Métodos matemáticos para o problema de acústica linear estocástica

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FABIO ANTONIO ARAUJO DE CAMPOS

MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA O PROBLEMA DE

ACÚSTICA LINEAR ESTOCÁSTICA

CAMPINAS 2015

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Campos, Fabio Antonio Araujo de,

C157m CamMétodos matemáticos para o problema de acústica linear estocástica / Fabio Antonio Araujo de Campos. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

CamOrientador: Maria Cristina de Castro Cunha.

CamTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Cam1. Equações diferenciais estocásticas. 2. Galerkin, Métodos de. 3. Cópulas (Estatística matemática). I. Cunha, Maria Cristina de Castro,1945-. II.

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Mathematical methods to the problem of stochastic linear acoustic Palavras-chave em inglês:

Stochastic differential equations Galerkin methods

Copulas (Mathematical statistics)

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Maria Cristina de Castro Cunha [Orientador] Lúcio Tunes dos Santos

Eduardo Cardoso de Abreu Fábio Antonio Dorini

Saulo Pomponet Oliveira

Data de defesa: 24-02-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Abstract

On the present work we study the system of stochastic differential equations ob-tained from the linearization of the propagation model of acoustic waves. More specifically we analyze methods for the solution of the system of differential equations used in the linear acoustics,

       ∂ ∂tq(x, t) + A ∂ ∂xq(x, t) = 0; x ∈ R, t > 0, q(x, 0) = q0(x), x ∈ R,

where A ∈ R2×2 _{is a matrix with random data and q}

0(x) is a vector of random

functions defining initial conditions. We analyze methods to find the random vector q(x, t), set at x and t. In addition to the traditional Monte Carlo Method we apply the Variable Transformations of Random Method and the Galerkin Stochastic Method. We present results obtained using different probability distributions of problem data. We also compared the methods through the distribution of probabilities and statistical moments of the solution.

Keywords: Stochastic Differential Equations, Stochastic Galerkin, Statistics Copulas.

Resumo

Neste trabalho estudamos o sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas obtido na lineariza¸cão do modelo de propaga¸cão de ondas acústicas. Mais especifica-mente, analisamos métodos para solu¸cão do sistema de equa¸cões diferenciais

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usado na ac´ustica linear,        ∂ ∂tq(x, t) + A ∂ ∂xq(x, t) = 0; x ∈ R, t > 0, q(x, 0) = q0(x), x ∈ R,

onde A ∈ R2×2 _´_{e uma matriz com dados aleat´}_{orios e q}

0(x) ´e um vetor de

fun¸cões aleatórias que define as condi¸cões iniciais. Analisamos métodos para encontrar o vetor aleatório q(x, t), fixados x e t. Além do tradicional Método de Monte Carlo aplicamos o Método de Transforma¸cões de Variáveis Aleatórias e o Método de Galerkin Estocástico. Apresentamos resultados obtidos usando diferentes distribui¸cões de probabilidades dos dados do problema. Também comparamos os métodos através da distribui¸cão de probabilidades e momentos estat´ısticos da solu¸cão.

Palavras-chave: Equa¸cões Diferenciais Estocásticas, Galerkin Estocástico, Cópulas Estat´ısticas.

(9)

Sum´

ario

Sum´ario viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Vari´aveis Aleat´orias . . . 5

1.2 Esperen¸ca e Momentos . . . 7

1.3 Vetores Aleat´orios . . . 8

1.4 Processos Estoc´asticos . . . 9

1.5 Polinˆomios de Caos generalizado . . . 9

1.6 M´etodo de Galerkin Estoc´astico . . . 12

1.7 Simula¸c˜ao de Monte Carlo . . . 14

2 Uma abordagem usando Transformada de Variáveis Aleatórias 17 2.1 Problema de Acústica Linear . . . 17

2.2 Solu¸c˜ao do sistema determin´ıstico . . . 19

2.3 Transforma¸cão de Variáveis Aleatórias . . . 22

2.4 Distribui¸c˜ao acumulada de probabilidades dos autovalores . . . 24

2.5 Solu¸c˜ao do problema transformado . . . 29

2.6 C´opulas . . . 33

2.6.1 Densidade de C´opulas . . . 36

2.6.2 Independˆencia . . . 37

2.6.3 Obtendo o τ de Kendall . . . 38

2.6.4 Parˆametro de dependˆencia . . . 38

(10)

2.6.6 C´opulas Arquimedianas Multivariadas . . . 40

2.7 Uma aplica¸c˜ao de c´opulas . . . 42

2.8 Experimentos Matem´aticos . . . 43

3 O método de Galerkin para resolver a equa¸cão de transporte estocástica 57 3.1 Formula¸cão Estocástica do Sistema . . . 58

3.2 Aplicando o m´etodo de Galerkin Estoc´astico . . . 58

3.3 Experimento Matem´atico . . . 61

4 O Método de Galerkin aplicado ao problema de Acústica linear 65 4.1 Formula¸cão estocástica do sistema . . . 66

4.2 M´etodo de Galerkin Estoc´astico . . . 67

4.2.1 Solu¸c˜ao do sistema determin´ıstico . . . 69

4.3 Experimentos Num´ericos . . . 71

Conclus˜ao 79

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Agradecimentos

`

A Deus, por sempre estar em minha vida, guiando-me no caminho certo. `

A minha querida M˜ae, in memorian, que sonhou este sonho comigo.

Ao Professor Aur´elio Ribeiro Leite pelo apoio e orienta¸c˜ao enquanto aluno de doutorado da Unicamp.

`

A professora Maria Cristina de Castro Cunha, que com compreens˜ao, dedica¸c˜ao e boa vontade aceitou orientar-me neste projeto.

`

A minha fam´ılia, amigos e a Renata pela compreens˜ao nas minhas ausˆencias, apoio e est´ımulo.

Aos meus amigos do doutorado da Unicamp e aos grandes amigos que ganhei na rep´ u-blica Rep. Hostel , pelas discuss˜oes e convivˆencia que me ajudaram muito nesta jornada.

(12)

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Atualmente há um interesse crescente em estudar métodos numéricos eficientes para resolver equa¸cões diferenciais com dados aleatórios. Em geral incertezas aparecem nas condi¸cões iniciais, condi¸cões de contorno ou nos coeficientes do problema e podem ser melhor modeladas quando estes dados são considerados como dados estat´ısticos usando variáveis aleatórias e/ou processos estocásticos.

Durante as últimas décadas (principalmente à partir da segunda guerra mundial) meto-dologias têm sido desenvolvidas para solucionar equa¸cões diferenciais com dados aleatórios. Aliadas às crescentes possibilidades computacionais, algumas abordagens procuram adap-tar métodos utilizados nos tradicionais modelos determin´ısticos como uma forma de resolver problemas estocásticos. Em particular, mais recentemente os métodos baseados em polinˆ o-mios do caos (PC) tem se destacado. A teoria dos polinômios do caos foi desenvolvida inicialmente por R. Ghanem, em [5], inspirada por expansões de polinômios do caos de Wiener, que empregou polinômios de Hermite como uma base ortonormal para representar processos aleatórios, ver [18]. Esta aproxima¸cão foi estendida para polinômios do caos ge-neralizados (gPC) onde os polinômios ortogonais gerais são adotados para a representa¸cão de processos aleatórios mais gerais [21]. Posteriormente, os gPC foram utilizados para aproximar solu¸cões estocásticas das equa¸cões diferenciais com dados incertos. Umas destas técnicas é o método de Galerkin Estocástico. A partir da escolha da base ortogonal gPC, estendemos o método de Galerkin clássico projetando a solu¸cão estocástica sobre o espa¸co gerado pelos gPC. O método de Galerkin Estocástico é usado para transformar equa¸cão estocástica em um sistema de equa¸cões determin´ısticas, ver [20], [19] e [22].

As equa¸cões da acústica linear são modelos para a propaga¸cão de ondas sonoras. Uma onda acústica é um pequeno distúrbio de pressão que se propaga pelo gás comprimido, cau-sando mudan¸cas infinitesimais na densidade e pressão do gás via pequenas movimenta¸cões

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deste, com valores infinitesimais de velocidade u. As equa¸cões matemáticas que represen-tam o processo f´ısico são estabelecidas aplicando principios conservativos tradicionais, veja [9], por exemplo.

O modelo determin´ıstico adotado neste trabalho é representado pelo sistema de equa-¸cões diferenciais parciais envolvendo a pressão, p(x, t), e a velocidade, u(x, t):

       qt+ Adqx= 0, t > 0, x ∈ R, q(x, 0) = q0(x), x ∈ R, (1) onde q(x, t) = " p(x, t) u(x, t) # , Ad= " 0 K0 1/ρ0 0 # . (2)

Estas equa¸cões provêm da forma conservativa associada a uma lei de conserva¸cão, após uma lineariza¸cão da fun¸cão fluxo no contexto da acústica. Para que o problema seja matematicamente bem posto adimite-se conhecida a condi¸cão inicial q0(x) = q(x, 0). Sob

estas hipóteses o problema é bem posto, isto é, têm uma única solu¸cão e ela depende continuamente dos dados.

Na matriz Ad aparecem ρ0, a densidade do meio, e K0 representa o parˆametro

ado-tado na equa¸cão de estado, a compressibilidade do gás. A incerteza nos parâmetros da matriz surge na lineariza¸cão das leis de conserva¸cão em um ponto incerto da matriz porosa do problema que dá origem ao sistema, no Cápitulo 2 justificaremos este pensamento. A consequência de se considerar aleatoriedade nos dados é um modelo formado por equa¸cões diferenciais estocásticas denominado sistemas estocásticos por alguns autores. Neste tra-balho denotaremos o problema estocástico através de suas realiza¸cões, associadas à variável ω ∈ Ω        qt(x, t; ω) + A(ω)qx = 0, t > 0, x ∈ R ω ∈ Ω, q(x, 0; ω) = q0(x; ω), x ∈ R, ω ∈ Ω. (3) onde

(15)

q(x, t; ω) = " p(x, t; ω) u(x, t; ω) # e A(ω) = " 0 K0(ω) 1/ρ0(ω) 0 # , (4)

isto ´e, a matriz A(ω) representa os dados do problema com densidade ρ0(ω) e

compres-sibilidade do gás K0(ω). A condi¸cão inicial do problema será o vetor de fun¸cões aleatórias,

q0(x; ω) = " p0(x; ω) u0(x; ω) # , (5)

que representa a pressão e a velocidade do gás no instante t = 0. Supomos que as dis-tribui¸cões de probabilidade dos dados são conhecidas. Trata-se portanto de um sistema acoplado cuja matriz possui variáveis aleatórias como elementos. Para resolver problemas como (3)-(5), alguns pesquisadores utilizam a teoria de matrizes aleatórias que foi desen-volvida inicialmente em meados de 1950 por Wigner [11]. Nossa proposta é tratar este problema através de outros métodos.

No Cap´ıtulo 2, tratamos o problema estocástico (3)-(5), usamos o Método de Transfor-ma¸cão de Variáveis para desacoplar o sistema e depois utilizamos a ferramenta estat´ıstica chamada Cópula Estat´ıstica para acoplar novamente estas variáveis e assim obter a PDF, Probability Density Function; do problema original. Realizamos alguns experimentos nu-méricos comparando os resultados do método descrito neste cap´ıtulo com o método de Monte Carlo.

No Cap´ıtulo 3, apresentamos o método de Galerkin estocástico aplicado a uma equa¸cão linear de transporte estocástica, com condi¸cões inicias representadas por processos estoc´ as-ticos. Apresentamos alguns passos e considera¸cões necessárias quando tratamos problemas desse tipo usando Galerkin baseado em Polinômios do Caos Generalizados (gPC). Rea-lizamos alguns experimentos numéricos comparando as PDFs do Método de Galerkin com o Método de Monte Carlo.

No Cap´ıtulo 4, usamos novamente o Método de Galerkin estocástico, porém agora para tratar o problema de acústica linear. Utilizamos um método numérico de diferen¸cas finitas para resolver o sistema de equa¸cões diferenciais determin´ısticas que surge quando eliminamos as variáveis aleatórias do problema. Realizamos alguns experimentos numéricos comparando os resultados do método descrito no cap´ıtulo com o Método de Monte Carlo.

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(17)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar algumas defini¸cões e resultados que serão pr´ e-requisitos no nosso trabalho. Este pequeno resumo pode ser encontrado em livros básicos como em [14] e [17] por exemplo. A compila¸cão será útil para compreensão do que será apresentado posteriormente.

1.1 Vari´

aveis Aleat´

orias

Seja Ω um espa¸co abstrato contendo os poss´ıveis resultados experimentais, denotados por ω. Uma variável aleatória X é uma fun¸cão de valores reais definida em Ω.

Uma cole¸cão de subconjuntos de Ω formam uma σ-álgebra F , se F contêm cada e-lemento de Ω, o próprio Ω, seu complementar, ∅, além de conter as uniões, diferen¸cas e interse¸cões de elemento de F . Os elementos de F são chamados eventos.

Consideraremos apenas os eventos da forma {ω : X(ω) = c}, {ω : a < X(ω) < b}, {ω : b < X(ω)} e {ω : X(ω) ≤ a}.

O conceito de probabilidade é usado para medir a frequência da ocorrência de eventos. Por exemplo, quando jogamos uma moeda, atribu´ımos 0.5 para ambos os eventos cara e coroa, isto é, P ({ω : X(ω) = 0}) = P {ω : X(ω) = 1} = 0.5. Para A, B ∈ F , algumas propriedades elementares de probabilidade são resumidas:

(18)

assim se A e B s˜ao disjuntos,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B). (1.2)

Tamb´em,

0 ≤ P (A) ≤ 1, P (Ac) = 1 − P (A), P (Ω) = 1 e P (∅) = 0. (1.3) Defini¸cão 1.1. Um espa¸co de probabilidade é uma tripla (Ω,F ,P) onde Ω é um espa¸co enumerável de eventos, F ⊂ 2ω _´_{e uma σ-´}_{algebra de Ω, e P ´}_{e uma medida de probabilidade}

tal que: 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ∈ F . 2. P (Ω) = 1. 3. Para A1, A2, · · · ∈ F e Ai∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, P (∪∞_i=1Ai) = ∞ X i=1 P (Ai). (1.4)

Defini¸cão 1.2. A Fun¸cão Distribui¸cão Acumulada da variável aleatória X é definida por

FX(x) = P (X ≤ x) = P ({ω : X(ω) ≤ x}), x ∈ R.

A probabilidade de X pertencer a um intervalo (a, b] ´e dada por

P ({ω : a < X(ω) ≤ b}) = FX(b) − FX(a), a < b, (1.5)

e tamb´em

P (X = x) = FX(x) − lim

→0FX(x − ). (1.6)

Defini¸cão 1.3. A Fun¸cão Densidade de X é a derivada da fun¸cão distribui¸cão acumulada desta variável:

fX(x) = dFX(x) dx . (1.7) Observe que Fx(x) = Z x −∞ fX(y)dy e Z ∞ −∞ fX(y)dy = 1. (1.8)

(19)

1.2 Esperen¸

ca e Momentos

Além da fun¸cão distribui¸cão acumulada e da fun¸cão densidade usa-se na caracteriza¸cão de uma variável aleatória X seus momentos estat´ısticos. A esperan¸ca ou média de uma variável aleatória X com densidade fX é

µX = E[X] =

Z ∞

−∞

xfX(x)dx. (1.9)

A variˆancia de X ´e definida por

σ2_X = var(X) = Z ∞

−∞

(x − µX)2fX(x)dx. (1.10)

O desvio padrão σX, descreve a dispersão da variável aleatória X em torno da média µX.

E podemos mostrar que

σ_X2 _{= E[(X − µ}X)2] = E[X2] − µ2X. (1.11)

O m-´_{esimo momento de X (m ∈ N) ´e}

E[Xm] = Z ∞

−∞

xmfX(x)dx. (1.12)

Estas defini¸cões podem ser estendidas para uma fun¸cão real de variáveis aleatórias. Assim, a esperan¸ca de g(X) é

E[g(X)] = Z ∞

−∞

g(X)fX(x)dx. (1.13)

A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é a medida de como duas variáveis aleatórias variam conjuntamente (em um mesmo espa¸co de medida)

cov(X, Y ) = E[(X − µX)(Y − µY)], (1.14)

(20)

1.3 Vetores Aleat´

orios

Dizemos que X = (X1, · · · , Xn) ´e um vetor aleat´orio n-dimensional se suas

componen-tes X1, X2, · · · , Xn, são variáveis aleatórias. Portanto, como uma extensão da defini¸cão

determin´ıstica, um vetor aleatório é uma n-upla de variáveis aleatórias.

Defini¸c˜ao 1.4. A cole¸c˜ao de probabilidades

FX(x) = P (X1 ≤ x1, · · · , Xn≤ xn), x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn, (1.15)

´

e a fun¸cão distribui¸cão acumulada do vetor X. Esta fun¸cão também é chamada de distri-bui¸cão acumulada conjunta das variáveis X1, X2, · · · , Xn e podemos escrever

FX(x1, . . . , xn) = Z x1 −∞ · · · Z xn −∞ fX(y1, . . . , yn)dy1· · · dyn, (1.16)

onde a fun¸c˜ao densidade satisfaz

fX(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn, (1.17) e Z ∞ −∞ · · · Z ∞ −∞ fX(y1, . . . , yn)dy1· · · dyn= 1.

Se um vetor X tem densidade fX, ent˜ao todas as suas componentes Xi, os vetores (Xi, Xj),

triplas (Xi, Xj, Xk) e etc, possuem fun¸c˜oes de densidade, chamadas densidades marginais.

Por exemplo fXi(xi) = Z ∞ −∞ · · · Z ∞ −∞

fX(y1, · · · , yn)dy1· · · dyi−1dyi+1· · · dyn. (1.18)

Podemos estender as no¸cões de esperan¸ca, variância e covariância a vetores aleatórios. A esperan¸ca do vetor X é dada por

(21)

A matriz covariˆancia de X ´e definida por

CX = (cov(Xi, Xj)ni,j=1), (1.20)

onde

cov(Xi, Xj) = E[(Xi− µXi)(Xj − µXj)] = E[XiXj] − µXiµXj, (1.21)

´

e a covariˆancia de Xi e Xj. Note que cov(Xi, Xi) = σ2Xi.

1.4 Processos Estoc´

asticos

Um processo estocástico é uma cole¸cão de variáveis aleatórias

(Xt, t ∈ T ) = (Xt(ω) ∈ R, t ∈ T, ω ∈ Ω), (1.22)

definidas em algum espa¸co Ω. Aqui t é o ´ındice da variável aleatória X. Assim, podemos considerar um processo estocástico como uma fun¸cão real das variáveis t e ω. Para cada t ∈ T , Xté uma variável aleatória e para cada ω ∈ Ω, Xt(ω) é uma fun¸cão real na variável

t.

Se o conjunto de ´ındices T é um intervalo, então X é um processo cont´ınuo. Se T é um conjunto finito ou infinito enumerável, então X é um processo discreto.

Na prática não trabalhamos com um processo estocástico cont´ınuo (Xt, t ∈ T ).

Utiliza-mos o que é chamado de redu¸cão de dimensão, uma discretiza¸cão do intervalo de ´ındices. Assim, em geral parametrizamos o processo estocástico cont´ınuo (Xt, t ∈ T ) por um

con-junto finito de vari´aveis aleat´orias Z = (Z1, · · · , Zn) mutuamente independentes tal que

R(Z) ≈ Xt, onde R é uma transforma¸cão adequada, veja [20] página 44.

1.5 Polinˆ

omios de Caos generalizado

Nesta subse¸cão apresentamos os aspectos gerais dos gPC (Generalized Polynomial Chaos) e a teoria de expansão usando gPC, que é análoga à teoria da aproxima¸cão de fun¸cões por polinômios ortogonais.

(22)

momentos finitos

E|Z|2m = Z

|z|2mdFZ(z) < ∞, m = 0, 1, · · · , n. (1.23)

Definimos uma base de fun¸c˜oes gPC, {Φj(Z)}_0≤j≤n, como um conjunto de fun¸c˜oes

polinomiais definidas sobre Z, tais que

E [Φi(Z)Φj(Z)] = γjδij, i, j = 0, 1, · · · , n, (1.24)

onde

γj = EΦ2j(Z) , j = 0, 1, · · · , n, (1.25)

são constantes de normaliza¸cão e δij é o delta de Kronecker.

Quando Z ´e uma vari´avel cont´ınua com PDF, fZ(z), temos que dFZ(z) = fZ(z)dz e

podemos reescrever a condi¸c˜ao de ortogonalidade (1.24) da forma

E [Φi(Z)Φj(Z)] =

Z

Φi(z)Φj(z)fZ(z)dz = γjδij, i, j = 0, 1, · · · , n. (1.26)

Denotamos por L2

dFZ(IZ) = {f : IZ → R| E [f

2_{] < ∞} o espa¸co de todas as fun¸c˜}_{oes de}

variáveis aleatórias de quadrado integrável em IZ com norma ||f ||L2

dFZ, onde IZ ´e o suporte

compacto da vari´avel Z. Temos que L2_dF_Z(IZ) ´e um espa¸co de Hilbert. Neste espa¸co,

tomemos o subespa¸co gerado pela base de fun¸c˜oes gPC,

Pn(Z) = span {Φk(Z), k = 0, 1, . . . , n} , (1.27)

com dim (Pn(Z)) = n + 1. Dado g ∈ L2dFZ, definimos a proje¸c˜ao ortogonal de n-´esimo grau

de g sobre Pn(Z), Png = n X k=0 ˆ gkΦk(Z), onde ˆgk = 1 γkE[g(Z)Φ k(Z)]. (1.28)

A convergência da proje¸cão segue diretamente da teoria clássica de aproxima¸cão, i.e.,

lim

n→∞kg − PngkL 2

(23)

Podemos estender as defini¸c˜oes acima para um vetor aleat´orio Z = (Z1, . . . , Zd), com

componentes mutuamente independentes e fun¸c˜ao distribui¸c˜ao acumulada FZ(z1, . . . , zd) =

P (Z1 ≤ z1, . . . , Zd≤ zd), conforme foi feito em [20] p´aginas 64-66.

Como exemplo de gPC apresentamos os polinômios que usam alguns modelos de distri-bui¸cões de probabilidade. Uma classe importante é formada pelos gPC de Hermite defini-dos na variável Gaussiana padrão Z ∼ N (0, 1). Como a PDF de uma variável Gaussiana padrão é fZ(z) = 1 √ 2πe −z2_/2 , (1.30)

a constru¸cão dos polinômios de Hermite, {Hk(Z)}_k∈N, obedece a rela¸cão de ortogonalidade

(1.26), veja [20]

E[Hi(Z)Hj(Z)] =

Z ∞

−∞

Hi(z)Hj(z)fZ(z)dz = j!δij. (1.31)

Desta forma, o conjunto {Hk(Z)}_k∈N forma uma base de fun¸c˜oes gPC que denomina-se

gPC de Hermite. Pode-se verificar que

H0(Z) = 1, H1(Z) = Z, H2(Z) = Z2− 1, H3(Z) = Z3− 3Z, . . . (1.32)

que podem ser obtidos pela f´ormula de recorrˆencia, semelhante ao caso determin´ıstico,

Hn+1(Z) = ZHn(Z) − nHn−1(Z). (1.33)

Outro exemplo de gPC é o conjunto dos polinômios de Legendre [20]. Seja Z ∼ U (−1, 1) uma variável aleatória uniformemente distribuida no intervalo [−1, 1]. Sua PDF é uma constante

fZ(z) = 1/2, |z| < 1.

Os primeiros pplinˆomios de Legendre s˜ao

L0(Z) = 1, L1(Z) = Z, L2(Z) =

3 2Z

2₋ 1

(24)

com a rela¸c˜ao de recorrˆencia Ln+1(Z) = 2n + 1 n + 1 ZLn(Z) − n n + 1Ln−1(Z), n > 0. (1.34)

1.6 M´

etodo de Galerkin Estoc´

astico

Muitos dos métodos numéricos usados nas equa¸cões diferenciais estocásticas são apoia-dos e/ou inspiraapoia-dos nos métodos já bem conhecidos e desenvolvidos para equa¸cões diferen-ciais determin´ısticas. Neste último caso, Diferen¸cas Finitas, têm como base a discretiza¸cão de derivadas; no caso de equa¸cões de transporte, a derivada deve ser discretizada tomando a formula¸cão conservativa. As dificuldades das extensões do conceito de derivada ao caso es-tocástico têm sido estudadas mais recentemente por meio de metodologias mais avan¸cadas, como a Teoria da Medida [4] e Integrais de Itô [13].

Outros métodos determin´ısticos bastante difundidos têm como base proje¸cões em espa-¸cos de fun¸cões com dimensão finita, como por exemplo o Método de Galerkin. No caso de espa¸cos gerados por polinômios definidos por partes, os métodos ficaram conhecidos por Elementos Finitos. Como veremos a seguir, a adapta¸cão determin´ıstica-estocástica é natu-ral e segue a linha de outra ideia básica da Matemática, a separa¸cão de variáveis, supondo que o modelo diferencial proposto admite tal separa¸cão de variáveis. Neste caso, as vari´ a-veis responsáveis pela estocacidade são isoladas usando espa¸cos de polinômios estocásticos. Vamos introduzir a ideia através de um sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas. Seja o dom´ınio D ⊂ Rn_{, n = 1, 2, 3, T > 0 e Z ∈ R tal que F}

Z(z) = P (Z ≤ z), um conjunto

de variáveis aleatórias mutuamente independentes caracterizadas por entradas aleatórias do problema. Considere o sistema

                 ut = L(u), (x, t; Z) ∈ D × (0, T ] × R, B(u) = 0, _{(x, t; Z) ∈ ∂D × [0, T ] × R,} u = u0, (x, t; Z) ∈ D × {t = 0} × R, (1.35)

(25)

inicial. Denotamos a solu¸c˜ao de (1.35) por

u(x, t; Z) : D × [0, T ] × R → R. (1.36)

Seja {Φk(Z)} fun¸c˜oes base gPC satisfazendo

E[Φi(Z)Φj(Z)] = δijγi, (1.37)

e PN(Z) o espa¸co de todos os polinˆomios de grau menor ou igual a N . Seguindo as ideias

das séries de Fourier, a proje¸cão gPC de u(x, t; Z) é, fixado (x, t),

uN(x, t; Z) = N X i=0 ˆ ui(x, t)Φi(Z), onde uˆi(x, t) = 1 γiE[u(x, t; Z)Φ i(Z)]. (1.38)

Embora essa seja uma aproxima¸c˜_{ao em P}N, ela n˜ao pode ser utilizada na pr´atica pois

requer conhecimento prévio da fun¸cão u. O procedimento de Galerkin estocástico é uma extensão direta do método de Galerkin para equa¸cões determin´ısticas. Ou seja, buscamos a solu¸c˜_{ao em P}N tal que o res´ıduo de (1.38) é ortogonal a PN. A ortogonalidade aqui está

associada ao produto interno (1.37).

Utilizando bases ortogonais gPC em (1.35), obtemos o seguinte procedimento: para x e t, buscamos uN ∈ PN na forma de uN(x, t; Z) = N X i=0 ˆ ui(x, t)Φi(Z), (1.39) para todo k ≤ N ,                  E[ut(x, t; Z)Φk(Z)] = E[L(uN)φk(Z)], D × (0, T ], E[B (uN) Φk(Z)] = 0, ∂D × [0, T ], ˆ uk= ˆu0,k, D × {t = 0}, (1.40)

(26)

onde û0,k = E[u0Φk]/γk são os coeficientes da proje¸cão gPC para a condi¸cão inicial. Tendo

em vista a linearidade da expansão (1.39) e a integra¸cão em Z que define a esperan¸ca, temos que no sistema (1.40) a variável Z desaparece, isto é, o resultado é um sistema de equa¸cões determin´ısticas. Apresentamos os detalhes dos cálculos que aparecem em (1.40) nos exemplos dos Cap´ıtulos 3 e 4.

1.7 Simula¸

c˜

ao de Monte Carlo

A simula¸cão de Monte Carlo ou Monte Carlo sampling (MCS) é um método de simu-la¸cão estat´ıstica que foi popularizado pelos f´ısicos de Los Alamos National Laboratory nos Estados Unidos em meados de 1940. A ideia básica é repetir experimentos determin´ısti-cos, resolvê-los e a partir destes resultados obter caracter´ısticas estat´ısticas do problema estocástico original. No caso em estudo, o procedimento para aplicar o Método de Monte Carlo para (3)-(5) é:

1. Gerar dados aleatórios independentes Z(i) = (ρ(i)₀ , K₀(i), q₀(i)), i = 1, · · · , M , respei-tando a distribui¸cões de probabilidade dos dados aleatórios. Admite-se que a estru-tura de dependência entre ρ0, K0 e q0 é conhecida.

2. Para cada i = 1, · · · , M , resolvemos a equa¸c˜ao principal e obtemos a solu¸c˜ao u(i)(t) = u(t, Z(i)_).

3. Estimar a solu¸cão estocástica desejada. Por exemplo, a média da solu¸cão pode ser estimada por u(t) = 1 M M X i=1

u(t, Z(i)_{) ≈ E[u].} (1.41)

Outras estimativas da solu¸cão estocástica podem ser estimadas usando o conjunto de solu¸cões u(i)_{. O passo 2 envolve repetitivas simula¸cões da solu¸cão do problema}

deter-min´ıstico associado às várias realiza¸cões dos dados aleatórios do problema. A estimativa de erro segue do Teorema Central do Limite. Uma vez que, para cada t, u(t, Z(i)) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas, a fun¸cão distribui¸cão acu-mulada de u(t) converge, no limite de M → ∞, para a distribui¸cão acumulada gaussiana

(27)

N (E[u](t), σ2

u(t)/M ), cujo desvio padr˜ao ´e M −1/2_σ

u(t), onde σu ´e o desvio padr˜ao da

solu-¸cão exata [20]. Assim o conceito adotado é que o erro da razão de convergência do MCS é inversamente proporcional a ra´ız quadrada do número de realiza¸cões.

O MCS pode ser facilmente estendido para sistemas de equa¸cões diferenciais como (1.40) que é abordado nesse trabalho. Observe que caso não seja poss´ıvel obter a solu¸cão anal´ıtica para o problema determin´ıstico, devemos recorrer a métodos numéricos adequados para evitar acumula¸cão de mais erros, uma vez que O(M−1/2) é relativamente lento. De uma maneira geral, a cada d´ıgito acrescentado à precisão da solu¸cão, são necessárias 100 simula¸cões o que, aumenta expressivamente o esfor¸co computacional. Para sistemas grandes e complexos onde a solu¸cão de uma única realiza¸cão determin´ıstica consome muito tempo, isso torna-se um desafio numérico. Por outro lado, uma vantagem do MCS está no fato da razão de convergência, ser independente do número de entradas aleatórias.

(28)

(29)

Cap´ıtulo 2

Uma abordagem usando

Transformada de Vari´

aveis Aleat´

orias

2.1 Problema de Ac´

ustica Linear

O modelo da Acústica linear vem da lineariza¸cão do sistema não linear

qt+ f (q)x = 0, x ∈ R, t > 0, (2.1) onde q = " ρ ρu # e f (q) = " u ρu2+ P (ρ) # , (2.2)

originado de duas leis de conserva¸cão onde ρ é a densidade do meio; u a velocidade; p = P (ρ) é uma equa¸cão do estado que expressa a pressão em termos da densidade e f (q) é uma fun¸cão de fluxo em q. Esta lineariza¸cão precisa ser feita em um estado q∗ fixado, considerando

q(x, t) = q∗ + ˜q(x, t), (2.3)

onde ˜q ´e a pertuba¸c˜ao a ser determinada.

Suponha, por exemplo, que estamos estudando um fluido confinado em um meio poroso, como petróleo antes da perfura¸cão, e estamos emitindo sinais s´ısmicos querendo medir a pertuba¸cão do meio para estudá-lo. Considerando a matriz porosa do meio constante ou com altera¸cões desprez´ıveis ao longo do tempo, neste caso é dif´ıcil determinar q∗ sem

(30)

alguma incerteza, ou seja, podemos considerar q∗ = q∗(ω), com ω pertencente a um espa¸co amostral.

Linearizando a fun¸c˜ao de fluxo temos

f (q(x, t)) ≈ f (q∗) + f0(q∗)(q − q∗) = f (q∗) + f0(q∗)(˜q). (2.4)

Ent˜ao

(f (q(x, t)))x = f0(q∗)˜qx(x, t), (2.5)

logo podemos escrever (2.1) na forma

˜

qt(x, t) + f0(q∗)˜qx(x, t) = 0. (2.6)

Fazendo algumas manipula¸cões adicionais, que podem ser vistas em [9], considerando o meio em estado estacionário, u0 = 0 e tomando A = f0(q∗), temos o modelo da Acústica

Linear que ser´a adotado neste trabalho.        qt+ Aqx = 0, t > 0, x ∈ R, q = q0, x ∈ R, (2.7) onde q = " p u # , A = " 0 K0 1/ρ0 0 # , (2.8)

e a condi¸cão inicial é q0(x) = q(x, 0). Nestas condi¸cões, o problema é matematicamente

bem posto, isto é, existe uma única solu¸cão e ela depende continuamente dos dados [10].

Na matriz A aparecem ρ0; a densidade do meio, e K0 que representa a

compressibilida-de do gás. Considerando a incerteza existente na escolha do estado q∗ para a lineariza¸cão, vamos considerar os coeficientes da matriz A como variáveis aleatórias. Neste trabalho assumiremos que à cada realiza¸cão dos dados aleatórios associamos o problema

(31)

determi-n´ıstico:        qt(x, t; ω) + A(ω)qx(x, ; ω) = 0, t > 0, x ∈ R, ω ∈ Ω, q(x, 0; ω) = q0(x; ω), x ∈ R, ω ∈ Ω, (2.9) onde q(x, t; ω) = " p(x, t; ω) u(x, t; ω) # , e A(ω) = " 0 K0(ω) 1/ρ0(ω) 0 # , (2.10)

isto é, a matriz A(ω) representa os valores das variáveis aleatórias dos dados; densidade ρ0 e compressibilidade do gás K0. Vamos supor que as distribui¸cões de probabilidade dos

dados são conhecidas. A condi¸cão inicial é um vetor de processos estocásticos

q0(x; ω) = " p0(x; ω) u0(x; ω) # , (2.11)

que representa valores da pressão e da velocidade do gás no instante t = 0. Portanto estudaremos um sistema aleatório no qual a matriz A possui variáveis aleatórias como elementos e a condi¸cão inicial é um processo estocástico.

2.2 Solu¸

c˜

ao do sistema determin´ıstico

Dizemos que um sistema linear da forma qt+Adqx = 0 ´e hiperb´olico se a matriz associada

Adé diagonalizável com autovalores reais; e uma matriz é diagonalizável se existe uma base

de autovetores associada.

Em geral, resolvem sistemas hiperb´olicos determin´ısticos qt+ Adqx = 0, onde Ad´e uma

matriz n × n, desacoplando as equa¸cões diferenciais através da diagonaliza¸cão da matriz do sistema, ou seja, fatorando a matriz Ad:

Ad= U DU−1, (2.12)

onde D = diag(λ1, · · · , λn) ´e a matriz diagonal dos autovalores e U = [U1| · · · |Un] ´e a

(32)

a vari´avel q para

w = U−1q, (2.13)

o sistema (2.7) ´e escrito na forma

wt+ Dwx = 0. (2.14)

Uma vez que D ´e uma matriz diagonal, o sistema foi desacoplado em n equa¸c˜oes

(wi)t+ λi(wi)x = 0, i = 1, 2, · · · , n. (2.15)

Cada equa¸cão é um problema linear de transporte cuja solu¸cão é escrita em termos da condi¸cão inicial (método das caracter´ısticas):

wi(x, t) = w0(x − λit), i = 1, 2, · · · , n. (2.16)

onde w0 = U−1q0 é a condi¸cão inicial para (2.14). Voltando às variáveis originais, o vetor

solu¸c˜ao ´e q(x, t) = n X i=1 Uiw0(x − λit) = n X i=1 Uiwi(x, t). (2.17)

Desta forma num sistema hiperb´olico determin´ıstico o problema se resume a achar os autovalores da matriz Ad. Por exemplo, no modelo para ac´ustica linear (2.7), os autovalores

s˜ao λ1 = − s K0 ρ0 e λ2 = s K0 ρ0 . (2.18)

A matriz dos autovalores ´e

D = " λ1 0 0 −λ1 # , (2.19)

e a matriz cujas colunas s˜ao os autovetores do problema ´e U = [U1 U2], com inversa

U−1 = [U−1 U−2]T, isto ´e: U = " −Z0 Z0 1 1 # , U−1 = 1 2Z0 " −1 Z0 1 Z0 # , onde Z0 = ρ0 s K0 ρ0 . (2.20)

(33)

Portanto, a solu¸c˜ao do problema ´e dada por (2.17):

q(x, t) = U1U−1T q0(x − λ1t) + U2U−2T q0(x + λ1t). (2.21)

Por outro lado, se queremos levar em conta uma poss´ıvel variabilidade dos parâmetros ρ0 e K0, adotando um modelo estocástico, os elementos da matriz A são variáveis aleatórias

A(ω) = " 0 K0(ω) 1/ρ0(ω) 0 # . (2.22)

Neste caso os autovalores do sistema também são variáveis aleatórias, λ1(ω) e λ2(ω).

Cada realiza¸cão do sistema estocástico dará origem a um sistema determin´ıstico que será hiperbólico por ser diagonalizável, com autovalores e autovetores dados por (2.18) e (2.20), respectivamente.

O sistema de equa¸cões diferenciais é desacoplado usando idéias apresentadas nesta se-¸cão:        (w1)t+ λ1(ω)(w1)x = 0, (w2)t+ λ2(ω)(w2)x = 0.

Em resumo, passamos para um sistema desacoplado de equa¸c˜oes lineares estoc´asticas,

(wi)t+ λi(wi)x = 0 i = 1, 2 (2.23)

posto que os autovalores λ1 e λ2 são variáveis aleatórias.

Resolver (2.23) significa encontrar as propriedades estat´ısticas das componentes do ve-tor w(x, t) = (w1, w2); de preferˆencia conhecer as PDFs das componentes do vetor w(x, t)

para cada (x, t). Em [16] é apresentada uma metodologia para calcular a PDF da solu¸cão de uma equa¸cão de trasporte linear, desde que sejam conhecidas as densidades de probabi-lidades da condi¸cão inicial e da velocidade, λ1 e λ2. O objetivo deste cap´ıtulo é generalizar

o procedimento usado em [16]. Na próxima se¸cão usamos o método de transforma¸cão de variáveis para calcular fun¸cões densidade de probabilidades dos autovalores da matriz aleatória A.

(34)

2.3 Transforma¸

c˜

ao de Vari´

aveis Aleat´

orias

As propriedades estat´ısticas de variáveis aleatórias são definidas por suas distribui¸cões de probabilidade. Se estamos usando variáveis aleatórias que são resultados de alguma transforma¸cão de outras variáveis aleatórias cujas distribui¸cões de probabilidade são co-nhecidas, podemos usar o método descrito a seguir para calcular as densidades de proba-bilidades das novas variáveis.

Suponhamos que X é uma variável aleatória cont´ınua com densidade de probabilidade fX(x), e que Y = v(X) define uma transforma¸cão injetora entre as variáveis X e Y .

Para encontrar a fun¸cão densidade da variável aleatória Y a injetividade é uma hipótese essencial deste método, implicando que cada valor de y está relacionado a apenas um valor, x = g(y), onde g(y) é obtido através da resolu¸cão de y = v(x). Sob estas condi¸cões a fun¸cão densidade de probabilidade de Y será

h(y) = fX[g(y)]|J |, (2.24)

onde fX(x) ´e a PDF de X e |J | = |g0(y)| ´e o determinante da matriz Jacobiana da

trans-forma¸c˜ao x = g(y) [17].

A ideia do método de transforma¸cão de variáveis pode ser usada em uma equa¸cão dife-rencial estocástica interpretando-a como uma transforma¸cão que leva os dados do problema em um processo estocástico que representa a solu¸cão. Por exemplo considere a equa¸cão diferencial aleatória

       ut(t; ω) = −α(ω)u, u(0) = β. (2.25)

Cada realiza¸cão de (2.25) é um problema de valor inicial determin´ıstico cuja solu¸cão é bem conhecida:

u(t; ω) = βe−α(ω)t, (2.26)

(35)

α = −1 t ln( u β) e o jacobiano da transforma¸c˜ao J = − 1 tu. (2.27)

Por exemplo, se α ∼ N (0, 1), sua PDF ´e

f (x) = √1 2πe

−x2₂ _. _(2.28)

Neste caso, por (2.24) a PDF da solu¸c˜ao u, para cada t, ser´a

h(u) = √1 2π 1 tu e−2t21 (ln( u β)) 2 . (2.29)

Como a injetividade é condi¸cão necessária do método de transforma¸cão de variáveis, problemas podem aparecer quando tentamos encontrar a PDF de Y em transforma¸cões que não são injetivas. Uma forma de contornar esta dificuldade é descrita em [7], que resumimos a seguir. Por simplicidade usamos um caso simplificado mas as ideias podem ser estendidas.

Seja y = v(x1, x2, x3) uma transforma¸cão não injetora. A ideia é definir uma nova

transforma¸c˜ao que seja injetora tomando

       V : R3 → R3_, X → Y = V (X), com V (X) =                  y1 = v(x1, x2, x3), y2 = x2, y3 = x3.

Esta fun¸c˜ao ´e invers´ıvel somente se

|J| = ∂g ∂y1 ∂g ∂y2 ∂g ∂y3 0 1 0 0 0 1 = ∂g ∂y1 6= 0, (2.30)

(36)

onde g(y1, y2, y3) = x1. Neste caso a PDF de y1 ´e dada por fy1(y1) = Z D(y3) Z D(y2) |J|fX(g(y1, y2, y3), y2, y3)dy2dy3, (2.31)

onde D(y2) e D(y3) s˜ao os dom´ınios das vari´aveis y2 e y3, respectivamente.

2.4 Distribui¸

c˜

ao acumulada de probabilidades dos

au-tovalores

Voltando às equa¸cões da acústica, sejam (ρ0, K0) variáveis aleatórias independentes.

Para obter as PDFs dos autovalores da matriz (2.8), considere as express˜oes dos autovalores

λ1(ω) = − s K0(ω) ρ0(ω) e λ2(ω) = s K0(ω) ρ0(ω) . (2.32)

Temporariamente, vamos denotar ρ0(ω) = ρ0 e K0(ω) = K0 para n˜ao carregar a

nota-¸cão. Pode-se obter a PDF dos autovalores da matriz A usando o método de transforma¸cão de variáveis. Considere a transforma¸cão (ρ0, K0) → (λ2, λ):

   λ2 = q K0 ρ0 λ = K0 ou seja,    ρ0 = _λλ2 2 K0 = λ (2.33)

O determinante do jacobiano desta transforma¸c˜ao ´e

|J| = −2λ λ3 2 1 λ2 2 0 1 = −2λ λ3 2 , (2.34)

onde λ funciona como uma variável artificial. A seguir apresentamos dois exemplos deta-lhando casos nos quais são conhecidas as distribui¸cões de probabilidades de ρ0 e K0.

Exemplo 2.1. Neste exemplo assumimos que ρ0 tem distribui¸c˜ao exponencial e K0

(37)

´

e dada pelo produto das PDFs de ρ0 e K0, respectivamente, isto ´e:

f (ρ0, K0) =        exp(−ρ0), se (ρ0, K0) ∈ (0, ∞) × [0, 1],

0, caso contr´ario. Usando (2.33), podemos expressar f nas vari´aveis λ2 e λ:

f (λ2, λ) =          2|λ| |λ3 2| exp−λ λ2 2 , se (λ2, λ) ∈ (0, ∞) × [0, 1],

0, caso contr´ario.

Para obter a PDF de λ2 usamos (2.31), integramos na vari´avel λ:

fλ2(λ2) = 2 |λ3 2| Z 1 0 |λ| exp −λ λ2 2 dλ, λ2 > 0. (2.35)

A PDF do autovalor negativo λ1 em (2.32) pode ser obtida por transforma¸c˜ao semelhante,

porém neste caso a transforma¸cão será dada por    λ1 = − q K0 ρ0 λ = K0 =⇒    ρ0 = _λλ2 1 K0 = λ, (2.36)

com λ1 < 0. Assim, a PDF do segundo autovalor é uma fun¸cão simétrica a do autovalor

positivo com rela¸c˜ao ao eixo das ordenadas. Nas Figuras 2.1 e 2.2 comparamos a PDF obtida por (2.35) para os autovalores positivos e negativos com a PDF obtida pelo m´etodo de Monte Carlo.

Exemplo 2.2. Neste exemplo vamos supor que as vari´aveis ρ0 e K0 s˜ao independentes e

possuem distribui¸cão de probabilidade uniforme U (1, 2). Então a PDF conjunta será

f (ρ0, K0) =        1, se (ρ0, K0) ∈ [1, 2] × [1, 2],

(38)

(a) (b)

Figura 2.1: Na Figura (a) plotamos a PDF obtida por Monte Carlo do autovalor positivo com 50000, e na Figura (b) a PDF foi obtida pelo Método de Transforma¸cão de variável. Ambas as figuras são referentes ao Exemplo 2.1.

(a) (b)

Figura 2.2: Na Figura (a) plotamos a PDF obtida por Monte Carlo do autovalor negativo com 50000, e na Figura (b) a PDF foi obtida pelo Método de Transforma¸cão de variável. Ambas as figuras são referentes ao Exemplo 2.1.

A PDF do autovalor negativo λ1 em (2.32) pode ser obtida pela seguinte transforma¸c˜ao

   λ1 = − q K0 ρ0 λ = K0 =⇒    ρ0 = _λλ2 1 K0 = λ, (2.37)

(39)

e usando o método de Transforma¸cão de variáveis temos f (λ1, λ) =          2|λ| |λ3 1| , se (λ1, λ) ∈ [− √ 2, −1/√2] × [1, 2],

A PDF do autovalor negativo λ1, ser´a obtida pela integra¸c˜ao em λ o que resulta em

fλ1(λ1) =                          2 |λ3 1| Z 2 λ2 1 |λ|dλ, se −√2 ≤ λ1 ≤ −1, 2 |λ3 1| Z 2λ21 1 |λ|dλ, se − 1 ≤ λ1 ≤ −√1₂,

(2.38)

Utilizando (2.33), escrevemos f nas vari´aveis λ2 e λ e depois integramos na vari´avel λ

fλ2(λ2) =                          2 |λ3 1| Z 2 λ2 1 |λ|dλ, se 1 ≤ λ1 ≤ √ 2, 2 |λ3 1| Z 2λ21 1 |λ|dλ, se √1 2 ≤ λ1 ≤ 1,

(2.39)

Nas Figuras 2.3 e 2.4, comparamos a PDF obtida por (2.38) e (2.39) com a PDF obtida pelo m´etodo de Monte Carlo.

Exemplo 2.3. Neste exemplo assumimos que ρ0 ∼ N (5, 1) e K0 ∼ N (5, 1). Como as

variáveis aleatórias (ρ0, K0) são independentes sua PDF conjunta é dada pelo produto das

PDFs de ρ0 e K0, respectivamente, isto ´e f (ρ0, K0) = 1 2πexp −(k − 5) 2 2 − (ρ − 5)2 2 . (2.40)

(40)

(a) (b)

Figura 2.4: Na Figura (a) plotamos a PDF obtida por Monte Carlo do autovalor negativo com 50000, e na Figura (b) a PDF foi obtida pelo Método de Transforma¸cão de variável. Ambas as figuras são referentes ao Exemplo 2.2.

Usando (2.33), podemos expressar f nas vari´aveis λ2 e λ:

f (λ2, λ) = |λ| π|λ3 2| exp −(λ − 5) 2 2 − λ − 5λ2 2 √ 2λ2 2 2! . (2.41)

(41)

Para obter a PDF de λ2 usa-se (2.31); integrando na vari´avel λ: fλ2(λ2) = 1 π|λ3 2| Z ∞ −∞ |λ| exp −(λ − 5) 2 2 − λ − 5λ2 2 √ 2λ2 2 2! dλ. (2.42)

A PDF do autovalor negativo λ1 em (2.32) pode ser obtida por transforma¸c˜ao semelhante,

porém neste caso a transforma¸cão será dada por    λ1 = − q K0 ρ0 λ = K0 =⇒    ρ0 = _λλ2 1 K0 = λ, (2.43)

com λ1 < 0. Assim, a PDF do segundo autovalor é uma fun¸cão simétrica à do autovalor

positivo com rela¸c˜ao ao eixo das ordenadas. Nas Figuras 2.5 e 2.6, comparamos a PDF obtida por (2.42) para os autovalores positivos e negativos com a PDF obtida pelo m´etodo de Monte Carlo.

(a) (b)

2.5 Solu¸

c˜

ao do problema transformado

(42)

(a) (b)

       ut+ K0px = 0, pt+ (1/ρ0)ux = 0, (2.44)

foi desacoplado usando

U AU−1 = " −λ1 0 0 λ1 # , (2.45) onde U = " −Z0 Z0 1 1 # , U−1 = 1 2Z0 " −1 Z0 1 Z0 # , (2.46)

λ1 =pK0/ρ0 e Z0 = ρ0λ1. Assim, na vari´avel w = U−1q, temos

       (w1)t− λ1(w1)x = 0, (w2)t+ λ1(w2)x = 0. (2.47)

(43)

de (2.47) por U−1:        w1(x, t; ω) = _2Z1₀(−p(x, t; ω) + Z0u(x, t; ω)), w2(x, t; ω) = _2Z1₀(p(x, t; ω) + Z0u(x, t; ω)). (2.48)

Por outro lado, olhando o sistema (2.47) como aleat´orio, isto ´e, a velocidade λ1representada

por uma variável aleatória com PDF conhecida, podemos usar a teoria apresentada em [16], segundo à qual a PDF da solu¸cão do problema aleatório (2.47) é dada por

fW1(x, t; w) = Z 0 −∞ fλ1(λ1)fW01(w, x − λ1t)dλ1 para λ1 < 0, (2.49) fW2(x, t; w) = Z +∞ 0 fλ1(λ1)fW02(w, x − λ1t)dλ1 para λ1 > 0, (2.50)

onde fW01 e fW02 s˜ao as PDFs das condi¸c˜oes iniciais w01(x; ω) e w02(x; ω) associadas ao

sistema aleatório (2.47) e fλ1(λ) é a PDF dos autovalores. Com rela¸cão aos dados iniciais,

de (2.48), temos: w01(x; ω) = 1 2Z0 (−p0(x; ω) + Z0u0(x; ω)) , (2.51) w02(x; ω) = 1 2Z0 (p0(x; ω) + Z0u0(x; ω)) , (2.52) onde Z0 = ρ0 q K0

ρ0. Reescrevendo (2.51) e (2.52) nas vari´aveis ρ0 e K0 obtemos

w01(x; ω) = √ ρ0 2ρ0 √ K0 −p0(x; ω) + ρ0 s K0 ρ0 u0(x; ω) ! (2.53) w02(x; ω) = √ ρ0 2ρ0 √ K0 p0(x; ω) + ρ0 s K0 ρ0 u0(x; ω) ! . (2.54)

(44)

fun¸cão das variáveis aleatórias (p0, u0, ρ0, K0). Vamos novamente usar transforma¸cão de

vari´aveis para obter as fun¸c˜oes densidade de probabilidade de w01(x; ω) e w02(x; ω). Para

a primeira componente (2.53) temos:

               y1 = √ ρ0 2ρ0 √ K0 −p0(x; ω) + ρ0 q K0 ρ0u0(x; ω) y2 = u0 y3 = ρ0 y4 = K0, =⇒                p0 = − 2y3 √ y4 √ y3 y1+ y2y3 q_y 4 y3 u0 = y2 ρ0 = y3 K0 = y4, (2.55) cujo jacobiano ´e J = (2y3

√ y4)/

√

y3. Sendo uma transforma¸cão de variáveis aleatórias, por

(2.24): fW01(x; y1) = Z +∞ 0 Z +∞ 0 Z +∞ −∞ √ 2y3 y3 √ y4 fp0u0ρ0K0(ˆy, y2, y3, y4; x) dy2dy3dy4, (2.56) onde ˆ y = −2y3 √ y4 √ y3 y1+ y2y3 r y4 y3 .

Analogamente, para a segunda componente, considere a transforma¸c˜ao

               v1 = √ ρ0 2ρ0 √ K0 p0(x; ω) + ρ0 q K0 ρ0u0(x; ω) v2 = p0 v3 = ρ0 v4 = K0, =⇒                u0 = 2v1 − v2 √ v3 v3 √ v4 p0 = v2 ρ0 = v3 K0 = v4, (2.57)

cujo jacobiano ´e J = 2. Ent˜ao, ainda por (2.24)

fW02(x; v1) = Z +∞ 0 Z +∞ 0 Z +∞ 0 2fp0u0ρ0K0 2v1− v2 √ v3 v3 √ v4 , v2, v3, v4; x dv2dv3dv4. (2.58)

As integrais em (2.56) e (2.58) foram calculadas através de várias somas de Riemann uma dentro da outra, ou seja, foram escolhidas malhas refinadas de pontos nos respectivos dom´ınios de integra¸cão e desta forma calculamos uma integral por vez e de dentro para

(45)

fora do integrando. Observamos que a densidade conjunta ´e o produto das densidades fp0,

fu0, fρ0 e fK0 uma vez que estamos admitindo independˆencia destas vari´aveis. Um exemplo

com c´alculo efetivo destas integrais ´e apresentado no final deste cap´ıtulo.

Terminamos esta se¸cão recapitulando o procedimento proposto. Para estender o m´ e-todo de diagonaliza¸cão utilizado em sistemas hiperbólicos de equa¸cões diferenciais usamos a expressão da solu¸cão determin´ıstica (2.21) para desacoplar o sistema (2.9) em duas equa-¸cões de transporte escalar nas variáveis w1 e w2, respectivamente, e usamos o método de

transforma¸cão de variáveis para obter (W01, W02). Assim foi poss´ıvel usar a expressão da

PDF da solu¸c˜ao para o caso escalar [16] para encontrar as densidades de probabilidades de W1 e W2, (2.56) e (2.58), respectivamente.

O passo final deste procedimento é voltar às variáveis originais do problema, pressão e velocidade. Temos uma nova transforma¸cão de variáveis aleatórias (w1, w2, ρ0, K0) −→

(p, u, ρ0, K0). Aqui não podemos admitir independência das variáveis e portanto é necess´

a-rio estimar a correla¸cão entre as variáveis. Neste passo foi conveniente utilizar Cópulas. Na Se¸cão 2.6 apresentamos um resumo da teoria destes estimadores que têm sido desenvolvida a partir dos anos 1980.

2.6 C´

opulas

A história das cópulas está ligada ao desenvolvimento da teoria dos espa¸cos métricos probabil´ısticos. A necessidade de se obter um análogo probabil´ıstico à desigualdade tri-angular deu origem à teoria de cópulas. O principal resultado dessa teoria é o teorema de Sklar [12], que deu origem ao trabalho ”Probabilistic Metric Space”publicado por B. Schweizer e A. Sklar em 1983. Depois disso, as cópulas ficaram um pouco esquecidas até serem redescobertas na década de 90 com ampla utiliza¸cão em diversas aplica¸cões.

De certa forma, cópulas são fun¸cões que relacionam distribui¸cões acumulativas multi-variadas e suas fun¸cões de distribui¸cão acumuladas marginais. Ou ainda, podemos dizer que cópulas são fun¸cões de distribui¸cão acumulativas multivariadas cujas marginais são uniformes em [0, 1].

Considere duas variáveis aleatórias com fun¸cão distribui¸cão acumulada conjunta dada por FX,Y(x, y) e fun¸cões distribui¸cão acumuladas marginais dadas por FX(x) e FY(y).

(46)

FX,Y(x, y) que estão em [0, 1]. A correspondência que a cada par de valores das fun¸cões

marginais associamos o valor da distribui¸cão acumulada conjunta é o que chamamos de cópula. Mais formalmente:

Defini¸cão 2.1. Uma fun¸cão C : [0, 1]n → [0, 1] é dita ser uma cópula n-dimensional se: 1. C(x1, · · · , xn) = 0 sempre que xi = 0 para algum i ∈ {1, 2, · · · , n}.

2. C(x1, · · · , xn) = xi sempre que xj = 1, para todo j 6= i.

3. C(x1, · · · , xn) ´e n-crescente, ou seja, para quaisquer (y1, y2, · · · , yn) ∈ [0, 1]n,

(z1, z2, · · · , zn) ∈ [0, 1]n com yi ≤ zi temos 2 X i1=1 · · · 2 X in=1 (−1)i1+···+in_C(x 1i1, x2i2, · · · , xnin) ≥ 0, (2.59) com xj1 = yj e xj2 = zj, j = 1, · · · , n.

Por exemplo, no caso bivariado, a fun¸c˜ao C : [0, 1]2 _{→ [0, 1] ´e uma c´}_{opula se:}

1. C(x, 0) = C(0, y) = 0. 2. C(x, 1) = x, C(1, y) = y.

3. Considere os pares (x1, y1) e (x2, y2) em [0, 1]2, se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2, ent˜ao C(x1, y1) +

C(x2, y2) − C(x2, y1) − C(x1, y2) ≥ 0.

Existem vários tipos de cópulas ou fam´ılia de cópulas na literatura especializada. Por exemplo as cópulas bivariadas W (x, y) = max(0, x+y−1) e M (x, y) = min(x, y) são limites superiores e inferiores respectivamente de todas as outras cópulas bivariadas poss´ıveis, como podemos ver em [12] página 11. Estes limites são chamados limites de Fréchet-Hoeffdin.

O teorema de Sklar é o resultado chave na teoria de cópulas e é responsável pela maioria das suas aplica¸cões na estat´ıstica. Ele descreve o papel das cópulas na rela¸cão entre fun¸cões distribui¸cão acumuladas conjuntas e fun¸cões distribui¸cão acumuladas marginais univariadas.

(47)

Teorema 2.4. (Sklar). Sejam X e Y duas variáveis aletórias com fun¸cão acumuladas FX

e FY, respectivamente, e distribui¸cão acumuladas conjunta H. Então, existe uma cópula

C tal que,

H(x, y) = C(FX(x), FY(y)), (2.60)

para todo x, y ∈ R.

Se FX e FY são cont´ınuas, então C é única; caso contrário, C é unicamente

determi-nada em Im(FX) × Im(FY). Reciprocamente, se C é uma cópula e FX e FY são fun¸cões de

distribui¸cão acumuladas, então a fun¸cão H, definida em (2.60), é um fun¸cão distribui¸cão acumulada conjunta com fun¸cões marginais FX e FY. Veja [12].

O teorema de Sklar nos fornece uma maneira de expressar uma fun¸cão de distribui-¸cão acumulada conjunta em termos de sua cópula e das fun¸cões distribui¸cão acumuladas marginais. Note que dadas duas fun¸cões de distribui¸cão acumuladas marginais, variando as cópulas na equa¸cão (2.60) podemos obter uma infinidade de fun¸cões de distribui¸cão acumuladas conjuntas cujas marginais são FX e FY. Vários tipos de cópulas são usadas na

literatura, como por exemplo, podemos encontrar as cópulas listadas a seguir em [12]: • Cópula Normal. C(u, v) = Z φ−1(u) −∞ Z φ−1(v) −∞ 1 2π√1 − θ2exp 2θsω − s2_{− ω}2 2(1 − θ2₎ dsdω, onde φ(x) = 1 2+ 1 √ π Z x/√2 0 e−t2dt, é a fun¸cão distribui¸cão acumulada da variável normal padrão. • Cópula t C(u, v) = Z t−1(u) −∞ Z t−1(v) −∞ 1 2π√1 − θ2 1 + s 2 _{+ 2θst + t}2 V (1 − θ2₎ V +2₂ dsdt,

onde t(x) é a fun¸cão distribui¸cão acumulada t-Student padronizada e V é o número de graus de liberdade da distribui¸cão t-Student.

(48)

– Ali-Mikhail-Haq C(u, v) = uv 1 − θ(1 − u)(1 − v). – Clayton C(u, v) = u−θ+ v−θ−1/θ. – Frank C(u, v) = −1 θ ln 1 + (e −θu_{− 1)(e}−θv_{− 1)} (e−θ_{− 1)} . – Gumbel C(u, v) = exp −(− ln u)θ_{+ (− ln v)}θ_. – Produto C(u, v) = uv. – Joe C(u, v) = 1 −(1 − u)θ+ (1 − v)θ− (1 − u)θ_{(1 − v)}θ1/θ .

O parâmetro θ, chamado parâmetro de dependência da cópula será discutido na Se¸cão 2.6.4.

2.6.1 Densidade de C´

opulas

Seja FX,Y a fun¸cão distribui¸cão acumulada conjunta das variáveis aleatórias (X, Y ) e

FX, FY suas respectivas distribui¸c˜oes acumuladas marginais. Pelo teorema de Sklar temos

que existe uma c´opula C tal que

FX,Y(x, y) = C(FX(x), FY(y)). (2.61)

Derivando (2.61) podemos encontrar a fun¸c˜ao densidade de probabilidade

fX,Y(x, y) =

∂2_F

X,Y(x, y)

∂x∂y = c(FX(x), FY(y))fX(x)fY(y), (2.62) onde a fun¸cão densidade da cópula é dada por

c(u, v) = ∂

2_{C(u, v)}

(49)

Na expressão (2.63), c(., .) está definida para o vetor aleatório (U, V ) com distribui¸cão acumulada uniforme em [0, 1].

2.6.2 Independˆ

encia

Uma medida de dependência pode ser vista como um parâmetro associado a um par de variáveis aleatórias que codifica em seu valor a intensidade de dependência estat´ıstica entre estas variáveis. Para simular um conjunto de observa¸cões bivariadas através de cópulas é necessário fornecer além das distribui¸cões marginais univariadas o parâmetro θ da cópula Cθ. Como este parâmetro não tem uma interpreta¸cão prática clara, pode ser

uma alternativa, obtê-lo através do coeficiente de correla¸cão τ de Kendall.

Defini¸c˜ao 2.2. Sejam (X1, Y1) e (X2, Y2) vetores independentes e identicamentes

distri-bu´ıdos com distribui¸cão conjunta F. Então o τ de Kendall é dado por

τ = P [(X1− X2)(Y1− Y2) > 0] − P [(X1 − X2)(Y1− Y2) < 0], (2.64)

ou seja, a probabilidade dos pares concordantes, menos a probabilidade dos pares discor-dantes.

Este valor está no intervalo [−1, 1], sendo negativo quando os dados são correlacionados negativamente ou positivo quando os dados são correlacionados positivamente. Quanto mais próximo de 1 ou −1 estiver τ mais forte será a correla¸cão entre as variáveis [12].

Com base na defini¸cão acima é poss´ıvel escrever o τ de Kendall em termos da cópula associada ao vetor (X, Y ) τ (X, Y ) = Z 1 0 Z 1 0 C(x, y)dC(x, y) − 1, (2.65) onde dC(u, v) = ∂ 2_{C(u, v)}

∂u∂v dudv = c(u, v)dudv, (2.66)

´

e a densidade da cópula definida em variáveis com distribui¸cão acumulada uniforme em [0, 1], como pode ser visto em [12].

(50)

2.6.3 Obtendo o τ de Kendall

Na inten¸cão de obter uma cópula C que descreva adequadamente a dependência entre duas variáveis aleatórias X e Y , utilizaremos um método não-paramétrico baseado no τ de Kendall [12].

Sejam (xi, yi) e (xj, yj) duas observa¸cões do vetor (X, Y ) de variáveis aleatórias

cont´ı-nuas. Dizemos que (xi, yi) e (xj, yj) s˜ao concordantes se (xi−xj)(yi−yj) > 0 e discordantes

se (xi− xj)(yi− yj) < 0.

Considerando a amostra {(x1, y1), · · · , (xn, yn)} de n observa¸c˜oes teremos n(n − 1)/2

pares distintos (xi, yi) e (xj, yj), que podem ser concordantes ou discordantes. Ent˜ao

defi-nimos a seguinte aproxima¸c˜ao para o τ de Kendall [12],

τn= nc− nd n 2 !, onde n 2 ! = n! 2!(n − 2)!, (2.67)

representa o número de pares distintos (xi, yi) e (xj, yj), nc é o número de pares

concor-dantes e nd ´e o n´umero de pares discordantes.

2.6.4 Parˆ

ametro de dependˆ

encia

A parametriza¸cão do processo de constru¸cão de uma cópula leva ao parâmetro θ, cha-mado parâmetro de dependência da cópula. Por esta razão, em geral, vemos na literatura a nota¸cão Cθ. Este parâmetro também está relacionado com o grau de dependência das

variáveis aleatórias que a cópula tenta modelar, além de transformar cada cópula em uma fam´ılia de cópulas pois este parâmetro pode ser tomado em um intervalo da reta.

Quanto melhor for a escolha deste parâmetro θ melhor será a aproxima¸cão da fun¸cão distribui¸cão acumulada conjunta entre duas variáveis aleatórias. Na tentativa de estimar este parâmetro, uma boa ferramenta é dada pela seguinte expressão

τ = 4 Z Z

I2

Cθ(u, v)dCθ(u, v) − 1, (2.68)

(51)

simu-la¸cões numéricas, com a equa¸cão (2.68) podemos obter uma estimativa para o parâmetro θ.

Exemplo 2.5. A fam´ılia de Farlie-Gumbel-Morgenstern possui a express˜ao

Cθ(u, v) = uv + θuv(1 − u)(1 − v), (2.69)

para θ ∈ [−1, 1]. Como

dCθ(u, v) =

∂2_C θ(u, v)

∂u∂v dudv = [1 + θ(1 − 2u)(1 − 2v)] dudv, (2.70) calculando a integral temos

Z Z I2 Cθ(u, v)dCθ(u, v) = 1 4 + θ 18, (2.71) e usando (2.68) temos τ = 2θ 9 . Consequentemente τ ∈ [−2/9, 2/9].

2.6.5 C´

opulas Arquimedianas

As cópulas arquimedianas são úteis na teoria de cópulas por possuirem, na sua maioria, uma expressão anal´ıtica para suas fun¸cões. Para dar uma breve introdu¸cão ao assunto precisamos definir alguns conceitos.

Seja I = [0, 1] e ϕ : I → R+ uma fun¸c˜ao cont´ınua e decrescente tal que ϕ(1) = 0 e

ϕ(0) = lim t→0+ϕ(t). A pseudo-inversa de ϕ ´e a fun¸c˜ao ϕ[−1](t) =        ϕ−1(t), se 0 ≤ t ≤ ϕ(0), 0, se ϕ(0) ≤ t. (2.72)

Note que ϕ[−1]_{(t) ´}_{e cont´ınua, n˜}_{ao decrescente em R}

(52)

u em I e ϕ ϕ[−1]_(t) =        t, se 0 ≤ t ≤ ϕ(0), ϕ(0), se ϕ(0) ≤ t, = min {t, ϕ(0)} . Al´em disso, se lim

t→0+ϕ(t) = ∞, ent˜ao ϕ

[−1]_{(t) = ϕ(t).}

Teorema 2.6. Seja C : I2 _{→ I definida por}

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)), (2.73)

para alguma fun¸cão ϕ como definida acima. Então, C é uma cópula se, e somente se, ϕ é convexa.

A c´opula (2.73) ´e chamada arquimediana com gerador ϕ.

Exemplo 2.7. Seja ϕ(t) = − ln(t), para t ∈ [0, 1]. Como ϕ(0) = ∞, ϕ ´e estritamente decrescente. Assim ϕ[−1]_{(t) = ϕ}−1_{(t) = e}−t_{, ent˜}_{ao usando (2.73), temos}

C(u, v) = exp (− [(− ln u) + (− ln v)]) , = uv.

Exemplo 2.8. Tomando ϕ(t) = ln ([1 − θ(1 − t)]/t) como fun¸c˜ao geradora, para θ ∈ [−1, 1] obtemos a c´opula de Ali-Mikhail-Haq

C(u, v) = uv

1 − θ(1 − u)(1 − v). (2.74)

2.6.6 C´

opulas Arquimedianas Multivariadas

Em geral as generaliza¸cões de cópulas bivariadas para n-variadas devem ser feitas com cuidado pois nem todas as propriedades podem ser estendidas. No caso de cópulas multi-variadas arquimedianas uma generaliza¸cão intuitiva seria

(53)

na qual a fun¸c˜ao Cn _{funciona como uma s´}_{erie iterada de c´}_{opulas arquimedianas bivariadas}

geradas por ϕ, isto ´e, considerando C2_(u

1, u2) = C(u1, u2) = ϕ[−1](ϕ(u1) + ϕ(u2)), ent˜ao

para n ≥ 3 temos

Cn(u1, u2, · · · , un) = C(Cn−1(u1, · · · , un−1), un). (2.76)

Este tipo de procedimento para se obter novas cópulas nem sempre é válido, porém é válido para as cópulas arquimedianas [12].

Um dos métodos para obter cópulas multivariadas é chamado, Método de constru¸cão por pares de cópulas. Esta forma de se obter cópulas multidimensionais foi primeiramente proposta por Joe em [6] e mais tarde discutida em detalhes por Bedford e Cook em [2] e [3]. O esquema é baseado na decomposi¸cão da densidade da cópula multivariada em uma sequência de densidades de cópulas bivariadas.

Para um problema d-dimensional, onde temos uma cópula com d variáveis, o pair copula construction ou PCC permite a livre especifica¸cão de d(d − 1)/2 cópulas. As cópulas bivariadas podem ser de qualquer fam´ılia e várias fam´ılias podem ser misturadas em um PCC. Dois tipos de PCCs tem sido proposto na literatura, um deles é o canônico, chamado de vines, e o outro é o D-vines [8]. Neste trabalho utilizaremos a representa¸cão D-vines, cuja fun¸cão densidade é dada por

f (x1, · · · , xd) = d Y k=1 fk(xk) d−1 Y j=1 d−j Y i=1

c(F (xi|xi+1, · · · , xi+j−1), F (xi+j|xi+1, · · · , xi+j−1))

(2.77)

onde c(., .) é a densidade de uma cópula bivariada, fk as densidades marginais e as fun¸cões

distribui¸c˜ao acumuladas condicionais s˜ao calculadas segundo Joe(1996), como podemos ver em [6] e [1].

(54)

Exemplo 2.9. Para o caso 4-dimensional temos f1234(x1, x2, x3, x4) = f1(x1).f2(x2).f3(x3).f4(x4) .c12(F1(x1), F2(x2)).c23(F2(x2), F3(x3)).c34(F3(x3), F4(x4)) .c13|2(F1|2(x1|x2), F3|2(x3|x2)).c24|3(F2|3(x2|x3), F4|3(x4|x3)) .c14|23(F1|23(x1|x2, x3), F4|23(x4|x2, x3)). (2.78) As distribui¸cões condicionais são especificadas abaixo, onde (u1, u2, u3, u4) são variáveis

aleat´orias com distribui¸c˜ao acumulada uniforme em [0, 1], veja [1].

F1|2(u1|u2) = ∂C12(u1, u2) ∂u2 , F3|2(u3|u2) = ∂C23(u2, u3) ∂u2 , F2|3(u2|u3) = ∂C23(u2, u3) ∂u3 , F4|3(u4|u3) = ∂C34(u3, u4) ∂u3 , F1|23(u1|u2, u3) = ∂C13|2(F (u1|u2), F (u3|u2)) ∂F (u3|u2) , F4|23(u4|u2, u3) = ∂C24|3(F (u4|u3), F (u2|u3)) ∂F (u2|u3) . (2.79)

2.7 Uma aplica¸

c˜

ao de c´

opulas

Nesta se¸cão continuamos no objeto deste cap´ıtulo, o sistema estocástico que modela nosso problema de acústica linear quando consideramos variabilidade dos dados. Como vi-mos na Se¸cão 2.5, para voltarmos às variáveis originais (p, u) a partir da solu¸cão do sistema desacoplado devemos realizar a mudan¸ca de variáveis (w1, w2, ρ0, K0) −→ (p, u, ρ0, K0).

En-tão precisamos da fun¸cão de densidade conjunta das variáveis (w1, w2, ρ0, K0). Usaremos

a teoria de cópulas para encontrar uma cópula que captura a rela¸cão de dependência das variáveis (w1, w2, ρ0, K0). Vamos denotar a fun¸cão densidade de probabilidade associada a

esta c´opula por fC

(55)

               p = ρ0 √ K0 √ ρ0 (−w1+ w2) u = w1+ w2 ρ0 = ρ0 K0 = K0 =⇒                    w1 = √ ρ0 2ρ0 √ K0 −p + ρ0 √ K0 √ ρ0 u w2 = √ ρ0 2ρ0 √ K0 p + ρ0 √ K0 √ ρ0 u ρ0 = ρ0 K0 = K0, (2.80) cuja jacobiana ´e J = √ ρ0 2ρ0 √ K0

. Usando a mudan¸ca de variável (2.24) e as equa¸cões (2.80), a PDF conjunta das variáveis aleatórias (p, u, ρ0, K0) é

f_puρC 0k0(p, u, ρ, K0) = √ ρ0 2ρ0 √ K0 f_wC 1w2ρ0K0 √_ρ 0 2ρ0 √ K0 −p + ρ0 √ K0 √ ρ0 u , √ ρ0 2ρ0 √ K0 p +ρ0 √ K0 √ ρ0 u , ρ0, K0 . (2.81)

Assim, as fun¸cões densidade de probabilidade das solu¸cões são obtidas pelas integrais:

f_pC(p) = Z I1 Z I2 Z I3 f_puρC ₀_k₀(p, u, ρ, K0)dudρ0dK0, (2.82) f_uC(u) = Z I1 Z I2 Z I4 f_puρC ₀_k₀(p, u, ρ, K0)dpdρ0dK0, (2.83)

onde I1 = D(K0), I2 = D(ρ0), I3 = D(u) e I4 = D(p) s˜ao os dom´ınios de integra¸c˜ao das

vari´aveis K0, ρ0, u e p respectivamente.

2.8 Experimentos Matem´

aticos

Nesta se¸cão apresentamos experimentos numéricos da teoria exposta neste cap´ıtulo aplicadas ao problema (2.1). Em resumo, partindo das distribui¸cões de probabilidade dos dados do problema, ρ0, K0, p0 e u0, para calcular as distribui¸cões de probabilidade de

p(x, t) e u(x, t), fixados (x, t), o procedimento consiste em:

(i) Desacoplar o sistema de equa¸cões diferenciais parciais original e obter solu¸cão do sis-tema desacoplado. Calcular as distribui¸cões de probabilidade destas solu¸cões desa-copladas usando (2.49) e (2.50).

(56)

(ii) Usar cópulas para estabelecer fun¸cões densidade conjuntas da solu¸cão desacoplada e dos dados ρ0 e K0. Calcular as densidades de probabilidades das variáveis originais

de (2.7).

(iii) Calcular as densidades de probabilidades da press˜ao, p(x, t), e da velocidade, u(x, t), usando (2.82) e (2.83), respectivamente.

Nos Exemplos 2.10, 2.11 e 2.12 confrontamos os resultados obtidos em (i)-(iii) com simula¸cões via Monte Carlo. Nos nossos exemplos usaremos alguns modelos usuais de PDF dos dados; as escolhas não foram baseadas em experimentos práticos por falta de informa¸cão a este respeito.

Além das PDFs das componentes do vetor solu¸cão, podemos calcular os momentos destas componentes. Utilizando (2.82), para (x, t) fixados, podemos calcular as médias

µP(x, t) = Z +∞ 0 pfP(p)dp (2.84) e µU(x, t) = Z +∞ −∞ ufU(u)du. (2.85)

Da mesma forma podemos calcular as variˆancias

σ2_P(x, t) = Z +∞ 0 (p − µP(x, t))2fP(p)dp (2.86) e σ_U2(x, t) = Z +∞ −∞ (u − µU(x, t))2fU(u)du. (2.87)

Os exemplos se referem ao problema:                              pt(x, t; ω) + K0ux(x, t; ω) = 0, t > 0, x ∈ R, ω ∈ Ω, ut(x, t; ω) +_ρ1₀px(x, t; ω) = 0, t > 0, x ∈ R, ω ∈ Ω, p(x, 0; ω) = p0(x; ω), x ∈ R, ω ∈ Ω, u(x, 0; ω) = u0(x; ω), x ∈ R, ω ∈ Ω. (2.88)

(57)

Os resultados comparativos do passo (i) com simula¸cões via Monte Carlo são apresen-tados em figuras, para cada exemplo. Estes resulapresen-tados se referem ao ponto (x, t) = (2, 0.2). Para voltar às variáveis originais, a fam´ılia de cópulas usada para simular a PDF con-junta das variáveis (w1, w2, ρ0, K0) foi a fam´ılia de Farlie-Gumbel-Morgenstern descrita nos

exemplos da Se¸c˜ao 2.6.3. Simulando o τ de Kendall com 10000 realiza¸c˜oes e usando

θ = 9τ

2 , (2.89)

podemos obter os valores de θ. Para cada par de variáveis aleatórias, geramos amostras aleatórias deste par com a inten¸cão de calcular o τ de Kendall por (2.67) e usando (2.89) podemos calcular uma aproxima¸cão para θ que representa o grau de dependência do par de variáveis aleatórias.

Os exemplos esbo¸cam as PDFs das componentes da solu¸cão do problema via a metodo-logia envolvendo cópulas e por Monte Carlo. Todos os cálculos e esbo¸co de gráficos foram feitos no MATLAB.

Exemplo 2.10. Considere o problema (2.9) e condi¸c˜ao inicial dada pelos seguintes pro-cessos estoc´asticos

q0(x; Y, Z) = " p0(x; Y ) u0(x; Z) # = " xY xZ # . (2.90)

Neste exemplo consideramos as seguintes PDFs das componentes da condi¸c˜ao inicial para x 6= 0 fixado fp0(x; y) = 2 xexp(−2y/x), (2.91) e fu0(x; z) = 1 x√2πexp − z 2 2x2 . (2.92)

As PDFs (2.91) e (2.92) foram obtidas usando o método de transforma¸cão de variáveis aplicadas às componentes da condi¸cão inicial. Para os parâmetros ρ0 e K0 têm-se