Un ive rsidad e de São Pa ulo Un ive rsidad e de São Pa ulo –– Facu ld ade de Edu cação Facu ld ade de Edu cação Di ssert ação de Mestr ado : Di ssert ação de Mestr ado : Área de Con centração Área de Con centração : En sin o de : En sin o de Ci ênci as e M atemática Ci ênci as e M atemática ““ Pará bo la e c at enár ia: hist ória e aplica ções ” Pará bo la e c at enár ia: hist ória e aplica ções ” Led a M aria Ba stoni Tal avera Led a M aria Ba stoni Tal avera Or ie ntador: Prof. Dr. A ntôni o Ca rlos Brol ezzi Or ie ntador: Prof. Dr. A ntôni o Ca rlos Brol ezzi 19 de março de 2008 19 de março de 2008
§§ Su rg iu Su rg iu aa pa rti r pa rti r dodo livrolivro di dát ico di dát ico dede OlavoOlavo Fr eire, Fr eire, NoçõesNoções dede geometriageometria pr át ic a pr át ic a,, emem suasua 1515 ªª ed içã o ed içã o dodo anoano dede 18 94 18 94 .. Pro blema de pesqu isa Pro blema de pesqu isa
Olav o Fr eire (S éc .XIX) -Exemplo s de pa rábo la
§§
U
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Ponte P ênsil como exem plo de pa rábol a Ponte P ênsil como exem plo de pa rábol a §§ “Em c ertas “Em c ertas po nt es pêns eis, po nt es pêns eis, a ca deia p resa a ca deia p resa ás hastes ás hastes verti ca is qu e verti ca is qu e su stent am o su stent am o estrado tem a estrado tem a fo rm a de um a fo rm a de um a parábo la”. parábo la”.
Osval do Sa ng iorgi (Séc.X X) Osval do Sa ng iorgi (Séc.X X)
Afin al pa rábo la ou c at enária ? Afin al pa rábo la ou c at enária ? §§ Com o a catenária é a c ur va qu e repr esenta o Com o a catenária é a c ur va qu e repr esenta o fo rm ato de um ca bo sus pens o pelas extrem id ades fo rm ato de um ca bo sus pens o pelas extrem id ades so b a açã o d o seu p ró pr io peso , sur gi u o in teresse so b a açã o d o seu p ró pr io peso , sur gi u o in teresse em estud ar po r qu e a parábola, e em estud ar po r qu e a parábola, e nãonão a ca tenária, é a ca tenária, é us ada pelos auto res. us ada pelos auto res.
Ob jet os de pesqu isa Ob jet os de pesqu isa
§§
Este
trab
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tem
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Este
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Capítu
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Capítu
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Uso
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Cap ítu lo 1: Cap ítu lo 1: A par áb ol a e a p on te pênsil no livro de A par áb ol a e a p on te pênsil no livro de Olavo Freire Olavo Freire §§ Chervel: L ivr os didáticos são fon tes im po rtantes Chervel: L ivr os didáticos são fon tes im po rtantes do s saberes escolares. do s saberes escolares. §§ ““É convenient e qu e o ensin o se a dapte a orientaçã o especia l da cultu ra de c ada é po ca ”. (Kle in , 1908:282) . §§ Re fo rm a Be njam in Const ant (1 89 0) , ba sea da no Re fo rm a Be njam in Const ant (1 89 0) , ba sea da no po sit iv ismo de Augu st C om te/ m atem ática concreta po sit iv ismo de Augu st C om te/ m atem ática concreta com pr ee nd ia a g eom etria e a m ec ânica. com pr ee nd ia a g eom etria e a m ec ânica.
Ge ometria Práti ca Ge ometria Práti ca § No in ício da educaç ão esc ol ar brasi leira: Organ izaç ão de texto s di dáticos baseados em liv ro s de autor es fr ance ses com o os de B élido r (1 69 7-17 61 ). § Com C lairaut (17 13 -17 65 ) : Pri m eira reaç ão con trária à abor dagem e uclid ea na no e ns in o da geom etria, através da ob ra Élém ents de géométrie . § O estu do da geom etria vi sava reso lv er pr ob lem as de artilh aria e fo rti ficaç ões: Saber P rático / Ge om etria Pr ática .
Matem ática Militar: In st ru m ento s Matem ática Militar: In st ru m ento s geomé tri cos n o sécul o XVII geomé tri cos n o sécul o XVII
So bre o au to r Olavo Fr eir e So bre o au to r Olavo Fr eir e § “Um a alteraçã o si gn ifi ca tiv a na abor dagem da Geom etria aparec eu no fin al do séc ul o XIX com o liv ro in titu lado Geome tri a p rá tica de Olavo Freire” (Sil va 2000: 148)
O que troux e d e no vo o liv ro de Olav o Fr eire ? O que troux e d e no vo o liv ro de Olav o Fr eire ? §§ Abo liu os a xi om as, o s enun ciados e d em on str aç ões de Abo liu os a xi om as, o s enun ciados e d em on str aç ões de teorem as. teorem as. §§ Vincul ou os c on ce ito s geom étricos a p ro bl em as da Vincul ou os c on ce ito s geom étricos a p ro bl em as da vi da cotid iana. vi da cotid iana. §§ In cluiu m ui tas fig ur as para ilu str ar os c on ce ito s e In cluiu m ui tas fig ur as para ilu str ar os c on ce ito s e vi ncul á vi ncul á--lo s ao cotid iano do a lu no . lo s ao cotid iano do a lu no . §§ Enfatizou os pr ob lem as que uti lizam a régu a e Enfatizou os pr ob lem as que uti lizam a régu a e com pass o. com pass o.
O que troux e d e no vo o liv ro de Osva ldo O que troux e d e no vo o liv ro de Osva ldo Sa ng io rgi? Sa ng io rgi? Movim ento da Ma tem átic a Moderna no B rasil Movim ento da Ma tem átic a Moderna no B rasil §§ Ca racte rís ticas do s liv ro s di dáticos de Ca racte rís ticas do s liv ro s di dáticos de m atem ática :Apr esentam a m esm a term in ol og ia m atem ática :Apr esentam a m esm a term in ol og ia baseada na teori a do s conj un to s. baseada na teori a do s conj un to s. §§ “Os a lu no s não pr ec isari am ‘s aber faz er’, m as s im , “Os a lu no s não pr ec isari am ‘s aber faz er’, m as s im , ‘saber jus tifi ca r’ por qu e faz iam ” ‘saber jus tifi ca r’ por qu e faz iam ” (Mi orim 1998: 114). (Mi orim 1998: 114). §§ Segu nd o a teori a de Chervel, e ss es livr os di dáticos Segu nd o a teori a de Chervel, e ss es livr os di dáticos to rn aram to rn aram --se um a v ul gata, tend o com o referência o s se um a v ul gata, tend o com o referência o s liv ro s de O svald o Sangi or gi. liv ro s de O svald o Sangi or gi.
Objeti vo s em comum : Fre ire(18 94 ) e Objeti vo s em comum : Fre ire(18 94 ) e Sa ng io rgi(1 97 4) Sa ng io rgi(1 97 4)
§§
Em
termo
s
de
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plos
e
Em
termo
s
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Cap ítu lo 2 Cap ítu lo 2 : : Cabo s, cord as e curvas na Matemática Cabo s, cord as e curvas na Matemática Grega.Grega.
§§
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Mot iv ad ores: Pr ob lemas Pr át icos Mot iv ad ores: Pr ob lemas Pr át icos §§ Menae cm us : Estu do das Côn icas para reso lv er os Menae cm us : Estu do das Côn icas para reso lv er os três pr ob lem as c lássi cos da geom etria grega. três pr ob lem as c lássi cos da geom etria grega. §§ Pto lo m eu :Aperf eiçoou m od elos g eom étricos de Pto lo m eu :Aperf eiçoou m od elos g eom étricos de Apolô nio para o estud o do s m ov im entos do s Apolô nio para o estud o do s m ov im entos do s pl anetas. pl anetas.
Cap ítu lo 3: Cap ítu lo 3: Um fa moso pr ob lema do cálculo Um fa moso pr ob lema do cálculo §§ O pro bl em a p ara O pro bl em a p ara encont rar a equaçã o encont rar a equaçã o qu e repr esente essa qu e repr esente essa curv a po de ser curv a po de ser consi derado um do s consi derado um do s m ais fam os os e m ais fam os os e di fíceis pr ob lem as da di fíceis pr ob lem as da hi stó ria do c álculo. hi stó ria do c álculo. Catenári a: a curva d e u ma cor rente su sp ensa
Con fu sã o Con fu sã o §§ Le on ardo da Vinci e Ga lileu a creditavam ser essa c ur va Le on ardo da Vinci e Ga lileu a creditavam ser essa c ur va um a parábo la. um a parábo la. §§ Corr ente su sp ensa relac io na Corr ente su sp ensa relac io na --se a lin has ou su perf ícies se a lin has ou su perf ícies flexí veis/ aspectos m ec ânicos. flexí veis/ aspectos m ec ânicos. §§ Maio de 169 0 Maio de 169 0--La nçado o ficialm ente o pr ob lem a p ara La nçado o ficialm ente o pr ob lem a p ara a com un id ade m atem ática no a com un id ade m atem ática no Ac ta e ru di to ru m. Ac ta e ru di to ru m. §§ 16 91 16 91 --So lu çã o of icial pu bl icada no So lu çã o of icial pu bl icada no Ac ta e ru di to riu m Ac ta e ru di to riu m
Corre nt e S us pens a Corre nt e S us pens a §§ Jo hann Be rn ou lli e Leibn iz Jo hann Be rn ou lli e Leibn iz reso lv eram o pr ob lem a reso lv eram o pr ob lem a através de m étod os a nalít icos. através de m étod os a nalít icos. §§ O e stu do das curv as com eç ou com as inv estig aç ões de O e stu do das curv as com eç ou com as inv estig aç ões de Huy gens , po r vo lta do ano d e 16 00 . O pr ob lem a da Huy gens , po r vo lta do ano d e 16 00 . O pr ob lem a da Corrente Su spens a fo i resolv ida po r ele a través de Corrente Su spens a fo i resolv ida po r ele a través de m étod os geom étricos . m étod os geom étricos . §§ A c ur va da corrente sus pensa fo i batiza da de ca tenária A c ur va da corrente sus pensa fo i batiza da de ca tenária po r Le ib ni z /o rig in ada da palavra latina po r Le ib ni z /o rig in ada da palavra latina catena catena qu e qu e sig ni fica ca deia. sig ni fica ca deia.
Cap ít ulo 4: Cap ít ulo 4: AS CU RV AS CA TE NÁ RIA E PA RÁ BO LA NA AS CU RV AS CA TE NÁ RIA E PA RÁ BO LA NA EN GE NHAR IA E AR QU ITET UR A EN GE NHAR IA E AR QU ITET UR A §§ A prime ira pêns il A prime ira pêns il regis trada é chin esa, a regis trada é chin esa, a Po nt e Quan Po nt e Quan --Xian, Xian, cons tru íd a em 28 5 cons tru íd a em 28 5 a. C. , com ca bo s a. C. , com ca bo s pr in cipais feito s de pr in cipais feito s de fib ras de bam bu fib ras de bam bu trançadas. trançadas. Ponte su sp ensa chinesa sob o ri o Me kon g construída por volta d e 1470.
Ponte susp ensa desenha da por Fau stu s Ve ranti us Ponte susp ensa desenha da por Fau stu s Ve ranti us §§ Escrito s de Faus tu s Escrito s de Faus tu s Vera nt iu s de 16 17 , Vera nt iu s de 16 17 , encont ram encont ram --se se su gestõ es de su gestõ es de pr ov áveis pr ov áveis aperfeiçoam ento s das aperfeiçoam ento s das po nt es de cord a po nt es de cord a us adas pelo s us adas pelo s m ilit ares fr ance ses m ilit ares fr ance ses
Engenh eiro fran cê s pio neiro na cons trução de Engenh eiro fran cê s pio neiro na cons trução de Pont es P ênseis Pont es P ênseis §§ Claude Navier Claude Navier (1 78 5 (1 78 5--18 36 ) , 18 36 ) , esc reveu textos esc reveu textos teóri cos so br e o teóri cos so br e o pr oj eto de po nt es pr oj eto de po nt es pêns eis, em um do s pêns eis, em um do s qu ais aparec e a qu ais aparec e a ca tenária ca tenária na na cons tru çã o do ca bo cons tru çã o do ca bo pênsi l pênsi l P onte P ênsil M enai , na Inglate rr a, 1826
As estrutu ras articul ad as da Pont e Pênsil As estrutu ras articul ad as da Pont e Pênsil –– Dist ribui nd o as tensõ es Dist ribui nd o as tensõ es
Os
cabos
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sados
em ponte
pênsi
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Os
cabos
são
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sados
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§§ Ca rg as conce ntr adas no Ca rg as conce ntr adas no ca bo , po nt os M e N, ca bo , po nt os M e N, (f ig ur a A). (f ig ur a A). §§ Su sp ensão em parábo la, Su sp ensão em parábo la, (f ig ur a B). (f ig ur a B). §§ Su sp ensão em ca tenária, Su sp ensão em ca tenária, (f ig ur a C). (f ig ur a C).§§
“[...
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(Botel ho 1998, p. 212). (Botel ho 1998, p. 212).§§
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(Botel ho, (Botel ho, 1998: 212) 1998: 212)Teor
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(18
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Teor
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§§ “Com a ca rg a “Com a ca rg a ac id ental, os c abos se ac id ental, os c abos se deslo ca m no e sp aç o deslo ca m no e sp aç o até a no va po sição de até a no va po sição de equi líb rio , não m ais equi líb rio , não m ais perm anec endo na perm anec endo na fo rm a d e um a fo rm a d e um a parábola ún ica ” parábola ún ica ” (LA GI NH A, 19 97 :39 ) (LA GI NH A, 19 97 :39 )Cap ítu lo 5: Cap ítu lo 5: Uso d a tecnol og ia no e stu do da catená ria e da pa ra bó la 2 1 2 co sh 2 x e e x x x + K
Famílias de c at enárias e a curva pa rábol a Famílias de c at enárias e a curva pa rábol a
Famíli as de pa rábo la s e a curva c at enária Famíli as de pa rábo la s e a curva c at enária
Com pr ov aç ão a lgébr ica Com pr ov aç ão a lgébr ica •• Usando o p ol in ôm io Usando o p ol in ôm io de Ta yl or na fun çã o de Ta yl or na fun çã o
...
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1
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3 2 3 2x
x
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e
x
x
x
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x x •So m ando -s e as fun ções acima ob terem os : K x e x 2 1 2 e x co sh 2 xExperi m ento e m sala de aula : Pro pr iedade da Experi m ento e m sala de aula : Pro pr iedade da ca tenária ca tenária
Forma da Catená ria: Equ ilíb rio estético e Forma da Catená ria: Equ ilíb rio estético e fu ncio na l à o bra fu ncio na l à o bra Ar co cat enári o, casa Mi lá de Gaud i Du ll es In te rnaci onal Airport ,US A
Arco em forma de C atenária com 192m. Mis souri (Est ados Un idos) : Hom enagem ao presi dente Th om as Jef fe rson
Re sis tência à ação do s vento s Re sis tência à ação do s vento s : barraca de : barraca de campingcamping
Con clusã o Con clusã o §§ Su rp reendent em ente, na pr ática da e ng enhari a, a s Su rp reendent em ente, na pr ática da e ng enhari a, a s po nt es pêns eis de fato usam apro xi m aç ões po r po nt es pêns eis de fato usam apro xi m aç ões po r parábolas. parábolas. §§ Mesm o assi m , n ão parece qu e o exem pl o do liv ro Mesm o assi m , n ão parece qu e o exem pl o do liv ro de Ola vo Freire tenh a levado em consi deraç ão de Ola vo Freire tenh a levado em consi deraç ão essas qu estões. essas qu estões. §§ O rea parecim ento do e xem pl o d o b alanço no liv ro O rea parecim ento do e xem pl o d o b alanço no liv ro de Sang io rg i parece refor ça r a tese de que havi a, de Sang io rg i parece refor ça r a tese de que havi a, sim, um a certa con fu são entre ca tenária e parábo la sim, um a certa con fu são entre ca tenária e parábo la para algu ns auto res de liv ro s di dáticos . para algu ns auto res de liv ro s di dáticos .
