Publicações do PESC Um Método Estocástico para Alocação de Memória

JAYLVLE LERNER

Tese submetida ao corpo d o c e n t e da coordenação dos programa d e p ó s - ~ r a d u a ç ã o d e Engenharia da Universidade F e d e r a l do Rio de J a n e i

-

r o como p a r t e dos r e q u i s i t o s n e c e s s á r i o s p a r a o b t e n ç ã o do g r a u de mes

-

t r e e m c i ê n c i a (M.Sc.) APROVADA POR

k

L

85

PRESIDENTE R I O DE J A N E I R O ESTADO DA G U A N A B A M

-

B3ASTL

L

Meus s i n c e r o s a g r a d e c i m e n t o s COPPE-UFRJ, e a o s P r o f e s s o r e s : Nelson Maculan F i l h o ~ é l i o Guimarães J a c k Schechtman ~ l á v i o R . V e l a s c o ~ e m é t r i o Alonso R i b e i r o ~ a u r f c i o Matos P e i x o t o ~ o ã o L i z a r d o R . H . d e ~ r a ú j o

(iii)

R E S U M O

Apresentamos o desenvolvimento da teoria de processos estocásti- cos aplicada a sistemas de paginação, e ao final do estudo formulamos um algoritmo de naqinação.

Primeiro tomamos algumas propriedades de álgebra, e com elas _de

_-

senvolvemos a teoria necessária

2

interpretação matemática das cadeias de páginas que ligam duas páginas do programa no computador.

A seguir notando a aleatoriedade como fator preponderante na _{es -} trutura desenvolvida, apresentamos alguns resultados que explicam a lei de formação dessas cadeias. ~ n t ã o introduzimos os conceitos de tm-

po médio de absorção, tempo médio de primeira passagem, desenvolvendo resultados que julgamos serem necessários

2

evolução natural do estu- do.

Aplicamos esses resultados a um processo de markov particular que

6

o random waZk no c~rculo, com o propósito de obter informações _so

_-

bre as leis de formação de cadeias para esse caso particular, objeti

-

vando ter condições que nos permitirão formular um alsoritmo de naai-

A B S T R A C T

We i n t r o d u c e t h e development o f t h e t h e o r y of s t o c h a s t i c p r o c e s s a s a p p l i e d t o paging s y s t e m s , and a t t h e end o f t h e s t u d y we formula

-

t e a p a g i n g a l g o r i t h m .

F i r s t we borrow some p r o p e r t i e s of a l g e b r a , and w i t h t h e s e r e s u t s we develop t h e n e c e s s a r y t h e o r y t o t h e mathematical i n t e r p r e t a t i o n o f

t h e c h a i n s of pages t h a t l i n k two g i v e n pages o f the program i n t h e computer

.

Then n o t i c i n g randomnes a s a main f a c t o r i n t h e developed s t r u c - t u r e , we i n t r o d u c e some r e s u l t s t h a t e x p l a i n t h e law of f o r m a t i o n of t h e s e c h a i n s , T h e r e a f t e r , we i n t r o d u c e t h e c o n c e p t s of mean f i r s t p a s s a g e t i m e , mean a b s o r p t i o n , t i m e , and r e s u l t s we deem n e c e s s a r y t o t h e s t u d i e s n a t u r a l e v o l u t i o n .

W e apply t h e s e r e s u l t s t o a p a r t i c u l a r markov c h a i n namely t h e randdn walk i n t h e c i r c l e , aiming t o g e t i n f o r m a t i o n s a b o u t t h e c h a i n f o r m a t i o n laws f o r t h i s p a r t i c u l a r c a s e , r e s u l t s whereon we w i l l be a b l e t o f o r m u l a t e a paginq a l g o r i t h m .

INDICE

2

.

ALGUNS RESULTADOS ELEMENTARES

ADIÇÃO DE ESTOCASTICIDADE

APÊNDICE

...

62

...

ARTIGOS 74

Desde os primórdios da computação eletrônica tem sido reconhecido

que, devido ao fato de que memórias de acesso rápido serem muito ca -

ras, computadores de grande memória, precisam tê-las organizadas hi

-

erarquicamente, com pelo menos dois níveis, os quais não chamados me -

m ó r i a p r i n c i p a l e memória a u x i Z i a r .

Uma informação do programa (i.6. código de instrução e dados) so -

mente podem ser referenciados quando ela reside na memória principal,

assim a informação que tem a maior probabilidade de ser referenciada

deve residir na memória principal, e as outras informações devem re

-

sidir na memória auxiliar.

O problema de a l o c a ç ã o de memória é aquele de determinar, em cada instante do tempo, como a informação deveria ser distribuída pelos

n í v e i s de h i e r a r q u i a d a memória.

Durante o s p r i m e i r o s anos da computação e l e t r ô n i c a cada programa

-

d o r t i n h a que i n c o r p o r a r procedimentos de a l o c a ç ã o no s e u programa, sempre que a t o t a l i d a d e de informação e x c e d i a o tamanho d a memória p r i n c i p a l . E s s e s procedimentos eram r e l a t i v a m e n t e d i r e t o s , e s e r e s u -

miam em d i v i d i r o programa em uma s e q u ê n c i a d e segmentos o s q u a i s

-

i riam a l t e r n a r r e s i d ê n c i a na memória p r i n c i p a l na medida que f o s s e ne

-

c e s s á r i o .

I s s o começou a mudar d e p o i s da i n t r o d u ç ã o d a s l i n g u a g e n s d e _{p r g} gramação d e a l t o n í v e l nos anos c i n q u e n t a . Programadores foram enco

-

r a j a d o s serem mais o r i e n t a d o s p a r a a r e s o l u ç ã o d e problemas do que com d e t a l h e s d a máquina.

à medida que o s programas c r e s c i a m em tamanho, c r e s c i a em tamanho o s problemas de a l o c a ç ã o d e memória. Realmente em p r i n c í p i o dos anos s e s s e n t a , f i c o u c l a r o que a e f i c i ê n c i a do computador p o d e r i a s o f r e r muito, como consequência de p o l í t i c a s de a l o c a ç ã o d e memória que £os -

s e m inadequadas, f i c o u e n t ã o c l a r o que o problema de alocação de me

-

mória t i n h a s e t o r n a d o d e i m p o r t â n c i a c a p i t a l .

F i g u r a 1

CPU

b

MEMORIA

NÓS nos fixamos e n t ã o na s e g u i n t e imagem: temos um programa P , cu -

j o tamanho excede em muito o tamanho da memória p r i n c i p a l d e modo que t e r í a m o s que d i v i d i r o programa funcionalmente em p a r t e s , a s q u a i s assumimos serem t o d a s de mesmo tamanho, em p r i n c í p i o

é

_{c l a r o que co}

_-

l o c a r í a m o s o maior número d e s s a s p a r t e s , que chamaremos de p á g i n a s na memória p r i n c i p a l , e o r e s t a n t e na memória a u x i l i a r . Um mecanismo i n t r í n s e c o ao s i s t e m a t e r i a no momento que f o s s e n e c e s s á r i a uma p á g i na i que e s t i v e s s e na memória a u x i l i a r , l o c a l i z á - l a , d e t e r m i n a r uma p á g i n a j na memória p r i n c i p a l , e e f e t u a r a t r o c a de r e s i d ê n c i a d e i e j , p a r a que a s i n s t r u ç õ e s da p á g i n a i pudessem e n t ã o s e r executa- d a s .

Das d i v e r s a s p e r g u n t a s que poderiam s e r f e i t a s nos preocupamos tão somente com umar q u a l s e j a :

Q u a l s e r i a a p o l í t i c a Ótima a a d o t a r na t r o c a d e p á g i n a s ?

Uma r e s p o s t a i n t u i t i v a m e n t e p r o b a b i l i s t a s e r i a de s e e s p e r a r , p o i s i r i a depender d a s p r o p r i e d a d e s p r o b a b i l i s t a s do s o f t w a r e do s i s t e m a .

P a r a o problema que vamos e s t u d a r , tomaríamos p o r h i p ó t e s e s :

1) O nosso programa t e r i a s i d o d i v i d i d o em m p á g i n a ~ ~ n u m e r a d a s de 1 a t é m. m primo

.

2 ) De q u a l q u e r p á g i n a i que e s t i v e s s e sendo r e f e r e n c i a d a na memÓ -

r i a p r i n c i p a l , o mecanismo i n t r í n s e c o a o s i s t e m a i r i a p a s s a r a r e f e

-

r e n c i a r a p á g i n a i + l com p r o b a b i l i d a d e p , ou a p á g i n a i-1 com proba -

b i l i d a d e q . No c a s o p a r t i c u l a r de i=l e n t ã o i r i a r e f e r e n c i a r i+l com p r o b a b i l i d a d e p ou m com p r o b a b i l i d a d e q , ou s e i = m e n t ã o i r i a r e f e r e n c i a r 1 com p r o b a b i l i d a d e p ou i-1 com p r o b a b i l i d a d e q .

que c o n d i ç õ e s e l a

é

v á l i d a ?

Ó t i m a no s e n t i d o que d u r a n t e a execução do programa, o mínimo _nÚ

_-

mero de t r o c a s o c o r r a .

P a r a i s s o somos i n t u i t i v a m e n t e l e v a d o s a q u e r e r que n o s s a p o l i t i

-

c a Ótima d e t r o c a d e p á g i n a s , ao ser p e d i d a uma p á g i n a d a memõria au

-

x i l i a r , i m p l i q u e a s u b s t i t u i ç ã o d a p á g i n a do b u f f e r que t i v e r a

_{m e}

n o r p r o b a b i l i d a d e de ser p e d i d a no f u t u r o .

Podemos e n t ã o começar a d e s e n v o l v e r a e s t r u t u r a matemática b a s e a -

d a n a q u a l formularemos n o s s a p o l í t i c a d e t r o c a d e p á g i n a s .

Notemos que n o s s o o b j e t i v o é d e s e n v o l v e r uma e s t r u t u r a a p a r t i r d a q u a l se possam b a s e a r no f u t u r o , p e s q u i s a s que resolvam problemas c u j a s h i p ó t e s e s s o b r e o mecanismo i n t r í n s e c o ao s i s t e m a sejam o u t r a s q u e não a s formuladas,mas e s s e n c i a l m e n t e p r o b a b i l i s t a s .

2. ALGUNS RESULTADOS ELEMENTARES

Tomaremos em nosso estudo a noção de c o n j u n t o como intuitiva. Uma

coleção de objetos aos quais chamaremos de e l e m e n t o s do conjunto.

Sejam A e B dois conjuntos. Produto cartesiano de dois conjuntos

A e B é a coleção de pares ordenados (a,b) tal que a E A e b E B. Es

-

se novo conjunto será denotado por A x B.

Qualquer subconjunto R de AxB será por nós chamado de r e l a ç ã o b i

-

n á r i a e n t r e o s c o n j u n t o s A e Bt e diremos que se (a,b) E R, a tem re

-

lação R com b, escrevendo aRb.

Quando A=BI R será chamada simplesmente de r e l a ç ã o R em A .

A relação R em A será r e f i í e x i v a se e sÓ se xRx, para todo x _peg

A r e l a ç ã o R em A s e r á s i m é t r i c a s e e s ó s e sempre que xRy f o r v e r

-

d a d e i r a e n t ã o yRx também f o r , p a r a t o d o x , y p e r t e n c e n t e s a A .

A r e l a ç ã o R em A s e r á t r a n s i t i v a s e e s ó s e sempre que xRy e yRz forem v e r d a d e i r a s , e n t ã o xRz também o f o r , ' p a r a t o d o s x , y , z p e r t e n

-

tentes a A .

'Uma r e l a ç ã o R em A que é t r a n s i t i v a , s i m é t r i c a e r e f l e x i v a será

chamada de r e l a ç ã o de equivaZência R em A . TEOREMA 2.1. Uma r e l a ç ã o d e e q u i v a l ê n c i a R em A p a r t i c i o n a A em s u b c o n j u n t o s d o i s a d o i s d i j u n t o s , e c u j a u n i ã o é A. PROVA : Se a E A e n t ã o s e j a ( a l = { b l b ~ a )

temos que p r o v a r que A = u f a )

,

Va p e r t e n c e n t e a A. Como R é r e f l e x i v a a E ( a ) l o g o ( a ) #

4

Suponhamos que (ai i n t e r s e ç ã o (bl

# 4

,

e s e j a e n t ã o c p e r t e n c e n -

t e a e s s a i n t e r s e ç ã o , l o g o cRa e cRb l o g o aRb e bRa p o i s R é

t r a n s i t i v a e s i m é t r i c a .

Se d E ( a i e n t ã o dRa logo dRb p o i s aRb e R é t r a n s i t i v a en

-

t ã o d p e r t e n c e a (bl e assim (a1 e s t á c o n t i d o em f b l ;

Raciocinando d e modo i n v e r s o (bl e s t á c o n t i d o e m ( a i e e n t ã o ( a l = ( b l .

Cada um d e s s e s s u b c o n j u n t o s determinados p o r R s e r á chamado de

-

c l a s s e de e q u i v a l ê n c i a , e s e r á denotado por ( a \ onde a p e r t e n c e a c l a s s e d e e q u i v a l ê n c i a ' { b l b ~ a )

.

Uma r e l a ç ã o R que é r e f l e x i v a e t r a n s i t i v a é chamada de r e l a ç ã o de ordem f r a c a .

I l u s t r e m o s o porque d e s s a d e f i n i ç ã o :

Dados a , b p e r t e n c e n t e s a A , e a r e l a ç ã o d e ordem f r a c a R. Se aRb e bRa a e b coincidem em algum s e n t i d o .

Se aRb e b#a a e s t á na f r e n t e d e b em algum s e n t i d o . Se a@ e bRa b e s t á na f r e n t e d e a em algum s e n t i d o . Se a& e b#a i m p o s s í v e l comparar a e b em algum s e n t i d o .

TEOREMA 2 . 2 .

Se R f o r uma r e l a ç ã o de ordem f r a c a e n t ã o a r e l a ç ã o

tal

_que ( a R t b s e e s ó s e simultaneamente aRb e bRa ) é uma r e l a ç ã o d e e q u i -

v a l ê n c i a determinada p o r R. PROVA: t r i v i a l !

Se R f o r uma r e l a ç ã o de ordem f r a c a , e a r e l a ç ã o d e e q u i v a l ê n c i a d e t e r m i n a d a por R é a i d e n t i d a d e e n t ã o R s e r á chamada r e l a ç ã o de o r

-

d e n a ç ã o p a r c i a l .

I n t u i t i v a m e n t e d o i s elementos não s ã o c o i n c i d e n t e s em algum s e n t i

-

do.

Se R é uma r e l a ç ã o d e ordem f r a c a d e f i n i d a em A , e n t ã o s e j a R* uma r e l a ç ã o d e f i n i d a : da s e g u i n t e maneira no c o n j u n t o d a s c l a s -

s e s de e q u i v a l ê n c i a de A

.

r e l a ç ã o de ordem p a r e i a 2 i n d u z i d a por R em A .

TEOREMA 2.3.

Um conjunto de inteiros positivos que

6

fechado em relação a adi

-

ção contém a menos de um n h e r o finito, todos os múltiplos de seu má -

Suponhamos que temos um conjunto de m páginas que compõem um p r c grama P em um computador, e que e s t e p o s s u i um mecanismo i n t r í n s e c o que " a pedido" d e uma p á g i n a i , p r o c u r a e acha uma o u t r a p á g i n a j d e s s e programa.

Convencionamos e n t ã o que i + j s i g n i f i c a v a que a p á g i n a i pede a pá -

g i n a j no s e g u i n t e s e n t i d o : Chamaremos o r i e n t a d o , ou i + j d i r e t a m e n t e i + j i n d i r e t a m e n t e

i é

i i 1 i 2 +in+ j

,

com i , i l , i 2 , i 3 ,

...,

i j E P

.

n' uma s e q u ê n c i a ( i , i l , i 2 ,

...,

i _n' j ) d e caminho simplesmente caminho de i a j .

Notemos que:

(1) i + i

( 2 ) Se i + j e j-tk e n t ã o i+k i , k , j ~ P .

( 3 Se i + j e n t ã o não n e c e s s a r i a m e n t e j + i

.

Mas (1) e ( 2 ) nos garantem que -t

6

uma r e l a ç ã o de ordem f r a c a .

C

Ainda notamos que a r e l a ç ã o de e q u i v a l ê n c i a determinada por + e ( i - t j e j + i ) . p o i s : (1) i - t i e i + i ( 2 ) Se ( i + j e j + i ) e n t ã o ( j-ti e i + j ) . ( 3 ) Se ( i + j e j + i ) e ( j+k e k-tj ) e n t ã o ( i + k e k + i ) Por meio d e s s a r e l a ç ã o d e e q u i v a l ê n c i a , p a r t i c i o n a m o s o c o n j u n t o P e m c l a s s e s d e e q u i v a l ê n c i a , c u j o c o n j u n t o denotamos por P.

Duas p á g i n a s do programa P e s t a r ã o na mesma c l a s s e de e q u i v a l ê n

-

C c i a s e e s ó s e uma puder p e d i r a o u t r a , i . e . ( i + j e j + i )

.

A ordenação p a r c i a l

3

i n d u z i d a por + no c o n j u n t o d a s c l a s s e s d e e q u i v a l ê n c i a t e r á o s e g u i n t e s i g n i f i c a d o : S e j a ( i 1 e f j 1 E P e n t ã o ( i 1 $ ( j l s e e s ó s e V i l e ( i 1 ( t i v e r m o s i l + j l V j l E ( j 1

mas não conversamente, a menos que ( i 1 = (11

Agora um elemento ( i 1 do c o n j u n t o P d a s c l a s s e s de e q u i v a l ê n c i a d e t e r m i n a d a s p o r + s e r á chamado maximaZ s e :

p a r a t o d o ( j l E P t a l q u e ( j l

:

( i 1 e n t ã o i j ou s e j a f j i = ( 1

,

ou e q u i v a l e n t e m e n t e s e e s ó s e não e x i s t i r (k1 EP t a l

q u e (kl 1): ( i ) e (kl f l i )

,

i 6

se a s p á g i n a s d e (i] não puderem s e r p e d i d a s p o r nenhuma p á g i n a d e o u t r a c l a s s e d e e q u i v a l ê n c i a q u a l q u e r . ~ o n c l u i m o s e n t ã o que e l e m e n t o s d e c o n j u n t o s maximais

s6

podem p e d i r p á g i n a s d e o u t r o s c o n j u n t o s .

Um e l e m e n t o li7 do c o n j u n t o P d a s c l a s s e s d e e q u i v a l ê n c i a d e t e r m i

-

n a d a s p o r +

será

chamado minimal se p o r d e f i n i ç ã o V r j l E P t a l que (i)

3

( j ] e n t ã o ( j ]

3

(i] ou s e j a ( j ] = ( i 1 ou e q u i v a l e n t e m e n t e

*

s e e s ó se não e x i s t i r (kl E P t a l q u e (i? + (kl e (kl

#

(i)

i é

se a s p á g i n a s d e (i] não puderem p e d i r p á g i n a s d e o u t r a s c l a s s e s d e - e q u i v a l ê n c i a .

Realmente se e x i s t i s s e í j l E P t a l que e x i s t a j

'

e ( j l t a l que

i + j onde i ' e ( i \

,

e n t ã o i ' + j " V j " E ( j l p o i s

j ' -t j " V j " E ( j l

,

mas e n t ã o como V i " E ( i 1 i"+ i ' ! vem q u e

V i " E l i \ I i " -t j " V j " E ( j l OU s e j a (i) 1): ( j l l o g o f i l = (11. ~ o n c l u í m o s e n t ã o que e l e m e n t o s d e c o n j u n t o s minimais s ó podem s e r p e d i d o s p o r o u t r o s e l e m e n t o s d e o u t r o s c o n j u n t o s .

Figura 2

Obtivemos um conjunto P

0

0 0 0 -

com a relação de ordem

Passemos a g o r a ao e s t u d o de uma c l a s s e d e e q u i v a l ê n c i a ( i 1 de P , lem -

brando que V j e k E r i 1 , j -t k e k + j

.

O mecanismo i n t r í n s e c o ao s i s t e m a ao r e c e b e r de uma p á g i n a o p e d i

-

do d e o u t r a p á g i n a , e s t a b e l e c e r á uma c a d e i a d i r e t a ou i n d i r e t a m e n t e e n t r e a p á g i n a que pede e a p á g i n a p e d i d a .

Como unidade de tempo tomamos o i n t e r v a l o de tempo que l e v a p a r a o s i s t e m a , p r o c u r a r e e n c o n t r a r uma p á g i n a p e d i d a , d i r e t a m e n t e .

Esse i n t e r v a l o d e tempo s e r á por nós chamado de transiG&.

S e j a e n t ã o M ( i , j ) o c o n j u n t o de m ' s t a i s que d e p o i s d e m t r a n s i -

çÕes a p á g i n a p e d i d a p o r i

é

j

.

Em p a r t i c u l a r M ( i , i )

é

o c o n j u n t o de i n t e r v a l o s de tempo, medidos n a n o s s a u n i d a d e , que é a t r a n s i ç ã o , que a p á g i n a i pode p e d i r a s i mesma.

Notemos que M ( i , i ) é fechado em r e l a ç ã o

ã

a d i ç ã o p o i s s e

1, n E M ( i , i ) e n t ã o i - t i em 1 t r a n s i ç õ e s e i + i em n t r a n s i -

ç õ e s l o g o i + i em 1

+

n t r a n s i ç õ e s , logo M ( i , i ) contém t o d o s o s m ú l t i p l o s do s e u máximo d i v i s o r comum c ( i ) a menos d e um numero f i n i -

t o , ou s e j a M ( i , i ) tem t o d o s o s s e u s elementos m ú l t i p l o s d e c ( i )

.

Notemos que M ( i , i )

#

c$ p o i s i + j V i , j E ( i 1 TEOREMA 3.1. (1) Se ( i 1 = r j l e n t ã o c ( i ) = c ( j ) = c ( 2 ) Se l , n E M ( i , j ) e n t ã o 1 E n (m6d.c)

PROVA :

Notemos que se 1 E M(i,j) e n E M(i,j)

-

e q E M(j,i) então

um

possível caminho para i + i seria i + j e j + i em 1 e q transi

-

ções respectivamente, e portanto 1

+

q E M(i,i).

Outro caminho possível seria i + j e j + j e j + i em 1

transições

,

K. c ( j ) transições com K suficientemente grande, e q tmrs

-

ições respectivamente, e portanto 1

+

K.c (j)

+

q E M(i,i) logo c (j) deve ser múltiplo de c(i) pois 1

+

q = Kl. (ci) mas

1

+

K.c(j)

+

q = K2.c(i).

Dessas duas expressões conclu~mos que

K

c (j) = (K2-K1) c (i) ,então c (j) é múltiplo de c (i)

.

Mas da mesma maneira mostraríamos que c(i) é mÜltiplo de c(j), e a conclusão que segue é que c(i) = c(j) = c

,

provando (1).

Agora i + i com um possivel caminho estabelecido da seguinte ma

-

neira i + j em n transações, j + i em q transições, logo

n

+

q E M(i,i) então c divide n+q e c divide l+q consequentemente c

divide l-n ou 1 3 (mód. c) Vn, 1 E M (i, j)

.

Seja

m

= min ( n [ n E M(ilj)) e r(i,j) definido como

Mo

r(i) j ) = resto

(c)

,

então O E r(i,j) < c

.

Todos os elementos de M(i, j) são congruentes a r (i, j ) pois se

1 E M(i, j) então l-Mo = K1. c

,

consequência de (2) do teorema an -

terior

.

Mas Mo = K,

.

c

+

r(i,j), então 1

-

r(i,j) = K.c ou seja 1 r (mÓd. c).

Em p a r t i c u l a r notemos que r ( i , i ) = 0 , p o i s t o d o s o s e l e m e n t o s d e M ( i , i ) s ã o m ú l t i p l o s d e c conforme notamos a n t e r i o r m e n t e . TEOREMA 3 . 2 . Na c l a s s e d e e q u i v a l ê n c i a ( i 1 d e P temos d e f i n i d a uma r e l a ç ã o d e e q u i v a l ê n c i a R q u e é a s e g u i n t e : PROVA : (1)

JS

notamos q u e r ( i , i ) = O

,

i R i

.

( 2 ) Notemos q u e r ( i , j )

+

r ( j , i ) E O (mÓd.c) p o i s se 1 E M ( i , j ) e n t ã o 1 : r ( i , j ) (mÓd.c) n E M ( j , i ) e n t ã o n : r ( j , i ) (mÓd.c) ~ n t ã o 1

+

n E M ( i , i ) l o g o l + n 5 O (mÓd.c)

.

Se i R j e n t ã o r ( i , j ) = O l o g o r ( j , i ) E O (mÕd.c) e como O 6 r ( j , i ) < c temos q u e r ( j , i ) = O e a s s i m j R i

.

( 3 ) Notemos q u e r ( i , k ) E r ( )

+

r ( k ) (m6d.c) p o i s se 1 E M ( i , j ) e n t ã o 1 r r ( i , j ) (mód. c ) se n E M ( j , k ) e n t ã o n

r

r ( j , k ) (mÕd. c ) e n t ã o l + n E M ( i , k ) l o g o l + n E r ( i , k ) (mód. c ) / e c o n s e q u ê n c i a d e s s a s Ú l t i m a s t r ê s e q u a ç õ e s r i + r k : r i k (m6d. c ) ~ n t ã o se r ( i , j ) = O e r ( j , k ) = O e s s a Ú l t i m a r e l a ç ã o nos d i z q u e r ( i , k ) = O ou q u e i R j e jRk i m p l i c a iRk

.

c l a s s e c í c l i c a , ( e a denotaremos ( i 'i )

A s p e r g u n t a s que fazemos a g o r a s ã o a s s e g u i n t e s : Q u a n t a s c l a s s e s c í c l i c a s e x i s t e m em f i l ?

Como s ã o o s caminhos c o n t i d o s em f i l ?

Suponhamos que c é grande p a r a não perdermos a g e n e r a l i d a d e . Note -

mos e n t ã o : S e j a i uma p á g i n a de uma c l a s s e c í c l i c a q u a l q u e r .

Em uma t r a n s i ç ã o não é p o s s í v e l nenhuma p á g i n a de f i 'i d i r e t a m e n -

.

t e p o i s a p r o p r i e d a d e que c a r a c t e r i z a t o d o s o s elementos i , j d e ( (i\ 1 é que r ( i , j ) = O

i é

de i s ó podemos a l c a n ç a r j em i n t e r v a

-

10s de tempo m ú l t i p l o s de c o q u a l supomos s e r b a s t a n t e g r a n d e , e n t ã o na p r i m e i r a t r a n s i ç ã o e s t a r e m o s em o u t r a c l a s s e c í c l i c a de í i l

,

r e

-

petimos e n t ã o o r a c i o c i n i o , em uma t r a n s i ç ã o não podemos r e f e r e n c i a r nenhuma p á g i n a d a c l a s s e c í c l i c a de i e t ã o pouco nenhuma p á g i n a d e s s a c l a s s e c í c l i c a , vamos e n t ã o p a r a uma t e r c e i r a c l a s s e c ~ c l i c a , r e p e t i n d o o mesmo r a c i o c í n i o chegamos

5

c o n c l u s ã o que em uma t r a n s i -

ç ã o iremos p a r a uma q u a r t a c l a s s e . c i c l i c a , a t é que chegamos a uma nésima c l a s s e c í c l i c a em n t r a n s i ç õ e s , cada t r a n s i ç ã o p a r a uma c l a s

-

se c í c l i c a d i f e r e n t e d a s a n t e r i o r e s , onde n < c

.

Repetimos e n t ã o o r a c i o c í n i o , com mais uma t r a n s i ç ã o não podemos v o l t a r a nenhuma késima c l a s s e c í c l i c a d a s n enumeradas a t é a g o r a , p o i s (n-k)

+

1 < c e (n-k)

+

1 s e r i a o n h e r o de t r a n s i ç õ e s p a r a i r do elemento i k r e f e r e n c i a d o na k ésima t r a n s i ç ã o ao elemento r e -

f e r e n c i a d o na ( n + l ) ésima t r a n s i ç ã o que s e p e r t e n c e s s e a ( í i k l 'i p r e c i s a r i a d e no mínimo c t r a n s i ç õ e s p a r a s e r r e f e r e n c i a d o a p a r

t i r d e i k .

t o i d a c l a s s e c i c l i c a f ' I 'I

,

a t é um elemento j E f ( j l 'I e t a l que e l a tem comprimento n , só pode e s t a r na c í c l i c a ( (j) 'I d e p o i s de exatamente n t r a n s i ç õ e s .

Agora n é a r b i t r á r i o e c é f i n i t o de modo que v o l t m o s e n t ã o a f (i] 1

,

de maneira que percorreremos exatamente c c l a s s e s c í c l i

-

tas

.

Respondemos assim a s p e r g u n t a s , e i l u s t r a m o s g r a f i c a m e n t e . Vide F i g u r a 3 .

Figura 3

A cadeia

6

c í c l i c a , no s e n t i d o que e l a v a i de uma c l a s s e c í c l i c a i I p e r c o r r e todas a s o u t r a s c i c l i c a s e na césima t r a n s i ç ã o e l a r e t o r n a a c l a s s e c í c l i c a de p a r t i d a ( i i I

,

de modo que o

Notemos o s e g u i n t e f a t o não t r i v i a l , quando c = 1, e n t ã o temos s o

-

mente uma c l a s s e c í c l i c a que é i g u a l a o c o n j u n t o ( i l

,

e n e s s e Caso d e p o i s de um i n t e r v a l o de tempo s u f i c i e n t e m e n t e grande q u a l q u e r p á g i

-

na i E (i\ pode p e d i r q u a l q u e r página j E (i]

,

e m um número de t r a n s i ç õ e s que independe d a s p á g i n a s do c o n j u n t o f i l

.

ADIÇÃO DE ESTOCASTICIDADE

Dado o f a t o que uma página i pede o u t r a página j , i . 6 . e x i s t e uma c a d e i a de i a t é j

.

perguntaríamos q u a l s e r i a a página p e d i

-

da em uma mésima t r a n s i ç ã o n e s s a c a d e i a ?

Essa pergunta é v á l i d a p o i s lembramos que e n t r e uma página _{i q ~ e} pede e uma página j pedida e x i s t e m v á r i o s caminhos p o s s i v e i s , de modo que poderíamos t e r v á r i a s r e s p o s t a s , e a conclusão é que e s s e problema não é d e t e r m i n í s t i c o . ~ e f o r m u l a r í a m o s a p e r g u n t a p a r a :

Q u a l s e r i a a p r o b a b i l i d a d e de t e r uma determinada página p e d i d a por i na mésima t r a n s i ç ã o ?

P a r a respondê-la p r e c i s a r í a m o s de uma e s t r u t u r a p r o b a b i l í s t i c a . Faremos p a r a c o n s e g u í - l a , duas h i p ó t e s e s :

(1) A p á g i n a a s e r r e f e r e n c i a d a na mésima t r a n s i ç ã o p o d e r i a depender d a s p á g i n a s que foram r e f e r e n c i a d a s a n t e r i o r m e n t e no caminho de i a t é e l a .

( 2 ) A p r o b a b i l i d a d e que c e r t a p á g i n a s e j a chamada na mésima t r a n s i

-

ç ã o pode s e r c a l c u l a d a quando a s p á g i n a s r e f e r e n c i a d a s a t é a (m

-

1) ésima t r a n s i ç ã o s ã o conhecidas.

E

i n t u i t i v o que podemos r e p r e s e n t a r todos o s p o s s í v e i s caminhos em uma á r v o r e , a q u a l chamaremos á r v o r e de m t r a n s i ç õ e s .

A cada ramo associaremos

um

número que é a probabilidade da página determinada na origem do ramo pedir diretamente a página no final do

ramo.

Agora a cada caminho, associamos um n h e r o que é o produto das probabilidades associadas a cada ramo do caminho. Notamos então que a soma desses números para todos os caminhos de m transições

6

1

.

Por exemplo:

Assumimos que esses números P's são dados de acordo com as hipóteses

formuladas. Paafb = prababilidade de ocorrer b na 3? transição dado que

ocorreram a na 1: transição e a na 2: _{transição.0 fato de que sejam prg}

babilidades para as transições nos diz que os P's são positivos e que:

P

+

Pb = 1, Pbra

+

P

+

P -

b ~ d - Pbd,a+Pbd,c = 1 etc..

.

a b, e

como dissemos o n h e r o associado a um caminho

6

uma probabilidade asso

-

ciada àquele caminho. Computando a soma dos números associados a todos

os caminhos vem que: P P .P +P .P +P P ' P b * ba ba.c b ba*Pba,f+Pb*Pbe*Pb.e,b b * bd' bd,a+

P +P P

+ 'bo bd a o aa+Pa*Pac

= P (P +P +P )+P (Paa+Pac) = Pa

+

Pb = 1 b ba b;e bd a

e assim mostramos que realmente temos uma probabilidade associada com

~ n t ã o podemos f a l a r em p r o b a b i l i d a d e de um caminho o r i e n t a d o ou um caminho de m t r a n s i ç õ e s .

S e j a e n t ã o uma função Xn c u j o domínio é o c o n j u n t o de caminhos de uma á r v o r e de m t r a n s i ç õ e s , e c u j o v a l o r em um caminho de m t r a n s i ç õ e s

é

a p á g i n a p e d i d a na mésima t r a n s i ç ã o .

Chamaremos e s s a s funções Xn de v a r i á v e i s a Z e a t Õ r i a s , e ao con

-

j u n t o { x l , X 2 r

. .

.

r Xm) chamamos de Processo ~ s t o c á s t i c o . A r e l a ç ã o e n t r e a s p r o b a b i l i d a d e s a s s o c i a d a s a o s ramos e

5s

va

-

r i á v e i s a l e a t ó r i a s do p r o c e s s o e s t o c á s t i c o s e r i a : p r o b a b i l i d a d e na l? t r a n s i ç ã o : p r o b a b i l i d a d e na 2? t r a n s i ç ã o : p r o b a b i l i d a d e na 3? t r a n s i ç ã o : e a s s i m por Como o s P, { x i = iq

I

X l = i r r X 2 = i s } d i a n t e . contradomínios de t o d a s a s v a r i á v e i s a l e a t ó r i a s s ã o sub

-

c o n j u n t o s do c o n j u n t o de m p á g i n a s do programa P

,

e s s e p r o c e s s o e s t o c á s t i c o s e r á chamado de p r o c e s s o e s t o c á s t i c o f i n i t o .

Notemos e n t ã o que nós temos uma á r v o r e , uma p r o b a b i l i d a d e a s s o -

c i a d a a cada caminho o r i e n t a d o , e uma s e q u ê n c i a de f u n ç õ e s

{ x 1 , X z r X 3 ,

...

,

c u j o domínio de cada Xm é a s u b á r v o r e a t é a mésima t r a n s i ç ã o i n c l u s i v e , e c u j o contradomínio é o c o n j u n t o de p á g i n a s que podem s e r p e d i d a s na mésima t r a n s i ç ã o .

Estamos particularmente interessados num processo estocástico fi

-

nito com a seguinte propriedade:

Pr

{x,

= iq

I

Xm-l = i n r m - 2 = is,

...,

X1

= =

Aos processos estocãsticos com essa propriedade chamaremos de

p r o c e s s o s de markov

.

e denotaremos

Outra propriedade que assumimos que o nosso processo estocástico

tenha é a seguinte: (m)

'

i i não dependa de m ié r q

Quando então denotaremos

(m)

Piriq por Piriq

e chamamos o processo de markov finito, de c a d e i a de markov.

.

Figura 6 Um exemplo de c a d e i a de markov:

Notemos agora que

5

c a d e i a de markov f i n i t a podemos a s s o c i a r uma m a t r i z T a q u a l chamaremos m a t r i z de t r a n s i ç ã o da c a d e i a de markov.

P a r a nossa c a d e i a de markov, T tem a forma:

O P O O

. .

.

P O O O

. . .

Voltemos a g o r a 2 s c l a s s e s de e q u i v a l ê n c i a do c o n j u n t o P , c u j o con

-

j u n t o chamamos de P

.

Chamamos a a t e n ç ã o p a r a o f a t o que o c o n j u n t o P é f i n i t o p o i s P

6

f i n i t o , f a t o e s t e que tem como consequência t r i v i a l que a ordenação p a r c i a l i n d u z i d a em P tem elementos mini -

mais.

v a l ê n c i a s e r ã o chamados de c o n j u n t o s e r g ó d i g o s .

O s o u t r o s elementos ( a q u e l e s que não s ã o minimais) chamaremos de t r a n s i e n t e s .

O s elementos de um c o n j u n t o e r g ó d i g o s e r ã o p o r s u a vez chamados de p á g i n a s e r g õ d i g a s .

Afirmamos acima que e x i s t i a m elementos minimais, notamos e n t ã o que não é n e c e s s á r i o que e x i s t a m c o n j u n t o s t r a n s i e n t e s , o que a c o n t e

-

c e quando a c a d e i a c o n s i s t e de u m ú n i c o c o n j u n t o e r g ó d i g o ou somente de v á r i o s c o n j u n t o s e r g ó d i g o s que não s e comunicam uns com o s o u t r o s . Recordamos que a consequência da r e l a ç ã o de ordem p a r c i a l no con

-

j u n t o de c l a s s e s de e q u i v a l ê n c i a P , é que quando o p r o c e s s o de markov d e i x a o c o n j u n t o t r a n s i e n t e e l e não r e t o r n a a e s s e c o n j u n t o , e quan

-

do e l e e n t r a num c o n j u n t o ergÓdigo e l e não s a i mais d e s s e c o n j u n t o .

~ n t ã o quando o c o n j u n t o e r g ó d i g o contém s ó uma p á g i n a e l a uma vez p e d i d a não pede nenhuma o u t r a p á g i n a e n e s s e c a s o t a l p á g i n a i s e r á chamada de a b s o r v e n t e e Pii = l .

Devido ã r e l a ç ã o de ordem p a r c i a l , consideramos a s p á g i n a s de n o s s o programa P reenumeradas da s e g u i n t e maneira:

P r i m e i r o enumeramos a s p á g i n a s dos c o n j u n t o s minimais c o n s e c u t i

-

vamente, d e p o i s a s p á g i n a s das c l a s s e s de e q u i v a l ê n c i a que e s t i v e r e m imediatamente acima d a s minimais e assim p o r d i a n t e .

Desse modo vemos que uma p á g i n a de uma c l a s s e d e e q u i v a l ê n c i a po -

d e p e d i r o u t r a da mesma c l a s s e , ou de c l a s s e a n t e r i o r , mas nunca de uma c l a s s e p o s t e r i o r .

A m a t r i z de t r a n s i ç ã o f i c a r á com a forma i l u s t r a d a na F i g u r a 7 . Vide F i g u r a 7.

Onde a í

T1 s ã o m a t r i z e s de t r a n s i ç ã o p a r a uma c l a s s e de e q u i v a

-

l ê n c i a , e T ' s e r á O se T1 f o r e r g ó d i g a e d i f e r e n t e de O c a s o

1 c o n t r á r i o .

Dizemos que uma c a d e i a de markov

é

r e g u l a r s e e

s ó

s e e l a c o n s i s

-

t i r d e somente uma c l a s s e de e q u i v a l ê n c i a , e e s t a c l a s s e d e e q u i v a

-

l ê n c i a de somente uma c l a s s e c í c l i c a , em o u t r a s p a l a v r a s , s e t o d a s a s p á g i n a s puderem p e d i r t o d a s a s p á g i n a s , d e p o i s de um i n t e r v a l o de tempo s u f i c i e n t e m e n t e grande.

Dizemos que uma c a d e i a de markov 6 a b s o r v e n t e , s e e s ó s e todos o s c o n j u n t o s e r g ó d i g o s s ã o a b s o r v e n t e s

i 6

cada um é uma página i com

Vejamos a g o r a a l g u n s r e s u l t a d o s p a r a c a d e i a s de markov c u j a s

pa

g i n a s não t r a n s i e n t e s são a b s o r v e n t e s .

TEOREMA 4 . 1 . :

Numa c a d e i a de markov f i n i t a , não importando onde o p r o c e s s o _co

_-

mete, a p r o b a b i l i d a d e d e p o i s de m t r a n s i ç õ e s que o p r o c e s s o e s t e j a uma p á g i n a a b s o r v e n t e t e n d e a 1 quando m - t i n f i n i t o .

PROVA:

Se o p r o c e s s o a l c a n ç a uma p á g i n a a b s o r v e n t e , e l e não pode d e i x á - l a mais.

Suponhamos que e l e comece uma p á g i n a t r a n s i e n t e , s u a c l a s s e de e q u i v a l ê n c i a não é minimal, p o r t a n t o e x i s t e um elemento minimal que pode t e r s u a p á g i n a p e d i d a .

I s t o s i g n i f i c a que deve s e r p o s s í v e l a l c a n ç a r uma p á g i n a a b s o r

-

v e n t e e m não mais de m t r a n s i ç õ e s (como e x i s t e somente u m n h e r o

f i n i t o d e p á g i n a s , m

é

simplesmente o maior dos números, cada um

p e r s i número de t r a n s i ç õ e s r e q u e r i d a s p a r a cada p á g i n a ) . P o r t a n t o e x i s t e um número p o s i t i v o p t a l que a p r o b a b i l i d a d e de e n t r a r uma p á g i n a a b s o r v e n t e em no máximo m t r a n s i ç õ e s é p e l o menos p a pg d i d o de q u a l q u e r e s t a d o t r a n s i e n t e . P o r t a n t o , a p r o b a b i l i d a d e de não a l c a n ç a r uma p á g i n a a b s o r v e n t e em m t r a n s i ç õ e s é no máximo (1

-

P ) que é menor que 1.

A p r o b a b i l i d a d e d e não a l c a n ç a r uma p á g i n a a b s o r v e n t e em k.m tran

-

s i ç õ e s

é

menor ou i g u a l a (1

-

p ) k l o g o s e k +- i n f i n i t o

vem que (1

-

p ) k +- O , e o p r o c e s s o t e n d e a e n t r a r uma p á g i n a ab

-

s o r v e n t e com p r o b a b i l i d a d e 1.

Consideremos e n t ã o a forma canÕnica da m a t r i z de t r a n s i ç ã o 2'1

mostrada na F i g u r a 8. Vide F i g u r a 8.

A m a t r i z Tt ( t x t ) s e conserne com o p r o c e s s o enquanto e l e

ft

c a n a s p á g i n a s t r a n s i e n t e s

.

A m a t r i z Tat ( t x V ) s e conserne com a t r a n s i ç ã o de p á g i n a s t r a g

s i e n t e s p a r a p á g i n a s a b s o r v e n t e s .

P e l o teorema que demonstramos T: 4 O

,

quando m + i n f i n i t o .

A m a t r i z

TA

( v x v ) é i g u a l a I

,

e s ó s e conseme com a s

p4

g i n a s a b s o r v e n t e s .

TEOREMA 4 . 2 . :

P a r a q u a l q u e r c a d e i a de markov a b s o r v e n t e (I

-

T t ) tem uma i n

-

v e r s a e PROVA :

?

+ O como nós sabemos t notemos e n t ã o que l o g o o l a d o d i r e i t o t e n d e p a r a I s e m + i n f i n i t o . Essa m a t r i z tem d e t e r m i n a n t e 1 logo

V m grande ( I

-

e

) tem d e t e r m i n a n t e d i f e r e n t e de zero.Como o p r o d u t o dos d e t e r m i n a n t e s de duas m a t r i z e s

é

o d e t e r m i n a n t e do p r o

-

d u t o d e l a s ( I

-

Tt ) deve t e r d e t e r m i n a n t e não n u l o , l o g o deve ser i n v e r s í v e l , e n t ã o ( I+Tt+ + c - ' ) = (

I-rt

) - ' ( I - $ ) e toman

-

do o l i m i t e quando m a i n f i n i t o

S e j a a g o r a u j uma v a r i á v e l a l e a t ó r i a que d i z o número de vezes que o p r o c e s s o e s t á na p á g i n a j (onde j é t r a n s i e n t e ) . S e j a u ( k , j ) d e f i n i d a como sendo 1 s e o p r o c e s s o e s t á na p á g i

-

na j d e p o i s de k t r a n s i ç õ e s , e O c a s o c o n t r á r i o . TEOREMA 4 . 3 . : s ã o t r a n s i e n t e s . onde i , 1 Ei ( u , j ) é o v a l o r e s p e r a d o de u j dado i

.

PROVA :

(k onde P { u ( k , j )

1

i } = 1

-

P i j

(k P { u ( k , j )

I

i } = P i j

l o g o

E s t e teorema nos d i z que o v a l o r médio do número de v e z e s que o p r o c e s s o e s t á em uma p á g i n a t r a n s i e n t e determinada j

,

é sempre f i n i t o e que s e u v a l o r e s p e r a d o

6

dado p e l o s e n t r i e s d e ( I

-

Tt

1 - l

.

Logo como a c a d e i a

é

f i n i t a o numero d e p á g i n a s t r a n s i e n t e s é f i

-

n i t o , a s s i m o tempo e s p e r a d o de a b s o r ç ã o é f i n i t o .

TEOREMA 4 . 4 . :

S e j a T uma m a t r i z de t r a n s i ç ã o ( r x r ) t a l que nenhum de s e u s e n t r i e s s e j a n u l o . S e j a E>O o menor e n t r y de T

.

S e j a X um v e t o r coluna de r componentes tendo componente máxi -

mo Mo e componente mínimo mo

,

e s e j a M1 e m l os componentes má

-

cimo e mínimo r e s p e c t i v a m e n t e do v e t o r T.X

.

~ n t ã o M ~ < M ~ , e m&mo,e

M 1

-

m i 4 ( 1

-

2 E ) ( Mo

-

mo) PROVA :

Seja X' o vetor obtidq de X

,

se trocando todas as componentes &

r

X exceto mo por Mo

.

X 6 X

.

Cada componente de T.Xt é da for

-

ma

e

.

m

+

(1

-

e)Mo =

Mo

-

e (Mo

-

mo)

,

onde e

L

E

.

O

Logo tal componente é ( Mo

-

E(MO

-

mo)

.

I

Mas como X 6

X

,

nós temos M 1 ,< Mo

-

E m o

-

mo>

I pois T.X&T.X

-

Agora consideremos o vetor -X, para esse vetor -m e agora

O

componente máximo, e -Mo é componente mhimo.

Repetindo o raciocínio acima,para esse vetor, obtemos

I

Cada componente de T. X é da forma

-

a.Mo

-

(1-a)mo = -m O

-

a (-mo+Mo)

onde a >, E

.

I

Mas como -X d X vem então que

-ml 4 -mo

-

a(-mo+Mo) e como -a 4 -E

Somando (1) e ( 2 ) vem que

M l

-

m l 4 Mo

-

m O

-

2 ~ ( M ~ - m ~ )

TEOREMA 4 . 5 . :

Se T

é

uma m a t r i z de t r a n s i ç ã o de uma c a d e i a de markov r e g u l a r , e n t ã o : (1 ( 2 ) ( 3 PROVA : AS p o t ê n c i a s de T tendem a uma m a t r i z p r o b a b i l í s t i c a E

.

Cada l i n h a de E

é

o mesmo v e t o r p r o b a b i l i d a d e L . A s componentes d e L s ã o p o s i t i v a s .

Suponhamos que T não t e n h a z e r o s , ou s e j a e n t r i e s n u l o s . S e j a E o menor entry.

S e j a c j um v e t o r c o l u n a t a l que a s u a jésima componente s e j a 1,

e a s o u t r a s componentes sejam i g u a i s a z e r o .

S e j a Mn e mn a s componentes máxima e m h i m a r e s p e c t i v a m e n t e do v e t o r T ~ . C ~

.

n n- 1

Como T

.

C j = T . T

.

C j nós temos do teorema a n t e r i o r que M1 5 M 2 M 3 %

...

e m l 6 m 2 4 m 3 6

...

e que

fazendo dn = Mn

_-

_mn dn \< (1

-

2 ~ ) ~

l o g o s e n + i n f i n i t o , i m p l i c a que dn+ O . o que s i g n i f i c a que Mn e mn tendem a um l i m i t e

Tn. C] t e n d e a um v e t o r c u j a s componentes ou s e j a s ã o i g u a i s .

S e j a Cj e s s e v a l o r comum.

2

c l a r o que Vn

comum, e p o r t a n t o s ã o t o d a s a s mesmas

Agora Tn

.

Cj é a jésima coluna de Tn, l o g o Tn t e n d e a ma

-

t r i z E com t o d a s a s l i n h a s i g u a i s a o v e t o r L = ( L ~ ,L2 , . . . , L r )

p o i s a jésima c o l u n a de Tn t e n d e a um v e t o r com t o d a s a s componen

-

t e s i g u a i s a o v a l o r L j

.

Como a soma d a s componentes de cada l i n h a de Tn é sempre 1, o mesmo deve s e r verdade do l i m i t e .

Agora s e T é a m a t r i z de t r a n s i ç ã o de uma c a d e i a d e markov r e

-

N

g u l a r , sabemos que e x i s t e um i n t e i r o N t a l que T não tem e n t r i e s n g 10s.

~ n t ã o quando n > N

,

n + i n f i n i t o

Tn + E com a s p r o p r i e d a d e s e n u n c i a d a s .

41 t

C é um v e t o r coluna t a l que T . C = C onde C = {Ci,C2,...,Cr) e n t ã o

como T

.

C = C e n t ã o yn

.

C = C mas e n t ã o E

.

C = C assim C i = L . C , V i logo C 1 = C 2 = = C, = C

,

C c o n s t a n t e

P a r a uma c a d e i a de markov r e g u l a r , é i n t e r e s s a n t e d e f i n i r a va -

r i á v e l a l e a t ó r i a t j , tempo p a r a i r de uma página i a uma página j

H

p e l a p r i m e i r a vez, ou s e j a o tempo de p r i m e i r a passagem tj e uma v a r i á v e l a l e a t ó r i a c u j o v a l o r

é

o número de t r a n s i ç Õ e s n e c e s s á r i a s an - t e s de e n t r a r em j p e l a p r i m e i r a v e z d e p o i s de s a i r da p á g i n a i da -

d a .

TEOREMA 4 . 7 . :

Para qualquer página i

,

Ei ( t j )

é

f i n i t o . PROVA :

tornando j a b s o r v e n t e , e n t ã o e s s a nova c a d e i a de markov

6

absorven

-

t e com um Único e s t a d o a b s o r v e n t e j

.

P o r t a n t o , o tempo e s p e r a d o p a r a i r de i a j na c a d e i a

6

O tempo e s p e r a d o de a b s o r ç ã o , o q u a l

6

f i n i t o p o r um teorema a n t e r i o r . Se i = j e n t ã o notemos que: E. ( t . ) =

E

'ik

.

E ( t .

lx2=

k ) 1 I 3

p a r a i = j

,

e n t ã o d e f i n i n d o Ei ( t i ) como sendo tempo médio de r e c o r

-

r ê n c i a d a p á g i n a i

.

Ei ( t i )

6

f i n i t o p o i s

E # . ) = P

+

1 ii k f i

1

1 + Pik Ek (ti] }

que é f i n i t o p e l a p r i m e i r a p a r t e .

Notemos a g o r a que c i j = Ei ( t . ) pode s e r colocado em forma de 3

e s p e r a d o do tempo de p r i m e i r a passagem. Formulamos e m s e g u i d a um i m p o r t a n t e

....

TEOREMA 4 . 8 . : A m a t r i z E s a t i s f a z a e q u a ç ã o onde E d g é a m a t r i z o b t i d a d e E f a z e n d o t o d o s o s e n t r i e s f o r a d a d i a g o n a l i g u a l a z e r o . I

é

a m a t r i z com t o d o s o s e n t r i e s i g u a i s a 1

.

PROVA:

-

-

C 'ik J k ( t j )

-

P i j . E .

,

( t j )

+

1 k o q u e e m forma m a t r i c i a l é E = T { E - E } + I d g

TEOREMA 4 . 9 . : S e j a L = { L ~ , L I ,

...,

Lr} O v e t o r p r o b a b i l i d a d e l i m i t e de 4 . PROVA : Como E = T { E - E + I dg p r é m u l t i p l i c a n d o -a por L nós obtemos L.E = L.T (E

-

E )

+

L

.

1 dg tem uma ú n i c a s o l u ç ã o . PROVA :

Sejam E e E ' .duas soluçÕes d e s s a equação, e n t ã o nós sabemos do teorema a n t e r i o r que

logo E

-

E ' = T { E

-

E ' }

mas então s e olharmos a s colunas de E

-

E ' uma de cada vez nota

-

mos que e l a s são v e t o r e s com a propriedade T

.

C = C

.

Mas por teorema a n t e r i o r cada coluna

é

então um v e t o r c o n s t a n t e . Como E

-

E tem sua diagonal toda em zeros logo E

-

E I = O

I

então E = E

.

Agora observemos que não importa o meio de c ã l c u l o , uma vez acha

-

da uma matriz E que s a t i s f a z a equação.

E = T { E - E } + I

d9

achamos a matriz do v a l o r esperado do tempo de primeira passagem, para uma cadeia de markov c u j a matriz de t r a n s i ç ã o é T

.

A m a t r i z da cadeia de markov que

6

alvo de nosso estudo tem a forma :

Nosso i n t e r e s s e é o b t e r c i j f q u a l s e j a o v a l o r e s p e r a d o do tempo de p r i m e i r a passagem p e l a p á g i n a j tendo como p á g i n a de p a r t i d a a p á g i n a i

.

P e l a s i m é t r i a é de s e e s p e r a r que e s s e i n t e r v a l o de tempo s e j a função do niirnero de p á g i n a s do programa, da d i s t â n c i a d e f i n i d a segun

-

do algum c r i t é r i o e n t r e a página i n i c i a l e a página f i n a l que s e tem em mente e dos v a l o r e s d a s p r o b a b i l i d a d e s p e q r e s p e c t i v a m e n t e & s a i r d e uma página k e i r d i r e t a m e n t e p a r a uma página k + l e k-1 r e s p e c t i v a m e n t e .

Afirmamos que a s s e g u i n t e s m a t r i z e s E d e f i n i d a s por

1 rm

-

r m-d

C i j =

~ - q

I m

onde r = p/q

,

d é a d i s t â n c i a e n t r e a p á g i n a i e j d e f i n i d a d a s e g u i n t e maneira, mostrada na f i g u r a

,

como sendo o número de t r a n s i

-

çÕes n e c e s s á r i a s p a r a i r d e j a i no s e n t i d o dos p o n t e i r o s de r e l ó g i o sem v o l t a r a t r á s .

p a r a a s ã o a s m a t r i z e s E r e s p e c t i v a m e n t e p a r a pfq e p=q=z

c a d e i a d e markov c u j a m a t r i z d e t r a n s i ç ã o T

é

a dada.

P a r a que não p a i r e d ú v i d a s b a s t a que provemos que { c i j } s a t i s f a z a i d e n t i d a d e :

E = T { E - E } + I dg

substituindo T em T { E

-

E

I +

1

dg obtemos o {i,k)ésimo elemento que

é

p . ~ ~ ~ c * + l + q . i = l

C(i+l)k + q C(i-l) k + l 1 < i < m-1

P

clk + q

+

1 j = m

provemos o primeiro caso pfq

.

m m-d -

- -

I { m ~ r + l ) r - r r-1 - d

1

rm- 1 rm

-

r m-d - - - I { m . P-q _rm-1 - d

1

agora provemos p a r a o c a s o 1 p=q=2

= c i k

logo achamos o s v a l o r e s esperados dos tempos de p r i m e i r a passagem pa

-

r a a c a d e i a de markov que é base de nosso e s t u d o .

Nossa pergunta agora s e r i a : sob q u a i s condições s e r i a v á l i d a a s s e g u i n t e s ordenações?

b a s t a s u b s t i t u i r os r e s p e c t i v o s v a l o r e s e p o r s i m p l i f i c a ç ã o a l g é b r i

-

c a l chegamos

2s

s e g u i n t e s condições:

A p r i m e i r a ordenação s e v e r i f i c a t ã o somente quando r > l e m

A segunda ordenação s e v e r i f i c a t ã o somente quando r < l e

rm-l > mk

,

p a r a todo k e n t r e 1 e m - i

.

r-1

Agora quando p=q=l

,

examinamos a equação c i j = d(m-d)

,

i# j

.

a q u a l no tem um g r á f i c o no p r i m e i r o q u a d r a n t e , repousando numa p a r á b o l a conforme mostra a F i g u r a 11.

m notamos, e n t ã o , que c i j

é

mãximo quando d =

.

Estudemos, a g o r a , a f u n ç ã o f d e f i n i d a a b a i x o e m A x B. m r - r m-d valem a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s : m-d 1 - r m 1 - r = f ( r , d )

Em palavras, as curvas representativas da equação são simétricas m

em relação a um eixo vertical situado em d

-

.

2

(2) f(r, d) 3 O em A x

B,

f(r, d)

é

continua e até mesmo derivá- vel em relação a d.

Agora, calculando af(r, d)

,

_{r f l} ad obtemos : rtl r m-d

-

-

-

( - i + - m

.

Lr

I

r-1 r -1

B

{Ar -d

-

11 rm onde, A

-

.

Lr,

B = -

rtl m r -1 r-1

n o t a n d o que A > 1, m e n t e .

Vide F i g u r a 1 2 .

B > 1 p a r a t o d o r E ( 1 , ~ ) i l u s t r a m o s g r a f i c a -

A c u r v a r e p r e s e n t a t i v a d e a f ( r

,

d , pode s e r d e s c r i t a como uma ad

c u r v a d e r i v ã v e l , convexa, d e c r e s c e n t e , e que c o r t a o e i x o h o r i z o n

-

t a l em um ponto d e ( O ,m)

,

d a ? concluímos que f ( r , d ) p a r a r

#

1

fi

x o , tem a s e g u i n t e forma. Vide f i g u r a 1 3 .

i s t o

é,

( 3 ) É uma c u r v a c o n c a v a , com um máximo em (0,m) mais p r e c i s a m e n t e em

Agora n o s i n t e r e s s a o i n t e i r o d ' _o em ( 0 , m ) t a l que p a r a e s s e con- j u n t o f ( r , d ' ) s e j a máximo. d;

é

o b t i d o c a l c u l a n d o - s e o v a l o r d e O r ,

.

n o s d o i s i n t e i r o s i m e d i a t a m e n t e s u p e r i o r e i n f e r i o r a d O r e s p e c t i v a m e n t e se d E [1,

m-11

.

O Agora s e r 1 e do E ( 0 , l ) e n t ã o d;

=

1. s e r = 1 e do E ( m - 1 , m ) e n t ã o d:

=

m - 1 . Podemos e n t ã o , e n u n c i a r um A l g o r i t m o 6 t i m o d e T r o c a de p á g i n a s : Se a p á g i n a i e s t i v e r n a memória a u x i l i a r e f o r p e d i d a p a r a s e r e x e c u t a d a em s e g u i d a , e l a tem q u e v i r p a r a o b u f f e r . A p á g i n a d o 4 b u f f e r q u e d e v e r á s e r r e t i r a d a p a r a d a r l u g a r a p á g i n a i s e r a a p á g i n a c o r r e s p o n d e n t e à q u e l a p á g i n a s i t u a d a no c í r c u l o a q u a l tem a s d u a s p r o p r i e d a d e s s e g u i n t e s : (1) E l a c o r r e s p o n d e

2

uma p á g i n a no b u f f e r . ( 2 ) d a s p á g i n a s c o r r e s p o n d e n t e s à q u e l a s q u e e s t ã o no b u f f e r e l a

é

a q u e tem o m a i o r tempo e s p e r a d o d e chamada.

A P E N D I C E

Discutimos p r i m e i r o o problema da p a r i d a d e do número de pági- n a s que o programa n e c e s s a r i a m e n t e deve t e r .

Caso P a r :

Exemplificamos uma c a d e i a de Markov que não é r e g u l a r , e cor- responde a o c a s o do programa t e r q u a t r o p á g i n a s .

Caso fmpar:

Esse c a s o g e n e r a l i z a o c a s o t r i v i a l do número de p á g i n a s do programa s e r primo.

Notemos e n t ã o que quando o número de p á g i n a s do programa é _{í m}

_-

p a r também v a l e o a l g o r i t m o . I m p l i c i t a m e n t e queremos d i z e r que de um

e s t a d o q u a l q u e r e x i s t e p r o b a b i l i d a d e p o s i t i v a de q u a l q u e r o u t r o e s t a

-

do s e j a a l c a n ç a d o em um n h e r o f i n i t o de t r a n s i ç õ e s .

A prova

é

g e o m é t r i c a , p o i s raciocinamos em termos de á r v o r e s . Chamamos a t e n ç ã o p a r a o f a t o que

é

s u f i c i e n t e exibirmos uma s u b á r v o r e t a l que em um número f i n i t o de t r a n s i ç õ e s t o d a s a s p á g i n a s s ã o a l c a n ç a d a s

.

Antes de mostrarmos em p l e n a g e n e r a l i d a d e i l u s t r a m o s 3 c a s o s p a r t i c u l a r e s c o r r e s p o n d e n t e s a m = 5 , 7 e 11 r e s p e c t i v a m e n t e .

Agora mostramos o c a s o g e r a l :

O p r o p õ s i t o de i l u s t r a r m o s o s c a s o s p a r t i c u l a r e s a n t e r i o r m e n t e f o i p a r a que o l e i t o r n o t a s s e que e x i s t e uma c e r t a ordem na á r v o r e , de b a i x o p a r a cima alcançamos em exatamente N

-

1 t r a n s i ç õ e s o s e s

-

t a d o s 2 , 4 , 6

...,

N-3, N - 1 , 1, 3 , 5,

...,

N - 4 , N-2 e N

.

Vide F i g u r a 3 .

FIGURA 3

N-M _N-M

₊

_{M )}

_-

_{1 = ( N - 1 ) transições}

2

+ -

2

Agora queremos mostrar ao leitor que na degonstração da página 51, os casos i=l e j=m são triviais e apresentamos a seguir a de

-

monstração para o caso que k = i+l e k = i-1

1

-

rm

-

r 2

{ m . í

rm

-

1 - l ) q + l ) P-q

A R T I G O S

ONE LEVEL STORAGE SYSTEM

Ire Transactions. Ec-11, 2,223

-

235

T.Kilburn, D.B.G.Edwards, M.J.Lanigan, F.H.Sumner.

STATISTICAL ANALYSIS OF PAGED AND SEGMENTED COMPUTER SYSTEMS Ieee Transactions, Ec-15, 6, 855-863.

PERFORMANCE EVALUATION OF COMPUTING SYSTEMS WITH MEMORY

-

HIERAR

-

CHIES.

Ieee Transactions on Elect. Comp. Ec-16,6,764-773. W.Anacker, C.P.Wang.

CONCEPTS FOR BUFFER STORAGE

Ieee Computer Group News, 2,8, 9-13 C.J.Conti

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.

Denning

PRINCIPLES OF OPTIMAL PAGE REPLACEMENT

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PROPERTIES OF THE WORKING SET MODEL

B I B L I O G R A F I A ( 1 ) KARLIN, S . , A F i r s t C o u r s e i n S t o c h a s t i c

-

PROCESSES. ( 2 ) HOEL, P . G . , I n t r o d u c t i o n t o S t o c h a s t i c P r o c e s s e s . ( 3 ) PARZEN, E . , S t o c h a s t i c P r o c e s s e s . ( 4 ) BARUCHA-REID, A . T . , E l e m e n t s o £ t h e T h e o r y of M a r k o v P r o c e s s e s and t h e i r A p l i c a t i o n s

.

( 5 ) KEMENY, e o u t r o s , D e n u m e r a b l e Markov C h a i n s . ( 6 ) KEMENY, e o u t r o s , I n t r o d u c t i o n t o F i n i t e M a t h e m a t i c s . ( 7 ) KEMENY, e o u t r o s , F i n i t e M a t h e m a t i c a l S t r u c t u r e s . ( 8 ) KEMENY, e o u t r o s , F i n i t e Markov C h a i n s . ( 9 ) GNEDENKO, T h e T h e o r y o£ P r o b a b i l i t y

.

( 1 0 ) FELLER, W . , A n I n t r o d u c t i o n t o P r o b a b i l i t y T h e o r y and i t s A p l i

-

c a t i o n s

.

( 1 1 ) BARTLE, R.G., T h e E l e m e n t s o £ R e a l A n a l y s i s . ( 1 2 ) HARDY, G.H., A C o u r s e of P u r e M a t h e m a t i c s . ( 1 3 ) F I S Z , M . , P r o b a b i l i t y T h e o r y and M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s .

( 1 4 ) CHUNG, K . L .

,

Markov C h a i n s With S t a t i o n a r y T r a n s i t i o n P r o b a b i l i

-

t i e s

.