Aplicação da programação linear na produção de alimentos de um restaurante universitário

(1)

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PEDRO AUGUSTO MAZINI DOS SANTOS

APLICAC

¸ ˜

AO DA PROGRAMAC

¸ ˜

AO LINEAR NA PRODUC

¸ ˜

AO DE

ALIMENTOS DE UM RESTAURANTE UNIVERSIT ´

ARIO.

TRABALHO DE CONCLUS ˜

AO DE CURSO

CORN ´ELIO PROC ´OPIO 2015

(2)

APLICAC

¸ ˜

AO DA PROGRAMAC

¸ ˜

AO LINEAR NA PRODUC

¸ ˜

AO DE

ALIMENTOS DE UM RESTAURANTE UNIVERSIT ´

ARIO.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Matemática da Universidade Tec-nológica Federal do Paraná como requisito par-cial para obtenção do grau de “Licenciado em Ma-temática” – Área de Concentração: Licenciatura em Matemática.

Orientadora: Glaucia Maria Bressan

CORN ´ELIO PROC ´OPIO 2015

(3)

FOLHA DE APROVAÇÃO

BANCA EXAMINADORA

_______________________________ Prof.ª Dra. Glaucia Maria Bressan (Orientadora)

_______________________________ Prof.º Dr. Andre Luis Machado Martinez

_______________________________ Prof.ª Dra. Daniele Costa Silva

“A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso” Diretoria de Graduação

Departamento de Matemática Curso de Licenciatura em Matemática

(4)

Após tantos obstáculos enfrentados ao longo desta caminhada, com força de vontade, perseverança e acima de tudo muito comprometimento finalmente consegui realizar este feito, no entanto nada teria conquistado se não fosse à presença de alguns envolvidos que me ajudaram durante esta minha trajetória. Assim deixo meus agradecimentos:

A Deus por ter me dado forc¸a e coragem nos momentos mais dif´ıceis.

Aos professores por ensinarem o dom da sabedoria. Em especial a minha Professora Orientadora Glaucia Maria Bressan, pelo apoio, carinho e dedicac¸˜ao.

Aos amigos e colegas de classe, em especial a Marila, Nayara e Lilian por comparti-lharem momentos de alegrias e superac¸˜ao no decorrer do curso.

Ao meu Pai, por acreditar que esse dia chegaria e pelos 4 anos de trabalho dobrado para me ajudar a realizar esse sonho. A minha M˜ae, que de longe me guiava e incentivava a n˜ao desistir dos meus objetivos.

Ao meu amor pela compreens˜ao, carinho, companheirismo e apoio quando mais pre-cisei.

(5)

SANTOS, Pedro Augusto Mazini. APLICAÇ ÃO DA PROGRAMAÇ ÃO LINEAR NA PRODUÇ ÃO DE ALIMENTOS DE UM RESTAURANTE UNIVERSIT ÁRIO. . 81 f. Trabalho de Con-clusão de Curso – Departamento de Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2015.

Este estudo consiste de uma aplicação da programação linear na produção de alimentos de um restaurante universitário. O principal objetivo é minimizar o custo total da produção de alimen-tos, levando em consideração a demanda diária das refeições, o número e o perfil dos usuários e a quantidade de nutrientes necessários para suprir as necessidades diárias em cada refeição. O estudo caracteriza-se metodologicamente como uma modelagem matemática, baseado no Pro-blema da Dieta e em registros dispon´ıveis decorrentes de pesquisas anteriores. Os dados são coletados no restaurante universitário da UTFPR câmpus Cornélio Procópio, por meio de Pes-quisa de Campo, a qual visa investigar a situação espec´ıfica. O trabalho aborda os conceitos de pesquisa operacional, programação linear e modelos de otimização, aplicando-os na formulação matemática do problema. O Método Simplex é apresentado durante o estudo e utilizado como método de resolução para a obtenção das soluções ótimas dos modelos de otimização. Os resul-tados numéricos são obtidos por meio da execução destes modelos com apoio computacional do software LINDO, analisando-se também a variação e a sensibilidade dos parâmetros. As soluções são analisadas do ponto de vista computacional e são comparadas com os custos reais vivenciados pela rotina diária do restaurante.

(6)

SANTOS, Pedro Augusto Mazini. LINEAR PROGRAMMING APPLICATION IN FOOD PRODUCTION A UNIVERSITY RESTAURANT. . 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso – Departamento de Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2015.

This study consists of an application of linear programming in food production at a university restaurant. The main goal is to minimize the total cost of food production, considering daily demand of meal, the number and the profile users and the required daily nutrients in each meal. The study is methodologically characterized as a mathematical modeling, based on the diet problem and available papers from previous research. The data are collected into UTFPR university restaurant, in Corn´elio Proc´opio city, using field research, which aims to investigate a specific situation. This work presents a background on operations research, linear programming and optimization models, applying them to the mathematical formulation problem. The Simplex Method is presented and used as a resolution method to obtain the optimum solutions. The numerical results are obtained by running the models in the LINDO software, analyzing the parameters variation and sensibility. Solutions are analyzed from computational point of view and they are compared to real costs of the daily routine.

(7)

–

FIGURA 1 Fases do Processo . . . 17 –

FIGURA 2 Restaurante Universit´ario . . . 40 –

(8)

–

TABELA 1 Dualidade para o Problema da Dieta . . . 31 –

TABELA 2 Problema da Dieta: Primal . . . 32 –

TABELA 3 Problema da Dieta: Dual . . . 32 –

TABELA 4 Tabela de necessidades nutricionais com unidade de medida 100g . . . 42 –

TABELA 5 Tabela de fator de Rendimento (Perda T´ermica) . . . 42 –

TABELA 6 Resultados para a Func¸˜ao Objetivo . . . 49 –

TABELA 7 Custo m´ınimo utilizando Modelo 2 (jantar) e Modelo 3 (almoc¸o) . . . 49 –

TABELA 8 Custo m´ınimo utilizando Modelo 1 (almoc¸o) e Modelo 4 (jantar) . . . 49 –

TABELA 11 Resultados para a Func¸˜ao Objetivo . . . 50 –

TABELA 12 Custo m´ınimo utilizando Modelo 2 (jantar) e Modelo 3 (almoc¸o) . . . 50 –

TABELA 16 Análise de Sensibilidade (Função Objetivo - Modelo 1) . . . 51 –

TABELA 20 Dados Semestrais (ALMOC¸ O) . . . 53 –

TABELA 21 Dados Semestrais (JANTAR) . . . 53 –

TABELA 22 Dados Semestrais (N ÚMEROS DE REFEIÇ ÕES REALIZADAS) . . . . 53 –

TABELA 23 Quantidade produzida de alimento e valor gasto diariamente no RU -Abril/Maio 2014 . . . 54 –

TABELA 24 Quantidade produzida de alimento e valor gasto diariamente no RU -Abril/Maio 2015 . . . 54 –

TABELA 25 Comparação do Custo da Produção de Alimentos do RU - Abril/Maio 2014 . . . 55 –

TABELA 26 Comparação do Custo da Produção de Alimentos do RU - Abril/Maio 2015 . . . 55

(9)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 10

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . 13

3 PESQUISA OPERACIONAL E PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR . . . 15

3.1 PROGRAMAÇ ÃO MATEM ÁTICA . . . 15

3.2 PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR . . . 16

3.3 MODELAGEM MATEM ÁTICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇ ÃO LI-NEAR (PPL) . . . 17

3.3.1 Forma Padr˜ao . . . 20

3.3.2 Forma Matricial . . . 21

3.3.3 Estudo de Caso: Modelagem de um PPL aplicada ao Problema da Dieta . . . 21

3.4 M ´ETODO SIMPLEX . . . 23

3.4.1 Tableau Simplex . . . 26

3.4.2 Situac¸˜oes que Podem Ocorrer . . . 28

3.5 DUALIDADE . . . 29

3.5.1 Estudo de Caso: Dualidade para o Problema da Dieta . . . 29

3.5.2 Obtenc¸˜ao do Dual a partir de seu PPL Primal . . . 32

3.5.3 Teorema Fundamental da Dualidade . . . 34

3.5.4 Interpretação Econômica do Dual . . . 34

3.5.5 O M´etodo Simplex Dual . . . 35

3.6 AN ÁLISE DE SENSIBILIDADE OU P ÓS-OTIMIZAÇ ÃO . . . 36

4 DESCRIC¸ ˜AO DO PROBLEMA . . . 39

4.1 PROBLEMA DA PRODUÇ ÃO DE ALIMENTOS DE UM RESTAURANTE UNI-VERSIT ÁRIO . . . 39

4.2 ESPAÇ O FÍSICO DO RESTAURANTE UNIVERSIT ÁRIO . . . 40

4.3 PERFIL DOS USU ´ARIOS . . . 41

4.4 INFORMAC¸ ˜OES NUTRICIONAIS . . . 41

4.5 FATOR DE RENDIMENTOS DOS ALIMENTOS . . . 42

5 RESULTADOS . . . 43

5.1 MODELOS MATEM ´ATICOS DO PPL . . . 43

5.1.1 Formulação Matemática do PPL . . . 43

5.1.1.1 Modelos Matem´aticos Abril/Maio 2014 . . . 44

5.1.1.2 Modelos Matem´aticos Abril/Maio 2015 . . . 46

5.2 SOLUÇ ÕES ÓTIMAS OBTIDAS . . . 48

5.2.1 Soluções Ótimas Abri/Maio 2014 . . . 48

5.2.2 Soluções Ótimas Abri/Maio 2015 . . . 50

5.3 AN ´ALISE DE SENSIBILIDADE . . . 51

5.3.1 An´alise de Sensibilidade Abril/Maio 2014 . . . 51

5.3.2 An´alise de Sensibilidade Abril/Maio 2015 . . . 52

5.4 DADOS 1oSEMESTRE DE 2015 . . . 53

5.5 CONCLUS ˜AO . . . 54

(10)

(11)

1 INTRODUC¸ ˜AO

Nos últimos anos, o Brasil vem apresentando um avanço percept´ıvel de seu parque in-dustrial, que tem como resultado pertinentes contribuições para o pa´ıs, além de colaborar para sua projeção no mercado internacional. Segundo o Banco Central, a projeção para o cresci-mento industrial do pa´ıs saltou de 1,38% para 1,50% em 2014 1. Para 2015, a previsão de avanço industrial foi mantida em 3%. Devido à globalização, à internet e às telecomunicações, as indústrias brasileiras, por sua vez, têm sido impulsionadas a tornar seus processos produti-vos mais eficientes e competitiproduti-vos no mercado nacional e internacional, incentivando, assim, o crescimento do estudo de modelos de otimização para o controle e planejamento de sistemas produtivos. Neste sentido, métodos de otimização vigentes na Matemática tem ajudado na mo-delagem e na resolução de problemas envolvendo processos tecnológicos e produtivos, visando basicamente a minimização de custos de produção e de sobras de materiais.

Neste contexto, a Pesquisa Operacional visa ao desenvolvimento e à aplicação de métodos cient´ıficos para a resolução de problemas e tomadas de decisão (GOLDBARG; LUNA, 2005; ARENALES et al., 2007). O principal objetivo da tomada de decisão é maximizar a uti-lidade do decisor, traduzida pela maximização do lucro ou minimização do custo, esta ciência é aplicada a problemas em que se faz necessário especificar, de forma quantitativa, a condução e a coordenação das operações ou atividades dentro de uma organização. Nesse cenário, a im-portância dos sistemas de apoio para a tomada de decisão vem crescendo significativamente com o advento das estações de trabalho, que oferecem grande capacidade de cálculo, de arma-zenamento e de recursos gráficos, dispon´ıveis anteriormente apenas em máquinas caras e de grande porte.

Os algoritmos e as técnicas buscam estruturar e solucionar modelos quantitativos que podem ser expressos matematicamente. Os modelos são estruturados logicamente com o ob-jetivo de determinar as melhores condições de funcionamento para os sistemas representados. Os principais modelos de Pesquisa Operacional são chamados de Programação Matemática, onde as técnicas de solução se reúnem em algumas subáreas como a Programação Linear, as

(12)

quais são descritas em Goldbarg e Luna (2005) e Lins e Calôba (2006), a Programação Não Linear, cujo tema é abordado por Izmailov e Solodov (2009), e a Programação Inteira as quais são retratados em Nemhauser e Wolsey (1999).

A Programação Linear, por sua vez, utiliza um modelo matemático composto por equações lineares para descrever um problema e auxilia na tomada de decisão, pois fornece os melhores resultados, dentre todos os poss´ıveis, ou seja, um resultado que atenda, da melhor maneira poss´ıvel, uma determinada finalidade. Este resultado é chamado de solução ótima.

Dessa forma, a Pesquisa Operacional tem sido altamente aplicada em diferentes áreas como manufatura, transportes, construção, telecomunicações, planejamento financeiro, assis-tência médica, militar e serviços públicos, entre outros (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). A utilização das ferramentas e dos métodos desenvolvidos pela Pesquisa Operacional, em especial da Programação Linear, em todos os n´ıveis da gestão, é uma realidade viabilizada pelo avanço da tecnologia e da literatura. O problema da gestão de um mundo globalizado tem deslocado o eixo competitivo para a criatividade e a motivação humana. Quando não busca a otimização de recursos, a organização passa a não ter expectativas futuras, pois não cria uma plataforma firme em que a criatividade e a visão empreendedora possam se sustentar. A partir desse fato, pode-mos compreender a importância dos métodos de Pesquisa Operacional na tomada de decisão e na minimização de custos (NAMEN; BORNSTEIN, 2004).

Dentre as várias aplicações da Programação Linear, destaca-se o problema de mi-nimização de custos de processos de produção, os quais, consequentemente, acarretam na minimização de perdas ou de sobras de materiais e em um planejamento eficiente da produção. Com o objetivo de minimizar o custo total da produção de alimentos do Restaurante Univer-sitário (RU) da UTFPR câmpus Cornélio Procópio, este trabalho propõe unir as técnicas da Programação Matemática com a necessidade do planejamento dessa produção, modelando o problema como um problema de programação linear baseado no Problema da Dieta (STIGLER, 1945) e buscando suas soluções ótimas pela aplicação do Método Simplex, cujo conteúdo, des-crito no Cap´ıtulo 3, pode ser encontrado em Goldbarg e Luna (2005). As soluções numéricas obtidas pela execução dos modelos são analisadas - quanto à variação e à sensibilidade dos parâmetros - e comparadas com os custos reais vivenciados pelo restaurante em estudo.

Com o aumento do número de alunos a cada semestre, o restaurante universitário pro-duz mais alimentos para satisfazer toda a demanda diária. Diante desse fato, minimizar o custo da produção do RU tornou-se uma decisão que visa o lucro e um melhor gerenciamento da produção.

(13)

tra-balho.

No Cap´ıtulo 2 é feita a Revisão Bibliográfica do tema, apresentando-se trabalhos e pesquisas que abordam a Programação Linear e sua aplicação no Problema da Dieta.

O terceiro cap´ıtulo aborda a Pesquisa Operacional, relatando seus conceitos e suas aplicabilidades, destacando-se seus principais modelos. Em especial, é realizada uma descrição mais detalhada da Programação Linear, que é a técnica utilizada neste trabalho. Em sequência, apresenta os passos para a formulação matemática de um Problema de Programação Linear, seguido de um exemplo e um método para resolvê-los, o Método Simplex. Aborda-se também a Dualidade e a Análise de sensibilidade neste tópico.

No Cap´ıtulo 4 ´e descrito o problema motivador desse trabalho, expondo o funciona-mento do RU, espac¸o f´ısico, as tabelas nutricionais, fator de rendifunciona-mentos dos alifunciona-mentos e o perfil dos alunos.

O Cap´ıtulo 5 apresenta os resultados obtidos no mês de Abril e Maio de 2014, descreve os modelos matemáticos e expõe as soluções ótimas, bem como a análise de sensibilidade dos parâmetros e a comparação da solução encontrada com os custos reais gastos pelo restaurante diariamente. E como resultados finais deste trabalho será feito uma comparação dos dados de 2014 e 2015 no mês Abril/Maio. Além dos resultados do primeiro semestre de 2015, a fim de apresentar o comportamento dos dados durante o per´ıodo da pesquisa.

Por fim, no Cap´ıtulo 6, s˜ao apresentadas as conclus˜oes e as perspectivas futuras deste trabalho.

(14)

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA

Em 1945, George Stigler apresentou o seguinte problema Stigler (1945): para um homem mediano pesando aproximadamente 70 kg, qual quantidade, dentre 77 diferentes ali-mentos, deveria ser ingerida diariamente, de modo que as necessidades m´ınimas de nutrientes fossem iguais `as recomendadas pelo Conselho Nacional de Pesquisa Norte-americano e, al´em disso, a dieta elaborada tivesse o menor custo poss´ıvel.

Nessa época, o método simplex não havia sido apresentado por George Dantzig, e Stigler solucionou um conjunto amplo de inequações (9 x 77) através de uma heur´ıstica inte-ligente, obtendo um custo total para a dieta de 39,93 dólares por ano. Nesse processo, foram examinadas manualmente 510 diferentes possibilidades de fusão de alimentos. Apesar do valor não poder ser considerado exatamente o custo m´ınimo, devido à inexistência de processo ma-temático que comprovasse o fato, Dantzig afirma que Stigler apresentou diversas justificativas indicando que o valor encontrado por ele estaria muito próximo do custo m´ınimo exato.

Em 1947, Dantzig apresentou o método até hoje conhecido e amplamente utilizado denominado Simplex. Após apresentá-lo, Dantzig necessitava encontrar um bom problema para testar o novo método criado, sendo o problema da dieta de Stigler escolhido para isso. No outono de 1947, Jack Laderman, responsável pelo Projeto de Tabelas Matemáticas do Bureau Nacional de Padrões norte-americano, decidiu então resolver o primeiro problema de ”computação”de grande escala com o método simplex de Dantzig. Com o apoio de nove pessoas utilizando calculadoras de mesa de operação manual, após a utilização de um recurso estimado de 120 dias-homem, obteve-se o custo final da dieta de Stigler a 39,69 dólares (DANTZIG, 1990) apenas 24 centavos de dólar menos que o valor originalmente obtido por Stigler.

Além de Dantzig, muitos outros pesquisadores, ao longo do tempo, fizeram referência ao problema original, incorporando novos alimentos, utilizando novas especificações de nutri-entes ou de necessidades humanas m´ınimas. Smith (1964) apresenta alguns desses trabalhos caracterizando-os como ”modelos puramente nutricionais”, que buscavam o objetivo final se-melhante ao de Stigler: dieta com menor custo que atendesse às recomendações m´ınimas de

(15)

nutrientes. E até mesmo simulações das poss´ıveis dietas a serem empregadas aos sobreviventes de um ataque nuclear aos Estados Unidos (POGRUND, 1966). Em todos esses trabalhos, a grande dificuldade encontrada era a obtenção de dietas agradáveis. As deficiências encontra-das nesses modelos levaram alguns investigadores a criar novos modelos. Mais recentemente, Garille e Gass (2001) revisitam o problema, atualizando o conjunto de alimentos, preços, e obtendo novos valores para o custo otimizado.

Goldbarg e Luna (2005) propuseram o Problema da Programação de Dietas em uma Cl´ınica de Repouso, cujo principal objetivo da cl´ınica, que recebe cerca de 50 pacientes em cada final de semana, é a escolha das dietas e a preparação das refeições visando a desintoxicação alimentar e exerc´ıcios f´ısicos dos pacientes. Devido ao grande consumo de alimentos, a cl´ınica compra normalmente os gêneros no atacado almejando o baixo custo. O objetivo do problema é associar os programas de treinamento com as dietas propostas pela cl´ınica, buscando o menor custo. Estas dietas são classificadas em três grupos: dejejum, almoço e jantar; além disso, as dietas possuem nove refeições distintas e dois programas de treinamento.

O problema da dieta não é limitado apenas aos humanos, podendo ser adaptado para a formulação de rações para animais. Nesse caso, a palatabilidade não é mais um fator importante. Diversas propostas surgem, como a geração de rações para gado de modo interativo, através do uso de uma simples calculadora TI59 (FRANCE, 1982). Os modelos de Programação Linear Paramétrica são então aplicados para a determinação do custo m´ınimo da ração de gado (GLEN, 1980). Além da produção de rações, a otimização da composição de fertilizantes, que conte-nham os nutrientes necessários além de um custo m´ınimo, também tem como base o problema da dieta.

Segundo Namen e Bornstein (2004) o problema original proposto por Stigler é de extrema importância para o desenvolvimento da Programação Linear, bem como seus atos e aplicações posteriores. Mais especificamente, analisando o cenário nacional e a questão alimen-tar, abre-se a oportunidade da aplicação de diferentes modelos matemáticos visando à melhoria da alimentação. No trabalho de Namen e Bornstein (2004), é proposta uma ferramenta para avaliação de resultados de diversos modelos de otimização de dietas. Em seguida, são apresen-tados os diversos enfoques e técnicas adotadas para a elaboração de dietas para seres humanos. Alguns desses modelos são então implementados, efetuando-se uma análise comparativa dos resultados obtidos.

(16)

3 PESQUISA OPERACIONAL E PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR

A pesquisa operacional (PO) não possui uma definição unânime. Para alguns auto-res como Lachtermacher (2004), Goldbarg e Luna (2005), Lins e Calôba (2006), PO significa abordagem cient´ıfica para tomada de decisões, que procura determinar como melhor projetar e operar um sistema. O termo é bastante defendido no âmbito das engenharias, em particular, da engenharia de produção. É considerado um procedimento organizado e consistente na dif´ıcil tarefa de gestão recursos humanos, materiais e financeiros de uma organização.

No processo de tomada de decisão, a PO deu uma contribuição significativa no au-mento da produtividade das economias de diversos pa´ıses (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Dessa forma, a PO desempenha um papel importante nas áreas de projeto, planejamento, redes de suprimento, com aplicações que se estendem as mais diversas áreas de conhecimento como a agricultura, processos produtivos, recursos naturais, ambientais, entre muitos outros.

A partir destas perspectivas, nota-se a importância dos métodos de Pesquisa Operaci-onal no aux´ılio à tomada de decisão, oferecendo, dentre todas as poss´ıveis, a melhor solução para o problema em estudo.

3.1 PROGRAMAÇ ÃO MATEM ÁTICA

A Pesquisa Operacional e, em particular, a Programação Matemática, estudam proble-mas de decisão e usam modelos matemáticos para representar o problema real. Os algoritmos e os métodos buscam estruturar e solucionar modelos quantitativos que podem ser expressos matematicamente. Os modelos são estruturados logicamente com o objetivo de determinar as melhores condições de funcionamento para os sistemas representados.

Na programação matemática, as técnicas de solução são agrupadas em algumas subáreas, descritas brevemente como a seguir.

XProgramac¸˜ao Linear

(17)

problemas que tenham seus modelos representados por expressões lineares (equações de 1o grau). A sua grande aplicabilidade e simplicidade devem-se a linearidade do modelo. A li-teratura que trata dessa classe de problemas é vasta e particularmente rica. Vale destacar que entre as obras mais recentes estão as de Goldbarg e Luna (2005), Arenales et al. (2007), Lins e Calôba (2006).

XProgramação Não Linear

Os modelos de Programação Não Linear são aqueles que, no processo de modelagem, apresentam qualquer aspecto que afete a linearidade, seja nas variáveis ou em uma de suas equações. A não linearidade é bem tratável nos casos de convexidade; algoritmos eficientes podem resolver grandes problemas reais. Mais informações desse tipo de modelagem podem ser encontradas em Izmailov e Solodov (2009).

XProgramac¸˜ao Inteira

Um modelo de otimização se refere a um problema de Programação Inteira se qualquer variável desse problema não puder assumir valores cont´ınuos (reais), estando condicionada a assumir apenas valores discretos (inteiros). A exigência de que variáveis tenham de assumir valores inteiros implica maior complexidade computacional Nemhauser e Wolsey (1999).

3.2 PROGRAMAC¸ ˜AO LINEAR

A Programação Linear (PL) caracteriza-se por utilizar métodos de cálculo baseados na execução repetida de operações relativamentes simples, beneficiando-se do advento do com-putador (LINS; CAL ÔBA, 2006). E tem como objetivo encontrar a melhor solução, chamada solução ótima, para problemas que possuem seus modelos representados por expressões line-ares. E, ainda, consiste na maximização ou na minimização de uma função linear, a Função Objetivo, respeitando um conjunto de restrições expressas em forma de igualdades ou desigual-dades, as quais constituem um sistema linear (MARINS, 2011).

Para a resolução de um Problema de Programação Linear é necessário a modelagem do problema e após, utilizar um método para a solução do modelo. O método adotado neste tra-balho é o Método Simplex, que consiste em um procedimento numérico, exerce uma sequência de passos repetidamente, até se alcançar a melhor solução do problema. Este método consiste em um processo iterativo e, por isso, é executado computacionalmente em qualquer linguagem de programação.

(18)

3.3 MODELAGEM MATEM ÁTICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇ ÃO LINEAR (PPL)

A pesquisa operacional, em particular a Programação Matemática, é fortemente di-recionada ao apoio da tomada de decisão e utiliza modelos matemáticos que representam o problema real. As variáveis do problema são definidas e estabelecidas matematicamente por meio de equações, descrevendo o comportamento do sistema. Com a aplicação de um método cient´ıfico, o modelo matemático é então resolvido, ou seja, são determinados valores para as variáveis, que dependem de alguns dados do problema. Em seguida, deve ser feita a validação do modelo, ou seja, verificar se a solução obtida pela resolução do modelo matemático é com-pat´ıvel com a realidade.

A solução do modelo apoia o processo de tomada de decisões. Convém ressaltar que os modelos não substituem totalmente os tomadores de decisão. Por exemplo, soluções que não consideram o comportamento humano podem falhar.

A abordagem de resolução de um problema por meio da pesquisa operacional envolve várias fases, conforme mostra a Figura 1, descritas a seguir.

Figura 1: Fases do processo. Fonte: (ARENALES et al., 2007)

Definic¸˜ao do problema: o que se pretende solucionar, o que se deseja maximizar ou minimizar, quanto produzir, a pergunta que se quer responder. O problema deve ser colocado de forma clara e coerente, definindo-se os objetivos e os poss´ıveis caminhos.

Modelagem matemática: construção do modelo, formulação por meio de variáveis e equações. Aqui devem ser levantadas as limitações técnicas do sistema, ou seja, as restrições, que serão expressas por meio de equações.

(19)

proposto.

Validação do modelo: verificar se o modelo proposto representa o comportamento do sistema. Essa verificação é realizada com dados emp´ıricos do sistema. Se houver dados históricos, eles serão aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao observado no sistema. Se o desvio verificado não for aceitável, a reformulação do modelo deve ser considerada (SILVA et al., 2009) .

A representação de problemas reais é feita por um conjunto de equações. Se existem nvalores quantitativos a serem determinados, ou seja, n decisões a serem tomadas, associa-se uma variável a cada uma delas, chamada de variável de decisão. Desta forma, as variáveis de decisão são representadas por xi, com i = 1, 2, . . . , n e, ao aplicar um método de solução, o valor

destas vari´aveis s˜ao encontrados.

O objetivo principal do problema é o que se pretende maximizar (lucros, receitas, ven-das) ou minimizar (custos, perdas, recursos). Uma função numérica das variáveis de decisão, a função objetivo, é então estruturada para representá-lo.

Identificadas as variáveis de decisão e a função objetivo, deve-se analisar quais são as limitações impostas ao problema real. Geralmente, os recursos dispon´ıveis, matéria-prima, mão-de-obra e horas de equipamentos são limitados e apresentam algumas condições. Estas limitações podem ser expressas matematicamente por meio de equações e inequações lineares, constituindo as restrições do problema.

Ligados aos problemas de programação linear está a condição de que todas as variáveis de decisão pertencem ao primeiro quadrante, ou seja, são maiores ou iguais a zero: xi≥ 0.

Denominados de condição de não-negatividade.

Para que um problema real possa ser representado por um modelo de Programac¸˜ao Linear, deve apresentar as seguintes caracter´ısticas:

X Proporcionalidade: as variáveis de decisão são multiplicadas pelos coeficientes na função objetivo e nas restrições. Estes coeficientes são valores conhecidos, pois são os dados que o problema deve ter.

X Aditividade: a função objetivo e as restrições constituem na soma das parcelas, como uma combinação linear.

XDivisibilidade: as vari´aveis de decis˜ao podem ser fracionadas.

X Determinismo: os coeficientes (valores conhecidos) do problema n˜ao incorporam a natureza probabil´ıstica do que representam.

(20)

De acordo com Lachtermacher (2004), diversas vantagens podem ser citadas quando o decisor utiliza um processo de modelagem para a tomada de decisão. Dentre elas, os modelos forçam a identificação das variáveis a serem inclu´ıdas e em que termos serão quantificáveis. Além disso, forçam também o reconhecimento de limitações dos problemas, expressas pelas restrições.

A formulação geral de um PPL deve então conter 3 partes fundamentais: a função objetivo, as restrições e as condições de não-negatividade. Para a função objetivo e para cada uma das restrições consideradas, escreve-se uma equação linear, relacionando as variáveis de decisãocom os coeficientes conhecidos. Desta forma, um PPL é formulado da seguinte ma-neira. Maximizar (Minimizar) Z = c1x1+ c2x2+ . . . + cnxn (1) a₁₁x₁+ a12x2+ . . . + a1nxn(sinal) b1 a₂₁x₁+ a22x2+ . . . + a2nxn(sinal) b2 . . . (2) a_m1x₁+ am2x2+ . . . + amnxn(sinal) bm, x₁, x2, . . . , xn≥ 0 (3) onde,

a_{i j}, (i = 1, 2, . . . , m ; j = 1, 2, . . . , n) → coeficientes técnicos ou tecnológicos (reais); b₁, b2,. . . , bm→ termos independentes (constantes de restrição ou segundos membros);

c₁, c2,. . . , cn→coeficientes da func¸˜ao objetivo (coeficientes de custo);

x₁, x2,. . . , xn→ variáveis de decisão (principais ou controláveis);

A palavra0sinal0 → Esta Palavra significa que as restrições poderão receber os sinais ≤, =, ou, ≥;

A equação (1) representa a função objetivo;

A equação (2) representa as restrições (restrições funcionais), em que apenas se verifica uma das relações;

(21)

3.3.1 FORMA PADR ˜AO

Uma formulação equivalente, obtida por operações elementares, é muito utilizada para a aplicação dos métodos de resolução e é chamada de forma padrão. Nesta, todas as restrições são transformadas em igualdades pela adição de outras variáveis. Além disso, todas as variáveis envolvidas xje as constantes bmsão maiores ou iguais à zero.

Portanto, um modelo de programação linear pode ser reescrito na forma padrão aplicando-se as aplicando-seguintes operações elementares:

Operação 1: mudança no critério de otimização - transformar a maximização de uma função f (x) em minimização ou vice-versa.

Max f (x) corresponde a Min (− f (x)) Min f (x) corresponde a Max (− f (x))

Operação 2: transformar uma variável livre, ou seja, uma variável que assume valores reais (positivos, negativos, racionais) em uma variável não negativa (maior ou igual a zero).

A variável livre xn é substitu´ıda por duas variáveis auxiliares x1n e x2n, ambas maiores

ou iguais à zero, mas a soma das duas é igual à variável original.

x_n= x1n− x2n

Operação 3: transformar as inequações em equações. Para o caso da transformação de restrições de menor ou igual ≤ em igualdade, soma-se uma variável chamada variável de folga, capaz de completar a desigualdade, tornando-a igualdade. Por exemplo, seja a restrição representada por

x₁+ x2+ x3+ . . . + xn≤ b

Introduzindo a vari´avel de folga xn+1≥ 0, obt´em-se:

x1+ x2+ x3+ . . . + xn+ xn+1= b

Para o caso da transformação de restrições de maior ou igual ≥ em igualdade, subtrai-se uma variável de folga, tornando-a igualdade. Por exemplo, subtrai-seja a restrição represubtrai-sentada por

(22)

Introduzindo a vari´avel de folga xn+1≥ 0, obt´em-se:

x₁+ x2+ x3+ . . . + xn− xn+1= b

Desta forma, conforme modelado o problema, pode-se aplicar as operações elementa-res para reescrever o modelo na forma padrão e aplicar os métodos de elementa-resolução.

3.3.2 FORMA MATRICIAL

Uma outra formulação semelhante é chamada de forma matricial. As equações (1), (2), e (3) podem ser escritas da seguinte forma:

M´ın cTx s.a. Ax ≥ b x≥ 0 onde: cT =     c₁ .. . c_n     ; x = h x1· · · xn i A =     a_n · · · a_1n .. . . .. ... am1 · · · amn     ; b =     b₁ .. . bm    

A seguir ser´a exposto um exemplo de estudo de caso de um PPL.

3.3.3 ESTUDO DE CASO: MODELAGEM DE UM PPL APLICADA AO PROBLEMA DA DIETA

Considere que existem n alimentos que podem ser colocados em uma dieta. Estes n alimentos possuem determinados custos unitários e uma quantidade de cada um de m nutrientes relevantes (calorias, vitaminas, etc.). Deseja-se obter uma dieta adequada de custo m´ınimo, ou seja, minimizar o produto dos custos unitários de alimentos pelas quantidades selecionadas, dado que os requisitos de cada um dos nutrientes, definidos pelo vetor b, sejam satisfeitos. Este estudo de caso é baseado em Lins e Calôba, 2006 (p.10).

(23)

SOLUC¸ ˜AO:

Vari´aveis de Decis˜ao: xj= quantidade de alimentos que entram na dieta.

Dados conhecidos: n alimentos e seus custos c1, . . . , cn

mnutrientes necess´arios e quantidades m´ınimas b1, . . . , bm

ai j quantidade do i-´esimo nutriente no j-´esimo alimento

Objetivo: obter a dieta adequada de menor custo. Modelo: a₁₁x₁+ . . . + a1nxn≥ b1 .. . a_m1x₁+ . . . + a_mnx_n≥ b_m       

conjunto de restric¸˜oes do problema

Sujeito também a: xj≥ 0 ∀ j Função Objetivo: M´ın c1x1+ c2x2+ . . . + cnxn Forma Matricial PPL Dieta: M´ın cTx s.a. Ax ≥ b x≥ 0 onde: cT =     c₁ .. . cn     ; x = h x₁· · · xn i A =     a_n · · · a_1n .. . . .. ... am1 · · · amn     ; b =     b₁ .. . bm    

Para uma aplicação recente deste PPL à dieta humana, ver Lucas S. F. (2000) onde foram incorporadas restrições adicionais, que permitem modelar restrições às mudanças de hábitos alimentares.

(24)

3.4 M ´ETODO SIMPLEX

A seguir, é apresentada uma descrição matemática, baseada em Bressan (2003), sobre o Método Simplex em sua forma geral.

Considere o problema primal de otimização linear na forma padrão (BAZARAA M S; JAR-VIS, 2009; VANDERBEI, 1996):

min f (x) = cTx s.a: Ax = b

x≥ 0

onde A ∈ Rmxne, sem perda de generalidade, assuma que posto (A) = m. Todo problema primal tem um problema dual associado. Na seção 3.5 o problema dual será visto com mais detalhe.

A solução geral do sistema em Ax = b pode ser descrita considerando uma partição nas colunas de A:

A= (B, N)

tal que B ∈ Rmxm, formada por m colunas da matriz A, seja não singular. A partição equivalente é feita no vetor das variáveis:

x= (xB, xN),

onde xB é chamado vetor de variáveis básicas e xN vetor de variáveis não básicas.

Assim,

Ax= b ⇔ BxB+ NxN = b ⇔ xB= B−1b− B−1NxN.

Dada uma escolha qualquer para xN, tem-se xB bem determinado, de modo que o

sis-tema est´a verificado.

Definição 1 A solução particular x obtida por x0_B = B−1b, x0_N = 0 é chamada solução básica. Se x0_B= B−1b≥ 0, então a solução básica é primal fact´ıvel.

Considere também a partição nos coeficientes do gradiente da função objetivo c:

cT = (cB, cN)T.

Definic¸˜ao 2 O vetor y ∈ Rm, dado por

(25)

´e definido como vetor das vari´aveis duais ou vetor multiplicador simplex. Se

c_j− yTa_j≥ 0,

para j= 1, . . . , n então y é uma solução básica dual fact´ıvel, e diz-se que a partição é dual fact´ıvel, onde ajrepresenta a coluna j da matriz de restrições A.

Teorema 1 Se uma partição básica for primal e dual fact´ıvel, então as soluções básicas asso-ciadas resolvem os problemas primal e dual, respectivamente, e diz-se que a partição básica é ótima.

Prova:(VANDERBEI, 1996)

Teorema 2 Se o problema primal tiver uma solução ótima, então existe uma partição básica ótima.

Prova:(VANDERBEI, 1996).

Definição 3 Denomina-se estratégia simplex a seguinte perturbação da solução básica: esco-lha k∈ N, onde N é o conjunto de ´ındices de variáveis não básicas, tal que ck− yTak< 0; faça

x_k= ε ≥ 0, xj= 0, ∀ j ∈ N − k.

A estratégia simplex produz uma nova solução dada por (

x_B= x0_B+ εdB

x_N = εek

e o valor da func¸˜ao objetivo dado por:

f(x) = f (x0) + (ck− yTak)ε

onde dB= −B−1ake ek= (0, . . . , 1, . . . , 0)T ∈ Rm−n com 1 na k-´esima componente.

A direção d ∈ Rn, dada por d = (dB, dN)T = (dB, ek)T, define uma perturbação da

solução básica e é chamada direção simplex. Se a solução básica for não-degenerada, isto é, x0_B> 0, então d é uma direção fact´ıvel. Note ainda que o produto escalar entre d e o gradiente da função objetivo é cTd= c_k− yT_a

k< 0. Portanto d é uma direção de descida.

Da estrat´egia simplex, pode-se determinar o maior valor de ε, impondo xB≥ 0:

ε0= min ( −x 0 Be dBe |dBe< 0, i = 1, . . . , m )

(26)

onde x0_B_e ´e a e-´esima componente de x0_B, que sai da base.

Para uma melhor visualização sobre a organização dos conceitos acima, são descritos a seguir todos os passos necessários para a realização do método primal simplex, utilizado no presente trabalho. Há outros tipos de métodos simplex, como por exemplo primal-dual, Duas-fases e Big M.

M´etodo Primal-Simplex fase I

Encontre uma partição básica primal-fact´ıvel: A = (B, N). Faça PARE=FALSO, IT=0

(Será FALSO até que a condição de otimalidade seja verificada. IT indica o número da iteração.)

fase II

Enquanto N ˜AO PARE fac¸a:

• Determine a solução básica primal fact´ıvel: x_B= B−1b. • Teste de otimalidade:

Determine a solução básica dual: yT = cT_BB−1; Encontre x_kcom custo relativo: c_k− yT_a

k< 0.

Se ck− yTak≥ 0, ∀ k = 1, . . . , n − m, então a solução na iteração IT é ótima.

PARE=VERDADE. Sen˜ao:

• Determine a direção simplex: dB= −B−1ak, de mudança nos valores das variáveis básicas.

• Determine o passo: ε0_{= min}

−x 0 Be d_Be|dBe < 0, i = 1, . . . , m .

Se dB≥ 0, o problema não tem solução ótima finita. PARE=VERDADE.

Sen˜ao:

• Atualize a partição básica: aBl ↔ ak, IT ← IT + 1.

Fim enquanto.

Detalhes sobre a Fase I e determinação da variável que entra na base podem ser vistos em Luenberger D G; Ye (2008), Bazaraa M S; Jarvis (2009), Vanderbei (1996).

(27)

3.4.1 TABLEAU SIMPLEX

O tableau simplex é uma maneira de sistematizar os problemas de programação linear para sua resolução. Basicamente, o quadro (tableau) escrito por esta forma apresenta os coe-ficientes das variáveis de decisão e de folga em colunas e as restrições e função objetivo em linhas.

A seguir, é apresentado um problema modelado por Santos et al. (2014) para ilustrar o Método Simplex na Forma Tableau. Este modelo visa minimizar o custo da produção dos alimentos de um Restaurante Universitário de acordo com o cardápio diário e as necessidades nutricionais.

As variáveis de decisão representam as quantidades, em kilograma, que devem ser produzidas de x1: arroz, x2: feijão, x3: carne e x4: legumes. As restrições representam,

respec-tivamente, as quantidades diárias de carboidrato, energia(Kcal), prote´ına e ferro, que devem ser satisfeitas. O problema é então modelado como um PPL da seguinte forma.

Problema na forma padr˜ao

Max´ (−Q(x)) {−2, 3x1− 3, 4x2− 9, 5x3− 4, 6x4− 0x5− 0x6− 0x7− 0x8}

s.a. 1300x1+ 760x2+ 2100x3+ 273x4− x5= 1920000

26x1+ 48x2+ 320x3+ 20x4− x6= 78000

282x1+ 136x2+ 51x4− x7= 411600

x₁+ 130x2+ 26x3+ 4x4− x8= 21600

em que {x1, . . . , x4} as variáveis de decisão e {x5, . . . , x8} são variáveis de folga.

Escrevendo o problema na forma tableau, o quadro inicial tem a seguinte forma. Iden-tificamos então as variáveis básicas, ou seja, aquelas variáveis que constituem uma matriz iden-tidade; e colocamos estas variáveis na coluna referente à base. Inicialmente, as variáveis cor-respondentes à base são as variáveis de folga.

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b x5 -1300 -760 -2100 -273 1 0 0 0 -1920000 x6 -26 -48 -320 -20 0 1 0 0 -78000 x7 -282 -136 0 -51 0 0 1 0 -411600 x8 -1 -130 -26 -4 0 0 0 1 -21600 F.O. 2,3 3,4 9,5 4,6 0 0 0 0 Q(x)

(28)

Os coeficientes da função objetivo (FO) são exibidos na última linha. As linhas ante-riores representam as restrições e a primeira coluna apresenta as variáveis básicas. Observa-se que, ao apresentar o problema na forma tableau, as linhas referentes às restrições foram multi-plicadas por (−1), para que as variáveis de folga se tornassem positivas.

A seguir serão apresentadas as três iterações, necessárias para a obtenção da solução ótima, na forma tableau simplex do problema proposto.

1aIterac¸˜ao

Vari´avel que entra na base: x1 Vari´avel que sai da base: x8

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b x₅ 0 0,17×106 0,32×105 0,49×104 1 0 0 -0,13×104 0,26×108 x6 0 3332 356 84 0 1 0 -26 0,48×106 x7 0 36524 7332 1077 0 0 1 -0,28×103 0,57×107 x1 1 130 26 4 0 0 0 -1 21600 F.O. 0 -295,600 -50,300 -4,600 0 0 0 2,3 -50000

Esta solução ainda não é a ótima, pois temos elementos negativos na linha da função objetivo (F.O.).

2aIterac¸˜ao

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b x5 0 0 13724,777 685,655 1 -50,492 0 13 0,17×107 x2 0 1 0,107 0,025 0 0 0 -0,008 145,138 x7 0 0 3429,676 156,227 0 -10,962 1 3 0,38×106 x1 1 0 12,110 0,723 0 -0,039 0 0,014 2732,053 F.O. 0 0 -18,717 2,852 0 0,089 0 -0,007 -6777,191

(29)

3aIterac¸˜ao

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b x5 0 0 0 60,471 1 -6,626 -4 0,79 0,23×106 x2 0 1 0 0,020 0 0,001 0 -0,008 133,344 x3 0 0 1 0,046 0 -0,003 0 0,001 110,383 x1 1 0 0 0,171 0 0 -0,004 0,004 1395,266 F.O. 0 0 0 3,705 0 0,029 0,005 0,010 -4711,122

Como Min {Q(x)} equivale a M áx {−Q(x)}, logo , não há nenhum coeficiente ne-gativo na linha da função objetivo, ou seja, a solução ótima foi alcançada. Sendo o custo m´ınimo da produção de alimentos de acordo com o cardápio diário e necessidades nutricionais de 4.711,12 reais. A solução ótima sugere que sejam produzidos, diariamente, 1395,26 kg de arroz, 133,34 kg de feijão, 110,38 de carne e 0 kg de legumes.

3.4.2 SITUAC¸ ˜OES QUE PODEM OCORRER

Um problema de programação linear (PPL) não necessariamente admite uma solução ótima, as seguintes situações também podem ocorrer:

X Infinitas soluções ótimas; X Problema inviável; X Problema ilimitado;

No M´etodo Simplex, estes casos se manifestam em alguns problemas de c´alculo des-critos a seguir.

• Infinitas Soluc¸˜oes

Um problema possui infinitas soluções ótimas quando a reta que representa a função objetivo é paralela a uma das retas das restrições e seu ótimo se encontra exatamente sobre esta reta. No método simplex, esta situação é caracterizada pela presença de zeros além dos obtidos pelas variáveis básicas.

• Problema Invi´avel

O problema se torna inviável se atingirmos a solução ótima com as variáveis de folga diferentes de zero, ou seja, com os coeficientes da variável de folga da função objetivo diferentes

(30)

de zero, tornando o problema original um problema invi´avel. • Problema Ilimitado

O problema ilimitado acontece quando a solução pode ser melhorada, mas não há uma restrição que a limite. No método simplex, esta situação é caracterizada pela falta de opção para a variável que deve sair da base, sendo todos os coeficientes negativos.

3.5 DUALIDADE

Para cada problema de programação linear, chamado de primal, existe um outro asso-ciado, denominado dual. Uma vez resolvido um deles, o outro é imediato pelo fato dos dois possu´ırem a mesma solução ótima, porém, apresentam caracter´ısticas distintas. Segundo Lins e Calôba (2006) os estudos de dualidade possibilitam:

• A melhor compreensão estrutural dos problemas de programação linear.

• A interpretação econômica de alguns parâmetros, como o preço sombra e o custo de oportunidade.

• O desenvolvimento de aplicações utilizadas em pós-otimização, como o algoritmo dual-simplex.

• Problemas de Teoria dos Jogos de duas pessoas podem ser formulados por Programação Linear. Neste caso, as formulações primal e dual correspondem às óticas do primeiro e segundo jogador.

• A Análise Envoltória de Dados, cujas formulações primal e dual fornecem informações complementares sobre a fronteira de produção: os chamados trade offs e os benchmarks.

3.5.1 ESTUDO DE CASO: DUALIDADE PARA O PROBLEMA DA DIETA

Para exemplificar a seção anterior, apresenta-se um estudo de caso encontrado em Lins e Calôba (2006), o qual aborda a dualidade para o problema da dieta. Neste problema, cinco alimentos devem ser selecionados em determinada quantidade para garantir a oferta de calorias e vitaminas.

Neste problema, apresentam-se os seguintes elementos: Vari´avel de Decis˜ao: xj: quantidade do alimento j.

Elementos da Matriz A(ai j): quantidade do nutriente i por unidade do alimento j.

(31)

A formulação do PPL é a seguinte: M´ın 20x1+ 25x2+ 31x3+ 11x4+ 12x5 s.a. x1+ x3+ x4+ 2x5≥ 21 x2+ 2x3+ x4+ x5≥ 12 xj≥ 0, ∀ j.

Este PPL está na forma padrão no tableau a seguir, e tem como solução ótima a ex-pressão x1= 0, x2= 0, x3= 0, x4= 3, x5= 9, com custo de 141 unidades monetárias.

x1 x2 x3 x4 x5 b

Calorias 1 0 1 1 2 21

Vitaminas 0 1 2 1 1 12

Custo Unit´ario 20 25 31 11 12 Q(x)

Supõe-se, agora, que uma empresa farmacêutica decidiu lançar no mercado p´ılulas de calorias e vitaminas, contendo uma unidade de cada. Seu principal objetivo é conseguir competir com os alimentos 1 a 5 acima, ou seja, garantir que o indiv´ıduo posse se alimentar exclusivamente das p´ılulas e não gaste mais do que gastaria com a dieta aliment´ıcia.

O laboratório é uma empresa e, desta forma, visa o lucro máximo. Supondo que o indiv´ıduo se alimentará exclusivamente das p´ılulas para saciar sua necessidades diárias e que o preço da p´ılula de calorias é w1e o da p´ılula de vitaminas é w2, sua função objetivo será, então:

Max´ 21.w1+ 12w2

Visando sua permanência no mercado, o fabricante deverá garantir que suas p´ılulas custem menos que os alimentos, proporcionalmente à quantidade calórica e vitam´ınica de cada um. Assim, para o alimento 1, que contém apenas uma unidade de caloria, a restrição é:

1w1 ≤ 20 → restrições associada à variável x1

Para o alimento 2, que contém apenas uma unidade de vitamina, a restrição é: 1w2 ≤ 25 → restrições associada à variável x2

Para o alimento 3, que contém uma unidade de caloria e duas de vitamina, a restrição é:

(32)

Para os demais alimentos as restrições são:

1w1+ 1w2 ≤ 11 → restrições associada à variável x4

2w1+ 1w2 ≤ 12 → restrições associada à variável x5

Além disto, obviamente, os preços praticados serão positivos, logo w1, w2 ≥ 0. O

problema fica representado conforme modelo a seguir. Max´ 21.w1+ 12w2. s.a. 1w1 ≤ 20 1w2 ≤ 25 1w1+ 2w2 ≤ 31 1w1+ 1w2 ≤ 11 2w1+ 1w2 ≤ 12 w₁, w2≥ 0

A apresentação matricial do problema é disposta na Tabela 1.

Tabela 1: Dualidade para o Problema da Dieta

w1 w2 b Alimento 1 1 0 20 Alimento 2 0 1 25 Alimento 3 1 2 31 Alimento 4 1 1 11 Alimento 5 2 1 12 Receita Unit´aria 21 12 Q(w)

Colocando o problema na forma padr˜ao, tem-se o seguinte tableau. w1 w2 xa1 xa2 xa3 xa4 xa5 b Alimento 1 1 0 1 0 0 0 0 20 Alimento 2 0 1 0 1 0 0 0 25 Alimento 3 1 2 0 0 1 0 0 31 Alimento 4 1 1 0 0 0 1 0 11 Alimento 5 2 2 0 0 0 0 1 12 Receita Unit´aria -21 -12 0 0 0 0 0 Q(w)

(33)

A solução ótima deste PPL é w1= 1 e w2= 10, e a receita unitária será de 141 unidades

monet´arias, o mesmo valor encontrado no primal.

3.5.2 OBTENC¸ ˜AO DO DUAL A PARTIR DE SEU PPL PRIMAL

Serão repetidos os tableaus iniciais obtidos anteriormente, para exemplificar a obtenção do dual a partir de seu primal. As tabelas 2 e 3 representam, respectivamente, o problema da dieta primal e seu dual.

Tabela 2: Problema da Dieta: Primal Dieta Primal x1 x2 x3 x4 x5 b

Calorias 1 0 1 1 2 21

Vitaminas 0 1 2 1 1 12

Custo Unit´ario 20 25 31 11 12 Q(x)

Tabela 3: Problema da Dieta: Dual DIETA DUAL w1 w2 b Alimento 1 1 0 20 Alimento 2 0 1 25 Alimento 3 1 2 31 Alimento 4 1 1 11 Alimento 5 2 1 12 Receita Unit´aria 21 12 Q(w)

Pode-se retirar as seguintes relac¸˜oes entre o primal e o dual:

X Os termos constantes das restrições do dual são os coeficientes das variáveis da função objetivo do primal;

X Os coeficientes das variáveis da função objetivo do dual são os termos constantes das restrições do primal;

X O número de variáveis do dual é igual ao número de restrições do primal; X O número de restrições do dual é igual ao número de variáveis do primal;

X A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal; X As restrições do dual são do tipo maior ou igual, e as do primal são do tipo menor ou igual (estando o PPL na forma padrão), ou seja:

(34)

Primal Dual M´ın cT.x Max b´ T.w ou wT.b

A.x ≥ b AT.w ≤ c ou wT.A ≤ c

xj≥ 0 w≥ 0

Existem regras objetivas de obtenção do dual a partir do primal. Na continuidade será visto como, partindo de uma regra de formulação do dual com o primal na forma padrão, é poss´ıvel deduzir todas as demais regras de formulação, resumidos em quatro casos.

1oCaso: Restric¸˜oes com Sinal Maior ou Igual Neste caso, o primal e dual ficam da seguinte forma

P: M´ın cTx D: M ´ax wTb s.a. Ax≥ b s.a. wTA≤ c

x_j≥ 0 w≥ 0

2oCaso: Restrições com Sinal Menor ou Igual Neste caso, o problema é

P: M´ın cTx D: M ´ax wT.b s.a. Ax≤ b s.a. wT.A ≤ cT

x≥ 0 w≤ 0

3oCaso: Vari´aveis com Sinal Negativo Neste caso, o primal e dual s˜ao da forma

P: M´ın cTx D: M ´ax wTb s.a. Ax= b s.a. wTA≥ c

(35)

4oCaso: Vari´aveis Irrestritas em Sinal

Neste caso, o primal e dual s˜ao da forma a seguir P: M´ın cTx D: M ´ax wTb s.a. Ax= b s.a. wTA= cT xirrestrito wirrestrito

A seguir, é apresentado o Teorema Fundamental da Dualidade, o qual apresenta as relações entre as soluções dos problemas dual e primal.

3.5.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA DUALIDADE

O Teorema Fundamental da Dualidade resume as condições que podem ser encontra-das em um dual, dada a situação do problema primal.

• Primal com Solução Ótima: se o Primal tem solução ótima, o dual também terá solução ótima e finita.

• Primal com Solução Ilimitada: se o primal é ilimitado, o dual será inviável. • Primal com Solução Inviável: se o dual for ilimitado, o primal será inviável, lem-brando que os dois problemas poderão ser inviáveis.

3.5.4 INTERPRETAÇ ÃO ECON ÔMICA DO DUAL

A solução ótima da variável de decisão dual pode ser analisada economicamente como o impacto marginal da variação do elemento respectivo das constantes sobre a Função Obje-tivo. Para a interpretação econômica, é necessário definir os conceitos de preço-sombra e custo reduzido:

X Preço-sombra: Os preços-sombra equivalem à solução ótima do dual, onde as constantes das restrições são os coeficientes da função objetivo.

• Cada variável yi do dual está relacionada com a restrição i do problema primal. O

valor ótimo desta variável, yi∗ é justamente o preço-sombra do recurso i.

• O preço-sombra para cada recurso mede o valor marginal deste recurso em relação ao lucro total

(36)

reduzido, que significa:

• O total que o seu coeficiente na função objetivo deve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima, ou seja, se tornar básica;

• O quanto a função objetivo irá melhorar ou piorar para cada unidade que ela aumente ou diminua.

De acordo com a interpretação econômica, cada variável de folga do dual está rela-cionada a uma variável de decisão do primal. Se uma variável de decisão primal for positiva, o valor da variável do dual relacionada será zero, isto é, o custo reduzido será zero. O custo reduzido só se aplica nas variáveis que são nulas na solução ótima.

Se a primeira variável de folga fosse diferente de zero, logo a primeira variável de decisão do dual obrigatoriamente seria nula. Análogo, se ambas as variáveis de decisão do dual são diferentes de zero, então as variáveis de folga do primal são nulas. Com isso, conclui-se que para cada restrição primal ou variável de folga nula, ou a variável natural do dual correspondente é nula.

Analise-se agora as variáveis de decisão do primal maiores que zero, indicando que ambos os produtos estão sendo produzidos. Este fato implica nas variáveis de folga do dual nulas. Agora, se alguma das variáveis do dual fosse positiva, o produto correspondente não estaria sendo produzido, ou seja, a variável de decisão do primal correspondente teria valor nulo. Conclui-se que, para cada variável de decisão primal, ou esta variável é nula, ou a variável de folga correspondente do dual é nula.

3.5.5 O M ´ETODO SIMPLEX DUAL

O método simplex dual pode ser espelhado no método simplex. O método simplex atua em soluções básicas do problema primal que são viáveis primais, mas não viáveis duais. O objetivo, então, é obter uma solução ótima tentando também alcançar a viabilidade dual. Já o método simplex dual trabalha com soluções básicas no problema primal que são viáveis duais, porém, não viável primal.

As regras para o método simplex dual são muito parecidas com as do método simplex, a única diferença entre eles se encontra nos critérios usados para selecionar as variáveis básicas que entram e que saem e na interrupção do algoritmo (HILLIER; LIEBERMAN, 2006).

Algoritmo Dual-Simplex

(37)

primal (LINS; CAL ˆOBA, 2006).

1. Partir da 1asolução básica dual viável;

2. É poss´ıvel melhorar se existir b < 0. O valor mais negativo será a variável que sai da base. Fica determinada a linha pivô, r.

3. Para todas as variáveis não básicas, faz-se o teste da razão: M´ın |cj/ai j| sendo necessário

que ar j< 0, o PPL primal ´e invi´avel.

4. Continua-se até que todos os cj e bi sejam maiores que zero, garantindo que a solução do

problema ´e ´otima.

Uma aplicação importante do método simplex dual é a sua utilização na análise de sensibilidade. Este algoritmo também pode ser viável em solucionar problemas de programação linear de grandes dimensões a partir da estaca zero, pois ele também tem-se mostrado eficiente nesses casos.

3.6 AN ÁLISE DE SENSIBILIDADE OU P ÓS-OTIMIZAÇ ÃO

Uma ferramenta muito conhecida para lidar com incertezas nos parâmetros de um PPL é a Análise de Sensibilidade, também conhecida como Pós-Otimização. O termo sensibilidade transparece sobre a solução ótima, resultante de pequenas variações nos parâmetros da função objetivo e das restrições. O termo Pós-otimização indica que, após alcançar a solução ótima do PPL, queremos avaliar o impacto da alteração em algum parâmetro sobre esta solução. Ambas as terminologias representam o mesmo conjunto de técnicas, as quais utilizam fortemente a formulação matricial de PPLs (LINS; CAL ÔBA, 2006).

A motivação deste tipo de análise pode se dar devido às seguintes situações:

• No planejamento a longo prazo, por exemplo, verificar o quanto determinados parâmetros podem variar sem alterar a solução ótima encontrada;

• Novos requisitos, visando a melhor formulação do PPL, podem implicar em acréscimo de uma nova restrição e/ou variável, assim como alteração em parâmetros.

São apresentadas as alternativas de análise de pós-otimização dispon´ıveis em Lins e Calôba (2006):

Alterando o lado direito das restric¸˜oes(RHS)

Modificando-se o vetor b, equivalente ao lado direito das restrições, o vetor final de preços ficará alterado, visto que b∗= B−1b, no qual B é a base ótima.

(38)

Esta alteração também modificará a função objetivo, na qual é Q(x∗) = cT_BB−1b. Se aparecer um elemento negativo no vetor b∗, tornar-se-á essencial fazer uma nova iteração pelo método dual-simplex para alterar a base.

Deve-se também substituir o valor de bida restrição i que se deseja analisar por uma

incógnita k e descobrir o valor de k que iguala a b∗_i a zero, o limite para a nova iteração do dual-simplex.

Alterando os Coeficientes da Func¸˜ao Objetivo

Esta análise é feita em duas fases distintas: o parâmetro alterado pode ser relativo a uma variável que pertença ou não à sequência básica ótima.

Se os coeficientes alterado for de uma variável que não está na base, uma mudança de base pode decorrer da entrada da própria variável. Para verificar isto, deve-se calcular: cT_i − cT

B.B−1.Ai, lembrando que Aicorresponde `a i-´esima coluna da matriz A.

Por outro lado, se a variável que está na base for alterada, isto representa uma alteração em cT_B. Logo, todos os novos coeficientes da função objetivo deverão ser recalculados: ci−

cT_B.B−1Ai, exceto pra as vari´aveis b´asicas.

Alterac¸˜ao em Um elemento Ai j

Um coeficiente equivalente à contribuição unitária de uma variável para o lado es-querdo de uma restrição poderá ser reavaliado, o que acarretará em uma modificação do valor de um elemento Ai j. Lembrando que deve-se verificar se o elemento modificado pertence a uma

coluna de variável básica ou não básica.

Caso o elemento pertença a uma coluna de variável não básica, o procedimento é análogo ao anterior, recalculando-se os valores de cT_i . Porém, se o elemento Ai j modificado

estiver em uma coluna de variável básica, será essencial recalcular a inversa da base, logo, todo tableau final estará modificado.

Introdução de uma Restrição no Problema

Se for necessária a introdução de mais uma restrição, esta tem que ser acrescentada ao problema no tableau final, introduzindo também as variáveis de folga.

Caso as restrições adicionais sejam em forma de desigualdade, elementos de valor 1 ou -1 surgirão automaticamente nas colunas das variáveis de folga. Assim, o PPL poderá ser colocado na forma canônica, para isto, basta multiplicar por -1 as linhas novas que possuam elementos -1 na coluna das variáveis de folga e fazer operações de maneira que coloque o PPL

(39)

na forma canônica. Então, o dual-simplex poderá ser utilizado para resolver o problema. Se as restrições adicionais serem em forma de igualdade, o problema não conterá mais uma variável de folga e não estará na forma canônica. Portanto, aconselha-se a introdução de uma variável artificial de folga e a solução em duas fases do problema.

Inclus˜ao de uma Nova Vari´avel

Introduzindo uma nova variável no problema, por exemplo um novo processo de ma-nufatura, ou um novo produto a ser fabricado, tem que analisar se o mesmo processo ou pro-duto será utilizado. Para isto, calcula-se o coeficiente no tableau final da nova variável xi:

cT_i − cT

BB−1A.i. Se este valor for negativo, ser´a vantajoso colocar um novo produto/processo em

(40)

4 DESCRIC¸ ˜AO DO PROBLEMA

O problema motivador desse trabalho é uma aplicação da programação linear na produção de alimentos de um restaurante universitário, que visa minimizar o custo da produção de ali-mentos almejando maior lucro e, consequentemente, menor desperd´ıcio. Neste cap´ıtulo é apre-sentado o funcionamento do RU, seu espaço f´ısico, as tabelas nutricionais usadas na modela-gem matemática do problema, o fator de rendimento dos alimentos e uma análise do perfil dos usuários do restaurante no câmpus em estudo.

4.1 PROBLEMA DA PRODUÇ ÃO DE ALIMENTOS DE UM RESTAURANTE UNIVER-SIT ÁRIO

O restaurante universitário da UTFPR câmpus Cornélio Procópio, local de estudo e coleta de dados deste trabalho, é administrado por uma empresa terceirizada pela universidade. Trata-se de um restaurante de auto-serviço, com exceção à carne, que pode ser escolhida en-tre bisteca, frango ou uma carne ’do dia’, como opção. Os alimentos adotados como cardápio básico no problema abordado neste trabalho são arroz, feijão, frango e bisteca, pois são alimen-tos servidos diariamente no almoço e no jantar.

O problema, formulado como um PPL, tem por objetivo minimizar o custo da produção diária destes alimentos, de forma que atenda à demanda diária de refeições: em média, 733 usuários para o almoço e 607 usuários para o jantar, os dados foram coletados no restaurante durante os meses de Abril e Maio de 2014. Para o primeiro semestre de 2015, foi realizada uma nova coleta de dados obtendo em média, 778 usuários para o almoço e 654 usuários para o jantar nos meses de Março, Abril, Maio e Junho de 2015. Para fins de comparação, os meses de Abril e Maio de 2015 apresentam uma média de 781 usuários para o almoço e 641 usuários para jantar. O objetivo é comparar os resultados dos dados 2014/2015 e analisar o comportamento da produção de alimentos durante o semestre. Além da demanda, deve fornecer a quantidade m´ınima de nutrientes necessários aos usuários, que cada refeição deve satisfazer.

(41)

4.2 ESPAÇ O FÍSICO DO RESTAURANTE UNIVERSIT ÁRIO

O restaurante universitário é localizado no térreo da universidade, sendo de fácil acesso a todos que transitam pela instituição. Dispõe de um espaço f´ısico de aproximadamente 666, 89m2, com 67 mesas e 268 cadeiras suficientes para acomodar esse número de usuários fazendo suas refeições simultaneamente, como pode ser visto na Figura 2.

Figura 2: Restaurante Universit´ario. Fonte: Pr´oprio Autor

A Figura 3 mostra o servic¸o de auto-atendimento, self-service, que tem o custo de 3, 00 reais para alunos e servidores e 5, 00 reais para comunidade.

Figura 3: Servic¸o de Self Service Fonte: Pr´oprio Autor

(42)

O restaurante é aberto de segunda a sexta-feira, com horário de funcionamento para o almoço das 11 horas da manhã às 14 horas da tarde e o jantar das 17 horas e 30 minutos da tarde às 21 horas e 30 minutos da noite. Aos sábados o restaurante fornece apenas almoço, que possui o mesmo horário de funcionamento de segunda a sexta-feira. O serviço do restaurante é terceirizado; trabalham cerca de 30 funcionários entre cozinheiras, nutricionista, administrador, operados de caixa e faxineiras.

4.3 PERFIL DOS USU ´ARIOS

Ao modelar o problema da produção de alimentos de um restaurante universitário, um fator importante a ser considerado é a demanda, ou seja, quantas pessoas realizam suas refeições nesse local e qual o perfil desses usuários.

Considerando o fato de que se trata de um RU e que todos os alunos matriculados podem fazer suas refeições no restaurante, de acordo com o sistema acadêmico da UTFPR-CP de Abril e Maio de 2014, tem-se que 80,87% dos usuários são do sexo masculino; os demais, 19,13%, são do sexo feminino.

Novamente de acordo com o sistema acadêmico da UTFPR-CP de Março a Junho de 2015, tem-se que 81,5% dos usuários são do sexo masculino; os demais, 18,5%, são do sexo feminino.

Desta forma, os dados sobre os nutrientes inseridos no modelo são baseados em uma pessoa do sexo masculino, na faixa etária de 19 a 23 anos, o que constitui a grande maioria dos usuários.

4.4 INFORMAC¸ ˜OES NUTRICIONAIS

Os alimentos adotados como cardápio básico no problema abordado neste trabalho são arroz, feijão, frango e bisteca, pois são alimentos servidos diariamente no almoço e no jantar. Os dados referentes à quantidade de nutrientes por 100 gramas de alimento cozido foram extra´ıdos da NEPA-UNICAMP (2011).

A Tabela 4 exibe os valores referentes à energia, prote´ına, carboidrato e ferro. Estes nutrientes são os selecionados para serem inseridos nas restrições dos modelos, pois os alimen-tos servidos diariamente no RU são ricos em carboidrato (arroz), ferro (feijão), prote´ına (frango e bisteca) e energia (presente em todos os alimentos).

(43)

Tabela 4: Tabela de necessidades nutricionais com unidade de medida 100g Alimento Energia Prote´ına Carboidrato Ferro

Arroz 128 kcal 2,5g 28,1g 0,1mg Feij˜ao 76 kcal 4,8g 13,6g 1,3mg Frango G. 156 kcal 32g 0g 0,3mg Bisteca Su´ına 280 kcal 28,9g 0g 0,9mg

Fonte: [(NEPA-UNICAMP, 2011)]

Os valores da Tabela 4 são utilizados no cálculo dos coeficientes das variáveis de de-cisão que compõem a formulação das restrições do PPL.

4.5 FATOR DE RENDIMENTOS DOS ALIMENTOS

Foi considerado, no custo da produção de alimentos, o chamado fator de rendimento de cada alimento, de acordo com (ORNELLAS, 2007). Este fator de rendimento indica o quanto o alimento ganha ou perde, em peso, durante o seu processamento térmico (cozimento). O arroz e o feijão, por exemplo, tem seu peso aumentado após o cozimento, o que não acontece com as carnes. A Tabela 5 exibe o fator de rendimento dos alimentos considerados neste trabalho.

Tabela 5: Tabela de fator de Rendimento (Perda T´ermica) Alimento Fator de Rendimento

Arroz 2,5

Feij˜ao 3

Frango G. 0,6 Bisteca Su´ına 0,7

Fonte: (ORNELLAS, 2007)

O resultado esperado é a quantidade em quilogramas (kg) de arroz, feijão, frango e bisteca que deve ser produzida no almoço e no jantar com um custo m´ınimo, de forma que satisfaça a demanda e atenda às necessidades diárias de nutrientes.

(44)

5 RESULTADOS

São apresentadas a seguir quatro situações poss´ıveis que podem ocorrer durante as refeições no RU, modeladas como problemas de programação linear. O modelo 1 representa o almoço com opção de frango grelhado; o modelo 2 representa jantar com a opção de bisteca su´ına; o modelo 3, almoço com a opção de bisteca su´ına e, por fim, o modelo 4, jantar com a opção de frango grelhado.

5.1 MODELOS MATEM ´ATICOS DO PPL

Os modelos matemáticos possuem como variáveis de decisão x1, x2, x3e x4as quais

re-presentam, respectivamente, as quantidades em quilograma a serem produzidas de arroz, feijão, bisteca e frango. Como os usuários podem optar por frango ou bisteca, considera-se um dado já praticado pelo restaurante: a produção destes alimentos de forma que uma opção exclua a ou-tra. No trabalho de Santos et al. (2014) foi constru´ıdo um modelo único, representando ambas as refeições (almoço e jantar) com as variáveis representadas conjuntamente. Porém, como as variáveis são excludentes, e não binárias, este modelo não é realista e portanto não apresenta uma solução significativa.

5.1.1 FORMULAÇ ÃO MATEM ÁTICA DO PPL

As formulações matemáticas dos PPL’s apresentados a seguir foram obtidas da se-guinte maneira: na função objetivo, os coeficientes das variáveis de decisão x1, x2, x3 e x4,

os quais representam o preço dos alimentos, foram convertidos de quilograma(kg) para 100g, unidade usada na modelagem do problema. Além disso, o fator de rendimento foi aplicado nos coeficientes das variáveis de decisão, pois o objetivo é minimizar o custo da produção dos ali-mentos já preparados. No conjunto de restrições, supomos uma porção média, de acordo com o perfil dos usuários, de 200g de arroz, 100g de feijão, 100g de frango grelhado ou 100g de bisteca su´ına. Dessa forma, os coeficientes das variáveis de decisão nas restrições são obtidos a partir dos valores da Tabela 6, multiplicados pelos valores da porção média considerada. As