Seja o código de Hamming Binário C com m = 4. Pede-se:

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A20 - Códigos de Bloco, espectro de peso

20.1 - Seja o código de Hamming Binário C com m = 4. Pede-se:

a) Matriz H

b) dmin e todas palavras-código com peso igual à dmin.

c) Liste a coluna dos líderes de cosets do arranjo padrão ótimo com correspondentes síndromes.

d) Código perfeito, quase-perfeito? Justifique.

20.2 - Repetir para o código de bloco ternário cuja matriz de paridade H tenha como suas colunas todas as m-uplas diferentes da coluna toda zero. Pede-se para m = 2:

20.3 - Repetir para o código de Hamming ternário com m = 2. Pede-se:

20.4 - Repetir para o código de Hamming binário com paridade nos bits e m = 3, pede-se:

20.5 - Seja o código binário C dado por sua matriz geradora G:

          = 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 G Pede-se:

a) Espectro de pesos do código C

b) Pnd: probabilidade de erro não detetável do código C para canal BSC com p=10-2

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A21 - Codigos ciclicos, polinomios gerador e de paridade

21.1 - Dado o vetor-código X1 – 0001011 pertencente ao código cíclico

binário C1, pede-se:

a) Todos deslocamentos cíclicos de X1.

b) Determine o restante dos vetores de C1.

c) Polinômio gerador gi(D) de C1. Liste todos polinômios-código X(d) = a(d)g1(d) e

correspondentes polinômios a(D). Associar vetores X e polinomios X(D). Obs.: C1 : (7,4)

d) h1(d): polinômio cheque de paridade de C1.

e) Seja C2 o código cíclico gerado por g2( D ) = h1( D ) , liste polinômios códigos:

W (D ) = b ( D ) . g2( D ) ; polinômios b(D) ; vetores-códigos W.

f) Verifique se os polinômios X2( D ) = D5+ D8+ D9+ D1 0 e X3(D )= D3+D5+D8+D9

pertencem à C1.

g) W1(D)=1+D3+D5+D6 Є C2 ? ; W2(D)=D8+D9+D10+D12 Є C2 ?

h) Sub-espaços vetoriais associados a C1 e C2 são ortogonais? Justifique.

21.2 - Dado o vetor-código X1=102102102 pertencente a um código cíclico

ternário C1: (9,2), pede-se:

a) Deslocamentos cíclicos de X1.

b) Vetores restantes de C1.

c) g1(D): Gerador de C1 e todos X(D) =( D) =a( D) g1( D). Associar X e X(D).

d) h1( D ) : polinômio de paridade de C1

e) Seja C2: código cíclico gerado por g2(D)=h1(D). Determine 3 vetores-código de

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f) X2( D ) = 2 D + 2 D3+ 2 D4+ 2 D5+ 2 D6+ 2 D7+ 2 D8+ 2 D9+ 2 D1 1 ;

X3( D ) = 1 + D4+ 2 D5+ 2 D7+ D1 0+ D1 2 pertencem à C1 ?

g) W1=002121200 Є C2? ;

W2( D ) = D2+ 2 D3+ 2 D4+ 2 D5+ D7+ D8+ 2 D9+ 2 D1 0+ 2 D1 3 Є C2?

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A22 - Códigos cíclicos: matrizes geradora e de paridade, código

dual codificação do código sistemático.

22.1 - Dado o polinômio gerador de um código cíclico binário C1:(7,4),

g1(D)=1+D2+D3, pede-se: a) Matriz geradora G1 b) Polinômio gerador * 1 g (D) e matriz geradora * 1 G do código sistemático * 1 C

c) Para o código na forma sistemática, liste: a e x = a. * 1

G

d) Polinômio cheque de paridade h1(D). Seja g2( D ) ∆ h1( D ) o polinômio gerador

do código cíclico C2, determine sua matriz geradora G2

e) G1. T

G₂ =? Sub-ESP ortogonais?

f) Polinômio gerador g3(D) e matriz geradora G3 do código C3 dual de C1

g) Obter a matriz G2 a partir da matriz G3. Códigos C2 e C3 são o mesmo código?

Equivalentes? Justifique.

h) Obter G1. T

G3 . Sub espaços ortogonais?

i) Matrizes de paridade H1 e H3 do código C1 e seu dual C3

j) dmin (C1)=?, dmin (C3)=? Dê uma combinação de colunas da correspondente matriz de paridade e palavra código associada de peso = dmin.

22.2 - Idem para o polinômio gerador de um código cíclico ternário C1:(9,2), g1(D)=1+2D+D3+D4+D6+2D7

22.3 - Código sistemático * 1

C _{gerado por g1(D)=1+D}2_+D3_{, pede-se:}

a) Desenhar seu codificador

b) Utilizando o circuito do codificador de * 1

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A23 - Códigos Convolucionais: codificação

23.1 - Desenhar um codificador para o código convolucional: C1:(2,1,2) e um

para o código sistemático C2:(3,1,2), pede-se:

a) Parâmetros: (n, k, m), R ∆ taxa do código, comprimento da memória K, número de estados?

b) Seqüências geradoras das saídas

c) Matrizes geradoras G1 e G2

d) Para µ = 1011011, obter as saídas por inspeção, e pela equação de codificação = µ.G

23.2 - Repetir o problema 23.1 para dois códigos convolucionais não sistemáticos: C1:(3,2,1) com K1=K2=1 e C2(3,2,2) com K1=1 e K2=2

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A24 - Códigos Convolucionais: representação polinomial; d

e

T(x,y,z)

24.1 - Dadas as matrizes polinomiais geradoras dos códigos C1 e C2:

( )

[

]

( )

a) Codificadores para C1 e C2; parâmetros n, k, m, R e K para ambos códigos

b) Dados µ = 1011101 e m = 1101101101, determine v(D) = µ(D) G1(D) e

w(D) = m(D).G2(D) para v(D) Є C1 e w(D) e C2

c) Diagrama de estados e diagrama de treliça para C1 e dfree (C1)

d) Diagrama de estados para C2 e dfree (C2)

e) Diagrama de estados aumentado para x, y, z e espectro de pesos T(x, y, z) para C1

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A25 - Códigos catrastróficos e não catrastóficos; decodificação

por máxima verossimilhança(algoritmo de Viberbi)

25.1 - Verificar se são catastróficos os códigos gerados por:

a)

( )

[

]

( )

( )

[

]

d) Diagrama de estados para código C3; “loop todo zero”? ; dfree (C3) = ?

e) Para códigos C3 codificar µ = 1111....(seqüência toda “1”). Em decodificação por máxima verossimilhança qual seria a sequência decodificada û? Probabilidade de erro do esquema com o código C3?

25.2 - Seja o código convolucional C gerado por:

( )

b) Diagrama de estados? dfree = ?

25.3 - Dada a tabela com métricas aproximadas (ver tabela no exemplo do

livro do Lin & Costello) e usando o algoritmo de Viterbi decodificar rDMC=(I101I2 , I10102 , 02I2I1 , I1I2I2) e rBSC=(101 , 100 , 011 , 111).

Determinar v:caminho de máxima verossimilhança para os dois casos e métricas DMC correspondentes.

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A26 - Decodificação por máxima verossimilhança para

seqüência semi-infinita, d

pelo algoritmo Viterbi;

limitantes superiores na probabilidade de erro.

26.1 - Supor o codificador caracterizado pela matriz G1=[1+D2, 1+D+D2].

Após um BSC, suponha a seqüência recebida:

r=1110010000011000010000... e obtenha a seqüência decodificada û pelo algoritmo de Viterbi supondo que o comprimento ح do registro de decodificação de blocos de BITS de informação seja:

a) ح=2,

b) ح=8

26.2 - Obter dfree pelo algoritmo de Viterbi para os códigos gerados por:

G1+[1+D2, 1+D+D2] e G2(D)=[1+D, 1+D2]. O que acontece no caso do

código C2 e por quê?

26.3 - Supor o código C1 gerado por G1=[1+D2, 1+D+D2] e um canal

BSC com p=10-3, pede-se:

a) Limitante superior na probabilidade de erro de evento, Pe(E);

b) Limitante superior na probabilidade de erro de bit, Pb(E).