(cont...

...))

Determinam-se os pontos de intersecção dos segmentos

candidatos ao recorte

com a janela

Estes pontos de intersecção subdividem os segmentos de

recta em segmentos de recta mais pequenos, os quais

podem pertencer à categoria

visível

ou

não visível

O segmento de recta da

categoria visível será o segmento

O segmento de recta da

categoria visível será o segmento

de recta recortado

H’

H’’

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo de

de Cohen

Cohen--Sutherland

Sutherland (cont

(cont...

...))

Os pontos de intersecção são determinados através da resolução das equações que representam o segmento e as linhas-fronteiras da janela

Para janelas rectangulares, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados, não precisamos de verificar a intersecção do

segmento de recta com todas as quatro linhas-fronteira.

O algoritmo de Cohen-Sutherland determina a(s) linha(s)-fronteira(s) apropriadas para teste:

apropriadas para teste:

H’

H’’

I’

Bit 4 = 1

∩

com y

Bit 3 = 1

∩

com y

Bit 2 = 1

∩

com x

Transformações de Visualização 2D

Exemplo

Exemplo::

AD: A (0000); D(1001) – candidato a recorte

O algoritmo escolhe D como o ponto externo, e emprega a aresta superior para o recorte . Obtemos B(0000)

AB pode é classificado como visível

EI: E(0100); I (1010) – candidato a recorte

Requer várias iterações Requer várias iterações

O primeiro extremo (E) é escolhido, a recortar com a aresta inferior. Obtemos FI, não é visível nem e não-visível.

I(1010) é escolhido onde aplica recorte com a aresta direita, obtendo G(0000)

Transformações de Visualização 2D

Uma questão:

Não Visível

Visível

Candidato a recorte,

mas não vai ser recortado

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Transformações de Visualização 2D

Exercício:

Execute o recorte dos

segmentos de recta da

figura, usando o

algoritmo de Cohen

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: Algoritmo

Algoritmo de

de Liang

Liang--Barsky

Barsky ((1984

1984))

O algoritmo de

Cohen-Sutherland

é sem dúvidas um dos

mais antigos e populares algoritmos utilizados no

processo de

clipping

Porem existem algoritmos de

clipping mais eficientes

e

que utilizam como base a

equação paramétrica

da recta:

∆∆∆∆

x = x

+ u

∆∆∆∆

x;

y = y

+ u

∆∆∆∆

y,

0

≤≤≤≤

u

≤≤≤≤

1;

∆∆∆∆

x = x

– x

;

∆∆∆∆

y = y

– y

Utilizando estas equações paramétricas

Liang

e

Barsky

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: Algoritmo

Algoritmo de

de Liang

Liang--Barsky

Barsky

Seguindo a abordagem de

Liang-Barsky

podemos traduzir

as condições de

clipping

da seguinte forma:

xw

≤≤≤≤

x

+ u

∆∆∆∆

x

≤≤≤≤

xw

yw

≤≤≤≤

y

+ u

∆∆∆∆

y

≤≤≤≤

yw

Cada uma destas quatro inequações pode ser expressa

como:

como:

up

≤≤≤≤

q

, k = 1, 2, 3, 4

onde os parâmetros

p

e

q

são definidos como:

p

= -

∆∆∆∆

x , q

= x

– xw

p

=

∆∆∆∆

x , q

= xw

– x

p

= -

∆∆∆∆

y , q

= y

– yw

p

=

∆∆∆∆

y , q

= yw

– y

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

p₁= - ∆∆∆∆x , q₁ = x₁ – xw_min p₂= ∆∆∆∆x , q₂ = xw_max – x₁ p₃= - ∆∆∆∆y , q₃ = y₁ – yw_min p₄= ∆∆∆∆y , q₄ = yw_max – y₁

Algumas observações

Um segmento paralelo a alguma das paredes da janela de recorte tem p_k= 0 onde k = 1, 2, 3 e 4 corresponde à respectiva parede: esquerda, direita, abaixo e acima. Se para além disto q_k < 0, então o segmento é totalmente invisível. Se para os k tais que p_k= 0 se o segmento é totalmente invisível. Se para os k tais que p_k= 0 se verifica que q_k ≥ _{0 então o segmento está contido nas paredes}

paralelas da janela de recorte.

Quando p_k < 0 o extremo do segmento de recta vem do exterior da janela de recorte (com relação à respectiva parede definida pelo valor de k) e no caso contrário vem do interior.

Para cada p_k ≠≠≠≠ 0 devemos calcular o valor do parâmetro u que corresponde ao ponto de intersecção da recta (definida pelo

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

(x₁, y₁)

(x₂, y₂)

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

p₁= - ∆∆∆∆x , q₁ = x₁ – xw_min p₂= ∆∆∆∆x , q₂ = xw_max– x₁ p₃= - ∆∆∆∆y , q₃ = y₁ – yw_min p₄= ∆∆∆∆y , q₄ = yw_max– y₁

Algumas observações

Para cada segmento de recta podemos calcular os parâmetros u₁ e u₂ Estes parâmetros definem que parte do segmento está contido na janela de recorte.

O valor de u₁ (de fora para dentro , p_k< 0) u₁= max {0, r_k’s}, onde r_k= q_k/p_k

O valor de u₂ (de dentro para fora, p_k > 0) u₂= min {1, r_k’s}, onde r_k= q_k/p_k

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

p₁= - ∆∆∆∆x , q₁ = x₁ – xw_min p₂= ∆∆∆∆x , q₂ = xw_max– x₁ p₃= - ∆∆∆∆y , q₃ = y₁ – yw_min p₄= ∆∆∆∆y , q₄ = yw_max– y₁ u₁= max {0, r_k’s}, onde r_k= q_k/p_k ; para p_k< 0

u₂= min {1, r_k’s}, onde r_k= q_k/p_k ; para p_k> 0

Exemplo p < 0, p <0 p₁ < 0, p₃ <0 u₁ = max(0, r₁, r₃) = r₁ p₂ > 0, p₄ > 0 u₂ = min(1, r₂, r₄) = 1 (x₁, y₁) (x₂, y₂) r r₁ r₄ r2

Transformações de Visualização 2D

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

Exemplo (10,10) (25,10) (15,17) (5,12) (5,18) R1

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

Exemplo

Calcular p e q para R1

p1 = -

∆

x = -(15 - 5) = -10

p2 =

∆

x = 15 - 5 = 10

p3 = -

∆

y = -(17 - 12) = -5

p4 =

∆

y = 17 - 12 = 5

q1 = x1 - x

= 5 - 10 = -5

q2 = x

- x1 = 25 - 5 = 20

q3 = y1 - y

= 12 - 10 = 2

q4 = y

- y1 = 20 - 12 = 8

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

Exemplo

Calcular u1 (

de fora para dentro

) para R1

x=x

_+u∆x

y=y

_{+u∆y , 0≤ u≤ 1}

p1 = -10 < 0

p3 = -5 < 0

r1 = q1/p1 = -5/-10 = 0.5

r3 = q3/p3 = 2/-5 = - 0.4

u1 =

max

(

0

, r1, r3) =

max

(

0

, 0.5, -0.4) = 0.5

Transformações de Visualização 2D

Clipping

Clipping:: AlgoritmoAlgoritmo dede LiangLiang--BarskyBarsky

Exemplo

Calcular u2 (

de dentro para fora

) para R1

p2 = 10 > 0

p4 = 5 > 0

r2 = q2/p2 = 20/10 = 2

r4 = q4/p4 = 8/5 = 1.6

u2 =

min

(

1

, r1, r3) =

min

(

1

, 2, 1.6) =

1

Como u2 resulta

1

, rejeitamos o cálculo de novos

valores de dentro para fora.

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos.. Introdução

Introdução

Definições

Definições ee Notações

Notações::

Um polígono é chamado convexo se o segmento de recta definido por dois quaisquer pontos interiores do polígono está situado completamente dentro do polígono.

Por convenção, um polígono com os vértices P₁, P₂, ..., P_Né chamado positivamente orientado, se uma volta pelos vértices, numa dada ordem, produz um circuito no sentido contrário ao dos ponteiros do ordem, produz um circuito no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (CCW)

A B

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos.. Introdução

Introdução

Definições

Definições ee Notações

Notações (cont

(cont...

...))::

Vectores tridimensionais:

Em ℜ3 _{podemos definir três vectores coordenados I, J, K. Estes}

vectores são vectores unitários com a direcção e sentido da parte dos eixos Ox, Oy e Oz. Então:

Qualquer vector V pode ser definido por componentes em função Qualquer vector V pode ser definido por componentes em função de I, J, K:

V = aI + bJ + cK

As componentes [a, b, c] dos vectores V são também as coordenadas de extremidade do vector V, quando a origem de V se localiza na origem do SCC.

Em situação geral o vector V com extremos em P₀e P₁:

P

P

=(x

-x

)I + (y

-y

)J + (z

-z

)K

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos.. Introdução

Introdução

Definições

Definições ee Notações

Notações (cont

(cont...

...))::

Produto Escalar e Produto Vectorial:

Sejam V₁= a₁I + b₁J + c₁K e V₂= a₂I + b₂J + c₂K

Produto Escalar: V₁ · V₂ = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂

Dois vectores são perpendiculares sse V₁ · V₂ = 0 Dois vectores são paralelos sse V₁ = kV₂

Produto Vectorial: V₁ x V₂ é um vector cujo módulo é

|V₁ x V₂| = | V₁ ||V₂ | sen (θθθθ) onde θ é o ângulo entre V₁ e V₂ V₁ x V₂ é um vector perpendicular quer a V₁ quer a V₂ e cuja direcção é definida pela regra da mano direita:

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos.. Introdução

Introdução

Definições ee NotaçõesNotações (cont(cont......))::

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos.. Introdução

Introdução

Definições

Definições ee Notações

Notações (cont

(cont...

...))::

Produto Vectorial (cont...):

Por definição: V₁ x V₂ = - (V₂ x V₁ )

De notar também que V x V = 0

Finalmente:

Se V₁=a₁I Se V₁=a₁I

Se V

=a

I+a

J+a

K e V

=b

I+b

J+b

K então

V

×

V

=

∥

I

J

K

a

a

a

b

b

b

∥

=

∥

a

a

b

b

∥

I+

∥

a

a

b

b

∥

J+

∥

a

a

b

b

∥

K

(

a

b

−

a

b

)

I+

(

a

b

−

a

b

)

J+

(

a

b

−

a

b

)

K

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos.. Introdução

Introdução

Como podemos determinar se um ponto P(x, y) está localizado à esquerda ou à direita de um segmento orientado definido pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂)?

Solução:

Sejam AB e AP dois vectores.

Por definição de produto vectorial:

Se P está a esquerda de AB então o vector AB x AP aponta segundo a

direcção do vector K, que é perpendicular ao plano xOy;

direcção do vector K, que é perpendicular ao plano xOy;

Se P está a direita de AB então o produto vectorial aponta segundo a

direcção –K

Sendo AB= (x₂-x₁)I + (y₂-y₁)J e AP = (x-x₁)I + (y –y₁)J

então AB x AP = [(x₂-x₁) (y-y₁) - (y₂-y₁) (x-x₁)]K

Sendo C = (x₂-x₁) (y-y₁) - (y₂-y₁) (x-x₁), então: Se C > 0, então P está à esquerda de AB

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos

Algoritmo de Sutherland-Hodgman

Seja P₁, P₂, . . ., P_N a lista de vértices do polígono a ser recortado.

Seja a aresta a, determinada pelos pontos extremos A e B, qualquer aresta da janela de recorte (orientada positivamente).

Recortamos cada uma das arestas do polígono em

A B C D P_i-1 P_i

Recortamos cada uma das arestas do polígono em função da aresta a do polígono de recorte, construindo assim um novo polígono cujos vértices são determinados como segue:

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos

Algoritmo de Sutherland

Algoritmo de Sutherland--Hodgman

Hodgman

1.

Transição

Interior-Interior:

(ambos os vértices estão contidos no

semi-plano interior da janela de

recorte)

recorte)

Se ambos

P

e

P

estão à esquerda

da aresta

a

, então o vértice

P

é

colocado na lista de vértices de saída

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos

Algoritmo

Algoritmo de

de Sutherland

Sutherland--Hodgman

Hodgman

2. Transição Exterior-Exterior:

(ambos

os

vértices

estão

contidos no semi-plano exterior

Se ambos

P

e

P

estão à direita

da aresta

a

, nada é colocado na

lista de vértice de saída

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos

Algoritmo

Algoritmo de

de Sutherland

Sutherland--Hodgman

Hodgman

3. Transição Interior-Exterior:

(quando ocorre uma transição do

semi-espaço

interior

para

o

exterior)

exterior)

Se

P

está a esquerda e

P

está à

direita da aresta

a

, é calculado o

ponto

de

intersecção

I

do

segmento da recta

P

P

com a

aresta

estendida

a

,

e

depois

colocado na lista de vértices de

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos

Algoritmo

Algoritmo de

de Sutherland

Sutherland--Hodgman

Hodgman

4. Transição Exterior

4. Transição Exterior--Interior:

Interior: (quando

ocorre uma transição do semi-espaço

exterior para o interior)

Se

P

está a direita e

P

está à esquerda

Se

P

está a direita e

P

está à esquerda

direita da aresta

a

, é calculado o ponto de

intersecção

I

do segmento da recta

P

P

com a aresta estendida

a

, e depois ambos

I

e

P

são colocados na lista de vértices de

saída

Transformações de Visualização 2D

Recorte

Recorte de

de Polígonos

Polígonos

Algoritmo

Algoritmo de

de Sutherland

Sutherland--Hodgman

Hodgman

O algoritmo de Sutherland-Hodgman processa-se por fases, em cada uma das quais o polígono recortado é novamente sujeito ao recorte de uma das arestas da janela.

Organigrama do Algoritmo:

O algoritmo começa por fazer entrada dos vértices de um polígono, O algoritmo começa por fazer entrada dos vértices de um polígono, um de cada vez.

Para cada vértice de entrada serão gerados zero, um o dois vértices de saída, dependendo da relação dos vértices de entrada com a aresta a de recorte (ver algoritmo).

Atenção: O processo inverso do clipping é denominado supressão – ocultação

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Algoritmo dede SutherlandSutherland--HodgmanHodgman (Exemplo(Exemplo 11))

A B C D P₁ P₂ A B C D P₁ P₂ P

.

.

.

.

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo

Transformações de Visualização 2D

Algoritmo