JULIO CÉZAR DE ALMEIDA. PROJETO MECÂNICO Enfoque Baseado na Fadiga e na Mecânica da Fratura

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OJETO MECÂNIC

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Este livro apresenta um con-junto de conceitos que visam fornecer subsídios adequados à formação de profissionais que tenham interesse em direcionar e ampliar o seu campo de atuação profissional para a grande área de Projetos Mecânicos. Além das discipli-nas convencionais da área de projetos e dimensionamento dos cursos de engenharia, disciplinas específicas como Análise de Falhas, Mecânica da Fratura e Fadiga também são fundamentais para a formação profissional de engenheiros voltados para a área de

dimensionamento de compo-nentes e sistemas num con-texto mais amplo.

Além da base teórica necessá-ria, esta obra oferece, em www.evolution.com.br, pro-blemas resolvidos, figuras ilustrativas, exemplos gerais e listas de exercícios propostos, por capítulo, o que favorece o estudo e a compreensão dos tópicos apresentados.

Como pré-requisito desejável, para a melhor utilização desta obra é recomendável que o leitor tenha familiaridade com os conceitos de Resistência dos Materiais e Mecânica dos Sólidos, disciplinas normal-mente presentes nas grades iniciais dos cursos tradicionais de Engenharia.

JULIO CÉZAR DE ALMEIDA é professor do Departamento de Engenharia Mecânica e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFPR, com especialização pela PUC-PR, mestrado pela UFSC e doutorado pela PUC-PR.

Como engenheiro, é gerente de operações da Companhia Paranaense de Gás (COMPA-GAS), empresa estatal respon-sável pela distribuição de gás natural no Estado do Paraná.

Esta obra reúne parte significativa do que se dispõe de

melhor no contexto da Análise de Falhas, Fadiga e

Mecâ-nica da Fratura de componentes mecânicos em geral.

Ao longo de 11 capítulos o autor define as

conceitua-ções preliminares e as características e premissas de

cálculo para cada tipo de situação dessa grande área de

projetos mecânicos.

Cada capítulo está estruturado dentro de uma mesma

lógica de apresentação. As informações conceituais, os

parâmetros de cálculo, as recomendações práticas e a

experiência do autor permitiram que cada capítulo fosse

escrito de forma prática e didática, facilitando ao máximo

o entendimento de cada tópico por parte do leitor final.

Ao final de cada capítulo há exercícios resolvidos com o

objetivo principal de favorecer o entendimento dos

con-ceitos apresentados para cada tipo de análise ou

concei-tuação correspondente.

A obra é recomendada a alunos e profissionais dos

cursos de graduação em Engenharia Mecânica,

Engenha-ria de MateEngenha-riais, EngenhaEngenha-ria de Produção e EngenhaEngenha-ria

Mecatrônica, entre outros.

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pa:

Vinicius

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LMEIDA

PROJETO

MECÂNICO

Enfoque Baseado na

Fadiga e na Mecânica

da Fratura

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Projeto Mecânico

Enfoque baseado na fadiga

e na mecânica da fratura

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Projeto Mecânico

Julio Cézar de Almeida

Enfoque baseado na fadiga

e na mecânica da fratura

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Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida

ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográfi cos, gravação ou quaisquer outros.

ISBN: 978-85-352-8891-9

ISBN (versão digital): 978-85-352-8892-6

Copidesque: Augusto Coutinho

Revisão tipográfi ca: Priscila Zavatieri Mada Editoração Eletrônica: Thomson Digital

Ilustrações: Eng. Fernando Birck

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A Editora

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATONACIONALDOS EDITORES DELIVROS,RJ

A448p

Almeida, Julio Cézar de

Projeto mecânico : enfoque baseado na fadiga e na mecânica da fratura / Julio Cézar de Almeida. -1. ed. -Rio de Janeiro : Elsevier, 2018.

: il.

Inclui bibliografi a e índice ISBN 978-85-352-8891-9

1. Engenharia mecânica. 2. Resistência de materiais. I. Título.

18-50939 CDD: 620.11

CDU: 620.1

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Ao Professor Doutor Edison da Rosa, responsável pela minha iniciação

e gosto pelo assunto Fratura e Fadiga, quando da realização do meu curso de Mestrado em Engenharia Mecânica pela UFSC.

E a todos que buscam o conhecimento técnico e fontes de referência

para sua vida acadêmica e profi ssional.

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Apresentação

Este livro foi concebido como uma proposta de apoio para as disciplinas de Mecânica da Fratura e Fadiga em cursos de graduação em Engenharia Mecânica, Engenharia de Materiais, Engenharia Civil e Engenharia Mecatrônica, entre outras. O livro inclui conteúdos tradicionais sobre o comportamento dos materiais no contexto da Mecânica da Fratura e Fadiga, enfocando conceitos convencionais, critérios de cálculo e premissas de projeto de componentes mecânicos da maioria dos sistemas e dispositivos mecânicos de maior porte.

Nos últimos anos, estudos mais detalhados nos campos da fadiga e da mecânica da fratura estão cada vez mais presentes na análise e avaliação de componentes estruturais em geral. Tal situação tem, inclusive, justifi cado a criação e presença de disciplinas específi cas sobre o assunto em cursos de Engenharia Mecânica e correlatos. Uma bibliografi a que contemple de forma prática e didática a apresentação desses conceitos se torna, assim, uma boa alternativa de apoio para alunos e profi ssionais envolvidos em situações corriqueiras de dimensionamento, projeto e até mesmo situações que contemplem casos de falhas.

Além de fornecer a base teórica necessária, o texto traz exemplos de problemas resolvidos e fi guras ilustrativas para análise e validação completa desses conceitos. Para a melhor utilização do livro, é desejável que o leitor tenha familiaridade com os con-ceitos de Resistência dos Materiais e Mecânica dos Sólidos, disciplinas normalmente incluídas nas grades intermediárias dos cursos tradicionais de Engenharia.

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O Autor

Julio Cézar de Almeida é professor do Departamento de Engenharia Mecânica e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFPR, com especialização pela PUCPR, Mestrado pela UFSC e Doutorado pela PUCPR. Como engenheiro, é Gerente de Operações da Companhia Paranaense de Gás (COMPAGAS), empresa es-tatal responsável pela distribuição de Gás Natural no Estado do Paraná.

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Apresentação ... vii

O Autor ... ix

CAPÍTULO 1 Introdução ... 1

1 A falha de um componente estrutural ...1

2 Os carregamentos estáticos ...1

3 A premissa da plastifi cação generalizada ...2

4 Os carregamentos dinâmicos ...2

5 O projeto tolerante ao dano ...2

6 Conclusões ...3

CAPÍTULO 2 Modos de falha e comportamento mecânico dos materiais ... 5

1 Introdução ...5

2 Deformação elástica excessiva ...5

3 Deformação plástica e plastifi cação generalizada ...6

4 Fratura ...7

5 Propriedades dos materiais ...7

5.1 Diagrama tensão x deformação para materiais frágeis ...11

5.2 Diagrama tensão x deformação oriundo de tensões cisalhantes ...11

6 Diagrama tensão x deformação real ou verdadeiro ...13

6.1 Tensão e deformação verdadeiras ...13

6.2 Correlação entre tensões e deformações reais (verdadeiras) e de engenharia (convencionais) ...14

6.3 Curvas de escoamento ...15

6.4 Curvas de escoamento idealizadas ...15

7 O encruamento ...16

8 Problemas resolvidos ...17

Nomenclatura ...21

CAPÍTULO 3 Critérios de projeto para materiais dúcteis ... 23

1 Introdução ...23

2 Esforços combinados em um ponto ...23

2.1 Esforços combinados em um ponto – caso bidimensional ...25

3 Critérios de falha por início de escoamento ...26

3.1 Teoria da máxima tensão normal - TMTN ...28

3.2 Teoria da máxima tensão cisalhante - TMTC ...29

3.3 Teoria da máxima energia de distorção - TMED ...31

4 Análise comparativa dos critérios de falha ...33

5 Tensão tangencial correspondente à condição de escoamento ...34

6 Concentração de tensões ...36 7 Problemas resolvidos ...37 Nomenclatura ...45

Sumário

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xii Sumário

CAPÍTULO 4 Critérios de projetos para materiais frágeis ... 47

2 Teoria da máxima tensão normal - TMTN ...47

3 Teoria de Coulomb-Mohr ...48

Nomenclatura ...56

CAPÍTULO 5 Elasticidade e análise plástica ... 57

2 Notação indicial ...57

3 Tensores ...58

3.1 Tensores especiais – Delta de Kronecker e símbolo de permutação ...59

4 Tensão e vetor tensão ...59

4.1 Componentes de tensão num cubo elementar ...61

4.2 Tensor de tensões ...62

5 Equações de equilíbrio interno ...63

6 Tensões esféricas e desviatórias ...64

7 Tensões e planos octaédricos ...65

8 Tensor de deformações ...66 8.1 Medição de deformações ...67 9 Relações constitutivas ...68 10 Análise plástica ...69 10.1 Flexão plástica ...69 10.2 Fator de forma ...72 10.3 Torção plástica ...73

10.4 Torque geral em função do ângulo de torção ...75

Nomenclatura ...81

CAPÍTULO 6 Falha por fadiga e resistência à fadiga dos materiais ... 83

2 Tipos de fadiga ...83

3 O mecanismo da falha por fadiga ...85

4 Cargas cíclicas ...87

5 Curva de Wohler ...88

5.1 O ensaio de fl exão rotativa ...90

6 O limite de fadiga corrigido ...91

6.1 O fator de superfície ou de acabamento superfi cial ...92

6.2 O fator de tamanho ou de dimensão ...93

6.3 O fator de carga ou de carregamento ...94

6.4 O fator de temperatura ...94

6.5 O fator de confi abilidade ...95

7 O projeto para a condição de fadiga em vida fi nita ...95

8 O projeto para a condição de fadiga em vida infi nita ...98

9 O fator de concentração de tensões em fadiga ...98

Nomenclatura ...110

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xiii

Sumário

CAPÍTULO 7 Fadiga de baixo ciclo e dano acumulativo em fadiga ... 113

1 O projeto para fadiga de baixo ciclo ...113

2 O modelo de Ramberg-Osgood ...113

3 Curva deformação-número de ciclos (ε-N) ...113

3.1 O número de ciclos de transição ...115

4 Curva tensão-deformação cíclica ...116

4.1 Endurecimento e amolecimento cíclicos ...118

5 A infl uência das tensões e deformações médias ...119

6 Dano acumulativo em fadiga – lei de Palmgreen-Miner ...120

Nomenclatura ...126

CAPÍTULO 8 Mecânica da fratura elástica linear ... 129

2 A origem da mecânica da fratura ...129

3 O trabalho de Griffi th ...131

3.1 Limitações do critério de Griffi th ...133

3.2 Taxa de liberação de energia ...134

3.3 Curva R e sua instabilidade ...136

4 Modos de carregamento da trinca ...138

4.1 Estado de tensão nas proximidades da trinca ...138

4.2 O fator de intensifi cação de tensões ...140

4.3 Relação do fator de intensifi cação de tensões com a taxa de liberação de energia ...143

5 A tenacidade à fratura ...143

6 Limitações da mecânica da fratura elástica linear ...144

6.1 Conceito do tamanho de trinca efetiva ...144

6.2 EPT ou EPD? ...146

6.3 Peças muito fi nas ...146

7 Coefi ciente de segurança em fratura frágil ...147

Nomenclatura ...159

CAPÍTULO 9 Mecânica da fratura elastoplástica ... 161

2 A abertura da frente da trinca - CTOD ...161

2.1 O modelo de Dugdale ...162

2.2 A curva de projeto ...163

3 A integral J ...164

3.1 Campos de singularidade HRR ...165

4 Correlação entre J e CTOD ...166

5 Determinação experimental do CTOD e da integral J ...166

5.1 Método da rótula plástica ...167

5.2 Método η ...168

6 A tensão crítica de falha ...168

Nomenclatura ...176

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xiv Sumário

CAPÍTULO 10 Propagação de trincas em fadiga ... 179

2 Propagação de trincas em regime elástico – lei de Paris ...180

2.1 O efeito da razão de carga (R) ...182

3 Lei de Paris para cargas sob amplitudes variáveis ...182

4 Cálculo da vida em fadiga ...183

Nomenclatura ...192

CAPÍTULO 11 Tenacidade à fratura experimental e introdução à fadiga multiaxial ... 193

2 O ensaio de tenacidade à fratura ...193

2.1 Interpretação dos resultados do ensaio de tenacidade à fratura ...194

3 Ensaio de tenacidade à fratura para JIC ...196

4 Introdução à fadiga multiaxial ...197

4.1 Carregamentos cíclicos multiaxiais proporcional e não proporcional ...198

4.2 O gráfi co do carregamento proporcional...198

4.3 O gráfi co do carregamento não proporcional ...199

5 Fatores responsáveis pela fadiga multiaxial ...199

6 Modelos de fadiga multiaxial baseados na tensão equivalente ...201

6.1 O modelo de Sines ...201 7 Problemas resolvidos ...202 Nomenclatura ...209 Índice ...211 c0085.indd xiv c0085.indd xiv 17/07/18 5:36 PM17/07/18 5:36 PM

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5

CAPÍTULO

2

Modos de falha e comportamento

mecânico dos materiais

1 INTRODUÇÃO

Suponha uma determinada condição ideal de projeto na qual as defi nições funcionais e geométricas sejam conhecidas, os carregamentos atuantes pré-estabelecidos e os materiais, tolerâncias e acabamentos fi nais claramente identifi cados. A questão é: no que poderia se constituir uma futura falha mecânica desse projeto?

Os materiais sólidos quando submetidos a determinados carregamentos podem ser classifi cados, quanto ao seu comportamento mecânico, em dúcteis ou frágeis, depen-dendo de sua habilidade de se deformarem plasticamente. Com base nessa premissa, determinado componente pode deixar de cumprir as funções para as quais foi original-mente projetado a partir de, fundamentaloriginal-mente, três modos distintos de falha, a saber: • deformação elástica excessiva;

• deformação plástica e plastifi cação generalizada; e • fratura.

Outros modos de falhas mais específi cos, como, por exemplo, creep , corrosão, impacto, desgaste, vibração, choque térmico, radiação e falha por lubrifi cação, entre outros, podem também vir a ocasionar o colapso do componente em análise, não sendo, entretanto, escopo principal deste texto.

2 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA EXCESSIVA

No grupo das deformações elásticas excessivas pode-se considerar, por exemplo, a defl exão elástica sob equilíbrio estável (deslocamentos exagerados) e o fenômeno da instabilidade elástica (fl ambagem) repentina. A Figura 2.1 ilustra essas duas condições.

A B

FIGURA 2.1 Exemplos de deformação elástica excessiva, sendo: (a) deﬂ exão exagerada e (b) instabilidade elástica de uma coluna esbelta.

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6 CAPÍTULO 2 Modos de falha e comportamento mecânico dos materiais

Observe que as falhas decorrentes dessa natureza estão associadas à rigidez do elemento considerado e não necessariamente à sua resistência mecânica. Uma coluna com maior rigidez e de mesmo material, por exemplo, apresentará um maior índice de esbeltez e provavelmente não fl ambará.

3 DEFORMAÇÃO PLÁSTICA E PLASTIFICAÇÃO GENERALIZADA

A deformação plástica pode ser caracterizada pelo escoamento do material à tempe-ratura ambiente. Nessas circunstâncias, as tensões resultantes nos pontos críticos da estrutura estariam se igualando ou ultrapassando o limite de escoamento do material. Na prática, porém, torna-se pouco provável que um material dúctil venha a se romper diretamente por escoamento, dado que, à medida que ele venha a escoar, ocorrerá o seu encruamento correspondente, ou seja, uma movimentação de discordâncias que exigem níveis de tensão ainda maiores para a continuidade da deformação imposta. Já a plastifi cação generalizada é decorrente do aumento gradativo das solicitações externas, ocasionando uma passagem também gradativa do regime elástico para o regime plástico na secção de maior solicitação da estrutura. O carregamento da Figura 2.2 apresenta, de forma esquemática, as etapas até a plastifi cação generalizada no ponto correspondente ao engastamento da viga.

FIGURA 2.2 Solicitações gradativas e plastiﬁ cação generalizada do ponto de apoio de uma viga carregada e simplesmente engastada (P 1 < P 2 < P 3 ).

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7

Projeto Mecânico

4 FRATURA

No contexto da fratura, considerando materiais metálicos, o fenômeno poderá ocorrer de três maneiras distintas: (a) fratura frágil, (b) fratura progressiva ou por fadiga e (c) fratura retardada.

A fratura frágil não é necessariamente uma característica exclusiva de um material classifi cado como frágil, dado que os aços carbono em geral, por exemplo, apesar de serem materiais reconhecidamente dúcteis podem vir a apresentar fraturas frágeis decorrentes de solicitações ocorridas a baixas temperaturas. Diz-se assim que os aços carbono estruturais apresentam uma transição dúctil-frágil, não apenas pela condição das baixas temperaturas, mas também em decorrência da taxa de carregamento e de um complexo nível de tensões aos quais esses possam vir a serem submetidos.

A fratura progressiva ou por fadiga é, com certeza, o tipo de falha predominante nos materiais metálicos em geral. A falha por fadiga é preocupante porque ocorre sem apresentar sinais visíveis de deformação e mediante níveis de tensões normalmente inferiores ao próprio limite de escoamento do material. A falha é dita progressiva porque tem início numa mínima fi ssura ou trinca localizada na superfície da peça, que aumentará gradativamente na presença de tensões alternadas (tensões que variam no transcorrer do tempo).

Por fi m tem-se a fratura retardada, na qual a combinação nível de tensão x tempera-tura poderá ocasionar a falha do material num nível de tensão também inferior ao seu limite de escoamento. Um aço carregado estaticamente à temperatura ambiente, mas na presença de hidrogênio, é um bom exemplo da condição de uma falha por fratura retardada.

5 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

Determinadas propriedades dos materiais permitem defi nir e classifi car características fundamentais desses para fi ns de seleção e projeto. Nessas circunstâncias, o ensaio ou teste de tração uniaxial corresponde a uma das principais aplicações experimentais para a defi nição destas propriedades. Não se trata, evidentemente, do único tipo de ensaio disponível em termos práticos, mas com certeza é o mais utilizado pela sua sim-plicidade, custos envolvidos, resultados disponibilizados e razoável rapidez quanto a sua realização. Este utiliza corpos de prova padronizados, conforme exemplos ilustrativos da Figura 2.3 , as quais são submetidos a cargas uniaxiais trativas crescentes objetivando medir as correspondentes elongações ocorridas. Na mesma fi gura, ilustra-se adicional-mente e de forma esquemática o equipamento normaladicional-mente adotado para a realização deste tipo de ensaio.

Com base nos dados de carga e deformação, uma curva de engenharia é construída ( Figura 2.4 ), a partir da qual se torna possível obter uma série de informações acerca de algumas importantes propriedades dos materiais avaliados.

Primeiramente, em termos das tensões obtidas, é possível destacar: a) a tensão ou limite de proporcionalidade ( σ p ) a partir da qual a linearidade entre a tensão e

deforma-ção (Lei de Hooke) deixa de existir; b) a tensão ou limite de escoamento ( σ e ) a partir

da qual se produzem as deformações permanentes (irreversíveis); e c) a tensão máxima ou limite de resistência à tração do material ( σ rup ), considerada como a relação entre a

carga máxima atingida no ensaio e a área da secção transversal original do corpo de

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prova. Note pela referida fi gura que existe um valor de tensão (ponto da extremidade direita) associado à fratura do corpo de prova, cujo valor nominal é, evidentemente, um pouco inferior à tensão máxima obtida no transcorrer do ensaio. Essa condição se deve à redução proporcional da secção transversal do corpo de prova, associada ao seu correspondente alongamento (o volume do corpo de prova não se altera com o ensaio), caracterizando o fenômeno designado por “estricção”.

As equações a seguir permitem defi nir a tensão máxima ou limite de resistência do material, o valor do alongamento e a sua correspondente redução de secção transversal.

o rup A P = =σ σmax (2.1) Lo L Δ = ε (2. 2)

FIGURA 2.3 Exemplos de corpos de prova padronizados e esquemático de uma máquina de ensaio de tração.

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9 Projeto Mecânico Ao A Δ = ψ (2.3)

A Figura 2.4 , anteriormente apresentada, corresponde ao ensaio de um material dúctil, ou mais especifi camente, um material que apresenta uma “grande” deformação até o ponto da sua ruptura. Com base nessa fi gura, torna-se possível discutir a defi nição dos conceitos de tenacidade e resiliência do material. A área total compreendida entre a curva e o eixo horizontal do gráfi co é equivalente à sua tenacidade, caracterizando a condição de que quanto mais tenaz for determinado material maior será a sua capaci-dade de absorver energia antes da ruptura. Esse conceito torna-se importante quando se deseja projetar componentes que devam sofrer tensões estáticas ou dinâmicas acima do seu limite de escoamento, mas sem se fraturar.

Dentro dessa mesma conceituação, caso a área considerada fi que restrita ao trecho linear do gráfi co (validade da Lei de Hooke), obter-se-á a propriedade designada como resiliência, a qual corresponde à capacidade de o material absorver energia na sua região elástica e liberá-la integralmente caso seja descarregado.

A Figura 2.5 tem por objetivo apresentar, de forma esquemática, as propriedades tenacidade e resiliência de um determinado material. Observe, ainda, que o parâmetro tenacidade será mais bem determinado com base no diagrama tensão x deformação real ou verdadeiro (conforme discutido no item 6 deste capítulo).

Matematicamente, o módulo de resiliência dos materiais é dado pela relação:

E u e R 2 2 1_σ = (2.4)

FIGURA 2.4 Diagrama tensão x deformação típico de um material dúctil.

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Enquanto a tenacidade pode ser defi nida por uma expressão aproximada, proposta por Seely (1947) na forma:

f rup e T u σ σ ε ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = ₂ (2.5)

Outra propriedade característica do material corresponde ao seu módulo de elas-ticidade longitudinal “E”, o qual é obtido com base na inclinação da curva ensaiada, no trecho linear entre tensão e deformação. Matematicamente:

E tg = = ε σ α (2.6)

O módulo de elasticidade corresponde, assim, a uma constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação do material, validando, com isso, a tradicional Lei de Hooke.

A

B

FIGURA 2.5 Tenacidade e resiliência com base no diagrama tensão x deformação do material.

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Projeto Mecânico

Em se considerando ainda o fenômeno da estricção, pode-se demonstrar uma relação proporcional e constante entre as deformações longitudinal ( ε ) e transversal ( ε t ) do corpo

de prova, a qual é conhecida como coefi ciente ou módulo de Poisson. Matematicamente (note que o sinal negativo da equação está associado à redução da secção transversal com o correspondente aumento de comprimento do corpo de prova), pode-se considerar:

υε

εt =− _(2.7)

Por fi m, observe que o ensaio uniaxial de tração é realizado com base na relação entre a força aplicada no corpo de prova e a sua correspondente variação de com-primento (F x Δ L), enquanto nos gráfi cos (ou diagramas) obtidos faz-se referência a uma relação entre tensão e deformação específi ca ( σ x ε ). Tal procedimento é realizado objetivando-se a simplifi cação do ensaio em análise, dado que esse permitirá, desta forma, a utilização de qualquer combinação entre secção transversal e comprimento do corpo de prova considerado.

5.1 Diagrama tensão x deformação para materiais frágeis

Contrariamente ao que foi descrito para um material dúctil, pode-se afi rmar que um material frágil é aquele que apresenta pouca (ou quase nenhuma) deformação antes da sua ruptura. A Figura 2.6 ilustra um exemplo dessa situação. Note que nem todas as propriedades até então descritas com base no ensaio de um material dúctil podem ser obtidas para o caso do ensaio uniaxial de um material frágil, tipo o ferro fundido cinzento, por exemplo.

5.2 Diagrama tensão x deformação oriundo de tensões cisalhantes

Conforme descrito inicialmente, outros tipos de ensaios podem ser realizados visando obter resultados complementares ou distintos acerca dos materiais considerados. Um exemplo dessa situação corresponde ao ensaio de torção, ou mais especifi camente, à aplicação de um torque gradativo sobre uma secção circular maciça efetivando-se medições angulares das deformações ocorridas ao longo da própria secção do corpo de prova. O resultado obtido, para materiais dúcteis, é similar ao apresentado pela Figu-ra 2.4 , substituindo-se evidentemente os parâmetros de referência agoFigu-ra consideFigu-rados. A Figura 2.7 ilustra essa proposição.

Tabela 2.1 Propriedades de algumas ligas à temperatura ambiente

Liga E (GPa) G (GPa) ␷

Alumínio 71,7 26,9 0,33

Bronze 106 40,1 0,32

Cobre 119 44,7 0,33

Aço carbono 207 79,3 0,29

Ferro fundido cinzento 100 41,4 0,21

Inconel 214 75,8 0,29 Magnésio 44,8 16,5 0,35 Molibdênio 331 117 0,31 Aço níquel 207 79,3 0,29 Aço inoxidável 190 73,1 0,31 C0010.indd 11 C0010.indd 11 10/07/18 9:58 AM10/07/18 9:58 AM

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FIGURA 2.7 Diagrama tensão x deformação típico para um ensaio de torção. FIGURA 2.6 Diagrama tensão x deformação típico de um material frágil.

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13

Projeto Mecânico

Nessas circunstâncias, a Lei de Hooke permanece válida desde que escrita na forma:

γ

τ =G _(2.8)

onde “G” (inclinação da curva tensão x deformação na região linearizada do gráfi co) corresponde ao módulo de elasticidade transversal ou módulo de rigidez do material, “ τ ” é a tensão de cisalhamento e “ γ ” corresponde à distorção angular (nesse caso, em radianos).

Os módulos de elasticidade longitudinal e transversal, além do coefi ciente de Pois-son, de um determinado material podem ainda ser agrupados numa única relação, ou mais especifi camente, na forma:

) 1 ( 2 +_υ = E G (2.9)

6 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO REAL OU VERDADEIRO

Os diagramas tensão x deformação convencionais, também chamados diagramas tensão x deformação de engenharia, são obtidos com base nas dimensões originais do corpo de prova em análise, traduzindo, com isso, resultados não totalmente verdadeiros, visto que as dimensões do corpo de prova variam de forma mais signifi cativa após o ensaio ultrapassar o regime elástico do material. Para completar, nos materiais dúcteis, o fenômeno da estricção instabiliza completamente a distribuição das deformações localizadas em decorrência do estado triplo de tensões que se estabelece na região da falha, ocasionando, com isso, divergências ainda maiores.

Visando corrigir tais distorções, torna-se possível a realização dos ensaios de tração designados como reais ou verdadeiros, nos quais as propriedades do material se baseiam nos valores instantâneos da secção transversal do corpo de prova. O resultado, nessa circunstância, será traduzido por meio de diagramas tensão x deformação diferenciados, conforme pode ser observado na Figura 2.8 .

Deve-se destacar, porém, que na prática e nos ensaios industriais de rotina os ensaios de tração convencionais ou de engenharia permanecem sendo corriqueiramente utilizados, tendo-se em vista a rapidez e facilidade quanto à obtenção dos resultados es-perados. Nessas circunstâncias, os ensaios reais ou verdadeiros acabam se restringindo a trabalhos de pesquisa e de desenvolvimento de novos materiais.

6.1 Tensão e deformação verdadeiras

As expressões válidas para se defi nir a deformação e a tensão verdadeiras são, evidente-mente, diferenciadas das anteriormente apresentadas. A tensão de tração real é defi nida com base no quociente entre a carga atuante em qualquer instante do ensaio e a área da secção transversal do corpo de prova nesse mesmo instante, ou seja:

i i i A P = σ (2.10)

Já a deformação real é baseada na variação do comprimento do corpo de prova em relação ao comprimento base de medida instantânea (em vez do comprimento inicial

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do corpo de prova). Dessa forma, com a aplicação de uma carga “P i _{”, o comprimento}

inicial passa de “L o ” para “L i ”. Da mesma forma, aumentando a carga em uma pequena

quantidade “dP i _{”, o comprimento aumentará “dL}

i ”. Com isso, a deformação real resulta

em:

[ ]

= _⎜⎜⎝⎛ _⎟⎟⎠⎞ = =

_∫

o L L L L i i i real L L L L dL o o ln ln ε (2.11)

6.2 Correlação entre tensões e deformações reais (verdadeiras) e de

engenharia (convencionais)

Retomando-se as Equações 2.2 e 2.11, pode-se considerar:

ε ε = Δ = − = −1⇒ =1+ o o o o o L L L L L L L L L e ainda: ) 1 ln( ln _ε ε = + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = o real L L (2.12)

Para o caso das tensões, parte-se da premissa que o volume do corpo de prova per-manece constante no transcorrer do ensaio. Com isso: A o L o = AL, ou ainda, A o /A = L/

L o , sendo possível escrever:

FIGURA 2.8 Diagramas tensão x deformação verdadeira e de engenharia.

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15 Projeto Mecânico ε ε ε ε + = ⇒ + = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = 1 1 ln ) 1 ln( o i i o o real A A A A A A

A substituição desse valor de área instantânea na Equação 2.10 resultará enfi m em: ) 1 ( 1 + = ⇒ + = = ε σ ε σ o real o i i i A P A P A P (2.13) 6.3 Curvas de escoamento

As curvas tensão x deformação obtidas por meio de ensaios de tração reais ou verda-deiros podem ser designadas como curvas de escoamento ( fl ow curve ). Isso decorre da condição de estas curvas representarem as características de plasticidade do material considerado. Com isso, problemas de plasticidade são costumeiramente relacionados com base em curvas tensão x deformação obtidas por carregamento uniaxial, desde que esses sejam avaliados em termos da tensão e deformação verdadeiras. Matemati-camente, uma das expressões que representa esses resultados de forma satisfatória é a equação de Hollomon, escrita na forma:

n

Kε

σ = (2.14)

onde “n” representa o coefi ciente de encruamento e “K” é a constante plástica de resistência. O expoente de encruamento fornece a capacidade do material em dis-tribuir a deformação uniformemente, ou mais especifi camente, mede a capacidade de encruamento do material, variando entre zero (material perfeitamente plástico) e a unidade (material elástico), assumindo ainda os valores de 0,10 a 0,60 para a maioria dos metais.

A constante plástica de resistência mede a tensão real quando “ ε ” = 1, tendo, assim, unidade dimensional de tensão.

Observe ainda que a Equação 2.14 tem validade apenas no trecho compreendido entre o escoamento plástico e a carga máxima ou de ruptura do material.

A determinação experimental dos valores de “K” e “n” é mais facilmente obtida por meio da transformação da Equação 2.14 na forma:

ε σ log log

log = K+n _(2.15)

escrevendo-se os resultados num papel log-log, conforme esquematizado pela Figura 2.9 .

6.4 Curvas de escoamento idealizadas

Visando simplifi car o equacionamento matemático, utiliza-se ainda, na prática, o con-ceito das curvas de escoamento idealizadas, as quais além de simplifi car o tratamento matemático do problema apresentam resultados que costumeiramente não fogem muito da realidade física do problema. São comuns as curvas de escoamento idealizadas do tipo: a) material plástico rígido ideal, b) material plástico ideal com regime elástico e c) material com encruamento linear, conforme pode ser observado esquematicamente por meio das curvas da Figura 2.10 .

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(27)

7 O ENCRUAMENTO

A região plástica de um material é caracterizada pelo endurecimento obtido por meio da deformação a frio, ou mais especifi camente, pelo chamado encruamento deste. Dessa forma, pode-se dizer que o encruamento de um metal corresponde ao seu endureci-mento por deformação plástica. Considere, por exemplo, o diagrama representativo da Figura 2.11 .

Nesse diagrama, decorrente de um ensaio de tração realizado num aço de baixo carbono, o ponto “M” corresponde ao ponto até o qual o material é carregado, dentro da zona plástica, e na sequência descarregado até o ponto “N”. Esse procedimento faz com que o escoamento ocorrido deixe de existir em virtude de as discordâncias terem se libertado da região congestionada de átomos no interior da estrutura do material, além de caracterizar a presença de uma deformação plástica permanente ( ε p ).

Em havendo, logo na sequência do processo, um novo carregamento, esse terá início a partir do ponto “N”, ocasionando agora uma deformação elástica ( ε e )

equi-valente ao segmento NQ. Esse procedimento ocorre como se o ensaio tivesse sido iniciado novamente, mas agora a partir do ponto “N”. Tal condição permite verifi car

FIGURA 2.10 Exemplos de curvas de escoamento idealizadas, supondo material: (a) plástico rígido ideal, (b) plástico ideal com regime elástico e (c) com encruamento linear.

FIGURA 2.9 Determinação experimental do coeﬁ ciente de encruamento (n = tg θ ) e da constante plástica de resistência.

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(28)

17

Projeto Mecânico

que o limite de resistência do material será muito pouco afetado por qualquer des-carregamento ocorrido ao longo do ensaio.

O fenômeno do encruamento ocorre basicamente porque os metais se deformam plasticamente em decorrência do movimento de discordâncias, as quais interagem diretamente entre si ou indiretamente com outras imperfeições e obstáculos. Tais interações levam a uma redução de mobilidade dessas discordâncias, acarretando um maior nível de tensão para provocar maiores deformações plásticas. Como exemplo, um metal deformado plasticamente contém cerca de 10 12_{discordâncias}

por metro quadrado, contra um patamar de 10 6_{a 10}8_{discordâncias pela mesma}

unidade de área presente em materiais que não tenham sofrido qualquer tipo de deformação plástica.

Diversas teorias têm sido propostas para explicar o encruamento, sendo que a maior difi culdade para tal reside no fato em se determinar como a densidade e a distribuição das discordâncias varia com a deformação plástica.

8 PROBLEMAS RESOLVIDOS

8.1 O diagrama tensão-deformação de uma liga de alumínio

(E = 75 GPa) é ilustrado em figura. Caso um corpo de prova deste material seja submetido a uma tensão de tração de 600 MPa, determine a deformação permanente do mesmo quando o carregamento é removido. Determine também o módulo de resiliência do material.

FIGURA 2.11 Efeito do encruamento num material carregado e descarregado de forma sequencial.

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(29)

Solução

A tangente do ângulo correspondente à inclinação do trecho reto do diagrama tensão x deformação equivale ao módulo de elasticidade longitudinal do material em análise. Utilizando esse conceito em relação ao triângulo CBD, obtém-se:

mm mm CD CD CD BD E 75(10 ) 600(10 ) 0,008 6 9 ₌ _⇒ ₌ ⇒ =

Como o segmento CD corresponde à parcela de deformação elástica recuperada, pode-se considerar que a deformação permanente será de:

mm mm

OC =0,023−0,008=0,015

ε

Para o módulo de resiliência, tem-se:

E u e R 2 2 1_σ =

(

)

3 9 2 6 / 35 , 1 ) 10 ( 75 ) 10 ( 450 2 1 m MJ uR = =

8.2 Um ﬁ o de cobre ao ser ensaiado apresenta uma estricção de 77%.

Para uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm 2_{, determine: (a) a tensão}

verdadeira de ruptura e (b) a deformação verdadeira na ruptura.

FIGURA 2.12 Problema resolvido 8.1.

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19

Projeto Mecânico

Solução

A tensão verdadeira de ruptura pode ser equacionada na forma:

f i i i A P A P = = σ

enquanto a área fi nal do fi o em análise vale:

o f o f o A A A A A ) 1 ( _ψ ψ = − ⇒ = −

A força atuante no fi o de cobre pode, ainda, ser defi nida com base na tensão de engenharia na forma:

( )

o o A P A P σ σ = ⇒ = resultando, após as devidas substituições:

2 / 43 , 130 ) 77 , 0 1 ( 30 ) 1 ( ) ( mm kgf A A A P o O f i = − = − = = ψ σ σ

Para se defi nir a deformação verdadeira, tem-se:

% 147 ) 77 , 0 1 ( 1 ln ) 1 ( ln ln _⎜⎜⎝⎛ _⎟⎟⎠⎞≅ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = o o f o real A A A A ψ ε

8.3 Um ensaio de tração utiliza um corpo de prova de aço com secção

circular e diâmetro inicial de 9,14 mm. Para as cargas de 2224 kgf e 2905 kgf, os diâmetros medidos foram de 8,69 mm e 8,33 mm, respectivamente. Determine a tensão e a deformação real para as duas cargas, assim como os coeﬁ cientes “K” e “n”.

Solução

As áreas de secção transversal valem:

2 2 33 , 8 54,5 4 ) 33 , 8 ( mm A =π = 2 2 69 , 8 59,31 4 ) 69 , 8 ( mm A =π =

Logo, para o caso das tensões, tem-se:

2 33 , 8 ₅₄_,₅ 53,3 / 2905 mm kgf A P i i ₌ ₌ = σ 2 69 , 8 ₅₉_,₃₁ 37,5 / 2224 mm kgf A P i i ₌ ₌ = σ C0010.indd 19 C0010.indd 19 10/07/18 9:58 AM10/07/18 9:58 AM

(31)

20 CAPÍTULO 2 Modos de falha e comportamento mecânico dos materiais Deformações: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = A A_o real ln ε 185 , 0 5 , 54 4 ) 14 , 9 ( ln 2 33 , 8 = ⎜⎜⎝⎛π ⎟⎟⎠⎞= ε 101 , 0 31 , 59 4 ) 14 , 9 ( ln 2 69 , 8 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = π ε

Por fi m, considerando-se o sistema:

n K(0,101) 5 , 37 = n K(0,185) 3 , 53 = chega-se fi nalmente a: 2 / 1 , 142 581 , 0 K kgf mm n= =

8.4 Um tubo de comprimento 0,5 m, diâmetro externo de 130 mm e

espessura de parede de 15 mm é submetido a uma carga compressiva de 200 kN. Determine: a) a variação ( Δ L) do seu comprimento; b)a variação ( Δ D) do seu diâmetro externo; e c) a variação ( Δ t) da sua espessura de parede. Dados: E = 70 GPa e ␷ = 0,3.

Solução

A secção transversal do tubo vale:

mm Di =130−2(15)=100

(

2 2

)

(

₀_.₁₃2 ₀_.₁₀2

)

₀_,₀₀₅₄ 2 4 4 D D mm A=π _e − _i =π − =

a) manipulando-se a Lei de Hooke em função da deformação específi ca, chega-se a:

E A PL L L L E A P E o o o o = Δ ⇒ Δ = ⇒ = ε σ mm L 0,265 )) 10 ( 70 ( 0054 , 0 5 , 0 ) 10 ( 200 9 3 − = − = Δ

b) em termos de deformações transversais, obtém-s e:

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(32)

21 Projeto Mecânico mm mm L L o t t ₅₀₀ 0,000159 ) 265 , 0 ( 3 , 0 − = − = Δ − = ⇒ − = υε ε υ ε mm D D D o t ⇒Δ =0,000159(130)=0,021 Δ = ε mm t t t t ⇒Δ =0,000159(15)=0,0024 Δ = ε

8.5 Certa liga de alumínio apresenta tensão de escoamento = 40 kpsi,

deformação especíﬁ ca em escoamento = 0,004, tensão de ruptura = 45 kpsi e deformação específica em ruptura = 0,017. Determine as correspondentes relações tensão x deformação considerando o modelo de: a) um material plástico ideal com regime elástico e b) um material com encruamento linear.

Solução a) kpsi E e e 10000 004 , 0 40 = = = ε σ Logo: 004 , 0 40 004 , 0 ) ( 10000 > ⇒ = ≤ ⇒ = ε σ ε ε σ kpsi

b) considerando os pontos correspondentes ao escoamento e a ruptura do material, torna-se possível defi nir a inclinação do trecho linear após o escoamento do material na forma: kpsi E 384,62 004 , 0 017 , 0 40 45 = − − = Logo: 004 , 0 ) 004 , 0 ( 62 , 384 40 004 , 0 ) ( 10000 > ⇒ − + = ≤ ⇒ = ε ε σ ε ε σ

Nomenclatura

AΔ - variação de secção transversal LΔ - variação de comprimento

ε - deformação específi ca longitudinal ε - deformação específi ca longitudinal real real

ε - deformação específi ca transversal t

γ - distorção angular (rad) σ - tensão normal

σ - limite de escoamento do material e

p

σ - limite de proporcionalidade do material

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(33)

real

σ - tensão normal real ou verdadeira rup

σ - limite de ruptura do material

τ - tensão tangencial ou de cisalhamento

τ - limite de ruptura em cisalhamento do material rup

υ - coefi ciente de Poisson

ψ - redução de secção transversal A - área da secção transversal

A - área da secção transversal no instante “i” i

A - área da secção transversal inicial o

E - módulo de elasticidade longitudinal

G - módulo de elasticidade transversal (rigidez)

K - constante plástica de resistência L - comprimento

L - comprimento no instante “i” i

L - comprimento inicial o

n - expoente de encruamento

P - força ou carga axial

P - carga atuante no instante “i” i

u - módulo de resiliência R

u - módulo de tenacidade T

Referências

Boresi AP , Schmidt RJ . Advanced Mechanics of Materials . 6ª ed. Nova York : John Wiley & Sons, Inc ; 2003 .

Braga, A. Critérios de Escoamento. Notas de aula da disciplina Mecânica dos Sólidos II. Departamento de Engenharia Mecânica. Rio de Janeiro: PUC-Rio.

Callister WD . Ciência e Engenharia de Materiais – uma introdução . 5ª ed. Rio de Janeiro : LTC ; 1999 .

Seely FB , Newton EE . Analytical Mechanics for Engineers . Nova York : John Wiley & Sons, Inc ; 1947 .

Souza SA . Ensaios Mecânicos de Materiais Metálicos . 5ª ed. São Paulo : Edgard Blucher Ltda ; 1984 . Ugural AC . Mecânica dos Materiais . Rio de Janeiro : LTC ; 2009 .

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J

ULIO

C

ÉZAR DE

A

LMEID A

PR

OJETO MECÂNIC

O

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JULIO CÉZAR DE ALMEIDA é professor do Departamento de Engenharia Mecânica e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFPR, com especialização pela PUC-PR, mestrado pela UFSC e doutorado pela PUC-PR.

Como engenheiro, é gerente de operações da Companhia Paranaense de Gás (COMPA-GAS), empresa estatal respon-sável pela distribuição de gás natural no Estado do Paraná.

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