Análise dos critérios de erros na validação do modelo matemático Arimax de propulsores eletromecânicos

ANÁLISE DOS CRITÉRIOS DE ERROS NA

VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ARIMAX DE

PROPULSORES ELETROMECÂNICOS

Eduardo Post

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ - como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.

Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador

Prof. Dr. Manuel Osorio Binelo Coorientador

Ijuí, RS, Brasil Setembro, 2018

ANÁLISE DOS CRITÉRIOS DE ERROS NA

VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ARIMAX DE

PROPULSORES ELETROMECÂNICOS

Eduardo Post

Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador

Prof. Dr. Manuel Osorio Binelo Coorientador

“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas graças a Deus, não sou o que era antes”. (Martin Luther King)

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, pela vida e por estar presente em todos os momentos dando-me força e sabedoria.

A minha família, por estar do meu lado, tanto nos momentos bons quanto nas dificuldades e pela compreensão dos momentos de minha ausência.

Ao meu orientador, professor Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold, pela orientação, pelos ensinamentos, paciência e compreensão ao longo desta trajetória, e a todos os professores que contribuíram para minha formação.

A minha colega de mestrado Nelize pela amizade, companheirismo e apoio em todos os momentos. Ao meu amigo Dionatan e também colega, pela parceria, apoio e incentivo, com quem mais dividi minhas angústias nesta caminhada. Aos demais colegas pela troca de experiências.

Agradeço a Geni e Sibele pela atenção e disponibilidade.

Agradeço a UNIJUI pela oportunidade e infraestrutura para realização dessa pesquisa.

A CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pela bolsa de mestrado concedida.

RESUMO

Este trabalho apresenta o estudo da modelagem matemática caixa preta de propulsores eletromecânicos de aeronaves do tipo multirrotor. Estas aeronaves têm sido crescentemente investigadas e ainda estão em evolução. Justifica-se este fato em função de possuírem aplicações em diversas áreas, inclusive em situações que causam risco à vida humana. Dentre os multirrotores destaca-se o quadrirrotor, que vem sendo utilizado como plataforma padrão de estudo. Este possui a capacidade de decolagem e aterrissagem vertical, o que desafia a área de controle. Nesse sentido, estudou-se a modelagem matemática do sistema de propulsão eletromecânico dos multirrotores a fim de poder contribuir futuramente com a otimização de seu controle. A metodologia utilizada consiste na compreensão do sistema de propulsão e utilização de uma plataforma de testes para a coleta de dados, seguida da aplicação de testes de estacionariedade para a análise dos mesmos. O cálculo das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial é utilizado para determinação da estrutura e ordem dos modelos matemáticos e posteriormente, os parâmetros são estimados. A validação se dá pela comparação da simulação de cada modelo com os dados da plataforma e a análise dos resíduos. Além disso, são utilizados critérios de informação para seleção de modelos obtendo-se, a partir do Critério de Informação Bayesiano (BIC), uma aproximação prévia de resultados para diferentes modelos, visando garantir possíveis condições impostas pelo projeto que os utilizará. Dessa forma, a metodologia apresentada contribui para novas técnicas de controle.

Palavras-chave: Modelagem Matemática; Identificação de Sistemas; Quadrirrotores; Critérios de Informação.

ABSTRACT

This work presents the study of black box mathematical modeling of electromechanical propellers of multi-rotor aircraft. These aircraft have been increasingly investigated and are still evolving. This is justified by the fact that they have applications in several areas, including situations that are life-threatening. Among the multi-rotors stands the quadrirrotor, which has been used as the standard platform of study. This has the ability to takeoff and vertical landing, which challenges the control area. In this sense, we studied the mathematical modeling of the electromechanical propulsion system of multi-rotors in order to be able to contribute in the future with the optimization of its control. The methodology used consists of the understanding of the propulsion system and the use of a test platform for data collection, followed by the application of stationarity tests to analyze them. The calculation of the autocorrelation and partial autocorrelation functions is used to determine the structure and order of the mathematical models and later, the parameters are estimated. The validation is done by comparing the simulation of each model with the platform data and the analysis of the residues. In addition, information criteria are used to select models, obtaining, from the Bayesian Information Criterion (BIC), a preliminary approximation of results for different models, in order to guarantee possible conditions imposed by the project that will use them. Thus, the presented methodology contributes to new control techniques.

Keywords: Mathematical Modeling; Identification of Systems; Quadrirrotores; Information Criteria.

Lista de Abreviaturas

Siglas Inglês Português

ACF Autocorrelation function Função de Autocorrelação

ADF Augmented Dickey &

Fuller

Dickey-Fuller Aumentado

AIC Akaike's Information

Criterion

Critério de Informação de Akaike

AICc Second-order Akaike's Information Criterion

Critério de informação de Akaike de segunda ordem

AR Autoregresive AutoRegressivo

ARMA AutoRegressive Moving

Average AutoRegressivo Média Móvel ARX AutoRegressive Exogenous inputs AutoRegressivo com Entradas Exógenas ARMAX AutoRegressive Moving

Average Exogenous inputs

AutoRegressivo Média Móvel com Entradas

Exógenas ARIMA AutoRegressive Integrated

Moving Average

AutoRegressivo Integrado Média Móvel

ARIMAX AutoRegressive Integrated Moving Average Exogenous inputs

AutoRegressivo Integrado Média Móvel com Entradas Exógenas

BIC Bayesian Information

Criterion

Critério de Informação Bayesiano BLDC

Brushless Direct Current Corrente Contínua sem

escovas

EP Percent error Erro Percentual

ESC Electronic Speed

Controller

Controlador Eletrônico de Velocidade

FPE Final Prediction Error Erro de Predição Final

FT Transfer Function Função de Transferência

Automation and Control Industrial e Controle KPSS Kwiatkowski, Phillips,

Schmidt e Shin

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin

LS Least Squares Mínimos Quadrados

MA Moving Average Média Móvel

PC Personal Computer Computador pessoal

PWM

Pulse Width Modulation Modulação por Largura de

Pulso

RPM Rotation Per Minute Rotações Por Minuto

RMSE

Root Mean Square Error Raiz do Erro Quadrático

Médio USB

Universal Serial Bus Barramento serial

universal VTOL Vertical take-off and

landing

Decolagem e pouso vertical

Lista de Símbolos

𝑓𝑠 Frequência do sinal a ser amostrado 𝐺(𝑞) Função de transferência do ruído. 𝐻(𝑞) Função de transferência do processo.

k Número de observações

LM Estatística do teste KPSS

𝑁 Comprimento do registro dos dados disponíveis 𝑛𝑎, 𝑛𝑏, 𝑛𝑐, … , 𝑛𝑑 Graus dos polinômios A, B, C, D

p, d, q, r Ordem do modelo

q Operador de atraso

Ta Tempo de amostragem

𝑢(𝑘) Entrada externa no sistema

𝑌_𝑡 Série Temporal Estocástica

𝑦(𝑘 − 𝑖) Regressores

𝑦𝑡 Série de saída

∆𝑌𝑡 Operador das diferenças

Lista de Tabelas

2.1: Características físicas dos componentes da plataforma ... 25

4.1: Resultados dos testes ADF e KPSS para série de saída ... 52

4.2: Resultados dos testes ADF e KPSS para série de saída diferenciada ... 53

4.3: Resultados dos testes ADF e KPSS para série de entrada... 54

4.4: Resultados dos testes ADF e KPSS para série de saída diferenciada ... 55

4.5: Tempos de amostragem e número de amostras obtidas ... 59

4.6: Número de amostras e ordens obtidas ... 59

4.7: Ajuste aos dados da plataforma para cada modelo ... 62

4.8: Modelos e respectivos resultados numéricos ... 69

Lista de Figuras

2.1: Aplicações de aeronaves não tripuladas ... 17

2.2: Configurações de multirrotores ... 18

2.3: Bréguet-Richet Gyroplane Nº1 ... 19

2.4: Quadrirrotor comercial Phantom ... 19

2.5: Movimentos de atitude ... 20

2.6: Sistema de propulsão eletromecânico. ... 21

2.7: Força resultante no aerofólio da pá de uma hélice ... 22

2.8: Motor Brushless utilizado no quadrirrotor ... 23

2.9: Representação das três fases da corrente fornecida pelo ESC ... 24

2.10: Plataforma Experimental. ... 25

2.11: Motor brushless e sensor óptico ... 26

2.12: Conjunto de Dados ... 26

3.1: Diagrama representativo da identificação de sistemas ... 29

3.2: Comparação de séries quanto a estacionariedade ... 32

3.3: Processo de solução de um problema físico ... 43

3.4: Fluxograma da metodologia proposta ... 49

4.1: Dados para a estimação do modelo: (a) saída e (b) entrada. ... 50

4.2: Dados para a validação do modelo: (a) saída e (b) entrada... 51

4.3: Gráfico dos dados de saída após uma diferenciação ... 53

4.4: Gráfico dos dados de entrada após uma diferenciação. ... 54

4.5: Gráfico da ACF da saída diferenciada ... 56

4.6: Gráfico da FACP da saída diferenciada ... 57

4.7: Gráfico da PACF da entrada diferenciada ... 58

4.8: Gráfico do modelo estimado ARIMAX(4,1,4,1) e dos dados coletados ... 63

4.9: Gráfico do erro do modelo ARIMAX(4,1,4,1) em relação à saída ... 63

4.11: Gráfico do erro do modelo ARIMAX(22,1,2,39) em relação à saída ... 64

4.12: Gráfico do modelo estimado ARIMAX(4,1,15,42) e dos dados coletados ... 65

4.13: Gráfico do erro do modelo ARIMAX(4,1,15,42) em relação à saída ... 65

4.14: Gráfico do modelo estimado ARIMAX(11,1,11,33) e dos dados coletados. ... 66

4.15: Gráfico do erro do modelo ARIMAX(11,1,11,33) em relação à saída ... 66

4.16: Gráfico do modelo estimado ARIMAX(9,1,9,48) e dos dados coletados. ... 67

4.17: Gráfico do erro do modelo ARIMAX(9,1,9,48) em relação à saída ... 67

4.18: Gráfico do modelo estimado ARIMAX(8,1,2,40) e dos dados coletados ... 68

4.19: Gráfico do erro do modelo ARIMAX(8,1,2,40) em relação à saída. ... 68

4.20: Gráfico dos valores do BIC X número de amostras ... 70

4.21: Função de ajuste aos pontos BIC X número de amostras. ... 70

A.1: Comandos utilizados para estimar o modelo ARIMAX(4,1,4,1) ... 78

A.2: Comandos utilizados para estimar o modelo ARIMAX(22,1,2,39) ... 78

A.3: Comandos utilizados para estimar o modelo ARIMAX(4,1,15,42). ... 78

A.4: Comandos utilizados para estimar o modelo ARIMAX(11,1,11,33) ... 79

A.5: Comandos utilizados para estimar o modelo ARIMAX(9,1,9,48) ... 79

A.6: Comandos utilizados para estimar o modelo ARIMAX(8,1,2,40) ... 79

B.1: Comandos utilizados para validar o modelo ARIMAX(4,1,4,1) ... 80

B.2: Comandos utilizados para validar o modelo ARIMAX(22,1,2,39) ... 80

B.3: Comandos utilizados para validar o modelo ARIMAX(4,1,15,42). ... 80

B.4: Comandos utilizados para validar o modelo ARIMAX(11,1,11,33) ... 81

B.5: Comandos utilizados para validar o modelo ARIMAX(9,1,9,48) ... 81

SUMÁRIO

2.1 VANTs (Veículos Aéreos não Tripulados) ... 18

2.2 O Quadrirrotor ... 20

2.3 O Sistema Propulsor Eletromecânico ... 22

2.3.1 A Hélice ... 23

2.3.2 Motor BLDC (Brushless Direct Current) ... 23

2.3.3 O ESC - Eletronic Speed Controler ... 24

2.4 Plataforma Experimental ... 25

3 MODELAGEM E IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ... 29

3.1 Introdução ... 29

3.2 Análise de séries temporais ... 31

3.3 Estacionariedade ... 32

3.3.1 Teste ADF ... 33

3.3.2 Teste KPSS ... 35

3.3.3 Transformação da série de dados em estacionária ... 36

3.4 Representação dos modelos autorregressivos ... 36

3.4.1 Modelo Autorregressivo ... 37

3.4.2 Modelo Autorregressivo com Entradas Externas ... 38

3.4.3 Modelo Autorregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas ... 38

3.5 Determinação da Estrutura do Modelo ... 39

3.5.1 Função de Autocorrelação (ACF) ... 39

3.6 Estimação de Parâmetros ... 41

3.6.1 Método de Mínimos Quadrados (LS) ... 42

3.6.2 Método de Mínimos Quadrados Estendido (LSE) ... 43

3.7 Validação do modelo... 44

3.7.1 Métodos Subjetivos – Simulação e Análise Residual ... 45

3.7.2 Métodos Quantitativos – Indicadores Estatísticos ... 46

3.8 Critérios de Informação ... 47

3.8.1 Critério de Informação de Akaike - AIC ... 47

3.8.2 Critério de Informação Bayesiano - BIC ... 49

3.9 Fluxograma e Aspectos Computacionais da Metodologia ... 49

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 51

4.1 Coleta e Processamento de Dados ... 51

4.2 Análise dos Dados de Saída ... 52

4.3 Análise dos Dados de Entrada ... 55

4.4 Análise das Funções de Autocorrelação (ACF) e Autocorrelação Parcial (PACF) ... 56

4.5 Obtenção de Novos Conjuntos de Dados ... 59

4.6 Estimação dos Modelos ... 61

4.6.1 Modelo ARIMAX(4,1,4,1) ... 61 4.6.2 Modelo ARIMAX(22,1,2,39) ... 61 4.6.3 Modelo ARIMAX(4,1,15,42). ... 62 4.6.4 Modelo ARIMAX(11,1,11,33). ... 62 4.6.5 Modelo ARIMAX(9,1,9,48) ... 62 4.6.6 Modelo ARIMAX(8,1,2,40) ... 63

4.7 Validação dos Modelos ... 63

5 CONCLUSÕES ... 73

5.1 Considerações Finais ... 73

5.2 Proposições para trabalhos futuros ... 74

REFERÊNCIAS ... 75

Apêndice A ... 79

Comandos utilizados para a estimação dos modelos ... 79

Apêndice B ... 81

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

Um veículo aéreo não tripulado (VANT) caracteriza-se pela ausência de um piloto embarcado. A utilização destas aeronaves, também chamadas de drones, teve um grande auge nos últimos anos. Têm demonstrado cada vez mais, uma grande utilidade em diversas situações, principalmente em ambientes de difícil acesso ou que causem risco à vida humana. Além disso, tem sido recorrente o seu uso para entretenimento, de modo que estão cada vez mais acessíveis ao público.

O quadrirrotor, composto por quatro rotores, é um VANT que vem ganhando destaque. De acordo com Mahony citado por Guimarães (2012), ele está se tornando a plataforma padrão para a investigação de mobilidade e percepção tridimensional. Como esse tipo de aeronave possui a capacidade de decolar e aterrissar verticalmente e também realizar o voo pairado tem-se muitos desafios de pesquisa na área de controle. Para a estabilidade da aeronave ser garantida, não basta apenas girar os rotores na mesma velocidade, é necessário também fazer ajustes para estabilizar o vôo. Por isso a importância de técnicas de controle para que a estabilização não seja trabalho para o piloto, via controle remoto.

No entanto, tem havido relativamente pouco desenvolvimento de modelos dinâmicos precisos de quadrirrotores. A aquisição de modelos de sistemas de alta fidelidade e técnicas de controle baseadas nos modelos é fundamental para o controle de precisão. O que tem sido frequente é a projeção de controladores de voo de estrutura simples por tentativa e erro durante o voo real. O controlador resultante desse processo provavelmente não será o ajuste ideal.

Dessa forma, é fundamental obter o modelo matemático do sistema de propulsão eletromecânico, a fim de contribuir para a otimização de seu controle. Cada propulsor necessita estar em pleno funcionamento para que não ocorram problemas de navegação.

1.2 Motivação

Ainda existem falhas no funcionamento do propulsor eletromecânico de quadrirrotores e não há proteções contra as mesmas. Havendo falha nos rotores, a aeronave desestabiliza-se, o que pode provocar a queda e a perda total do

equipamento. Após compreender a dinâmica de voo dos quadrirrotores, projetistas necessitam expressar matematicamente essa dinâmica. O objetivo é conseguir um modelo que se adapte à realidade para poder executar simulações e projetar o controlador para fazer a aeronave voar. A obtenção desse modelo matemático ajuda a prever problemas de funcionamento que possam comprometer a navegação da aeronave.

De acordo com as especificidades do projeto pode ser interessante para os projetistas estabelecer algumas condições para o modelo matemático na etapa de pré-projeto. Por exemplo, estabelecer um tamanho de amostra específico pensando no custo que o processo de modelagem irá trazer, mas que o modelo, ainda represente satisfatoriamente o sistema real.

1.3 Objetivos

Os objetivos deste trabalho dividem-se em: Objetivo Geral e Objetivos Específicos, os quais são detalhados a seguir.

1.3.1 Objetivo Geral

Propor uma metodologia que permita garantir que o modelo matemático obtido, represente a dinâmica de propulsores eletromecânicos e satisfaça as exigências da etapa de pré-projeto.

1.3.2 Objetivos Específicos

- Obter critérios para a escolha e representação do modelo matemático, por meio da utilização da técnica de identificação de sistemas;

- Obter uma família de modelos que representem a dinâmica comportamental do propulsor eletromecânico;

- Propor um critério para seleção de modelos que permita a previsão, pelo menos aproximada, de resultados de modelos ainda não identificados;

- Propor uma metodologia consolidada. 1.4 Contribuições

Algumas expectativas deste trabalho são listadas a seguir:

- Obter uma família de modelos matemáticos autorregressivos de um propulsor eletromecânico.

- Facilitar o projeto e desenvolvimento de aeronaves do tipo multirrotor. - Consolidar a metodologia apresentada em Identificação de sistemas. - Auxiliar o projeto de sistemas de controle para multirrotores.

- Propor um critério de seleção de modelos e, que a partir deste critério seja possível realizar previsões aproximadas, de outros modelos identificados com diferentes números de amostras.

1.5 Estrutura do Trabalho

O trabalho está organizado da seguinte maneira:

No capítulo 2 é exposto o referencial teórico a respeito dos veículos aéreos não tripulados com ênfase no quadrirrotor. Caracteriza-se o sistema de propulsão eletromecânico, descrevendo seu funcionamento e seus componentes. Ainda, apresenta-se a plataforma experimental utilizada neste trabalho para a aquisição de dados.

No capítulo 3 abordam-se aspectos teóricos da identificação de sistemas. Faz-se o estudo de séries temporais e de testes de estacionariedade para análiFaz-se de dados. Seguindo, tem-se a descrição dos principais modelos lineares, dos métodos para obtenção da ordem do modelo, estimação de parâmetros e validação. E, explanam-se alguns critérios de informação, que são utilizados para a seleção de modelos.

O capítulo 4 refere-se ao estudo de caso do sistema de propulsão eletromecânico utilizado em quadrirrotores. Apresenta-se o processo de modelagem matemática para a obtenção dos modelos e realiza-se a análise dos resultados e as discussões referentes ao estudo de caso.

Por fim, no capítulo 5 são expostas as conclusões deste trabalho, bem como, as contribuições e sugestões para estudos futuros.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 VANTs (Veículos Aéreos não Tripulados)

Um veículo aéreo não tripulado (VANT do inglês Unmanned Aerial Vehicle,

UAV) é um tipo de aeronave que se caracteriza por funcionar independentemente da

presença humana em seu interior, ou seja, não há a necessidade de um piloto embarcado para pilotá-lo (US DEPARTMENT OF DEFENSE, 2005). A ausência do piloto a bordo possibilita a redução do tamanho da aeronave, do custo de fabricação e manutenção e maior flexibilidade nas manobras. Além disso, são utilizados em situações que limitam a presença física de humanos.

Em relação ao deslocamento da aeronave, ele pode ser realizado de forma independente através de uma rota pré-programada, por controle remoto ou por uma combinação de ambos os sistemas. A combinação desses dois sistemas é utilizada quando se quer um meio termo entre complexidade e custo (OST, 2015).

A crescente evolução dessa categoria de veículos aéreos é justificada pelo fato de possuírem diversas aplicações, bem como, diferentes configurações. Estas naves vêm sendo utilizadas principalmente no meio civil, em diversas áreas, para fiscalizar, inspecionar e/ou monitorar através de imagens aéreas e filmagens como mostra figura a 2.1.

Figura 2.1: Aplicações de aeronaves não tripuladas

Fonte: Adaptada.

Um grande auge atualmente é a utilização de VANTs para o entretenimento e também pela televisão e cinema, na realização de tomadas aéreas.

As naves são idealizadas de acordo com sua função, podendo ser propulsionadas por motores de combustão, motores a jato ou elétricos (VALER, 2016). Às aeronaves do tipo multirrotor, que apresentam em sua estrutura múltiplos rotores elétricos, é que se dará ênfase nesse documento.

Quanto às configurações dos multirrotores, há diferentes modelos. O que os diferencia são a quantidade e o posicionamento de seus rotores. O funcionamento da aeronave depende desta distribuição. Os motores podem ser posicionados na estrutura em forma de "I", "X", "IY", "Y" e "V", como apresentado na figura 2.2.

Figura 2.2: Configurações de multirrotores

Fonte: (COPTERCRAFT, 2017)

Dessa forma, quanto à quantidade de rotores, existem aeronaves com três (tricóptero), quatro (quadrirrotor), cinco (pentacóptero), seis (hexacóptero), oito rotores (hectacóptero), dentre outros modelos.

O quadrirrotor, por exemplo, constitui-se como a estrutura adotada como plataforma padrão na pesquisa de mobilidade e percepção tridimensional (SANTOS, 2007). Isto pode ser justificado pelo fato de, mesmo possuindo algumas limitações, o quadrirrotor apresenta melhor custo benefício comparado ás demais configurações (VALER, 2016).

2.2 O Quadrirrotor

O quadrirrotor se originou no ano de 1907, com a construção do Bréguet-Richet Gyroplane N° 1 pelos irmãos Bréguet (LEISHMAN, 2001), como ilustra a figura 2.3.

Figura 2.3: Bréguet-Richet Gyroplane Nº1

Fonte: (DE SOUSA, 2011)

Devido ao seu tamanho e a sua grande massa, ele não teve força suficiente para atingir uma elevada altitude, chegando a apenas 1,5 m de altura.

O quadrirrotor, exemplo na figura 2.4, é derivado do helicóptero e os meios utilizados para a sua propulsão são quatro rotores de empuxo vertical. Os rotores normalmente são colocados na extremidade da estrutura em forma de cruz e no centro são embarcados os dispositivos necessários para realizar o seu controle (OST, 2015).

Figura 2.4: Quadrirrotor comercial Phantom

Fonte: (PHANTOM BRASIL, 2017)

O quadrirrotor possui a capacidade VTOL (vertical take-off and landing), que permite aterrissagem e decolagem de forma vertical, sem necessitar de uma pista. Dessa forma, apresentam vantagem sobre outras aeronaves que não possuem essa

capacidade, pois podem executar manobras muito mais complexas (BOUABDALLAH, 2007).

A locomoção do quadrirrotor depende apenas da variação da velocidade das hélices. Com isso, não há a necessidade de variar o ângulo de ataque das pás, como ocorre no helicóptero. Assim, o quadrirrotor tem sua energia cinética diminuída e pode alcançar lugares com menor acessibilidade, pois, ao utilizar quatro rotores, o diâmetro das hélices pode ser menor (PAULA, 2012).

Os quatro movimentos controláveis de um quadrirrotor são os de atitude: arfagem, rolagem, guinada e altitude (Figura 2.5). Um movimento de atitude define-se como a orientação da aeronave, determinada pela mudança na inclinação do eixo em relação ao um ponto de referência.

Figura 2.5: Movimentos de atitude

Fonte: (PAULA, 2012)

 Arfagem: Movimento que faz o quadrirrotor mover-se para frente ou para trás (realizado em torno do eixo y).

 Rolagem: Movimento que faz o quadrirrotor se deslocar para a esquerda ou para direita (ocorre em torno do eixo x).

 Guinada: Movimento realizado em torno do eixo z, ou seja, o quadrirrotor terá uma inclinação de zero grau em relação ao plano xy.

 Altitude: Faz a aeronave ganhar altura no momento em que se aumenta a velocidade de rotação em todos os motores.

Ressalta-se que o quadrirrotor é capaz de realizar o voo pairado, em que a aeronave encontra-se “parada” no ar. Para não ocorrer nenhum movimento, a

velocidade de rotação em todos os motores deve ser igual, de forma que o empuxo gerado seja o suficiente para manter a aeronave voando.

Uma das desvantagens do quadrirrotor é a ausência de proteção contra falhas. Dessa forma, se um dos rotores falhar, a aeronave pode desestabilizar ou até cair, ocorrendo a perda do equipamento. Para que isso não ocorra, uma forma é conceber controladores eficientes que consigam reverter e estabilizar esta falha rapidamente. Entretanto, para desenvolver sistemas de controle é necessário conhecer primeiramente a dinâmica comportamental de cada propulsor (VALER, 2016).

2.3 O Sistema Propulsor Eletromecânico

O sistema de propulsão eletromecânico presente em quadrirrotores é constituído por uma hélice, por um motor elétrico de corrente contínua brushless e por um controlador eletrônico de velocidade ESC (Electronic Speed Controller). O bom funcionamento deste conjunto facilita o controle dos movimentos do quadrirrotor (SANTOS, 2007).

O sistema de propulsão eletromecânico divide-se em três módulos: O gerador de PWM (Modulação por largura de pulso - Pulse Width Modulation), o controlador de velocidade ESC e o conjunto motor-hélice de acordo com a figura 2.6.

Figura 2.6: Sistema de propulsão eletromecânico

Fonte: (VALER, 2016)

O gerador de PWM é responsável por enviar um sinal de tensão para o ESC. O ESC ao receber este sinal, o divide em três outros sinais, normalmente trapezoidais e defasados entre si em 120°. Estes sinais amplificados energizam os enrolamentos

do motor brushless de forma comutativa gerando um campo eletromagnético. Por meio do campo eletromagnético entre o enrolamento energizado e os imãs permanentes ocorre a rotação do motor. Ao eixo do rotor está conectada uma hélice que, ao girar, desloca a aeronave. A energia para este funcionamento é fornecida por uma bateria.

2.3.1 A Hélice

A hélice é o elemento propulsivo do sistema de propulsão elétrico de uma aeronave, conforme ilustra a figura 2.7. A eficiência do sistema de propulsão está diretamente ligada à escolha adequada da hélice (REIMBOLD, 2008). Esta tem como função converter o binário do motor em empuxo, o que influencia a escolha do tamanho e do peso máximo que o quadrirrotor pode ter (SOUZA, 1981).

Figura 2.7: Força resultante no aerofólio da pá de uma hélice

Fonte: (ANDRADE, 2009)

A resultante aerodinâmica do aerofólio é decomposta na direção de voo em força propulsiva da hélice, denominada tração ou empuxo e, na direção do plano de rotação da hélice, em força resistiva ao movimento da hélice (ANDRADE, 2009). O movimento realizado pelas pás da hélice é uma combinação de rotação, giro em torno do seu eixo e translação, ou seja, o deslocamento da aeronave.

2.3.2 Motor BLDC (Brushless Direct Current)

Em quadrirrotores, para a propulsão geralmente são utilizados motores de corrente contínua sem escovas denominados Motores Brushless, ilustrado na figura 2.8. Eles são considerados motores síncronos, ou seja, o rotor é constituído somente de imãs permanentes polarizados, o que faz com que não necessite de

nenhuma alimentação nem de escovas. O estator responsável pelo movimento é composto por bobinas que irão produzir o campo magnético (VIEIRA, 2011).

Figura 2.8: Motor Brushless utilizado no quadrirrotor.

Fonte: (FLYBRUSHLESS, 2017)

Os motores BLDC apresentam maior eficiência, menor ruído e menor relação entre suas dimensões e potência que podem realizar (NELSON, 1944). Estas características são importantes nesse tipo de aeronave. Como o circuito eletrônico está próximo dos motores, é interessante que estes gerem o mínimo de ruído possível. Soma-se a isso, o fato de não haver o defeito de centelhamento, pois o motor funciona sem escovas. Dessa forma, o rendimento do motor é aumentado, poupando-se as baterias (ALVES, 2012).

A sustentação da aeronave é de responsabilidade do conjunto motor-hélice. A força total dos quatro motores, necessariamente deve ser maior que o peso da aeronave para que esta alce voo. O peso máximo que o motor conseguirá sustentar depende de sua velocidade e do tamanho da hélice utilizada. Estes fatores precisam ser levados em consideração para a escolha do motor (ALVES, 2012).

2.3.3 O ESC - Electronic Speed Controller

O ESC é um componente fundamental do sistema de propulsão eletromecânico. Ele é o circuito eletrônico responsável pela alteração da corrente entre os polos do motor. Assim, ele determina a velocidade de rotação do mesmo (VALER, 2016).

Esta comutação é realizada por três sinais defasados em 120° que energizam as três fases do motor conforme a figura 2.9.

Figura 2.9: Representação das três fases da corrente fornecida pelo ESC

Fonte: (MELO, 2010)

A partir desta alteração, um campo magnético é criado e faz com que, no mesmo sentido do campo magnético, ocorra o giro rotacional do motor. Deste modo, a velocidade de rotação do motor depende da rapidez com que ocorre a troca desse campo magnético. O responsável pelo controle de velocidade de rotação é um microcontrolador. Este ao receber o sinal PWM (Pulse Width Modulation) de entrada, o defasa em três sinais. O controle através do PWM é feito pela variação da potência aplicada em função do tempo (VALER, 2016).

2.4 Plataforma Experimental

Para a aquisição de dados, foi utilizada a plataforma experimental, mostrada na figura 2.10, projetada em colaboração com alunos bolsistas do curso de engenharia elétrica no laboratório GAIC (Grupo de Automação Industrial e Controle), localizado no DCEEng (Departamento de Ciências Exatas e Engenharias) da UNIJUI (Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul).

Figura 2.10: Plataforma Experimental

As características físicas de cada um dos componentes da plataforma são apresentadas na Tabela 2.1.

Tabela 2.1: Características físicas dos componentes da plataforma

Componentes Características

Motor Marca Turnigy, modelo 2830/1000kw

Hélice Dimensões 9x3,8’

Sensor Óptico TC RT5000

ESC Marca:RedBrick 24A

Sensor da Corrente Marca: Lem, LA25N P

Bateria LitioIon polímetro

Os dados são coletados e tratados por três microcontroladores. Eles gerenciam o processo de aquisição das variáveis físicas, controlam o mostrador de dados, modulam a largura do pulso que varia a velocidade dos motores e, enviam os dados ao PC (Personal Computer) via porta USB (Universal Serial Bus).

O sinal de velocidade de rotação, e a geração de uma onda quadrada são capturados por um sensor óptico apresentado na figura 2.11. A onda quadrada é

enviada para um conversor, este o converte em um sinal analógico, que varia linearmente de acordo com a frequência da onda. A conversão para RPM (Rotações Por Minuto) é feita a partir da leitura do sinal analógico, que é convertida em Hertz e posteriormente em RPM.

Figura 2.11: Motor brushless e sensor óptico

A partir desse processo, são obtidos dados da corrente aplicada no sistema e da velocidade de rotação do motor. Os dados coletados para o presente estudo são apresentados graficamente na figura 2.12.

Figura 2.12: Conjunto de Dados

Fonte: Autoria própria

O objetivo do modelo consiste em obter a relação matemática entre a grandeza física corrente, i(k), e a velocidade de rotação do motor, v(k), do sistema de propulsão eletromecânico.

Analisando-se graficamente os dados de entrada e saída (figura 2.12), percebe-se claramente a presença de ruído nos dados de saída (velocidade de rotação), bem como, a semelhança do comportamento de ambos os sinais. Para que a amostra de dados seja representativa do sistema, os sinais amostrados i(k) e v(k) devem conter as características fundamentais do sinal original. Para tanto, é necessário que estes obedeçam ao Teorema de Shannon/Nyquist, definido pela equação 2.1:

fa ≥ 2fs (2.1)

sendo, fa é a frequência de amostragem e fs é a frequência do sinal a ser amostrado. O sinal de excitação são degraus com diferentes amplitudes. Os critérios do projeto estabelecem que a faixa de frequência de amostragem seja de 5 a 10 vezes a frequência do sinal a ser amostrado. O valor escolhido para o intervalo de amostragem (Ta) é de 0,04s.

Após a coleta dos dados, e utilizando as técnicas de modelagem de identificação de sistemas, é possível obter o modelo matemático do sistema propulsor eletromecânico utilizado em aeronaves multirrotores.

3 MODELAGEM E IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS 3.1 Introdução

No decorrer da história, modelos matemáticos têm sido usados com diferentes finalidades e sempre foi um desafio representar através dos mesmos, sistemas e fenômenos reais, a fim de compreendê-los e resolver problemas (AGUIRRE, 2004). Dessa forma, a Modelagem Matemática visa estudar maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais, ou seja, descrevê-los através de equações matemáticas que representem as características mais relevantes da dinâmica do sistema real.

Basicamente, há três grupos de técnicas utilizadas para a obtenção de modelos matemáticos. No primeiro grupo, encontra-se a modelagem caixa branca na qual se faz necessário conhecer a fundo o sistema que será modelado. É preciso conhecer as relações matemáticas e princípios físicos que descrevem os fenômenos envolvidos. Essa técnica é também conhecida como modelagem pela física ou natureza do processo ou modelagem fenomenológica ou conceitual (AGUIRRE, 2004).

O segundo grupo é conhecido como modelagem caixa preta ou identificação de sistemas. Nesta, praticamente não é necessário conhecimento prévio do sistema, bastando ter em mãos dados de medidas das suas entradas e saídas (SOUZA, PINHEIRO, 2008).

E o terceiro grupo é denominado de modelagem caixa cinza, que consiste na combinação da técnica de modelagem caixa preta e caixa branca. Estes modelos utilizam as informações dos dados de entrada e saída do sistema e incorporam também alguma informação física do mesmo. Por esta razão, podem-se obter modelos mais representativos e significativos do sistema físico ao utilizar esta técnica (MACHADO, 2014).

No sistema de propulsão eletromecânico ocorrem diversos fenômenos físicos que não são facilmente observados e verificados. Sendo assim, torna-se oneroso obter a modelagem conceitual, bem como utilizar a caixa cinza. Em casos como esse, torna-se mais viável modelar sistemas reais utilizando-se de métodos de identificação de sistemas. Os modelos via identificação de sistemas, tendem a ser mais consistentes (VALER, 2016; SOUZA, PINHEIRO, 2008).

A Identificação de Sistemas, dessa forma, caracteriza-se como um procedimento alternativo, cujo diagrama, apresenta-se na figura 3.1. A ideia da Identificação de Sistemas consiste em, tendo disponíveis os sinais de entrada 𝑢(𝑘) e de saída 𝑦(𝑘) de um sistema real, propõe-se obter um modelo matemático que explique pelo menos de forma aproximada ou em partes a relação de causa e efeito presente nos dados (AGUIRRE, 2004).

Figura 3.1: Diagrama representativo da identificação de sistemas

Fonte: (REIMBOLD, 2008)

A partir do processamento adequado desses dados mensurados, obtêm-se os parâmetros das equações que modelam o sistema (SOUZA, PINHEIRO, 2008).

Aguirre destaca que as principais vantagens desta forma de identificação, na literatura técnica são: (i) diminuição da quantidade de parâmetros nos modelos, (ii) maior capacidade de reproduzir características fora dos dados de identificação, (iii) maior robustez e (iv) maior adequação para o desenvolvimento de sistemas de controle.

Para a obtenção de um modelo utilizando as técnicas de identificação demanda-se do modelador seguir/cumprir certas etapas (ou estágios). Estas estão associadas à formulação do problema, à finalidade do modelo e aos conhecimentos que se tem sobre o próprio sistema e o modelo. Dessa forma, esse processo não é tão trivial haja vista que a identificação de sistemas não se restringe à execução de um algoritmo de estimação de parâmetros sobre determinadas amostras (ou dados) e a validação do modelo (LJUNG, 1999).

Em geral, os procedimentos para identificação de sistemas seguem as seguintes etapas, descritas por Aguirre, 2004:

a) Testes dinâmicos e coleta de dados: Nesta etapa, são adquiridos os dados experimentais do sistema a ser identificado. Outros aspectos importantes são: a

escolha dos sinais de excitação, a execução do teste (para extrair informação dinâmica do sistema) e a escolha do tempo de amostragem.

b) Escolha da representação do modelo: Nesta etapa, é realizada a escolha de qual modelo matemático vai ser utilizado para descrever o sistema. Essa escolha deve ser embasada no conhecimento do processo de identificação e no conhecimento do próprio sistema a ser identificado. Justifica-se esta etapa, pelo fato de que, uma determinada estrutura de modelo pode ser mais adequada que outra. Isso depende das características do sistema a ser modelado.

c) Determinação da estrutura do modelo: Nesta etapa, no caso de modelos lineares, basicamente escolhe-se a quantidade de pólos e de zeros, e o atraso puro de tempo do sistema. Para modelos não lineares, é preciso verificar e determinar a quantidade de termos dos modelos polinomiais, pois há um crescimento no número de termos de acordo com a não linearidade.

Cabe ressaltar que um menor número de coeficientes, conduz a um modelo de computação mais simples (SOUZA, PINHEIRO, 2008).

d) Estimação de parâmetros: Esta etapa tem início com a escolha do algoritmo a ser utilizado. Também são estimados os parâmetros da estrutura matemática escolhida, ou seja, determinam se os coeficientes do modelo. Para isso, aplicam-se procedimentos numéricos adequados.

e) Validação do modelo: Nesta última etapa, deve-se verificar se o modelo incorpora as características de interesse do sistema original. Comparam-se os dados com as simulações do modelo obtido. É comum utilizar outro conjunto de dados para melhor validar o modelo. Além disso, é importante realizar uma comparação de modelos entre si para verificar qual é o candidato melhor. Salienta-se que a qualidade do modelo depende muito da finalidade pela qual ele foi obtido.

3.2 Análise de séries temporais

A maior parte de dados obtidos em economia e engenharia aparece na forma de séries temporais. Estas séries são conjuntos de observações de uma coleção de variáveis ordenadas em sequência ao longo do tempo (MORETTIN, TOLOI, 1987). A principal aplicação das séries temporais é em estudos cujo objetivo é realizar previsões de valores futuros com base em valores atuais e passados.

De acordo com Guilart, 2007 na análise de séries temporais há basicamente dois enfoques, os quais objetivam a construção de modelos com propósitos

determinados. No primeiro enfoque, realiza-se a análise no domínio do tempo, em que são propostos modelos paramétricos. Enquanto que no segundo, a análise é desenvolvida no domínio de frequências, propondo-se dessa forma, modelos não-paramétricos.

As séries temporais são classificadas de acordo com a forma com que são amostradas em contínuas ou discretas. Neste estudo as séries são discretas pois o conjunto utilizado caracteriza-se por pontos equidistantes. Trata-se de amostras de um processo físico em função do tempo.

A série é dita uni variada quando o conjunto de observações é obtido pela amostragem de uma variável física ou sinal dependente do tempo, em intervalos equidistantes. No entanto, quando há a necessidade de amostrar duas ou mais variáveis físicas simultaneamente para a construção do modelo de um sistema dinâmico, as séries são denominadas de multi variadas.

Morettin e Toloi (1987) apresentam que os objetivos da análise de Séries Temporais constituem-se investigar o mecanismo gerador da série temporal; fazer previsões de valores futuros da série, em curto ou em longo prazo e descrever o comportamento da série, através da construção de gráficos para verificar a existência de certas características como tendências, ciclos e variações sazonais.

A análise das características da série temporal auxilia na escolha da representação matemática mais adequada para o modelo. O interesse para a realização deste trabalho volta-se para a estacionariedade.

3.3 Estacionariedade

A estacionariedade numa série temporal significa que os dados oscilam sobre uma média constante, que independe do tempo, com a variância das flutuações permanecendo essencialmente a mesma. Uma série temporal é estacionária se o processo aleatório oscilar em torno de um nível médio constante (DINIZ et al, 1998).

A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da “distância” temporal entre eles. Matematicamente, essas propriedades podem ser expressas pelas equações:

Média => E(Y(t)) = 

Covariância => ᵞk =E{[Y(t) - )][Y(t - k) - ]}

onde Y(t) é uma série temporal estocástica, e ᵞk , a covariância na defasagem k, é a covariância entre os valores de Y(t) e Y(t-k) . Portanto, uma amostra de dados é estacionária quando seus parâmetros característicos se mantêm constantes e fixos ao longo do período de sua observação (SANTOS, 2007).

Pode-se verificar que séries estacionárias possuem um aspecto plano, sem exibir tendência crescente ou decrescente, com dispersão regular em torno da média, como mostra a figura 3.2.

Figura 3.2: Comparação de séries quanto a estacionariedade

Fonte: Adaptada de MIRANDA, 2002.

Para a verificação da estacionariedade das séries temporais são apresentados nas próximas seções dois testes: o teste ADF (Augmented Dickey & Fuller) e o teste KPSS (Kwiatkowski Philips Schmidt e Shin).

3.3.1 Teste ADF

O teste Dickey-Fuller Aumentado é conhecido na literatura como teste ADF (Augmented Dickley-Fuller). Ele consiste em um teste estatístico de hipótese, fundamentando-se na existência de raíz unitária. Caso a série possua raiz unitária é dita não estacionária.

O teste é definido a partir de um processo estocástico de raiz unitária dado pela equação:

𝒚𝒕 = 𝝆𝒚𝒕−𝟏+ 𝒖𝒕, − 𝟏 ≤ 𝝆 ≤ 𝟏 (3.1)

Onde 𝒖_𝒕 é um termo de erro de ruído branco definido por um processo aleatório estacionário com média zero e variância constante. Quando 𝝆 = 𝟏 ocorre o caso da raiz unitária, caracterizando um passeio aleatório, ou seja, um processo estocástico não estacionário (SANTOS, 2007). Portanto, o teste visa a verificação do valor de 𝝆, se este, é estatisticamente igual a um. Subtraindo 𝒚_𝒕−𝟏 em 3.1, tem-se:

𝒚𝒕− 𝒚𝒕−𝟏 = (𝝆 − 𝟏)𝒚𝒕−𝟏+ 𝒖𝒕 (3.2)

Reescrita por:

∆𝒚𝒕 = 𝜶𝒚𝒕−𝟏+ 𝒖𝒕, (3.3)

onde 𝛼 = (𝝆 − 𝟏) e ∆ é o operador de primeira diferença. Se 𝛼 = 0 em 3.3 então ∆𝒚_𝒕 = 𝒖_𝒕. Como 𝒖_𝒕 é um ruído branco, ele é estacionário, isto implica que a primeira diferença de uma série temporal de passeio aleatório é estacionária.

O teste ADF se baseia na regressão do modelo definido pela expressão (3.4). 𝚫𝒀_𝒕 = 𝜷_𝟏+ 𝜷_𝟐𝒕 + 𝜹𝒀_𝒕−𝟏+ ∑ 𝜶_𝒊𝚫𝒀_𝒕−𝒊+

𝜌

𝒊=𝟏

𝜺_𝒕, (3.4)

Nesta regressão, 1 é o termo independente (intercepto ou deslocamento); 2 é

o coeficiente de tendência;  o coeficiente da presença de raiz unitária e 𝝆 o número de atrasos utilizados da série; 𝜺_𝒕, o termo de erro de ruído branco e os i são os

coeficientes de 𝚫𝒀_𝒕−𝒊 usados para aproximar a estrutura ARMA dos erros. Ainda, define-se 𝛥𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−1− 𝑌𝑡−2, 𝛥𝑌𝑡−2= 𝑌𝑡−2− 𝑌𝑡−3 , e assim sucessivamente. Sendo

assim, terá uma raiz unitária se  = 1, caso 2 = 0 e o teste está baseado em testar a

hipótese nula  = 1 em (3.4).

Trata-se de um modelo com constante e tendência, e com a própria variável defasada e diferenciada, garantindo desta forma que os resíduos não apresentem autocorrelação. O número de atrasos (lags), 𝝆, utilizado na série é obtido por meio da fórmula de Schwert (1989) definida na expressão (3.5):

𝝆_𝒎𝒂𝒙 = [𝟏𝟐 ( 𝑵 𝟏𝟎𝟎)

𝟏 𝟒

] (3.5)

onde N é o tamanho da amostra, ou seja, a quantidade de dados da série.

Para testar a hipótese nula estima-se a equação (3.1) utilizando os mínimos quadrados e examina-se a estatística τ (Dickey-Fuller, 1979).

3.3.2 Teste KPSS

Esse teste criado por Denis Kwiatkowski , Peter C. B. Phillips, Peter Schmidt e Yongcheol Shin. Em função dos nomes de seus criadores denomina-se como teste KPSS e surgiu para complementar o teste ADF.

As hipóteses desse teste são: "A série é estacionária"

"A série apresenta raiz unitária"

Em sua versão mais simples supõe-se que:

𝒚_𝒕 = 𝝃𝑫_𝒕+ 𝒓_𝒕+ 𝜺_𝒕 (3.6)

𝒓𝒕 = 𝒓𝒕−𝟏+ 𝝁𝒕 (3.7)

A variável rt é um passeio aleatório, seu valor inicial r0 é fixo e serve como intercepto. μt, é uma Distribuição Normal e Identicamente Distribuída (0, 2) (Kwiatkowski et. al, 1992). A distribuição assintótica da estatística é derivada sob a hipótese nula e alternativa com condições gerais sobre o erro estacionário, sendo o teste da hipótese baseado na estatística LM (Kwiatkowski et. al, 1992) definida pela equação (3.8). 𝑳𝑴 = (𝟏 𝑵𝟐) (∑ 𝑺_𝒕𝟐 𝝈_𝒌𝟐 𝑵 𝒕=𝟏 ) (3.8)

Sendo 𝑆_𝑡= ∑𝑁_𝑖=1𝑒_{𝑖 ,} para 𝑡 = 1,2, . . . , 𝑁. Considera-se 𝑒_𝑡, 𝑡 = 1,2, … , 𝑁, os resíduos da regressão de 𝑌𝑡 com intercepto, e 𝜎𝑘2 é a estimativa do erro da variância

dessa regressão, dado pela equação (3.9). 𝝈𝟐_{(𝒑) =} 𝟏 𝑵∑ 𝒆𝒕𝟐+ 𝟐 𝑵∑ 𝒘𝒋(𝒑) ∑ 𝒆𝒕𝒆𝒕−𝒋 𝑵 𝒕=𝒋+𝟏 𝒑 𝒋=𝟏 𝑵 𝒕=𝟏 (3.9)

sendo p o lag, que é o atraso máximo de truncamento obtido pela equação 3.5, 𝑤_𝑗(𝑝) uma função de pesos que é opcional e corresponde a escolha especial da

janela de Bartlett dada por 𝑤𝑗(𝑝) = 1 −_𝑝+1𝑗 , que é um filtro FIR (Finite Impulse

Response).

3.3.3 Transformação da série de dados em estacionária

Frequentemente as séries analisadas são não estacionárias. Assim, torna-se necessário realizar alguma transformação para possibilitar a extração de informações das mesmas. A principal razão para efetuar esse procedimento é estabilizar a variância, ou seja, fazer com que os resíduos do modelo ajustado tenham uma variância constante (MORETTIN e TOLOI, 2006).

Se a série não for estacionária, é geralmente possível convertê-la numa outra estacionária recorrendo a algumas técnicas. Se os dados revelam uma tendência crescente ou decrescente, pode tentar-se ajustar uma curva e subtraí-la aos dados, ficando com uma série de resíduos. Geralmente um ajustamento de uma reta é suficiente. Se a variância não é constante, pode-se extrair o logaritmo ou a raiz quadrada da série para auxiliar em sua estabilidade.

Em qualquer caso, pode-se diferenciar a série. Toma-se as diferenças, ∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1. A série diferenciada conterá menos um ponto que a original,

podendo ser diferenciada d vezes (∆𝑛_{𝑦𝑡 ) até se tornar estacionária.}

A condição de estacionariedade é fundamental para a utilização das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial. Estas funções serão apresentadas nas seções 3.5 quando serão determinadas as estruturas dos modelos autoregressivos. 3.4 Representação dos modelos autorregressivos

Os modelos expostos a seguir podem ser considerados casos particulares do modelo ARIMAX(p,d,q,r) (AutoRegressive Integrated Moving Avarage with

eXogenous inputs - AutoRegressivo Integrado Média Móvel com Entradas

Exógenas) de grau (p,d,q,r) em que p é o grau do polinômio do processo AR, d o número de vezes que as séries são diferenciadas para alcançar a estacionariedade, q é o grau do polinômio do processo MA e r é o grau do polinômio da variável exógena.

O os polinômios D(q) e F(d) são de ordem 1,ou seja, D(q) = F(q) = 1, sendo q o operador de atraso. A representação ARIMAX é apresentada pela seguinte estrutura polinomial:

𝐴(𝑞)𝑦(𝑘) =𝐵(𝑞) 𝐹(𝑞)𝑢(𝑘) + 𝐶(𝑞) 𝐷(𝑞)𝑣(𝑘) (3.10) 𝑦(𝑘) = 𝐵(𝑞) 𝐹(𝑞)𝐴(𝑞)𝑢(𝑘) + 𝐶(𝑞) 𝐷(𝑞)𝐴(𝑞)𝑣(𝑘) (3.11) 𝑦(𝑘) = 𝐻(𝑞)𝑢(𝑘) + 𝐺(𝑞)𝑣(𝑘) (3.12)

Onde H(q) é a função de transferência (FT) do processo, G(q) a FT do ruído, 𝑣(𝑘) é um ruído branco. A FT se constitui de uma das representações mais importantes na modelagem de sistemas dinâmicos lineares. Elas modelam o comportamento dinâmico de um par, entrada-saída, de um sistema. Em outras palavras, descrevem a forma como uma entrada é dinamicamente “transferida” para a saída do sistema (AGUIRRE, 2004).

Os polinômios A(q), B(q), C(q), D(q) e F(q) são definidos por: 𝐴(𝑞) = 1 + 𝑎₁𝑞−1_{+ ⋯ + 𝑎} 𝑛𝑦𝑞−𝑛𝑦 (3.13) 𝐵(𝑞) = 𝑏1𝑞−1+ ⋯ + 𝑏𝑛𝑢𝑞−𝑛𝑢 (3.14) 𝐶(𝑞) = 1 + 𝑐1𝑞−1+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑣𝑞−𝑛𝑣 (3.15) 𝐷(𝑞) = 1 + 𝑑1𝑞−1+ ⋯ + 𝑑𝑛𝑑𝑞−𝑛𝑑 (3.16) 𝐹(𝑞) = 1 + 𝑓₁𝑞−1_{+ ⋯ + 𝑓} 𝑛𝑓𝑞−𝑛𝑓 (3.17)

onde 𝑞−1 _{é o operador de atraso definido por 𝑦(𝑘) 𝑞}−1 _{= 𝑦(𝑘 − 1), e 𝑛𝑦, 𝑛𝑢, 𝑛𝑣,}

𝑛𝑑 e 𝑛𝑓 são os graus dos respectivos polinôminos. O grau do polinômio A(q) corresponde aos número de pólos que são comuns entre a modelagem dinâmica do sistema e a modelagem do ruído (útil quando o ruído entra no sistema junto com a entrada). F(q) e B(q) representam os pólos e zeros que afetam somente a entrada, e D(q) e C(q) os pólos e zeros que afetam somente o ruído. Os demais modelos paramétricos lineares podem ser obtidos a partir da variação dessas ordens fazendo-as nulas ou não, como apresentado a seguir.

3.4.1 Modelo Autorregressivo

Considerado o modelo mais simples dentre os modelos paramétricos lineares, o modelo Autorregressivo (AR) faz uso apenas das saídas do sistema, relacionando a saída atual com suas saídas anteriores através de um polinômio de regressores. É

dito de ordem p, ou seja, AR(p), e obtido da equação geral (equação 3.10) fazendo os polinômios B(q) = C(q) = D(q) = F(q) = 1. A(q) é um polinômio arbitrário de autoregressores da saída. Sua equação é dada por:

𝐴(𝑞)𝑦(𝑘) = 𝑣(𝑘) (3.18)

Ou ainda, na forma de função de transferência: 𝑦(𝑘) = 1

𝐴(𝑞)𝑣(𝑘) (3.19)

3.4.2 Modelo Autorregressivo com Entradas Externas

Da mesma forma que o Modelo AR, o modelo Autorregressivo com Entradas Externas (ARX), relaciona a saída atual do sistema com suas saídas anteriores através de um polinômio de regressores. Porém, a diferença é que este considera também, a existência de uma fonte externa que influencia no comportamento do sistema, a qual chama-se entrada externa. É considerado de ordem (p,r), ou seja, ARX(p,r), e obtido do modelo geral, (equação 3.10), fazendo C(q) = D(q) = F(q) = 1, A(q) e B(q) são polinômios aleatórios onde A(q) é um polinômio de regressores da saída e B(q) é um polinômio de regressores da entrada.

Assim, sua equação é dada por:

𝐴(𝑞)𝑦(𝑘) = 𝐵(𝑞)𝑢(𝑘) + 𝑣(𝑘) (3.20)

Na forma de função de transferência: 𝑦(𝑘) =𝐵(𝑞)

𝐴(𝑞)𝑢(𝑘) + 1

𝐴(𝑞)𝑣(𝑘) (3.21)

3.4.3 Modelo Autorregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas

O modelo ARMAX, além de ter a mesma função que o modelo ARX ainda possui um polinômio de médias móveis (MA) que serve como um filtro de ruído. Portanto, a ordem é ARMAX(p,q,r), e sua equação é obtida da equação 3.10, fazendo D(q) = F(q) = 1, e A(q), B(q) e C(q) são polinômios aleatórios, onde A(q) e B(q) são polinômios de regressores da saída e da entrada, respectivamente, e C(q) é o polinômio de médias móveis. Assim, a equação do modelo torna-se a 3.22 e na forma de função de transferência, a equação 3.23.

𝑦(𝑘) =𝐵(𝑞)

𝐴(𝑞)𝑢(𝑘) + 𝐶(𝑞)

𝐴(𝑞)𝑣(𝑘) (3.23)

Após a escolha da representação matemática adequada, determina-se a estrutura do modelo, cujos métodos são abordados na próxima seção.

3.5 Determinação da Estrutura do Modelo

A determinação da estrutura consiste na escolha da ordem do modelo. De acordo com a metodologia de Box e Jenkins (1976), utilizam-se a Função de Autocorrelação (ACF), para determinar o grau do polinômio média móvel, e a Função de Autocorrelação Parcial(PACF), para determinar o grau do polinômio autorregressivo. Neste sentido, nas seções seguintes será explorada a teoria destas funções.

3.5.1 Função de Autocorrelação (ACF)

As propriedades básicas de uma série temporal podem ser comparadas usando a função de autocorrelação, pois ela não é influenciada pelas unidades de medida (FULLER, 1996). Para isso a função de autocorrelação de uma série estacionária é definida como:

𝜌(𝑘) =𝛾(𝑘) 𝛾(0) (3.24)

𝛾(𝑘) =

∑

(𝑌

− 𝑦̅

) (𝑌

− 𝑦̅

)

𝑘

𝛾(0) =

∑

(𝑌

− 𝑦̅

)

𝑘

que é a variância dos 𝑘 primeiros elementos da série.

Segundo (BOX, JENKINS e REINSEL, 2008), caso seja estacionária a série temporal gerada de um processo estocástico, a média 𝑦̅, a média amostral, e a variância 𝜎2 _{podem ser calculadas da seguinte maneira:}

𝑦̅ = 1

𝑁 ∑ 𝑦𝑡

𝑁

𝑡=1

𝜎2 ₌ 1

𝑁 ∑(𝑦𝑡− 𝑦̅)2

𝑁

𝑡=1

(3.28)

onde 𝑁 é o tamanho da amostra.

A sequência de correlações entre (𝑦_𝑡 𝑒 𝑦_𝑡−1), (𝑦_𝑡 𝑒 𝑦_𝑡−2), (𝑦_𝑡 𝑒 𝑦_𝑡−3) e assim sucessivamente, é denominada função de autocorrelação (ACF), cujos efeitos intermediários de defasagem são mantidos constantes. O diagrama que reproduz a ACF dispõe de limites de significância estatística, mas se as defasagens ultrapassarem esse limite, as autocorrelações são consideradas significativamente diferentes de zero. É importante ressaltar que a ordem da parte MA (Médias Móveis) que faz parte da ACF é a mais alta defasagem com autocorrelação significativa. De forma análoga, a escolha da ordem da parte AR (Autorregressivo) do modelo, usa-se a função de Autocorrelação Parcial (PACF).

3.5.2 Função de Autocorrelação Parcial (PACF)

A função de autocorrelação parcial é uma medida da correlação entre as observações de uma série temporal. Esta medida corresponde a correlação de 𝑋_𝑡 e 𝑋_𝑡−𝑘 removendo o efeito das observações 𝑋_𝑡−1, 𝑋_𝑡−2, … , 𝑋_{𝑡−𝑘+1} e é escrita por ∅_𝑘𝑘, ou seja:

∅𝑘𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋𝑡,

𝑋_𝑡−𝑙

𝑋𝑡−1, … , 𝑋𝑡−𝑘+1) (3.29)

Tem-se um método geral para encontrar a PACF para um processo estacionário com ACF é utilizando as equações de Yule-Walker, ou seja, para um certo k tem-se:

𝜌_𝑗 = ∅_𝑘1𝜌_𝑗−1+ ∅_𝑘2𝜌₁+ ⋯ + ∅_𝑘𝑘𝜌_𝑗−𝑘, 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 (3.30) Desenvolvendo a equação tem-se:

𝜌₁ = ∅_𝑘1+ ∅_𝑘2𝜌₁+ ⋯ + ∅_𝑘𝑘𝜌_𝑗−1 𝜌2 = ∅𝑘1𝜌1+ ∅𝑘2+ ⋯ + ∅𝑘𝑘𝜌𝑗−2

𝜌𝑗 = ∅𝑘1𝜌𝑗−1+ ∅𝑘2𝜌𝑗−2+ ⋯ + ∅𝑘𝑘

Com a resolução das equações sucessivas (3.30), para k = 1, 2, ..., obtêm-se ∅_𝑘𝑘.

A análise da ACF e PACF é empregada para identificar modelos adequados autorregressivos estacionários e não-estacionários homogêneos.

É importante destacar que nos processos AR, MA e ARMA tem-se as seguintes PACF teóricas:

 em um processo AR(P) a PACF é da forma: {∅_∅𝑘𝑘 ≠ 0, 𝑠𝑒 𝑘 ≤ 𝑝

𝑘𝑘 = 0, 𝑠𝑒 𝑘 > 𝑝;

 em um processo MA(q) a PACF há um comportamento de maneira similar à ACF de um processo AR(p), isto é, composta por exponenciais e\ou senóides amortecidas;

 um processo ARMA(p,q) tem PACF que se comporta como a PACF de um processo MA puro.

Desta forma, a partir do cálculo das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial e análise dos seus respectivos correlogramas é possível identificar a ordem do modelo proposto. Tendo em mãos a quantidade de parâmetros, passa-se a estimar seus valores.

3.6 Estimação de Parâmetros

A modelagem matemática via estimação de parâmetros leva a uma melhor compreensão das características de um sistema. Os parâmetros são importantes na análise e compreensão do comportamento dinâmico.

A estimação de parâmetros é feita através de um algoritmo de estimação que busca minimizar a diferença entre o valor da saída do sistema e o valor estimado pelo modelo. Desta forma, esta etapa pode ser considerada a solução de um problema de otimização, ou seja, o conjunto de parâmetros é determinado pela minimização de uma certa função custo (POUNDS e CORKE,2007).

Existem diversos métodos de estimação que são encontrados na literatura como, por exemplo, o Filtro de Kalman, o método de Mínimos Quadrados (LS) e suas extensões e estimador de Máxima Verossimilhança. Dentre os estimadores, o mais utilizado é o estimador dos mínimos quadrados (AGUIRRE, 2004).

Porém, neste método pode ocorrer o problema de polarização que é caracterizada pela diferença entre o valor esperado do parâmetro estimado e o valor

real do mesmo (E[𝜃̂] – θ). Quando este erro da equação de regressão é colorido, este é dito polarizado.

Conforme Aguirre (2004) há três estimadores que contornam esse problema: o estimador estendido de mínimos quadrados (LSE), o estimador generalizado de mínimos quadrados (LSG) e o estimador das variáveis instrumentais (VI). Ele também os nomeia como estimadores não polarizados ou não tendenciosos. Neste trabalho optou-se por utilizar o método LSE para estimar os parâmetros do modelo, pois o mesmo apresenta maior facilidade de implementação computacional.

3.6.1 Método de Mínimos Quadrados (LS)

Segundo, Aguirre (2004), o método de mínimos quadrados é um dos mais conhecidos e utilizados processos de estimação de parâmetros. A origem da ideia básica pode ser encontrada nos trabalhos de Johann Carl Friedrich Gauss sobre estudos astronômicos.

Esse método considera um sistema de estrutura representada pela equação: 𝑦(𝑘) = −𝑎₁y(k − 1) − 𝑎₂y(k − 2)+. . . +𝑎_𝑛𝑦(𝑘 − 𝑛) + 𝑒(𝑘) (3.32) Assim, o sistema discreto pode ser escrito conforme a Equação 3.33:

𝑦_𝑘 = 𝜑_𝑘𝜃 + 𝑒_𝑘 (3.33)

Onde 𝑦𝑘 é a saída do sistema, 𝜑𝑘 = [𝑦(𝑘 − 1) 𝑦(𝑘 − 2) … 𝑦(𝑘 − 𝑛)] é o vetor

determinístico conhecido, também denominado vetor de regressores. 𝜃 = [𝑎₁ 𝑎₂ … 𝑎_𝑛]𝑇 _{é o vetor de parâmetros o qual se deseja estimar e 𝑒}

𝑘 é o erro do

modelo (Moreira,2013). O vetor de parâmetros 𝜃 é estimado a partir de n experimentos: 𝑦1 = 𝜑1𝜃 + 𝑒1 𝑦₂ = 𝜑₂𝜃 + 𝑒₂ . . . 𝑦_𝑛 = 𝜑_𝑛𝜃 + 𝑒_𝑛 (3.34)

O método de mínimos quadrados tem por objetivo estimar 𝜃 de modo a minimizar a soma (função custo):

𝑆 = ∑ 𝑒_𝑘2 𝑛 𝑘=1 = ∑(𝑦_𝑘 𝑛 𝑘=1 − 𝜑_𝑘𝜃)2 _(3.35)

A equação (3.34) pode ser resolvida como uma equação matricial, desenvolvida de acordo com um conjunto de equações e resultando no vetor de parâmetros estimados.

3.6.2 Método de Mínimos Quadrados Estendido (LSE)

O estimador estendido de mínimos quadrados contorna o problema de polarização. O algoritmo de LS descrito na seção anterior não pode ser utilizado para estimar os coeficientes de um modelo que possui a parte de média móvel, como por exemplo, os modelos ARIMA ou ARIMAX e o modelo ARMAX (FACCIN,2014). Isto ocorre, pelo fato de que estes modelos estimam a dinâmica desconhecida dos ruídos, que por sua vez não se caracterizam como ruído branco.

Dessa forma, estendende-se a matriz de regressores a fim de incluir a parte explicável do ruído do vetor de erro (BANGURA e MAHONY,2012). Assim, a matriz de regressores inclui os regressores da entrada e saída do sistema, e também os regressores do ruído.

𝑦(𝑘) = 𝑎1y(k − 1)+. . . +𝑎𝑛𝑦(𝑘 − 𝑛) + 𝑒𝑘+ 𝑎1e(k − 1)+. . . +𝑒𝑚𝑦(𝑘 − 𝑚) (3.36)

Podendo ser rescrita na forma matricial:

𝑦_𝑘 = 𝜑_𝑘𝜃∗_{+ 𝑒}

𝑘 (3.37)

Onde 𝑦_𝑘 é a saída do sistema, 𝜑_𝑘 = [𝑦(𝑘 − 1) … 𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑒(𝑘 − 1) … 𝑒(𝑘 − 𝑚)] é o vetor determinístico conhecido, também denominado vetor de regressores. 𝜃∗ _{= [𝑎}

1 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑚 ]𝑇 é o vetor de parâmetros o qual se deseja estimar

3.7 Validação do modelo

Nesta etapa, busca-se analisar um modelo ou uma família de modelos escolhidos, verificando se estes apresentam as características do sistema original. Procura-se, também, realizar uma comparação entre os modelos, com a finalidade de encontrar o que melhor representa o sistema.

O sucesso desta etapa depende da forma que é realizada, da quantidade de informação que se tem sobre o sistema original, das informações obtidas na aplicação do modelo e da escolha das ferramentas que serão utilizadas.

Na utilização de um modelo matemático para tentar representar um fenômeno físico, raramente se tem uma descrição total do mesmo (BARROSO et al, 1987). Tanto na fase de modelagem matemática quanto na fase de resolução, podem ser cometidos erros, como ilustra o esquema da figura 3.3.

Figura 3.3: Processo de solução de um problema físico

Fonte: (ARENALES e DAREZZO, 2008)

Estes erros podem ser provenientes, por exemplo, do envolvimento de grande quantidade de operações elementares no processo de modelação, equipamentos com capacidades limitadas para armazenar dados, utilização de algoritmos aproximados, entre ouras situações.

Na Identificação de Sistemas, cada fase é suscetível a erros. Os dados de entrada, por exemplo, contém uma imprecisão inerente. É impossível que estes erros não ocorram, visto que são obtidos usando equipamentos específicos (RUGGIERO e LOPES, 1996).

Outro exemplo consiste na estimação de parâmetros. Os erros observados na simulação do modelo matemático podem estar relacionados com problemas na