−∞
=
− →x
)
x
cos(
lim
0 x→ −x
=
−∞
)
x
cos(
lim
0 x → +x
=
+∞
)
x
cos(
lim
0 x yO conceito de Limite é o pilar do Cálculo Diferencial e Integral desenvolvido
por Isaac Newton(1642-1727)
e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716).
1
ª
Lista de Exercícios
x y
Questão 1.
Questão 3. Questão 2.
Considere a função
f
=
f
( )
x
abaixo definida no domínio⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
π
π
−
ℜ
2
,
2
.Analisando o gráfico de
f
, responda, justificando:(a)
lim
f
( )
x
0 x→ − (b)lim
f
( )
x
x→π+ (c)lim
f
( )
x
x→−π− (d)f
( )
−
π
(e)lim
f
( )
x
x→π− (f)lim
f
( )
x
2 3 x − π → (g)f
( )
0
(h)lim
f
( )
x
x→π (i)lim
f
( )
x
2 3 x + π → (j)lim
f
( )
x
x→−π+ (k)lim
f
( )
x
2 3 x→ π (l)f
( )
π
(m)lim
f
( )
x
x→−π (n) xlim
→0+f
( )
x
(o)f
(
3
π
2
)
(p)lim
f
( )
x
0 x→Esboce o gráfico das funções abaixo e determine
lim
f
( )
x
a x→ −
,
lim
f
( )
x
a x→ +
e, caso exista,
lim
f
( )
x
a x→
:
Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos.
(a)
( )
(
a
2
)
1
x
,
3
x
1
x
2
,
x
2
x
,
12
x
4
x
f
2 2=
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
+
−
≤
≤
−
−
<
+
=
(b)( )
(
a
1
)
1
x
,
x
2
1
x
,
1
x
1
x
0
,
x
1
0
x
,
2
x
f
2 x=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
>
−
<
≤
−
<
=
(c)
( ) ( )
(
a
1
)
1
x
,
log
1
x
,
2
1
x
f
) x ( 3 x=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
=
(d)
( )
(
a
)
2
x
),
x
cos(
x
0
),
x
(
sen
x
f
π
π
π
π
=
⎩
⎨
⎧
≤
≤
<
≤
=
Questão 4.
Questão 5.
Questão 6.
Questão 7.
Questão 8.
Determine, se possível, as constantes
a
e
b
∈
ℜ
de modo quef
seja contínua emx
o, sendo:(a)
( )
(
x
1
)
1
x
,
2
x
1
x
,
2
ax
3
x
f
o 2=
⎩
⎨
⎧
≥
−
<
+
=
(b)
( )
(
x
1
)
1
x
,
b
1
x
,
2
bx
x
f
2 o 2=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
=
(c)
( )
(
x
3
)
3
x
,
1
x
3
x
,
ax
3
x
,
3
x
3
x
f
o 2−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
<
+
−
=
−
>
−
=
(d)
( )
(
)
(
x
0
)
0
x
,
x
2
b
0
x
,
a
3
x
7
0
x
,
1
x
cos
.
a
2
x
f
o 2=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
−
=
−
<
+
+
=
π
Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):
(a)
x
2
x
4
x
lim
2 2 2 x−
−
→ (b)3
x
4
x
4
8
x
2
lim
2 2 2 x−
−
−
→ (c)1
1
2
3 2 1−
+
−
→x
x
x
lim
x (d)27
x
3
x
4
x
lim
3 2 3 x−
+
−
→ (e)⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
→x
2
24
x
3
log
lim
3 6 2 x (f)lim
sen
[
(
x
8
)
.
(
x
2
)
1]
2 x − →−
−
3π
(g)x
2
x
3
x
x
4
x
lim
3 2 3 2 x−
+
−
→ (h)x
7
x
12
6
x
x
lim
2 2 3 x−
+
−
−
→ (i) 2 2 3 3 a xx
a
a
x
lim
−
−
→Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais):
(a)
1
x
1
x
lim
1 x−
−
→ (b)3
x
x
1
1
x
lim
0 x−
−
+
→ (c)x
2
x
x
1
lim
2 1 x+
+
−
− → (d)1
x
3
2
x
lim
3 1 x−
−
+
→ (e)x
4
2
x
lim
4 x−
−
+ → (f)2
x
32
4
x
lim
16 x−
−
→ (g)x
5
1
x
5
3
lim
4 x−
−
+
−
→ (h)x
2
4
x
lim
2 0 x−
+
→ (i)x
3
x
5
16
x
lim
2 2 3 x−
−
+
→ Calculelim
f
( )
x
x→−∞ e x
lim
→+∞f
( )
x
para os itensa
,
b
,
c
do exercício 2.Analisando o gráfico da questão 1, responda, justificando:
(a)
lim
f
( )
x
2 x + π → (b)lim
f
( )
x
2 x→−π (c)lim
f
( )
x
2 x − π → (d)lim
f
( )
x
2 x→π (e)lim
f
( )
x
x→+∞ (f)lim
f
( )
x
x→−∞ (g) f é contínua em0
x
o=
? (h) f é contínua emπ
−
=
ox
? (i) f é contínua em2
3
x
o=
π
? (j) f é contínua emπ
=
ox
?Questão 10.
Questão 11. Questão 9.
Questão 12.
Questão 13.
Esboce o gráfico de uma função
f
satisfazendo as condições indicadas em cada caso:(a)
lim
f
( )
x
1
0
x→
=
não existelim
x→1f
( )
x
f
é descontínua emx
=
0
(b)
( )
=
+∞
−∞
→
f
x
lim
x x
lim
→+∞f
( )
x
=
−∞
não existe xlim
→−2f
( )
x
lim
x→4f
( )
x
=
3
f
é descontínua em0
x
=
Calcule os limites a seguir (do tipo
∞
∞
):(a) 3 2 2 x
18
x
9
x
25
x
4
x
2
lim
−
−
−
+∞ → (b)(
)(
)
(
x
1
)(
3
x
4
)(
2
x
)
5
x
2
3
x
x
lim
x−
+
−
+
−
−∞ → (c)1
x
4
x
3
x
2
lim
4 2 x+
−
−
+∞ → (d) ( ) ( ) 1 x 2 3 . 1 x xlim
2
− − − −∞ → (e)x
2
x
4
1
x
x
3
lim
3 5 x−
+
−
−
−∞ → (f)( )
( )
1 2 3.x 1 x xlim
− − +∞ →1
π
(g) 2 nn
n
3
2
1
lim
+
+
+
+
∞ →L
(***) (h) 3 2 2 2 2 nn
n
3
2
1
lim
+
+
+
+
∞ →L
(***) (***)Sugestão:¾ A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula
n
(
n
+
1
)
2
.¾ A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula
n
(
n
+
1
)(
2
n
+
1
)
6
.Calcule os limites a seguir (do tipo
+
∞
−
∞
):(a)
lim
ln(
x
21
)
ln(
x
1
)
x→+∞−
−
+
(b) xlim
→+∞x
+
2
−
x
(c) xlim
→+∞x
+
2
−
x
2 (d)lim
x
4
x
x
x→+∞+
−
2Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e k ≠ 0):
(a)
(
)
2 4 xx
4
5
x
lim
−
−
→ (b)( )
( )
x
sen
.
x
x
cos
lim
0 x→ (c)(
)
2 2 5 xx
5
3
x
2
lim
−
+
→ (d)4
x
5
x
5
x
lim
2 1 x−
+
+
→ (e)x
3
11
x
3
lim
3 x−
−
→ (f) x 2 3)
2
x
(
x
3
lim
−
−
→Calcule as constantes a, b, c e d de modo que:
(a)
4
b
x
a
x
lim
2 b x−
=
−
→ (b)x
3
5
b
ax
x
lim
2 3 x−
=
+
−
→ (c)x
1
5
3
bx
ax
lim
x⎥⎦
=
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
−
+∞ → (d)8
x
4
x
4
d
cx
bx
ax
)
x
(
f
,
1
)
x
(
f
lim
3
)
x
(
f
lim
2 2 3 2 x x+
−
+
+
+
=
=
=
− → +∞ →e
sendo
(e)6
1
1
x
a
3
x
b
lim
1 x−
=
−
+
→Questão 14.
Questão 15.
Questão 17.
Questão 18. Questão 16.
Calcule os seguintes limites (envolvendo o limite fundamental trigonométrico):
(a)
( )
x
x
4
sen
lim
0 x→ (b)( )
x
2
x
7
tg
lim
0 x→ (c)( )
2 0 xx
x
cos
1
lim
−
→ (d)⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
→x
x
sen
x
x
2
lim
3 0 x (e)( )
( )
x
sen
x
x
cos
1
lim
0 x−
→ (f)( )
2 2 0 x3
x
x
cos
7
7
lim
−
→Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e ≅ 2,7182):
(a) 3 x x
x
2
1
lim
+ −∞ →⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
(b) x xx
3
1
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−∞ → (c) 6 x 3 xx
4
1
lim
+ +∞ →⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
(d) 4 x 6 xx
5
x
lim
+ +∞ →⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
(e)(
( )
)
3sec( )x 2 xlim
→π1
+
cos
x
(f).x
2
1
e
lim
x 0 x−
→ (g)h
3
3
lim
x h x 0 h−
+ → (h)sen(
x
)
1
e
lim
x 0 x−
→Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites (diversos):
(a) 3 5 3 0 x
6
x
)
x
(
sen
x
5
lim
−
+
→ (b) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +∞ → 2 2 x 2 x 1 xlim
2
(c) c bx xx
a
1
lim
+ +∞ →⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
(d)x
3
x
9
lim
2 3 x−
−
→ (e)(
)
5 5 x2
x-
10
-x
3
lim
− → (f)2
x
5
5
x
2
lim
2 x−
+
+∞ → (g)x
)
x
sen(
)
x
(
tg
lim
0 x+
→ h)(
x
2
)
e
e
lim
2 x 2 x−
−
→ AplicaçõesO departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que um novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 9
t
e
10
30
)
t
(
Q
−−
=
novasunidades em
t
dias após receber treinamento. Pergunta-se(a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento?
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ?
Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que
tomaram conhecimento é dado por 0,5t
e
24
1
600
)
t
(
N
−+
=
, ondet
representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-se(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?
(b) Determine
lim
N
(
t
)
t→+∞
Questão 20. Questão 19.
.
a
x
se
,
x
1
a
x
0
se
,
0
)
x
(
E
2⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
≤
=
A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função
4
x
x
120
)
x
(
A
2 2+
=
, ondeT
(
x
)
é medido em milhões de dólares ex
é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se:(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme ao longo do prazo?
Se uma esfera oca de raio
a
=
2
cm
é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade de campo elétricoE
no pontoP
depende da distânciax
do centro da esfera atéP
pela seguinte lei:Questão 1.
(a) 2 (b) 3 (c) 2 (d) 1
(e) 2 (f) 3 (g) 1 (h) não existe, pois (b) ≠ (e)
(i) 3 (j) 2 (k) 3 (l) 2 (m) 2 (n) 2 (o) 3 (p) 2
Questão 2.
(a)( )
x
lim
f
( )
x
lim
f
( )
x
4
f
lim
2 x 2 x 2 x→−−=
→−+=
→−=
(b)( )
x
lim
f
( )
x
lim
f
( )
x
0
,
f
lim
1 x 1 x 1 x→ −=
→+=
→=
(c)( )
x
0
,
5
lim
f
( )
x
0
f
lim
1 x 1 x=
=
+ − →→
,
, não existelim
x→0f
( )
x
(d)
( )
x
0
,
lim
f
( )
x
1
f
lim
x x−
=
=
+ − →→π π , não existe
lim
x→πf
( )
x
Questão 3.
(a) É contínua em -2 pois
lim
f
( ) ( )
x
f
2
4
2
x→−
=
−
=
. (b) Não é contínua emx
=
1
poislim
x→1f
( )
x
≠
f
( )
1
.(c) Não é contínua em
x
=
1
pois não existe( )
x
f
lim
1
x→ .
(d) Não é contínua em
x
=
π
pois não existe( )
x
f
lim
x→π .Questão 4.
(a)a
=
−
1
(b)b
=
−
1
ou
b
=
2
(c) Não é possível pois
∀a
∈
ℜ
, o limitelim
f
( )
x
3 x→− não existe. (d)
a
=
−
1
ou
b
=
3
Questão 5.
(a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2/27 (e) 2 (f) 0 (g) 4 (h) -5 (i) 3a/2Questão 6.
(a) 1/2 (b) 1/3 (c) 4/3 (d)1
6
3
(e) 0 (f) 1/16 (g) -1/3 (h) 0 (i) 1/5Questão 7.
(a)− , -
∞
∞
(b) 0 ,+∞ (c)+ ,
∞
+
∞
Questão 8.
(a)
−
∞
(b)−
∞
(c)+
∞
(d) não existe (e)+
∞
(f) 1 (g) não (h) não(i) sim (j) não
Questão 9.
Individual - Existem infinitas respostas.Questão 10.
(a) 0 (b) –2/3 (c) 0 (d) 052
− , (e)−
∞
(f) 0 (g) ½ (h) 1/3Questão 11.
(a)+
∞
(b) 0 (c) 0 (d) 2Questão 12.
(a)−
∞
(b)+
∞
(c)+
∞
(d) Não existe, pois=
+∞
+
−
+
− →x
5
x
4
5
x
lim
2 1 x e=
−∞
+
−
+
+ →x
5
x
4
5
x
lim
2 1 x .(e) Não existe, pois
=
+∞
−
−
− →x
3
11
x
3
lim
3 x e=
−∞
−
−
+ →x
3
11
x
3
lim
3 x .(f) Não existe, pois
(
−
)
=
−∞
−
− →2 3 xx
2
x
3
lim
e(
−
)
=
+∞
−
+ →2 3 xx
2
x
3
lim
.Questão 13.
(a) a=4, b=2 (b) a=1, b= −6 (c) a=0, b= −5 (d)a
=
0
,
b
=
12
,
c
=
36
,
d
=
24
(e)a
=
4
/
3
,
b
=
2
/
3
Questão 14.
(a) 4 (b) 7/2 (c) 1/2 (d) 0 (e) 1/2 (f) 7/3Questão 15.
(a)e
2 (b)e
−3 (c)e
12 (d)e
30 (e)e
3 (f) 1/2 (g)3
xln
3
(h) 1Questão 16.
(a)−
5
/
6
(b)2
(c) abe
(d)12
3
(e)+
∞
(f)2
(g) 2 h) 2e
Questão 17.
(a) 20 unidadesQuestão 18.
(a) 24 unidades (b)
lim
N
(
t
)
600
t→+∞
=
Questão 19.
(a) 24 e 60 milhões (b) 120 milhões
Questão 20.
É descontínuo, pois
lim
E
(
x
)
E
(
2
)
2
