Simulação Histórica. Análise de Risco R.Vicente

(1)

1

Simulação Histórica

Análise de Risco

R.Vicente

(2)

2

Resumo



Simulação histórica ingênua, Método BRW e

Método Hull-White para ativos



Simulação histórica ingênua, Método BRW e

Método Hull-White para carteiras lineares



Carteiras não-lineares



Séries de pagamentos pré-fixadas

(3)

3

Simulação Histórica Ingênua para uma ativo linear

Valor atual do

ativo

( )

V t

r1 % r2 % r3 % r4 % r5 % ... rN % ... r250 % r251 % r252 %

Choques

históricos

V1 =V(t) * r1 % V2 =V(t) * r2 % V3 =V(t) * r3 % V4 =V(t) * r4 % V5 =V(t) * r5 % ... Vn =V(t) * rn % ... V250 =V(t) * r250 % V251 =V(t) * r251 % V252 =V(t) * r252 %

Cenários de

valorização

Ordena

cenários

M ENOR (V,1) M ENOR (V,2) M ENOR (V,3) M ENOR (V,4) M ENOR (V,5) M ENOR (V,6) M ENOR (V,7) M ENOR (V,8) M ENOR (V,9) M ENOR (V,10) M ENOR (V,11) M ENOR (V,12)  M ENOR (V,250) M ENOR (V,251) M ENOR (V,252)

V@R

r1 %= [V(t)-V(t-1)]/V(t-1). rn % = [V(t-n-1)-V(t-n)]/V(t-n).

V@R(95%) = 12

a

**_{pior perda (252 *5% =12,6)}**

(4)

4

Simulação Histórica BRW para um ativo linear

Valor atual do

ativo

( )

V t

Choques históricos Ponderadores

Ordena

cenários

V@R

Os ponderadores são escolhidos de forma a que w1+w2+...+w252=1 e w1>w2>...>w252. V@R = w(MENOR, 1)+w(MENOR,2)+...w(MENOR,k)=5% r1%  r2%  r3%  r4%  r5%  ...  rN%  ...  r250%  r251%  r252%  V1 =V(t) * r1 % V2 =V(t) * r2 % V3 =V(t) * r3 % V4 =V(t) * r4 % V5 =V(t) * r5 % ... Vn =V(t) * rn % ... V250 =V(t) * r250 % V251 =V(t) * r251 % V252 =V(t) * r252 %

Cenários de

valorização

MENOR (V,1) w(MENOR,1) MENOR (V,2) w(MENOR,2) MENOR (V,3) w(MENOR,3) MENOR (V,4) w(MENOR,4) MENOR (V,5) w(MENOR,5) MENOR (V,6) w(MENOR,6) ... ... MENOR (V,k) w(MENOR,k) ... ...  ... MENOR (V,250) w(MENOR,250) MENOR (V,251) w(MENOR,251) MENOR (V,252) w(MENOR,252)

Procura

posição com

soma dos

pesos = 5%

(5)

5

Pesos para o Método BRW

Choques históricos Ponderadores r1%  r2%  r3%  r4%  r5%  ...  rN%  ...  r250%  r251%  r252%    ^  ^ 3 ^ 4  ^ k  ^ 249 ^  ^  Sugestão de ponderadores com 0<< 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1 18 35 52 69 86 ₁₀₃ ₁₂₀ ₁₃₇ ₁₅₄ ₁₇₁ ₁₈₈ ₂₀₅ ₂₂₂ ₂₃₉

É, no entanto, necessário que os pesos

somem 1 pois serão utilizados para

encontrar o percentil de 5%. Precisamos

normalizar os pesos. Note que:

252

2

3

251

1

1 ...

1 

 





 



 





Então os pesos

devem ser:

252

1

k k















(6)

6

Simulação Hull-White para um ativo linear

Valor atual

da

Carteira

( )

V t

Choques

históricos

Cenários de valorização _{com vol corrigida}

_cenários

Ordena

M ENOR (V,1) M ENOR (V,2) M ENOR (V,3) M ENOR (V,4) M ENOR (V,5) M ENOR (V,6) M ENOR (V,7) M ENOR (V,8) M ENOR (V,9) M ENOR (V,10) M ENOR (V,11) M ENOR (V,12)  M ENOR (V,250) M ENOR (V,251) M ENOR (V,252)

V@R

( )

t



Volatilidade atual Volatilidades históricas r1 % 1 % r2 %  % r3 %  % r4 %  % r5 %  % ... ... rN % n % ... ... r250 %  % r251 %  % r252 %  % V1 =V(t) * [r1%/t V1 =V(t) * [r2%/t V1 =V(t) * [r3%/t V1 =V(t) * [r4%/t ... Vn =V(t) * [rn%/ nt   V250 =V(t) * [r250%/t V251 =V(t) * [r251%/t V252 =V(t) * [r252%/t

(7)

7

Estimação de Volatilidade EWMA

r1 é o retorno mais atual. r252 é o retorno de 252 dias atrás.

Volatilidade atual

r1%

**v(t) = v1 *  r1%r1% (1-**

r2%

**v1 = v2 *  r2%r2% (1-**

r3%

**v = v3 *  r3%r3% (1-**

r4%

**v3 = v4 *  r4%r4% (1-**

r5%

**v4 = v5 *  r5%r5% (1-**

...

rN%

**v(N-1) = v(N) *  rN%rN% (1-**

...

r249% v

** = v249 *  r249%r249% (1-**

r250% v

** = v250 *  r250%r250% (1-**

r251% v

** = v251 *  r251%r251% (1-**

r252% v

** = r252%*r252%**

(t)= v( )

t



0, 95





(8)

8

Simulação Histórica (ingênua e BRW) para carteira

linear

Valor atual da carteira

1 1 2 2

( )

( ) ...

_{n n}

( )

V t



q v t



q v t

 

q v t

Choques

históricos

Cenários de

valorização

Ordena

cenários

Ativo 1 Ativo 2 Ativo n r1_1% r2_1% ... rn_1% r1_2% r2_2% ... rn_2% r1_3% r2_3% ... rn_3% r1_4% r2_4% ... rn_4% r1_5% r2_5% ... rn_5% ... ... ... ... r1_k% r2_k% ... rn_k% ... ... ... ... r1_250% r2_250% ... rn_250% r1_251% r2_251% ... rn_251% r1_252% r2_252% ... rn_252% V1 =v1(t) * r1_1% +v2(t)*r2_1%+...+vn(t)*rn_1% V2 =v1(t) * r1_2% +v2(t)*r2_2%+...+vn(t)*rn_2% V3 =v1(t) * r1_3% +v2(t)*r2_3%+...+vn(t)*rn_3% V4 =v1(t) * r1_4% +v2(t)*r2_4%+...+vn(t)*rn_4% V5 =v1(t) * r1_5% +v2(t)*r2_5%+...+vn(t)*rn_5% ... Vk =v1(t) * r1_k% +v2(t)*r2_k%+...+vn(t)*rn_k% ... V250 =v1(t) * r1_250% +v2(t)*r2_250%+...+vn(t)*rn_250% V251 =v1(t) * r1_251% +v2(t)*r2_251%+...+vn(t)*rn_251% V252 =v1(t) * r1_252% +v2(t)*r2_252%+...+vn(t)*rn_252%

Encontra

V@R

(9)

9

Simulação Histórica Hull-White para carteira linear

Valor atual da carteira

1 1 2 2

( )

V t



q v t



q v t

Choques

históricos

Cenários de valorização

Ordena

cenários

Encontra

V@R

Ativo 1 Vol 1 Ativo 2 Vol 2

r1_1% 1_1% r2_1% _1% r1_2% % r2_2% % r1_3% % r2_3% % r1_4% % r2_4% % r1_5% % r2_5% % ... ... ... r1_k% % r2_k% % ... ... ... ... r1_250% % r2_250% % r1_251% % r2_251% % r1_252% % r2_252% % 1

( ),

t

2

( )

t



Volatilidades atuais

V1 =v1(t) * [r1_1%/tvtrt V2 =v1(t) * [r1_2%/tvtrt V3 =v1(t) * [r1_3%/tvtrt  Vk =v1(t) * [r1_k%/ tvtrt ... V252 =v1(t) * [r1_252%/ tvtrt

(10)

10

Carteiras não-lineares

Exemplo 2: Uma carteira que contenha ações e opções de compra e

venda sobre esta ação. O valor desta carteira será:

1 1 1 1 1 1

( )

_call

CALL( ,

,

_T

, )

_put

PUT( ,

,

_T

, )

V t



q v t



q

v



Y T



q

v



Y T

Exemplo 1: Uma carteira que contenha ações negociadas no exterior. O

valor da carteira será:

1 1

( )

( ) BRL(t)

V t

 

q

v t



Exemplo 3: Uma carteira que contenha pagamentos futuros com juros

pré-fixados.

1 2 T1 T2 Tk

( )

...

1 ( )

k

P

V t

Y

t

Y

t

Y

t





 



(11)

11

Simulação histórica para carteiras não-lineares

O valor de mercado é função dos fatores de risco V(f1,f2,f3,...,fn). Por

exemplo:

( ,

)

( ) BRL(t)

V v BRL

 

q v t



fator 1 fator 2 r1_1% r2_1% r1_2% r2_2% r1_3% r2_3% r1_4% r2_4% r1_5% r2_5% ... ... r1_k% r2_k% ... ... r1_250% r2_250% r1_251% r2_251% r1_252% r2_252% V1 =q*v1(t) * r1_1% * BRL(t)*r2_1% V2 =q*v1(t) * r1_2% * BRL(t)*r2_2% V3 =q*v1(t) * r1_3% * BRL(t)*r2_3% V4 =q*v1(t) * r1_4% * BRL(t)*r2_4% V5 =q*v1(t) * r1_5% * BRL(t)*r2_5% ... Vk =q*v1(t) * r1_k% * BRL(t)*r2_k% ... V250 =q*v1(t) * r1_250% * BRL(t)*r2_250% V251 =q*v1(t) * r1_251% * BRL(t)*r2_251% V252 =q*v1(t) * r1_252% * BRL(t)*r2_252%

Choques

Cenários de valorização

Ordena

Encontra

V@R

(12)

12

Geração de cenários para Yield curves

1 2 T1 T2 Tk

( )

...

1 ( )

k

P

V t

Y

t

Y

t

Y

t





 



Note

que:

1 2 T1-1 T2-1 Tk-1

(

1)

...

1 (

1)

1 (

1)

1 (

1)

k

P

V t

Y

t

Y

t

Y

t

 



 



A partir das curvas de

mercado

constroem-se cenários para

variação dos juros

observando-se

sempre a alteração

de prazo:

(1)

1 ( )

(

1)

T

i

_

t

i t







(13)

13

Geração de cenários para Yield curves

( ) ( )

( ) (1 CDI)

k k

V

V t







 

Os cenários de P&L da carteira são então

Cada um dos cenários é aplicado

( )

1 (

1)

(

)

k

T

i

_

t

k

i t

k





  



( )

1 ( )

k

T

i

_



i t

 

i

T1 252 ( ) ( ) T-1 T-1

1 

Y

k

 

(1

i

k

)

e o fator de desconto calculado para cada cenário:

( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) T1-1 T2-1 Tk-1

...

1

k k k k k

P

V

Y





 



(14)

14

Bibliografia

• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• RiskMetrics Technical Document (

www.riskmetrics.com

)

;

Leituras Complementares

Pritsker M., The Hidden Dangers of Historical Simulation

Hull, J. e White, A., Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation

Method for Value at Risk