Cap14 Sec4 2x4

(1)

Capítulo 14

Derivadas Parciais

Uma das ideias mais importantes em cálculo de funções com uma única variável é

 À medida que damos zoom em torno de um ponto no gráfico de uma função diferenciável, esse gráfico vai se tornando indistinguível de sua reta tangente.

Podemos aproximar a função por uma função linear.

DERIVADAS PARCIAIS

Desenvolveremos ideias semelhantes em três dimensões.

 À medida que damos zoom em torno de um ponto na superfície que é o gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis, essa superfície parece mais e mais com um plano (seu plano tangente).

Podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear de duas variáveis.

Estenderemos também a ideia de diferencial para as funções de duas ou mais variáveis. DERIVADAS PARCIAIS

14.4

Planos Tangentes e

Aproximações Lineares

Nesta seção, nós aprenderemos como: Aproximar funções usando planos tangentes e

funções lineares.

PLANOS TANGENTES

Suponha que a superfície S tenha equação z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Seja P(x₀, y₀, z₀) um ponto em S.

Como na seção anterior, sejam C₁e C₂ curvas obtidas pela intersecção de S com os planos verticais y = y₀e x = x₀.

 O ponto P pertence à intersecção de C1e C2.

Sejam T₁e T₂as retas tangentes às curvas

C₁e C₂no ponto P. PLANOS TANGENTES

(2)

Então, o plano tangente à superfície S no ponto P é definido como o plano que contém as duas retas tangentes T₁e T₂.

Veremos na Seção 14.6 que, se C é outra curva qualquer que esteja contida na

superfície S e que passe pelo ponto P, então sua reta tangente no ponto P também

pertence ao plano tangente. PLANOS TANGENTES

Portanto, podemos pensar no plano tangente a S em P como o plano que contém todas as retas tangentes a curvas contidas em S que passam pelo ponto P.

 O plano tangente em P é o plano que melhor aproxima a superfície S perto do ponto P.

Sabemos da Equação 12.5.7 que qualquer plano passando pelo ponto P(x₀, y₀, z₀) tem equação da forma

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 PLANOS TANGENTES

Dividindo essa equação por C e tomando a = –A/C e b = –B/C, podemos escrevê-la como

z – z₀= a(x – x₀) + b(y – y₀)

PLANOS TANGENTES Equação 1

Se a Equação 1 representa o plano tangente em P, sua intersecção com o plano y = y₀ precisa ser a reta T₁.

Impondo y = y₀na Equação 1, obtemos z – z₀= a(x – x₀)

y = y₀

que reconhecemos como a equação da reta (na forma de ponto, inclinação) com inclinação a.

Mas da Seção 14.3 sabemos que a inclinação de T₁é f_x(x₀, y₀).

 Assim, a = fx(x0, y0). PLANOS TANGENTES

(3)

Da mesma forma, tomando x = x₀na Equação 1, obtemos:

z – z₀= b(y – y₀)

que precisa representar a reta tangente T₂.

 Portanto, b = fy(x0, y0). PLANOS TANGENTES

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas.

Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P(x₀, y₀, z₀) é dada por:

z – z₀= f_x(x₀, y₀)(x – x₀) + f_y(x₀, y₀)(y – y₀)

PLANOS TANGENTES Equação 2

Determine o plano tangente ao paraboloide elípticoz = 2x2_{+ y}2_{no ponto}_{(1, 1, 3).}

 Seja f(x, y) = 2x2_{+ y}2_. Então,

fx(x, y) = 4x fy(x, y) = 2y

f_x(1, 1) = 4 f_y(1, 1) = 2

PLANOS TANGENTES EXEMPLO 1

Portanto, por (2), temos a equação do plano tangente em (1, 1, 3)

z – 3 = 4(x – 1) + 2(y – 1) ou

z = 4x + 2y – 3

PLANOS TANGENTES EXEMPLO 1

A figura mostra o paraboloide elíptico e seu plano tangente em (1, 1, 3) que encontramos no Exemplo 1.

Na parte (b) e (c) fazemos um zoom em torno do ponto (1, 1, 3), diminuindo o domínio da função f(x, y) = 2x2_{+ y}2_.

Observe que, quanto mais ampliamos a região próxima ao ponto,

mais plano parece o gráfico da superfície e mais se parece com o plano tangente.

Aqui reforçamos essa impressão dando zoom em torno de (1, 1) no mapa de contorno da função f(x, y) = 2x2_{+ y}2_. PLANOS TANGENTES

(4)

Observe que, quanto mais ampliamos, mais as curvas de nível parecem retas igualmente espaçadas, o que caracteriza uma região plana.

APROXIMAÇÃO LINEAR

No Exemplo 1 achamos que a equação do plano tangente ao gráfico da função

f(x, y) = 2x2_{+ y}2_{no ponto (1, 1, 3) é:} z = 4x + 2y – 3

Portanto, em vista da evidência visual nas duas figuras anteriores, a função linear de duas variáveis

L(x, y) = 4x + 2y – 3

é uma boa aproximação de f (x, y) quando (x, y) está próximo de (1, 1).

APROXIMAÇÃO LINEAR & LINEARIZAÇÃO

A função L é chamada linearização de f em (1, 1).

A aproximação

f(x, y) 4x + 2y – 3 é denominada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (1, 1).

Por exemplo, no ponto (1,1, 0,95), a aproximação linear fornece

f(1,1, 0,95)

4(1,1) + 2(0,95) – 3 = 3,3

que está bastante próximo do valor verdadeiro de f (1,1, 0,95) = 2(1,1)² + (0,95)² = 3,3225.

Se, entretanto, tomarmos um ponto longe de (1, 1), como (2, 3), não teremos mais uma boa aproximação.

 De fato, L(2, 3) = 11, ao passo que f (2, 3) = 17.

Em geral, sabemos de (2) que uma equação do plano tangente ao gráfico de uma função f de duas variáveis que tem derivadas parciais contínuas em um ponto (a, b, f (a, b)) é

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x – a) + f_y(a, b)(y – b)

APROXIMAÇÃO LINEAR LINEARIZAÇÃO Equação 3

A função linear cujo gráfico é esse plano tangente, a saber,

L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x – a) + f_y(a, b)(y – b)

(5)

A aproximação

f(x, y) f(a, b) + f_x(a, b)(x – a) + f_y(a, b)(y – b) é chamada aproximação linear ou

aproximação pelo plano tangente de f em (a, b).

APROXIMAÇÃO LINEAR Equação 4

Definimos o plano tangente para as

superfícies z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

O que acontece sef_xe fynão são contínuas?

A figuraapresenta uma tal função.

Sua equação é:

Podemos verificar (veja o Exercício 46) que suas derivadas parciais existem na origem e são f_x(0, 0) = 0 e f_y(0, 0) = 0.

Mas, f_xe f_ynão são contínuas. APROXIMAÇÃO LINEAR

A aproximação linear seria

f(x, y) 0.

 Porém, f(x, y) = ½para todos os pontos da retay = x.

Portanto, uma função de duas variáveis pode se comportar muito mal, mesmo se suas derivadas parciais existirem.

Para evitar esse comportamento, introduzimos a ideia de função diferenciável de duas variáveis.

Lembremo-nos de que para uma função de uma variável, y = f(x), se x varia de a para a + x, definimos o incremento de y como

y = f(a + x) – f(a) APROXIMAÇÃO LINEAR

No Capítulo 3, no Volume I, mostramos que, se f é diferenciável em a, então

y = f’(a)x + x onde 0 quando x 0

(6)

Considere agora uma função de duas variáveis, z = f(x, y).

Suponha que x varie de a para a + x e y varie de b para b + x.

Então, o incremento correspondente de z é

z = f(a + x, b + y) – f(a, b)

Portanto, o incremento z representa a variação de valor de f quando (x, y) varia de (a, b) para (a + x, b + y).

Por analogia a (5), definimos a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis como segue.

Se z = f(x, y), então f é diferenciável em (a, b) se z ser expresso na forma

z = f_x(a, b) x + f_y(a, b) y + ₁x + ₂y

onde ₁e ₂ 0 quando (x, y) (0, 0).

APROXIMAÇÃO LINEAR Definição 7

A Definição 7 diz que uma função diferenciável é aquela para a qual a aproximação linear (4) é uma boa aproximação quando (x, y) está próximo de (a, b).

Em outras palavras, o plano tangente aproxima bem o gráfico de f perto do ponto de tangência.

Algumas vezes é difícil usar a Definição 7 diretamente para verificar a

diferenciabilidade da função, mas o próximo teorema nos dá uma condição

suficientemente conveniente para a diferenciabilidade.

Se as derivadas parciaisf_xe f_yexistirem perto do ponto (a, b) e forem contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b).

APROXIMAÇÃO LINEAR Teorema 8

Mostre que f(x, y) = xexy_{é diferenciável em}

(1, 0) e determine sua linearização ali.

Em seguida, use a linearização para aproximar f(1,1, –0,1).

APROXIMAÇÃO LINEAR EXEMPLO 2

As derivadas parciais são f_x(x, y) = exy_{+ xye}xy _f

y(x, y) = x2exy

f_x(1, 0) = 1 f_y(1, 0) = 1

 Ambas fxe fysão funções contínuas.

 Portanto, pelo Teorema 8, f é diferenciável.

(7)

A linearização é dada por:

L(x, y) = f(1, 0) + f_x(1, 0)(x – 1) + f_y(1, 0)(y – 0) = 1 + 1(x – 1) + 1 .y

= x + y

A aproximação linear correspondente é xexy_{x + y}

Portanto,

f(1,1, – 0,1) 1,1 – 0,1 = 1 Compare esse valor com o valor real de

f (1,1, 0,1) = 1,1e–0,11_0,98542

No início da Seção 14.3 discutimos o humidex (temperatura aparente) I como uma função

 da temperatura real T  da umidade relativa H

Fornecemos a seguinte tabela de valores:

Determine uma aproximação linear para o humidex I = f(T, H) quando T está próximo de 30 ºC e H está próximo de 60%.

Use essa estimativa do humidex quando a temperatura estiver a 31 ºC e a umidade relativa for 62%.

Lemos na tabela que f (30, 60) = 38.

Na Seção 14.3 usamos os valores tabelados para estimar fT(30, 60) 1,75 e fH(30, 60) 0,3.

Assim, a aproximação linear é:

f(T, H) f(30, 60) + f_T(30, 60)(T – 30) + f_H(30, 60)(H – 60)

38 + 1,75(T – 30) + 0,3(H – 60)

Em particular,

f(31, 62) 38 + 1,75(1) + 0,3(2) = 40,35

 Portanto, quando T = 31 ºC e H = 62%, o humidex é

I 40,4°C

(8)

DIFERENCIAIS Equação 9

Para uma função de uma única variável, y = f (x), definimos a diferencial dx como uma variável independente; ou seja, dx pode valer qualquer número real.

A diferencial de y é definida como dy = f’(x) dx Veja a Seção 3.10, no Volume I.

A figura mostra as relações entre o incremento y e a diferencial dy: DIFERENCIAIS

y representa a variação de altura da curva y = f(x).

dy representa a variação de altura da reta tangente quando x varia da quantidade dx = x.

DIFERENCIAIS

Para uma função de duas variáveis, z = f(x, y), definimos as diferenciais dx e dy como variáveis independentes;

Ou seja, podem ter qualquer valor.

DIFERENCIAIS

DIFERENCIAL TOTAL Equação 10

Então, a diferencial dz, também chamada diferencial total, é definida por

Compare com a Equação 9.

 Algumas vezes a notação df é usada no lugar de dz.

( , )

x y

z

dz

f x y dx

f x y dy

dx

dy

x

y

w

Se tomamos dx = x = x – a e dy = y = y – b na Equação 10, então a diferencial de z é

dz = f_x(a, b)(x – a) + f_y(a, b)(y – b)

E assim, com a notação de diferencial, a aproximação linear (4) pode ser escrita como

f(x, y) f(a, b) + dz DIFERENCIAIS

Essa figura é a versão tridimensional da figura anterior.

DIFERENCIAIS

Ela mostra a interpretação geométrica da diferencial dz e do incrementoz.

(9)

dz representa a variação na altura do plano tangente.

DIFERENCIAIS

z representa a variação da altura da superfície z = f(x, y) quando (x, y) varia de (a, b) para (a + x, b + y).

DIFERENCIAIS

a. Se z = f(x, y) = x2_{+ 3xy – y}2_{, determine}

a diferencial dz.

b. Se x varia de 2 a 2,05 e y varia de 3 a 2,96, compare os valores de z e dz.

DIFERENCIAIS EXEMPLO 4

Da Definição 10 vem

(2

3 )

(3

2 )

z

dz

dx

dy

x

y

x

y dx

x

y dy

w

DIFERENCIAIS EXEMPLO 4 a

Tomando x = 2, dx = x = 0,05, y = 3, dy = y = –0,04, obtemos dz = [2(2) + 3(3)]0,05 + [3(2) – 2(3)](–0,04) = 0,65 DIFERENCIAIS EXEMPLO 4 b

O incremento de z é: z = f(2,05, 2,96) – f(2, 3)

= [(2,05)2_{+ 3(2,05)(2,96) – (2,96)}2_]

– [22_{+ 3(2)(3) – 3}2_]

= 0,6449

 Observe que z dz, mas dz é mais simples de calcular.

DIFERENCIAIS EXEMPLO 4 b

No Exemplo 4, dz está próximo de z porque o plano tangente é uma boa

aproximação da superfície z = x2_{+ 3xy – y}2

perto do ponto (2, 3, 13). DIFERENCIAIS

Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm.

Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.

(10)

O volume V do cone com raio da base r e altura h é V = Sr2 _{h / 3.} Logo, a diferencial de V é 2 2 3 3

S

w w w w V V rh r dV dr dh dr dh r h DIFERENCIAIS EXEMPLO 5

Como cada erro é de, no máximo, 0,1 cm, temos

|r| 0,1 |h| 0,1

Para achar o erro máximo no volume, tomamos o maior erro nas medidas de r e de h.

 Portanto, tomamos dr = 0,1 e dh = 0,1 para r = 10, h = 25.

Isso dá

Assim, o erro máximo cometido no cálculo do volume é de cerca de 20Scm³ 63 cm³.

FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS

Aproximações lineares, diferenciabilidade e diferenciais podem ser definidas de maneira análoga para as funções de mais que duas variáveis.

Uma função diferenciável é definida por uma expressão semelhante àquela da Definição 7.

 Para essas funções a aproximação linear é f(x, y, z) f(a, b, c) + fx(a, b, c)(x – a)

+ fy(a, b, c)(y – b) + fz(a, b, c)(z – c)

 A linearização L(x, y, z) é o lado direito dessa expressão.

Se w = f(x, y, z), então o incremento de w é

w = f(x + x, y + y, z + z) – f(x, y, z)

A diferencial dw é definida em termos das diferenciais dx, dy e dz das variáveis independentes por

w

dw

dx

dy

dz

x

y

z

w

FUNÇÕES DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS EXEMPLO 6 As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 75 cm, 60 cm e 40 cm, e cada medida foi feita com precisão de 0,2 cm.

Use diferenciais para estimar o maior erro possível quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas.

Se as dimensões da caixa são x, y e z, seu volume é V = xyz e

w

V

dV

dx

dy

dz

x

y

z

yz dx xz dy xy dz

(11)

Foi-nos dado que

|x| 0,2, |y| 0,2, |z| 0,2

Para determinar o maior erro no volume, usamos dx = 0,2, dy = 0,2, dz = 0,2

em conjunto com

x = 75, y = 60, z = 40

FUNÇÕES DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS EXEMPLO 6

Então, V dV

= (60)(40)(0,2) + (75)(60)(0,2) + (75)(60)(0,2) = 1980

FUNÇÕES DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS EXEMPLO 6

Portanto, um erro de apenas 0,2 cm nas medidas de cada dimensão pode nos levar a um erro da ordem de 1.980 cm³ no cálculo do volume!

Isso pode parecer um erro muito grande, mas, na verdade, é um erro de apenas cerca de 1% do volume da caixa.

Cap14 Sec4 2x4

Derivadas Parciais

14.4

Planos Tangentes e

Aproximações Lineares

f(x, y) 0.

( , )

( , )

z

z

dz

f x y dx

f x y dy

dx

dy

x

y

w

w





w

w

(2

3 )

(3

2 )

z

z

dz

dx

dy

x

y

x

y dx

x

y dy

w



w

w

w







S

S

w

w

w

dw

dx

dy

dz

x

y

z

w



w



w

w

w

w

w



w



w

w

w

w





V

V

V

dV