UMA DISCUSSÃO SOBRE A IMPORTÂNCIA DE UM ENSINO PROBLEMATIZADO: O CONHECIMENTO DE NÚMEROS IRRACIONAIS DE LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA

UMA DISCUSSÃO SOBRE A IMPORTÂNCIA DE UM ENSINO

PROBLEMATIZADO: O CONHECIMENTO DE NÚMEROS

IRRACIONAIS DE LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA

Eixo Temático:

Adriana Oliveira Bernardes1 Geisa Abreu Lira Corrêa dos Santos2

Resumo

A maneira como se ensinam números irracionais na escola depende fortemente da formação do professor. O tema pode ser ensinado a partir de definições ou a partir de problematizações, e neste caso certamente contribuirá para um melhor aprendizado do aluno. Quando pensamos em realizar este trabalho, consideramos que raramente o professor de Matemática utiliza outros recursos além do quadro e do livro didático, o que torna o ensino fortemente limitado. Por essa razão, desejávamos sondar o conhecimento de licenciandos a partir de tal pressuposto. O objetivo deste trabalho é apresentar o conhecimento de números irracionais de licenciandos em Matemática considerando a importância do tema em sua formação e a necessidade de conhecermos os conhecimentos que trazem do Ensino Fundamental, Médio e o obtido na própria universidade. Em todas as questões, o número de alunos que não conseguiram responder às perguntas chegou a 36%, o que é preocupante, já que se trata de alunos que futuramente estarão em sala de aula. Acreditamos que problematizar o conteúdo seja fundamental para o melhor entendimento do tema. Assim, tais reflexões precisam chegar a futuros professores. Palavras-chave: Ensino de Matemática; Formação de Professores; Números Irracionais; Ensino Médio.

Introdução

Vários trabalhos abordam questões relacionadas aos números irracionais e algumas dificuldades em seu ensino na Educação Básica. Essa dificuldade se verifica no âmbito de sua definição, além da pouca discussão presente nos livros.

O surgimento dos irracionais remonta à Grécia Antiga, com a medida da diagonal do quadrado de lado um.

1 _{Universidade Federal do Rio de Janeiro, física.adrianabernardes@gmail.com} 2 _{Colégio Pedro II, geisalanis@gmail.com}

Nas escolas, na maioria das vezes, a discussão dos números irracionais se dá sem problematização do tema, com a apresentação somente da definição. Nestes casos, normalmente a definição de número irracional é feita em relação ao que ele não é.

No ensino de Matemática nas escolas, o tema “conjuntos numéricos” é trabalhado tanto no Ensino Fundamental quanto no Médio e para o seu ensino são utilizados como recursos, na maioria das vezes, apenas o quadro e o livro didático.

Em relação a tal aprendizado, discutindo o ensino problematizado, os Planos Curriculares Nacionais ressaltam que:

Nesse processo, o aluno perceberá a existência de diversas categorias numéricas criadas em função de diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar — números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias e decimais) e números irracionais. À medida que se deparar com situações-problema − envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação −, ele irá ampliando seu conceito de número (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1999, p. 35).

Ressaltamos que tais habilidades e competências apresentadas pelos PCNs são adquiridas em função da problematização do conteúdo, porém isso nem sempre ocorre, preferindo o professor trabalhar unicamente com as definições. A questão a ser discutida então é: Será que este professor teria como realizar este trabalho problematizando? As respostas que surgem quando o professor é questionado nos leva a crer que ele ensinaria a partir de problematizações?

Vários autores têm discutido a questão das lacunas existentes no conhecimento dos professores em relação ao tema “conjuntos”, o que mostra a importância da realização de pesquisas envolvendo alunos de licenciatura no âmbito da formação de professores.

O autor mencionado abaixo apresenta resultados que mostram lacunas existentes na formação dos professores através dos seguintes resultados obtidos em pesquisa:

Os resultados indicaram lacunas nos conhecimentos dos professores, em relação à ampliação dos campos numéricos, desde o conjunto dos números naturais, que transparecem em respostas formuladas por: “números racionais são todos os números inteiros (somente) e positivos” (prof. C) e “já os números irracionais são números que não fazem parte dos reais e são as dízimas não periódicas e o mais famoso é o número𝜋” (prof. R) (PIETROPAULO; CARBO, 2012, p. 4980).

Verificamos, então, que os professores participantes da pesquisa supramencionada definem os irracionais a partir do que ele não é. Em relação aos resultados encontrados na pesquisa, o mesmo autor aborda que:

Em nossa interpretação, os resultados aqui analisados deixam transparecer lacunas nos programas praticados nos cursos de formação de professores de Matemática, no que concerne aos números irracionais e ao seu ensino e, além disso, evidenciam a necessidade de uma discussão e de uma reflexão sobre a importância e a indispensabilidade desse conteúdo, nos currículos de Matemática (PIETROPAULO; CARBO, 2012, p. 4984).

Tal preocupação também ficou evidente no curso de Análise Real, realizado por uma das autoras, onde temas como este são discutidos. Mostrou-se necessário enfatizar que nos cursos de formação de professores é importante que seja dada a devida importância à problematização em detrimento das definições que devem vir posteriormente.

Ainda em relação ao trabalho dos professores, este mesmo autor afirma que:

Como exemplo, para a questão enunciada por: “Que estratégias você considera que um professor deveria utilizar, para propiciar a alunos de 8ª série do Ensino Fundamental a construção do significado de número irracional?”, sete professores sugeriram a proposição de situações que envolvam operações com resultados irracionais, provavelmente como estratégia que provoque o impasse da impossibilidade de se obter um resultado racional (PIETROPAULO; CARBO, 2012, p. 4981).

Assim, oficinas em que discutiriam o tema seriam de suma importância para o licenciando, sendo que o trabalho aqui apresentado é um recorte de uma experiência realizada por alunos de doutorado com o oferecimento de oficinas sobre o tema, em que, incialmente, é aplicado um questionário sobre o conhecimento prévio dos alunos, que aqui será apresentado.

Em relação aos números irracionais, Broetto e Wagner (2017, p. 34) mencionam que: “Primeiro, destacamos um aspecto comum das três definições, que é a caracterização do número irracional em termos do que ele NÃO é.” Os autores classificam, então, como com pouca utilidade a definição para realização de operações.

Em Broetto e Wagner (2019) são apresentadas as seguintes definições sobre números irracionais:

i) números que não podem ser representados como frações de inteiros; ii) números cuja representação decimal é infinita e não-periódica; iii) números reais que não são racionais (POMMER, 2012; SOARES; FERREIRA; MOREIRA, 1999; SOUTO, 2010).

As abordagens do tema normalmente são feitas tal como discutem os autores a seguir:

Atualmente, a abordagem mais frequente para os conjuntos numéricos na educação básica privilegia a visão do número como uma quantidade discreta. Em geral, inicia-se tomando os números naturais como resposta à necessidade humana de contar objetos. Mas, como a subtração de dois números naturais nem sempre é um número natural, amplia-se o conceito de número, dando origem aos inteiros. Em seguida, como a divisão de inteiros nem sempre é um número inteiro, resolve-se esse problema novamente com uma ampliação, dando origem aos racionais. Porém, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão com números racionais resultam em números racionais, e o mesmo argumento não pode ser usado novamente para estender o conceito de número. A extensão seguinte para os irracionais, e posteriormente para os reais, passará muito provavelmente pelo argumento da medição de segmentos (BROETTO; WAGNER, 2017, p. 39).

Consideramos que é neste contexto que os irracionais devem ser discutidos com os alunos, retomando as ideias dos gregos, quando trabalhando com triângulos de lado igual a um não encontraram um número que fosse conhecido por eles.

Neste contexto, no qual se discutem conjuntos numéricos, é importante o conceito de densidade, apresentado a seguir:

Um conjunto X é chamado denso em R quando todo intervalo aberto (a,b) contido em R possui algum ponto de X. O conjunto dos números racionais é denso em X, pois em qualquer intervalo de números reais existe um número racional. O mesmo acontece com os números irracionais, isto é, em qualquer intervalo de números reais existe um número irracional (BROETTO; WAGNER, 2017, p. 61).

Em relação à importância dos números e o que é importante aprender sobre eles, os autores abaixo abordam:

Desenvolver o sentido de número, ou seja, adquirir uma compreensão global dos números e das operações e usá-la de modo flexível para analisar situações e desenvolver estratégias úteis para lidar com os números e as operações é um objetivo central da aprendizagem da Matemática (ROCHA; KINDEL, 2017, p. 2).

O conhecimento prévio do aluno é sempre importante quando se inicia um trabalho com determinado conteúdo, porém, quando estes alunos são licenciandos em Matemática, podemos verificar seus conhecimentos oriundos do Ensino Médio, bem como sondar o que vêm aprendendo durante a graduação.

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (1996) institui a importância de uma formação cidadã dos alunos na Educação Básica e isso se dará de forma efetiva quando o professor, em sala de aula, ensinar de forma compreensível ao aluno, utilizando recursos diversificados e principalmente problematizações, sendo que tal contexto é necessário também para outras disciplinas. Assim, torna-se fundamental que em sua formação licenciandos em Matemática tenham a oportunidade de conhecer variadas formas de ensinar e também o que deve ser evitado em sua prática.

A afirmação acima é reforçada nas Orientações Curriculares Nacionais (2002):

De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), o ensino médio tem como finalidades centrais não apenas a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos durante o nível fundamental, no intuito de garantir a continuidade de estudos, mas também a preparação para o trabalho e para o exercício da cidadania, a formação ética, o desenvolvimento da autonomia intelectual e a compreensão dos processos produtivos (ORIENTAÇÕS CURRICULARES NACIONAIS, 2006, p. 69).

Este trabalho é um recorte de outro realizado em turma de graduandos em licenciatura em Matemática no qual se pretendia discutir o tema números irracionais por meio de oficinas, e tais resultados foram obtidos anteriormente à aplicação do trabalho junto aos alunos.

Objetivos Gerais

O objetivo deste artigo é sondar o conhecimento de licenciando em Matemática a respeito dos números irracionais e a maneira como ele os definem.

Metodologia

O trabalho foi realizado no âmbito da disciplina ministrada a graduandos em Licenciatura em Matemática da UFRJ, da qual faziam parte 17 alunos de ambos os sexos.

Foi aplicado, então, um questionário estruturado com sete questões, seis abertas e uma fechada (questão 2).

Em relação aos questionários, temos, segundo Carnevalli e Miguel (2001), que “O questionário é um conjunto de perguntas, que a pessoa lê e responde sem a presença de um

entrevistador. Ele pode ser enviado via correio, fax, Internet, etc., sendo devolvido, geralmente, pelo correio”.

O questionário é apresentado abaixo:

1.1) A partir do que você aprendeu na Educação Básica, verifique se os números a seguir são racionais e justifique sua resposta.

Número Sim Não Justificativa

-4/15 15/17 √3+ √2 0, 033333... 5,12121212... 3π/4 √5/3 0,5555... 3,1416... 25/6 3,456 3_√81

1.2) Quantos números racionais existem entre 2/3 e ¾? a) Um

b) Muitos números c) Infinitos números d) Nenhum número

1.3) Existe algum número irracional no intervalo (1/3, 1/2)? Se sim, escreva esse número em notação decimal. Em caso negativo, justifique.

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

1.4) Determine um número entre 2/3 e ¾.

______________________________________________________________________

1.5) Defina irracionais.

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

1.6) Qual a diferença entre um número racional e irracional?

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

1.7) Em relação às afirmações, marque V ou F e justifique:

Afirmação V F Justificativa

Entre dois racionais há pelo menos um racional

Entre dois irracionais há pelo menos um irracional

Entre dois racionais há pelo menos um irracional

Entre dois irracionais há pelo menos um racional

Neste trabalho foram utilizadas as pesquisas quantitativa e qualitativa. Em relação à pesquisa quantitativa, em Fonseca apud Gehardt (2009) é esclarecido que:

Diferentemente da pesquisa qualitativa, os resultados da pesquisa quantitativa podem ser quantificados. Como as amostras geralmente são grandes e consideradas representativas da população, os resultados são tomados como se constituíssem um

retrato real de toda a população alvo da pesquisa. A pesquisa quantitativa se centra na objetividade. Influenciada pelo positivismo, considera que a realidade só pode ser compreendida com base na análise de dados brutos, recolhidos com o auxílio de instrumentos padronizados e neutros. A pesquisa quantitativa recorre à linguagem matemática para descrever as causas de um fenômeno, as relações entre variáveis, etc. A utilização conjunta da pesquisa qualitativa e quantitativa permite recolher mais informações do que se poderia conseguir isoladamente (p. 33).

Discutindo a utilização das pesquisas quantitativa e qualitativa, Manzato e Santos (2012) apontam que:

De modo geral a pesquisa qualitativa tem gerado muitas controvérsias e discussões na medida em que normalmente não pode ser mensurada estatisticamente (relação universo amostra). No entanto, sua aplicabilidade tem auxiliado tanto no apoio às pesquisas quantitativas quanto como elemento informativo em si (p. 6).

Em relação à pesquisa qualitativa, segundo Godoy (1995), existem três possibilidades, já que “A abordagem qualitativa oferece três diferentes possibilidades de se realizar pesquisa: a pesquisa documental, o estudo de caso e a etnografia”.

Sobre o estudo de caso, a autora esclarece que:

O propósito fundamental do estudo de caso (como tipo de pesquisa) é analisar intensivamente uma dada unidade social, que pode ser, por exemplo, um líder sindical, uma empresa que vem desenvolvendo um sistema inédito de controle de qualidade, o grupo de pessoas envolvido com a CIPA (Comissão Interna de Prevenção de Acidentes) de uma grande indústria que apresenta baixos índices de acidente de trabalho. Na pesquisa acadêmica em administração de empresas, o estudo de caso tem sido bastante divulgado e utilizado na área de marketing, conforme é atestado por Campomar em ensaio sobre o tema (GODOY, 1995, p. 25).

Em relação ao estudo de caso em Godoy (1995), a autora discute ainda que esse estudo tem se tornado a estratégia preferida quando autores desejam responder a questões “como” e “por quê”, no caso em que existe pouco controle sobre os eventos estudados e quando os fenômenos só poderão ser analisados dentro de um contexto de vida real.

Resultados

O questionário aplicado aos alunos era composto de sete questões: seis questões abertas e uma fechada.

A questão 1 abordava o conhecimento da definição de números racionais e avaliava sua capacidade de reconhecer se um número era irracional, solicitando também que os alunos justificassem a resposta.

A questão possuía 12 itens a serem avaliados pelos alunos, relacionados ao que foi descrito. Para essa questão, os alunos obtiveram 100% de acerto e utilizaram dois tipos de justificativa. O primeiro grupo afirmava que era um número irracional, pois não poderia ser colocado em forma de fração; e o segundo grupo afirmava que não se tratava de uma dízima periódica, portanto, o número era irracional.

A questão 2 era uma questão fechada e abordava racionais, perguntando aos alunos quantos racionais existiam entre 2/3 e ¾, apresentando quatro respostas possíveis.

No gráfico da Figura 1 abaixo apresentamos os resultados:

Figura 1 – Acertos da questão 2. Fonte: Adriana O. Bernardes

Na questão 2, 64% dos alunos acertaram, 18% erraram e 18% não responderam. A questão 3 era uma questão aberta que procurava investigar se existia racional entre 1/3 e ½ e solicitava que ele fosse escrito em decimal e, caso não existisse, que fosse justificado.

No gráfico da Figura 2 abaixo apresentamos os resultados:

Série1; Para questão 2 os números de acertos foram:; 0; 0% Série1; Acertaram; 7; 64% Série1; Erraram; 2; 18% Série1; Não responderam ; 2; 18% Acertos da questão 2

Figura 2 – Acertos da Questão 3. Fonte: Adriana O. Bernardes

Na questão 3, 82% dos alunos acertaram, 0% erraram e 18% não responderam. A questão 4 era aberta e pedia que se determinasse um número entre 2/3 e ¾. No gráfico da Figura 4 abaixo apresentamos os resultados:

Figura 3 – Acertos da questão 4.

Na questão 4, 64% dos alunos acertaram, 0% errou e 36% não responderam.

A questão 5 era aberta e solicitava a definição de irracionais. Três alunos, entre os onze que responderam ao questionário, justificaram afirmando que era um número que poderia ser colocado em forma de fração ou que era uma dízima periódica. Oito alunos não responderam à questão. Série1; Acertos da questão 3; 0; 0% Série1; Acertaram; 9; 82% Série1; Erraram; 0; 0% Série1; Não responderam; 2; 18% Acertos da questão 3 Série1; Acertos da questão 4; 0; 0% Série1; Acertaram; 7; 64% Série1; Erraram; 0; 0% Série1; Não responderam; 4; 36% Acertos da questão 4

No gráfico da Figura 4 a seguir, apresentamos os resultados:

Figura 4 – Acertos da questão 5.

Na questão 5, 64% dos alunos acertaram, 0% errou e 36% não responderam. Em relação aos alunos que acertaram, 100% definiu número irracional pelo que ele não é.

A questão 6 era aberta e solicitava ao aluno estabelecer uma diferença entre número racional e irracional. Seis alunos não responderam e entre os cinco alunos que responderam as justificativas eram que: um poderia ser colocado em forma de fração e o outro não, e também apareceu a resposta de que um era dízima periódica e o outro não.

No gráfico da Figura 6 apresentamos os resultados:

Figura 6 – Acertos da questão 6.

Na questão 6, 64% dos alunos acertaram, 0% errou e 36% não responderam à questão.

Série1; Acertos da questão 5; 0; 0% Série1; Acertaram; 7; 64% Série1; Erraram; 0; 0% Série1; Não responderam ; 4; 36% Acertos da questão 5 Série1; Acertos da questão 5; 0; 0% Série1; Acertaram; 7; 64% Série1; Erraram; 0; 0% Série1; Não responderam ; 4; 36% Acertos da questão 6

A questão 7 era uma em que o aluno deveria marcar verdadeiro ou falso e contava com quatro itens a serem analisados e justificados.

Para a questão 7, no primeiro item a ser analisado pelos alunos, houve 7 acertos, 1 erro e 3 alunos não responderam à questão.

Para o segundo item a ser analisado pelos alunos, houve 6 acertos, dois erros e três alunos não fizeram.

Para o terceiro item a ser analisado pelos alunos, houve 6 acertos, 2 erros e três alunos não fizeram. Os dois erros existentes classificaram o item como falso, afirmando que podemos pegar dois racionais tão próximos quanto queiramos e assim não ter um irracional entre eles.

Nota-se que o aluno desconhece ou não compreende bem que tanto os racionais como os irracionais são densos na reta real. Entre dois irracionais sempre existe um racional e vice- versa. Dados dois números reais quaisquer, sempre é possível encontrar um racional e um irracional neste intervalo, por menor que ele seja, ou seja, dizemos que ambos os conjuntos (racionais e irracionais) estão completamente espalhados na reta.

Nas questões apresentadas no questionário, foram obtidos os seguintes resultados: para a primeira pergunta, que envolvia conhecimento sobre os números racionais e irracionais, todos acertaram, porém, ao serem indagados a respeito da definição de irracional, responderam o que ele não era. Na questão 2, que discutia densidade dos reais, 64% dos alunos acertaram, 18% erraram e 18% não responderam. Quanto à questão 3, que solicitava que o aluno encontrasse um número entre dois racionais, 82% dos alunos acertaram e 18% não responderam. Quanto à questão 4, que solicitava que encontrassem um número entre duas dízimas, 64% dos alunos acertaram, 36% não responderam e nenhum errou. Na questão 5, que solicitava uma definição de irracional, 64% dos alunos acertaram, 36% não responderam e nenhum errou. Na questão 6, que perguntava a diferença entre racional e irracional, 64% dos alunos acertaram, 36% não responderam e nenhum errou. E na questão 7, que contava com quatro itens para análise da densidade de números irracionais, a maioria dos alunos acertou todas as questões, no entanto, suas definições eram as mesmas do livros didáticos onde se definem irracionais pelo que ele não é.

Na verdade, o conceito de densidade poderia, ou melhor, deveria ser construído desde a Educação Básica, no 8º ano do Ensino Fundamental e na 1ª série do Ensino Médio, quando esses conjuntos são usualmente estudados sem necessariamente se falar na definição de conjunto denso. Uma ideia seria citar que ambos os conjuntos estão igualmente espalhados na

reta real, e principalmente não usar/desenhar esquemas onde os conjuntos aparecem em uma escala desproporcional que sugerem que o conjunto dos números racionais é “maior” que o dos irracionais.

Figura 7 – Representação gráfica dos conjuntos numéricos.

Na verdade, entraríamos em uma discussão mais profunda sobre enumerabilidade, quando dizemos que Q é enumerável, pois é possível estabelecer uma bijeção com N, ou seja, ambos têm a mesma cardinalidade. Não colocaremos as demonstrações, porque não são objetivo desde artigo, mas são facilmente encontradas em livros e na Internet. Por outro lado, segundo Thomé e Silva (2020, p. 6):

surge o seguinte questionamento: Conjuntos infinitos possuem a mesma cardinalidade ou “tamanho”? Em outras palavras, para qualquer conjunto infinito, é possível obter uma bijeção com os naturais? Veremos que existem conjuntos infinitos com cardinalidade maior do que o conjunto dos números naturais (...).

Daí surge a definição de conjuntos não enumeráveis onde R é não enumerável e por conseguinte I também.

Voltando à discussão do questionário, para o quarto item, houve 6 acertos, 2 erros e 3 alunos não fizeram.

Em relação às justificativas, também obtivemos respostas como as apresentadas nos livros didáticos, referendadas em trabalho realizado por Rocha e Kindel (2017), onde também se discute que:

De forma geral foi possível conceber que as caracterizações de número irracional mais encontradas nos livros didáticos se repetem nas respostas dos licenciandos em um formato de reprodução e raramente preenchido com algum significado real (p. 7).

Verificamos, então, a importância de um trabalho na formação de professores que aborde a importância da problematização para o ensino da Matemática, assim como um trabalho com a Matemática do dia a dia.

Considerações Finais

As dificuldades pelas quais passam o Ensino da Matemática no Brasil, que podem ser discutidas a partir de vários resultados obtidos em avaliações externas e internas, levam-nos a entender a importância em se oferecer uma boa formação a professores.

Contextualizações, problematizações e recursos variados são importantes e o que encontramos no ensino são professores que relatam a utilização principalmente de quadros e livros didáticos. Percebemos, então, que as dificuldades da maioria dos professores são provenientes do Ensino Básico.

Neste trabalho, no qual buscávamos levar a alunos oficinas que discutissem o tema “irracionais”, aplicamos inicialmente o questionário cuja análise deu origem a este artigo e que traz o conhecimento de licenciandos sobre o tema.

Obtivemos, então, dados que corroboram resultados obtidos por outros autores em relação ao conhecimento do licenciando sobre os números irracionais. Inicialmente, observamos que esses estudantes os definem a partir do que eles não são e devemos lembrar que, segundo Broetto e Wagner (2017), isso traz dificuldades para o ensino e aprendizagem da Matemática.

É preocupante notar que em todas as perguntas tivemos um percentual, algumas vezes considerável, de alunos que não as responderam, por não conseguirem ou não saberem as respostas. A preocupação deve-se ao fato de que esses alunos são licenciandos e, portanto, futuros professores. Logo, surge a indagação de como seria respondido este questionário por professores já formados e com experiência em sala de aula. Será que saberiam responder a todas estas perguntas e/ou definiriam irracionais da mesma forma que os licenciandos? Talvez a grande questão esteja em como esses conceitos são construídos para qualquer aluno lá na nossa Educação Básica e não sejam devidamente descontruídos e explicados durante a graduação em Matemática, para se entender por que graduandos, e mesmo os que já se formaram, não conseguem explicar de outra forma.

Referências

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BROETTO, Geraldo Claudio; SANTOS-WAGNER, Vânia Maria Pereira dos. Números

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_______________. O ensino de números irracionais na educação básica e na licenciatura em Matemática: um círculo vicioso está em curso? Bolema [online]. 2019, vol. 33, n. 64, pp. 728-747. Epub Aug 01, 2019. ISSN 1980-4415.

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