GALILEO E A TRADIÇÃO ARQUIMESEANA

7

ARQUIVO

cALILEo

E A

TRADIçÃo nnQun¡EDEANA

_-

LA

BILANCETTA"

PIERRE LUCIE

**

Departamento de Física

Pontiftcia

(Iniversidode Cøtólicø

do

Rio de laneitr¡

Em

1581, o

jovem

Galileo ingessou na universidade de Pisa, inscrevendo-se nos cutsos

de

medicina-e de filosofia.

Essa escolha

tinha

sido

influencida pelo

desejo

do

pai'

Vincenzio,

que, embora versado em música e matemática, almejava para

o

filho

uma carreira maiJ lucrativa e menos incerta

do

que podiam oferecer, a Seu

ver'

As aftes ou as ciências exatas.

Em Pisa, Galileo recebeu formação clássica, na

tradiçlo

escolástica dos pensadores

da

Idade Média.

Suonu;i.i,

que

foi

seu professor,

.ia

um

aristotélico

ortodoxol

,

À que nâ'o impedia de comentai os conceitos "modernos" do movimento e,

particular-n,rnt

,

a

físióa do impetus, obra

da escola parisiense do século

XIII.

Comentava-os, para fìnalmente rejeitá-los:

".

.

.

quando ouerem afastar-se de Aristóteles, caem no

er-ro"

(KOYRE

1966,46).

Tìdo

leva a

cfer

que o

jovem

Galileo suportava com impaciência apenas disfarçada

tanto

o estudo de Galeno,-base do

culrículo

de medicina, quanto o de Aristóteles' No

entanto,

no

inverno de

1582-83, aconteceu

um fato

cuja importância para a carreira

científìca

de Galileo ia ser decisiva: o encontro

com

Ostilio Ricci, matemático da

cor-te de Toscana

(DRAKE 1978,2'5).

Com

Ricci,

Galileo conheceu primeiro Euclides e' com Euclides, o mundo

fascinan-te

da matemática.

Em

1585, abandonou de vez a universidade e

voltou

para Florença,

onde

continuou

a

leitura

de Euclides e, ainda orientado

por

Ricci, iniciou o estudo de

Arquimedes.

Diz

Maurice Clavelin: "Mais

do

que Euclides, é Arquimedes, pela sua ha' biliãade em levar

o

método matemático à análise dos problemas naturais, que vai

deci-dir

sua vocação"

(CLAVELIN

1968, 127). De

fato,

nos seus estudos de lúd¡ostática'

do equilíbrió

dos corpos e dos centros de gravidade, Arquimedes tinha construído uma matemática aplicada, uma verdadeira geometria dos pesos'

A

tradição arquimedeana está presente em

toda

a obra de Galileo' Mas é

evidente-mente nos seus primeiros trabalhos

científicos

que a influência

do

matemático grego

se

faz

sentir mãis

diretamente: nos

Tltæremtta

circa

centrum gravitatís

Plidorum

*Corn _{apoio parcial da Coordenaçalo de Aperleiçoamento}

_de

_Pessoal

_de

Nível

Superior

(cAPlìs/ Mlic).

+xNota Etlitorial

_-

Lamentavelmente, Pierre Henri Lucie faleceu enr agosto de 1985' poucos

meses após aprescntar este trabalho

_-

qud, provavelmente, foi o último que elaborou.

t _{lrrun."r"o Buonamici, professor em Pisa de 1565 a 1603. KoYRÉ (1966,pp'} 24-7) estende-se

longanrcntc sobrc a obra magna dc Buonamici, o De motu.

Catlcrnos tte Ílistória c l¡ilosoliu dø Ciência 9 (l 986), pp. 95-104.

i-2CL¡VELIN

_{Qg68, l2'l-78)} faz um estudo exaustivo do De motu e do Le mechaniche e da

sua contribuiçá-o na formaça-o do pensamento galileano'

3Provavelmente at¡avés de um tradução de Tartaglia, de 1543, oedida por Ricci' (DRAKE

Galileo e a Tradição

Arquimedøna

_-

Lu

Biktncetts

97 processo é,

no

entanto, medíocre, e

isto

não escapou a Galileo:

_".

. . esse método era

que

a

água. Para nós, familiarizados com a balança de westphal desde a nossa

juven-tude, nâ'o há nada de

muito

novo nisso. No entanto, devemos procurar e¡rtender como

Galileo, p-elos seus conhecimentos da matemática grega e de autores mais modernos,

Benedetti6 em particular, chegou ao resultadoT. Iremos passo a passo.

r

_-

MEDrçÃO

DOS PESOS ESPECTFTCOS

a c b

Tara _Metal

Figum

I

Na extremidade de

um

dos braços da balança, suspende-se um pedaço de metal

(Fl'-gurø

l).

seja

P o

seu peso.

A

balança é equilibrada

por

uma tara,

ou

contrapeso, de mesmo peso, suspensa na ext¡emidade do outro braço

d P c d Água

P-Pt

P Figura 2

-

óGiovan¡i Battista (ou Giambattista) Benedetti (1530-1590), nratemático {a co¡te de parma e,

depois, de savoia. Segundo DRAKE (1978, p. 441), o maior flsico italiano de seu tempo. KoyRÉ

(1966, _{p. 59)} se ¡efere ao "modelo sempre presente na mente de Benedetti da ciênõia arquirne-deana".

1e'

idéia dc balança, em si, e da sua utilizaça-o para nre<lír densidades, nâo era nova. Thomas ts. Scttlc sugerc quc

Ricci

teria conrentado com (ìalileo os Ludi Matematici de Leon Battista Albcrti (cerca tle 1450). Nos ,Lø.Ii, Calileo te¡ia encontrado a idéia da Bilancetta (SETTLti 19?l),

F

98

Het're Lucie

Mergulha-se o pedaço de metal na água.

A

balança desequilibra-se no sentido da seta

da

Figura

2.

Com

efeito,

diz

Arquimedes:

"Um

sólido

mais pesado que um

fluido,

quando

posto

nele, desce para

o

fundo do fluido;

e

o

sólido

pesado

no

fluido

será mais leve que seu verdadei¡o peso _[no

ar]

_{[de uma quantidade igual} ao] peso do

fluido

deslocado."E.Na Fígura

2,

o

peso

do

fluido

deslocado é representado porPo. Opeso

do metal na água é P

_-

Pa.

Trata-se, evidentemente,

do

conhecido

Princípio

de Arquimedes. Galileo o cita em

l¿

bilancetta

(Anexo,

69

parágrafo)

e

também

em

outras oportunidades:

repetida-mente no

De motu e,

de modo

particularmente

claro,

na versão dialogada da obra,

onde Alexander

(Galileo) diz:

"uln

sólido mais pesado que a água é na água tão mais leve quanto é o peso

no

ar de

um

volume de água igual ao volume do

sólido"

(Opere,

v.

l,

384)e.

Depois,

no

Discorso:

".

.

. subtraindo do peso

total

de

um

sólido tanto

quanto

é o

peso de

um

volume igual

do

tnesmo meio, como demonstra Arquimedes

no

Livro I

Das coisas que

flutuam

sobre a íryua .

.

."

(Opere, v. 4, 85-6)r o .

Insisto, porque

o

princípio

de Arquimedes, cuja conseqüência é que um corpo des-cerá em

um

fluldo

se-

for

mais denso

do

que este e subirá se

for

menos densol I , con-vence Galileo de que não há corpos graves ern

si ou

leves

em

si.Um

corpo é grave (e descerá) ou leve (e subirá) em relação ao meio em que se encontra. Essa convicçÍio era necessária para a investida contra

um

dos mais formidáveis obstáculos da física aristo-télica.

Para

equilibrar

de novo a balança, ou seja, para que os pesos desiguais P

_-

Po, por

um lado,

e

P,

pelo

outro,

estejarn

em

equilíbrio

em torno

do

fulcro c,

é necessário

aproximar a tara deste

fulcro

até, digamos, a posição e(Figura -1). Qual é essa posição?

Arquimedes responde,

no

seu

tratado

Do

equil{brio

das

_fìgtras

plarws:

"

Proposição

6-7

_-

Duas grandezas, comensuráveis

ou

não, equilibrar-se-ão a distâncias

invetsamen-te

proporcionais às grandezas" (Arquime des,

Iilorks,503-4)t

2 _.

_E,

_no

_Le

_mechaniche,

Galileo escreverá: "pesos desiguais, suspensos a distâncias desiguais, pesarão igualmente

"(u)Onfloatingboclies

- llookl,p.54 l:"propositionT

Asolicllreavierthanalluidwill,if

placed in it, desccnd to the l¡ottom of the fluicl and the solid will, whcn weighted in the fluid,l¡e lightcr than its true weight

by

the weight

of

the tluid displaced".

9".

_{. solidum aqua gravius cst in aqua tanto leviu, quanta est in aere gravitas}

aquae nrolem habentis ipsius solidi moli aequalem; ".

l0'¡.

_detraendo

_il

_{mezo dalla total gravitá de}

_i

_{solirli tanto, quanto é}

_il

_{peso d'altrcttanta} mole

dcl

¡neclisimo nìczo, como Archirnede dimostra nel primo liv¡o Delle cose che stanno su

I'acqua.

..".

lrlncidentaftncntc, na expressâo "sólido mais pesado que

a

âgua",

o

"mais pesatlo" deve

entender-se evidentcmente como "mais denso". Trata-se de peso relativo, ou especlfico (gavitd

in

specie),

c

nâo dc peso absoluto (gravitd absoluto'), (lalileo se expressa como qualquer um de nós (fora da sala de aula dc Ffsica, claro).

t"(b)

_{On the equilibrium of planes ot the centtes of grovity ol plones}

_-

_{Book l, p. 503:} "P¡o-position 6,

_{7 -}

Two magnitudes, whethe¡ comnlensurable or inconrnrensurable, balance at

7

Galiteo e aTradiçõo Arquimedeana

-

La

Bilancetta

99 toda vez que essas distâncias estiverem em proporção inversa àquelas em que estfÍo os pesos" @þere,v .

2,

l6l)t

3 -É a

"lei

da alavanca"'

ae

b

d

P-Pa

P Ftgura 3

ae

Pa P-Pa

P Flgura 4

P

Por

cb (:c¿),

como na Figuru

4,

então

queP,

será rePresentado Potøe'

igual ào volume

do metal'

Portanto, a

ra'

o

metal

(ou

a sua densidade em relação à

r):

"O

peso

do

metal será tantas vezes maior

que o _{da água [de mesmo} volume] quantasvezes a distância c¿ for

maior

qve 4e" '

Observemos fìnalmente que

aþôsiçao

de e índepende do peso P, ou seja, da

quanti'

dade de metal utilizada.

II

_-

PESOS ESPECIFICOS DO OURO E

DA PRATA

ae

c Po _Ouro Figura 5 c b c b

I

13,,pesi _{desþuali pemlenti da distanze diseguali} pesefanno eguaünente, ogni volta che dette distanzå abbino iont¡zuia proporzione di quella ohe hanno i pesi"'

100

Pierre

Lucie

ae

f

c b

D

'p

_Prata

Fiswa

6

As Figwas

5

e

6

os casos respectivos do ouro e da prata.

Já

qu1

a

água

¡

fite

menos do peso do

ouro

que do da pratA,

por

ser esta

menos

ponto/(prata)

estará mais

próximo

do

fulcro

c do que o ponto e

III

_-

PROBLEMA

DA

COROA

Este é o ponto central do trabalho de Galileo.

a eg f

c b

Liga

Ouro'f

Prata

Figura 7

b

(Figum T¡

uma liga de

ouro

e

balança estará necessariamente

cidiria

com e se a coroa I'osse de

Io

contrapeso] estará situado entr (Anexo, parágrafo 109).

Galileo

diz,

então

(Anexo,

parágrafo

ll9):

"Afirmo

que [os pesos de] ouro e Prata

que compõem a liga eìtao entre si na mesma razão que as distâncias [respectivas]/ge

r4Nesta altura Galileo

diz

é dalla distanza aJ alla distanza ae satála medisima che

la differenza

e

quella

de

I'argento"' Ora' a diferença

af

_-

ae = e/ é, tomando-se

c¿

ifcrença entrc

os'Íl"ftY:,do*

pesos especl-ii"os du prata c do ouro,

resp

nlre a/ e ae' que é igual à razâo ontrc esscs

7-Galileo e a Trødi@o Arquímedeano

_-

La

Bilancetta

101

ge."

Chama a seguir a atenção sobre

o fato

de que.fg, que começa no

"¡rontodapra-ia",

mede a quantidade de

ouro,

enquanto qtJe _{8e, que termina}

no

"ponto

do

ouro",

mede a quantidade de Prata.

O

problema está (corretamente) resolvido, m¿N Galileo não fornece nenhuma

jus-tificativa

da afirmação que faz.

Hoddeson

(1972)

resolve

o

problema

pelo método

analítíco. Eu mesmo, sem ter na época conhecimento daquele trabalho,

publiquei lui

alguns anos uma solução algo anríloga

(LUCIE

1978). Essas soluções são corretas, razoavelmente extensas e insípidas.

Não é

certamente

pelo

caminho

analítico

que

Galileo

procedeu, mesmo porque lhe

faltava

o

ferramental matemático, por elementar que fosse.

Muito

mais importante,

es-se

tipo

de soluçâ'o seria absolutamente estranho ao paradigma euclidiano e arquimedea'

no em que se movia o seu pensamento.

Existe,

no

entanto, uma solução

muito

mais simples. Galileo, como veremos'

pos-suía todos os seus pré-requisitos.

Além do

mais, essa solução representa um exemplo

típico

do seu modo de geometrizar os fenômenos.

Voltemos às medições do peso especffìco

do ouro

(Fisum

5)

e da

ptah(Figurø

6),

e suponhamos os dois estados de

equilíbrio

correspondentes. Obteremos um noYo

es-tado de

equilíbrio

da balançar s, representado na Figum 8.

aef

c b Prata Ouro D

,o

Pp Figura

I

A

seguir, suponhamos que fundimos

o

ouro

e a prata para constituir uma ligal ó e,

por outro

lado, substituamos

o

conjunto

dos contrapesos Po e

Po

por umcontrapeso

único de

peso

igual

à

soma dos

dois

_-

e conseqüente ìente igúal ao peso da

liga

-l sA _{balunça, dirlamos hoje, é um instrumento linear em relaçdo aos momentos.}

I osupõ"-." que _{a constituiçâo da liga conserva os volumes, condição necessária para a validade}

desta soluçâo, bem como da de Vit¡uvius. Não tenho certeza dessa conservaçá'o no caso da lig3 de ouro e pûIa. Mas à vista das o¡dens de grandezas envolvidas, o er¡o int¡oduzitlo por uma

even-tual não conservação é ce¡tamente irrelevante,

já

que a ince¡teza da balança (determinaçâo da razÍro PrrlPO) é da ordem de

l0

por cento (ver HODDESON 1972).

lO2

Pierre Lucie

suspenso

no

centro

da gravidade

_s

d?

_ls

(colocado em e) e de Po (colocado em

fl

teåos

a situação da Figura 9 idêntica à FiS ra 7'

ae

f

c b

Liga

Ouro

*

Prata

t?BDRGGREN _{sustenta a tese} que o livro

I

do on the equilibrium of planes nâo é uma obra autêntica ds Archimcdcs.

Figra9

Basta escrever que

o

centro de gravidade.g divide

o

intervalo

ef

emruzão inversa à

razão dos pesos Po e Pp (é a

"lei

da alavanca"):

Ís :

Po =

Peso do

ouro

na liga,

7

Galileo e a

Tradiçio

Arquimecleatu

'

La

Bilancetta

103

onde se reúne toda a gravidade.

.

."

(Opere,

v.2, 160)tE.

Mas

já

rtos Tltæremata, ao

determinar

o

centro de gravidade de

um

sistema de pesos eqüidistantes e que crescem

ern

clcterminadas proporções,

tinha

lançado mão repetidamente da propriedade da

substituição

de

Ltrn sistema

pelo

seu peso

total

situado

no

centro

de gravidade do corrjrrnto (O¡tere, v. 1

,

188; 198-200).

Quanto à

su¡rerposição dos estados de

equilíbrio

relativos ao

ouro

e à Prata,

res-pectivamente, seria ocioso indagar

da

possibilidade de

Galileo

ter

utilizado

esse

re-curso.

Na

sua

obra cientítìca,

teve poucas oportunidades de lançar mão do que hoje cham¿rnros

"princÍpio

de superposição". Uma delas

foi

em La bilancetta.

A

outra se

en-cotltra rìo

cluc

rnuitos

consideram

como

a

contribuição

magna

de

Galileo

à nova

ciência

da

urecânica:

a

solução do problema do movimento

do projétil,

discutida no

quarto

dia dos Discursos em

torno

de duas novas ciêncizs

(1638).

Para mostrar que a

trajetória

é

uma parábola,

Calileo

superpõe

um

movimento ine¡cial, e

portanto

uni-forme, e um movimento vertical de queda livre, uniformemente acelerado.

Para

terminar,

descjo prestar homenagem à magnífìca aula de física experimental

que Galilco nos legou ao descrever a construção e a operação da bílancetta. Historia-dores

e

filósolos

da ciência debatem ainda

hoje

a respeito da

atitude

de Galileo em

relação

à

experiência.

Teria ele

realmente realizado as experiências que descreve, ou seriám a maioria delas experiências "pensadas"?

É

ele

um

indutivista, um dedutivista,

um

racionalista. . .? Não sendo especialista nessas áreas, não me atreverei a entrar nessa arena. Mas

por mim,

e

já

que me

limitei

ao estudo de

La

bilsncetts

n6o ¡esta dúvida que essa experiência (pelo menos) ele realizou.

E

me compraz imaginar

o

velho sábÍo,

já

cego,

no

seu

retiro

forçado de

Arcetri,

o

Galileo clo processo, do

Diribgo e

dos Discursos, Iememorando com delícia a humilde

bilsncetta

da sua juventude, em que contava espiras pelo tato e pelo ouvido: . .

' tic. .

.

tic...tic...

LISTA tsIBI,IOGRÁFTCA

I

ARQLIIi\4 l;.Dl;.S. The works

ol

Arcltimcdes, includittg the method

.'Irad.

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lE"l,:

_,1.

_piú

¡rossiarrro, sccondaria¡nento, supporc: ciasche<luno corpo grave gravitare rnassi' t¡ìa¡tcrìtc so¡rrc

il

ccntro dclla sua gravití, cd in csvt, cornc iu proprit> seggio, raccórsi ogni impeto,

ïr

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