CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
EVANDRO ESTEVÃO MARQUESONE
Modelagem Matemática da Anemia Infecciosa
Equina Considerando Transmissões Direta e por
Mutuca
Campinas
2018
Modelagem Matemática da Anemia Infecciosa Equina
Considerando Transmissões Direta e por Mutuca
Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Matemática Aplicada.
Orientador: Hyun Mo Yang
Este exemplar corresponde à versão
fi-nal da Tese defendida pelo aluno
Evan-dro Estevão Marquesone e orientada
pelo Prof. Dr. Hyun Mo Yang.
Campinas
2018
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Marquesone, Evandro Estevão,
M348m MarModelagem matemática da anemia infecciosa equina considerando
transmissões direta e por mutuca / Evandro Estevão Marquesone. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.
MarOrientador: Hyun Mo Yang.
MarTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Mar1. Anemia infecciosa equina. 2. Anemia infecciosa equina - Modelos matemáticos. 3. Compartilhamento de agulhas. 4. Modelagem matemática. 5. Mutuca (Inseto). 6. Lyapunov, Funções de. 7. Estabilidade. I. Yang, Hyun Mo, 1959-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Mathematical modeling of equine infectious anemia considering
direct and by horseflies transmissions
Palavras-chave em inglês:
Equine infectious anemia
Equine infectious anemia - Mathematical models Needle sharing
Mathematical modeling Horsefly
Lyapunov functions Stability
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Hyun Mo Yang [Orientador] José Luiz Boldrini
Artur César Fassoni Claudia Pio Ferreira
Urbano Gomes Pinto de Abreu
Data de defesa: 10-08-2018
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). HYUN MO YANG
Prof(a). Dr(a). JOSÉ LUIZ BOLDRINI
Prof(a). Dr(a). ARTUR CÉSAR FASSONI
Prof(a). Dr(a). CLAUDIA PIO FERREIRA
Prof(a). Dr(a). URBANO GOMES PINTO DE ABREU
O longo caminho feito e percorrido para se concluir o doutorado dá uma imensa gratidão a uma porção de pessoas, em que Deus se fez presente, e me ajudaram de alguma forma, direta ou indiretamente. Desde os funcionários do IMECC, da zeladoria à diretoria, funcionários de empresas de ônibus que utilizei, colegas que deram carona até alguma rodoviária/aeroporto. Não tem como mensurar quantas e nem o quanto contribuiram, apenas de maneira singela e de coração, agradecer. Quanto aos que estiveram mais perto deste processo, vou tentar citar algumas pessoas.
Ao meu orientador, pela paciência e parceria no trabalho. Ele que sempre foi muito franco comigo, sempre me recebeu super bem, e na maioria das vezes que eu me sentava na mesa com ele em sua sala, era um baita de um aprendizado.
Aos meus colegas do Laboratório EPIFISMA de todo esse tempo: Luiz Fernando, Miller, Roberta, Artur, Felipe Rubio, Luis Pedro, Geisel. Dos dilemas da vida acadêmica às discussões do meu trabalho nos nossos seminários, tudo sempre foi muito produtivo.
Aos meus colegas de doutorado, pelas parcerias nos estudos de disciplinas e qualificações. Quanta coisa aprendemos juntos. De forma especial, à Tati, que neste dia 19 de setembro nos deixou.
Aos colegas de república: Alexandre, Tiago e César. Também aos que me receberam: Altair e Felipe Guedes.
À UTFPR, em particular ao Campus de Cornélio Procópio pelo apoio e de forma especial ao Departamento de Matemática, que colaborou para que eu fizesse parte do doutorado viajando, bem como aos professores deste departamento que se esforçaram nesse quesito.
Aos meus pais, irmãos, sogro, sogra (in memorian), cunhados e cunhadas e demais familiares que sempre se preocuparam com cada etapa.
Às companhias caninas: Millie, Mollie e Espoleta, que com seus peculiares jeitos, estiveram juntos nessa.
Às corridas matinais e vespertinas na USP, que contribuíram muito para dar uma arejada, e muitas ideias surgiram após essas corridas. Algumas delas referentes a algo que já estava “enroscado” há um bom tempo.
Por último, mas não menos importante, à minha companheira, parceira, esposa, Rosangela. Sempre compreensiva, paciente, além de consultora de programação.
A Anemia Infecciosa Equina é uma doença que causou enormes danos quando chegou ao Pantanal, no início dos anos 1970, e até hoje atinge proporções preocupantes. Neste traba-lho propomos um modelo matemático para modelar a dinâmica da doença, considerando a transmissão indireta (por vetores), e direta (pelo compartilhamento de agulhas/seringas contaminadas, e pelo compartilhamento de tralhas). Os pontos de equilíbrio foram deter-minados, sendo um trivial e um não-trivial. Ao aplicar o método da matriz da próxima geração (NGM) no equilíbrio trivial, em duas formulações, encontramos dois limiares,
Rg e χ0. O primeiro é o número básico de reprodutibilidade da doença, e o segundo é
a fração de suscetíveis do modelo. Nos estudos relacionados ao modelo, ambos foram limiares para a estabilidade local e global do ponto de equilíbrio trivial, para a existência de um ponto de equilíbrio não-trivial positivo, além de limiar biológico para a existência ou não da doença. Enunciamos e provamos um teorema que garante o uso da função de Lyapunov, proposta por (SHUAI; DRIESSCHE, 2013), para as duas formulações utili-zadas do método. Já para o ponto de equilíbrio não trivial, no estudo da estabilidade global usamos as funções propostas por (GOH,1978), e para determinar os coeficientes de tais funções, recorremos aos multigrafos orientados, inspirados na metodologia de grafos orientados proposta por (SHUAI; DRIESSCHE, 2013). No caso do presente trabalho, não foi possível propor uma metodologia, ficando este como um trabalho futuro. Também foi possível criar uma equivalência, no que se refere ao estudo da estabilidade, entre um limiar obtido por uma formulação do método NGM, e o raio espectral obtido na outra formulação, considerando as duas formulações utilizadas. Para submodelos com apenas transmissão direta, verificamos que a fração de suscetíveis do modelo, χ0, pode ser obtida
ao considerar a fração de suscetíveis no equilíbrio endêmico. Para submodelos onde há somente transmissão indireta, este é obtido ao fazer o produto das frações de suscetíveis no equilíbrio endêmico. Na análise de sensibilidade no ponto de equilíbrio endêmico e Rg
(nível local), e no sistema (nível global), pudemos verificar que, em cenários onde são altas as taxas de compartilhamento de seringas/agulhas infectadas e tralhas, os parâmetros de transmissão indireta não tiveram sua variância aumentada. Isso quer dizer que a trans-missão vetorial perde a relevância em cenários onde a transtrans-missão direta tem um “maior poder” de transmissão. Este fator já era objeto de estudo da EMBRAPA-Pantanal, mas até o presente momento, não havia algum estudo sobre. No estudo das taxas diárias de controle, verificamos a eficiência de medidas de controle e erradicação da doença.
Palavras-chave: anemia infecciosa equina. compartilhamento de agulhas. compartilha-mento de seringas. compartilhacompartilha-mento de tralhas. mutuca. Lyapunov, funções de. estabili-dade. limiares de um modelo matemático. número básico de reprodutiviestabili-dade. fração de suscetíveis de um modelo matemático. modelagem matemática.
The Equine Infectious Anemia is a disease that caused enormous damage when it arrived in the Pantanal in the early 1970s, and to this day reaches worrying proportions. In this work we propose a mathematical model to model the dynamics of the disease, considering the indirect transmission (by vectors), and direct (by sharing of contaminated needles/syringes, and sharing of horse utensils). The equilibrium points were determined, being a trivial and a non-trivial. When applying the next generation matrix (NGM) method in the trivial equilibrium, in two formulations, we find two thresholds ,Rg e χ0. The first is the basic
reproduction number of the disease, and the second is the fraction of susceptible of the model. In the studies related to the model, both were thresholds for local and global stability of the trivial equilibrium point, for the existence of a non-trivial positive balance, in addition to biological threshold for the existence or not of the disease. We enunciate and prove a theorem that guarantees the use of the Lyapunov function, proposed by (SHUAI; DRIESSCHE, 2013), for the two formulations used in the method. For the nontrivial point of equilibrium, in the study of global stability we use the functions proposed by (GOH,
1978), and to determine the coefficients of such functions, we use directed multigraphs as inspiration in the methodology of directed graphs proposed by (SHUAI; DRIESSCHE,
2013). In the case of the present study, it was not possible to propose a methodology, remaining this as a future work. It was also possible to create an equivalence, as regards the study of stability, between a threshold obtained by a formulation of the NGM method, and the spectral radius obtained in the other formulation, considering the two formulations used. For submodels with only direct transmission, we find that the fraction of susceptibles of the model, χ0, can be obtained by considering the fraction of susceptibles in the endemic
equilibrium. For submodels where there is only indirect transmission, this is obtained by making the product of the fractions of susceptible in the endemic equilibrium. In the sensitivity analysis of endemic equilibrium and Rg (local level), and in the system
(global level), we could verify that in scenarios where the rates of sharing of infected syringes/needles and horse utensils are high, the parameters of indirect transmission did not have their variance increased. This means that vector transmission loses its relevance in scenarios where direct transmission has a “greater power” of transmission. This factor was already object of study of EMBRAPA-Pantanal, but until the present moment, there was no study on. In the study of the daily rates of control, we verified the efficiency of measures of control and eradication of the disease.
Keywords: equine infectious anemia. needle sharing. syringe sharing. horse utensil shar-ing. horsefly. Lyapunov functions. stability. thresholds of a mathematical model. basic reproduction number. fraction of susceptible of a mathematical model. mathematical modeling.
Figura 1 – Diagrama da Dinâmica da Doença. . . 19
Figura 2 – Diagrama de bifurcação para Rg. Na figura vemos que em Rg “ 1 ocorre uma bifurcação “forward”. Isso porque para Rg ă 1 o ponto de equilíbrio trivial é estável, e para Rg ą 1 o ponto de equilíbrio endêmico é estável. 51 Figura 3 – Soluções do sitema (1.17) para os valores dos parâmetros utilizados
como valores iniciais, nos estudos I e II. À direita para o estudo I, e à esquerda para o cenário 7 do estudo II. Lembrando que no estudo I os dados seguem da tabela 3, e no cenário 7 do estudo II temos β1,
β2, β3, e αm como na tabela 4 e, αs e αc seguem a tabela 10. Demais
parâmetros seguem da tabela 3. Os parâmetros que não foram avaliados neste estudo, usaram estes valores como sendo fixos. . . 70
Figura 4 – Soluções determinística e estocástica ao aplicar taxas diárias de controle,
θ2, no modelo (3.19) com parâmetros adotados no cenário 5, do capítulo
anterior. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, temos as subfiguras: cavalos suscetíveis, população total de cavalos, cavalos soropositivos e Rg. Com exceção deste último gráfico, nos demais temos as curvas: média (azul), mediana (vermelha), respectiva coordenada no equilíbrio endêmico (preta) das equações (3.21) à (3.25), quantis 2, 5% (verde) e 97, 5% (rosa), os quais limitam um intervalo de confiança de aproximadamente 95%. Foram utilizados os valores de θ2 : 0; 0,005;
0,01; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1; 0,2; 0,3. Para cada valor foram feitas 520 iterações, de 60 000 dias cada, e considerados os valores do último dia. . . 81
Figura 5 – Soluções determinística e estocástica ao aplicar taxas diárias de controle,
θ1, no modelo (3.19) com parâmetros adotados no cenário 5, do capítulo
anterior. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, temos as subfiguras: cavalos suscetíveis, população total de cavalos, cavalos soropositivos e Rg. Com exceção deste último gráfico, nos demais temos as curvas: média (azul), mediana (vermelha), respectiva coordenada no equilíbrio endêmico (preta) das equações (3.21) à (3.25), quantis 2, 5% (verde) e 97, 5% (rosa), os quais limitam um intervalo de confiança de aproximadamente 95%. Foram utilizados os valores de θ1 : 0; 0,001;
0,005; 0,008; 0,01; 0,012; 0,014; 0,016; 0,018; 0,02. Para cada valor foram feitas 520 iterações, de 20 000 dias cada, e considerados os valores do último dia. . . 82
θ1 menores que 0,01, no modelo (3.19) com parâmetros adotados no
cenário 5, do capítulo anterior. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, temos as subfiguras: cavalos suscetíveis, população total de cavalos, cavalos soropositivos e Rg. Com exceção deste último gráfico, nos demais temos as curvas: média (azul), mediana (vermelha), respectiva coordenada no equilíbrio endêmico (preta) das equações (3.21) à (3.25), quantis 2, 5% (verde) e 97, 5% (rosa), os quais limitam um intervalo de confiança de aproximadamente 95%. Foram utilizados os valores de θ1 :
0; 0,0005; 0,001; 0,003; 0,005; 0,0065; 0,008; 0,0085; 0,009; 0,0095. Para cada valor foram feitas 520 iterações, de 20 000 dias cada, e considerados os valores do último dia. . . 83
Figura 7 – Multigrafo Direcionado dos Caminhos Associados às Funções de Lyapunov. 99
Figura 8 – Ao ser compilado, MODEL_LHS.m utiliza as funções da caixa cinza, e produz a saída Y. A função PRCC.m precisa da saída Y e da matriz LHS (gerada por LHS_cal.m) para computar os coeficientes de correlação parciais classificados (PRC). Diagrama de (MARINO et al., 2008), disponível nos materiais suplementares em <http://malthus.micro.med. umich.edu/lab/usadata/>.. . . 104
Tabela 1 – Variáveis do modelo matemático. . . 22
Tabela 2 – Parâmetros do modelo matemático. . . 22
Tabela 3 – Valor padrão e intervalo de variação de cada parâmetro. . . 60
Tabela 4 – Valores dos parâmetros β1, β2, β3, αm, αs e αc, utilizados no Estudo I, de acordo com cada cenário. Os demais parâmetros seguiram a tabela 3. 62
Tabela 5 – Para cada cenário temos as coordenadas do equilíbrio endêmico, de acordo com as equações (1.18) a (1.23), e o desvio padrão como a raiz quadrada da variância, calculada com a equação (2.8). No Estudo I, os cenários foram calculados com os parâmetros da tabela 4, e os demais parâmetros da tabela 3. . . 62
Tabela 6 – Valores das parciais de Rg, de acordo com a equação (1.28), e o desvio padrão obtido como a raiz quadrada da variância, dada pela equação (2.7). No Estudo I, os cenários foram calculados com os parâmetros da
tabela 4, e os demais parâmetros da tabela 3. . . 63
Tabela 7 – Análise de Sensibilidade no Rg e em suas parciais, de acordo com a equação (2.7), no cenário 1. Os valores dos parâmetros, neste cenário, seguem a tabela 4, e para os demais parâmetros a tabela 3. Cada valor na tabela, corresponde à variância do respectivo parâmetro, com relação à parcial de Rg, neste cenário. . . 64 Tabela 8 – Análise de Sensibilidade no Rg e em suas parciais, de acordo com a
equação (2.7), no cenário 2. Os valores dos parâmetros, neste cenário, seguem a tabela 4, e para os demais parâmetros a tabela 3. Cada valor na tabela, corresponde à variância do respectivo parâmetro, com relação à parcial de Rg, neste cenário. . . 64 Tabela 9 – Análise de Sensibilidade no Rg e em suas parciais, de acordo com a
equação (2.7), no cenário 3. Os valores dos parâmetros, neste cenário, seguem a tabela 4, e para os demais parâmetros a tabela 3. Cada valor na tabela, corresponde à variância do respectivo parâmetro, com relação à parcial de Rg, neste cenário. . . 65 Tabela 10 – Valores e desvios de αs e αc utilizados para cada cenário do estudo II. 66 Tabela 11 – Análise de Sensibilidade em Rd0, de acordo com a equação (2.7), no
Estudo II. Nestes cenários αs e αc seguem a tabela 10. Já β1, β2, β3,
e αm no cenário 4 seguem o cenário 2, e nos cenários 5, 6 e 7, seguem o cenário 3, como na tabela 4. Demais parâmetros seguem a tabela 3. Cada valor na tabela, corresponde à variância do respectivo parâmetro, com relação à Rd0, em cada cenário. . . 67
padrão obtido como a raiz quadrada da variância, dada pela equação (2.7). No Estudo II, αs e αc seguem a tabela 10. Já β1, β2, β3, e αm no cenário 4 seguem o cenário 2, e nos cenários 5, 6 e 7, seguem o cenário 3, como na tabela 4. Demais parâmetros seguem a tabela 3. . . 68
Tabela 13 – Para cada cenário temos as coordenadas do equilíbrio endêmico, de acordo com as equações (1.18) a (1.23), e desvio padrão como a raiz quadrada da variância, calculada com a equação (2.8). No Estudo II,
αs e αc seguem a tabela 10. Já β1, β2, β3, e αm no cenário 4 seguem o cenário 2, e nos cenários 5, 6 e 7, seguem o cenário 3, como na tabela 4. Demais parâmetros seguem a tabela 3. . . 68
Introdução . . . 15
1 MODELO MATEMÁTICO . . . 17
1.1 Introdução . . . 17
1.2 Formulação do Modelo Matemático . . . 18
1.3 Entendendo o Número Básico de Reprodução - Rg . . . 29
1.4 Análise de Estabilidade . . . 32
1.4.1 Ponto Livre da Doença . . . 33
1.4.1.1 Método da Matriz da Próxima Geração . . . 33
1.4.1.1.1 NGM-I . . . 35
1.4.1.1.2 NGM-II . . . 37
1.4.1.2 Estabilidade Local . . . 38
1.4.1.3 Estabilidade Global. . . 40
1.4.2 Ponto de Equilíbrio Endêmico - Estabilidade Global . . . 44
1.5 Discussões . . . 47 1.5.1 Relações entre Rg e χ0 . . . 47 1.5.1.1 Relação Biológica . . . 47 1.5.1.2 Formas de Obtenção . . . 48 1.5.1.3 Relação Analítica . . . 49 2 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE . . . 53
2.1 Revisão de Literatura e Estimação dos Parâmetros . . . 54
2.2 Estudo Local no Rg e Equilíbrio Endêmico . . . 59
2.2.1 Resultados e Discussões . . . 61
2.2.1.1 Estudo I . . . 62
2.2.1.2 Estudo II. . . 66
2.3 Estudo Global do Sistema Dinâmico . . . 69
2.4 Conclusões . . . 73
3 APLICAÇÕES DO MODELO . . . 74
3.1 Submodelos . . . 74
3.1.1 Transmissão Somente por Vetor . . . 74
3.1.2 Somente a Classe Ad Transmitindo . . . 75
3.1.3 Somente Transmissão Direta . . . 77
3.2 Resultados dos Submodelos . . . 78
3.2.3 Soluções Estocástica e Determinística no Modelo que Considera Somente
Transmissão Direta . . . 80
3.3 Discussões . . . 84
4 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS . . . 86
REFERÊNCIAS . . . 87
APÊNDICE A – MATRIZ DA PRÓXIMA GERAÇÃO - HIPÓTE-SES E TEOREMA DE ESTABILIDADE LOCAL . 93 APÊNDICE B – TEORIA DE GRAFOS E COEFICIENTES DA FUN-ÇÃO DE LYAPUNOV . . . 95
B.1 Introdução . . . 95
B.2 Resultados Teóricos de Grafos . . . 96
B.3 Determinando os Coeficientes . . . 96
B.4 Discussões . . . 103
APÊNDICE C – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E INCERTEZA VIA LHS-PRCC . . . 104
Introdução
Modelos matemáticos que descrevem fenômenos biológicos, ou estudam algum padrão destes, são objetos de estudo de longa data. Basta uma breve consulta nos clássicos livros de biomatemática, como (MURRAY, 2002) ou (EDELSTEIN-KESHET,2005) e ver a enorme variedade de problemas, de ordem matemática e biológica, bem como as diferentes maneiras de se abordá-los. Isso acontece de maneira fragmentada porque a própria biologia é tão diversa (REED, 2004). A diversidade e riqueza que extrapolam estes livros, talvez tenham contribuído para que a biomatemática tenha crescido substancialmente nos últimos 50 anos(MACKEY; MAINI,2015). Em poucas palavas podemos dizer que a Biomatemática faz a interface entre a Matemática e a Biologia. Ora se tem um problema, um fenômeno biológico que é traduzido em linguagem matemática. Ora se tem um resultado matemático que é traduzido para a linguagem biológica. Em (COHEN, 2004) temos uma boa síntese para isso. A Matemática é considerada o “o novo microscópio da Biologia”, e a Biologia por sua vez é considerada “a nova Física da Matemática”.
Em se tratando de Epidemiologia Matemática, o ramo da Biomatemática dedicado ao estudo de doenças infecciosas, os primeiros trabalhos são atribuídos a Daniel Bernoulli (ANDERSON; MAY, 1992), (FOPPA, 2016). Não podemos deixar de falar da teoria do valor limiar (KERMACK; MCKENDRICK, 1927). Nesta teoria, Kermack e McKendrick propoem a existência de um valor crítico, um limiar, que ao introduzir indivíduos infectantes em uma população totalmente suscetível, este fato não resultará em uma epidemia, caso o número de suscetíveis esteja acima deste limiar. Ao considerar esta teoria, com o princípio de ação das massas, temos a pedra fundamental da epidemiologia matemática moderna (YANG, 2001a).
Um primeiro modelo matemático que estude a Anemia Infecciosa Equina no Brasil, e em particular no Pantanal, foi feito em (MARQUESONE, 2011). Tal modelo considera somente a transmissão via vetor. No entanto, talvez por desinformação, o homem se torna o principal componente na cadeia de transmissão do vírus (SILVA; ABREU; BARROS,2001). Isso acontece devido ao manejo inadequado dos animais soropositivos, ao compartilhar utensílios/tralhas de um animal para outro, e também do compartilhamento de seringas/agulhas contaminadas. Sobre esse tipo de transmissão provocada por ações humanas, não há algum dado ou pesquisa que mensure o quão influente é esse tipo de transmissão, na dinâmica da doença. Neste trabalho propomos um modelo matemático que, além da transmissão por vetor, considera estas duas formas de transmissão direta, provocada pelo fator humano. Esperamos, de alguma forma, contribuir na quantificação destes fatores.
Esta Tese está organizada em 4 capítulos. No Capítulo 1 há a formulação do modelo matemático, determinação dos pontos de equilíbrio, análise da estabilidade e discussão dos limiares encontrados. No Capítulo 2fazemos uma breve revisão de literatura dos parâmetros, fazendo uma estimativa para alguns. Em seguida, fazemos a análise de sensibilidade do equilíbrio endêmico e do número básico de reprodutividade da doença, em nível local, e posteriormente para o modelo proposto, fazemos uma análise de sensibilidade em nível global. Ambos os estudos foram feitos considerando 7 cenários, divididos em dois tipos de estudos. No primeiro uma das duas formas de transmissão direta tem valores muito baixos, e no segundo estudo este parâmetro tem valores muito mais altos, levando em conta a estimativa feita para este. A seguir no Capítulo 3, discutimos os limiares em submodelos; mostramos analiticamente que o limiar χ0 corresponde à fração de suscetíveis,
para o submodelo que tem somente uma população suscetível e ao produto das frações de suscetíveis quando o submodelo possui duas populações suscetíveis. Ainda neste capítulo, fizemos um estudo do efeito das taxas diárias de controle, nas categorias de soropositivos que são conhecidas no submodelo que considera somente a transmissão direta. Além de fazer esta análise com as taxas de controle, comparamos os resultados obtidos no equilíbrio endêmico, calculado para o respectivo modelo, e pelo algoritmo de simulação estocástica, também conhecido como algoritmo de Gillespie (GILLESPIE, 1976). Finalmente, no Capítulo 4 apresentamos uma síntese das conclusões a partir das discussões feitas nos capítulos anteriores, bem como trabalhos futuros.
1 Modelo Matemático
1.1
Introdução
Neste trabalho nos propomos a construir e estudar um modelo matemático para a Anemia Infecciosa Equina, considerando a transmissão por vetor (mutuca), e pela intervenção humana, através do compartilhamento de seringas e/ou agulhas contaminadas, e do compartilhamento das tralhas dos cavalos, sob algumas hipóteses de como a doença se comporta. A seguir faremos uma breve descrição de aspectos relevantes na modelagem da doença. Sejam estes de caráter biológico, político ou outra natureza. Para maiores detalhes sobre a doença, consulte (SILVA; ABREU; BARROS, 2001) e (VARGAS, 2008).
A Anemia Infecciosa Equina (AIE) é conhecida pelo mundo como Febre-do-pântano, sendo causada por um retrovírus pertencente à subfamília dos lentivírus. Além da anemia, um cavalo com essa doença pode apresentar febre, hemorragias, desorientação, andar em círculos, e perda de peso. O vírus da Anemia Infecciosa Equina (VAIE) é trans-mitido de maneira mecânica por insetos hematófagos. Somente as fêmeas são hematófagas, e o contágio acontece quando um inseto tem seu repasto interrompido, devido ao incômodo que causa no cavalo, indo terminar de se alimentar em outro cavalo. Se o primeiro cavalo for soropositivo e o segundo não, na grande maioria das vezes, o segundo será infectado. O inseto fica com a infecção em seu aparelho bucal durante um tempo após o contato com algum animal infectado pela doença. Na literatura este tempo pode variar de 15 minutos a 4 horas. Em (MARQUESONE,2011) este tempo foi estudado, e se achou razoável um tempo de 30 minutos.
Uma outra forma do animal se infectar é via transmissao iatrogênica. Esta forma de transmissão ocorre através do compartilhamento de agulhas/seringas contaminadas, e compartilhamento de utensílios/tralhas dos cavalos (esporas, freios, selas, e outros). Nesta última, a transmissão ocorre quando ao utilizar um cavalo, algum destes utensílios lhe cause algum ferimento que deixe algum resíduo de sangue infectado com o vírus no utensílio. Ao fazer a troca de cavalo, utilizando estes mesmos utensílios, e o novo animal também for ferido, pode haver o contágio. Desde estudos mais antigos até os mais atuais, como em (BORGES et al., 2013), (MELO et al., 2012) e (NOGUEIRA et al., 2011), por exemplo, este tipo de transmissão aparece como um dos principais causadores da doença. O compartilhamento de seringas/agulhas contaminadas é uma questão de saúde pública, e que aparece no estudo de outras doenças. Em (DARPEL et al.,2016) os autores abordam esta problemática e com seus estudos, comprovam que a febre catarral, conhecida também como língua azul, é transmitida caso haja compartilhamento de seringas. O compartilhamento de seringas também é objeto de estudo em (YANG, 2001c), onde o
autor após apresentar os resultados numéricos do modelo, conclui que a única possibilidade de controlar a transmissão do HIV entre agulhas compartilhadas, é no caso da existência de uma esterilização perfeita.
É importante observar que cavalos que passaram pela fase da infecção, podem após um período (de meses ou anos) voltar a expressar os sintomas (SILVA; ABREU; BARROS,2001). Apesar de ser um caso pouco frequente, costuma acontecer. Os cavalos que sobreviverem, persistem como portadores assintomáticos, sendo reservatórios do vírus por toda a vida (VARGAS, 2008).
Para os animais soropositivos, é recomendável que sejam mantidos a uma distância de 200 metros dos negativos, e que não haja quaisquer compartilhamento de tralhas/utensílios entre estes dois grupos (SILVA et al.,2004). Essa distância é suficiente para que os insetos hematófagos que entrarem em contato com os animais soropositivos, não façam o contágio nos animais negativos. Segundo um estudo feito pela EMPRAPA Pantanal, um tabanídeo não voa mais de 50 metros para terminar o seu repasto, que é onde acontece a transmissão (BARROS; FOIL, 2009). A Instrução Normativa número 45, de 15 de junho de 2004, também recomenda esta distância (AGRICULTURA,2004).
No Pantanal, segundo pesquisadores da EMBRAPA Pantanal, mesmo que a entidade forneça material descartável sem custo algum, com exceção dos criadores de cavalo pantaneiro (que estão interessados em vender estes animais), a grande maioria dos demais proprietários utilizam uma mesma agulha em todos os animais. O mesmo acontece no compartilhamento de tralhas, onde somente os criadores de cavalo pantaneiro fazem um controle mais efetivo.
1.2
Formulação do Modelo Matemático
Nosso ponto de partida será o modelo matemático apresentado por ( MAR-QUESONE, 2011), e acrescentaremos alguns outros elementos no modelo a ser proposto. Começaremos a destacar os compartimentos utilizados para descrever as subpopulações de cavalos. Teremos então os compartimentos S (suscetível), L (latente), Ad (assintomático
desconhecido), I (infectado) e Ac (assintomático conhecido). Considera-se suscetível todo
cavalo que está sujeito a adquirir a doença, latente o que acabou de adquirir o vírus, mas ainda não transmite. A importância desta última categoria está no fato de que após ser contaminado pelo vírus, o animal não começa de imediato a contribuir na transmissão da doença. Neste modelo consideramos que as categorias de cavalos que transmitem a doença são: Ad, I e Ac. Depois de passar pela fase de latente, o cavalo passa para a categoria de
assintomático desconhecido, onde ele começa a transmitir a doença, mas ainda não possui
os sintomas. Nesse compartimento o cavalo pode passar para o compartimento
infectado, onde começará a expressar os sintomas da doença. Se isso acontecer, considera-se
que agora a informação de que o animal tem a doença é conhecida, e assim ao passar pela categoria dos infectados, ele também vai para o compartimento assintomático conhecido. Neste compartimento, caso o animal venha do compartimento Ad, após um período de
tempo, ele passará para a categoria de infectado, e após o período dos sintomas, volta para a categoria de assintomático conhecido. Ou seja, na categoria de assintomático conhecido, estão os animais que foram diagnosticados antes dos sintomas se manifestarem, e que posteriormente passarão por essa fase, além dos animais que não foram diagnosticados e que já passaram pela fase dos sintomas. Ambas as categorias de cavalos, poderão voltar a ter novamente os sintomas, embora já mencionamos anteriormente que isso não é tão comum de se acontecer. A doença ainda não possui uma vacina aprovada, mas vamos considerar uma subpopulação V de vacinados, como sendo a parcela dos suscetíveis que receberem a vacina. Tal vacina já existe na China (COOK; LEROUX; ISSEL, 2013), embora a eficácia não tenha sido comprovada em estudos experimentais. Neste mesmo trabalho os autores fazem uma minuciosa revisão de literatura, na seção 6, com relação aos estudos na busca de uma vacina para a AIE. Os mesmos autores concluem que a proteção contra a doença em grandes populações de cavalos, é algo que pode ser alcançado, de acordo com o obtido na China, e que neste momento o uso generalizado de vacinas não é aplicável como uma estratégia de gerenciamento da AIE a longo prazo. Dessa forma, iremos considerar a taxa de vacinação sendo nula. Toda a dinâmica descrita até então, pode ser representada na Figura 1, pelas setas entre os compartimentos.
Vamos agora à caracterização formal do modelo. Considere a população de cavalos e a população de insetos, no instante t sendo denotada por Cptq e N ptq respecti-vamente. Na população de cavalos se considera uma taxa de recrutamento constante φ, devido a nascimentos ou migração (movimento de cavalos entre fazendas), e a mortalidade natural µc.
A população de cavalos é dividida em seis subpopulações: cavalos suscetíveis (Sptq), cavalos vacinados pV ptqq, cavalos latentes (Lptq), cavalos assintomáticos
desconheci-dos (Adptq), cavalos infectados (Iptq) e cavalos assintomáticos conhecidos (Acptq). Já em
relação à população de insetos são consideradas duas subpopulações: insetos suscetíveis (Xptq) e insetos infectantes da doença (Y ptq).
A taxa de vacinação nos animais suscetíveis é denotada por ν. A mortalidade dos cavalos infectados pela doença é denotada por δ, a mortalidade por controle é denotada por θ1 nos cavalos infectados e θ2 nos cavalos assintomáticos conhecidos.
Vamos agora descrever o período em que os cavalos permanecem em cada cate-goria: na categoria latente o tempo médio é de γ´1
2 dias, na de assintomático desconhecido
esse tempo é de γ´1
3 dias; para a categoria de infectados esse período é de γ ´1
5 dias; temos
ainda γ4 a taxa de diagnóstico nos cavalos da categoria assintomáticos desconhecidos; e
γ´1
6 o tempo que estes cavalos diagnosticados permanecem na categoria de assintomáticos
conhecidos, antes de os sintomas começarem a se expressar e eles passarem para a categoria de infectados.
Para a população de insetos, iremos considerar que esta já está estabelecida na região, e que o número total de insetos alcançou um equilíbrio constante. Temos para estes a mortalidade natural, µm. Um inseto não portador torna-se portador ao entrar em
contato com qualquer cavalo das categorias que transmitem a doença, Ad, I e Ac. O inseto
permanece nesta categoria por um tempo ε´1, que é o período em que os insetos ficam com
a infecção no aparelho bucal. Se durante este tempo o inseto picar algum cavalo suscetível, pode ocorrer o contágio. Após o período ε´1 o inseto volta para a categoria não portador,
e esse ciclo volta a se repetir toda vez que algum inseto não portador entrar em contato com algum cavalo das categorias que transmitem.
A transmissão é modelada pela lei da pseudo ação das massas (para maiores detalhes sobre as diferentes formulações da lei de ação das massas em um modelo de trans-missão de doenças, veja na página 7 de (YANG et al.,2016)). Para a transmissão indireta, temos αm a taxa de contato per capita entre cavalos suscetíveis e insetos infectantes, β1
entre insetos suscetíveis e cavalos assintomáticos desconhecidos, β2 entre insetos suscetíveis
e cavalos infectados, e β3 entre insetos suscetíveis e cavalos assintomáticos conhecidos.
Já na transmissão direta, temos o contágio por seringa/agulha, que ocorre a uma taxa per capita αs; e a transmissão por compartilhamento de utensílios/tralhas dos cavalos
a transmissão ocorre de maneira proporcional às probabilidades α1, α2, e α3, referentes
à probabilidade de transmissão nas categorias de cavalos assintomáticos desconhecidos, infectados e assintomáticos conhecidos, respectivamente. Devido ao fato de que os animais da classe Infectado possuem maior probabilidade de contágio, iremos considerar que as taxas de infecção direta e indireta dos mesmos são maiores que as demais, isto é, β2 ą β1,
β2 ą β3, e α2 ą α1, α2 ą α3.
Em regiões como o Pantanal, é permitida a segregação dos animais soropositivos, obedecendo há algumas regras de manejo, e em outros estados é recomendado o sacrifício destes animais (VARGAS, 2008),(AGRICULTURA,2004). Temos então θ1 e θ2, que são
taxas de segregação e/ou sacrifício, nas categoridas de cavalos I e Ac, respectivamente.
Na ausência da doença, a população de hospedeiros segue a dinâmica
dS
dt “ φ ´ pµc` νqS, (1.1) dV
dt “ νS ´ µcV, (1.2)
onde t é o tempo, φ é a taxa de entrada de suscetíveis, µc é a taxa de mortalidade natural
dos cavalos, e ν é a taxa de vacinação. Com a presença da doença, de acordo com as considerações anteriores, o modelo que descreve a dinâmica é dado pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
$ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ % dS dt “ φ ´ αmSY ´ pαs` αcqrα1Ad` α2I ` α3AcsS ´ pµc` νqS, dV dt “ νS ´ µcV, dL dt “ αmSY ` pαs` αcqrα1Ad` α2I ` α3AcsS ´ pγ2` µcqL, dAd dt “ γ2L ´ pγ3` γ4` µcqAd, dI dt “ γ3Ad` γ6Ac´ pγ5` θ1 ` δ ` µcqI, dAc dt “ γ4Ad` γ5I ´ pγ6` θ2 ` µcqAc, dX dt “ µmN ` εY ´ pβ1Ad` β2I ` β3AcqX ´ µmX, dY dt “ pβ1Ad` β2I ` β3AcqX ´ pε ` µmqY. (1.3)
Neste sistema, as seis primeiras equações descrevem a dinâmica da população de hospedeiros e as outras duas equações descrevem a dinâmica da população de vetores. Na tabela 1
temos uma síntese das variáveis do modelo, e na tabela 2 uma síntese dos parâmetros. O modelo será estudado numericamente no capítulo 2.
Tabela 1 – Variáveis do modelo matemático. Variável Significado
S subpopulação de cavalos suscetíveis
V subpopulação de cavalos vacinados
L subpopulação de cavalos latentes
Ad supbopulação de cavalos assintomáticos desconhecidos
I subpopulação de cavalos infectados
Ac subpopulação de cavalos assintomáticos conhecidos
C população total de cavalos
X subpopulação de insetos suscetíveis
Y subpopulação de insetos infectantes
Tabela 2 – Parâmetros do modelo matemático.
Parâmetro Significado
φ taxa de entrada de cavalos suscetíveis
µc taxa de mortalidade natural dos cavalos
ν taxa de vacinação
γ2 taxa de incubação
γ3 taxa de aparecimento dos sintomas após a incubação do vírus
γ4 taxa de diagnóstico
γ5 taxa de passagem de Infectado, I, para Assintomático Conhecido, Ac
γ6 taxa de passagem de Acpara I
δ taxa de mortalidade causada pela doença
θ1 Taxa de sacrifício e/ou segregação dos animais da classe I
θ2 Taxa de sacrifício e/ou segregação dos animais da classe Ad
β1 taxa de infecção pelo inseto ao cavalo assintomático desconhecido
β2 taxa de infecção pelo inseto ao cavalo infectado
β3 taxa de infecção pelo inseto ao cavalo assintomático conhecido
αm taxa de contato entre inseto infectante e cavalo suscetível
µm taxa de mortalidade natural dos insetos
N quantidade de vetores
ε taxa de transmissão dos insetos
α1 risco de compartilhamento dos cavalos assintomáticos desconhecidos
α2 risco de compartilhamento dos cavalos infectados
α3 risco de compartilhamento dos cavalos assintomáticos conhecidos
αc taxa de infecção por compartilhamento de tralhas e utensílios dos cavalos
Somando as seis primeiras equações de (1.3), obtemos a dinâmica para a população de hospedeiros,
dC
dt “ φ ´ pδ ` θ1qI ´ θ2Ac´ µcC, (1.4)
e como C é a população total de cavalos, temos que C “ S ` V ` L ` Ad` I ` Ac. Na
ausência da doença a dinâmica é dada por,
dC
dt “ φ ´ µcC. (1.5)
Assim a equação (1.5) tem como ponto de equilíbrio trivial C “ φ
µc
.
Somando as duas últimas equações obtemos a dinâmica para a população total de vetores, N ptq : dN dt “ dX dt ` dY dt “ 0, (1.6) ou seja, N é constante.
Vamos agora explorar algumas características básicas da dinâmica do modelo (1.3). É de interesse biológico que todas as equações tenham soluções não-negativas. Para
isso, consideremos a região de interesse,
Ω “ Ωcˆ Ωv Ă R6`ˆ R 2 `, onde, (1.7) Ωc “ tpS, V, L, Ad, I, Acq P R6`|S ą 0, V ě 0, L ě 0, Adě 0, (1.8) I ě 0, Acě 0, e 0 ă S ` V ` L ` Ad` I ` Acď φ µc u, (1.9) Ωv “ tpX, Y q P R2` : 0 ď X ` Y ď N u. (1.10)
Agora alguns resultados do modelo (1.3) restrito à região Ω.
Lema 1.1. Seja gptq “ pSptq, V ptq, Lptq, Adptq, Iptq, Acptq, Xptq, Y ptqq e gp0q a condição
inicial. Se gp0q ą 0, então todas as soluções gptq do modelo (1.3) são positivas para t ě 0. Demonstração. Seja T “ suptt ą 0 : gptq ą 0u. Logo, T ą 0. Após fazer o uso do fator
integrante, a primeira equação do modelo (1.3) pode ser reescrita da seguinte forma, d dt „ Sptq exp ˆżt 0 pαmY pτ q ` pαs` αcqrα1Adpτ q ` α2Ipτ q ` α3Acpτ qsqdτ ` pµc` νqt ˙ “ φ exp ˆżt 0 pαmY pτ q ` pαs` αcqrα1Adpτ q ` α2Ipτ q ` α3Acpτ qsqdτ ` pµc` νqt ˙ .
Fazendo a integração de 0 a T, em ambos os lados da igualdade e isolando SpT q, obtemos, SpT q “ exp ˆ ´ żT 0 pαmY pτ q ` pαs` αcqrα1Adpτ q ` α2Ipτ q ` α3Acpτ qsqdτ ´ pµc` νqT ˙ rSp0q ` żT 0 φ exp ˆżΦ 0 pαmY pτ q ` pαs` αcqrα1Adpτ q ` α2Ipτ q ` α3Acpτ qsqdτ ` pµc` νqΦ ˙ dΦ ą 0, para t ě 0. (1.11)
De maneira análoga obtemos para a segunda equação do modelo (1.3): V pT q “ V p0q expp´µcT q `
żT
0
SpΦq exppµcΦqdΦ ˆ ν expp´µcT q ě 0, para t ě 0.
Para as demais equações do modelo (1.3), com t ě 0, valem as seguintes expressões integrais: LpT q “ expp´pγ2` µcqT q rLp0q ` żT 0 exp ppγ2` µcqΦq pαmY pΦq ` pαs` αcqrα1AdpΦq ` α2IpΦq ` α3AcpΦqsq dΦ , (1.12) AdpT q “ expp´pγ3` γ4` µcqT q „ Adp0q ` żT 0 γ2LpΦq expppγ3` γ4` µcqΦqdΦ , IpT q “ expp´pγ5` θ1` δ ` µcqT q „ Ip0q ` żT 0 pγ3AdpΦq ` γ6AcpΦqq expppγ5` θ1` δ ` µcqΦqdΦ , AcpT q “ expp´pγ6` θ2` µcqT q „ Acp0q ` żT 0 pγ4AdpΦq ` γ5IpΦqq expppγ6` θ2` µcqΦqdΦ , XpT q “ exp ˆ ´ żT 0 pβ1AdpΦq ` β2IpΦq ` β3AcpΦqqdΦ ´ pµm` εqΦ ˙ rXp0q ` żT 0 „ pµm` εqN exp ˆżΦ 0 pβ1Adpτ q ` β2Ipτ q ` β3Acpτ qqdτ ´ pµm` εqΦ ˙ dΦ , Y pT q “ expp´pµm` εqT q „ Y p0q ` żT 0 pβ1AdpΦq ` β2IpΦq ` β3AcpΦqqXpΦq expppµm` εqΦqdΦ .
Mostremos agora que, se o ponto inicial está no interior de Ω, então a solução não pode sair desta região pela parte de sua fronteira formada por:
Γ “ tS “ 0u Y tV “ 0u Y tL “ 0u Y tAd“ 0u Y tI “ 0u Y tAc“ 0u Y tX “ 0u Y tY “ 0u.
De fato, pela continuidade da solução e o fato do ponto inicial estar no interior de Ω, pelo menos para t ą 0 pequeno a solução continua no interior de Ω (e portanto, para tais valores de t, Sptq ą 0, V ptq ą 0, Lptq ą 0, Adptq ą 0, Iptq ą 0, Acptq ą 0, Xptq ą 0,
Y ptq ą 0). Suponhamos por contradição que a solução atinja a parte Γ da fronteira de Ω
em tempo finito e consideremos o menor tempo, T1 ą 0, tal que gpT1q P Γ e gptq está no
interior de Ω, @t P r0, T1q. Consideremos, por exemplo, que LpT1q “ 0; o argumento é o
mesmo se a solução atingir Γ em outras de suas partes. Então, usando a expressão (1.12) para T “ T1 segue que,
0 “ LpT1qLpT q “ expp´pγ2` µcqT q rLp0q ` żT 0 exp ppγ2` µcqΦq pαmY pΦq ` pαs` αcqrα1AdpΦq ` α2IpΦq ` α3AcpΦqsq dΦ ą 0,
pois Lp0q ą 0, Y p0q ą 0, Adp0q ą 0, Ip0q ą 0, Acp0q ą 0, para t P r0, T1q. Obtemos
então uma contradição e, portanto, não podemos ter LpT1q “ 0. Da mesma forma pode-se
argumentar para eliminar as outras possibilidades da solução atingir Γ em tempo finito. Suponhamos agora que o ponto inicial esteja em Γ. Outra vez, tomamos como exemplo o caso em que Lp0q “ 0 e os outros componentes do ponto inicial sejam
estritamente positivos. Como antes, o mesmo argumento vale para os outros casos. Então se Lptq ě 0, @t ě 0, o mesmo tipo de argumento feito antes mostra que nenhum dos outros componentes da solução gptq pode se anular em tempo finito. Neste caso concluímos que
gptq ą 0, @t ě 0 (componente a componente vemos que S ą 0 e as demais são maiores ou
iguais a zero).
Suponhamos por contradição que existe T2 ą 0 tal que LpT2q ă 0, e
considere-mos para todo ą 0 dados iniciais gp0q P intpΩq, tais que lim
Ñ0`gp0q “ gp0q. Pela parte anterior desta prova, como gp0q P intpΩq, sabemos que gptq ą 0, @t ě 0. Por outro lado,
o sistema de equações diferenciais ordinárias que está sendo analisado satisfaz as condições que garantem a continuidade uniforme em intervalos limitados de tempo, com respeito aos dados iniciais. Em particular, temos então
0 ă lim
Ñ0`gpT2q “ gpT2q,
uma contradição que implica que não podemos ter LpT2q ă 0. Portanto, concluímos que
se gp0q P Ω, então gptq ą 0, @t ě 0.
Lema 1.2. A região Ω é positivamente invariante para o modelo (1.3).
Demonstração. Consideremos as equações resultantes de cada população do modelo (1.3),
dC
dt “ φ ´ pδ ` θ1qI ´ θ2Ac´ µcC, (1.13) dN
dt “ 0 (1.14)
onde a equação (1.13) é resultante das subpopulações de cavalos, e a equação (1.14) é a resultante dos vetores, obtidas ao somarmos as respectivas equações. De (1.14) N ptq “ K0,
para K0 P R. Com isso, para N p0q “ N1 P Ω, temos K0 “ N1 P Ω. De (1.13)temos,
dC dt “ µc ˆ φ µc ´ C ˙ ´ pδ ` θ1qI ´ θ2Ac. (1.15) Então, • se C ą φ µc
, a coordenada em questão estará fora da região Ω, e C1
ď 0. Isso quer dizer que o fluxo aponta para dentro de Ω;
• se C “ φ
µc
, a coordenada em questão estará exatamente na fronteira de Ω, e C1
ď 0. Novamente o fluxo aponta para dentro de Ω;
• se C ă φ
µc
1. µc
ˆ φ
µc
´ C ˙
ď pδ ` θ1qI ` θ2Ac, e assim C1 ď 0. Mais uma vez o fluxo aponta
para dentro de Ω; 2. µc ˆ φ µc ´ C ˙
ą pδ ` θ1qI ` θ2Ac, e com isso C1 ą 0. Nesse caso o fluxo aponta
para a fronteira.
Portanto, desta análise e do lema 1.1, temos o desejado. Segundo (HETHCOTE,2000), um modelo nestas condições, para esta região está matematicamente e epidemiologicamente bem-posto. Para maiores detalhes sobre o princípio da invariância veja (KHALIL,2002).
Voltando à equação (1.6), e do fato que N é a população total de insetos, temos
N “ X ` Y , e daí X “ N ´ Y . Logo, podemos escrever a dinâmica dos insetos portadores
apenas em termos de N e Y, e desacoplar a equação de insetos não portadores (X):
dY
dt “ pβ1Ad` β2I ` β3AcqpN ´ Y q ´ pε ` µmqY. (1.16)
É importante observar que devido ao fato de a subpopulação de vacinados depender apenas dos suscetíveis, podemos deixá-la de fora do modelo a ser estudado.
Dessa maneira, nosso modelo contará com seis equações: as seis primeiras equações do sistema (1.3), com exceção da equação dos animais vacinados, e a equação dos insetos portadores (1.16), ou seja,
$ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ % dS dt “ φ ´ αmSY ´ pαs` αcqrα1Ad` α2I ` α3AcsS ´ pµc` νqS dL dt “ αmSY ` pαs` αcqrα1Ad` α2I ` α3AcsS ´ pγ2` µcqL, dAd dt “ γ2L ´ pγ3` γ4 ` µcqAd, dI dt “ γ3Ad` γ6Ac´ pγ5` θ1` δ ` µcqI, dAc dt “ γ4Ad` γ5I ´ pγ6` θ2` µcqAc, dY dt “ pβ1Ad` β2I ` β3AcqpN ´ Y q ´ pε ` µmqY. (1.17)
Ao igualar a zero cada equação do modelo (1.17), obtemos dois pontos de equilíbrio. O primeiro é o ponto de equilíbrio trivial, P0 “ p
φ µc` ν
, 0, 0, 0, 0, 0q, que ocorre
Já o segundo é o ponto de equilíbrio endêmico ¯P “ p ¯S, ¯L, ¯Ad, ¯I, ¯Ac, ¯Y q, onde, ¯ S “ φ ´ pγ2` µcq ¯L µc` ν , (1.18) ¯ Ad “ γ2 pγ3` γ4` µcq ¯ L, (1.19) ¯ I “ γ2rγ3pγ6` θ2` µcq ` γ4γ6s pγ3` γ4` µcqrpγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq ´ γ5γ6s ¯ L, (1.20) ¯ Ac “ γ2rγ4pγ5` θ1` δ ` µcq ` γ3γ5s pγ3` γ4` µcqrpγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq ´ γ5γ6s ¯ L, (1.21) ¯ Y “ Ri 0 1´RfN pγ2` µcq φ µc`ναmN ` Ri 0 1´Rfpγ2` µcq ¯L ¯ L, (1.22)
Da equação (1.18) à (1.22), todas as coordenadas estão em função de ¯L, sendo este valor a
raiz positiva do polinômio
c2L¯2` c1L ` c¯ 0 “ 0, (1.23) sendo que, c2 “ pγ2` µcq2 µc` ν ˜ Rd 0 γ5pθ2`µcq`pθ1`δ`µcqpγ6`θ2`µcq pγ5`θ1`δ`µcqpγ6`θ2`µcq ¸ R0i, (1.24) c1 “ φ µc` ν pγ2` µcq ˜ αmN µc` ν R0` ˜ 1 ´ R d 0 γ5pθ2`µcq`pθ1`δ`µcqpγ6`θ2`µcq pγ5`θ1`δ`µcqpγ6`θ2`µcq ¸ Ri0 ¸ , (1.25) c0 “ $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % αmN ˆ φ µc` ν ˙2 p1 ´ Rgq, αmN ˆ φ µc` ν ˙2 R0pχ0´ 1q, (1.26)
onde Rf satisfaz a relação
γ5pθ2` µcq ` pθ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq
pγ5 ` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq
“ 1 ´ Rf.
Vejamos que na equação (1.26), o coeficiente c0pode ser escrito de duas maneiras
distintas. Em uma está em função de χ0 e na outra de Rg. Tais parâmetros são dados por,
χ0 “ 1 R0 ´ Rf R0 , (1.27) Rg “ R0` Rf. (1.28) Note que, Rg ą 1 ô Rf ą 1 ´ R0 ô Rf R0 ą 1 R0 ´ 1 ô 1 ą 1 R0 ´ Rf R0 “ χ0 ô χ0 ă 1. (1.29)
Assim, vemos que ao exigir Rg ą 1 nos coeficientes do polinômio (1.23), é uma afirmação
A seguir vamos detalhar os componentes de Rg.
Rf “
γ5γ6
pγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq
, (1.30)
Lembrando que µc é a taxa de mortalidade natural dos cavalos, e portanto não nula, segue
que Rf ă 1. R0 “ Ri0` R d 0, (1.31) Ri0 “ Rv0 ˆ rRv1 0 ` R v2 0 ` R v3 0 s, (1.32) Rd0 “ Rc0ˆ rR c1 0 ` R c2 0 ` R c3 0 s, (1.33) com, Rv1 0 “ R v1 1 0 ´ R v2 1 0 , e R vi 0 “ R v1 i 0 ` R v2 i 0 , para i “ 2, 3, (1.34) Rc1 0 “ R c1 1 0 ´ R c2 1 0 , e R ci 0 “ R c1 i 0 ` R c2 i 0 , para i “ 2, 3, (1.35) sendo que, Rv0 “ αmµφc pε ` µmq ˆ µc µc` ν Rc0 “ φ µc ˆ pαs` αcq ˆ µc µc` ν Rv11 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ β1N pγ3` γ4` µcq Rv21 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ5γ6 pγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq ˙ ˆ β1N pγ3` γ4` µcq Rv12 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ3 pγ3` γ4` µcq ˙ ˆ β2N pγ5 ` θ1` δ ` µcq Rv22 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ4 pγ3` γ4` µcq ˆ γ6 pγ6` θ2` µcq ˙ ˆ β2N pγ5` θ1` δ ` µcq Rv13 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ4 pγ3` γ4` µcq ˙ ˆ β3N pγ6 ` θ2` µcq Rv23 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ3 pγ3` γ4` µcq ˆ γ5 pγ5` θ1` δ ` µcq ˙ ˆ β3N pγ6` θ2` µcq Rc11 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ α1 pγ3` γ4` µcq Rc21 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ5γ6 pγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq ˙ ˆ α1 pγ3` γ4` µcq Rc12 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ3 pγ3` γ4` µcq ˙ ˆ α2 pγ5 ` θ1` δ ` µcq Rc22 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ4 pγ3` γ4` µcq ˆ γ6 pγ6` θ2` µcq ˙ ˆ α2 pγ5` θ1` δ ` µcq Rc13 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ4 pγ3` γ4` µcq ˙ ˆ α3 pγ6 ` θ2` µcq Rc23 0 “ γ2 pγ2` µcq ˆ ˆ γ3 pγ3` γ4` µcq ˆ γ5 pγ5` θ1` δ ` µcq ˙ ˆ α3 pγ6` θ2` µcq
Neste trabalho Rg é o número básico de reprodutibilidade da doença e na seção 1.3, discutiremos sob o ponto de vista epidemiológico. Já χ0 está relacionado com a fração
de suscetíveis do modelo.
Agora nosso objetivo é analisar o sinal dos coeficientes do polinômio (1.23), e em seguida aplicar o Critério de Descartes (veja (RUGGIERO; LOPES,1997) para maiores detalhes), e assim concluir sobre a quantidade de raízes positivas. Vejamos inicialmente que c2 é sempre positivo. Já c0 é negativo para Rg ą 1 (o que equivale a χ0 ă 1, por
(1.29)). Dessa forma, com c0 ă 0 e c2 ą 0, pelo Critério de Descartes, o polinômio (1.23)
exatamente uma raiz positiva, para Rg ą 1.
Por outro lado, para Rg ď 1 (ou equivalentemente para χ0 ě 1), teremos
c0 ě 0. Resta portanto, agora avaliar c1. Para Rg ď 1, temos que Ri0` R
d
0` Rf ď 1, e daí
Ri0` Rd0 ď 1 ´ Rf. Assim, 1{p1 ´ Rfq ď 1{pRi0` Rd0q, pois Rf ă 1. Consequentemente
Rd0{p1 ´ Rfq ď Rd0{pR
i
0 ` R
d
0q ď 1. Isso faz com que c1 ě 0. Com isso, teremos todos
os coeficientes deste polinômio sendo positivos, e como não haverá mudança de sinal, novamente pelo Critério de Descartes, não haverá raiz positiva.
De fato, estas foram as exigências para que c0 ă 0, e assim o referido polinômio
tivesse exatamente uma raiz positiva. Resumindo: o polinômio (1.23) terá uma raiz positiva para Rg ą 1 e nenhuma raiz positiva para Rg ď 1. Essa relação será melhor entendida na
seção 1.4, quando faremos a análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio do modelo (1.3). Além do mais, podemos também concluir que χ0 e Rg são limiares para a existência,
ou não, de raiz positiva do polinômio (1.23), ocorrendo assim uma bifurcação quando
χ0 “ Rg “ 1.
É importante ressaltar que devido ao fato de estarmos trabalhando com o ponto de equilíbrio endêmico, para haver a doença é necessário que o número básico de reprodutibilidade da doença seja maior do que 1, isto é, Rg ą 1. Segundo (KEELING; ROHANI,2008), na seção 2.1.1.1, um patógeno pode invadir somente se o número básico de reprodutibilidade da doença for maior do que 1. Além do mais, para (LLOYD-SMITH et al., 2005), não pode haver êxito no espalhamento/transmissão da doença, se em média um hospedeiro não transmitir para mais que um novo hospedeiro. Com isso, vemos que o estudo do ponto de equilíbrio endêmico se torna viável para Rg ą 1.
A seguir, faremos uma discussão epidemiológica de Rg.
1.3
Entendendo o Número Básico de Reprodução - R
gVejamos em (1.28) que Rg pode ser interpretado com um “R0 global”, já que
é escrito como, Rg “ Ri0 ` R
d
0 ` Rf, que representam as contribuições da transmissão
seringas/agulhas e tralhas infectadas. Temos ainda que Rf é a contribuição do fluxo entre
os compartimentos I e Ac, na transmissão da doença, isto é, em Rg.
Vamos agora relembrar o significado do R0 : número de infectados secundários
produzidos por um único infectado, introduzido em uma população totalmente suscetível,
de acordo com (DRIESSCHE; WATMOUGH, 2008),(DIEKMANN; HEESTERBEEK,
2000),(ANDERSON; MAY, 1992). De acordo com o discutido na subseção 2.3.2 de (YANG,2001a), podemos concluir que o Rg obtido matematicamente, representa o número
de casos secundários que um indivíduo infectante produz durante todo o seu período infeccioso, quando se considera a sobrevivência deste indivíduo durante os períodos latente, assintomático desconhecido, infectado e assintomático conhecido.
Começaremos a discussão dos termos por Rv0. É importante observar que αmµφc
pε ` µmq
µc
µc` ν
representa a quantidade média de cavalos (em uma população totalmente suscetível φ
µc
) infectados por um inseto infectante, a uma taxa αm, na duração de tempo
1 pε ` µmq
, sendo que 1
µm
,é o tempo de vida médio de um vetor, e 1
ε,o tempo médio de
duração da infecção no aparelho bucal de um vetor. Temos ainda o termo µc
µc` ν
, que é a proporção dos animais suscetíveis que morreram naturalmente, dentre os animais que deixaram este compartimento por morte natural ou por vacinação. Na ausência da vacinação, ν “ 0 e esse quociente é igual a 1. De maneira análoga temos a interpretação para Rc0 “ φ
µc
ˆ pαs` αcq ˆ
µc
µc` ν
. Neste caso, teremos uma quantidade média de cavalos infectados por uma seringa/agulha infectada ou por um utensílio/tralha infectada, sendo infectada a uma taxa αs por seringa/agulha infectada, e a uma taxa αc por utensílio
infectado.
Já os demais termos, são dois a dois, semelhantes. Percebemos isso ao comparar
Rv,k0 e Rc,k0 , para 1 ď k ď 3. Isso porque os termos da forma Rv,k0 carregam a contribuição da k´ésima categoria de cavalos, na transmissão indireta. Já os termos da forma Rc,k0
carregam a contribuição da k´ésima categoria de cavalos, na transmissão direta. Para o problema em questão, temos que k “ 1 se refere à categoria Ad, k “ 2 se refere à categoria
I e k “ 3 se refere à categoria Ac. Por questões didáticas, vamos deixar os termos Rv,10 e
Rc,10 mais para o final desta discussão.
Em Rv,20 temos a contribuição da categoria I na transmissão direta. Assim, temos que γ2
pγ2` µcq
representa a probabilidade de um cavalo que se encontra na categoria latente da doença, passar para a categoria de assintomático desconhecido, Ad. Essa
mudança fará com que o cavalo passe a ser um transmissor da doença, caso de alguma maneira seu sangue entre em contato com um cavalo livre da doença. Em seguida temos o produto com a probabilidade de um cavalo ir para o compartimento I. Isto é, a soma
da probabilidade γ3 pγ3` γ4` µcq
de o cavalo passar da categoria Ad para I, com a da
probabilidade de o cavalo ir de Ad para Ac com probabilidade
γ4
pγ3` γ4 ` µcq
, e em
seguida ir de Ac para I, com probabilidade
γ6
pγ6` θ2` µcq
. O próximo termo de Rv,20 , nesta
sequência, é β2N
pγ5` θ1` δ ` µcq
, que representa o contato entre os insetos suscetíveis, com
uma população totalmente suscetível N , e os cavalos desta categoria, a uma taxa de β2,
durante o período de tempo 1
pγ5` θ1` δ ` µcq
, referente a estadia nesta categoria. De
maneira análoga é possível descrever Rc,20 . Neste caso a diferença com Rv,20 está no último
termo, α2
pγ5` θ1` δ ` µcq
, onde α2 é a probabilidade de transmissão de um cavalo da
categoria I.
O próximo termo a ser estudado é Rv,30 . Aqui temos a contribuição dos cavalos da ategoria Ac. Os animais desta categoria tem probabilidade
γ2
pγ2` µcq
de sobreviver à categoria latente, a probabilidade γ4
pγ3` γ4` µcq
de passar da categoria Ad para Ac, e
a probabilidade γ3
pγ3` γ4` µcq
de ir da categoria Ad para I, e em seguida passar para
a categoria Ac com probabilidade
γ5
pγ5` θ1` δ ` µcq
. Logo em seguida temos o contato
entre os insetos suscetíveis, com uma população totalmente suscetível N , e os cavalos desta categoria, a uma taxa de β3, durante o período de tempo
1 pγ6` θ2` µcq
, referente
ao tempo de permanência nesta categoria. De maneira semelhante é possível descrever
Rc,30 . Neste caso a diferença com Rv,30 está também no último termo, α3 pγ6` θ2` µcq
,sendo que α3 é a probabilidade de transmissão de um cavalo da categoria Ac.
Finalmente vamos discutir os termos que formam Rv,10 , referente à contribuição dos cavalos da categoria Ad. Da mesma forma como nos termos anteriores, aqui também
temos a probabilidade γ2 pγ2` µcq
de um cavalo sobreviver a categoria L e passar para Ad.
Em seguida temos a probabilidade p1 ´ γ5γ6
pγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq
q que é a diferença entre a probabilidade de um animal estar nesta categoria, e a probabilidade de um animail fazer alguma mudança entre os compartimentos assintomático conhecido, Ac, e infectados,
I. A seguir temos o contato entre os insetos suscetíveis, com uma população totalmente
suscetível N , e os cavalos desta categoria, a uma taxa de β1, durante o período de
tempo 1
pγ3` γ4` µcq
, referente ao tempo de permanência nesta categoria. Analogamente
é possível descrever Rc,10 . Para este caso a diferença com Rv,10 está também no último
termo, α1
pγ3` γ4` µcq
, sendo que α1 é a probabilidade de transmissão de um cavalo da
categoria Ad.
Feito isso, se faz necessário voltar nossa atenção para o termo ˆ
1 ´ γ5γ6
pγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq
˙
que aparece em Rv,10 e R0c,1. Observemos na figura1, que um animal que está na categoria
Adpode passar para a categoria I e em seguida para a Ac, podendo futuramente expressar
os sintomas novamente e voltar para a categoria I por um tempo, e depois retornar para a Ac. Analogamente acontece com um animal que é diagnosticado em Ad, passa
para Ac, onde em seguida irá para I, e após um período volta para Ac, onde pode
futuramente voltar a desenvolver os sintomas, retornar para I e em seguida para Ac
novamente. Esta subtração é justamente para evitar que este fluxo entre estes dois compartimentos, Ac e I, seja contabilizado duas vezes em Rg. Ou seja, estas categorias
irão transmitir simplesmente pela passagem de uma categoria para outra. Vejamos que o
termo γ5γ6
pγ5` θ1` δ ` µcqpγ6` θ2` µcq
aparece em Rg e isso quer dizer que essa mudança
de compartimento não é totalmente desprezada na transmissão. O fato de subtrair este termo é justamente para impedir que um mesmo elemento seja contabilizado mais de uma vez em algum compartimento.
1.4
Análise de Estabilidade
O estudo da estabilidade dos pontos de equilíbrio trivial (livre da doença) e não-trivial (equilíbrio endêmico), é interessante e um importante objeto de estudo em modelos matemáticos que descrevem a dinâmica de alguma doença, tanto pelo ponto de vista local quanto pelo global. Uma ferramenta muito utilizada para esta demonstração da estabilidade, é a construção de uma função de Lyapunov, a partir da classe de funções sugerida por (GOH, 1978), para modelos ecológicos. De maneira especial, para modelos matemáticos que descrevem doenças infecciosas, há várias publicações com sugestões de funções de Lyapunov a se adotarem, como por exemplo (LI; MULDOWNEY, 1995), (KOROBEINIKOV; WAKE, 2002), (FALL et al., 2007), (LEÓN, 2009), (O’REGAN et al., 2010), (TANG; TENG; ABDURAHMAN, 2016). Em (SHUAI; DRIESSCHE, 2013) os autores desenvolvem uma relação entre as funções de Lyapunov e a teoria de grafos, para o ponto de equilíbrio endêmico, e para o ponto de equilíbrio trivial propõem uma função de Lyapunov, a partir do método da Matriz da Próxima Geração, utilizando o autovetor à esquerda, associado ao maior autovalor da matriz da próxima geração. Já em (IBARGÜEN-MONDRAGÓN; GÓMEZ; LEITÓN, 2015), os autores apresentam um teste
para verificar a estabilidade assintótica de um sistema dinâmico.
No entanto, a dificuldade aumenta à medida em que se utilizam mais equações para descrever o problema. Em modelos mais simples, com duas, três, ou até quatro equações, dependendo do fluxo entre os compartimentos, é possível obter a estabilidade global do ponto de equilíbrio em questão, para grande parte das sugestões apontadas por estas referências. Daí em diante o trabalho em conseguir escolher de forma adequada os coeficientes para se ter o desejado, se torna um problema à parte. Voltando a falar sobre o fluxo entre os compartimentos, este é um outro fator progressivo na dificuldade de se obter
