UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Rafael Augusto Pedriali
Estatísticas de Ordem Superior para Modelos
de Desvanecimento Composto
Campinas
2019
Rafael Augusto Pedriali
Estatísticas de Ordem Superior para Modelos de
Desvanecimento Composto
Dissertação apresentada à Faculdade de En-genharia Elétrica e de Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Telecomunicações e telemática.
Orientador: Prof. Dr. Michel Daoud Yacoub
Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Rafael Augusto Pedriali, e orientada pelo Prof. Dr. Michel Daoud Yacoub
Campinas
2019
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Rose Meire da Silva - CRB 8/5974
Pedriali, Rafael Augusto,
P343e PedEstatísticas de ordem superior para modelos de desvanecimento composto / Rafael Augusto Pedriali. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
PedOrientador: Michel Daoud Yacoub.
PedDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Ped1. Sistemas de comunicação sem fio. 2. Canal em desvanecimento. 3. Radio - Transmissores e transmissão - Desvanecimento. I. Yacoub, Michel Daoud, 1955-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Higher order statistics for composite fading models Palavras-chave em inglês:
Wireless communication systems Fading channel
Radio - Transmitters and transmission - Fading
Área de concentração: Telecomunicações e Telemática Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica
Banca examinadora:
Michel Daoud Yacoub [Orientador] José Antonio Martins
Gustavo Rodrigues de Lima Tejerina Data de defesa: 07-08-2019
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-5377-3600 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/1533763210344479
COMISSÃO JULGADORA - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Candidato: Rafael Augusto Pedriali RA: 190742 Data da Defesa: 07 de agosto de 2019
Título da Tese: “Estatísticas de Ordem Superior para Modelos de Desvanecimento
Com-posto”.
Prof. Dr. Michel Daoud Yacoub (Presidente) Prof. Dr. José Antonio Martins
Prof. Dr. Gustavo Rodrigues de Lima Tejerina
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no SIGA (Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese) e na Secretaria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Agradecimentos
A Deus por todas as oportunidades proporcionadas em minha vida;
Ao Professor Dr. Michel Daoud Yacoub, pela valorosa orientação, confiança, e por sua competência. Sou grato por ter tido oportunidade de tê-lo como orientador;
Aos colegas de laboratório pela ajuda e companheirismo durante o trabalho, em especial ao Carlos;
Aos professores da FEEC/UNICAMP, com que tive a honra de conhecer; Ao apoio de minha família (Paulo, Maria, Lucas, Samy e Ohana);
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio financeiro. Processo: 143435/2017-5.
“Quem deseja aprender a voar, deve primeiro aprender a caminhar, a correr, a escalar e a dançar. Não se aprende a voar voando.” (Friedrich Nietzsche)
Resumo
Esta dissertação apresenta uma nova formulação genérica para as estatísticas de ordem superior em modelos de desvanecimento composto. Expressões novas e relevantes para a taxa de cruzamento de nível e o tempo médio de desvanecimento são apresentados. Al-gumas combinações dos ambientes de desvanecimento Rayleigh, Nakagami-𝑚, 𝛼-𝜇 e -𝜇 são aplicadas e analisadas, no intuito de verificar as expressões formuladas. Mais impor-tante, uma estrutura geral para as estatísticas de ordem superior estão disponíveis para representar os modelos de desvanecimento composto.
Palavras-chaves: Taxa de cruzamento de nível; Tempo médio de desvanecimento;
Abstract
The present dissertation introduces a novel general framework for the higher order statis-tics of composite fading models. New and relevant expressions for the level crossing rate and average fade duration are here presented. Some combinations of Rayleigh,
Nakagami-𝑚, 𝛼-𝜇 and 𝜅-𝜇 fading scenarios are applied and analyzed, in order to verify the expression
of the derived formulations. Most importantly, the equations of the higher order statistics framework is available to represent composite fading models.
Lista de ilustrações
Figura 2.1 – Ilustração conceitual geral para os modelos de desvanecimento de canal. 20 Figura 2.2 – Ilustração conceitual da LCR. . . 22 Figura 2.3 – Ilustração conceitual do AFD. . . 23 Figura 4.1 – A LCR para o ambiente composto Rayleigh×Rayleigh para vários
va-lores de 𝑓 . . . . 39 Figura 4.2 – O AFD para o ambiente composto Rayleigh×Rayleigh para vários
va-lores de 𝑓 . . . . 40 Figura 4.3 – A LCR para o ambiente composto Rayleigh×Nakagami-𝑚, com 𝑓 =
0.01 e para alguns valores do parâmetro 𝑚𝐿 conforme a tabela. . . 42
Figura 4.4 – O AFD para o ambiente composto Rayleigh×Nakagami-𝑚, com 𝑓 = 0.01 e para alguns valores de 𝑚𝐿 conforme a tabela. . . 42
Figura 4.5 – A LCR para o ambiente composto Nakagami-𝑚×Rayleigh, com 𝑓 = 0.01 e para alguns valores de 𝑚𝑆 conforme a tabela. . . 44
Figura 4.6 – O AFD para o ambiente composto Nakagami-𝑚×Rayleigh, com 𝑓 = 0.01 e para alguns valores de 𝑚𝑆 conforme a tabela. . . 44
Figura 4.7 – A LCR para o ambiente composto Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚, com
𝑓 = 0.01 e para alguns valores de 𝑚𝑆 e 𝑚𝐿 conforme a tabela. . . 46
Figura 4.8 – O AFD para o ambiente composto Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚, com
𝑓 = 0.01 e para alguns valores de 𝑚𝑆 e 𝑚𝐿 conforme a tabela. . . 47
Figura 4.9 – A LCR para o ambiente composto 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para vários valores dos parâmetros físicos 𝛼𝑆, 𝛼𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 48 Figura 4.10–O AFD para o ambiente composto 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para
vários valores dos parâmetros físicos 𝛼𝑆, 𝛼𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 49 Figura 4.11–A LCR para o ambiente composto 𝛼-𝜇 × 𝜅-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para
vários valores dos parâmetros físicos 𝛼𝑆, 𝜅𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 51 Figura 4.12–O AFD para o ambiente composto 𝛼-𝜇 × 𝜅-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para
vários valores dos parâmetros físicos 𝛼𝑆, 𝜅𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 52 Figura 4.13–A LCR para o ambiente composto 𝜅-𝜇 × 𝛼-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para
vários valores dos parâmetros físicos 𝜅𝑆, 𝛼𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
Figura 4.14–O AFD para o ambiente composto 𝜅-𝜇 × 𝛼-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para vários valores dos parâmetros físicos 𝜅𝑆, 𝛼𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 54 Figura 4.15–A LCR para o ambiente composto 𝜅-𝜇 × 𝜅𝐿-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para
vários valores dos parâmetros físicos 𝜅𝑆, 𝜅𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 56 Figura 4.16–O AFD para o ambiente composto 𝜅-𝜇 × 𝜅𝐿-𝜇, com 𝑓 = 0.01 e para
vários valores dos parâmetros físicos 𝜅𝑆, 𝜅𝐿, 𝜇𝑆 e 𝜇𝐿 de acordo com a
tabela. . . 56 Figura 4.17–O AFD para o ambiente composto 𝛼-𝜇 × 𝜅-𝜇, com 𝛼𝑆 = 3, 𝜇𝑆 = 3.1,
𝜅𝐿 = 2, 𝜇𝐿 = 2 e 𝑓 variando conforme a tabela. . . . 57
Figura 4.18–O AFD para o ambiente composto 𝜅-𝜇 × 𝜅-𝜇, com 𝜅𝑆 = 2, 𝜇𝑆 = 3.1,
Lista de Acrônimos
AFD Average Fade Duration
CDF Cumulative Density Function
LCR Level Crossing Rate
MGF Moment Generating Function MIMO Multiple Input Multiple Output PDF Probability Density Function RFID Radio-Frequency IDentification V2I vehicle–to-road-side infrastructure V2V vehicle-to-vehicle
Sumário
1 Introdução . . . 15 1.1 Contextualização . . . 15 1.2 Revisão Bibliográfica . . . 17 1.3 Objetivo e Justificativa . . . 18 1.4 Estrutura da Dissertação . . . 19 2 Fundamentação Teórica . . . 202.1 Introdução ao Canal de Rádio Móvel . . . 20
2.2 Estatísticas de Ordem Superior . . . 22
2.3 Análise dos Modelos de Canal . . . 23
2.3.1 Distribuição Lognormal . . . 23 2.3.2 Distribuição Rayleigh . . . 24 2.3.3 Distribuição Nakagami-𝑚 . . . 27 2.3.4 Distribuição 𝛼-𝜇 . . . 27 2.3.5 Distribuição 𝜅-𝜇 . . . . 29 2.4 Distribuições Compostas . . . 31 2.4.1 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 . . . . 31 2.4.1.1 Rayleigh×Rayleigh . . . 32 2.4.1.2 Rayleigh×Nakagami-𝑚 . . . . 32 2.4.1.3 Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚 . . . . 32 2.4.2 𝛼-𝜇 × 𝜅-𝜇 . . . . 33 2.4.3 𝜅-𝜇 × 𝜅-𝜇 . . . . 34 2.5 Conclusão . . . 34 3 Metodologia Proposta . . . 35
3.1 Expressões Gerais para LCR e AFD em Canais com Desvanecimento Com-posto . . . 35 3.2 Conclusão . . . 37 4 Resultados . . . 38 4.1 Rayleigh×Rayleigh . . . 38 4.2 Rayleigh×Nakagami-𝑚 . . . . 40 4.3 Nakagami-𝑚×Rayleigh . . . . 42 4.4 Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚 . . . 45 4.5 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 . . . . 47 4.6 𝛼-𝜇 × 𝜅-𝜇 . . . . 49 4.7 𝜅-𝜇 × 𝛼-𝜇 . . . . 51
4.8 𝜅-𝜇 × 𝜅-𝜇 . . . . 54
4.9 A Influência de 𝑓 para Valores Especiais em 𝛼, 𝜅 e 𝜇 . . . . 56
4.10 Conclusão . . . 58
5 Conclusão . . . 59
15
1 Introdução
A globalização é um processo do mundo moderno que estabelece relações econômicas, sociais, comerciais e políticas, permitindo a integração destas classes pratica-mente de forma instantâneas e sem restrição de suas posições geográficas. A globalização iniciou com a exploração comercial marítma nos séculos XV e XVI, fortaleceu com a re-volução industrial e prosperou com o advento das redes de comunicações cabeados e sem fio. Este processo vem evoluindo continuamente devido ao desenvolvimento nos setores da mobilidade e principalmente da telecomunicação [1].
As redes de comunicações é uma das áreas da telecomunicação e também um importante pilar do processo da globalização. Ela vem sendo aprimorada desde o século XX com transmissões de dados em tempo real, tornado-se uma ferramenta fácil e pratica. Além disso, é um sistema que se popularizou e a demanda crescente de usuários exigem ta-xas de transmissão cada vez maiores e mais eficientes. Embora seja um sistema promissor, existem diversas limitações provocadas pelo canal que distorcem a correta transmissão de dados e interferem na eficiência da rede. A fim de contornar este problema existem méto-dos e métricas para caracterizar adequadamente o comportamento do ambiente. Tendo em vista todos estes aspectos, esta dissertação procura contribuir com a caracterização mais confiável do canal de rádio móvel, particularmente nas estatísticas de ordem superior.
1.1
Contextualização
Nos sistemas de comunicação sem fio, as estimativas do nível do sinal podem ser realizadas por meio dos modelos de canais. Estes modelos são aproximações que tentam representar as diversas distorções do sinal provocadas pelo canal de rádio e podem ser classificados pelos modelos: determinísticos, empíricos e estatísticos, apresentados a seguir. Os modelos determinísticos se baseiam nas leis do eletromagnetismo para cal-cular a intensidade do sinal de rádio móvel em qualquer instante de tempo a partir de parâmetros considerados. Dependendo das condições do canal, este modelo torna-se difí-cil de mensurar, logo exigem maiores recursos computacionais em suas medidas. Algumas ferramentas utilizadas para estimar o canal são Geommetrical Theory of Diffraction [2], Uniform Theory of Diffraction [3] e Finite Element Method [4].
Os modelos empíricos são formados a partir de medidas realizadas sobre o canal com relação à atenuação do sinal de rádio e sob condições específicas. Estes mode-los devem ser adaptados caso as condições proporcionadas pelo ambiente sejam alteradas.
Capítulo 1. Introdução 16
Além disso, a implementação computacional é mais fácil e exige poucos recursos de proces-samento. Alguns exemplos de modelos empíricos são: Egli, Blomquist, Longley, Okumura, Hata [5].
Os modelos estatísticos de desvanecimento tratam os fenômenos que acontecem sobre o canal como eventos aleatórios e ocorrem com uma determinada probabilidade, com isso, é possível aproveitar as vantagens das diversas ferramentas estatísticas que podem ser aplicadas sobre o ambiente. Ademais, estes modelos de desvanecimento se dividem em: multipercurso e sombreamento, ambos são definidos como processos aleatórios, mas se diferenciam por diversos fatores que interferem na intensidade do sinal.
No caso do multipercurso, estes fatores correspondem à difração, reflexão, refração, de modo geral corresponde ao espalhamento do sinal em ambientes urbanos e/ou vegetativos. As distribuições de multipercurso mais conhecidas são: Rayleigh, Rice, Nakagami-𝑚, Weibull e Hoyt [6], os quais já foram amplamente estudados e aplicados em diversas pesquisas. Porém, novas distribuições de desvanecimento mais generalizadas foram propostas com o intuito de representar o canal de rádio com maior fidelidade. Estas consistem nas distribuições 𝜂-𝜇, 𝜅-𝜇 [7], 𝛼-𝜇 [8], 𝛼-𝜅-𝜇, 𝛼-𝜂-𝜇 [9] e 𝛼-𝜂-𝜅-𝜇 [10].
No sombreamento, ocorre uma lenta variação no nível do sinal devido a grandes obstruções no caminho do sinal provocado por uma colina ou um grande prédio. A melhor distribuição que a representa é a Lognormal, mas devido à dificuldade algébrica que esta apresenta, pode ser aproximado por outras distribuições de probabilidade [6].
Por meio da combinação entre estes dois modelos de desvanecimento, é possível representar o modelo de desvanecimento composto em multipercurso-sombreamento. Este cenário ocorre frequentemente quando um sinal em desvanecimento lento interage com o ambiente urbano e/ou vegetativo provocando o espalhamento do sinal. Algumas formas de desvanecimento composto são representadas pelo produto de variáveis aleatórias, as quais aparecem em diversos sistemas de comunicação sem fio como em sistemas em cascata; em sistemas de Identificação por Radiofrequência (do inglês, Radio-Frequency IDentification - RFID); canais com múltiplos saltos; em sistemas de Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas (do inglês, Multiple Input Multiple Output - MIMO) e em radares com abertura sintética de alta resolução [11]. Por se tratar de um modelo encontrado em diversos ce-nários, o desvanecimento composto tem chamado a atenção de vários pesquisadores com o objetivo de investigar o seu comportamento e obter métricas estatísticas para projetos de comunicação sem fio.
Dentre as estatísticas de primeira ordem, destacam-se a esperança, a variân-cia a função densidade de probabilidade (do inglês, Probability Density Function - PDF) e a função densidade acumulativa (do inglês, Cumulative Density Function - CDF), as
Capítulo 1. Introdução 17
quais apresentam informações importantes com relação ao comportamento e as caracte-rísticas dos canais de rádio móvel. As estatísticas de segunda ordem são descritas pela autocorrelação, autocovariância, espectro de potência, Taxa de Cruzamento de Nível (do inglês, Level Crossing Rate - LCR), Tempo Médio de Desvanecimento (do inglês, Average
Fade Duration - AFD), entre outros [12]. Estas funções são importantes na descrição das
variações temporais e espaciais do canal de rádio móvel. Com elas é possível obter pa-râmetros importantes para a análise em diversos sistemas de rádio móvel. As funções de autocorrelação e autocovariância retratam o grau de similaridade com relação a instancias temporais distintas em um processo aleatório, com elas também é possível obter dados uteis para a obtenção da LCR e do AFD. Por sua vez, a LCR e o AFD são amplamente estudas em várias pesquisas, incluindo nesta dissertação, pois contêm informações impor-tantes para projetos de comunicações sem fio, como em sistemas MIMO, em esquemas de modulação e na escolha de códigos corretores de erro [13].
1.2
Revisão Bibliográfica
Os modelos de desvanecimento compostos foram apresentados inicialmente em [14], com suas distribuições propostas: Rayleigh-Lognormal, Rice-Lognormal e
Nakagami-𝑚-Lognormal. No entanto, as integrais envolvendo a Lognormal dificilmente são resolvidas
em fórmula fechada devido à sua complexidade algébrica. Sendo assim, em [15] foram de-senvolvidas estimativas para os modelos de Rayleigh-Lognormal, Nakagami-𝑚-Lognormal, Rayleigh-Gama e Nakagami-𝑚-Gama. Vale ressaltar que algumas formas de desvaneci-mento composto pode ser definido pelo produto de variáveis aleatórias, as quais aparecem de forma prática em diversos ambientes de comunicação sem fio. O canal em sistemas RFID pode ser modelado como um sistema em cascata caracterizado pelo produto de variáveis aleatórias [16]. Similarmente, canais com múltiplos saltos podem ser obtidos por meio do produto individual do ganho de cada canal [17, 18]. O efeito keyhole em sistemas MIMO [19, 20], a abertura sintética de alta resolução em radar clutter [21] e canais em cascata [22, 23] também são caracterizados pelo produto de variáveis aleatória.
Em [24], foi proposto um novo modelo de desvanecimento composto, formado pela mistura de distribuições Gama, enquanto em [25] foi analisado a distribuição Weibull-Gama. As estatísticas de segunda ordem para o modelo composto 𝒦 generalizado esten-dido foram formuladas e validadas por simulação em [23]. Em [26], os autores tratam sobre o controle adaptativo para um sinal M-PSK em desvanecimento composto. Neste, o modelo adotado utiliza o desvanecimento Rice e ajusta o controle da potência de acordo com o nível de sombreamento do sinal. Em [27], o modelo de desvanecimento composto foi verificado em comunicações entre veículos (do inglês, vehicle-to-vehicle - V2V) e em
Capítulo 1. Introdução 18
infraestrutura próximo ao veiculo (do inglês, vehicle–to-road-side infrastructure - V2I). Além disso, os autores examinaram o desempenho do sensoriamento espectral sobre o desvanecimento composto, e mostraram que o esquema proposto é mais rápido e confiável em redes veiculares cognitivas.
Em [28], desenvolveram-se novas formulações para a função densidade da PDF e CDF, função geradora de momentos (do inglês, moment generating function - MGF), os momentos de ordem superior e a quantidade de desvanecimento para os modelos compos-tos 𝜅-𝜇/Gama inversa e 𝜂-𝜇/Gama inversa. Estas estatísticas também foram validadas experimentalmente pelos autores. Em [29] uma investigação com diversos conjuntos de dados obtidos a partir de medições fora do corpo em desvanecimento composto foi ob-servada experimentalmente e comparada com alguns modelos de desvanecimento, com destaque para a 𝜂-𝜇/Gama inversa, que apresenta o melhor ajuste nos dados. Além disso, as expressões algébricas para estatística do produto de variáveis aleatórias independen-tes e não identicamente distribuídas (i.n.i.d) é encontrado em vários artigos [11, 30, 31]. Em [30], a expressão para o produto entre duas 𝛼-𝜇 i.n.i.d é encontrada e para o produto de múltiplas 𝛼-𝜇 é dado em [31]. Em [11], desenvolveram-se combinações para o produto entre duas variáveis aleatórias i.n.i.d 𝛼 − 𝜇, 𝜅 − 𝜇 e 𝜂 − 𝜇, as quais são apresentadas em termos da função H de Fox e em expansões em série.
Além das distribuições de desvanecimento, suas estatísticas de segunda ordem também possuem informações relevantes com relação a diversas medidas de desempenho em projetos de comunicação sem fio. Em vários estudos é possível encontrar expressões da LCR e do AFD para seus respectivos ambientes [5, 8, 32–34]. Além disso, existem diversos estudos com aplicações, como em [35–37], nos quais as probabilidades de transição entre diferentes estados de uma cadeia de Markov de estado finito em canais de desvanecimento são calculados baseado em diferentes níveis da LCR. Também são importantes para a análise de sistemas MIMO como observado em [38]. Em [39], um estudo sobre LCR e AFD no contexto de canais MIMO inclui aplicações em modulação adaptativa para tais canais. As informações da AFD são muito importantes para selecionar o comprimento do quadro em sistemas de pacotes codificados e também na otimização de intercaladores que combatem erros de rajada devido ao desvanecimento longo [40, 41]. Esquemas de modu-lação adaptativos e o tempo médio que uma determinada constemodu-lação é continuamente usada estão relacionados ao AFD [42, 43].
1.3
Objetivo e Justificativa
Nos sistemas de comunicação sem fio, a potência dos sinais transmitidos so-fre atenuação associada a diversos fatores, alguns deles são: perda de percurso, difração,
Capítulo 1. Introdução 19
reflexão, espalhamento e sombreamento. Logo, a modelagem adequada do canal ajuda a quantificar os efeitos provocados por tais fatores. Embora as expressões para os modelos compostos de desvanecimento já tenham sido desenvolvidas, as análises estão limitadas majoritariamente às estatísticas de primeira ordem. Este trabalho apresenta expressões generalizadas para o desenvolvimento das estatísticas de segunda ordem em distribuições compostas de desvanecimento, em especial, LCR e o AFD. Estes temas contêm informa-ções relevantes com relação a frequência de erros em rajadas, e da quantidade de símbolos afetados pelo desvanecimento. Consequentemente, a caracterização apropriada destes tó-picos pode ser utilizada para um melhor projeto de sistemas de comunicações sem fio.
A proposta deste trabalho é definir as expressões gerais para a LCR e o AFD sobre distribuições compostas de desvanecimento, e que podem ser empregadas em diver-sos modelos de canais. Objetiva-se ainda, aplicar as expressões sobre as distribuições de desvanecimento compostas listadas a seguir.
∙ Rayleigh×Rayleigh; ∙ Rayleigh×Nakagami-𝑚; ∙ Nakagami-𝑚×Rayleigh; ∙ Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚; ∙ 𝛼 − 𝜇 × 𝛼 − 𝜇; ∙ 𝛼 − 𝜇 × 𝜅 − 𝜇; ∙ 𝜅 − 𝜇 × 𝛼 − 𝜇; ∙ 𝜅 − 𝜇 × 𝜅 − 𝜇.
1.4
Estrutura da Dissertação
Esta dissertação foi estruturada como a seguir.O Capítulo 2 inicia com uma abordagem sobre o canal de rádio móvel, em que serão detalhadas as estatísticas de se-gunda ordem dos principais modelos de canais envolvidos no projeto. O Capítulo 3 desen-volve formulações gerais para as estatísticas de ordem superior em ambientes compostos, em especial a LCR e o AFD. O Capítulo 4 aplica e analisa as expressões desenvolvidas sobre diversos ambientes compostos pela combinação entre Rayleigh, Nakagami-𝑚 𝛼-𝜇 e 𝜅-𝜇. Finalmente, no Capítulo 5 é apresentado as conclusões finais incluindo sugestões para trabalhos futuros.
20
2 Fundamentação Teórica
Este Capítulo apresenta as principais informações para auxiliar na compre-ensão e no desenvolvimento do projeto. O Capítulo inicia abordando o canal de rádio móvel, classificando-o e apresentando suas principais características. Em seguida, serão detalhadas as estatísticas de segunda ordem, em especial a taxa de cruzamento de nível e o tempo médio de desvanecimento. Por último, será introduzido uma breve análise sobre os principais modelos de canais envolvidos neste trabalho.
2.1
Introdução ao Canal de Rádio Móvel
O desvanecimento de canal ocorre devido à atenuação da potência do sinal por diversos fatores, alguns deles são: presença de obstáculos, formato do terreno, efeito Doppler, reflexão, refração e difração das ondas e espalhamento do sinal. Devido à grande quantidade de fatores, a degradação do sinal pode ser classificada pelos fenômenos de perda de percurso, sombreamento e multipercurso [13], ilustrados na Figura 2.1.
Distância Sombreamento Multipercurso Perda de Percurso In ten s id ad e d o Si n al (d B )
Figura 2.1 – Ilustração conceitual geral para os modelos de desvanecimento de canal.
A perda de percurso é caracterizada como um processo determinístico causada pela dissipação de energia do sinal conforme o aumento da distância percorrida. Já o multipercurso e o sombreamento correspondem aos modelos estatísticos, em que são mais adequados para caracterizar o ambiente repleto de fatores que distorcem as propriedades
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 21
do sinal. No entanto, conforme visto na Figura 2.1, o multipercurso apresenta uma variação do nível do sinal mais intenso comparado ao sombreamento [13].
O sombreamento, também conhecido por desvanecimento em longo prazo ou em larga escala, e é definido como um processo aleatório, ocorrendo frequentemente em sistemas terrestres e via satélite. Nesta situação, a qualidade do enlace é afetada pela variação lenta do nível do sinal devido à obstruções em larga escala (prédios ou monta-nhas) no percurso do sinal entre o transmissor e o receptor. A distribuição Lognormal é o principal modelo estatístico de canal utilizado para caracterizar o sombreamento [5]. O multipercurso, também conhecido por desvanecimento em curto prazo ou em pequena escala, ocorre em ambientes internos, urbanos e vegetativos. Neste, a presença de diversos objetos interferem na grandeza dos sinais propagados, formando múltiplos sinais que se diferenciam em amplitude, fase e frequência. Este desvanecimento provoca uma variação do nível do sinal mais intensa, quando comparado ao sombreamento [5]. Existem diver-sas distribuições descritas na literatura que são utilizadas para descrever o fenômeno de multipercurso, como a Rayleigh, Nakagami-𝑚, Rice, Weibull Hoyt, 𝛼-𝜇, 𝜅-𝜇, 𝜂-𝜇 entre outras [6].
O efeito Doppler é um fenômeno físico de desvanecimento que se manifesta nos sistemas de comunicações sem fio, e ocorre devido ao deslocamento de pelo menos uma das antenas do enlace. Este, proporciona uma variação na frequência do sinal recebido, a qual pode ser calculada por
𝑓𝑑=
𝑣
𝜆cos 𝜃, (2.1)
onde 𝑓𝑑 é a frequência de Doppler, 𝜆 é o comprimento de onda do sinal emitido, 𝑣 é a
velocidade de propagação da onda e 𝜃 é o angulo entre a direção de movimento da antena e direção do enlace entre as antenas [13].
O tempo de coerência (𝑡𝑐) do canal está relacionado ao espalhamento Doppler
sendo uma importante métrica para diferenciar um processo em desvanecimento de multi-percurso para o sombreamento. Este tempo mede o período no qual a função de correlação de duas amostras de uma resposta ao canal, em tempos distintos, decresce abaixo de um limite predeterminado [44].
𝑡𝑐 ≃
1
𝑓𝑑
. (2.2)
O desvanecimento pode ser definido como longo prazo se 𝑡𝑐for maior do que o
tempo de duração de um simbolo (𝑡𝑠). Neste caso, a atenuação do nível do sinal provoca
erros em rajada. Caso 𝑡𝑐seja menor que 𝑡𝑠o desvanecimento é considerado de curto prazo,
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 22
2.2
Estatísticas de Ordem Superior
As estatísticas de ordem superior procuram representar as variações temporais e espaciais do canal de rádio móvel, os quais são causados por diversos fatores como o desvio da frequência, a velocidade da propagação de ondas, e o tempo de atraso do sinal propagado. Logo, há um interesse em quantificar a variação do sinal e seu o compor-tamento dinâmico, a fim de aprimorar o desempenho dos sistemas de comunicação sem fio. [5] [13]. As informações da variação do sinal podem ser analisadas em termos da LCR e do AFD.
A LCR (𝑁𝑅(𝑟)) é definida como a média do número de vezes em que a
envol-tória de um sinal em desvanecimento cruza um determinado nível (𝑅) no sentido positivo ou negativo, dado um certo período de tempo. A Figura 2.2 ilustra essa situação, e sua formula é definida por,
𝑁𝑅(𝑟) = 𝐸[ ˙𝑟|𝑟 = 𝑅] =
∫︁ ∞
0
˙𝑟𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) 𝑑 ˙𝑟, (2.3) em que ˙𝑟, representa a variação temporal para a envoltória 𝑟, e 𝑝(𝑅, ˙𝑟) é a PDF conjunta para ˙𝑟 e 𝑟 = 𝑅.
Limiar R
Figura 2.2 – Ilustração conceitual da LCR.
As equações da LCR para diversas distribuições de probabilidade ja foram deduzidas e estão presentes na literatura. Os cenários abordados nesta dissertação estão detalhados na Seção 2.3.
O AFD (𝑇𝑅(𝑟)) avaliado em um intervalo de tempo 𝒯 , é definido como a
razão entre o tempo total do sinal recebido estar abaixo de um nível 𝑅 e o número total de desvanecimento, dado por
𝑇𝑅(𝑟) = ∑︀ 𝜏𝑖 𝑁𝑅(𝑟)𝒯 , (2.4) em que ∑︀ 𝜏𝑖
𝒯 , corresponde à CDF, 𝐹𝑅(𝑟), avaliada em R, resultando em
𝑇𝑅(𝑟) =
𝐹𝑅(𝑟)
𝑁𝑅(𝑟)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 23
A Figura 2.3 ilustra este cenário.
τ
1τ
2τ
3τ
4Figura 2.3 – Ilustração conceitual do AFD.
Diante disso, o AFD pode ser interpretado como o número esperado de bits de sinalização que serão perdidos devido ao desvanecimento.
2.3
Análise dos Modelos de Canal
Esta seção apresenta as distribuições de desvanecimento que serão utilizadas neste trabalho, incluindo a distribuição Lognormal. Os modelos abordadas apresentam diversas informações úteis, como as representações físicas e as estatísticas do canal. Ex-clusivamente nesta seção as variáveis 𝑋 e 𝑌 correspondem as componentes em fase e quadratura de um sinal propagado respectivamente.
2.3.1
Distribuição Lognormal
Considere uma onda de rádio propagando em um ambiente qualquer, dada pela expressão a seguir
𝐸𝑛= 𝐸0exp(−𝑎 𝑑), (2.6)
em que 𝐸0 é a amplitude do campo elétrico em um ambiente livre, 𝑑 é a direção de propagação e 𝑎 é uma constante de atenuação
Durante a transmissão, a onda atravessa várias obstruções pelo caminho como construções, túneis, morros, árvores, entre outros. Cada obstrução possui sua própria atenuação da intensidade do sinal. Desta forma, pode-se escrever um sinal composto por
𝑛 obstruções como
𝐸𝑛 = 𝐸0exp (𝑧) , (2.7)
em que 𝑧 é definindo por
𝑧 , (︃ − 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 𝑎𝑖Δd𝑖 )︃ . (2.8)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 24
Em seguida, admite-se que 𝑎𝑖 e Δ𝑑𝑖 variam aleatoriamente a cada obstrução,
existe um grande número de obstruções e, o teorema do limite central é valido. Desta forma, 𝑍 é uma variável aleatória definida pela distribuição normal dada por
𝑓𝑍(𝑧) = 1 √ 2𝜋𝜎𝑍 exp [︃ −1 2 (︂𝑧 − 𝑚 𝑍 𝜎𝑍 )︂2]︃ , (2.9)
em que 𝑚𝑍 é o valor médio de 𝑧, 𝜎𝑍2 é sua variância
Escrevendo 𝑟 = 𝐸𝑛/𝐸0, tem-se que
𝑟 = 𝐸𝑛 𝐸0
= exp(𝑧), (2.10)
e aplicando o logaritmo em (2.10), pode-se definir as seguintes equações
𝑅 , log(𝑟) = 𝑍 log(e) 𝑀𝑅, log(𝑚𝑅) = 𝑚𝑍log(e)
𝜎𝑅, log(𝜎𝑅) = 𝜎𝑍log(e) (2.11)
Com o intuito de encontrar a função densidade de probabilidade em 𝑟, é ne-cessário fazer a transformação de variáveis aleátorias de 𝑧 para 𝑟, com
|𝑑𝑟| = log(e)|𝑑𝑧|. (2.12)
Após as manipulações adequadas com as equações dadas em (2.11), obtém-se a PDF da distribuição lognormal, dada por
𝑓𝑅(𝑟) = 1 √ 2𝜋 𝑟 𝜎𝑍 exp [︃ −ln (𝑟/𝑚𝑅) 2 ) 2𝜎2 𝑍 ]︃ . (2.13)
A função acumulativa é obtida por
𝐹𝑅(𝑟0) = Prob{𝑟 ≤ 𝑟0} =
∫︁ 𝑟0
−∞𝑓𝑅(𝑟)𝑑 𝑟. (2.14)
Para o ambiente modelado pela Lognormal, a CDF é obtida ao aplicar (2.13) em (2.14) [5].
2.3.2
Distribuição Rayleigh
A distribuição de Rayleigh é um modelo de probabilidade contínuo e com valo-res positivos utilizada para modelar diversas variáveis aleatórias. No caso da caracterização de canais de rádio, a distribuição de Rayleigh, é o modelo de desvanecimento mais simples que descreve a envoltória do sinal recebido mediante a propagação de um aglomerado de sinais em fase e em quadratura espalhados uma linha de visada. Sua representação física é
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 25
caracterizada pelo conjunto dos inúmeros componentes de multipercurso com amplitudes distintas e fases distribuídas uniformemente entre 0 e 2𝜋 rad, correspondendo ao sinal 𝑟
𝑟 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 𝑎𝑖exp [𝑗 (𝜃𝑖+ 𝑡𝜔0)] . (2.15) Equivalentemente, 𝑟 = 𝐴 cos(𝜃) + 𝑗𝐴 sin(𝜃) , 𝑥 + 𝑗𝑦 (2.16) em que 𝐴 =∑︀𝑛
𝑖=0𝑎𝑖 e 𝑥 e 𝑦 são definidos por
𝑥 , 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 𝑎𝑖cos (𝜃𝑖 + 𝑡𝜔0) 𝑦 , 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 𝑎𝑖sin (𝜃𝑖+ 𝑡𝜔0) , (2.17) analogamente, 𝑥 = 𝑟 cos(𝜃) 𝑦 = 𝑟 sin(𝜃). (2.18)
Portanto, sua representação física corresponde a
𝑅2 = 𝑋2+ 𝑌2. (2.19)
Assumindo que 𝑛 é suficientemente grande e as amplitudes e fases são distintas, então 𝑋 e 𝑌 são variáveis aleatórias que seguem a distribuição Gausseana com média zero e variâncias 𝜎2
𝑋 = 𝜎𝑌2. Suas PDFs são dadas por
𝑓𝑋(𝑥) = 1 √ 2𝜋𝜎𝑋 exp (︃ − 𝑥 2𝜎2 𝑋 )︃ 𝑓𝑌(𝑦) = 1 √ 2𝜋𝜎𝑌 exp (︃ − 𝑦 2𝜎2 𝑌 )︃ , (2.20)
em que 𝜎𝑋2 = 𝜎𝑌2 , 𝜎𝑅2 = ^𝑟2/2 e ^𝑟 correspondem ao valor médio quadrático da envoltória 𝑟.
Assumindo que 𝑋 e 𝑌 são estatisticamente independentes, então a distribuição conjunta em fase e em quadratura corresponde ao produto das PDFs marginais, isto é
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦) = 1 2𝜋𝜎2 𝑅 exp [︃ −𝑥 2+ 𝑦2 2𝜎2 𝑅 ]︃ . (2.21)
Fazendo a transformação de variáveis aleatórias na forma tem-se
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 26
em que J é a matriz de transformação dada por
J = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕x 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝜃 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ . (2.23)
O determinante de J é calculado com o auxilio das equações dadas em (2.18), em seguida é feita a mudança de variaveis aleatórias. A PDF de 𝑓𝑅,Θ(𝑟, 𝜃) resulta em
𝑓𝑅,Θ(𝑟, 𝜃) = 𝑟 2𝜋𝜎𝑟 exp (︃ − 𝑟 2 2𝜎2 𝑅 )︃ . (2.24)
Aplicando a probabilidade marginal em (2.24), a PDF em r resulta em.
𝑓𝑅(𝑟) = ∫︁ 2𝜋 0 𝑓𝑅,Θ(𝑟, 𝜃) 𝑑 𝜃 = 𝑟 𝜎2 𝑅 exp (︃ − 𝑟 2 2𝜎2 𝑅 )︃ . (2.25) E a CDF é dada por [5] 𝐹𝑅(𝑟0) =Prob{𝑟 ≤ 𝑟0} = ∫︁ 𝑟0 0 𝑓𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 =1 − exp (︃ − 𝑟 2 0 2𝜎2 𝑅 )︃ . (2.26)
A PDF conjunta da envoltória e de sua variação temporal ( ˙𝑅) resulta de 𝑓𝑅,𝑅˙ ( ˙𝑟, 𝑟) = 𝑓𝑅|𝑅˙ ( ˙𝑟|𝑟)𝑓𝑅(𝑟). (2.27)
Mas as variáveis 𝑅 e ˙𝑅 são independentes, de forma que 𝑓𝑅|𝑅˙ ( ˙𝑟|𝑟) = 𝑓𝑅˙( ˙𝑟), portanto
𝑓𝑅,𝑅˙ ( ˙𝑟, 𝑟) = 𝑓𝑅˙( ˙𝑟)𝑓𝑅(𝑟), (2.28)
em que 𝑓𝑅(𝑟) é representada pela distribuição de Rayleigh e 𝑓𝑅˙( ˙𝑟) possui distribuição Gaussiana de média zero e variância ˙𝜎𝑅=
√
2𝜋 𝑓𝑑𝜎𝑅, em que 𝑓𝑑 corresponde ao
desloca-mento máximo de Doppler [5].
Logo, a PDF conjunta resulta em
𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) = √ 2 𝑟 𝜋3/2𝑓 𝑑𝑟^3 exp (︃ − ˙𝑟 2 2 𝜋2𝑓2 𝑑𝑟^2 − 𝑟 2 ^ 𝑟2 )︃ , (2.29)
A LCR para Rayleigh é calculada com a Eq. (2.3) e expresso por [5]
𝑁𝑅(𝑟) = √ 2𝜋 𝑓𝑑 𝑟 ^ 𝑟 exp (︃ −𝑟 2 ^ 𝑟2 )︃ . (2.30)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 27
2.3.3
Distribuição Nakagami-𝑚
A distribuição de probabilidade Nakagami-𝑚 foi apresentada por Minoru Na-kagami em 1943, baseada em resultados de estudos experimentais sobre desvanecimento rápido em alta frequência. O ambiente que representa esta distribuição é composto pela combinação de vários clusters de multipercurso em um ambiente sem linha de visada, em que cada componente do sinal possui atrasos na propagação e fases aleatórias Seu modelo físico pode ser representado pela combinação de 𝑚 componentes em fase (𝑋) e em quadratura (𝑌 ) dados pela seguinte expressão
𝑅 = ⎯ ⎸ ⎸ ⎷ 𝑚 ∑︁ 𝑖=0 (𝑋2 𝑖 + 𝑌𝑖2), (2.31)
em que 𝑋𝑖 e 𝑌𝑖 são processos Gaussianos mutuamente independentes, com média nula
𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑌 ) = 0 e variância igual a Var(𝑋) = Var(𝑌 ) = 𝜎2.
A expressão da PDF pode ser resolvida analiticamente de forma semelhante ao da distribuição de Rayleigh, mas neste caso é considerado a existência de 𝑚 clusters de multipercurso. A PDF de Nakagami-𝑚 é dada por
𝑓𝑅(𝑟) = 2𝑚𝑚𝑟2𝑚−1 Γ(𝑚) Ω𝑚 exp (︃ −𝑚 𝑟 2 Ω )︃ , (2.32)
em que Ω = ^𝑟2 e Γ(.) é a função Gama [45, Eq. 6.1.1], 𝑚 corresponde à extensão real do número de clusters de multipercurso. Caso 𝑚 = 1 a distribuição de Nakagami-𝑚 resulta em Rayleigh [46].
Novamente, as variáveis de 𝑅 e ˙𝑅 da PDF conjunta são independentes, de
forma que 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) = 𝑓𝑅(𝑟) × 𝑓𝑅˙( ˙𝑟), em que 𝑓𝑅(𝑟) corresponde a distribuição de
mul-tipercurso e 𝑓𝑅˙( ˙𝑟) corresponde a uma distribuição Gaussiana. Portanto a 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) para Nakagami-𝑚 resulta em 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) = √ 2 𝑚𝑚𝑟2𝑚−1Ω−𝑚 𝜋3/2𝑓 𝑑Γ(𝑚) √︂𝑚 Ω exp (︃ − 𝑚 ˙𝑟 2 4𝜋2𝑓2 𝑑Ω − 𝑚 𝑟 2 Ω )︃ . (2.33)
A LCR para Nakagami-𝑚 é calculada com a Eq. (2.3) é expressa por [32]
𝑁𝑅(𝑟) = √ 2𝜋 𝑓𝑑 𝑚𝑚−12 Γ(𝑚) (︂𝑟 ^ 𝑟 )︂2𝑚−1 exp (︃ −𝑚𝑟 2 ^ 𝑟2 )︃ . (2.34)
2.3.4
Distribuição 𝛼-𝜇
O modelo de desvanecimento 𝛼-𝜇 é uma distribuição de desvanecimento geral que considera um sinal composto de 𝜇 clusters de multipercurso com potências idênticas se propagando em um ambiente não homogêneo. A não linearidade deste ambiente é
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 28
manifestada em termos do parâmetro 𝛼. Além disso, considerando um cluster qualquer, as fases das ondas dispersas são aleatórias e possuem tempos de atraso similares, mas com diferença relativamente grande entre os tempos de atraso de clusters distintos.
A envoltória é obtida como uma função não linear do módulo da soma dos componentes de multipercurso envolvidos pela não linearidade do ambiente 𝛼-𝜇. Desta forma, pode-se apresentar o modelo físico da envoltória do sinal dada por
𝑅 = (︃ 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 (︁ 𝑋𝑖2+ 𝑌𝑖2)︁ )︃𝛼1 (2.35) em que 𝑋𝑖 e 𝑌𝑖 são processos Gaussianos mutuamente independentes, com médias nulas
𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑌 ) = 0 e variâncias iguais a Var(𝑋) = Var(𝑌 ) = ^𝑟𝛼/2𝑛.
A PDF da distribuição 𝛼-𝜇 é obtida ao realizar o procedimento padrão de transformações de variáveis, sendo expressa por
𝑓𝑅(𝑟) = 𝛼𝜇𝜇𝑟𝛼𝜇−1 Γ(𝜇) ^𝑟𝛼𝜇 exp [︂ −𝜇 (︂𝑟 ^ 𝑟 )︂𝛼]︂ , (2.36)
especialmente neste caso, o valor quadrático médio da envoltória é definido como ^𝑟 =
𝛼
√︁
𝐸(𝑅𝛼).
Note que esta expressão corresponde exatamente à distribuição Nakagami-𝑚 quando 𝛼 = 2. Logo, as distribuições de Rayleigh e Nakagami-𝑚 podem ser obtidas por meio da 𝛼-𝜇 ao definir os seguintes parâmetros, 𝛼 = 2 resulta em Nakagami-𝑚 com
𝑚 = 𝜇, e Rayleigh resulta de 𝛼 = 2 e 𝜇 = 1 [8].
A PDF de 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) resulta do descondicionamento dado a seguir
𝑓𝑅,𝑅˙ ( ˙𝑟, 𝑟) = 𝑓𝑅|𝑅˙ ( ˙𝑟|𝑟)𝑓𝑅(𝑟), (2.37)
em que 𝑓𝑅|𝑅˙ ( ˙𝑟|𝑟) é obtida por meio de uma relação particular da representação física entre a 𝛼-𝜇 com a Nakagami-𝑚 dado por
𝑅𝛼 = 𝑅2𝑁, (2.38)
exclusivamente neste caso, 𝑅𝑁 é definida como a envoltória de Nakagami-𝑚. Em seguida,
é realizada a derivação da envoltória com relação ao tempo, resultando em ˙
𝑅 = 2 𝛼𝑅
1−𝛼2𝑅˙
𝑁. (2.39)
A variável ˙𝑅𝑁 já é conhecida e segue uma distribuição Gaussiana de média
zero e variância ˙𝜎𝑁2 . Desta forma, a 𝑓𝑅|𝑅˙ ( ˙𝑟|𝑟) corresponde a uma Gaussiana de média zero e com variância ˙𝜎2 = 4
𝛼2𝑟2−𝛼˙𝜎2𝑁. Portanto, a PDF conjunta da envoltória e de sua
variação temporal é expressa por
𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) = 𝛼 2𝜇𝜇+12 𝑟𝛼(𝜇+12)−2 2√2𝜋3/2𝑓 𝑑Γ(𝜇) ^𝑟𝛼(𝜇+ 1 2) exp (︃ −𝛼 2𝜇 ˙𝑟2𝑟𝛼−2 8𝜋2𝑓2 𝑑𝑟^𝛼 − 𝜇 𝑟 𝛼 ^ 𝑟𝛼 )︃ . (2.40)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 29
A LCR da 𝛼-𝜇 é calculada utilizando a Eq. (2.3), sendo expressa por [8]
𝑁𝑅(𝑟) = √ 2𝜋 𝑓𝑑𝜇𝜇− 1 2 (︁𝑟 ^ 𝑟 )︁𝛼(𝜇−12) Γ(𝜇) exp(︁𝜇(︁𝑟^𝑟)︁𝛼)︁ . (2.41)
2.3.5
Distribuição 𝜅-𝜇
A distribuição de desvanecimento 𝜅-𝜇 é um modelo geral de desvanecimento que considera um sinal composto de múltiplos sinais propagando em um ambiente não homogêneo e com linha de visada. Em cada cluster é assumido que as ondas tem potên-cias idênticas, mas, com uma componente dominante e as fases das ondas dispersas são aleatórias e possuem tempos de atraso similares. O modelo físico da envoltória do sinal pode ser escrito em termos de fase e quadratura, expresso a seguir
𝑅2 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 (𝑋𝑖+ 𝑝𝑖)2+ 𝑛 ∑︁ 𝑖=0 (𝑌𝑖+ 𝑞𝑖)2 (2.42)
em que 𝑋𝑖 e 𝑌𝑖 são processos aleatórios gaussianos com média nula e variância igual a
𝜎2, as componentes 𝑝𝑖 e 𝑞𝑖 são os valores médios de fase e quadratura de cada cluster.
A fim de simplificar os cálculos, é necessário realizar a transformação de variáveis para a potência, na forma 𝑊𝑖 = 𝑅2𝑖 e com 𝑊 =
∑︀𝑛
𝑖=1𝑊𝑖.
Cada PDF em 𝑊𝑖 é representada por
𝑓𝑊𝑖(𝑤𝑖) = 1 2𝜎2 exp (︃ −𝑑 2 𝑖 + 𝑤𝑖 2𝜎2 )︃ 𝐼0 (︃√ 𝑤𝑖𝑑𝑖 𝜎2 )︃ , (2.43) em que 𝑑2
𝑖 = 𝑞2𝑖 + 𝑠2𝑖 e 𝐼𝑣(.) é a função de Bessel modificada de primeiro tipo e de ordem
𝑣 [45, Eq. 10.25.2].
A PDF da potência 𝑊 é obtida por meio da convolução das 𝑛 PDFs em 𝑊𝑖,
no entanto, é um procedimento complicado. Uma alternativa mais simples é resolver por meio da multiplicação da transformada de Laplace de cada 𝑓𝑊 𝑖(𝑤𝑖), dada por
ℒ [𝑓𝑊𝑖(𝑤𝑖)] = 1 2𝑠𝜎2+ 1 exp (︃ −𝑠 ∑︀𝑛 𝑖=1𝑑2𝑖 2𝑠𝜎2+ 1 )︃ . (2.44)
Após a multiplicação, obtém-se ℒ [𝑓𝑊 (𝑤)] = 1 (2𝑠𝜎2+ 1)𝑛exp (︃ −𝑠 ∑︀𝑛 𝑖=1𝑑2𝑖 2𝑠𝜎2+ 1 )︃ . (2.45)
Por meio da transformada inversa de Laplace em (2.45), é possível obter a PDF em 𝑊 , 𝑓𝑊(𝑤) = 1 2𝜎2 (︂𝑤 𝑑2 )︂𝑛−12 exp (︃ −𝑑 2+ 𝑤 2𝜎2 )︃ 𝐼𝑛−1 (︃ 𝑑√𝑤 𝜎2 )︃ , (2.46)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 30
com a esperança e a variância dadas respectivamente por
𝐸(𝑊 ) =𝐸(︁𝑅2)︁= ^𝑟2 = 𝑑2+ 2𝑛𝜎2
Var(𝑊 ) =Var(︁𝑅2)︁= 4𝑑2𝜎2 + 4𝑛𝜎4. (2.47)
A partir da expressão em (2.46) é possível definir as formulações dos parâme-tros físicos da distribuição, dados por
𝜅 = 𝑑 2 2𝑛𝜎2 𝜇 = 𝐸 2(𝑊 ) Var(𝑊 ) (2𝜅 + 1) (𝜅 + 1)2, (2.48)
em que 𝜅 é definido como a razão entre a potencia total das componentes dominantes e a potência das ondas dispersas, e 𝜇 corresponde ao número de clusters de multipercurso propagando em um ambiente não homogêneo.
Além disso, fazendo a transformação de variaveis aleatórias para a envoltória do sinal, a PDF resulta em 𝑓𝑅(𝑟) = 2𝜇 (𝜅 + 1)𝜇+12 𝑟𝜇 𝜅𝜇−12 exp(𝜅𝜇) ^𝑟𝜇+1 exp (︃ −(𝜅 + 1)𝜇𝑟 2 ^ 𝑟2 )︃ 𝐼𝜇−1 (︂ 2𝜇√︁𝜅(𝜅 + 1)𝑟 ^ 𝑟 )︂ . (2.49)
A distribuição 𝜅-𝜇 pode ser simplificada para as distribuições tradicionais de Rayleigh e Nakagami-𝑚 ao atribuir os seguintes parâmetros, 𝜅 tendendo a zero resulta em Nakagami-𝑚 com 𝑚 = 𝜇, e Rayleigh ocorre quando 𝜅 → 0 e 𝜇 = 1 [7].
Novamente, as variáveis de 𝑅 e ˙𝑅 da PDF conjunta são independentes, de
forma que 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) = 𝑓𝑅(𝑟) × 𝑓𝑅˙( ˙𝑟), em que 𝑓𝑅(𝑟) corresponde à distribuição de
mul-tipercurso e 𝑓𝑅˙( ˙𝑟) corresponde a uma distribuição Gaussiana. Portanto a 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) para
𝜅-𝜇 resulta em 𝑓𝑅, ˙𝑅(𝑟, ˙𝑟) = √ 2((𝜅 + 1)𝜇)𝜇+12 𝜋3/2𝑓 𝑑𝑟 ^𝑟 exp(𝜅𝜇) (︂𝑟 ^ 𝑟 )︂2𝜇 exp (︃ −(𝜅 + 1)𝜇 (2𝜋 2𝑓2 𝑑𝑟2+ ˙𝑟2) 2𝜋2𝑓2 𝑑𝑟^2 )︃ 0𝐹˜1 (︃ ; 𝜇;𝜅(𝜅 + 1)𝜇 2, 𝑟2 ^ 𝑟2 )︃ , (2.50)
em que 0𝐹˜1(; .; .) é a função hypergeométrica regularizada com 𝑝 = 0 e 𝑞 = 1 [47, Eq. 07.18.02.0001.01].
A LCR da 𝜅-𝜇 é calculada utilizando a Eq. (2.3), sendo expresso por [33]
𝑁𝑅(𝑟) = 𝑓𝑑 √ 𝜇 √ 2𝜋 (𝜅 + 1)𝜇/2 𝜅𝜇−12 exp(𝜅𝜇) (︂𝑟 ^ 𝑟 )︂𝜇 exp (︃ −𝜇 (𝜅 + 1)𝑟 2 ^ 𝑟2 )︃ 𝐼𝜇−1 ⎛ ⎝ 2𝜇√︁𝜅(𝜅 + 1)𝑟 ^ 𝑟 ⎞ ⎠. (2.51)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 31
2.4
Distribuições Compostas
As distribuições compostas de desvanecimento são combinadas pelo entre des-vanecimento em multipercurso e em sombreamento. Alguns casos podem ser definidos pelo produto de variáveis aleatórias. De acordo com [12], a PDF para o produto de duas variáveis aleatórias, 𝑊 = 𝑋 𝑌 , é definido por
𝑓𝑊(𝑤) = ∫︁ ∞ 0 1 𝑦𝑓𝑋 (︃ 𝑤 𝑦 )︃ 𝑓𝑌(𝑦) 𝑑𝑦, (2.52)
em que, 𝑓𝑋(𝑥) e 𝑓𝑌(𝑦) são as PDFs de 𝑋 e 𝑌 respectivamente e que 𝑋 e 𝑌 devem ser
estatisticamente independentes.
A CDF é uma importante métrica estatística para diversos sistemas de comu-nicação sem fio, como na probabilidade de outage, sendo definida pela a probabilidade do sinal estar abaixo de um limiar específico. No caso do produto de duas variáveis aleatórias a CDF, 𝐹𝑊(𝑤), é expresso por, 𝐹𝑊(𝑤) = Prob{𝑋𝑌 ≤ 𝑊 } = ∫︁ 𝑤 0 𝑓𝑊(𝑡)𝑑𝑡 = ∫︁ 𝑤 0 ∫︁ ∞ 0 1 𝑦𝑓𝑋 (︃ 𝑡 𝑦 )︃ 𝑓𝑌(𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑡. (2.53)
Como mencionado, as estatísticas de primeira ordem para distribuições de desvanecimento composto já estão bem desenvolvidas em diversas pesquisas [11, 30, 31]. Dessa forma, é possível aproveitar as expressões da CDF já definidas para serem aplicadas posteriormente no AFD.
As próximas Subseções demonstram as formulações da PDF e CDF de cada ambiente composto que será abordado nesta dissertação. No caso dos ambientes tradicio-nais combinados por Rayleigh e/ou Nakagami-𝑚, pode-se aproveitar as expressões obtidas a partir da 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 com a substituição adequada de seus parâmetros,
2.4.1
𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇
A PDF e a CDF para o modelo composto 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 é desenvolvido em [31], assumindo que a expressão foi obtida atribuindo que 𝛼𝑋 e 𝛼𝑌 sejam coprimos inteiros e
com 𝛼𝑋/𝛼𝑌 = 𝑝2/𝑞2. Além disso, para o ambiente envolvido os valores de 𝛼𝑋 e 𝛼𝑌 são
iguais a 𝛼, e com 𝑛 = 2 em que 𝑛 corresponde ao número de distribuições do ambiente composto. A PDF do modelo composto [31, Eq. 6] é dada por
𝑓𝑊(𝑤) = 𝛼 𝑤Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) 𝐺2,00,2 ⎡ ⎣ (︃ 𝑤√𝜇𝑋 √ 𝜇𝑌 ^ 𝑥^𝑦 )︃𝛼⃒⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − 𝜇𝑋, 𝜇𝑌 ⎤ ⎦, (2.54)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 32
Com as condições apresentadas acima, a CDF do ambiente 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 [31, Eq. 12] é dada por 𝐹𝑊(𝑤) = 1 Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) 𝐺2,11,3 ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎝ 𝑤𝜇 1 𝛼𝑌 𝑌 𝜇 1 𝛼𝑋 𝑋 ^ 𝑥^𝑦 ⎞ ⎟ ⎠ 𝑢⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 𝜇𝑌, 𝜇𝑋, 0 ⎤ ⎥ ⎦, (2.55)
para o caso de 𝑛 = 2 tem-se que 𝑢 = 𝑣1𝛼𝑋 = 𝑣2𝛼𝑌, com 𝑣1 = 𝑞2 e 𝑣2 = 𝑝𝑞2
2𝑣1 [31].
2.4.1.1 Rayleigh×Rayleigh
A PDF para o modelo composto Rayleigh×Rayleigh corresponde a 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 (2.54) com 𝜇𝑋 = 1, 𝜇𝑌 = 1 e 𝛼 = 2 sendo dada por
𝑓𝑊(𝑤) = 4𝑧 ^ 𝑥2𝑦^2𝐾0 (︃ 2𝑧 ^ 𝑦 ^𝑥 )︃ , (2.56)
em que é a função de Bessel modificada de segundo tipo e de ordem 𝑣 [45, Eq. 10.27.4]. Novamente, atribuindo os parâmetros 𝜇𝑋 = 1, 𝜇𝑌 = 1 e 𝛼 = 2 na Eq. (2.55),
a CDF para Rayleigh×Rayleigh resulta em
𝐹𝑊(𝑤) = 𝐺2,11,3 ⎡ ⎣ 𝑤2 ^ 𝑥2𝑦^2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 1, 1, 0 ⎤ ⎦. (2.57) 2.4.1.2 Rayleigh×Nakagami-𝑚
Para a distribuição composta Rayleigh×Nakagami-𝑚 a PDF é obtida a partir da Eq. (2.54) atribuindo os valores 𝜇𝑌 = 1, 𝛼 = 2
𝑓𝑊(𝑤) = 2 𝑤Γ (𝜇𝑋) 𝐺2,00,2 ⎡ ⎣ 𝑤2𝜇 𝑋 ^ 𝑥2𝑦^2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − 1, 𝜇𝑋 ⎤ ⎦. (2.58)
Realizando a mesma substituição de 𝜇𝑌 e 𝛼 em (2.55), a CDF resulta em
𝐹𝑊(𝑤) = 1 Γ (𝜇𝑋) 𝐺2,11,3 ⎡ ⎣ 𝑤2𝜇 𝑋 ^ 𝑥2𝑦^2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 1, 𝜇𝑋, 0 ⎤ ⎦ (2.59)
Vale resaltar que para o produto de distribuições a ordem das distribuições não influencia nos valores da PDF e da CDF, ou seja a Rayleigh×𝑚 =
Nakagami-𝑚×Rayleigh.
2.4.1.3 Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚
A PDF da distribuição Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚 é obtida ao atribuir 𝛼 = 2 em (2.54) e resulta em 𝑓𝑊(𝑤) = 2 𝑤Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) 𝐺2,00,2 ⎡ ⎣ 𝑤2𝜇 𝑋𝜇𝑌 ^ 𝑥2𝑦^2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − 𝜇𝑋, 𝜇𝑌 ⎤ ⎦. (2.60)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 33
A CDF da distribuição Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚 é obtida ao atribuir 𝛼 = 2 em (2.55) sendo dada por
𝐹𝑊(𝑤) = 1 Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) 𝐺2,11,3 ⎡ ⎣ 𝑤2𝜇𝑋𝜇𝑌 ^ 𝑥2𝑦^2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 𝜇𝑋, 𝜇𝑌, 0 ⎤ ⎦. (2.61)
2.4.2
𝛼-𝜇 × 𝜅-𝜇
Neste caso, a PDF e a CDF para o produto de variáveis aleatórias foram desenvolvidos em [11], a PDF é dada por
𝑓𝑊(𝑤) = 2 𝑤Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) ∞ ∑︁ 𝑗=0 (−1)𝑗 𝑗! ⎛ ⎜ ⎝Γ (︃ 𝜇𝑋 − 2 (𝑗 + 𝜇𝑌) 𝛼𝑋 )︃ ⎛ ⎜ ⎝ 𝑤2(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌𝜇 2 𝛼𝑋 𝑋 ^ 𝑥2𝑦^2 ⎞ ⎟ ⎠ 𝑗+𝜇𝑌 × 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑌; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌) + 1 2𝛼𝑋 ⎛ ⎜ ⎝ 𝑤2(𝜅 𝑌 + 1) 𝜇𝑌𝜇 2 𝛼𝑋 𝑋 ^ 𝑥2𝑦^2 ⎞ ⎟ ⎠ 1 2𝛼𝑋(𝑗+𝜇𝑋) × Γ (︂ 𝜇𝑌 − 1 2𝛼𝑋(𝑗 + 𝜇𝑋) )︂ 1𝐹1 (︂1 2𝛼𝑋(𝑗 + 𝜇𝑋) ; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌 )︂ . (2.62)
em que1𝐹1(.; .; .) é a função hipergeométrica confluente de Kummer [47, Eq. 07.20.02.0001.01]. A CDF é expressa por 𝐹𝑊(𝑤) = 1 Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) ∞ ∑︁ 𝑗=0 ⎛ ⎝ (−1)𝑗 𝑗! ⎛ ⎝ Γ(︁𝜇𝑋 − 2(𝑗+𝜇𝛼 𝑌) 𝑋 )︁ 𝑗 + 𝜇𝑌 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑌; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌) × ⎛ ⎝(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌 (︃ 𝑤 ^ 𝑥^𝑦 )︃2 𝜇 2 𝛼𝑋 𝑋 ⎞ ⎠𝑗+𝜇𝑌 + Γ(︁𝜇𝑌 − 12𝛼𝑋(𝑗 + 𝜇𝑋) )︁ 𝑗 + 𝜇𝑋 × 1𝐹1 (︂1 2𝛼𝑋(𝑗 + 𝜇𝑋) ; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌 )︂ ⎛ ⎝(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌 (︃ 𝑤 ^ 𝑥^𝑦 )︃2 𝜇 2 𝛼𝑋 𝑋 ⎞ ⎠ 1 2𝛼𝑋(𝑗+𝜇𝑋) ⎞ ⎠ ⎞ ⎠. (2.63) Este ambiente também corresponde ao produto 𝜅-𝜇 × 𝛼-𝜇 pois a ordem das distribuições não influencia no resultado [11].
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 34
2.4.3
𝜅-𝜇 × 𝜅-𝜇
A PDF para o produto entre duas variáveis aleatórias que seguem a distribuição
𝜅-𝜇 é dada por 𝑓𝑊(𝑤) = 1 𝑤Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) ∞ ∑︁ 𝑗=0 (−1)𝑗 𝑗! ⎛ ⎝ (︃ 𝑤2(𝜅 𝑋 + 1) 𝜇𝑋(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌 ^ 𝑥2𝑦^2 )︃𝑗+𝜇𝑌 × Γ (𝜇𝑋 − 𝜇𝑌 − 𝑗) 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑌; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌) 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑌; 𝜇𝑋; −𝜅𝑋𝜇𝑋) + (︃ 𝑤2(𝜅𝑋 + 1) 𝜇𝑋(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌 ^ 𝑥2𝑦^2 )︃𝑗+𝜇𝑋 Γ (−𝑗 − 𝜇𝑋 + 𝜇𝑌) × 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑋; 𝜇𝑋; −𝜅𝑋𝜇𝑋)1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑋; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌)) . (2.64)
E por último, a CDF para o produto entre duas distribuições 𝜅-𝜇 é definido por [11], 𝐹𝑊(𝑤) = 1 Γ (𝜇𝑋) Γ (𝜇𝑌) ∞ ∑︁ 𝑗=0 (︃ 1 𝑗!(−1) 𝑗 (︃ 1 𝑗 + 𝜇𝑌 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑌; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌) Γ (−𝑗 + 𝜇𝑋 − 𝜇𝑌) × 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑌; 𝜇𝑋; −𝜅𝑋𝜇𝑋) ⎛ ⎝(𝜅𝑋 + 1) 𝜇𝑋(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌 (︃ 𝑤 ^ 𝑥^𝑦 )︃2⎞ ⎠ 𝑗+𝜇𝑌 + 1 𝑗 + 𝜇𝑋 Γ (−𝑗 − 𝜇𝑋 + 𝜇𝑌) 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑋; 𝜇𝑋; −𝜅𝑋𝜇𝑋) 1𝐹1(𝑗 + 𝜇𝑋; 𝜇𝑌; −𝜅𝑌𝜇𝑌) × ⎛ ⎝(𝜅𝑋 + 1) 𝜇𝑋(𝜅𝑌 + 1) 𝜇𝑌 (︃ 𝑤 ^ 𝑥^𝑦 )︃2⎞ ⎠ 𝑗+𝜇𝑋⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠. (2.65)
2.5
Conclusão
Este capítulo contém os principais fundamentos para uma compreensão ade-quada desta dissertação. Inicialmente foi apresentado sobre o canal de rádio móvel e al-gumas de suas características. Também, foi diferenciado os processos de desvanecimento em sombreamento e multipercurso, e foram descritas as estatísticas de ordem superior. Em seguida, foram detalhadas as distribuições de desvanecimento Lognormal, Rayleigh, Nakagami-𝑚, 𝛼-𝜇 e 𝜅-𝜇, descrevendo suas representações físicas e introduzindo formula-ções da PDF, PDF conjunta e LCR. Na última seção foi apresentado os modelos de desva-necimento composto em que são caracterizados pelo produto de variáveis aleatórias inde-pendentes e identicamente distribuídas, dando destaque aos modelos Rayleigh×Rayleigh, Rayleigh×Nakagami-𝑚, Nakagami-𝑚×Nakagami-𝑚, 𝛼-𝜇 × 𝛼-𝜇 [31], 𝛼-𝜇 × 𝜇 e 𝜇 ×
35
3 Metodologia Proposta
Este capítulo desenvolve detalhadamente expressões gerais para as estatísticas de ordem superior para distribuições de desvanecimento composto, em especial a LCR e o AFD. Pelo que consta ao autor, estas equações são inéditas e podem ser aplicadas em qualquer ambiente composto caracterizado pelo produto de variáveis aleatórias.
3.1
Expressões Gerais para LCR e AFD em Canais com
Desvane-cimento Composto
Considere um processo em desvanecimento composto cuja envoltória 𝐶 é es-crita pelo o produto entre duas envoltórias 𝑆 e 𝐿,
𝐶 = 𝑆 × 𝐿, (3.1)
em que 𝑆 e 𝐿 são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (𝑖.𝑖.𝑑.) e passam por um desvanecimento em multipercurso e sombreamento respectivamente. A derivação temporal da envoltória 𝐶 é definida por
˙
𝐶 = ˙𝐿 × 𝑆 + 𝐿 × ˙𝑆. (3.2)
em que ˙𝑆 e ˙𝐿 são as derivadas temporais de 𝑆 e 𝐿 respectivamente.
A PDF conjunta para o produto de variáveis aleatórias condicionada ao som-breamento, definidas em (3.1), pode ser obtida por meio de transformação de variáveis aleatóias [12],
𝑓𝑆, ˙𝑆|𝐿, ˙𝐿(𝑠, ˙𝑠|𝑙, ˙𝑙) = det(J) × 𝑓𝐶, ˙𝐶|𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐|𝑙, ˙𝑙), (3.3) em que J representa a matriz Jacobiana para a transformação de variáveis aleatórias
J = ⎡ ⎣ 𝜕𝐶 𝜕𝑆 𝜕𝐶 𝜕 ˙𝑆 𝜕 ˙𝐶 𝜕𝑆 𝜕 ˙𝐶 𝜕 ˙𝑆 ⎤ ⎦. (3.4)
Dado as Eqs. (3.1) e (3.2), o determinante de J resulta em det(J) = 𝑙2. Ade-mais, como 𝑆 e 𝐿 são 𝑖.𝑖.𝑑., então a PDF conjunta 𝑓𝑆, ˙𝑆|𝐿, ˙𝐿(𝑠, ˙𝑠|𝑙, ˙𝑙) pode ser descorrelaci-onada e resulta em 𝑓𝑆, ˙𝑆(𝑠, ˙𝑠). Logo, a Eq. (3.3) pode ser reescrita por
𝑓𝑆, ˙𝑆(𝑠, ˙𝑠) = 𝑙2× 𝑓𝐶, ˙𝐶|𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐|𝑙, ˙𝑙). (3.5) Aplicando-se a identidade da probabilidade condicional em 𝑓𝐶, ˙𝐶|𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐| 𝑙, ˙𝑙) [12], tem-se que
𝑓𝐶, ˙𝐶|𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐| 𝑙, ˙𝑙) = 𝑓𝐶, ˙𝐶,𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐, 𝑙, ˙𝑙)
Capítulo 3. Metodologia Proposta 36
Isolando-se a PDF condicional 𝑓𝐶, ˙𝐶|𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐| 𝑙, ˙𝑙) em (3.5) e combinando com (3.6), obtém-se
𝑓𝐶, ˙𝐶,𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐, 𝑙, ˙𝑙)
𝑓𝐿, ˙𝐿(𝑙, ˙𝑙) =
𝑓𝑆, ˙𝑆(𝑠, ˙𝑠)
𝑙2 . (3.7)
Isolando 𝑓𝐶, ˙𝐶,𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐, 𝑙, ˙𝑙) a PDF conjunta pode ser expressa por
𝑓𝐶, ˙𝐶,𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐, 𝑙, ˙𝑙) = 𝑓𝑆, ˙𝑆(𝑠, ˙𝑠)𝑓𝐿, ˙𝐿(𝑙, ˙𝑙) 𝑙2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠 = 𝑐/𝑙 ˙𝑠 = ˙𝑐/𝑙 − ˙𝑙 𝑐/𝑙 . (3.8)
Assim, a PDF marginal 𝑓𝐶, ˙𝐶(𝑐, ˙𝑐) é definida por
𝑓𝐶, ˙𝐶(𝑐, ˙𝑐) = ∫︁ ∞ 0 ∫︁ ∞ −∞ 𝑓𝐶, ˙𝐶,𝐿, ˙𝐿(𝑐, ˙𝑐, 𝑙, ˙𝑙) 𝑑 ˙𝑙 𝑑𝑙. (3.9) Substituindo a Eq. (3.8) em (3.9), obtém-se
𝑓𝐶, ˙𝐶(𝑐, ˙𝑐) = ∫︁ ∞ 0 ∫︁ ∞ −∞ 1 𝑙2 𝑓𝑆, ˙𝑆(𝑠, ˙𝑠)𝑓𝐿, ˙𝐿(𝑙, ˙𝑙) 𝑑 ˙𝑙 𝑑𝑙. (3.10) Atribuindo as condições dadas por 𝑠 e ˙𝑠, então a expressão acima resulta em
𝑓𝐶, ˙𝐶(𝑐, ˙𝑐) = ∫︁ ∞ 0 ∫︁ ∞ −∞ 1 𝑙2 𝑓𝑆, ˙𝑆 (︃ 𝑐 𝑙, ˙𝑐 𝑙 − ˙𝑙𝑐 𝑙2 )︃ 𝑓𝐿, ˙𝐿(𝑙, ˙𝑙) 𝑑 ˙𝑙 𝑑𝑙. (3.11)
Retomando a definição da taxa de cruzamento de nível dada pela Eq. (2.3),
𝑁𝐶(𝑐) =
∫︁ ∞
0
˙𝑐 𝑓𝐶, ˙𝐶(𝑐, ˙𝑐) 𝑑 ˙𝑐, (3.12) é possível desenvolver uma formulação geral da LCR para o desvanecimento composto, a qual é dada por
𝑁𝐶(𝑐) = ∫︁ ∞ 0 ˙𝑐 ∫︁ ∞ 0 ∫︁ ∞ −∞ 1 𝑙2 𝑓𝑆, ˙𝑆 (︃ 𝑐 𝑙, ˙𝑐 𝑙 − ˙𝑙𝑐 𝑙2 )︃ 𝑓𝐿, ˙𝐿(𝑙, ˙𝑙) 𝑑 ˙𝑙 𝑑𝑙 𝑑 ˙𝑐. (3.13) A Eq. (4.1) é uma expressão geral e aplica-se a qualquer tipo de cenário de desvanecimento composto. Pelo que consta ao autor, esta formulação é inédita.
O tempo médio de desvanecimento para distribuições compostas é retomado de (3.14) e dado por
𝑇𝐶(𝑐) =
𝐹𝐶(𝑐)
𝑁𝐶(𝑐)
. (3.14)
ou seja, é a razão entre a CDF do produto de variáveis aleatórias, as quais são dadas na Subseção 2.4, e a LCR desenvolvida em (4.1).
Outro aspecto importante a ser destacado é que na PDF e na CDF, a distri-buição do produto de variáveis aleatórias possui a propriedade da comutatividade, isto é a ordem entre o produto das distribuições não influencia no resultado. No entanto, em um abiente composto, para a LCR e o AFD, o produto não é comutativo, ou seja, a ordem dos modelos interfere nos resultados. Esta característica é comentada no Capítulo 4.
Capítulo 3. Metodologia Proposta 37
3.2
Conclusão
Neste capítulo foi desenvolvido formulações gerais para a LCR e o AFD em modelos de desvanecimento composto. As expressões formuladas são inéditas e podem ser aplicadas a qualquer ambiente composto em que são caracterizadas pelo produto de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.
