ESCOLA PREPARATORIA DA UFABC
Aula 02 - Geometria 7 de agosto de 2013
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Radicia¸
c˜
ao
1.1 Defini¸c˜ao
Assumimos a nota¸c˜ao para definir a opera¸c˜ao de radicia¸c˜ao:
n
√
A = A1n = B
Onde A ´e chamado de radicando e n ´e chamado de radical.
Quando n vale 2 ou n ´e omitido dizemos que estamos calculando a raiz quadrada e quando n vale 3 dizemos que estamos calculando a raiz c´ubica.
Quando n ≥ 4 dizemos que est´a sendo calculada a raiz quarta, quinta, sexta...
A potencia¸c˜ao e radicia¸c˜ao s˜ao opera¸c˜oes inversas. Enquanto a primeira se preocupa em determinar o valor obtido pelas sucessivas multiplica¸c˜oes de um mesmo valor, a segunda interessa-se em saber qual ´e o n´umero que foi utilizado nessa opera¸c˜ao, uma vez que j´a sabemos o resultado destas multiplica¸c˜oes.
1.2 Existˆencia
Quando h´a um radicando negativo podemos considerar o seguinte: • Se n ´e par ent˜ao √n−A n˜
ao existe em R • Se n ´e ´ımpar ent˜ao √n−A = −B
1.3 Propriedades
Analogamente ao que foi visto em potencia¸c˜ao usaremos as propriedades j´a estabelecidas do conte´udo anterior e desenvolver estas propriedades conjun-tamente com o que ´e dito na defini¸c˜ao para todos os casos:
1. √nAm√q Ap= Amn+ p q Exemplo: √ 23√3 27= 232+ 7 3 = 2 9+14 6 = 2 23 6 = 6 √ 223 2. n √ Am q √ Ap = A m n− p q Exemplo: 3 √ 37 √ 3 = 3 7 3− 1 2 = 3 14−3 6 = 3 11 6 = 6 √ 311 3. √nA√nC = √nAC Exemplo: 7 √ 34√7 28= √7 34.28 4. n √ A n √ C = n s A C Exemplo: 3 √ 7 3 √ 32 = 3 r 7 9 5. m q n √ A = mn√A Exemplo: 3 q√ 26= √6 26
1.4 Fatora¸c˜ao em n´umeros primos
Este m´etodo ´e necess´ario quando nos deparamos com uma raiz a qual n˜ao sabemos resolvˆe-la de imediato ou quando queremos simplific´a-la. Os passos para realiza¸c˜ao do m´etodo s˜ao os seguintes:
1. Dividir o radicando por n´umeros primos at´e se obter 1;
2. Formar grupos de um mesmo n´umero com uma quantidade igual ao do radical;
3. Os n´umeros que sobrarem, ou seja, que n˜ao conseguiram formar grupos s˜ao colocados dentro da raiz;
4. Multiplicam-se todos os n´umeros, mas os n´umeros que formaram gru-pos tem apenas um de seus elementos multiplicados.
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Exerc´ıcios
1. (ENEM 2010) Embora o ´Indice de de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda ´ınumeras restri¸c˜oes te´oricas ao uso e `as faixas de normalidade preconizadas. O Rec´ıproco do ´Indice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alom´etrico, possui uma me-lhor fundamenta¸c˜ao matem´atica, j´a que a massa ´e uma vari´avel de dimens˜oes lineares. As f´ormulas que determinam esses ´ındices s˜ao:
IM C = massa(kg) [altura(m)]2 RIP = altura(cm) 3 p massa(kg)
Se uma menina com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, ent˜ao ela possui RIP igual a:
(a) 0, 4 cm/kg1/3 (b) 2, 5 cm/kg1/3 (c) 8 cm/kg1/3 (d) 20 cm/kg1/3 (e) 40 cm/kg1/3 Resolu¸c˜ao
O problema exige que calculemos o valor do RIP da menina, entretanto ele n˜ao fornece o valor da altura dela. Por outro lado ´e fornecido o valor do seu IMC e de sua massa. Com essas informa¸c˜oes podemos descobrir a altura da menina e em seguida usar esta medida para calcular o RIP. Substituindo os valores dados na primeira equa¸c˜ao temos:
25 kg/m2 = 64 kg altura2
Isolando a altura:
altura2 = 64 kg 25 kg/m2
Tiramos a raiz quadrada dos dois lados para eliminarmos o quadrado da altura:
√
altura2 = ±
s
64 kg 25 kg/m2
Como sabemos que n˜ao existe altura negativa assumimos apenas a resposta positiva: √ altura2= s 64 kg 25 kg/m2
Podemos cancelar os quillogramas e passar os metros quadrados para cima bem como usar a propriedade 4 para separarmos as raizes e eli-minarmos o quadrado da altura:
altura = √
64 m2
√ 25 Enfim, calculando as ra´ızes, temos:
altura = 8
5 m
Ou seja:
altura = 1, 6 m
Antes de usarmos a altura que obtivemos precisamos convertˆe-la para cent´ımetros. Uma exigˆencia para se calcular o RIP:
altura = 160 cm Agora podemos substituir os valores na equa¸c˜ao:
Usando a propriedade 3 da radicia¸c˜ao podemos separar a raiz do de-nominador:
RIP = √3140 cm 64 √3kg
Logo, usando a defini¸c˜ao de radicia¸c˜ao para o kg e calculando a √3
64, conclu´ımos que:
RIP = 160 cm 4 kg1/3
Finalmente:
RIP = 40 cm/kg1/3
2. (ENEM 2011) O ´Indice de Massa Corporal (IMC) ´e largamente uti-lizado h´a cerca de 200 anos, mas esse c´alculo representa muito mais a corpulˆencia que a adiposidade, uma vez que individuos musculo-sos e obemusculo-sos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o ´Indice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alterna-tiva mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas me-didas, sabendo-se que em mulheres, a adiposidade normal est´a entre 19% e 26%.
Uma jovem de IM C = 20 kg/m2, 100 cm de circunferˆencia dos qua-dris e 60 kg de massa corp´orea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos n´ıveis de normalidade de gordura, a atitude adequada dessa jovem deve ter diante da nova medida ´e:
(Use√3 = 1, 7 e √1, 7 = 1, 3)
(a) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1% (b) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27% (c) manter seus n´ıveis atuais de gordura
(e) aumentar seu n´ıvel de gordura em cerca de 27% Resolu¸c˜ao
Dadas as informa¸c˜oes do problema n˜ao podemos calcular diretamente o IAC sem possuirmos o valor da altura do individuo. Portanto torna-se necess´ario atrav´es da f´ormula do IMC a informa¸c˜ao desejada. Substi-tuindo os valores fornecidos na primeira f´ormula temos que:
20 kg/m2 = 60kg altura X altura 20 kg/m2 = 60kg altura2 Isolando a altura: altura2 = 60kg 20 kg/m2
Analogamente ao exerc´ıcio anterior: √
altura2 = ±
s
60kg 20 kg/m2
Admitindo que altura ´e obrigatoriamente positiva:
altura =
s
60kg 20 kg/m2
Realizando a divis˜ao, cancelando os quilogramas e passando os metros quadrados pra cima, ficamos:
altura = √
3 m2
Usando a propriedade 3 vista em radicia¸c˜ao: altura =√3 .
√ m2
altura =√3 m Usando informa¸c˜oes fornecidas:
altura = 1, 7 m
Notando que todas as unidades de medida j´a est˜ao na forma que o problema deseja, substituiremos (OBS: para a resolu¸c˜ao deste exerc´ıcio recomendo n˜ao colocar as unidades de medida nos c´alculos, isso pode causar alguma confus˜ao, al´em de ser dispens´avel tal zˆelo para obten¸cao da resposta):
IAC = 100
1, 7 .√1, 7 − 18
Usando a segunda dica do problema tomaremos√1, 7 = 1, 3, ou seja:
IAC = 100
1, 7 .1, 3 − 18
Para tentar facilitar um pouco as contas admitiremos as seguintes igualdades 1, 7 = 17 10 e 1, 3 = 13 10: IAC = 17100 10 . 13 10 − 18 Isto ´e: IAC = 17 .13100 100 − 18
Mantendo a fra¸c˜ao de cima e invertendo a debaixo:
IAC = 100 .100
221 − 18
Logo:
IAC = 10000
Obtemos aproximadamente com a fra¸c˜ao: IAC ≈ 45 − 18
Perceba que o n´umero final obtido em nossos c´alculos ´e um percentual, como ´e ilustrado na figura do enunciado. Portanto coloca-se o s´ımbolo nessa resposta para o IAC:
IAC ≈ 27%
Tamb´em de acordo com o enunciado a pessoa em quest˜ao est´a acima do limite superior imposto pelo IAC. Para que ela esteja dentro da faixa ideal devemos realizar a subtra¸c˜ao:
IACpercentual a melhorar ≈ 27% − 26%
Finalmente:
IACpercentual a melhorar≈ 1%
3. (ENEM 2012) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a rela¸c˜ao entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a ´area A da superf´ıcie corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela f´ormula A = k . m32, em
que k ´e uma constante positiva.
Se no per´ıodo que vai da infˆancia at´e a maioridade de um indiv´ıduo sua massa e multiplicada por 8, por quanto ser´a multiplicada a ´area da superf´ıcie corporal? (a) √316 (b) 4 (c) √24 (d) 8 (e) 64 Resolu¸c˜ao
Devemos perceber que o problema se refere a duas situa¸c˜oes, uma de quando a pessoa ´e ainda crian¸ca e outra quando j´a ´e adulta e que al´em
disso a massa da pessoa adulta ´e 8m, ou seja, 8 vezes a massa da ´epoca de sua infˆancia. Assim estamos aptos a montar o sistema de equa¸c˜oes:
Acrianca = k.m 2 3 (1) Aadulto = k.(8m) 2 3 (2)
Dividindo as duas equa¸c˜oes podemos afirmar que: Acrianca Aadulto = k . m 2 3 k . (8m)23
Podemos cancelar os valores de k por tratarem-se de uma constante: Acrianca Aadulto = m 2 3 (8m)23
Devemos agora distribuir o expoente para dentro do produto do deno-minador: Acrianca Aadulto = m 2 3 823 . m 2 3
Agora, novamente, podemos cancelar m23:
Acrianca Aadulto = 1 823 Multiplicando em cruz: Aadulto= 8 2 3 . Acrianca
Agora ´e uma quest˜ao de adaptarmos o n´umero que obtivemos como a resposta quer:
Aadulto= (23)
2
3 . Acrianca
Aadulto = 22 . Acrianca
Por fim:
Aadulto= 4 . Acrianca
3
Observa¸
c˜
oes
Vale ressaltar algumas situa¸c˜oes importantes: 1. √A + B 6=√A +√B
A raiz da soma n˜ao pode ser confundida com a raiz do produto, sendo que esta ´ultima ´e v´alida, como vimos anteriormente.
2. √A ≥ 0
Por defini¸c˜ao a raiz quadrada ´e sempre um n´umero n˜ao negativo. Por isso deve-se tomar muito cuidado ao calcular ra´ızes quadradas dos dois lados de uma equa¸c˜ao e principalmente em inequa¸c˜oes.
