aula6-RTE

(1)

Cinemática Multidimensional A Física do Movimento 3D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Correção da Oficina 8:

Trivial em coordenadas retangulares:

⃗a=d vx dt ^x+ d v_y dt ^y+ d v_z dt ^z

⃗v=

d x

_dt

^x+

d y

_dt

^y+

d z

_dt

^z

⃗v=10− 4_⋅

[

_{−5⋅sen(10}−4_{⋅t) ^x+4,7⋅cos(10}−4_{⋅t) ^y+1,7⋅cos(10}− 4_{⋅t )^z}

]

(2)

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Para coordenadas cilíndricas, é preciso fazer a conversão primeiro. Mas note antes, que estamos diante de uma órbita circular (raio = 5), inclinada em β = 20o_{para com o plano XY, de modo que podemos fazer}

uma analogia com um sistema de referências no qual o plano X’Y’ é o plano do círculo, girando em torno do eixo X:

x '(t )=5⋅cos(10−4_{⋅t) ; y' (t)=5⋅sen(10}−4_{⋅t ) ; z ' (t)=0}

x_{(t)=x' (t) ; y(t)= y' (t )⋅cos(20}o_{)−z(t )⋅sen(20}o_{) ; z ' (t)= y' (t)⋅sen(20}o_{)+z '(t)⋅cos(20}o₎ x_(t)=R⋅cos(_ω_{⋅t) ; y(t)=R⋅cos}_β_⋅sen(_ω_{⋅t) ; z(t)=R⋅sen}_β_⋅sen(_ω_⋅t)

E assim, para ficar menos carregado nos cálculos, teremos:

(3)

Mecânica Clássica

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Correção da Oficina 8: Velocidade: Aceleração: ⃗v=d ρ dt ρ^ +ρ⋅ d _ϕ dt ϕ^ + d z dt ^z

⃗v=R⋅ω⋅senβ⋅

[

− senβ⋅sen(2⋅ω⋅t) 2⋅

[

1−sen2 β⋅sen2 (ω⋅t)

]

1/2 ρ^ + 1 tan(β )⋅

[

1−sen2 β⋅sen2 (ω⋅t)

]

1/2 ϕ^ +cos(ω⋅t) ^z

]

⃗a=

[

d 2 ρ dt2 −ρ⋅

(

d_ϕ dt

)

2

]

ρ^+

(

ρ⋅d 2 ϕ dt2 +2⋅ d_ρ dt ⋅ d_ϕ dt

)

ϕ^+ d2z dt2 ^z ⃗a=−R⋅ω2

⋅senβ⋅

[

(

senβ⋅cos(2⋅ω⋅t)

[

1_−sen2_β_⋅sen2₍_ω_{⋅t )}

]

1/2+

sen3β⋅sen2

(2⋅ω⋅t)+4⋅cos2 _β

4_⋅

[

1_−sen2_β_⋅sen2₍_ω_⋅t)

]

3/2

)

ρ^ +sen(ω⋅t) ^z

]

R=5 ; ω=10−4_;_β₌₂₀o

(4)

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Para coordenadas esféricas, a conversão leva a:

x(t)=R⋅cos(ω⋅t) ; y(t)=R⋅cosβ⋅sen(ω⋅t) ; z(t)=R⋅senβ⋅sen(ω⋅t)

r(t)=R ; ϕ(t)=arctan [cosβ⋅tan(ω⋅t )] ; θ (t)=arccos[ sen(β)⋅sen(ω⋅t)]

Com: Velocidade: ⃗v=d r dt ^r+r⋅sen(θ )⋅ d_ϕ dt ϕ^ +r⋅ d_θ dt θ^ ⃗v= R⋅ω⋅senβ

[

1_−sen2_β_⋅sen2₍_ω_⋅t)

]

1/2⋅

[

cos(β) sen(β) ϕ^−cos(ω⋅t) ^θ

]

R=5 ; ω=10−4_;_β₌₂₀o

(5)

Mecânica Clássica

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Correção da Oficina 8: Aceleração: _⃗a=

[

d2r dt2 −r⋅sen 2 (θ)⋅

(

d_dtϕ

)

2 −r⋅

(

d_dtθ

)

2

]

^r +

[

r_⋅sen(θ)⋅d2ϕ dt2 +2⋅sen(θ)⋅ d r dt⋅ dϕ dt +2⋅r⋅cos(θ)⋅ dθ dt ⋅ dϕ dt

]

ϕ^ +

[

r⋅d2θ dt2 +2⋅ d r dt⋅ dθ dt +r⋅sen(θ)⋅cos(θ)⋅

(

dϕ dt

)

2

]

_θ^ ⃗a=− R⋅ω 2 ⋅senβ 1−sen2_β ⋅sen2 (ω⋅t )⋅

[

(

cos_β

tan_β +senβ⋅cos

2 (ω⋅t)

)

^r +sen(ω⋅t )⋅

(

−1+ sen 2 β⋅cos2(ω⋅t )−cos2β

[

1−sen2β⋅sen2(ω⋅t )

]

1/ 2

)

^ θ

]

R=5 ; ω=10−4_;_β₌₂₀o

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a) a água da chuva, em qualquer ponto do terreno, sempre escoará para a direção de menor potencial gravitacional. Como este depende da altura, a água escoará na mesma direção da maior variação de altura, o que é fornecido pelo gradiente, porém com sentido oposto:

Direção do Escoamento=−∇ h=−∂ h_{∂ x} ^x− ∂_{∂ y}h ^y=(3⋅x2

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Mecânica Clássica

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b) existe mais de uma maneira de resolver esta questão, mas a mais simples é verificar em qual ponto do terreno o gradiente tem maior módulo:

Maior aceleração ⇒ max|∇ h|=max

[

(

−3⋅x2+ y 3 +1

)

2 +

(

−2⋅y+x 3+1

)

2

]

1/ 2

Não tem maneira analítica de verificar este mínimo que não seja computacionalmente. APLIQUEM COMPUTAÇÃO! Resposta:

(8)

Mecânica Clássica

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c) essa pergunta é capciosa. Note que se não há nada sobre atrito (dissipação de energia), o trabalho para ir do ponto mais baixo ao ponto mais alto independe do caminho, sendo dado pela diferença exata de energia potencial entre os dois pontos. A construção de estradas em terrenos leva em conta o melhor traçado, que tem muitas variáveis. Supondo que o relevo seja a única variável, projeta-se a melhor solução entre o ponto inicial e o final, admitindo-projeta-se uma inclinação máxima para a estrada e a objetividade. Tem-se duas direções concorrentes, a do gradiente e a do objetivo final. A direção intermediária é de acordo com o tamanho do segmento e inclinação máxima admitida.

(9)

Mecânica Clássica

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Esta questão deve ser resolvida com o conceito de divergência que vimos na aula passada e mais alguma pesquisa.

A esfera de metal troca energia com o ambiente na forma radiativa. Embora o metal seja, de modo geral, bom condutor de calor, o ar envolta da esfera não o é, servindo mais como isolante.

Em equilíbrio com o ambiente, o fluxo radiativo que sai da esfera é igual ao fluxo que entra. Mas ao ser exposta ao Sol, a esfera passa a receber mais energia e aquece, até atingir nova temperatrura de equilíbrio.

(10)

Mecânica Clássica

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Seja o vetor fluxo radiativo (energia por segundo por unidade de área). O teorema da divergência versa que:

⃗F

∭

V

(

∇ ∘ ⃗F

)

dV

₌

∬

Σ

^n ∘ ⃗F d Σ

As integrais acima fornecem a variação da energia interna da esfera. Precisamos apenas fazer o balanço do fluxo radiativo através da superfície.

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Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Seja o vetor fluxo radiativo (energia por segundo por unidade de área). O teorema da divergência versa que:

⃗F

∭

V

(

∇ ∘ ⃗F

)

dV

₌

∬

Σ

^n ∘ ⃗F d Σ

As integrais acima fornecem a variação da energia interna da esfera. Precisamos apenas fazer o balanço do fluxo radiativo através da superfície.

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No equilíbrio:

∬

Σ

^n∘ ⃗F d Σ=0

Aproximando a esfera e o ambiente por corpos térmicos que obedecem à Lei de Planck:

4

_π

_⋅R2_e_⋅

_σ

_⋅T amb 4 ₋₄

_π

_⋅R e 2_⋅

_σ

_⋅T equ 4 ₊

∬

Σ ^n∘ ⃗FSol⋅(1−a)d Σ=0

(13)

Mecânica Clássica

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∬

Σ

^n∘ ⃗F

Sol

⋅(1−a)d Σ=0

d

_Σ=2

_π

_⋅r⋅ds=2

_π

_⋅(R⋅sen

_θ

_)⋅(R⋅d

_θ

₎

^n ∘ ⃗F

Sol

=F

Sol

⋅cos

θ

∬

Σ ^n∘ ⃗FSol⋅(1−a)d Σ=2π⋅R 2 ⋅FSol⋅(1−a)⋅

∫

0 π /2 cos_{θ⋅senθ dθ}

(14)

Mecânica Clássica

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E assim:

4 _π

_⋅R

2_e

_⋅

_σ

_⋅(T

_amb4

_−T

_equ4

₎₊

_π

_⋅R

_e2

_⋅F

_Sol

_⋅(1−a)=0

T_equ₌

(

(1−a)⋅FSol

4_σ +Tamb

4

)

1/ 4

Supondo (temperaturas em K nos cálculos):

a_{=0,6 ; F}_Sol_{=1400 W/m}2 ; T_amb_{= 23,0}oC _⇒

(15)

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Este é um exercício de aplicação direta dos conceitos vistos na última aula. Os comentários sobre os resultados devem ser diretos.

(16)

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Correção da Oficina 8: Cálculo do gradiente:

(⃗v)

2

= 45,89−8,933

ρ

+0,444

ρ

2

−21,772

ϕ

+7,295

ϕ

2

+2,546

ρ

⋅

ϕ

+(3+3 z

2

)⋅sen

[

2 _π

(

ρ

−4

5,5

)

]

⋅

[

2 +3,82

ϕ

+(3+3 z

2

)⋅sen

[

2 _π

(

ρ

−4

5,5

)

]

+230

2

⋅

[

1 _−exp

(

₋

_ρ

2+ z2

)

]

2 (⃗v)2

Antes de mais nada, a velocidade é vetorial e não se calcula gradiente de quantidades vetoriais, pois não faz sentido. O que se pode fazer é calcular o gradiente da quantidade , ligada à energia cinética média das estrelas do disco Galáctico:

(17)

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(⃗v)2

Logicamente, é impossível analisar como esta quantidade se distribui espacialmente só com esta fórmula extensa. O ideal é projetar para visualizar. O gráfico ao lado mostra no plano do Equador Galáctico (z = 0). O ponto preto marca a posição do Sol.

(18)

Mecânica Clássica

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(⃗v)2

O gráfico ao lado mostra perpendicular ao plano do Equador Galáctico, em φ = 0. O ponto preto marca a posição do Sol.

(19)

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Correção da Oficina 8: Cálculo do gradiente: ∂(⃗v)2 ∂ρ =−8,933+0,888ρ+2,546ϕ+1,142⋅(3+3 z2)⋅cos

[

2π

(

ρ5,5−4

)

]

⋅

[

2+3,82ϕ+6⋅(1+z 2 )⋅sen

[

2_π

(

ρ−4 5,5

)

]

+1,058⋅105 ⋅(2+z2 )⋅ρ1+ z2 ⋅exp(−ρ2+ z2 )⋅

[

1−exp(−ρ2+z2 )

]

(⃗v)2

O gradiente de é dado por:

∂(⃗v)2 ∂ϕ =−21,772+14,59ϕ+2,546ρ+3,82⋅(3 +3 z2)⋅sen

[

2π

(

ρ5,5−4

)

]

∂(⃗v)2 ∂ z =6⋅z⋅sen

[

2π

(

ρ5,5−4

)

]

⋅

[

2+3,83⋅ϕ+6⋅(1+z 2 )⋅sen

[

2_π

(

ρ−4 5,5

)

]

+2,116⋅105 ⋅z⋅ρ2+z2 ⋅ln(ρ)⋅exp(−ρ2+ z2 )⋅

[

1−exp(−ρ2+ z2 )

]

∇(⃗v)2= ^ρ ∂(⃗v) 2 ∂ ρ + ^ ϕ ρ ∂(⃗v) 2 ∂ϕ + ^z ∂(⃗v) 2 ∂ z

(20)

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∇ (⃗v)2

Da mesma forma que avaliar a energia cinética média por estrela com a fórmula, o gradiente também é muito difícil de visualizar. O gráfico ao lado mostra o gradiente no plano do Equador Galáctico (z = 0). O ponto preto marca a posição do Sol.

(21)

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∇ (⃗v)2

O gráfico ao lado mostra perpendicular ao plano do Equador Galáctico, em φ = 0. O ponto preto marca a posição do Sol.

(22)

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Correção da Oficina 8: Cálculo do divergente:

O cálculo do divergente é direto e indica a variação total do módulo da velocidade, ponto-a-ponto, no espaço:

∇∘ ⃗v= _ρ1 _∂∂_ρ (ρ⋅vρ)+ ρ1 ∂ v_ϕ ∂ϕ +∂ v_{∂ z}z ∂ vρ ∂ρ =3,427⋅(1+z2)⋅cos

[

2π

(

ρ5,5−4

)

]

∂ vϕ ∂ϕ =0 ∂ vz ∂ z =0 ∇ ∘ ⃗v=_π6_⋅_ρ⋅

(

ϕ+π₆

)

+3⋅(1+ z2)⋅

(

_ρ1⋅sen

[

2_π

(

ρ−4 5,5

)

]

+1,142⋅cos

[

2π

(

ρ−4 5,5

)

]

)

(23)

Mecânica Clássica

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O ideal é projetar para visualizar. O gráfico ao lado mostra no plano do Equador Galáctico (z = 0). O ponto preto marca a posição do Sol.

∇∘ ⃗v

Tem ligação com o padrão de onda espiral da Galáxia

(24)

Mecânica Clássica

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∇∘ ⃗v

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Mecânica Clássica

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∇∘ ⃗v

(26)

Mecânica Clássica

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∇ ∘ ⃗v

O gráfico ao lado mostra perpendicular ao plano do Equador Galáctico, em φ = 0. O ponto preto marca a posição do Sol. Menos trivial que no caso anterior, isto mostra o padrão de empenamento do disco Galáctico.

(27)

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Correção da Oficina 8: Cálculo do rotacional:

O rotacional também tem cálculo direto e indica a variação total da direção do vetor da velocidade, ponto-a-ponto, no espaço:

(∇×⃗v)= ^ρ⋅

(

_ρ1⋅∂ v_∂_ϕz−∂ vϕ ∂ z

)

+ ^ϕ⋅

(

∂ vρ ∂ z − ∂ vz ∂ρ

)

+ρ^z⋅

[

∂(∂ρ⋅vρ ϕ)−∂ v∂ϕρ

]

(∇×⃗v)= ^ρ⋅

(

_π6_⋅_ρ −460⋅z⋅ρ2+z2 ⋅ln(ρ)⋅exp [−(ρ)2+ z2]

)

+ ^ϕ⋅

(

6_⋅z⋅sen

[

2_π

(

ρ−4 5,5

)

]

− 2 3

)

+^z⋅

[

230_ρ ⋅

(

1+

[

(2+ z2)⋅ρ2+z2 −1

]

⋅exp (−ρ2+z2 )

)

−_π6_⋅_ρ

]

(28)

Mecânica Clássica

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∇×⃗v

Diferente dos demais, o rotacional tem seu comportamento mais facilmente analisado, sobretudo para o caso em que z = 0, com dependência explicitamente radial.

(∇ ×⃗v)= ^ρ⋅

(

_π6_⋅_ρ

)

+ ^ϕ⋅

(

−2

(29)

Mecânica Clássica

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Para análise do rotacional no plano perpendicular ao disco Galáctico (φ = 0), não é trivial visualisar, mas o gráfico ao lado mostra que a dependência é essencialmente radial também.