Representação de Sistemas Dinâmicos Parte I

(1)

Tema da Aula:

Representação de Sistemas

Dinâmicos – Parte I

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas

Dinâmicos e Energéticos

1

(2)

Estrutura da aula

2

1 Introdução

2 Revisão da Transformada de Laplace;

3 Função de Transferência;

(3)

3

1 Introdução

Modelos matemáticos de sistemas físicos são elementos-chave no projeto e análise de sistemas de controle. O comportamento dinâmico é geralmente descrito com o uso de equações diferenciais ordinárias. Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída, ela não é uma representação satisfatória da perspectiva do sistema.

Analisando-se uma equação diferencial geral de enésima ordem, linear e invariante no tempo, observa-se que os parâmetros do sistema, que são os coeficientes a_i e b_i , bem como a saída, c(t), e a entrada r(t), aparecem nos diversos termos da equação.

( )

_{( )}

( )

_b

_r

_{( )}

_t

dt

t

r

d

b

dt

t

r

d

b

t

c

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

a

_m m m m m m n n n n n n ₁ 0 1 1 0 1 1 1

+

=

+

₋ − ₋

_L

₋ − ₋

_L

Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas.

(4)

4

1 Introdução

Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura (a) abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas. Seria também interessante representar as interconexões dos diversos subsistemas como exposto na figura (b). Esta última apresenta uma configuração em cascata, onde uma função

matemática , chamada de função de transferência, é colocada no interior de cada bloco e as funções em blocos podem ser facilmente combinadas, resultando no bloco da figura (a), facilitando a análise do projeto. Esta é uma facilidade que não pode ser obtida com a equação diferencial.

(5)

5

1 Introdução

Uma vez que a maioria dos sistemas físicos é não-linear, serão discutidas aproximações lineares, as quais possibilitam o uso de métodos baseados na transformada de Laplace. Estes métodos permitem a obtenção das relações entrada-saída na forma de funções de transferência. Como mostrado anteriormente, estes blocos de funções de transferência podem ser organizados em diagramas de blocos, ou ainda, em diagramas de fluxo de sinal, o qual descreve graficamente as interconexões entre os blocos.

Além destas abordagens no domínio da freqüência, apresenta-se uma representação denominada modelo em variáveis de estado.

Graças ao conceito de variáveis de estado, é possível representar um sistema físico no domínio do tempo, onde uma equação diferencial de ordem n pode ser descrita por um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem. Além disso, apresenta-se a relação deste modelo com os modelos de fluxo de sinal.

(6)

6

2 Revisão da Transformada de Laplace

Com a transformada de Laplace, pode-se representar a entrada, a saída e o sistema como entidades separadas. Com essa representação, as

inter-relações e subsistemas serão simplesmente algébricas. A transformada de Laplace é definida como

( )

_∫

∞

( )

− −

=

0 st

e

t

f

s

F

t

f

L

onde s = σ + jω é uma variável complexa. Desse modo, conhecendo-se f(t) sabendo-se que a integral é possível, pode-se obter uma função F(s), que é chamada de transformada de Laplace de f(t).

A notação no limite inferior indica que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, pode-se realizar a integração antes da descontinuidade, desde que a integral seja convergente. Assim, pode-se obter a transformada de Laplace de funções impulso.

(7)

7

2 Revisão da Transformada de Laplace

A transformada de Laplace inversa, a qual nos permite obter f(t) a partir de F(s), é definida como

( )

+

_∫

∞

( )

( ) ( )

∞ − −

₌

j j st

_ds

_f

_t

_u

_t

e

s

F

j

s

F

L

σ σ

π

2

1

1 onde,

( )

0 0 0 1 < = > = t t t u (2)

Utilizando-se a equação (1) é possível deduzir os elementos da tabela ao lado, que relaciona f(t) e F(s) para casos específicos. Ao se utilizar a tabela, não será preciso fazer uso da equação (2), para se obter f(t) a partir de F(s).

(8)

8

2 Revisão da Transformada de Laplace

EXEMPLO - 01:

Determine a transformada de Laplace de f(t) = Ae-at_u(t).

SOLUÇÃO

Como a função do tempo não contém uma função impulso, pode-se substituir o limite inferior da equação (1) por 0. Assim,

( ) ( )

a

s

A

e

a

s

A

dt

e

A

dt

e

Ae

dt

e

t

f

s

F

t t a s t a s st at st

+

=

+

−

=

∞ = + − ∞ ∞ + − − − ∞ −

∫

0 0 0 0

)

(

)

(

(9)

9

2 Revisão da Transformada de Laplace

Além da tabela com as transformadas de

Laplace, pode-se utilizar os teoremas da

transformada de Laplace, relacionados na tabela ao lado, para auxiliar na

transformação entre f(t) e F(s). A seguir, ilustramos o desenvolvimento de um destes teoremas, denominado teorema de deslocamento no tempo. Tabela (2)

(10)

10

2 Revisão da Transformada de Laplace

Teorema do deslocamento no tempo:

Considere a função rampa da figura (a). Considere agora as várias

formas de deslocar a mesma no tempo. A figura (b) ilustra a função de f(t)u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.Assim,

⎩

⎨

⎧

<

>

=

0 ,

0

0 ),

(

)

(

)

(

t

f

t

u

t

f

A figura (c) mostra a função f(t – t₀), onde t₀ é o tempo deslocado, sendo t₀ > 0. f(t) t 0 (a) f(t) t 0 (b) f(t-t₀) t 0 (c) t₀

(11)

11

2 Revisão da Transformada de Laplace

A função f(t - t₀)u(t) é exposta na figura (d), a função f(t - t₀)u(t - t₀) é dada na figura (e). f(t-t₀)u(t) t 0 (d) t₀ f(t-t₀)u(t-t₀) t 0 (e) t₀

Para esta última função,

⎩

⎨

⎧

<

>

−

=

−

0 0 0 0 0

,

0 ),

(

)

(

)

(

t

f

t

u

t

f

De acordo com a definição da transformada de Laplace, a transformada de Laplace de f(t) requer a função da figura (b).

(12)

12

2 Revisão da Transformada de Laplace

Neste sentido, obtemos uma propriedade que relacione a transformada de Laplace da função da figura (e) com a função da figura (b). A transformada de Laplace da figura (e) é dada por

(

) (

)

[

]

(

) (

)

(

)

∫

∞ − ∞ −

−

=

−

=

−

0 0 0 0 0 0 0 t st st

dt

e

t

f

dt

e

t

u

t

f

t

u

t

f

L

Aplicando a mudança de variável (t – t₀) = τ ; assim, t = (τ + t₀), dt = dτ; e

(

) (

)

[

]

( )

∫

∞ − − ∞ + −

=

−

0 0 0 0 0 0

τ

τ τ

d

e

f

e

d

e

f

t

u

t

f

L

s s t t s

(13)

13

2 Revisão da Transformada de Laplace

Como τ é a variável de integração e pode ser trocada por t, a integral do lado direito da última equação é F(s). Portanto, a transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo é dada por

(

) (

)

[

f

t

u

t

]

e

F

( )

s

L

t0s 0 0 −

=

−

onde t₀ >= 0 e L[f(t)] = F(s). Esta relação é chamada de deslocamento real ou teorema da translação real, aplicada apenas em funções do tipo da figura (e). Alguns exemplos de aplicação deste teorema são expostos a seguir.

(14)

14

2 Revisão da Transformada de Laplace

EXEMPLO - 02:

Considere a função exponencial mostrada na figura (a) abaixo, a qual é descrita matematicamente por,

( )

_t

_e

t

f

=

5

−0.3 t f(t) 2 2.744 5 (a)

onde t é dado em segundos. Esta função é atrasada em 2 segundos e multiplicada por u(t – 2) como mostrado na figura (b), onde a equação da função exponencial atrasada é dada por,

( )

_t

₌

₅

_e

−0.3( )−2

_u

(

_t

₋

₂

)

f

t t f(t - 2)u(t – 2) 2 5 (b)

(15)

15

2 Revisão da Transformada de Laplace

Da tabela (1) e do teorema de deslocamento no tempo, tem-se

( )

[

]

( )

3 .

0

5

2 2 1 1

=

₊

− −

s

e

s

F

e

s

F

t

f

L

s s EXEMPLO - 03:

Algumas vezes é necessário construir formas de onda complexas a partir de

formas de onda simples. Como um exemplo, pede-se a obtenção da transformada de Laplace da onda apresentada na figura abaixo.

f(t)

0 1 2 3 _t

10 7

(16)

16

2 Revisão da Transformada de Laplace

Como primeiro passo, escrevemos a equação que descreve a onda em quatro etapas.

1. A inclinação da função muda de 0 para 10 no instante t = 1s.

( )

10 ( ) ( )

1

t

=

t

−

u

t

−

f

2. A inclinação da função muda de 10 para 0 no instante t = 2s.

( )

₁

( )

10 (

2 ) (

2 )

2

t

=

f

t

−

t

−

u

t

−

f

3. O degrau da função muda de –3 em t = 2s..

( )

₂

( )

3 (

2 )

3

t

=

f

t

−

u

t

−

f

4. O degrau da função muda de –7 em t = 3s..

( )

(

)

( ) ( )

1

10 (

2 ) (

2 )

3 (

2 )

7 (

3 )

10

3

7

3

−

=

−

=

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

f

t

f

(17)

17

2 Revisão da Transformada de Laplace

Podemos verificar esta função (como a soma de quatro elementos) como segue:

( )

(

)

( )

7

0

3

7

0

3

2

10

1

10

3

2

1

10

0

1

10 ,

2

1

0

0 ,

1 =

−

=

>

=

−

=

<

−

=

−

=

<

=

−

=

<

t

f

t

f

t

f

t

f

t

Logo,a equação está de acordo com a figura. Cada termo em f(t) está de acordo com o teorema do deslocamento no tempo.

(

) (

)

[

f

t

u

t

]

e

F

( )

s

L

t₀s 0 0 −

=

−

Portanto, a transformada de Laplace de f(t) é dada por,

s

e

s

e

s

e

s

e

s

F

s s s s 2 3 2 2 2

7

3

10

10 )

(

− − − −

−

=

(18)

18

2 Revisão da Transformada de Laplace

EXEMPLO - 04:

Determine a transformada de Laplace de f(t) mostrada na figura (a) abaixo.

0 1 2 3 4

1

(a) t

f(t)

A figura (a) pode ser descrita como a soma de duas componentes mostradas na figura (b) (b) 0 1 2 3 4 1 t f(t) 0 1 2 3 4 1 t f(t) t - 1

₊

(19)

19

2 Revisão da Transformada de Laplace

A equação para a primeira componente é t – 1 para 1 <= t <= 2, de tal forma que esta componente pode ser descrita por

( ) ( ) (

t

−

1 [

u

t

−

1 −

u

t

−

2 )

]

O primeiro termo do lado direito é o sinal tu(t) deslocado por 1 segundo. Além disso, o terceiro e quarto termos são o sinal u(t) deslocado por 2 e 4 segundos, respectivamente.

(

t

−

2 ) (

−

u

t

−

4 )

u

Portanto,

( ) ( ) (

[

)

]

[

(

) (

)

]

( ) ( ) ( ) (

1

2 ) (

4 )

4

2

1

1 )

(

−

+

−

=

−

+

−

=

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

f

(20)

20

2 Revisão da Transformada de Laplace

O segundo termo, entretanto, não pode ser interpretado como uma versão atrasada de qualquer sinal na tabela (1). Por esta razão, reorganizamos este termo por,

( ) (

t

−

1 u

t

−

2 ) (

=

t

−

2 +

1 ) (

u

t

−

2 ) (

=

t

−

2 ) (

u

t

−

2 ) (

+

u

t

−

2 )

Acabamos de expressar o segundo termo na forma desejada, como sendo tu(t) atrasado por 2 segundos mais u(t) atrasado por 2 segundos. Com este resultado, f(t) pode ser descrita por,

( ) ( ) ( ) (

t

=

t

−

1 u

t

−

1 −

t

−

2 ) (

u

t

−

2 ) (

−

u

t

−

4 )

f

Aplicando o teorema de deslocamento no tempo, obtemos a transformada F(s),

( )

s s

_e

s

e

s

e

s

F

=

1

₂ −

−

1

₂ −2

−

1

−4

(21)

21

2 Revisão da Transformada de Laplace

EXEMPLO - 05:

Determine a transformada de Laplace inversa de F₁(s) = 1/(s+3)2.

SOLUÇÃO

Neste exemplo utiliza-se o teorema do deslocamento de freqüência (frequecy shift theorem), Item 4 da tabela (2), e a transformada de Laplace de f(t) = tu(t), Item 3 da tabela (1).

Se a transformada inversa de F(s) = 1/s2 _{é a transformada de Laplace de tu(t), a}

transfomada inversa de F(s+a) = 1 /(s+a)2 _{é e}-at_{tu(t). Assim,}

(22)

22

2 Revisão da Transformada de Laplace

EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS:

Para se obter a transformada de Laplace inversa de uma função com maior nível de complexidade, pode-se converter a função a uma soma de termos mais

simples, para o quais se conhece a transformada de Laplace de cada termo. O resultado é chamado de expansão em frações parciais.

Se F₁(s) = N(s) / D(s), onde a ordem de N(s) seja maior ou igual à ordem de D(s), então N(s) deve ser dividido por D(s) sucessivamente até que o resultado apresente um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do

denominador. Por exemplo, se

5 7 6 2 ) ( ₂ 2 3 1 ₊ ₊ + + + = s s s s s s F

Deve-se realizar a divisão até se obter um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à de seu denominador. Assim,

5 2 1 ) ( ₂ 1 + + + + = s s s s F

(23)

23

2 Revisão da Transformada de Laplace

Realizando-se a transformada de Laplace inversa, utilizando o Item I da tabela (1), juntamente com o teorema da derivação (Item 7) e o teorema da linearidade (Item 3) da tabela (2), obtém-se ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + + = − 5 2 ) ( ) ( ) ( 1 ₂ 1 s s L t dt t d t f δ δ

A utilização da expansão em frações parciais torna possível a expansão de funções como F(s) = 2 / (s2 _{+ s + 5) em uma soma de termos e, em seguida, pode-se obter a}

transformada de Laplace inversa para cada termo. Serão considerados três casos de como esta expansão pode ser realizada.

(24)

24

2 Revisão da Transformada de Laplace

CASO I: Raízes Reais e Distintas no Denominador de F(s) Um exemplo de raízes reais e distintas é a função,

5

2 )

(

₂

+

=

s

F

Pode-se escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador original forme o denominador de cada termo, e constantes, chamadas resíduos, formem os numeradores. Assim,

(

1 ) (

2 )

5

2 )

(

1 2 2

₊

=

₊

+

₊

=

s

K

s

K

s

F

(1) (2)

(25)

25

2 Revisão da Transformada de Laplace

(

)

(

2 )

1

2

₂ 1

₊

+

=

+

s

K

s

K

s

Para se obter K₁, multiplica-se, inicialmente, a equação anterior por (s+1), o que isola K₁. Assim,

Fazendo-se s tender a –1, elimina-se o último termo e obtém-se K₁= 2.

Analogamente, a constante K₂ pode ser obtida multiplicando-se a equação (2) por (s+2) e , em seguida, fazendo-se s tender a –2; assim, K₂= - 2.

(3)

Cada parte da equação (2) corresponde a uma F(s) na tabela (1). Portanto, f(t) é a soma das transformadas de Laplace inversars de cada um dos termos,

(

e e

)

u

( )

t t

f ₍ ₎ ₌ ₂ −t ₋₂ −2t

(26)

26

2 Revisão da Transformada de Laplace

Em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possui raízes reais e distintas, uma expansão em frações parciais do tipo,

(

)(

) (

)

(

) (

)

(

m_m

)

(

n _n

)

n m p s K p s K p s K p s K p s p s p s p s s N s D s N s F + + + + + + + + = + + + + = = L L L L 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) (

pode ser empregada se a ordem de N(s) for menor do que a ordem de D(s). Para se avaliar cada um do resíduos, K_i, multiplica-se a equação (5) pelo denominador da correspondente fração parcial. Assim, ao se desejar K_m, multiplica-se a equação (5) por (s+p_m) e obtém-se (5)

(

)

₍

₎₍

(

_{) (}

)

_{) (}

₎

(

_{)( ) (}

_{)( )}

(

₎₍

₎

n n m m m m n m m m p s K p s K p s K p s p s K p s p s p s p s p s s N p s s F p s + + + + + + + + + + + = + + + + + = + L L L L 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( (6)

(27)

27

2 Revisão da Transformada de Laplace

Quando s tende a –p_m, todos os termos do lado direito da equação (6) tendem a zero, exceto o termo com a constante K_m. Assim,

(

) ( )

(

)(

) (

)

m p s n m m

_K

p

s

p

s

p

s

p

s

N

p

s

m

=

+

− →

L

2 1

(28)

28

2 Revisão da Transformada de Laplace

EDO condições iniciais Passo 1 Aplica-se a transformada L Passo 4 Aplica-se a transformada inversa Passo 2 Resolva para Y(s) = N(s)/D(s) Passo 3 Aplicar expansão em frações parciais Solução y(t)

Obs: O passo 3 pode ser contornado se a

transformada do passo 2 corresponde a uma

entrada na tabela (1). Procedimento geral de uso da expansão por frações parciais na solução de uma equação diferencial ordinária.

(29)

29

2 Revisão da Transformada de Laplace

EXEMPLO - 06: Solução de uma equação diferencial pela transformada de Laplace. Dada a equação diferencial a seguir, obtenha a solução para y(t) considerando que todas as condições iniciais são nulas. Utilize a transformada de Laplace.

SOLUÇÃO

Substitua a correspondente função F(s) de cada um dos termos da equação utilizando o Item 2, da tabela (1), os Itens 7 e 8 da tabela (2) e as condições iniciais de y(t) e de dy(t)/dt, fornecidas como y(0-) = 0 e dy(0-)/dt = 0, respectivamente. A transformada e Laplace fica

( )

t u y dt dy dt y d 32 32 12 2 2 = + + s s Y s sY s Y s2 ( )₊12 ( )₊32 ( ) ₌ 32

(30)

30

2 Revisão da Transformada de Laplace

SOLUÇÃO

A solução para a resposta Y(s), fornece

(

)

(

4

)(

8

)

32 32 12 32 ) ( ₂ + + = + + = s s s s s s s Y

Observa-se que a equação acima não apresenta qualquer de seus termos na tabela (1). Assim, desenvolve-se a expansão em frações parciais dos termos do lado direito e identifica-se cada um dos termos resultantes com as funções F(s) na tabela (1). Assim,

(

4

)(

8

)

(

4

) (

8

)

32 ) ( 1 2 3 + + + + = + + = s K s K s K s s s s Y onde

(

4

)(

8

)

1 32 0 1 = ₊ ₊ = → s s s K

₍

₎

2 8 32 4 2 = ₊ = − − → s s s K

₍

₎

1 4 32 8 3 = ₊ = − → s s s K

(31)

31

2 Revisão da Transformada de Laplace

SOLUÇÃO Portanto,

(

) (

8

)

1 4 2 1 ) ( + + + − = s s s s Y

Como cada uma das três partes constituintes da equação acima é representada através de uma função F(s) na tabela (1), a função y(t) é a soma das transformadas de

Laplace inversas de cada termo, ou seja,

( )

t

(

e e

)

u

( )

t y ₌ ₁₋₂ −4t ₊ −8t

A função u(t) mostra que a resposta é nula para (t < 0). A menos que seja especificado de forma diferente, nenhuma das entradas responderá antes de t = 0. Desse modo,

escreve-se a resposta como

( )

_t _e t _e t

(32)

2 Revisão da Transformada de Laplace

32

CASO II: Raízes Reais e Repetidas no Denominador de F(s)

Um exemplo da função F(s) com raízes reais e repetidas no denominador é

(

)(

)

2

1

2 )

(

+

=

s

F

Nesse caso, a raiz do denominador em -2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2. Na expansão de frações parciais, cada fator do denominador forma o denominador de cada termo. Cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores com denominador de multiplicidade reduzida.

(

1 )(

2 ) (

1 ) (

2 ) (

2 )

(

1 2 2 1 2

=

₊

+

₊

+

₊

+

=

s

K

s

K

s

K

s

F

(1) (2)

(33)

33

2 Revisão da Transformada de Laplace

então K₁=2, conforme descrito anteriormente. A constante K₂ pode ser isolada multiplicando-se a equação (2) por (s + 2)2_{, resultando em}

(

) (

) ( )

1 2

(

)

3 2

2

1

2

1

2 K

s

K

s

K

s

+

=

+

Fazendo-se s tender a –2 tem-se K₂ = -2. Para se obter K₃ observa-se que ao se derivar a equação (3) em relação a s obtém-se

(3)

(

)

₂

(

)

₂ 1 3

1

2

1

2 K

K

s

+

=

+

−

A constante K₃ é isolada e pode ser obtida fazendo-se s tender a –2. Portanto, K₃ = -2.

(34)

34

2 Revisão da Transformada de Laplace

Cada termo constituinte da equação (2) é uma função F(s) mostrada na tabela (1); logo, f(t) é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos, isto é, t t t

_te

_e

e

t

f

(

)

=

2

−

2

−2

−

2

−

Assim, em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possua raízes reais e repetidas, pode-se realizar uma expansão em frações parciais da forma

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

r

)

(

n _n

)

r r r n r

p

s

K

p

s

K

p

s

K

p

s

K

p

s

K

p

s

p

s

p

s

N

s

D

s

N

s

F

+

=

+

=

+ −

L

2 1 1 1 1 2 1 1 2 1

)

(

)

(

)

(

)

(

se a ordem de N(s) for menor do

que a ordem de D(s) e as raízes repetidas forem de

multiplicidade r em –p₁. (5)

(35)

35

2 Revisão da Transformada de Laplace

A fim de se obter as constantes K₁ até K_r para as raízes de multiplicidade superior à unidade, multiplica-se, inicialmente a equação (6) por (s + p₁)r_{, obtendo-se F}

1(s) na forma,

₍

_{) ( )}

(

) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

_n

)

r n r r r r n r r r p s p s K p s p s K K p s K p s K p s K p s p s p s s N p s s F p s F + + + + + + + + + + + + + + = + + + + = + = + − 1 2 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 L L L

Pode-se assim determinar K₁ imediatamente, fazendo-se s tender para –p₁. A constante K₂ é obtida derivando-se a equação (7) em relação a s e, em seguida, fazendo-se s tender a –p₁. Derivações sucessivas conduzirão à determinação de K₃ até K_r. A expressão geral para K₁ até K_r para raízes múltiplas é

( )

1 !

( )

1 ,

2 ,

,

;

0 !

1

1 1 1 1

=

−

=

− → − −

r

i

ds

s

F

d

i

K

p s i i i

K

(7)

(36)

36

2 Revisão da Transformada de Laplace

CASO III: Raízes Complexas ou Imaginárias no Denominador de F(s) Um exemplo de F(s) com raízes complexas no denominador é

(

2

5 )

3 )

(

₂

+

=

s

F

Esta função pode ser expandida da seguinte forma,

(

2

5 )

2

5

3

2 3 2 1 2

₊

+

=

+

s

K

s

K

s

K

s

Nesse caso K₁ é obtido da forma usual e vale 3/5, K₂ e K₃ podem ser determinados multiplicando-se inicialmente a equação (2) pelo mínimo múltiplo comum do

denominador, s(s2 _{+ 2s + 5), e evidenciando-se as frações. Substituindo-se o valor}

de K₁, obtém-se

(1)

(37)

37

2 Revisão da Transformada de Laplace

Substituindo-se o valor de K₁, obtém-se

3

5

6

5

3

2 ₃ 2

⎟

+

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

K

s

K

s

(3)

Igualando-se os coeficientes, tem-se (K₂ + 3/5) = 0 e (K₃ + 6/5) = 0. Assim, K₂ = - 3/5 e K₃ = - 6/5. Portanto,

(

)

2

5

2

5

3

5 /

3

5

2

3 )

(

₂ ₂

+

−

=

+

=

s

F

Pode-se mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um cosseno exponencialmente amortecidos. Utilizando o Item 7 da tabela (1) e os Itens 2e 4 da tabela 2, encontra-se

[

cos

]

₍

(

₎

₂

)

₂

w

a

s

a

s

A

t

Ae

L

at

+

=

−

_ω

[

]

(

)

2 2

w

a

s

Bw

t

sen

Ae

L

at

+

=

−

_ω

(4) (5) (6)

(38)

38

2 Revisão da Transformada de Laplace

Somando-se as equações (5) e (6), tem-se

[

cos

]

₍

(

₎

₂

)

₂

w

a

s

Bw

a

s

A

t

sen

Be

t

Ae

L

at at

+

=

+

− −

_ω

Converte-se, agora, o último termo da equação (4) para a forma sugerida pela equação (7), completando-se os quadrados no denominador e

ajustando-se os termos do numerador sem alterar seus valores. Assim, (7)

(

) ( )( )

(

₁

)

2

₂

2

2 /

1

5

3

5 /

3 )

(

+

−

=

s

F

(8)

Comparando-se a equação (8) com as expressões apresentadas na tabela (1) e na equação (7), obtém-se

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

−

=

_e

−

_t

_sen

_t

t

f

t

₂

2

1

2 cos

5

3

5

3 )

(

(39)

39

2 Revisão da Transformada de Laplace

De uma forma geral, a resposta de um sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em em uma resposta a entrada nula (resposta natural) e uma resposta ao estado nulo (resposta forçada).

Considere a equação diferencial,

( )

_{( )}

_{( ) ( )}

_u

_t

dt

t

du

t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

−

=

+

3

2

3

2 2

Aplicando a transformada de Laplace, tem-se

( )

( ) ( )

[

( )

]

( )

[

sU

s

u

]

U

( )

s

Y

y

s

sY

y

sy

s

Y

s

−

=

+

−

+

−

− − − −

0

3

2

0

3

0

2

&

(40)

40

2 Revisão da Transformada de Laplace

O agrupamento de Y(s) e U(s) resulta em

(

s

2

₊

3 s

₊

2 )

Y

( )

S

₌

sy

( ) ( ) ( ) ( )

0

−

₊

y

0

−

₊

3 y

0

−

₋

3 u

0

−

₊

(

3 s

₋

1 ) ( )

U

s

&

o que implica em

( ) (

)

( ) ( ) ( )

₍

₎

₍

₎

U

( )

s

u

y

s

S

Y

2

3

1

3

2

3

0

3

0

3

2 2

₊

−

+

−

+

=

−

&

− −

Resposta a entrada nula _{Resposta ao estado nulo}

A solução da equação diferencial revela que parte dela é excitada por uma entrada u(t), t >= 0, e parcialmente excitada pelas

(41)

41

2 Revisão da Transformada de Laplace

Estas condições iniciais denominam-se estado inicial. O estado inicial é excitado pelas entradas aplicadas antes de t = 0. Assim, o estado inicial sintetiza o efeito das entradas passadas u(t), t < 0 , sobre uma saída futura y(t), para t >= 0.

A segunda parte é excitada exclusivamente pela entrada e denomina-se

resposta ao estado zero. No domínio da transformada de Laplace, a resposta ao estado zero é governada por, ajustando todas as condições iniciais nulas,

( )

₍

₎

U

( )

s

G

( ) ( )

s

U

s

S

Y

=

+

−

=

2

3

1

3

2

onde a função racional G(s) é denominada função de transferência. A qual consiste na razão da transformada de Laplace da saída pela entrada quando todas as condições inicias são nulas. O conceito de função de transferência e suas aplicações são abordados na seção seguinte.

(42)

42

3 Função de Transferência

Funções de transferência são usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

Considere o sistema linear invariante no tempo descrito pela seguinte equação diferencial de enésima ordem,

( )

_{( )}

( )

_{( )}

t

r

b

dt

t

r

d

b

dt

t

r

d

b

t

c

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

a

_m m m m m m n n n n n n 1 0 1 1 0 1 1 1

+

=

+

₋ − ₋

_L

₋ − ₋

_L

Para obtermos a função de transferência deste sistema, precisamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação (1) e admitir que a condições iniciais sejam nulas, a equação (1) reduz-se a

(1)

(43)

43

3 Função de Transferência

Expressa-se agora a relação entre a transformada da saída, C(s), e a transformada da entrada, R(s): (3)

( )

(

1 ₀

)

1 0 1 1

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

G

s

R

s

C

n n n n m m m m

+

=

₋ − − −

L

A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de blocos, conforme mostrado na figura abaixo, a entrada à esquerda e a saída à direita, e a função de transferência do sistema no interior do bloco.

(44)

44

3 Função de Transferência

Quanto à classificação, as funções de transferência denominam-se: (a) Estritamente própria: quando o grau do polinômio denominador é

maior que o grau do polinômio numerador (n > m);

(b) Biprópria: quando o grau dos polinômios denominador e numerador são iguais (n = m);

(c) Imprópria: quando o grau do polinômio denominador é menor que o grau do polinômio numerador (n < m).

1

1 ;

1

1 ;

1

1 ;

2 ;

1

₂ 2 2

+

−

+

−

+

s

(45)

45

3 Função de Transferência

Funções de transferência de circuitos elétricos:

Os circuitos equivalentes para redes elétricas que serão apresentados consistem em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A tabela (3) apresenta esses componentes e as relações entre tensão e corrente, e entre tensão e carga desses elementos sujeitos a condições iniciais nulas.

(46)

46

3 Função de Transferência

As funções de transferência podem ser obtidas utilizando-se a lei de Kirchhoff das tensões e somando-se as tensões ao longo dos laços ou das malhas. Esta é a chamada análise das malhas ou dos laços, e é discutida no exemplo a seguir.

EXEMPLO – 08: Malha única via equação diferencial

Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor, V_C(s), à tensão de entrada, V(s), para o circuito mostrado na figura abaixo.

A soma das tensões ao longo da malha, admitindo-se condições iniciais nulas, fornece a seguinte equação íntegro-diferencial,

( )

_{( )}

_i

_{( )}

_d

_v

_{( )}

_t

C

t

Ri

dt

t

di

L

+

∫

t

τ

=

0

1

(47)

47

3 Função de Transferência

Trocando-se as variáveis de corrente para carga, utilizando a definição i(t) = dq(t)/dt, tem-se

( )

_q

_{( ) ( )}

_t

_v

_t

C

dt

t

dq

R

dt

t

q

d

L

₂

+

1 =

2

Pela relação tensão-carga para um capacitor, fornecida na tabela (3), obtém-se,

( )

t

Cv

( )

t

q

=

_C

Substituindo-se a relação acima, tem-se

( )

_v

_{( ) ( )}

_t

_v

_t

dt

t

dv

RC

dt

t

v

d

LC

C

+

C

+

_C

=

2 2

Aplicando a transformada de Laplace,

(

)

( ) ( )

( )

(

1 )

1

2 2

+

=

+

RCs

LCs

s

V

s

V

s

V

s

V

RCs

LCs

C C

(48)

48

3 Função de Transferência

EXEMPLO – 09: Malhas múltiplas

Dado o circuito da figura (a), obtenha sua função de transferência, I₂(s)/V(s).

A primeira etapa da solução é a conversão do circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e das variáveis do circuito, admitindo condições iniciais nulas. Este resultado é mostrado na figura (b).

A segunda etapa é obter as equações

simultâneas, obtidas pela Lei das tensões de Kirchhoff (LTK) ao longo das malhas onde circulam as correntes I₁(s) e I₂(s).

(49)

49

3 Função de Transferência

Aplicando a LTK na malha 1:

( )

s

LsI

( )

s

LsI

( ) ( )

s

V

s

I

R

₁ ₁

+

₁

−

₂

=

Aplicando a LTK na malha 2:

( )

₂ ₂

( )

1

₂

( )

₁

( )

0

2

+

I

s

−

LsI

s

=

Cs

s

I

R

s

LsI

Combinando as equações das malhas como equações simultâneas:

(

) ( )

( ) ( )

( )

₂

1

₂

( )

0

1 2 1 1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

−

=

−

+

s

I

Cs

R

Ls

s

LsI

s

V

s

LsI

s

I

Ls

R

(50)

50

3 Função de Transferência

Na terceira etapa, utilizamos a regra de Cramer para resolver para I₂(s):

( )

(

) ( )

( )

∆

=

∆

−

+

=

Ls

LsV

s

V

Ls

R

s

I

0

1 2 onde,

₍

₎

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

−

+

=

∆

Cs

R

Ls

R

1

2 1

Formando-se a função de transferência G(s), tem-se

( )

_{( )}

( )

₍

₎

₍

₎

1 2 1 2 2 1 2 2

R

s

L

C

R

LCs

R

LCs

Ls

s

V

s

I

s

G

+

=

∆

=

(51)

51

3 Função de Transferência

Funções de transferência de sistemas mecânicos em translação:

Os sistema mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três elementos lineares passivos. Dois deles, a mola e a massa, são elementos

armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos

armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica.

Pode-se, agora, analisar melhor esses elementos mecânicos observando-os na tabela (4). Na tabela, K, f_V, e M são chamados, respectivamente, de rigidez de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa.

(52)

52

3 Função de Transferência

(53)

53

3 Função de Transferência

EXEMPLO – 10: uma equação de movimento

Obtenha a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).

A solução se inicia pela construção do diagrama de corpo livre mostrado abaixo. Indicando todas as forças sentidas pela massa. Admita que a massa se desloque para a direita.

(54)

54

3 Função de Transferência

Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais forças são contrárias ao movimento e, portanto, atuam em sentido oposto a ele.

Escreve-se, assim, a equação diferencial de movimento utilizando a lei de

Newton, que estabelece que a soma de todas as forças atuantes sobre a massa na figura (a) é igual a zero.

( )

_Kx

_{( )}

_t

_f

_{( )}

_t

dt

t

dx

f

dt

t

x

d

M

₂

+

_v

+

=

2

Aplicando-se a transformada de Laplace, admitindo-se condições iniciais nulas, tem-se

( )

s

f

sX

( )

s

KX

( )

s

F

( )

s

X

Ms

2

+

_v

+

=

ou

(

)

( )

_{( )}

( )

₍

₎

K

s

f

Ms

s

F

s

X

s

G

s

F

s

X

K

s

f

Ms

v v

+

=

+

2 2

1

(55)

55

3 Função de Transferência

EXEMPLO – 11: sistema com dois graus de liberdade

Obtenha a função de transferência, X₂(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).

O sistema possui dois graus de liberdade, uma vez que cada uma das massas pode se mover na direção horizontal enquanto a outra permanece parada. Assim, são necessárias duas equações de movimento simultâneas para descrever o

comportamento do sistema. A superposição é utilizada para se construir os diagramas de corpo livre.

(56)

56

3 Função de Transferência

Por exemplo, as forças sobre a massa M₁ são devidas a (1) seu próprio movimento (2) ao movimento da massa M₂ transmitido a M₁ através do sistema. Estas duas fontes serão consideradas separadamente.

Ao se manter a M₂ parada e movendo-se M₁ para a direita, obtêm-se s forças mostradas na figura (a). Ao se manter M₁ parada e movendo-se M₂ para a

direita, obtêm-se as forças mostradas na figura (b). A força total é a

superposição das forças discutidas e é ilustrada na figura (c).

Neste caso, a primeira equação simultânea é dada por,

(

) (

)

(57)

57

3 Função de Transferência

Para a análise de M₂, procede-se e maneira semelhante: inicialmente se move M₂ para a direita mantendo-se M₁ parada; em seguida se move M₁ para a direita mantendo-se M₂ parada. Para cada um dos casos são calculadas as forças atuantes sobre M₂. Os

resultados são apresentados na figura abaixo.

Neste caso, a segunda equação simultânea é dada por,

(

₃

+

₂

) ( )

₁

+

[

₂ 2

+

(

₂

+

₃

) (

+

₂

+

₃

)

]

₂

( )

=

0 −

fv

s

K

X

s

M

s

fv

s

K

X

s

(58)

58

3 Função de Transferência

A partir dessas equações, a função de transferência, X₂(s)/F(s) é dada por:

( )

( ) (

∆

)

+

=

3 2 2

_G

_s

fv

s

K

s

F

s

X

(

) (

)

[

]

(

)

(

)

[

2

(

₂ ₃

) (

₂ ₃

)

]

2 2 3 2 3 2 1 3 1 2 1

K

s

fv

s

M

K

s

fv

K

s

fv

K

s

fv

s

M

+

−

+

−

+

=

∆

onde

(59)

59

4 Modelo com Diagrama de Blocos

Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação ilustrada das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais. Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras através de blocos funcionais. O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática sobre o sinal de entrada no bloco que produz a saída. C(s) = G(s)E(s) E(s) = R(s) – B(s) = R(s) – H(s)C(s)

( )

( ) ( )

[

( ) ( )

]

( ) ( )

[

]

( ) ( )

( )

G

( ) ( )

s

( )

H s s G s R s C s R s G s H s G s C s C s H s R s G s C s C s H s R s G s C + = = + − = − = 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.

G(s)

H(s)

E(s)

C(s)

B(s)

R(s)

(60)

60

4 Modelo com Diagrama de Blocos

Um diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando regras de álgebra de diagramas de blocos, de acordo com a tabela exposta a seguir.