ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA PROGRAMAÇÃO DE SONDAS DE PRODUÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA E MATEMÁTICA APLICADA - DIMAp

PROGRAMA DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA PROGRAMAÇÃO DE SONDAS DE PRODUÇÃO

MÁRCIA BORCHARDT

Natal Junho - 2002

Márcia Borchardt

ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA

DA PROGRAMAÇÃO DE SONDAS DE PRODUÇÃO

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre, pelo curso de Pós-Graduação em Sistemas e Computação, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Área de concentração: Sistemas de Alto Desempenho

Orientador: Prof. Dr. Marco César Goldbarg

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Natal

2002

TERMO DE APROVAÇÃO

MÁRCIA BORCHARDT

ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA

DA PROGRAMAÇÃO DE SONDAS DE PRODUÇÃO

Dissertação aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação em Sistemas e Computação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pela seguinte banca examinadora:

_____________________________

Prof. Dr. Marco César Goldbarg - Orientador

Departamento de Informática e Matemática Aplicada, UFRN

_____________________________ Profª Drª Elizabeth Ferreira Gouvêa

Departamento de Informática e Matemática Aplicada, UFRN

_____________________________ Prof. Dr. Henrique Pacca L. Luna

À Vasco Velleda meu eterno amor

AGRADECIMENTOS

Em especial ao meu noivo Vasco Velleda pelo amor inabalável nos momentos de ausência; por todo apoio e incentivo para a realização deste trabalho.

Aos meus pais, Harald e Nelci, pelo apoio, dedicação e preocupação que sempre tiveram em todos os momentos de minha vida, e a toda minha família.

Ao PRH-ANP 22/00 – Programa de Recursos Humanos da Agência Nacional de Petróleo (ANP) para o setor petróleo e gás – cujo apoio financeiro tornou possível à realização do curso de pós-graduação.

Ao professor Marco César Goldbarg pela orientação para a realização deste trabalho.

Aos membros da banca, professores Henrique Pacca L. Luna e Elizabeth Ferreira Gouvêa, por avaliarem o trabalho.

SUMÁRIO RESUMO...vii ABSTRACT...viii 1 INTRODUÇÃO... 1 2 PROBLEMAS DE SEQUENCIAMENTO... 6 2.1 Introdução ... 6 2.2 Definição e Caracterização ... 7 2.3 Complexidade ... 10 2.4 Métodos de solução ... 11 3 SONDAS DE PRODUÇÃO... 17 3.1 Atividade de sondagem... 17

3.1.1 Breve visão elucidativa sobre completação e workover... 18

3.2 A importância do problema ... 20

3.3 Formulação e modelagem matemática do problema ... 22

4 ALGORITMOS GENÉTICOS... 32

4.1 Histórico... 32

4.2 Definição... 34

4.3 Terminologia... 35

4.4 Aplicação ... 37

4.5 Algoritmo Genético híbrido - memético... 38

4.6 Algoritmo Genético híbrido (memético) utilizado neste trabalho ... 41

4.6.1 Representação Genética... 45

4.6.2 Operadores Genéticos ... 46

4.6.3 Definição de vizinhança de busca... 50

5 TRANSGENÉTICA COMPUTACIONAL... 52

5.1 Evolução cultural e biológica ... 52

5.2 O paradigma intracelular e extracelular... 54

5.3 O processo evolucionário da Transgenética Computacional... 56

5.4 Agentes Transgenéticos ... 59

5.5 Algoritmos Transgenéticos ... 61

5.6 Pseudocódigo do algoritmo ProtoG_PSPT... 61

5.6.1 Construção do BM e da população inicial ... 63

6 RESULTADOS COMPUTACIONAIS... 68

6.1 Instâncias ... 68

6.2 Desempenho dos algoritmos... 69

6.3 Comparação de tempo de processamento... 73

7 CONCLUSÕES... 76

RESUMO

O problema que envolve a programação do atendimento da frota de sondas de produção de poços de petróleo, embora de difícil resolução, é de extrema importância econômica, técnica e ambiental. Uma formulação matemática deste problema é apresentada, onde uma abordagem algorítmica de solução é desenvolvida. O problema abordado pode ser considerado como um problema de sequenciamento em máquinas paralelas que é uma classe importante dos problemas de otimização combinatória. O objetivo da presente pesquisa é desenvolver uma abordagem algorítmica para resolvê-lo, utilizando os fundamentos do algoritmo transgenético Proto-Gene da metaheurística Transgenética Computacional. Em paralelo, é implementado um Algoritmo Genético híbrido – memético – que objetiva fornecer elementos para a comparação de desempenho entre as abordagens de solução. Instâncias são geradas para a realização dos testes computacionais para análise do desempenho das abordagens acima citadas.

Palavras-chave: Transgenética Computacional, Algoritmo Genético Híbrido, Sondas de Produção de poços de petróleo, Algoritmo Proto-Gene, problemas de sequenciamento.

ABSTRACT

The problem that involves the programming of the attendance of the fleet of workover rigs of oil wells, even so of difficult resolution, is of extreme economic importance, enviroment and technique. A mathematical formulation of this problem is presented, where an algorithmic boarding of solution is developed. The boarded problem can be considered as a schedule problem in parallel machines that are an important classroom of the combinatoiral optimization problems. The objective of the present research is to develop an algorithmic boarding to decide it, using the beddings of the Proto-Gene algorithm of the Computational Transgenetics metaheuristics. In parallel, it’s implemented a hybrid Genetic Algorithm – memétic – that objective to supply elements the comparison of performance it enters the solution boardings. Instances are generated for the accomplishment of the computational tests for analysis of the performance of the boardings above cited.

Keywords: Computational Transgenetics, Hybrid Genetic Algorithm, workover rigs of oil wells, Proto-Gene Algorithm, schedule problem.

1 INTRODUÇÃO

Modelos são artifícios utilizados para representar uma situação real. O uso de modelos ocorre devido à necessidade de uma melhor compreensão da realidade. O poder

de representatividade é a característica do modelo que o torna desejável (Goldbarg e

Luna, 2000). O elemento modelo é perceptível nas mais diferentes áreas: no telejornalismo através da simulação ou da recriação gráfica; engenharia civil com o uso de maquetes, o uso de gráficos na economia, na otimização combinatória com o uso dos modelos matemáticos.

O uso de modelos matemáticos fornece uma melhor compreensão da essência dos problemas de otimização, pois eles representam os objetivos que se pretende alcançar com a resolução do problema, as restrições (limitações) e as relações de interdependência existentes entre todos os componentes do problema (Jordan, 2001).

Um modelo matemático de um problema de otimização é representado por um sistema de equações (inequações) que descrevem a essência do problema. Este modelo determina um número n de decisões a serem tomadas, denominadas variáveis de decisão (x1, x2, ... , xn) inter-relacionadas por uma função matemática que representa a medida da

vantagem (desvantagem) associada à tomada de decisão. Esta função é denominada função objetivo. Qualquer restrição associada às variáveis de decisão pode ser representada por equações (inequações) matemáticas, sendo denominadas restrições do modelo. Também são definidos os parâmetros do modelo que são as constantes da função objetivo e das restrições.

Na formulação de um modelo matemático, deve haver a preocupação com a criação de um modelo que corresponda à realidade, de tal forma que a solução obtida através do modelo possa realmente ser aplicada. Muitas vezes a criação de um modelo não é necessária, visto que o problema pode ser representado por modelos já desenvolvidos. Neste caso formular matematicamente o problema nada mais é do que convertê-lo para algum modelo específico. Para o problema da programação das sondas de produção (PPSP), ainda não se criou uma formulação matemática, sendo um dos objetivos deste trabalho. Além da formulação matemática, é apresentado um estudo algorítmico para o PPSP.

O PPSP foi classificado como sendo um problema de sequenciamento (schedule problem) em máquinas paralelas e conforme Husbands e Mill (1994) é NP-árduo.

Com o desenvolvimento da Teoria da Complexidade Computacional (Campello e Maculan, 1994), os problemas passaram a serem classificados de acordo com a complexidade de seus algoritmos e aqueles denominados intratáveis são alvo de interesse de muitos pesquisadores, inclusive os da área de Otimização Combinatória, pois muitos problemas desta área pertencem a esta classe. Diga-se, dentro do atual contexto, um dos campos de conhecimento mais férteis, onde surge a cada dia novos problemas desafiando o pesquisador a descortinar esses novos horizontes em busca de métodos que conduzam a obter um melhor resultado.

Os problemas ditos intratáveis, a que se refere o parágrafo acima, são aqueles em que não existe algoritmo de complexidade polinomial que o resolva. Enquanto que para os problemas tratáveis tal algoritmo existe. Por outro lado, para verificar que um problema é intratável, há necessidade de se provar que todo possível algoritmo que o resolva não possui complexidade polinomial. Por exemplo, para o Problema do Caixeiro Viajante (PCV) (Buriol et al, 1999) cujo objetivo é fazer um percurso que visite todas as cidades passando uma vez por cada uma e retornando ao ponto inicial de partida, os algoritmos conhecidos até agora são todos exponenciais. Contudo, não é conhecida prova de que seja impossível a formulação de algoritmo polinomial para o problema (Szwacfiter, 1988).

Um problema tratável pode ser resolvido para entradas e saídas de tamanho razoável. Enquanto que, um algoritmo de complexidade não polinomial, de algum problema intratável, poderia em certos casos levar séculos para computar dados de entrada e saída de tamanhos reduzidos, tornando-o inviável (Rogia, 1998).

O PCV é um exemplo clássico de problema de otimização combinatória que não apresenta, até o presente momento, algoritmo de complexidade polinomial. Um PCV com 20 cidades, sendo que o número de soluções viáveis é n! (n = número de cidades) tem aproximadamente 2*1018 configurações a serem examinadas. Assumindo que 109 percursos por segundo pudessem ser enumerados, um computador possivelmente levará 78 anos para estabelecer o tour ótimo através da enumeração completa, e se n crescer em 1 unidade o tempo passa a ser em torno de 1642 anos. Esse aumento significativo do tempo quando a instância acresce em apenas uma unidade é chamado de explosão computacional (Campello e Maculan, 1994).

Através do PCV e de outros problemas clássicos citados na literatura, como por exemplo o Problema da Coloração de Grafos (Papadimitriou e Steiglitz, 1982), do Quadrático de Alocação (Gouvêa, 2001), percebe-se que o uso da enumeração completa é totalmente inviável devido à explosão computacional gerada. Isto vale também para problemas do mundo real que são um desafio e que tem peculiaridades inerentes a cada um. Desta forma, a real necessidade é criar estratégias de propósito geral que podem negociar com estas peculiaridades, explorando aspectos gerais dos problemas (Moscato, 1989).

As heurísticas, surgiram como métodos de solução mais abrangentes para os problemas clássicos e do mundo real considerados intratáveis, as quais tornaram-se uma importante área de pesquisa e aplicações. Pois, a existência de uma solução ótima, não é o principal foco de atenção, pelo contrário, é abandonado pelo método. Parece contraditório utilizar um algoritmo heurístico para solucionar a classe dos problemas intratáveis, visto que o ideal da solução ótima é abandonado, porém, os algoritmos heurísticos buscam o equilíbrio entre o desempenho computacional e a qualidade da solução. Goldbarg e Luna (2000) definem uma heurística como sendo uma técnica que busca alcançar uma boa solução utilizando um esforço computacional considerado razoável.

Várias estratégias vieram somar-se às heurísticas gerando técnicas denominadas de metaheurísticas. Não existe, segundo Gouvêa (2001), uma formalização literária para o termo metaheurística, embora torna-se cada vez mais aceito no que se refere a uma grande estratégia para o desenho de algoritmos heurísticos.

As pesquisas da grande parte das metaheurísticas têm se caracterizado pela busca de modelos inspirados na natureza. Por exemplo, a fisiologia do sistema nervoso central e o processo de evolução das espécies, forneceram inspiração para o desenvolvimento de novas metaheurísticas chamadas de redes neurais artificiais (Haykin, 1999) e Algoritmos Genéticos (Whitley, 1993), respectivamente.

Devido ao fato do PPSP ser um problema generalizado de scheduling, um conhecido problema NP-árduo, o uso da abordagem heurística se faz necessário. São utilizadas duas heurísticas para a resolução deste problema: o algoritmo transgenético Proto-Gene (ProtoG) da metaheurística Transgenética Computacional e o Algoritmo Genético híbrido (AGh) – memético – que objetiva fornecer elementos para a comparação de desempenho entre as abordagens de solução

A proposta do presente trabalho é apresentar algoritmos evolucionários para solucionar o PPSP. Também são visados outros objetivos mais específicos, entre eles:

1. Definir o problema: de acordo com Goldbarg e Luna (2000), a definição do problema é uma das fases mais importantes do processo e compreende a clara percepção do desafio colocado;

2. Fazer a coleta e análise de requisitos que englobam o problema para formular o modelo matemático;

3. Formular o modelo matemático do problema através das variáveis de decisão, função(s) objetivo(s), restrições;

4. Construir um Gerador aleatório de Instâncias para obter instâncias utilizadas como dados de entrada para os algoritmos evolucionários implementados;

5. Implementar um algoritmo ProtoG para solucionar o problema;

6. Implementar um AGh para solucionar o problema a fim de criar uma base de comparação de desempenho computacional;

7. Comparar a qualidade das soluções obtidas pelo ProtoG e AGh e avaliar os seus desempenhos.

O texto está estruturado em 7 capítulos. O Capítulo 2 trata da classe dos problemas de sequenciamento. São apresentados os principais elementos que caracterizam um problema de sequenciamento: a configuração da(s) máquina(s), das tarefas e a função objetivo. Este capítulo faz uma descrição geral do funcionamento dos principais métodos de solução empregados nesta classe de problemas: Branch e Bound, Busca Tabu, Simulated Annealing, Algoritmos Genéticos e Algoritmos Genéticos híbridos; suas vantagens e desvantagens.

O Capítulo 3 apresenta o PPSP. São abordados tópicos referentes à importância do problema e à descrição da atividade de sondagem. Este capítulo apresenta uma descrição formal do problema, a partir da qual um modelo matemático é apresentado.

O capítulo 4 destina-se à descrição dos Algoritmos Genéticos, enfocando suas características, terminologia e funcionamento. Os AGh também são descritos neste capítulo e considerações a respeito da busca local por eles utilizada são feitas. Um pseudocódigo do AGh implementando para solucionar o problema da programação das sondas é apresentado com a descrição da representação genética, operadores genéticos e a busca local.

A metaheurística Transgenética Computacional (TC) é apresentada no capítulo 5, com a descrição do funcionamento do processo evolucionário que utiliza a informação para guiar a busca da melhor solução. Aspectos referentes aos paradigmas do fluxo intracelular, extracelular, evolução cultural e biológica são descritos, visto que esta metaheurística utiliza os fundamentos dos paradigmas para desenvolver seus algoritmos. São apresentadas as características do algoritmo transgenético ProtoG e a descrição do pseudocódigo utilizado na implementação para solucionar o PPSP.

No capítulo 6 são apresentados os resultados computacionais obtidos, incluindo a comparação e análise dos resultados dos algoritmos evolucionários implementados.

Finalmente, o capítulo 7, traz as conclusões finais e as sugestões para trabalhos futuros.

2 PROBLEMAS DE SEQUENCIAMENTO

Neste capítulo são apresentados os problemas de sequenciamento e os métodos mais empregados para solucionar estes problemas. Na seção 2.1 é feita uma breve descrição do escalonamento das atividades nas empresas, demonstrando a importância prática destes problemas e a necessidade de soluções de boa qualidade. Na seção 2.2, são definidos os problemas de sequenciamento e apresentadas as características dos seus elementos (tarefas, máquinas e outros parâmetros). A dificuldade de resolução dos problemas de sequenciamento é apresentada na seção 2.3. Os métodos de solução mais utilizados são descritos na seção 2.4 juntamente com as suas vantagens e desvantagens.

2.1 Introdução

Sequenciamento ou escalonamento são formas de tomada de decisão que possuem um papel crucial nas empresas. No atual ambiente competitivo, o efetivo escalonamento se tornou uma necessidade para a sobrevivência no mercado. Companhias devem esforçar-se ao máximo para cumprir as datas firmadas, o fracasso deste comprometimento pode resultar em uma perda significativa da imagem da empresa perante os clientes.

Em sistemas produtivos, o escalonamento das atividades ou scheduling é uma das atividades que compõem o planejamento da produção, onde são levados em consideração uma série de elementos que disputam vários recursos por um período de tempo, recursos esses que possuem capacidade limitada (Cury, 1999). Os elementos a serem processados são chamados de ordens de fabricação ou jobs e são compostos de partes elementares chamadas de atividades ou operações. Os principais objetivos no escalonamento das atividades podem ser: o atendimento de prazos, datas de entrega, na minimização do tempo de fluxo dos estoques intermediários, na maximização da utilização da capacidade disponível, dentre outros.

Em sistemas produtivos, as ordens de produção são envidas para a linha de produção com as respectivas datas de entrega e planos de processo (inclui informação das seqüências de produção, que máquinas utilizar, tempos de processamento, etc.). Essas ordens têm de ser processadas nas seqüências previstas. O processamento das ordens muitas vezes atrasa devido a ocorrência de problemas inesperados como a falha em alguma

das máquinas, o que pode por em causa o cumprimento dos programas. Outros problemas como tempos de processamento maiores do que o previsto podem produzir atrasos. Se os materiais necessários não estiverem disponíveis no momento previsto atrasos podem ocorrer, causando prejuízo à empresa.

Devido à importância econômica que os problemas de sequenciamento práticos apresentam, a comunidade acadêmica e científica tem mostrado interesse por esses problemas. Esta classe de problemas, embora de relativa simplicidade em termos de visualização do que é requerido, apresenta extrema dificuldade em termos de encontrar a solução ótima para os problemas mais comuns. Os problemas de sequenciamento, na esmagadora maioria, são, por natureza, muito complexos e com resolução muito difícil, em termos da solução ótima exata (Carvalho, 2000).

2.2 Definição e Caracterização

De uma maneira bem geral, pode-se definir um problema de sequenciamento como sendo aquele em que se tem um conjunto de tarefas que serão executadas em processadores obedecendo a certas restrições com o objetivo de otimizar algum critério.

Os principais elementos que caracterizam um problema de sequenciamento determinístico são a configuração da(s) máquina(s), das tarefas e a função objetivo (Mendes, 1999).

A configuração das máquinas serve para classificar o problema como sendo de máquina simples ou múltiplas máquinas. Quando se têm múltiplas máquinas elas podem ser: idênticas - todas as máquinas têm a mesma velocidade e o tempo de processamento de uma tarefa é idêntico para qualquer máquina; uniformes – as máquinas têm diferentes velocidades e o tempo de processamento da tarefa pode diferir devido ao fator velocidade; não relacionadas – o tempo de processamento da tarefa na máquina é um valor arbitrário e não tem uma característica especial.

Em relação à configuração das tarefas, elas podem estar relacionadas com várias operações ou não. De acordo com Williamsom et al.(1997), na classe de problemas

shop scheduling cada tarefa consiste de várias operações. Os problemas desta classe podem

ser do tipo open shop, job shop e flow shop. Em um open shop, as operações de cada tarefa podem ser processadas em qualquer ordem. No job shop, as operações de cada tarefa precisam ser processadas em uma ordem específica para a tarefa. O flow shop é um job

operação k é realizada em uma máquina de numeração mais alta que a operação j, se j precede k.

Quase todos os problemas práticos de sequenciamento podem ser descritos em termos do problema de job-shop scheduling, o mais difícil e abrangente de todos os problemas de sequenciamento (Husbands e Mill, 1994).

Conforme Husbands e Mill (1994) e Vaessens et al. (1994), uma definição formal para um problema de job shop pode ser a seguinte: dado um conjunto J de n tarefas, um conjunto M de m máquinas e um conjunto O de k operações. Para cada operação p ε O há uma tarefa jp ε J para a qual a operação pertence e uma máquina mp ε M na qual ela será processada num tempo tp ε N. Há também uma relação de ordem (→) em O que decompõem o conjunto em um fluxo parcial de ordem das tarefas. Se x → y (a operação x é processa antes de y), então jx = jy, e não tem uma operação z, diferente de x e y, tal que

x → z ou z → y. Usando como função objetivo minimizar o makespan, isto é, o tempo

decorrido para terminar o processamento de todas as tarefas, o problema é encontrar o tempo de inicio sp para cada operação p ε O tal que:

Minimizar: Maxp ε O (sp + tp) Sujeito a: tp ≥ 0, ∀p ε O

sx - sy ≥ ty, se y → x, x, y ε O

(si - sj ≥ tj) ⋁ (sj - si ≥ ti), se mi = mj, i,j ε O

Esta é uma definição de um problema de job-shop scheduling determinístico, onde todos os tempos de processamento são conhecidos e não há restrições de quando as tarefas poderão ser executadas. Há outras formulações para problemas de sequenciamento (Chen e Powell, 1998). Um problema pode ser dinâmico com a inclusão de novas tarefas, problemas nas máquinas ou mudança de prioridade das tarefas podem ocorrer, entre outros. Os problemas de sequenciamento estão relacionados com parâmetros, dente eles: deadlines (prazo de entrega da tarefa), release date (tempo de liberação da tarefa para ser processada) – ambas são consideradas restrições – , tempo de preparação da máquina dependente da seqüência das tarefas, due date (prazo de entrega), tails (período de tempo que a tarefa, após ser processada em alguma máquina, precisa para ser completada - por exemplo: transporte até o cliente), relação de precedência entre tarefas e valores atribuídos às tarefas.

Na literatura, há distinção entre deadlines e due date pelo fato que deadlines não pode ser violado (Sourd e Nuijten, 2001). Due data geralmente está associado com o critério de otimizar o número de tarefas atrasadas enquanto que deadlines é uma restrição imposta às tarefas. Uma tarefa pode estar associada com due date e deadline, tal que ela pode ser terminada após a due date e antes do deadline.

Quando no problema, as tarefas estão associadas com deadlines e due date, o critério de otimização é minimizar os tempos das tarefas atrasadas. Quando deadlines e

tails fazem parte de um problema, o critério de otimização é minimizar o tempo de término

da última tarefa. Sourd e Nuijten (2001) e Lancia (2000) demonstram que, se um problema de sequenciamento, ao invés de estar relacionado com tails, está com due date são equivalentes.

As funções objetivos podem ser: a minimização do makespan (tempo de finalização da última tarefa), número de tarefas atrasadas, tempo de atraso máximo da seqüência, atraso médio ou ainda, uma combinação de funções objetivos, dando origem a um problema multi-critério (Mendes,1999).

O trabalho de Rogia (1998) combina duas funções objetivos para um problema de sequenciamento cíclico de tarefas em processadores paralelos idênticos. Uma delas é minimizar o tempo de finalização dos processadores e a outra é fazer com que estes tempos sejam os mais próximos possíveis, a fim de deixar os processadores menos ociosos.

Atualmente pode-se encontrar na literatura um grande número de problemas de sequenciamento que diferem um do outro devido à combinação do tipo de máquina, as características das tarefas e a função objetivo (Mendes, 1999; França et al., 1999; Chen e Powell, 1998; Sourd e Nuijten, 2001; Epstein et al., 2001; Cury, 1999).

O problema de programar o atendimento da frota de sondas de produção (PPSP), apesar de ter sido considerado como sendo da categoria dos problemas de sequenciamento, apresenta características que o difere dos problemas típicos desta categoria.

A primeira diferença é a caracterização do PPSP, onde as sondas (máquinas) se deslocam até os poços (tarefas), o que nos problemas de sequenciamento acontece ao contrário.

Outra diferença é o critério de otimalidade, que nos problemas clássicos onde as tarefas estão associadas a release date e due date o objetivo é minimizar o número de

tarefas atrasadas. Como os poços não estão relacionados com due date não faz sentido minimizar o número de poços atrasados.

Embora o PPSP relacione os poços com release date, pois cada poço tem uma data a partir da qual ele poderá sofrer a sondagem, o critério de otimização não pode ser minimizar o makespan. Não faz sentido otimizar o makespan porque já existe um horizonte de tempo definido que pode ser considerado como um deadline idêntico para todos os poços e não é objetivo minimizá-lo.

Como os poços estão relacionados com um valor de produção que é um fator extremamente importante a ser considerado na resolução do problema. Qualquer que seja o critério de otimização adotado para o problema, deve considerar este fator de produção.

2.3 Complexidade

Os problemas de sequenciamento são uma classe importante dos problemas de otimização combinatória e em geral são NP-difíceis (Husbands e Mill, 1994) portanto não há algoritmo que os resolva em um período de tempo que seja uma função polinomial do número de variáveis de entrada (Papadimitriou e Steiglitz, 1982). Logo, encontrar uma solução que tenha a melhor seqüência de poços para cada sonda da frota é uma tarefa muito difícil.

O caso mais simples de problema de sequenciamento é aquele que considera apenas uma máquina onde as operações estão relacionadas com tempo de processamento e data de entrega, com o objetivo de minimizar o atraso total. Conforme Mendes (1999), este problema pertence à classe dos NP-Completo.

O problema de sequenciamento torna-se mais complexo quando envolve mais de uma máquina, sendo que o número de soluções possíveis é (n!)m (Jain e Meeran, 1999). O Quadro 1 mostra a variação do número de soluções possíveis à medida que varia o número de máquinas e/ou de tarefas.

número de tarefas - n número de máquinas – m número de soluções

5 1 120

5 3 1,7 milhões

6 3 373 milhões

10 10 3,96*1065

Quadro 1 – Relação entre o tamanho do problema e esforço computacional

Como pode ser observado, o número de soluções aumenta extraordinariamente mesmo para um pequeno aumento no número de tarefas e/ou de máquinas, impossibilitando a enumeração completa de todas as soluções para encontrar a solução ótima. Isto demonstra que há necessidade de métodos que encontrem soluções de boa qualidade, inclusive a ótima, desconsiderando a enumeração completa.

2.4 Métodos de solução

O atual estado da arte sugere fortemente que a abordagem exata encontrará limitações dificilmente superáveis pela tecnologia computacional atual para o tratamento dos problemas NP-árduos cujas instâncias (dados específicos que constituem uma entrada para o problema) sejam complexas ou de grande porte.

Apesar da dificuldade dos métodos exatos devido à natureza exponencial, uma estratégia enumerativa denominada de Branch and Bound (BB) (Chen e Powell, 1998; Cury, 1999) tem sido utilizada para resolver problemas de sequenciamento. O método baseia-se na idéia de desenvolver uma enumeração inteligente dos pontos candidatos à solução ótima inteira de um problema (Goldbarg e Luna, 2000).

O método BB busca por uma solução ótima através do exame de somente uma pequena parte do número total de possíveis soluções. Ele trabalha quebrando o espaço de soluções viáveis em subproblemas menores até que uma solução ótima seja alcançada.

Na técnica BB, uma árvore construída dinamicamente representa o espaço de soluções onde ocorre a busca da melhor solução. Para construir a árvore, é necessário desenvolver duas tarefas (Papadimitriou e Steiglitz., 1982): branching (ramificação)– um conjunto de soluções é representado por nodos, podendo ser particionado em conjuntos mutuamente exclusivos. Cada subconjunto no particionamento é representado por um filho do nodo original; lower bounding (limitação inferior) – um algoritmo está disponível para

avaliar e calcular o limite inferior para alguma solução no subconjunto. Esta técnica é baseada em procedimentos e regras para permitir que grande parte da árvore seja removida da busca e os grupos de pesquisa tem dado ênfase na construção de melhores estratégias de branching e bounding e a geração de regras mais poderosas para remover grande parte dos nodos da árvore no estágio de busca.

O trabalho de Lancia (2000) constrói, através de uma heurística, uma solução e aplica a técnica de BB para resolver um problema de sequenciamento de tarefas com tempo de liberação e tails em duas máquinas paralelas não relacionadas para minimizar o

makespan. Conforme o autor, a regra de branching pode tornar-se extremamente

ineficiente se o número de máquinas for maior do que dois. Já o trabalho de Cury (1999) associa lógica difusa com BB para problemas flow-shop. De acordo com Jain e Meeran (1999), o método BB é capaz de produzir soluções de qualidade, porém para instâncias de grande porte, a árvore gerada fica muito grande e overflow da memória pode ocorrer. A abundância de variáveis inteiras e o número de restrições na formulação, bem como a natureza exponencial do algoritmo branch and bound, tem impedido o desenvolvimento de procedimentos para problemas de grande porte (Ichihara, 1998)

Devido às limitações gerais das técnicas de enumeração exata, os métodos aproximativos tornaram-se uma alternativa viável para solucionar os problemas de sequenciamento (Jain e Meeran, 1999).

Uma regra de prioridade – pdrs (do inglês: priority dispatch rules) é método aproximativo que estabelece prioridades para todas as operações e vai escolhendo as operações de mais alta prioridade para determinar as seqüências do processamento nas máquinas (Jones e Rabelo, 1998). A determinação da prioridade pode estar relacionada com atributos das tarefas, atributos das máquinas, ou também relacionada com o tempo atual.

As regras de prioridade podem ser estáticas ou dinâmicas (Carvalho, 2000). As regras de prioridade estáticas são aquelas cujo valor da prioridade é independente do instante de tempo atual, por exemplo, a regra SPT (Shortest Processing Time), em que a tarefa com menor tempo de processamento é a que tem maior prioridade, é uma regra estática pois o tempo de processamento não varia com o tempo. As regras dinâmicas são regras cujo valor de prioridade varia com o tempo. A regra denominada de “Folga para processamento” que controla o tempo que ainda há para processamento até data de entrega. O valor desta regra varia continuamente com o tempo, por isso é uma regra dinâmica.

Outra forma de classificação tem a ver com o tipo de informação em que se baseia a regra: as regras locais apenas consideram a informação relativa à fila de espera das tarefas enquanto que, as regras globais consideram as informações de todo o sistema produtivo.

Muitas regras de prioridade podem ser encontradas na literatura e com o intuito de dar alguns exemplos do funcionamento são descritas algumas delas, citadas em Carvalho (2000):

¾ RANDOM (Random): as tarefas são seqüenciadas para serem executadas nas máquinas num processo aleatório. Não há objetivo nenhum em otimizar qualquer medida de desempenho;

¾ EDD (Earliest Due Date): as tarefas são ordenadas numa fila em ordem não decrescente de data de entrega. As tarefas são selecionadas segundo a ordenação da fila, onde a tarefas com a data de entrega menor tem maior prioridade. Esta regra tende a minimizar o atraso máximo entre as tarefas da fila de espera;

¾ SPT (Shortest Processing Time): quando uma máquina fica livre, de todas as tarefas da fila de espera, é selecionada para processamento aquela com menor tempo de processamento nessa máquina. Em problemas com uma máquina, esta regra garante o menor tempo de percurso médio;

¾ FCFS (First Come First Served): quando uma máquina fica livre, de todas as tarefas da fila de espera, é selecionada para processamento aquela que mais cedo chegou à fila. Esta regra garante que nenhuma tarefa fique eternamente na fila de espera.

As pdrs são muito simples de serem implementadas e tem baixo custo computacional, contudo o sucesso na solução de um problema vai depender da natureza das regras utilizadas e a qualidade da solução cai quando o tamanho do problema aumenta (Jain e Meeram, 1999). O problema de escolher a melhor regra como uma medida de desempenho é uma área ativa de pesquisa (Jones e Rabelo, 1998).

Assim como os métodos aproximativos, as heurísticas tornaram-se uma alternativa viável para solucionar os problemas de sequenciamento.

A heurística Simulated Anneling (SA) (Cunha, 1999) desenvolve seus algoritmos baseada na metáfora do resfriamento gradual, ou recozimento, processo esse que, nos metais, leva a formação de configurações cristalográficas mais estáveis, ou seja, com mais baixo nível de energia retida, decorrendo das propriedades físicas dos metais.

O algoritmo cria um espaço de soluções de um problema matemático como um substrato de cristalização de partículas materiais. Na medida em que a temperatura do material que está sendo tratado termicamente vai diminuindo, as partículas vão se agregando em configurações coerentes com a energia correspondente à temperatura do material. Com um decréscimo lento de temperatura, os átomos podem se acomodar de forma ótima, o que minimiza a energia retida dentro da configuração da estrutura molecular do material. Com um decréscimo rápido algumas configurações são cristalizadas em posição de maior energia, sem terem tempo de se estruturarem em um nível inferior de energia.

De acordo com Jain e Meeran (1999), SA é incapaz de alcançar de modo rápido soluções de boa qualidade para os problemas job-shop scheduling. Por isso a heurística tem sido utilizada com outros métodos para melhorar os resultados e reduzir o tempo computacional. Yamada e Nakano (1996) utiliza SA combinada com busca local determinística para problemas job-shop, obtendo soluções iguais e até superiores nos testes realizados para problemas encontrados na literatura, porém foi necessário bastante tempo computacional.

A Busca Tabu também tem sido utilizada na resolução de problemas de sequenciamento (Rogia, 1998). Ela é uma metaheurística que explora o espaço de soluções mantendo um histórico do processo de busca para evitar possíveis retornos a soluções já visitadas. Este histórico é chamado de lista tabu. A busca é restringida por uma estratégia de proibição, cuja função é controlar e atualizar a lista tabu, com o objetivo de evitar que seqüências de soluções sejam repetidas, até um número pré-determinado de interações, e com isto induzir a exploração de novas regiões (Glover, 1997). A Busca Tabu é uma abordagem inteligente para guiar o processo de busca (Jain e Meeran, 1999), porém o sucesso da busca vai depender dos parâmetros utilizados para intensificar a busca em novas configurações ou diversificar a busca em regiões que não foram exploradas no espaço de soluções. O tamanho da lista tabu também é um parâmetro que influencia para guiar o processo de busca.

Outra heurística utilizada para resolver problemas de sequenciamento são os Algoritmos Genéticos (AG’s) (Whitley, 1993) que é uma técnica, baseada numa população, que busca ao longo de várias gerações indivíduos mais aptos. Estes indivíduos são levados ao longo de várias gerações, evoluindo de acordo com os princípios de seleção natural e sobrevivência dos mais aptos.

O princípio básico de um AG consiste em selecionar bons indivíduos – soluções do problema – para reprodução e cruzá-los com o propósito de obter soluções melhores que os pais. Os novos indivíduos gerados tendem a ocupar o lugar dos indivíduos menos adaptados da população, melhorando a adaptabilidade da população como um todo. Os novos indivíduos podem também sofrer mutação que introduz e mantém a diversidade genética da população.

Os operadores genéticos interferem no sucesso dos AG’s e simples operadores de cruzamento podem gerar novos indivíduos inviáveis (Husbands e Mill, 1994), principalmente quando há relação de precedência entre tarefas. A geração de indivíduos inviáveis causa perda de eficiência desses algoritmos.

Os trabalhos iniciais para os problemas de sequenciamento usando os AG’s eram muito específicos, portanto não podiam ser utilizados em outros problemas de sequenciamento. Apesar de terem alcançado sucesso, eles não foram difundidos por apresentarem características específicas. Em Husbands e Mill (1994), há uma descrição geral destes trabalhos e também de trabalhos recentes para os problemas job-shop

scheduling com uma análise da qualidade da solução alcançada e do esforço

computacional.

Os AG’s convencionais são muito pobres (Jain e Meeran, 1999) e o seu uso pode estar associado com técnicas de busca local. Formando assim os Algoritmos Genéticos híbridos (AGh), os chamados Algoritmos Meméticos (Moscato, 1989; Mendes, 1999; Buriol et al., 1999), que repontam resultados significativamente superiores, superando várias deficiências dos AG clássicos (Radcliffe e Surry, 1994).

A qualidade da solução obtida através do uso da busca local associada ao AG vai depender dos parâmetros utilizados para se fazer a busca e de acordo com Johnson et al. (1989)1, citado por Jain e Meeran (1999), esta técnica é mais uma arte assim como as escolhas dos parâmetros não pode ser de modo trivial. Visando comparar a proposta do presente trabalho com a melhor disponibilidade no contexto evolucionário, será usado um AGh (memético) na resolução do PPSP. No capítulo 4 é feita uma apresentação mais detalhada dos AGh.

1 _{JOHNSON, D. S., C. R., M’GEOCH, L. A., SCHEVON, C., 1989, “Optimization by Simuletead} Annealing: An experimental evaluation; Part I, graph partitionin”, Operations Research 376, Nov-Dec, 865-892.

A metaheurística Transgenética Computacional (TC) para problemas de sequenciamento está sendo utilizada pela primeira vez. Em outros problemas de otimização como: o problema quadrático de alocação (Gouvêa, 2001; Gouvêa e Goldbarg, 2001), coloração em grafos (Gouvêa, 2001; Goldbarg et al., 2001a), problema de roteamento de veículos (Goldbarg et al., 2001b) ela tem demonstrado eficácia para encontrar soluções de boa qualidade. O capítulo 5 descreve detalhadamente a TC.

Os trabalhos de Jain e Meeran (1999), Jones e Rabelo (1998) apresentam uma descrição dos métodos utilizados desde o surgimento dos problemas de sequenciamento até os dias atuais. A busca por novos métodos de solução e o aprimoramento dos métodos existentes é uma constante para estes problemas. Isto se deve porque problemas de sequenciamento práticos são numerosos e variados e apresentam duas importantes características (Husbands e Mill, 1994): são de difícil resolução e soluções de boa qualidade trazem benefícios reais.

3 SONDAS DE PRODUÇÃO

Este capítulo apresenta o problema que consiste na programação da frota de sondas de produção de poços de petróleo (PPSP). As seções 3.1 e 3.1.1 resumem o emprego das sondas e as operações realizadas pelas mesmas em poços terrestres de produção, respectivamente. A seção 3.2 apresenta a importância do problema sob o ponto de vista econômico, técnico e ambiental. Uma descrição formal do problema é descrita na seção 3.3 juntamente com a formulação matemática proposta. Tendo em vista que o problema já foi abordado, a seção 3.3 também descreve o modelo de solução proposto por Paiva et al. (2000), apresentando as diferenças entre as abordagens.

3.1 Atividade de sondagem

O petróleo é usado desde os primórdios da civilização, porém a perfuração do primeiro poço petrolífero ocorreu nos Estados Unidos e seu autor foi Edwin L. Drake que após meses no trabalho de perfuração, encontra o petróleo em 27/08/1859. No Brasil, a primeira sondagem ocorreu entre os anos de 1892 e 1896, no entanto o primeiro poço viável comercialmente foi descoberto em 1941 na Bacia do Recôncavo Baiano e, desde então, os investimentos e as novas buscas por jazidas de petróleo no país não pararam de crescer. Até o final da década de 70, o foco dos investimentos foi o desenvolvimento do segmento de refino e transporte. Com o segmento do abastecimento implantado e em resposta aos seguidos ‘choques do petróleo’ da década de 70, começaram a ser empreendidos maiores esforços na exploração de petróleo e gás, especialmente na área

offshore. Atualmente, se os novos campos brasileiros que estão sendo desbravados se

revelarem produtivos, a produção petróleo/gás vai aumentar de 1,3 milhões de barris dias para 2,1 milhões em 2005, um crescimento de 61% (Caixeta, 2001). Este aumento, se ocorrer, é muito significativo para o país, pois uma súbita alta no preço do petróleo deixaria de ser uma ameaça para a economia.

Desde o momento em que o petróleo foi descoberto comercialmente, muitas áreas da ciência aplicam pesquisa e estudo no setor petrolífero. Se no princípio Drake enfrentou diversas dificuldades técnicas para encontrar o petróleo, hoje a perfuração de poços sucede o estudo da Geologia e da Geofísica que investigam a localização das jazidas; esta fase é denominada de exploração. Após a atividade de exploração, inicia a de

perfuração que comprova a existência do petróleo e avalia a condição ou não de ser comercialmente viável. Caso seja, tem-se um campo de petróleo e começa a fase de produção na qual atuam as sondas de produção.

As sondas de produção são equipamentos com características físicas e complexidade tecnológica muito diversas que realizam operações de completação e

workover. Estas operações são de extrema importância, pois permitem condicionar os

poços para a produção ou até mesmo melhorá-la e são descritas, a seguir, de forma breve e sucinta.

Figura 1 − Sonda de Produção

a) Terrestre b) Marítima 3.1.1 Breve visão elucidativa sobre completação e workover

Não menos importante que a descoberta do poço, são as operações de

completação e workover. Estas atividades demandam um esforço tecnológico e de mão de

obra especializada, que a cada dia vem se tornando mais exigente, tendo em vista o mundo atual e sua dependência do petróleo/gás, o petróleo/gás e o custo que demanda a sua produção que sendo quase que em sua totalidade, avaliado em dólar, em um mundo a cada dia mais globalizado, sofre ou se beneficia com a ciranda do mercado financeiro.

Ao término da perfuração de um poço, é necessário deixá-lo em condições de operar, de forma segura e econômica, durante toda a sua vida produtiva. Ao conjunto de operações destinadas a equipar o poço para produzir óleo ou gás (ou ainda injetar fluidos nos reservatórios) denomina-se completação e nesta são envolvidas técnicas de isolamento

das zonas produtoras e testes de vazão e pressão do poço, condicionando-o e equipando-o de forma a deixá-lo em condições adequadas de produtividade.

Quanto aos aspectos técnico e operacional, deve-se buscar otimizar a vazão de produção e tornar a completação a mais permanente possível, ou seja, aquela que minimize a necessidade de intervenções futuras para a manutenção do poço (Thomas, 2001).

Considerando que a completação influencia em toda a vida produtiva do poço e envolve altos custos, faz-se necessário um planejamento criterioso das operações e uma análise econômica cuidadosa para evitar perdas dos investimentos.

Primeiramente são instalados na superfície os equipamentos que garantem a segurança necessária para acessar o interior do poço e para a execução das fases seguintes. Em seguida, procede a fase de condicionamento do revestimento de produção e a substituição do fluido que se encontra no interior do poço por um fluido de completação.

Após o condicionamento do revestimento de produção, é necessário avaliar a qualidade da cimentação. A cimentação tem a função primordial de promover vedação hidráulica entre os diversos intervalos permeáveis, ou até mesmo dentro de um mesmo intervalo, impedindo a migração de fluidos por trás do revestimento, bem como propiciar suporte mecânico ao revestimento. Caso seja comprovada deficiência na vedação hidráulica, correções são feitas. Defeitos na vedação hidráulica podem gerar diversos problemas, tais como: produção de fluidos indesejáveis devido à proximidade dos contatos óleo/água ou gás/óleo, prejuízo no controle dos reservatórios e operações de estimulação mal sucedidas, com possibilidade até mesmo de perda do poço.

A operação seguinte é o canhoneio: um canhão especial desce pelo interior do revestimento e, acionado da superfície, provoca perfurações no aço e no cimento, abrindo furos nas zonas portadoras de óleo ou gás e permitindo o escoamento desses fluidos para o interior do poço. Após se ter o acesso as zonas produtoras, é instalada a coluna de produção.

A coluna de produção tem por finalidades básicas conduzir os fluidos até a superfície, protegendo o revestimento contra fluidos agressivos e pressões elevadas; permitir a instalação de equipamentos para a elevação artificial e possibilitar a circulação de fluidos para o amortecimento do poço em intervenções futuras. Dependendo do potencial produtor do reservatório, vinculado às propriedades petrofísicas da rocha e das propriedades dos fluidos do reservatório, há necessidade da utilização de técnicas de

estimulação química (acidificação), mecânica (fraturamento hidráulico) ou químico-mecânica, para aumentar a produtividade do poço.

Após a fase completação, inicia-se a de produção onde o óleo/gás pode vir à superfície espontaneamente, impelido pela pressão interna dos gases. Nesses casos, temos os chamados poços surgentes e instala-se um conjunto de válvulas conhecido como árvore-de-natal para controlar a produção. Quando isso não ocorre, é preciso usar equipamentos para promover a elevação artificial dos fluidos. O bombeio mecânico é feito por meio do cavalo-de-pau, montado na cabeça do poço, que aciona uma bomba colocada no seu interior. Existem ainda os bombeios hidráulicos, centrífugos e a injeção de gás, com o mesmo objetivo.

Ao longo da vida produtiva do poço, é necessário realizar operações que visam manter a produtividade do poço ou até mesmo melhorá-la, sendo denominadas de

workover. Uma série possível destas operações podem ser realizadas por cabo. Também há

necessidade de intervenção com as sondas de produção para realizar certas operações quando não se pode utilizar cabo.

As sondas de produção realizam intervenções para: restaurar danos mecânicos devido a falhas na coluna de produção ou revestimento; limpar o revestimento do poço; estimular a produção através de alguma técnica específica; reduzir a produção excessiva de água ou gás; alterar a forma pela qual o óleo vem até a superfície quando a pressão interna fica reduzida ou substituir a que está com defeito.

As intervenções de workover costumam ser classificadas como: avaliação, recompletação, restauração, estimulação e mudança do método de elevação e abandono do poço (Thomas, 2001).

3.2 A importância do problema

O PPSP é definido em um campo de petróleo, onde se tem uma frota de sondas que estão disponíveis para realizar intervenção num conjunto de poços que diminuíram a produção ou que não estão produzindo. No entanto, a frota não consegue atender a demanda dos poços, logo há poços que ficam aguardando por sondas.

Para atender à demanda dos poços, há uma frota de sondas disponíveis para o uso que são de domínio da empresa ou que foram contratadas, por um período de tempo maior, através de uma perspectiva orçamentária baseada num plano de metas; também há possibilidade de alocação de novas sondas para atender à demanda, porém a relação entre o

custo do aluguel (custo) e o ganho na produção (benefício) deve ser muito bem analisada, pois pode haver um aumento significativo na produção entretanto, este ganho pode não compensar o custo do aluguel das sondas. Sendo que o custo diário das sondas varia muito, ao longo do tempo, em função das condições de mercado ditadas principalmente pelo preço do barril de petróleo e também em função do seu tipo ou categoria.

O PPSP é extremamente importante, não só pelo fator econômico mas também técnico e ambiental. Do ponto de vista econômico, o problema está fortemente ligado à produção de petróleo e produzir petróleo, num mundo globalizado, significa produção de capital e divisas. Além do mais, o poder de atratividade exercido pelo ouro negro estimula a aplicação de outros investimentos paralelos.

O petróleo também tem um papel importante na economia mundial, por vezes até chamado de ouro negro, pois o seu valor monetário é elevado. Isto se deve ao fato da imensa utilização do mesmo pois, além de produzir combustível e energia, serve como matéria-prima para centenas de produtos, entre eles: plásticos, borrachas sintéticas, tintas, corantes, detergentes, cosméticos, etc.

Apesar de toda a tecnologia empregada na intervenção dos poços, se faz necessário analisar o grau dos riscos envolvidos para que não ocorram acidentes ambientais através de vazamentos de poços, perdas ou até mesmo explosões. É aí, que o fator ambiental deve ser considerado no problema proposto, pois o mesmo, em muitas vezes, é responsável por uma visão negativa da imagem da empresa envolvida na exploração petrolífera. Principalmente, quando ocorrem falhas técnicas, sendo a de maior contundência vazamentos/derrames e, uma visão positiva da imagem da empresa, quando associada a projetos de preservação e exploração ética e tecnicamente correta desse valioso bem natural. O fator ambiental será considerado no PPSP através do percentual de atratividade de cada poço que representa possíveis riscos envolvidos na atividade de sondagem.

Outros fatores de riscos presentes na atividade de sondagem são a possível perda de um poço devido a danos na estrutura interna provocadas pelo tempo, pelo desgaste ou por outros fatores que causam destruição. E estes fatores de riscos são considerados na solução do problema e são de extrema importância na tomada de decisão. Por exemplo, um poço com elevado risco e um potencial de produção baixo pode ter menos prioridade no atendimento pela sonda e até ser considerada inviável a sua permanência ou, no caso de ser um poço altamente produtivo, fazer uma nova perfuração

para se ter acesso ao reservatório. A tomada de decisão não faz parte deste trabalho, porém os riscos associados aos poços irão influenciar no planejamento da programação que será um fator de influência para o tomador de decisão.

O PPSP será abordado de modo off-line, portanto as demandas dos poços são conhecidas dentro de um intervalo de tempo e neste intervalo, os poços estão agendados para receber a intervenção podendo ou não ser realizada na data marcada. O objetivo principal na resolução do problema é programar o atendimento da frota de sondas obtendo, desta maneira, o maior retorno de óleo produzido no horizonte de tempo. Além de otimizar a produção e o rendimento através da programação do atendimento da frota de sondas, direcionar a programação de modo a evitar acidentes ambientais, considerando os riscos envolvidos na atividade de sondagem. Fator que será considerado através da “atratividade” do poço.

Através da otimização, empregar de modo seguro e planejado a tecnologia de produção que, embora à primeira vista pareça ter um custo elevado, compensa através dos ganhos obtidos com este valioso bem natural – o petróleo.

3.3 Formulação e modelagem matemática do problema

O problema proposto neste trabalho consiste em programar o atendimento da frota de sondas aos poços de petróleo no horizonte de tempo determinado. Conforme Paiva et al. (2000), usualmente a programação do atendimento das sondas é definida em reuniões de técnicos e a tomada de decisão é baseada em opiniões e cálculos superficiais. Maiores informações e dados reais do problema não foram fornecidos pelas pessoas responsáveis pelo gerenciamento da atividade de sondagem.

No horizonte de tempo, as demandas dos poços que necessitam sofrer sondagem são conhecidas e cada poço está relacionado a uma data que indica o momento a partir do qual a sonda poderá intervir no poço. Por serem conhecidas as demandas dos poços, existe uma possibilidade real de modelá-lo como um problema de decisão off-line.

Para cada poço i ∈ P (i = 1, ..., n, onde n é o número de poços) está associado

um Qi que representa a unidade de tempo a partir da qual a sonda poderá intervir no poço i, Vi que são as unidades de volume por unidade de tempo que se espera produzir após a

intervenção, um Di representando o tempo utilizado para a intervenção em cada poço i e

A atratividade representa os riscos associados ao poço e varia entre [0,1 e 0,9]. Quanto mais próximo de 0,1 mais baixa a atratividade, ou seja, possivelmente representa uma situação onde há riscos; quanto mais próxima de 0,9 mais alta a atratividade supostamente correspondendo a menores riscos.

A atratividade é considerada como um fator de correção associado a cada poço (penalidade), reduzindo a produção nominal esperada para o poço em questão. Um limite máximo de 90% para esse parâmetro foi fixado em função de dados de campo. A atratividade é considerada associada à produção de cada poço.

A atratividade é um percentual que não determina qual será a produção do poço após a intervenção mas, por indicar riscos, é um parâmetro de muito peso, assim como o valor da produção, que influencia na programação do atendimento das sondas. Um poço com uma elevada produtividade e risco pode ter menos prioridade no atendimento do que um poço com um pequeno volume de produção e risco.

Apesar das sondas serem idênticas em relação à velocidade da sondagem dos poços, elas diferem em relação aos custos que vai depender da origem da sonda. Uma sonda pode ser contratada por um período de tempo maior, através de uma perspectiva orçamentária baseada num plano de metas, ou ser de domínio da empresa e para estes casos os custos das sondas são de manutenção, uso, etc. Há possibilidade também de se ter sondas alugadas por um tempo menor sendo que o seu custo é mais elevado. O custo da sonda disponível é em função da sua utilização, enquanto que o custo da sonda alugada está na função tempo de permanência na empresa, o que independe de seu uso ou não. A opção pelo aluguel da sonda deve ser muito bem estudada e, quando se fizer necessária, seu uso deve ser maximizado, principalmente através da utilização racional de cada sonda.

Cada sonda j ∈ M (j = 1, ..., m, onde m é o número de sondas) está associada um custo cj (unidades de volume de petróleo por unidade de tempo).

De um modo bem geral, o PPSP consiste em alocar uma frota M de sondas a um conjunto P de poços de modo não preemptivo (isto é, uma vez que uma sonda esteja alocada para um poço, ela deverá permanecer no mesmo até o término da intervenção, sem interrupções), objetivando maximizar o retorno da produção no intervalo entre o momento em que o poço aguarda pela sonda e o término do horizonte de tempo.

Paiva et al. (2000) apresenta o estudo de uma metodologia para otimizar o itinerário das sondas e o objetivo é encontrar as rotas de menor custo total para uma lista de n poços que estão aguardando pelas sondas. No custo total são incluídas as perdas de

cada poço Ri = FiQsi, (Fi é o fator de perda, Qsi é o valor da produção em m3/dia), multiplicado pelo tempo em que o poço permanece fechado (tsi); Li = Ritsi, onde

tsi = ts(i-1) + di-1,i / Vwr + twi; ts(i-1) é o tempo que o poço anterior a i permanece fechado;

di-1,i / Vwr é o tempo que a sonda leva para se deslocar de um poço até o outro (di-1,i – distância entre o poço i-1 e o poço i, Vwr – velocidade de deslocamento da sonda) e twi é o tempo da sondagem do poço i.

O custo total também inclui o custo da sonda utilizada na intervenção do poço i que é: Ctad – custo de montagem, transporte e operação, somado ao custo da rota

Ct = cddi-1,i, onde cd é o custo em função do deslocamento, somada ao custo de operação no poço i Cop = cttwi, onde ct é o custo de operação e twi é o tempo de intervenção no poço i. Logo Ci = Ctad + cddi-1, i + cttwi.

A função objetivo proposta por Paiva et al. (2000) é:

O trabalho de Paiva et al. (2000) também discorre sobre quais são realmente as perdas que ocorrem devido ao fechamento de poços que estão aguardando intervenção. A perda real de um poço é menor do que a perda aparente – volume produzido desde o fechamento do poço multiplicado pelo tempo sem produzir – e a diferença entre a perda real e a aparente ocorre porque o poço ao sofrer uma interrupção volta com uma produção suplementar causada pela pressão no interior do reservatório devido ao fechamento do poço. Quando o fechamento de um poço interfere significativamente na produção de um poço que está produzindo no mesmo reservatório, pode haver um aumento significativo na produção do poço em operação, compensando em partes as perdas do poço fechado. A perda do poço depende do nível de produção antes do fechamento, do tempo que o poço permanece fechado, da configuração do reservatório e outras condições, logo a perda é representada como um fator de perda. Cada poço da lista está associado a um fator de perda, a um volume de petróleo produzido por unidade de tempo e ao tempo de intervenção da sonda. Não existe horizonte de tempo para a programação do atendimento das sonda e os poços não estão associados a uma data de atendimento, a partir da qual a sonda poderá intervir.

O presente trabalho não considera o PPSP como um problema de roteamento como proposto por Paiva et al. (2000), porque os custos associados aos deslocamentos

(

)

∑

= + = n i i i C L w min 1

serão considerados não significativos quando comparados com os custos decorrentes da intervenção e paralisação dos poços. Os tempos de deslocamentos entre poços são muito inferiores aos tempos necessários à montagem e desmontagem das sondas, bem como à duração da intervenção. O tempo de preparo das sondas está incluso no tempo necessário para realizar a intervenção de cada poço.

O problema proposto neste trabalho foi classificado como sendo da categoria dos problemas de schedule (sequenciamento) com tempo de liberação das tarefas em máquinas paralelas idênticas, onde as máquinas são as sondas e as tarefas são os poços.

Usando a notação padrão para problemas de sequenciamento (Chen e Powell, 1998; Lancia, 2000), o PPSP é um problema da classe P|ri, vi|Cmax onde |P| representa a característica de processadores paralelos idênticos (todos têm a mesma velocidade e o tempo de processamento de uma tarefa é identifico para diferentes máquinas); |ri ,vi| ri

representa o tempo de liberação da tarefa e vi o valor agregado a tarefa – unidades de

volume produzida por unidades de tempo; |Cmax| é o critério de otimalidade.

Em geral, problemas em máquinas paralelas requerem ao menos dois tipos de tomada de decisão: a designação e a seqüência (Lancia, 2000). Então, para cada poço i (i = 1, ..., n) está relacionado um par (

x

_iks

,

t

_iks), onde

x

_iks indica a sonda k que intervirá no

s-ésimo atendimento do poço i (isto é

x

_iks = 1 se a sonda k intervir no s-ésimo atendimento do poço i, 0 em caso contrário);

t

_iks o tempo de início da sondagem no poço i pela sonda k

no s-ésimo atendimento.

A formulação matemática para o PPSP é a seguinte: 1º Definição das variáveis de decisão

¾ variável de decisão binária,∀i ∈P, k∈M, s∈N:

    = contrário caso em k sonda da o atendiment ésimo s no sondagem sofre i poço o se x_iks 0 1

Onde: N é o conjunto (1, ..., p, onde p é o número máximo de possíveis atendimentos de uma sonda k) máximo de s-ésimos atendimentos da sonda K

¾ variável que indica o tempo de início da sondagem, ∀i∈P, k∈M, s∈N: s

ik

t = o tempo de início da sondagem no poço i no s-ésimo atendimento da sonda k

2º Definição da função objetivo

A função objetivo é maximizar o retorno da produção de cada poço que está agendado para receber intervenção considerando o custo da sonda utilizada.

A produção ponderada de cada poço i {i = 1, ..., n} vai depender do tempo restante (TPi) entre o término da sondagem e o horizonte de tempo multiplicado pelo volume de produção do poço i (Vi – volume produzido por unidade de tempo) e pela atratividade Ai do poço i. Portanto a produção ponderada do poço i é: PRi = TPi*Vi*Ai.

O TPi são as unidades de tempo restantes entre o término da sondagem (t_iks +D_i, onde Di é a duração da intervenção) e o horizonte de tempo (tempo). A Figura 2 ilustra o TPi de dois poços 1 e 2, ambos sendo atendidos pela mesma sonda k.

Figura 2 – Tempo restante entre o término da sondagem e o horizonte de tempo

Fazendo a substituição de TPi, a produção de ponderada do poço i (PRi) fica sendo:

PR_iks =V_i* A_i

(

tempo−

(

t_iks +D_i

)

+1

)

∀i,k,s (1)

Os custos das intervenções nos poços devem ser considerados. O cálculo do custo da intervenção do poço vai depender do tipo de sonda utilizada: alugada ou disponível.

No caso da sonda ser disponível, o seu custo é em função da sua utilização, ou seja, do tempo de duração da intervenção do poço. Assim, o custo da intervenção do poço i será expresso da seguinte maneira:

(2) , i,k,s *D c CS_iks = _{k i} ∀

Onde: ck - custo unitário de operação da sonda k; Di - duração da intervenção no poço i.

D1 tempo = 12 4 5 6 10 11 12 _{1 2 3 7 8 9} 1 , 2 k

t

t

_{1 k}2_,

(

1_{2, 2}

)

1 2 =tempo− t +D + TP _k

(

₁2_{, 1}

)

1 1 =tempo− t +D + TP _k D2

Caso seja utilizada uma sonda alugada, há custos na intervenção dos poços e do aluguel. O custo de uma sonda alugada difere da sonda disponível, pois independe do seu uso e depende do tempo de permanência na empresa. O tempo de permanência de uma sonda alugada na empresa será considerado como sendo o intervalo de tempo entre o início de sua primeira intervenção e o término do seu último atendimento.

Ao calcular o custo da intervenção de um poço i pela sonda k do tipo alugada, deve ser considerado o custo da intervenção no poço i mais o custo do aluguel e o custo do tempo de ociosidade da sonda em relação ao poço j (j precede i no atendimento pela sonda

k). A equação a seguir representa este custo, onde o primeiro termo refere-se ao custo da

intervenção do poço i pela sonda k no s-ésimo atendimento e o custo do aluguel da sonda; o segundo termo refere-se ao custo do tempo de ociosidade da sonda.

(

c ca

)

x 1*ca *

(

t

(

t 1 D

)

)

, sekfor alugada i,k,s (3)

* D

CS_iks = _{i k} + _k + s_jk− _{k ik}s − s_jk− + _j ∀

Onde: cak = custo do aluguel da sonda k

Caso o poço i seja o primeiro poço a ser atendido pela sonda k do tipo alugada – neste caso s = 1 e não há ociosidade de tempo da sonda, sendo considerado somente o custo relacionado à duração da intervenção.

Finalmente, a função objetivo será maximizar o volume de petróleo retornado de cada poço considerando o custo da sonda envolvida na intervenção:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

    ∀ + − + + ∗ ∀ = ∀ + + − = − − − = = =

∑

∑

∑

(3) , alugada for se (2) , disponível for se , (1) 1 1 1 s , k i k , D t t * ca * x c ca D s , k i k *D c CS s , k , i 1 D t tempo A * V PR CS PR x j 1 s jk s ik k 1 s jk k k i i k s ik i s ik i i s ik p s s ik s ik s ik m k n i : Onde Max

3º Definição das restrições

¾ Garantir que cada poço seja atendido uma única vez e que todos os poços sofram intervenção (4) 1 1 1 i x m k s ik p s ∀ =

∑

∑

= =

¾ Representar a disponibilidade das sondas

(5) 1 1 1

∑

∑

= = ≤ n i ik m k m x

¾ Dois poços não podem ser executados simultaneamente em uma mesma sonda. Para garantir esta restrição, nos baseamos na restrição apresentada em Papadimitriou e Steiglitz (1982) onde duas tarefas não podem ser executadas simultaneamente no mesmo processador. Quando dois poços sofrem sondagem pela mesma sonda então xs_jk =x_ikl =1 e o poço Pj é executado antes do poço Pi, nós temos que

l ik j s

jk D t

t + ≤ . Para garantir isto, faremos T =

∑

∈P

i i

D e δji será uma variável inteira não

negativa igual a 1 sets_jk ≤t_ikl ; 0 em caso contrário.

A restrição abaixo garante que dois poços não podem ser executados simultaneamente em uma mesma sonda:

ts_jk +D_j −t_ikl ≤ T

(

1−δ_ji +2−x_ikl −xs_jk

)

, i≠ j,∀i,j,k,s,l (6)

A inequação acima é restrita somente se δji = 1 exs_jk =x_ikl =1; nesse caso o poço j sofre intervenção antes do que poço i pela mesma sonda k, garantindo que

l ik j s jk D t t + ≤ (Papadimitriou e Steiglitz, 1982).

¾ O horizonte de tempo de planejamento para a programação do atendimento dos poços pelas sondas não poderá ser ultrapassado

(

)

(7) 1 k,s tempo D t x n i i s ik s ik + ≤ ∀

∑

=

¾ A data de liberação do poço não poderá ser violada, logo a sonda somente poderá intervir no poço Pi a partir do momento na qual ele fica liberado para sofrer a sondagem (8) i,k,s Q t_iks ≥ _i ∀

¾ não negatividade: representar a integridade das variáveis

{ }

01 (10) (9) 1 s , k i, , x s , k i, t s ik s ik ∀ ∈ ∀ ≥