aula 5

Aerodinâmica I

Escoamento Incompressível sobre Aerofólios - Método

dos Paineis

Karl Peter Burr

1 Método dos Paineis para Corpo Arbitrário sem Força

de Sustentação

Nessa seção vamos considerar escoamentos sem circulação (sem força de sustentação). Nos já estudamos escoamentos sem circulação ao redor de uma corpo semi-innito (superposição de uma corrente uniforme e uma fonte), ao redor do ovoide de Rankine e ao redor de um cilindro circular. Estes escoamentos foram obtidos como superposição de modo adequado de escoamentos elementares como corrente uniforme, fonte, sorvedouro e dipolo, e desco-brimos que a linha de corrente que divide o escoamento em interno e externo tinha a forma do contorno de corpos especícos (ovoide de Rankine e cilindro circular). Entretanto, este método indireto de começarmos com uma dada conbinação de escoamentos elementares e vericarmos que contorno de corpo obtemos dicilmente poderá ser utilizado de modo prático para corpos de forma arbitrária. A questão é, sabemos de antemão a combinação correta de escoamentos elementares cuja combinação sintetiza o escoamento ao redor de uma corpo especíco? A resposta é não. O que precisamos é de um método direto, ou seja, especicamos a forma de um corpo arbitrário ao redor do qual queremos conhecer o escoa-mento e determinamos uma distribuição de escoaescoa-mentos elementares, cuja combinação com uma corrente uniforme, produz o escoamento ao redor do corpo considerado. O propósito dessa aula é apresentar esse método direto, limitado nessa seção inicial a escoamentos sem circulação. A tecnica que iremos abordar é chamada de método dos paineis.

Inicialmente vamos estender o conceito de fonte ou sorvedouro introduzidos na aula 2. Nessa seção, lidamos com ums única linha de fontes, ou uma fonte pontual no caso bidimensional. Agora, imagine que temos um número innito de linhas de fontes, lado a lado, onde a intensidade de cada linha de fontes é innitesimalmente pequena. Este conjunto lado a lado de linhas de fontes forma uma folha de fontes, como ilustrado no lado esquerdo da gura abaixo. No lado direito dessa gura temos uma vista lateral da folha de fontes. As lihas de fontes são perpendiculares á página. Seja s a distancia medida ao longo da folha de fontes na vista lateral. Denimos λ = λ(s) como sendo a intensidade por unidade de comprimento ao longo de s (no caso de uma linha de fonte, ou fonte pintual no caso bidimensional, a intensidade era Q denida como a vazão por unidade de comprimento. λ(s) é a vazão por unidade de comprimento na direção da linha de fonte e por unidade de comprimento na direção de s). Portanto, a intensidade de uma porção innitesimal ds, como mostrado na difura abaixo, é λ(s)ds Esta pequena seção da folha de

fontes pode ser tratada como uma fonte distinta de intensidade λds. Agora considera um ponto P no escoamento, localizado a uma distancia r de ds. As coordenadas cartesianas de P são (x, y). A pequena seção da folha de fontes de intensidade λds induz um potencial innitesimalmente pequeno dφ no ponto P . Temos que

dφ = λds

2π ln r (1)

O potencial de velocidades φ no ponto P induzido por toda a folha de fontes de a a b é obtida a partir da equação acima via integração:

φ = Z b a λ(s) 2π ln r(s)ds (2)

x

s

_ds

z

x

θ

r

P(x,z)

a

_b

A)

B)

z

y

a

b

infinite

infinite

λ = λ( )

s

d

φ =

π

2

λ ds

_{ln r}

Figura 1: Ilustração de uma folha de fontes em A) e vista lateral dessa folha de fontes em B).

Note que, em geral, λ(s) pode mudar de sinal positivo para sinal negativo ao longo da folha de fontes, ou seja, uma folha de fontes é na realidade uma combinação de linhas de fontes e linhas de sorvedouros.

Em seguida vamos considerar um corpo dado de forma arbitrária e uma corrente uni-forme com velocidade U, como ilustyrado abaixo. Vamos cobrir a superfície do corpo considerado com uma folha de fontes, onde a intensidade λ(s) varia de modo que a com-binação da corrente uniforme com a folha de fontes faça com que a superfície do corpo considerado seja uma linha de corrente do escoamento. O nosso problema agora é determi-nar o λ(s) apropriado. A solução desse problema é obtida numericamente como descrito a seguir.

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 + U λ = λ( )s =

escoamento folha de fontes

ao longo da superficie do corpo, com tal queλ( )s a superficie do corpo e uma linha de corrente. uniforme

Escoamento sobre o corpo considerado

Figura 2: Superposição de escoamento uniforme e folha de fontes sobre a superfície de corpo de forma arbitrária, de modo a produzir o escoamento sobre o corpo

Vamos aproximar a folha de fontes por uma série de paineis planos, como ilustrado na gura abaixo. Alem disso, vamos supor que a intensidade λ por unidade de comprimento é constante sobre cada um dos paineis considerados, mas permitimos que intensidade λ por unidade de comprimento varie de painel em painel. Então, se tivermos um total de n paineis, onde a intensidade da fonte por unidade de comprimento será λ1, λ2, . . . , λj, . . . , λn. Essas

intensidades de cada painel são incognitas. O principal objetivo do método dos paineis é determinar as intensidades λj, j = 1, . . . , n de modo que a superfície do corpo seja uma

linha de corrente do escoamento. Esta condição de contorno é imposta numericamente denindo-se no centro de cada painel como um ponto de controle e determinando λj de

modo que a componente normal da velocidade do escoamento seja zero em cada ponto de controle. Vamos implementar esta estratégia.

Pontos de controle Pontos limite do painel Painel 1 Painel 2 Painel j Painel m Painel i α (x ,y )_{i i} ni β_i Direcao da corrente do painel Direcao P(x,y) pj r θ s U

Figura 3: Superfície de um corpo arbitrário representado por paineis planos.

distancia de qualquer ponto no j-ésimo painel ao ponto P , como ilustrado na gura acima. O potencial de velocidades ∆φj induzido em P devido ao j-ésimo painel, de acordo com a

equação (2), é dado por ∆φj = λj 2π Z j ln rpjdsj (3)

Na equação (3), λj é constante sobre o j-ésimo painel, e a integral é realizada somente

sobre o j-ésimo painel. Dessa forma, o potencial no ponto P devido a todos os paineis é a equação (3) somada sobre todos os paineis, ou seja,

φ(P ) = m X j=1 ∆φj = m X j=1 λj 2π Z j ln rpjdsj (4)

Na equação (4), a distancia rpj é dada por

ppj =

q

(x − xj)2+ (y − yj)2 (5)

onde (xj, yj)as coordenadas ao longo da superfície do j-ésimo painel. Como P é um ponto

arbitrário do escoamento, vamos colocar o ponto P sob o ponto de controle do i-ésimo painel. Seja (xi, yi) as coordenadas desse ponto de controle, como mostrado na gura

acima. Então as equações (4) e (5) se tornam φ(xi, yi) = m X j=1 λj 2π Z j ln rijdsj (6) e rij = q (xi− xj)2+ (yi− yj)2 (7)

A equação (6) é sicamente a contribuição de todos os paineis devido ao potencial no ponto de controle do i-ésimo painel.

Lembre-se que a condição de contorno é aplicada nos pontos de controle, ou seja, a componente normal da velocidade do escoamento é zero nos pontos de controle. Para avaliar esta componente, inicialmente consideramos a projeção da corrente uniforme na direção normal ao i-ésimo painel. Seja ~ni o vetor normal unitário ao i-ésimo painel, direcionado

para o exterior do corpo como ilustrado na gura acima. Note tambem que a declividade do i-ésimo painel é (dy/dx)i. Em geral, a velocidade da corrente uniforme tem um angulo

de ataque α em relação ao eixo x, como mostrado na gura acima. Portanto, inspeção da geometria ilustrada na gura acima revela que a componente de ~U normal ao i-ésimo painel é

onde βi é o angulo entre ~U e ~ni. Note que Uni é positiva quando na direção do exterior do

corpo e negativa quando na direção do interior do corpo.

A componente normal da velocidade induzida em (xi, yi)pelos paineis com distribuição

de fontes é, a partir da equação (6), Vni =

∂ ∂ni

φ(xi, yi) (9)

onde a derivada é avaliada na direção da normal unitária exterior, e então, Vni é positiva

quando na direção exterior ao corpo. Quando a derivada na equação (9) é levada a cabo, rij

aparece no denominador. Consequantemente, um ponto singular aparece no i-ésimo painel quando j = i, pois no ponto de controle desse painel rij = 0. Pode-se mostrar que quando

j = i, a contribuição para a derivada é simplesmente λi/2. então, a equação (9) combinada

com a equação (6) se torna Vni = λi 2 + m X j=1 (j6=i) λj 2π Z j ∂ ∂ni (ln rij)dsj (10)

Na equação (10), o primeiro termo λi/2é a velocidade normal induzida no i-ésimo ponto

de controle pelo próprio i-ésimo painel, e o somatório é a velocidade normal induzida no i-ésimo ponto de controle devido a todos os outros paineis.

a componente normal da velocidade do escoamento no i-ésimo ponto de controle é a soma da componente normal da velocidade da corrente uniforme com a velocidade normal gerada pelos outros paineis. A condição de contorno implica que essa soma deve ser zero

Uni+ Vni = 0 para i = 1, . . . , m (11)

Substituindo-se as equações (10) e (8) na equação (11), obtemos λi 2 + m X j=1 (j6=i) λj 2π Z j ∂ ∂ni (ln rij)dsj + U cos βi = 0 para i = 1, . . . , m (12)

A equação acima é uma equação algébrica com m incognitas λ1, λ2, . . . , λm. Ela

re-presenta a condição de contorno de não escoamento através do corpo avaliada no nó de controle do i-ésimo painel, para i = 1, . . . , m. Para cada bó teremos uma equação como a acima. Esse conjunto de equações forma um sistema de equações algébrico para avaliarmos as m incognitas λ1, λ2, . . . , λm.

Uma vez resolvido o sistema de equações representado pela equação (12), nos temos a intensidade da distribuição de fontes em cada painel, que de modo apropriado causa que a superfície do corpo seja uma linha de corrente do escoamento. Esta aproximação pode ser melhorada aumentando-se o número de paineis, fazendo com que a distribuição constante de fontes em cada painel forneça uma aproximação melhor para a distribuição contínua de fontes λ(s).

Com os λi, i = 1, . . . , mdeterminados, a velocidade tangente à superfície em cada ponto

de controle pode ser calculada como a superposição da componente da corrente uniforme tangente ao painel (U sin βi) com a velocidade tangente ao painel de controle em questão

induzida pela distribuição de fonte nos paineis. A velocidade tangente ao i-ésimo painel é dada por Vi = U sin βi+ m X j=1 λj 2π Z j ∂ ∂s(ln rij)dsj, (13)

onde s é a distancia ao longo da superfície do corpo, medida a partir da frente do corpo (veja 3 acima). Conhecida a velocidade tangente, podemos agora calcular o coeciente de pressão Cp no ponto de controle do i-ésimo painel como

Cp,i = 1 −

 V_i U



(14) Então, o método dos paineis fornesse a distribuição de pressão ao longo da superfície do corpo.

Quando voce obtem uma solução via método dos paineis, a precisão numérica do resul-tado pode ser testada. Seja Sj o comprimento do j-ésimo painel. Como λj é a intensidade

da distribuição de fontes do j-ésimo painel por unidade de comprimento. Então a inten-sidade do j-ésimo painel é por si só λjSj. Para um corpo fechado, a soma da intensidade

de todas as fontes e sorvedouros que formam o corpo deve ser zero, ou o corpo estará absorvendo ou adicionando massa ao escoamento, o que não é possível para a situação considerada aqui. Então os valores dos λj são tais que eles devem obedecer a relação

m

X

j=1

λjSj = 0 (15)

Essa equação fornesse uma maneira de vericar a precisão dos calculos realizados. Exemplo de Aplicação.

Calcule a distribuição do coeciente de pressão ao redor do cilindro circular utilizando a tecnica do método dos paineis.

Solução:

Vamos utilizar oito paineis para representar a superfície do cilindro circular. Paineis são numerados de 1 a 8 como ilustrado na gura abaixo.

U 2 3 4 5 6 7 8 1 y x

Figura 4: Superfície de um cilindro circular representada por oito paineis.

Vamos avaliar os integrais Ii,j, que aparecem na equação (12). Considere a gura abaixo

que ilustra dois paineis arbitrários escolhidos. Na gura abaixo, (xi, yi)são as coordenadas

do ponto de controle no i-ésimo painel, e (xj, yj) são as coordenadas locais sobre o j-ésimo

painel. As coordenadas dos extremos do i-ésimo painel são (Xi, Yi)e (Xi+1, Yi+1); de modo

similar, as coordenadas dos extremos do j-ésimo painel são (Xj, Yj) e (Xj+1, Yj+1). Nesse

problema, U é na direção do eixo x; então, os angulos entre o eixo x e os vetor normais unitários ~ni e ~nj são βi e βj respectivamente. Note que em geral ambos βi e βj variam

entre 0 e 2π. Lembre-se que Iij é avaliada no i-ésimo ponto de controle e a integração é

realizada sobre todo o j-ésimo painel.

S

(X , Y )

(X , Y )

(X , Y )

(x ,y )

n

s

ds

r

y

x

(X , Y )

Φ

β

β

Φ

n

Painel j

Painel i

Ii,j = Z j ∂ ∂~ni (ln rij)dsj (16) Como rij = q (xi− xj)2+ (yi− yj)2, então ∂ ∂~ni (rij) = 1 rij ∂rij ∂~ni = 1 rij 1 2(xi− xj) 2_{+ (y} i− yj)2 −1/2  2(xi − xj) dxi d~ni + 2(yi− yj) dyi d~ni  ou ∂ ∂~ni (rij) = (xi− xj) cos βi+ (yi− yj) sin βi (xi− xj)2+ (yi − yj)2 (17)

Note que na gura acima que Φi e Φj são angulos medidos na direção anti-horária a

partir do eixo x na direção da parte de baixo de cada painel. A partir dessa geometria, βi = Φi+ π 2 Então, sin βi = cos Φi (18) cos βi = − sin Φi (19)

A partir da geometria ilustrada acima, nos temos que

xj =Xj + sjcos Φj (20)

yj =Yj+ sjsin Φj (21)

Substituindo-se as equações (17)-(21) na equação (16), nos obtemos Ii,j = Z sj 0 Csj + D s2 j + 2Asj + B dsj (22) onde

A = −(xi− Xj) cos Φj − (yi− Yj) sin Φj B = (xi− Xj)2+ (yi− Yj)2 C = sin(Φi− Φj) D = −(xi− Xj) sin Φi+ (yi− Yj) cos Φi Sj = q (Xj+1− Xj)2+ (Yj+1− Yj)2 Vamos chamar E =√B − A2 _{= (x} i− Xj) sin Φj− (yi− Yj) cos Φj

de modo que a equação (22) avaliada com ajuda de alguma tabela de integrais fornesse que Ii,j = C 2 ln _S2 j + 2ASj + B B  +D − AC E  tan−1Sj + A E − tan −1 A E  (23) A equação (23) é uma expressão geral envolvendo dois paineis arbitrários, e ela não é restrita ao caso de um cilindro circular.

A velocidade tangencial induzida por todos os paineis sobre o i-ésimo ponto de controle pode ser obtida a partir do último termo da equação (13), ou seja

Vs,i = m X j=1 λj 2π Z j ∂ ∂s(ln rij)dsj, (24) utilizando-se o resultado Z j ∂ ∂s(ln rij)dsj = D − AC 2E ln S_j2+ 2ASj+ B B − C  tan−1 Sj + A E − tan −1 A E  (25) Uma vez obtidos os λj, substituimos os valores destes na equação (13) e utilizamos o

resultado dado pela equação (24) de modo a obter Vi, i = 1, . . . , m. De posse de Vi, obtemos

os coecientes de pressão Cp.i utilizando-se a equação (14).

2 Método dos Paineis para Corpo Arbitrário com

Cir-culação.

A teoria de fólios nos pode ser aplicada somente para aerofólios nos com pequeno angulo de ataque. A vantagem da teoria de fólios nos é que ela fornesse expressões para os co-ecientes aerodinâmicos que estão de acordo com resultados experimentais para aerofólios com espessura de até 12% da corda. Entretanto, aerofólios para aviões que voam a baixa velocidade tem espessura superior a 12% da corda. Alem do mais, estamos frequentemente

interessados em grandes angulos de ataque que ocorrem na decolagem e aterrisagem. Final-mente, muitas vezes estamos interessdos com a força de sustentação aerodinâmica gerada por corpos de outras formas, como automóveis e submarinos. Então, a teoria de fólios nos é bastante restrita quando consideramos todo o espectro de aplicações aerodinâmicas. Necessitamos de um método que nos permita calcular as caracteristicas aerodinâmicas de corpos de forma arbitrária, espessura e orientação. Este método é descrito nessa seção. Especicamente, vamos tratar do método dos paineis com vórtices, que é uma técnica nu-mérica que se tornou muito utilizada desde a decada de 1970. Nos vamos considerar aqui somente geometrias bidimensionais.

O método dos paineis de vortices é analogo ao método dos paineis utilizando distribuição de fontes descrito na seção anterior. Entretanto, como no método dos paineis utilizando distribuição de fontes não tinhamos circulação, este é util somente em escoamento que não geram força de sustentação. Em contraste, vortices possuem circulação, e então o método dos paineis utilizando distribuição de vórtices podem ser utilizados quando temos força de sustentação.

A ideia de cobrir a superfície do corpo com uma folha de vórtices com intensidade tal que a superfície do corpo se torne uma linha de corrente foi discutido na aula 4. Decidimos simplicar esta ideia colocando a folha de vórtices na linha de corda do aerofólio, como ilustrado na aula 4, estabelecendo a base para a teoria de fólios nos. Aqui nos vamos retornar à ideia original de cobrir o corpo com uma folha de vórtices, como ilustrado abaixo.

s

U

γ( )

s

Figura 6: Folha de vórtices sobre aerofólio.

Queremos determinar γ(s) de modo que a superfície do corpo se torne uma linha de corrente do escoamento. Não há solução analítica para γ(s), e portanto devemos obter uma solução numérica. Este é o proposito do método dos paineis baseado em distribuições de vórtices.

Vamos aproximar a folha de vórtices ilustrada acima por uma série de paineis planos, como mostrado anteriormente na gura 3. Vamos considerar que a intensidade de γ(s) por unidade de comprimento seja constante sobre cada painel, mas vamos permitir que esta va-rie entre paineis. Logo, para os m paineis ilustrados na gura 3 acima, a intensidade da dis-tribuição de vórtices por unidade de comprimento sobre cada painel é γ1, γ2, . . . , γj, . . . , γm.

Estas intensidades são incognitas, e o principal propósito do método dos paineis é deter-minar os γj, j = 1, . . . , m tal que a supercie do corpo se torne uma linha de corrente do

escoamento e que a condição de Kutta seja satisfeita. Como explicado na seção anterior, o ponto médio de cada painel é um ponto de controle onde a condição de contorno é imposta, ou seja, em cada ponto de controle, a componente normal da velocidade do escoamento é nula.

Seja P um ponto do escoamento localizado em (x, y), e seja rpj a distancia de qualquer

ponto do j-ésimo painel ao ponto P , como ilustrado na gura 3. O raio rpj faz angulo

θpj com o eixo x. O potencial de velocidades ∆φj induzido no ponto P devido ao j-ésimo

painel é ∆φj = − 1 2π Z j γjθpjdsj (26)

onde γj é constante sobre o j-ésimo painel, e a integração é realizada somente o j-ésimo

painel. O angulo θpj é dado por

θpj = tan−1

y − yj

x − xj

. (27)

O potencial total induzido por todos os paineis no ponto P é a soma dos potenciais induzido por cada painel:

φ(P ) = m X j=1 ∆φj = − m X j=1 γj 2π Z j θpjdsj (28)

Como o ponto P é somente um ponto arbitrário do escoamento, vamos colocar o ponto P no ponto de controle do i-ésimo painel como ilustrado na gura 3 acima. As coordenadas desse ponto de controle são (xi, yi). Então as equações (27) e (28) se tornam

θij = tan−1 yi− yj xi− xj (29) e φ(xi, yi) = − m X j=1 γj 2π Z j θijdsj (30)

A equação (30) é sicamente a contribuição de todos os paineis para o potencial no ponto de controle do i-ésimo painel.

Nos pontos de controle, a componente normal da velocidade do escoamento é zero. Esta velocidade do escoamento é a superposição da corrente uniforme com a velocidade induzida por todos os paineis no i-ésimo painel. A componente da corrente uniforme na direção da normal exterior ao i-ésimo painel é dada por U cos βi, A componente da velocidade induzida

em (xi, yi) por todos paineis na direção da normal exterior ao i-ésimo painel é

V~ni =

∂ ∂~ni

[φ(xi, yi)]. (31)

V~ni = − m X j=1 γj 2π Z j ∂θij ∂~ni dsj, (32)

onde a soma é sobre todos os paineis. A condição de contorno implica que a velocidade do escoamento na direção da normal exterior ao i-ésimo painel é nula, e é dada por

U cos βi+ V~ni = 0. (33)

Substituindo-se a equação (32) na equação (33), obtemos que U cos βi− m X j=1 γj 2π Z j ∂θij ∂~ni dsj = 0. (34)

Essa equação é a essencia do método dos paineis. O valor dos integrais na equação (34) depende somente da geometria do painel, e não são função do escoamento. Seja Jij o valor

desse integral quando o ponto de controle esta no i-ésimo painel. Então a equação (34) pode ser escrita como

U cos βi− m X j=1 γj 2πJij = 0, i = 1, . . . , m (35)

Essa equação representa um sistema linear de equações para as incognitas γ1, γ2, . . . , γm.

Ela representa a condição de contorno do escoamento avaliada no i-ésimo painel (i = 1, . . . , m).

Até este ponto, realizamos discussão similar ao que foi feito para o método dos paineis com distribuição de fontes apresentado na seção anterior. Entretanto, a semalhança para por aqui. Para o método dos paineis com distribuição de fontes, m equações para m incognitas são resolvidos, fornecendo o escoamento ao redor de corpos que não geram força de sustentação. Já para o caso onde temos força de sustentação, alem das m equações dadas pela equação (35), temos ainda que satisfazer a condição de Kutta. Esta pode ser realizada de diversas maneiras. Por exemplo, considere a gura abaixo, que ilustra em detalhe a distribuição de paineis no bordo de fuga.

i−3

i−2

i−1

i

i+1

i+2

Note que o comprimento de cada painel pode ser diferente. O comprimento e distri-buição são escolhidos pelo usuário. Faça os dois paineis adjacente ao bordo de fuga bem pequenos (paineis i e i−1). A condição de Kutta é aplicada precisamente no bordo de fuga fazendo com que γ(BF ) = 0. Para aproximar esta condição numericamente, se os pontos i e i − 1 são sucientemente próximos ao bordo de fuga, podemos escrever

γi = −γi−1 (36)

de modo que a intensidade da distribuição de vórtices no i-ésimo e (i − 1)-ésimo paineis cancelam exatamente no ponto de intersecção entre ambos, que é o bordo de fuga. Então, para impormos a condição de Kutta na solução do escoamento, a equação (36) deve ser incluida. Note que a equação (35) mais a equação (36) formam um sistema de m+1 equações com m incognitas, que constitue um sistema com mais equações que incognitas. Portanto, para obtermos um sistema com número de equações igual ao número de incognitas, a equação (35) será avaliada somente sobre m − 1 pontos de controle, ou seja, vamos impor a equação de contorno (33) aos paineis i = 1, . . . , n − 1, n + 1, . . . , m de modo que ao invés da equação (35) teremos U cos βi− m X j=1 γj 2πJij = 0, i = 1, . . . , n − 1, n + 1, . . . , m. (37) A combinação da equação (37) mais a equação (36) fornesse um sistema de m equações para as m incognitas γ1, γ2, . . . , γm.

Até aqui fomos capazes de determinar o valor dos γ1, γ2, . . . , γmde modo que a superfície

do corpo seja uma linha de corrente do escoamento e de modo que a condição de Kutta seja satisfeita. A velocidade tangente a superfície do aerofólio nos pontos de controle pode ser obtida diretamente a partir de γ. Para vermos isso calramente, considere o aerofólio ilustrado na gura abaixo.

γ

a

_γ

b

V

V

a

b

U

V = 0 dentro

do aerofolio

Figura 8: Aerofólio como corpo sólido, com velocidade nula dentro do perl.

Estamos preocupados somente com o escoamento fora do aerofólio e na sua superfície exterior. Portanto, façamos com que a velocidade dentro do aerofólio seja nula, como mostrado na gura acima. Em particular, a velocidade no lado interior ao corpo da folha de vortices é nula. Isto corresponde a fazermos u2 = 0 na equação

da aula 3 (teoria de fólios nos) para o salto da velocidade tangente através de uma folha de vortices. Isso nos leva a

γ = u1− u2 = u1− 0 = u1,

onde u representa a velocidade tangente à folha de vortices. Em termos da gura acima, nos obtemos Va = γa no ponto a e Vb = γb no ponto b. Portanto, a velocidade tangente

à superfície do aerofólio é igual ao valor local de γ. Por sua vez, a distribuição local de pressão pode ser obtida pela equação de Bernoulli.

A circulação total pode ser obtida da seguinte maneira. A circulação devido ao j-ésimo painel é γjSj, onde Sj é o comprimento do painel. Então a circulação total é dada por

Γ =

m

X

j=1

γjSj (38)

De acordo com o teorema de Kutta-Joukowski, a força de sustentação por unidade de comprimento é dada por

L = ρU Γ = ρU

m

X

j=1

γjSj (39)

O método dos paineis com distribuição de vórtices aqui apresentado é denominado de primeira ordem pois o valor de γ sobre cada painel é assumido constante. Embora o método pareça simples, a implementação numérica pode ser muitas vezes frustrante. Por exemplo, o resultado para um dado corpo podem ser sensitivo ao número de paineis utilizados, ao tamanho dos paineis utilizados e da forma como são distribuidos sobre a superfície do corpo. A necessidade de ignorarmos a condição de contorno em um dos pontos de controle para obtermos um sistema de equações com igual número de incognitas tambem introduz alguma arbitrariedade na solução numérica. Qual ponto de controle a ser ignorado? Diferentes escolhas algumas vezes levam a diferentes respostas numéricas para a distribuição de γ sobre a superfície do aerofólio. Alem disso, a distribuição de γ obtida numericamente pode não ser suave, mas apresentar oscilações de um painel a outro.

Para podermos efetivamente implementar o método dos paineis baseados em distribui-ção de vórtices, necessitamos avaliar os integrais Jij. Vamos considerar a gura abaixo e a

S

(X , Y )

(X , Y )

(x ,y )

s

ds

r

y

x

Φ

β

n

Painel j

Painel i

U

(X , Y )

ni

β

(X , Y )

Φ

α

Figura 9: Geometria necessária para o calculo de Jij.

Considere a gura acima que ilustra dois paineis arbitrários escolhidos. Na gura acima, (xi, yi) são as coordenadas do ponto de controle no i-ésimo painel, e (xj, yj) são as

coor-denadas locais sobre o j-ésimo painel. As coorcoor-denadas dos extremos do i-ésimo painel são (Xi, Yi)e (Xi+1, Yi+1); de modo similar, as coordenadas dos extremos do j-ésimo painel são

(Xj, Yj) e (Xj+1, Yj+1). Nesse problema, U faz angulo de ataque α em relação ao eixo x;

então, os angulos entre o eixo x e os vetores normais unitários ~ni e ~nj são βi+ α e βj + α

respectivamente. Note que βi e βj são o angulo entre a direção da corrente uniforme e os

vetores normais unitários ~ni e ~nj respectivamente. Ambos angulos assumem valores entre

0e 2π. Lembre-se que Jij é avaliada no i-ésimo ponto de controle e a integração é realizada

sobre todo o j-ésimo painel. Temos que Jij = Z j ∂ ∂~ni (θij)dsj (40) Como θij = tan−1  yi− yj xi− xj  , então ∂ ∂~ni (θij) = 1 (xi− xj)2+ (yi− yj)2  −(yi− yj) dxi d~ni + (xi− xj) dyi d~ni  ou

∂ ∂~ni

(θij) =

−(yi− yj) cos(βi+ α) + (xi− xj) sin(βi+ α)

(xi− xj)2+ (yi− yj)2

(41) Note que na gura acima que Φi e Φj são angulos medidos na direção anti-horária a

partir do eixo x na direção da parte de baixo de cada painel. A partir dessa geometria, βi+ α = Φi+ π 2 Então, sin(βi + α) = cos Φi (42) cos(βi + α) = − sin Φi (43)

A partir da geometria ilustrada acima, nos temos que

xj =Xj + sjcos Φj (44)

yj =Yj+ sjsin Φj (45)

Substituindo-se as equações (41)-(45) na equação (40), nos obtemos Jij = − Z sj 0 Dsj + C s2 j + 2Asj+ B dsj (46) onde A = (Xj− xi) cos Φj + (Yj − yi) sin Φj B = (xi− Xj)2+ (yi− Yj)2 C = (Xj− xi) cos Φi+ (Yj− yi) sin Φi

D = sin φjsin φi+ cos φjcos φi

Sj =

q

(Xj+1− Xj)2+ (Yj+1− Yj)2

Vamos chamar E =√B − A2

de modo que a equação (46) avaliada com ajuda de alguma tabela de integrais fornesse que Jij = − D 2 ln _S2 j + 2ASj + B B  + DA − C E  tan−1 Sj+ A E − tan −1 A E  (47)

A equação (47) é uma expressão geral envolvendo dois paineis arbitrários, ou seja i 6= j. Para o caso onde a integração ocorre sobre o painel onde temos o ponto de controle, ou seja, as funções Jii, a equação (47) não é válida. Nesse caso, é possível avaliar Jii de maneira

analítica, e o resultado obtido é que

Jii= 0 (48)

Portanto, na implementação numérica do método dos paineis, utilizamos a equação (47) para avaliar Jij com i 6= j e utilizamos a equação (48) para avaliar Jij com i = j.

Exercício Numérico:

Considere um cilindo de raio unitário centrado na origem do sistema de coordenadas, sob ação de uma corrente uniforme de intensidade U que faz angulo de ataque α com o eixo x, como ilustrado abaixo. Assumir que o ponto de estagnação, onde a condição de Kutta deva ser aplicada, esta localizado na superfície do cilindro para θ = −π/18 radianos (ponto A) da gura abaixo. a posição do ponto de estagnação é xa, independente de α. Utilize o método dos paineis com distribuição constante de vórtices em cada painel para:

1. Determinar a circulação Γ em função do angulo de ateque para −π/18 < α < π/18; 2. Determinar a curva CL× α para −π/18 < α < π/18;

Note que antes de levantar as curvas Γ × α e CL× α voce deve fazer um estudo de

convergencia do método dos paineis, ou seja, os resultados devem ser independentes do número de paineis e de como estes são distribuidos. Para atingir esse objetivo, escolha uma distribuição uniforme de paineis ao longo do cilindro circular com inicio no ponto de estagnação e sentido anti-horário. Em seguida, dobre o número de paineis e verique se voce recupera a mesma curva Γ × α, por exemplo. Caso a curva obtida com a primeira discretização não coincida com a seguda, dobre o número de paineis e repita o procedimento até que a curva Γ × α não dependa do número de paineis. Mostres as curvas Γ × α geradas no seu estudo de convergencia do método dos paineis.

Esse escoamento tem solução analítica. Compare as curvas Γ × α e CL× α obtidas via

U

α

y

x

−π/18

A

Figura 10: Cilindro sob ação de uma corrente uniforme com ângulo α em relação ao eixo x. Ponto A é ponto de estagnação do escoamento.