Álgebra Linear Equações Diferenciais Parciais Problemas de Sturm Liouville. Ney Lemke. logo

(1)

logo

Revis ˜ao Matem ´atica

Ney Lemke

Mec ˆanica Qu ˆantica

(2)

Outline

1 Algebra Linear´

2 Equac¸ ˜oes Diferenciais Parciais

(3)

logo

Outline

(4)

Espac¸o Vetorial

Formalmente definimos vetor como sendo um elemento de um espac¸o vetorial.

Um espaço vetorial é um conjunto que possui duas operaç ões, chamadas de soma e multiplicaç ão por escalar. Estas

operac¸ ˜oes obedecem estas propriedades:

1 ~_{x + ~}_{y = ~}_{y + ~}_x

2 _(~_{x + ~}_{y ) + ~z = ~}_{x + (~}_{y + ~z)} 3 ~_{x + 0 = ~}_x

(5)

logo

Espac¸o Vetorial

Sejam α e β quantidades escalares:

1 _α(β~_{x ) = (αβ)~}_x 2 _{(α + β)~}_{x = α~}_{x + β~}_x 3 _α(~_{x + ~}_{y ) = α~}_{x + α~}_y

(6)

Exerc´ıcio

Mostre que os n úmeros complexos formam um espaço vetorial, se considerarmos multiplicaç ão por escalar, multiplicaç ão por real.

(7)

logo

Combinac¸ ˜ao Linear

αix~i+ . . . + αnx~n= n

X

i=1

(8)

Vetores linearmente independentes

n vetores s ˜ao considerados linearmente independentes se e somente se:

n

X

i=1

αi~xi =0

(9)

logo

Subespac¸o Vetorial

Considere k vetores ~xi, . . . , ~xk e o conjunto de vetores na

forma: ~ y = k X i=1 αix~i

Este conjunto é chamado de sub-espaço vetorial. Observe que este conjunto é um espaço vetorial.

(10)

Subespac¸o Vetorial

Se os vetores ~x_i, . . . , ~x_k forem linearmente independentes dizemos que eles formam uma base para o sub-espac¸o

vetorial. Se k for a dimensionalidade do espaço dizemos que o conjunto é uma base para o espaço vetorial.

(11)

logo

Subespac¸o Vetorial

Suponha que os vetores ~ei sejam uma base para um espac¸o

vetorial, ou seja ~ x = n X i=1 xi~ei

Representamos o vetor usando o vetor coluna:

~ x =   x1 . . . xn  

(12)

Operadores

Um operador é uma funç ão que associa um elemento do espaço vetorial a outro elemento do espaço vetorial:

~

(13)

logo

Operador Linear

Um operador Linear deve satisfazer asseguintes condic¸ ˜oes:

1 _L(α~_{x ) = αL~}_x 2 _L(~_{x + ~}_{y ) = L~}_{x + L~}_y 3 _{L(0) = 0}

(14)

Operador Linear

L(~ei) = ~ai = n X j=1 aji~ej ~y = L~x ~y = L n X i=1 xi~ei = X ij xiaji~ej yk = X akixi

(15)

logo

Composic¸ ˜ao de Operadores Lineares

~ y = A~x ~z = B~y yi = X j aijxj zk = X j dkiyi zk = X ij aijdkixj hkj= X i dkiaij

(16)

Exemplos de Operadores Lineares

I: I~x = ~x N: N~x = −~x Rotac¸ ˜ao

(17)

logo

Mudanc¸a de Base

~ x =X i xi~ei ~x = X i x_i0~gi ~g =X j gji~ej G = [gij] ~ej = X i tij~gi T = [tij] ~x =X j xj~ej = X ji xjtij~gi = X i ~gi X j tijxj x_i0=X j tijxj xi= X j gijxj

(18)

Mudanc¸a de Base

~x = G ~x0 ~ x0 ₌_{T ~}_x ~x = TG~x TG = I

(19)

logo

Mudanc¸a de Base

~ y = A~x y~0 ₌_A0_x_~0 ~ y0 ₌_{T ~}_y _x~0 ₌_{T ~}_x T ~y = A0T ~x ~ y = T−1A0T ~x A = T−1A0T A0 =TAT−1

(20)

Matriz Transposta

Seja uma matriz:

A = [Aij]

a matriz transposta AT ´e dada por: AT_ij =Aji

(21)

logo

Determinantes

Definition: O determinante de uma matriz quadrada ´e definido por: det A = X σ∈Sn sgn(σ) n Y i=1 Ai,σi

a soma é calculada sobre todas as permutaç ões σ , o sinal de uma permutaç ão est á relacionado ao n úmero de trocas a partir da seq. ordenada {1, . . . , n}, se o n úmero de trocas for par o sinal é positivo e negativo caso contr ário.

(22)

Determinantes

Propriedades

1 _{det AB = det A det B} 2 _detAT ₌_{det A} 3 _{det(αA) = α}n_detA 4 _{det I=1}

5 _detT−1₌_{1/(detT )} 6 _detTAT−1₌_detA

(23)

logo

Trac¸o

O Trac¸o de uma matriz quadrada e dado por:

TrA = n X i=1 A_ii Propriedades 1 _TrAT ₌_TrA 2 _{Tr(A + B) = TrA + TrB}

3 _{TrAB = TrBA (propriedade circular)}

4 _TrTAT−1₌_{TrA (Traços s ão invariantes a mudanças de}

(24)

Produto Interno

O produto interno ´e um escalar (~x , ~y ) obtido a partir de dois vetores ~x e ~y e que satisfaz as propriedades:

Espac¸o Reais (~x , ~y ) = (~y , ~x ) (~x , ~y +~z) = (~x , ~y )+(~x , ~z) (~x , ~x ) ≥ 0 Espac¸o Complexos (~x , ~y ) = (~y , ~x ) (~x , ~y +~z) = (~x , ~y )+(~x , ~z) (~x , ~x ) ≥ 0

(25)

logo

Produto Interno

Espac¸o Reais (~x , ~y ) =Pn i=1xiyi = ~xT~y Espac¸o Complexos (~x , ~y ) =Pn i=1xi∗yi = ~x†~y

A† ´e a matriz transposta e conjugada de A. L ˆe-se dagger ou adaga.

(26)

Base ortonormal

Dois vetores s ˜ao ditos ortogonais se: (~x , ~y ) = 0 Uma base ´e dita ortonormal se:

(27)

logo

Classes de Matrizes

Unit ´arias U†U = I

Ortogonais GTG = I

(28)

Autovalores e Autovetores

A~x = λ~x ~x ´e um autovetor

λ´e um autovalor

(29)

logo

Teorema 1:

Se uma matriz possui m autovalores distintos ent ˜ao a matriz possui m autovetores ortogonais.

(30)

Lema

(AB)†=B†A† (AB)†= [AB_ik†] = (X j AijBjk)†= X j A∗_jiB∗_kj (AB)†=B†A†

(31)

logo

Teorema 2:

Os autovalores de uma matriz hermitiana s ão todos reais. Demonstraç ão: A~x = λ~x ~x†A†= λ~x† ~x†A = λ~x† ~ x†A~x = λ~x†~x λ~x†~x = λ~x†~x λ = λ

(32)

Teorema 3:

Os autovalores de uma matriz hermitiana correspondentes a dois autovalores distintos s ˜ao ortogonais.

Demonstrac¸ ˜ao:

A~x = λ1~x

A~y = λ2~y

~

(33)

logo

Teorema 3:

~ y†A = λ2~y† ~ y†A~x = λ1~y†~x ~ y†A~x = λ2~y†~x Como λ16= λ2~y†~x = 0

(34)

Exemplo:

A = 1 √ 2 √ 2 2

1 _{Encontre os autovetores e os autovalores.} 2 _{A matrix ´e hermitiana?}

(35)

logo

Exerc´ıcio:

Considere a mudanc¸a de base: x₁0 =x1 x₂0 =x3 x₃0 =x2

1 _{Escreva T .} 2 _{Escreva T}−1 3 _{Calcule TT}−1 4 _Seja: A =   1 0 3 2 5 0 3 0 0  

um operador linear representado na base xi escreva A na

(36)

Outline

(37)

logo

Equac¸ ˜ao da Onda

∂2u ∂x2 = 1 c2 ∂2u ∂t2 u(0) = u(L) = 0

(38)

Separaç ão de Vari áveis

u(x , t) = X (x )T (t) Aplicando na eq. da onda:

c2X00T (t) = X (x )T00 c2X

00

X = T00

T A única forma dessa equaç ão ser satisfeita é:

d2X dx2 = λX

X = A cos(p−|λ|x) + B sin(p−|λ|x) Usando as condic¸ ˜oes de contorno temos que:

(39)

logo

Separaç ão de Vari áveis

d2T dt2 =c 2_λT Tn(t) = Cncos nπct L +Dnsin nπct L un(x , t) = Ancos nπct L +Bnsin nπct L sin nπx L

Qualquer combinaç ão linear dessas funç ões é uma soluç ão da equaç ão, logo a soluç ão mais geral poss´ıvel é:

y (x , t) = ∞ X n=0 Ancos nπct L +Bnsin nπct L sinnπx L

(40)

Condic¸ ˜ao Inicial

L L2 h y (x , 0) = 2h Lx se x < L/2 2h −2h_Lx se x > L/2 ˙y (x, 0) = 0

(41)

logo

Soluc¸ ˜ao

Usando as condic¸ ˜oes iniciais temos que:

y (x , 0) = ∞ X n=1 Ansin nπx L An=? ˙y (x, 0) = − ∞ X n=0 Bn nπc L sin nπx L =0 Bn=0

(42)

Determinando A

n

Vamos usar a seguinte identidade: Z L 0 sinnπx L sinmπx L dx = L/2δnm

Usando a condic¸ ˜ao inicial: Z L 0 y (x , 0) sinmπx L = Z L 0 ∞ X n=1 Ansin nπx L sinmπx L Z L 0 y (x , 0) sinmπx L = LAm 2

(43)

logo

Determinando A

n

At é agora esta soluç ão é geral, particularizando para a nossa funç ão. Temos:

Am = 2 L Z L/2 0 2hx L sin mπx L dx + Z L L/2 2h −2hx L sinmπx L dx Am = ( 0 se m ´e par 8(−1)(m+1)/2 m2_π2 se m ´e impar Use o resultado: Z x sinmπx L dx = L 2_sin 2πx L 4π2 − Lx cos 2πx_L 2π

(44)

Aproximac¸ ˜ao

Comparaç ão entre a aproximaç ão para 5 termos e o resultado esperado. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(45)

logo

Interpretac¸ ˜ao dos resultados

“Qualquer” func¸ ˜ao no intervalo [0, L] pode ser

representada como uma soma de senos e cossenos. Podemos considerar o espaço de todas as funç ões que podem ser expressas como a soma de senos e cossenos no intervalo [0, L].

(46)

Interpretac¸ ˜ao dos resultados

As func¸ ˜oes r 2 Lsin mπx L r 2 Lcos mπx L

formam uma base ortonormal para esse espac¸o.

f (x ) = ∞ X m=0 An r 2 Lsin mπx L +Bn r 2 Lcos mπx L Note que:

(47)

logo

Interpretac¸ ˜ao dos resultados

Considere duas func¸ ˜oes f e g. A integral: Z L

0

f (x )g(x ) dx

pode ser interpretada como um produto interno. Para se convencer disso discretize a func¸ ˜ao e pense no vetor:

(48)

Exerc´ıcio

Considere a base formada pelos senos e cossenos, ignore o caso n = 0.

Escreva o operador paridade P[f (x )] = f (−x ).

Escreva a representaç ão matricial do operador derivada. Escreva a representaç ão matricial do operador integral. Ordene os vetores da base de uma forma conveniente.

(49)

logo

Outline

(50)

Problemas de Sturm Liouville

Equac¸ ˜ao caracter´ıstica para λ: d dx p(x )dy dx − s(x)y + λr (x)y = 0 x ∈ [a, b] Operador linear: L = d dx p(x ) d dx − s(x)

(51)

logo

Problemas de Sturm Liouville

Vamos demonstrar que as autofunç ões formam uma base ortogonal para as funç ões em [a, b].

(52)

Problemas de Sturm Liouville

d dx p(x )dyn dx − s(x)yn+ λnr (x )yn=0 d dx p(x )dym dx − s(x)ym+ λmr (x )ym=0 Temos que: yn d dx p(x )dym dx − s(x)ynym+ λnr (x )ynym=0 ym d dx p(x )dyn dx − s(x)ynym+ λnr (x )ynym=0

Subtraindo as eqs. acima: d

(53)

logo

Problemas de Sturm Liouville

Integrando: Z b a ym d dx p(x )dyn dx − yn d dx p(x )dym dx dx = = Z b a (−λm− λn)r (x )ynymdx

Realizando a integrac¸ ˜ao por partes:

ynp(x ) dym dx − ymp(x ) dyn dx b a − p(x)dym dx dyn dx +p(x ) dym dx dyn dx = − Z b a (λm− λn)r (x )ynymdx

(54)

Problemas de Sturm Liouville

p(x ) yn dym dx − ym dyn dx b a = −(λm− λn) Z b a r (x )ynymdx

Assumindo λn6= λm, para que tenhamos:

Z b a r (x )ynym =0 Basta que: y (a) = y (b) = 0 ou y0(a) = y0(b) = 0

(55)

logo

Problemas de Sturm Liouville

Al ´em disso: f (x ) =X m amym(x ) Z b a f (x )r (x )yn(x ) = X m Z b a ymynr (x ) dx = an Z b a y_m2(x )r (x ) dx an= Rb a f (x )r (x )yn(x ) dx Rb a yn2(x )r (x ) dx

(56)

Membrana Circular

∇2u = 1 c2 ∂2u ∂t2 u(a) = 0 u0(r , θ; 0) = 0 u(r , θ; 0) = f (r , θ)

(57)

logo

Membrana Circular

u(r , θ, t) = Λ(r , θ)T (t) = R(r )Θ(θ)T (t) ∇2u(r , θ, t) = T ∇2Λ = 1 c2T 00 Λ(r , θ) T00 T = −ω 2 ∇2Λ Λ = − ω2 c2 T = A cos ωt + B sin ωt

(58)

Parte Espacial

∇2λ = ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂2 ∂r + 1 r2 ∂2 ∂θ2 RΘ = −ω 2 c2RΘ R00Θ + 1 rΘR + 1 r2RΘ 00 = −ω 2 c2RΘ Θ00 Θ =r 2 −R 00 R − 1 r R0 R − ω2 c2

(59)

logo

Parte Angular

Θ00 Θ = −α 2 Θ =A sin αθ + B cos αθ Para que Θ seja peri ´odica:

(60)

Parte Radial

−n2R = −r2R00− rR0− c2ω2r2R r2R00+rR0+ (c2ω2r2− n2)R = 0 Esta é a equaç ão de Bessel.

(61)

logo

Equac¸ ˜ao de Bessel

r2R00+rR0+ (k2r2− n2)R = 0 x = kr ∂R ∂r = ∂R ∂x ∂x ∂r =k ∂R ∂x

(62)

Equac¸ ˜ao de Bessel

x2R00+xR0+ (x2− n2)R = 0 M ´etodo das s ´eries:

R(x ) = ∞ X l=0 alxl+s ∞ X l=0 al(l + s)(l + s − 1)xl+s+ ∞ X l=0 al(l + s)xl+s+ ∞ X l=0 alxl+s+2+

(63)

logo

Equaç ão de Besse é SL

d dx p(x )dy dx − s(x)y = λr (x)y = 0 (rR0)0+ (k2r − n2/r )R = 0 p(x ) = x s(x ) = −n2/r r (x ) = r λ =k2

(64)

Equac¸ ˜ao de Bessel

Drible da Vaca: ∞ X l=0 alxl+s+2 = ∞ X l=2 al−2xl+s ∞ X l=2 [al(l + s)2+al−2− n2al]xl+s+ [aos2− n2ao]xs+ [a1(s + 1)2− n2a1]xs+1=0

(65)

logo

Equac¸ ˜ao de Bessel s = n

al = al−2 n2_{− (l + n)}2 = al−2 n2_{− n}2_{− 2ln − l}2 al = −al−2 l(l + 2n) a1[(n + 1)2− n2] =a1(2n + 1) = 0 a1=0

(66)

Equac¸ ˜ao de Bessel s = n

a2k = − a_{2(k −1)} 2k (2k + 2n) = −a_{2(k −1)} 22_{k (k + n)} a2k = (−1)k 22k_{k !(n + 1)(n + 2) . . . (n + k )} Padronizac¸ ˜ao: ao = 1 2n_n! a2k = (−1)k 2n+2k_{k !(n + k )!} ∞ (−1)lxn+2l

(67)

logo

Equac¸ ˜ao de Bessel s = −n

al = −al−2 n2_{− (l}2_{− 2ln + n}2₎ = −al−2 l(l − 2n) a2k = −a2(k −1) 22_{k (k − n)} = (−1)ka0 22k_{(−n).(−n + 1) . . . (−n + k )}

Problemas se n é inteiro. Este caso deveria ser analisado com mais cuidado. Se procedessemos nesta direç ão ir´ıamos obter as funç ões de von Neumann que n ão nos interessam pois estas divergem na origem.

(68)

Equac¸ ˜ao de Bessel

2 4 6 8 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lembrando que x = kr . R(a) = 0 Jn(ka) = 0

(69)

logo

Soluc¸ ˜ao Geral

ωnm= γn,mc a u(r , θ, t) = ∞ X n=0 ∞ X m=1 Jn γ_n,mr a (Anmcos(nθ) + Bnmsin(nθ)) ×(Cnmcos ωnmt + Dnmsin(ωnmt))

(70)

Caso Particular

u(r , θ, 0) = f (r , θ) ˙u(r , θ, 0) = 0 f (r , θ) = ∞ X n=0 ∞ X m=1 Jn γ_n,mr a (Anmsin(nθ) + Bnmcos(nθ)) Anm= 2Ra 0 R2π 0 f (r , θ)rJn γn,mr a sin(kθ) Ra 0 rJn2 γn,mr a

(71)

logo

Exerc´ıcio

Considere f (r , θ) como sendo um cone de altura h e raio a centrado na origem. Considere apenas os 10 primeiros termos da expans ˜ao de Fourier generalizada.