Newton-Raphson associado à técnica de comprimento de arco linear

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Newton-Raphson associado à técnica de comprimento

de arco linear

Conteúdo

1. Método de solução com o Newton-Raphson associado à técnica de comprimento de arco

linear ... 1

1.1 Técnica de continuação Comprimento de Arco Linear ... 2

1.2 Escolha do sinal do parâmetro carga ... 3

1.3 Critério de convergência ... 3

1.4 Pseudoalgoritmo ... 3

Referências ... 4

1. Método de solução com o Newton-Raphson associado à técnica

de comprimento de arco linear

Metodologias eficientes de solução de sistemas não lineares devem ser capazes de percorrer todo o caminho de equilíbrio do sistema estrutural em análise, identificando e passando por todos os pontos singulares ou críticos (ponto limite de carga, ponto limite de deslocamento e ponto de bifurcação) que possam existir (PINHEIRO; SILVEIRA, 2004; LEON et al., 2011; SOUZA et al., 2017). O método de Newton-Raphson só fornece a solução de um simples ponto no caminho de equilíbrio. Para obter outros pontos, combina-se as iterações de Newton-Raphson com um procedimento incremental. A equação que governa o equilíbrio estático de um sistema estrutural com comportamento não linear é descrita por (MAXIMIANO; SILVA; SILVEIRA, 2014): (1)

na qual g é o vetor de forças desequilibradas, Fr é o vetor de referência que caracteriza a direção da força externa,  é o parâmetro de força, u é o vetor de deslocamentos e Fint é o vetor de forças internas. A solução do sistema dado em Equação (1) é obtida por meio de um esquema iterativo e incremental. O propósito é determinar, ao final de cada passo, o valor do parâmetro de carga λ e do vetor de deslocamentos nodais u. Esse sistema tem (n + 1) incógnitas, que são o vetor u com n elementos e o parâmetro , mas somente n equações. Assim, uma equação de restrição é adicionada ao sistema:  (2)

Aplicando o método de Newton-Raphson padrão ao sistema dado pelas Equações (2) e (2), chega-se a: λ λ λ (3)

(2)

λ λ (4) com (5) λ λ λ (6) na qual é a matriz de rigidez (matriz Jacobiana) e  (k+1) é o subincremento do parâmetro de carga. Nota-se que o sobrescrito (k + 1) indica a iteração corrente e o sobrescrito (k) a iteração anterior, no passo de carga. Isolando o subincremento de deslocamentos u(k+1) na Equação (3) e supondo que K seja inversível, tem-se: λ (7) λ (8) λ (9) λ (10) λ (11) na qual λ (12) (13)

em que λ λ . Os incrementos de coordenadas nodais e de carga são determinados por, respectivamente: (14)

λ λ λ (15)

O cálculo explícito de pode ser evitado resolvendo-se o sistema de equações lineares via decomposição (por exemplo, fatoração LU ou fatoração de Cholesky), visto que uma única fatoração no início do ciclo iterativo é necessária.

1.1 Técnica de continuação Comprimento de Arco Linear

Utilizando a técnica de continuação Comprimento de Arco Linear (Riks, 1972; Wempner, 1971), a equação de restrição c(u,) é dada por:  (16)

Com a substituição do subincremento u(k+1) da Equação (11) na Equação (16), chega-se à expressão para o subincremento de carga (k+1): λ (17)

λ (18)

λ (19)

(3)

λ (20) λ (21)

A expressão para o incremento inicial do parâmetro de força (solução predita) é dada por:

λ (22)

na qual l representa o incremento de comprimento de arco. Esse incremento pode ser utilizado como um parâmetro de controle no passo de força corrente de acordo com a expressão:

(23)

em que 0 l é o incremento de comprimento de arco no passo de carga inicial, Nd é o número de iterações desejadas para a convergência do processo iterativo corrente e tk é o número de iterações que foi necessário para convergir no passo de carga anterior.

1.2 Escolha do sinal do parâmetro carga

No início do passo de carga corrente, o tamanho do incremento do vetor coordenadas nodais é predito por u(0) = (0)ur

(0)

, e impõe-se que os incrementos do vetor de coordenadas nodais sejam ortogonais ao da primeira iteração nas iterações subsequentes.

O sinal do incremento inicial do parâmetro carga ( (0)) pode ser positivo ou negativo. A escolha correta do sinal é de suma importância na definição das sequências de soluções (u, ) que permitam o avanço contínuo na resposta força-deslocamento. O procedimento utilizado consiste na análise do produto interno entre o incremento de deslocamentos nodais obtido no passo de força anterior (t u) e o incremento de deslocamentos nodais corrente (ur): se t uTur > 0, então o preditor u(0) tem o mesmo sentido de ur; caso contrário, o preditor tem sentido contrário.

1.3 Critério de convergência

O critério de convergência adotado para cada passo de carga é expresso pela norma da força residual e da força total aplicada:

(24)

na qual tol é a tolerância fornecida pelo usuário.

1.4 Pseudoalgoritmo

O pseudocódigo do algoritmo do procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson associado à técnica de Comprimento de Arco Linear é ilustrado na Figura 1.

Os dados de entrada no algoritmo são: comprimento de arco inicial (

0

l);

número máximo de iterações em cada passo de força (kmáx); número de iterações

(4)

desejadas em cada passo de força (Nd); tolerância (tol); incremento de força (

P); e

número máximo de passos de força (n

máx

). As saídas do algoritmo são: vetor de

deslocamentos nodais (u); parâmetro de força total λ; número total de passos de força

(NP); e número total de iterações acumuladas até a convergência para a solução (ktotal).

Entrada: nmáx, kmáx, P, 0

l, tol, Nd

Saída: u, NP, , ktotal, kmédio

1. u 0, u 0,  0, ktotal 0 2. Para NP  1,,nmáx 3. ur [K(u)]-1 Fr 4.  l/ur|| 5. Se uTur < 0 6.  -  7. Fim-Se 8. u(0) ur 9. u u(0) 10. g  (+ ) Fr - Fint(u+ u) 11. Para k  1,,kmáx 12. ur [K]-1 Fr 13. ug [K]-1 g 14.  -( u(0)T ug)/( u(0)T ur) 15. u ug + ur 16. u u + u 17.   +  18. g  (+ ) Fr - Fint(u+ u) 19. Se ||g|| < tol ||Fr||

20. Terminar a execução do Para 21. Fim-Se 22. Calcular K(u+ u) 23. ur [K]-1 Fr 24. Fim-Para 25. u u + u 26.  +  27. l 0 l (Nd/k)0,5 28. ktotal ktotal + k 29. Fim-Para 30. kmédio ktotal/NP

Figura 1 - Newton-Raphson associado à técnica de Comprimento de Arco Linear.

Referências

LEON, S. E.; PAULINO, G. H.; PEREIRA, A.; MENEZES, I. F.; LAGES, E. N. A

unified library of nonlinear solution schemes. Applied Mechanics Reviews, v. 64, n. 4,

p. 040803, 2011.

MAXIMIANO, D. P.; SILVA, A. R. D.; SILVEIRA, R. A. M. Iterative strategies

associated with the normal flow technique on the nonlinear analysis of structural arches.

Rem: Revista Escola de Minas, v. 67, n. 2, p. 143-150, 2014.

(5)

PINHEIRO, L.; SILVEIRA, R. A. M. Análise da estabilidade elástica de treliças

espaciais. Rem: Revista Escola de Minas, Vol. 57, n. 2, p. 85-92, 2004.

RIKS, E. The application of Newton’s method to the problem of elastic stability.

Journal of Applied mechanics, v. 39, n. 4, p. 1060-1065, 1972.

SOUZA, L. A. F.; CASTELANI, E. V.; SHIRABAYASHI, W. V. I. & MACHADO, R.

D. Métodos iterativos de terceira e quarta ordem associados à técnica de comprimento

de arco linear. Ciência & Engenharia, Vol. 26, n. 1, p. 39-49, 2017.

WEMPNER, G. Discrete approximation related to nonlinear theories of solids.

International Journal of Solids and Structures, v. 7, p. 1581–1599, 1971.

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