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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO RODOLFO NUNES LUTERMAN

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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

RODOLFO NUNES LUTERMAN

DERIVATIVOS DE VOLATILIDADE NO MERCADO BRASILEIRO DE CÂMBIO: VIABILIDADE E IMPACTOS DE SUA UTILIZAÇÃO

SÃO PAULO 2013

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RODOLFO NUNES LUTERMAN

DERIVATIVOS DE VOLATILIDADE NO MERCADO BRASILEIRO DE CÂMBIO: VIABILIDADE E IMPACTOS DE SUA UTILIZAÇÃO

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Fundação Getulio Vargas/EESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças.

Orientador:

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto

SÃO PAULO 2013

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Luterman, Rodolfo Nunes.

Derivativos de Volatilidade no mercado brasileiro de câmbio: Viabilidade e impactos de sua utilização / Rodolfo Nunes Luterman. – 2013.

66f.

Orientador: Afonso de Campos Pinto

Dissertação (MPFE) – Escola de Economia de São Paulo

1. Mercado financeiro. 2. Hedging (Finanças). 3. Derivativos (Finanças). 4. Swaps (Finanças). 5. Investimentos - Administração. 6. Administração de risco. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

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RODOLFO NUNES LUTERMAN

DERIVATIVOS DE VOLATILIDADE NO MERCADO BRASILEIRO DE CÂMBIO: VIABILIDADE E IMPACTOS DE SUA UTILIZAÇÃO

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Fundação Getulio Vargas/EESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças.

Data da Aprovação: ____/____/______ Banca Examinadora:

________________________________________ Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) FGV - EESP

________________________________________ Prof. Dr. José Evaristo dos Santos

FGV - EAESP

________________________________________ Prof. Dr. Flávio Almeida de Magalhães Cipparrone USP – Escola Politécnica

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AGRADECIMENTO

Aos meus pais, pelo apoio incondicional, por me incentivar a ser cada vez melhor, pelo exemplo e pelos inúmeros ensinamentos valiosos.

À Carol, minha esposa e acima de tudo minha companheira. Pela paciência, carinho, incentivo e apoio.

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RESUMO

A volatilidade possui um papel central na gestão de risco tanto de portfólios de derivativos como de portfólios de ativos não alavancados. Este risco é gerenciado nos mercados financeiros através de diversos instrumentos, incluindo o uso de derivativos de volatilidade. No entanto, um mercado de derivativos de volatilidade no Brasil ainda é uma lacuna a ser preenchida, talvez pela baixa liquidez em determinadas opções ou mesmo pela falta de todos os ativos necessários para se estabelecer o portfólio replicante para os mesmos.

O objetivo deste trabalho é apresentar um modelo simples de se apreçar swaps de volatilidade sob o BRL, estimulando um diálogo entre a comunidade acadêmica e os praticantes do mercado que permita o desenvolvimento de derivativos de volatilidade ao considerar o melhor de cada grupo. Para se apreçar este instrumento, a modelagem e os ativos utilizados são apresentados em detalhes como sendo os ingredientes básicos de um produto financeiro de sucesso. Os resultados numéricos demonstram que o modelo proposto pode ser considerado um poderoso instrumento para se realizar o hedge do risco de volatilidade. Um benefício adicional deste trabalho é apresentar os riscos e benefícios de se utilizar este instrumento com o BRL.

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ABSTRACT

Volatility risk plays an important role in the management of portfolios of derivative assets as well as portfolios of basic assets. This risk is currently managed in financial markets abroad with the use of several instruments, including volatility derivatives. However, a volatility derivatives market in Brazil is still a gap to be fulfilled in the future, maybe due to the lower liquidity of options or even the lack of all the required assets for the replicating portfolio.

The objective of this paper is to introduce a straightforward model for pricing volatility swaps on BRL, encouraging further dialog between the academic and practitioner communities on this theme that would lead to the development of such market drawing on the best of both worlds. In order to value this instrument, the design and valuation of it is presented in details as the basic ingredients of a successful financial product. The numerical results show that the proposed model can be considered as a powerful instrument to hedge volatility risk. An additional benefit of this work is that it will provide the risks and benefits from using such instrument with BRL.

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SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3.1. Medidas de Volatilidade 3.1.1. Desvio Padrão Instantâneo 3.1.2. Desvio Padrão com média (drift) 3.1.3. Modelo de Parkinson (1980) 3.1.4. Modelo de Garman & Klass (1980) 3.1.5. Modelo de Rogers & Satchell (1991)

3.2. Modelos para o Apreçamento de Derivativos de Volatilidade 3.2.1. Swap de Volatilidade

3.2.2. Swap de Variância

3.2.2.1. Implementação sugerida por Demeterfi et al (1999) 3.2.2.2. Implementação sugerida por Hull (2008)

4. METODOLOGIA

4.1. Descrição da Amostra

4.2. Cálculo do efeito líquido da estratégia replicadora 4.3. Modelo

4.3.1. Portfólio Replicante 4.3.2. Taxa do swap ( )

4.4. Estimação da Volatilidade Realizada 5. RESULTADOS

5.1. Análise Descritiva dos Resultados

5.2. Análise Descritiva da Melhor Estratégia Replicante 5.3. Propostas de Melhoria

6. CONCLUSÕES

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A

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1. INTRODUÇÃO

A volatilidade de um ativo-objeto possui papel central na gestão de risco tanto de portfólios de derivativos como de portfólios de ativos não alavancados. Como a volatilidade pura não é um ativo tangível, ela precisa ser sintetizada através de outros instrumentos financeiros, incluindo os derivativos de volatilidade. Embora apenas os derivativos de volatilidade apresentem uma exposição pura à volatilidade, um mercado destes derivativos no Brasil ainda é uma lacuna a ser preenchida, por diversas razões. O objetivo deste trabalho é apresentar um modelo simples de se apreçar swaps de volatilidade sob o USD/BRL, estimulando um diálogo entre a comunidade acadêmica e os praticantes do mercado que permita o desenvolvimento de derivativos de volatilidade ao considerar o melhor de cada grupo.

Os princípios básicos da teoria de finanças estão pautados pela gestão do risco e retorno esperado de carteiras de ativos. Embora ainda esteja em processo evolutivo, a principal medida de risco de um ativo e/ou portfólio se consolidou como sendo o desvio padrão de seus retornos, especialmente pela Teoria da Carteira (MARKOWITZ, 1952), CAPM (SHARPE, 1964) e até mesmo por modelos de precificação de ativos, como o Black & Scholes (1973), se tornando um tema central em finanças. Ao longo de seu desenvolvimento, esta medida de risco passou também a ser conhecida como volatilidade e, atualmente, tem alternativas mais ou menos complexas de medição do que a raiz quadrada do segundo momento da distribuição (desvio padrão).

Desta forma, diversas teorias e modelos, além dos mencionados, foram desenvolvidos em torno deste princípio e a gestão de carteiras passou a ter em seu cerne a gestão da volatilidade da carteira. Esta gestão passou a ser necessária tanto por posições expostas à volatilidade quanto por pura gestão de risco da carteira através, por exemplo, de uma metodologia Valor em Risco (Value at Risk denotado por V@R). Uma terceira forma de uso para operações com volatilidade é como

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alternativa de investimento, seja através de posicionamento1 ou mesmo diversificação2.

Embora a exposição à volatilidade ocorra em sua grande maioria na presença de um portfólio contendo opções ou com ativos e derivativos que tenham opções embutidas, também existem companhias que possuem opções implícitas em seus negócios e que demandam melhor gestão deste tipo risco, que em muitos casos é vendida em Vega (ou short Vega no jargão do mercado).

Desde os anos 90, investidores e agentes têm conseguido cada vez mais gerir suas posições relacionadas à exposição em volatilidade porém, no mercado brasileiro, não se tem verificado disponibilidade de instrumentos adequados para tal gerenciamento.

Embora o instrumental mais robusto3 apenas tenha se desenvolvido no final da década de 90, estes derivativos de volatilidade têm aumentado sua participação nos mercados desenvolvidos desde o início da década passada e a modelagem tem se aperfeiçoado a cada dia. Sabe-se que, neste período, o país passou por um processo de fortalecimento de sua economia e de suas instituições, podendo ser esta uma das razões para tal conservadorismo mas, entende-se ser fundamental para o Brasil que o desenvolvimento deste mercado ocorra tanto para fins de referência como para proteção das instituições operantes no mercado nacional. Algumas iniciativas no mercado brasileiro já foram tomadas nesta direção, como os contratos de volatilidade da BM&F (VTC, VCA, VID, VOI e VTF) e a criação do índice FXvol. No entanto, os mesmos ainda não apresentaram liquidez e/ou impacto significativo na proteção à volatilidade por razões técnicas4, em especial nos

1 Como se considera que a volatilidade possui comportamento de reversão à média espera-se que vender volatilidade ou variância em momentos de crise tenha um retorno positivo.

2 Estudos demonstram que a variação da volatilidade possui correlação negativa com o retorno de seu ativo-objeto, permitindo a diversificação de carteiras de investimento, especialmente como proteção a eventos extremos.

3 Robustez neste trabalho é considerada como sendo modelos que possuem melhor desempenho de hedge independente do ativo-objeto em uso e da modelagem utilizada para a volatilidade futura. 4 Tecnicamente, as operações de volatilidade da BM&F não são contratos e nem transações com

exposição pura à volatilidade, mas apenas um mecanismo que viabiliza a estratégia de negociação simultânea de dois contratos: opção sobre disponível e futuro, ambos incidindo sobre um mesmo ativo-objeto e equivalentes à compra de opções com delta-hedge, conforme BM&F (2006).

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contratos da BM&F. Entende-se que ainda faltem estruturas e, talvez, até mesmo estudos que validem o uso de outros instrumentos no mercado local, como os derivativos de volatilidade.

Desta forma, com o objetivo de trazer maior clareza quanto aos resultados esperados ao se utilizar derivativos de volatilidade no mercado brasileiro, optou-se por simular o resultado de diversas operações de 30 dias de swaps de volatilidade, ao longo de 6,5 anos, comparando-os com os seus respectivos portfólios replicantes. O intuito deste trabalho é verificar a aderência dos modelos às particularidades do mercado, suas implicações práticas e parâmetros necessários para confirmar a viabilidade de se operar tal instrumento no mercado nacional, desde o apreçamento até a sua replicação.

Visando ter aplicabilidade ampla nas fontes de uso mencionadas, optou-se por realizar esta simulação tendo como ativo-objeto a taxa de câmbio BRL/USD. Como ativo mais negociado no mercado brasileiro, o BRL/USD se apresentou como uma escolha óbvia, considerando não apenas a maior quantidade de agentes que o usam como também a maior liquidez que advém deste fato.

Duas das principais particularidades do mercado brasileiro são a baixa liquidez no mercado de opções e a alta volatilidade do BRL, quando comparada com os mercados desenvolvidos. Considerando-se que o apreçamento de derivativos de volatilidade demanda maior liquidez em opções e, em geral, não considera o impacto de saltos (jumps), essas particularidades tendem a ser um desafio ao se apreçar os derivativos de volatilidade.

Espera-se que, com este estudo, os agentes do mercado brasileiro tenham maior segurança em operar este tipo de instrumento no mercado local, provendo maior liquidez e, em um segundo momento, propicie o desenvolvimento de índices de volatilidade, tal como ocorre nos mercados americano e europeu.

Com o objetivo de facilitar a leitura e o entendimento do estudo, este trabalho está dividido em seis capítulos. O segundo capítulo apresenta um breve histórico do processo evolutivo dos derivativos de volatilidade em perspectivas globais e locais,

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embasado por uma extensa revisão bibliográfica. No terceiro capítulo apresenta-se o arcabouço teórico que fundamenta os modelos utilizados neste estudo sendo: os modelos utilizados na medição da volatilidade realizada e os modelos de apreçamento de swaps de volatilidade e variância. A metodologia utilizada ao se implementar os instrumentos propostos, contendo os parâmetros utilizados em cada modelo, a base de dados e as premissas consideradas estão apresentadas no capítulo quatro. Os resultados das simulações realizadas juntamente com sua análise estão apresentados no capítulo cinco, seguidos pelo capítulo seis, que proporciona a conclusão do estudo proposto.

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2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A primeira necessidade de gestão da exposição à volatilidade ocorre para carteiras que possuem instrumentos que geram exposição direta à volatilidade, em especial derivativos, como é o caso das opções, mas não de futuros. Segundo Hull (2008), o

Vega de uma carteira ou portfólio é a taxa de mudança de valor da carteira ou

portfólio ocorrida à medida que a volatilidade de um determinado ativo-objeto se altera. O mesmo autor estabelece o Delta, ou taxa de hedge, como sendo a taxa de variação do valor desta carteira à medida que ocorrem variações nos preços dos ativos-objeto que a compõe. Importante observar que a exposição a cada ativo-objeto possui um Delta específico para o mesmo.

Uma estratégia utilizada no passado para mitigar a exposição à volatilidade era uma posição em straddles5, que por possuir um Vega altamente positivo e um Delta muito pequeno, simulava uma exposição em volatilidade. Todavia, este tipo de estratégia gera uma exposição ao ativo-objeto que na maioria dos casos é indesejada, pois a mesma não possui um Delta neutro.

Uma alternativa para a gestão desta exposição é a compra de opções no mercado financeiro. Como uma opção também possui um Vega positivo é como se estivesse sido montada um posição comprada em volatilidade, mas apenas a compra de uma opção também possui o problema da exposição ao ativo-objeto. Se esta opção possuísse um delta-hedge ela teria uma alta correlação com a volatilidade, porém conforme demonstrado por Neuberger (1994), não seria uma replicação perfeita de volatilidade6.

Esta imperfeição tende a ocorrer, em grande parte, pois o delta depende do nível de volatilidade futura assumida que, se estimada incorretamente, não proverá um

5Um straddle é composto pela compra de uma Put (opção de venda) e pela compra de uma Call (opção de compra) ambas com o mesmo strike. Uma posição comprada em straddle sintetiza uma posição comprada em volatilidade.

6 Utilizando uma série de cinco anos (começando em jun/1987) da taxa cambial do dólar americano pela libra esterlina, Neuberger (1994) demonstra que o resultado de um portfólio contendo uma opção com delta-hedge possui uma correlação de 0.815 com a exposição à volatilidade o que o autor entende ser muito baixo dada a relação das posições, ou seja, um ativo a ser protegido e seu instrumento de hedge.

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hedge adequado da posição. Porém, o grande problema em não se ter o delta-hedge com esse tipo de posição é que, em geral, os ativos possuem uma tendência

(ou drift) diferente da taxa neutra ao risco o que, em conjunto com a presença de saltos (jumps) na maioria dos ativos faz com que esse tipo de posição não simule uma exposição pura à volatilidade.

Segundo Carr e Lee (2009a), na metade dos anos 90 surgiu uma classe de derivativos que fornecia uma ênfase ainda maior na volatilidade. Estes derivativos elevaram a utilização da volatilidade para, além de apenas determinar o apreçamento de derivativos com payoffs (pagamentos no vencimento) não lineares, também determinar o payoff final de determinados derivativos. Esta classe de derivativos é geralmente chamada de derivativos de volatilidade e tem como principais exemplos os futuros e swaps de variância e volatilidade e opções sobre índices de volatilidade. Os autores comentam ainda que, segundo Michael Weber, este foi o responsável por estruturar o primeiro derivativo de volatilidade em 1993 quando ainda trabalhava no UBS (Union Bank of Switzerland) visando reduzir a posição vendida em Vega da instituição, mas que entre 1993 e 1998 têm-se apenas registros esporádicos de operações de swaps de volatilidade e variância.

No entanto, em 1998 iniciou-se com maior intensidade a negociação de swaps de variância sobre índices de ações, ainda segundo Carr e Lee (2009a). Provavelmente, este início de negociação ocorreu pela alta volatilidade implícita ocorrida naquele ano comparada com patamares históricos, provocada pela quebra do fundo LTCM (Long-Term Capital Management). Os Hedge Funds entenderam ser uma boa oportunidade vender a variância realizada em patamares muito acima de suas projeções econométricas enquanto os bancos davam liquidez às operações se protegendo no mercado futuro. Desde então o mercado de derivativos de volatilidade evoluiu consideravelmente e, tanto estruturas mais exóticas e robustas, tais como índices de volatilidade e derivativos sobre os mesmos, foram criadas. O principal índice de volatilidade, o VIX, que mede a expectativa de volatilidade do índice S&P 500 para os próximos 30 dias7, também é conhecido como indicador de

7 O índice VIX é calculado através da média ponderada para 30 dias das volatilidades implícitas, com base no modelo de Black-Scholes, de put e call dos dois primeiros vencimentos de opções sobre o índice, utilizando um continuum de strikes (CBOE, 2009).

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medo do investidor (investor fear gauge), por sua característica em medir a preocupação do mercado com relação ao risco da economia americana.

Embora este movimento tenha ocorrido em vários mercados globais (EUA, Europa e alguns países asiáticos), não se verificou movimento similar no Brasil. Por outro lado, outras iniciativas nesta direção foram tomadas no mercado brasileiro, embora ainda não tenham apresentado liquidez e/ou impacto significativo.

Dentre as iniciativas do mercado brasileiro, a negociação do VTC (Operação Estruturada de Volatilidade Taxa de Câmbio) na BM&F é uma das mais interessantes. Embora este contrato suponha a negociação de volatilidade, ele não constitui contrato, mas apenas um mecanismo que viabiliza a estratégia de negociação simultânea de dois contratos: uma opção e futuro na quantidade do delta da opção (compra call / vende futuro ou compra put / compra futuro). Esta estrutura acaba sendo similar a uma compra de opção com um delta-hedge que, conforme demonstrado por Neuberger (1994), não seria uma replicação perfeita de volatilidade. Talvez por esta razão, sua liquidez seja bem reduzida.

Outro importante trabalho neste sentido foi apresentado por Dario (2007) que sugere a criação do “Índice de volatilidade para o mercado brasileiro de câmbio: FXvol”. Este trabalho propõe, nos mesmos moldes da composição do VIX, a criação de um índice que indique a volatilidade implícita da taxa de câmbio BRL/USD para os próximos 30 dias, utilizando uma média ponderada da volatilidade implícita dos próximos dois vencimentos de opções sobre este ativo-objeto na BM&F. A partir deste trabalho, a BM&F começou a divulgar este índice em seu boletim diário, passando a ser uma referência muito importante para ser utilizada, embora não considere quais strikes de opções disponíveis possuem liquidez adequada para serem negociados.

Entende-se que o trabalho desenvolvido por Dario (2007) é complementar ao aqui proposto, pois o índice sugerido visa estimar a expectativa de volatilidade enquanto o atual estudo tem como objeto a replicação da volatilidade realizada por um portfólio de instrumentos financeiros. Espera-se que, no entanto, a partir do momento que os agentes locais estiverem confortáveis em operar derivativos de

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volatilidade, tal índice tenda a refletir com maior confiabilidade a expectativa de volatilidade do mercado local.

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3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Antes de discorrer sobre a modelagem proposta para os derivativos de volatilidade desta dissertação, faz-se necessário expor os modelos que serão utilizados na medição da volatilidade realizada. Estes modelos serão utilizados para cálculo do resultado do swap de volatilidade e sua aderência possui relação direta com a viabilidade deste instrumento.

Este capítulo discute os modelos de medição de volatilidade utilizados neste estudo. Discute também a modelagem utilizada para se estabelecer o apreçamento do swap de volatilidade, tal como seu portfólio replicante.

3.1. Medidas de Volatilidade

Os modelos de derivativos de volatilidade utilizados neste trabalho consideram uma volatilidade tendo a forma funcional do desvio padrão em sua concepção. De forma mais precisa tecnicamente, os modelos consideram a variância estatística (na maioria dos casos sem a média ou drift, ou seja, a variância instantânea) para os

swaps de variância e a raiz quadrada desta variância, ou desvio padrão, para os swaps de volatilidade.

Embora o desvio padrão seja amplamente utilizado por praticantes e teóricos como uma medida de volatilidade histórica, academicamente esta medida não é a mais aceita por diversas razões, dentre elas, porque a medida pelo desvio padrão necessita de uma amostra grande para que o mesmo seja um bom estimador da volatilidade realizada (ANDERSEN; BENZONI, 2008). Quando a amostra é composta por dados diários, precisar-se-ia de muitos dias para que tal adequação fosse atingida e, mesmo assim, se teria um parâmetro variando muito ao longo desta amostra.

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Com o objetivo de capturar a volatilidade realizada com um menor número de observações, diversos autores desenvolveram alternativas ao cálculo desta volatilidade. As medidas alternativas utilizadas neste trabalho se restringem aos modelos propostos por Parkinson (1980), Garman e Klass (1980) e Rogers e Satchell (1991), porém não são os únicos a propor alternativas ao desvio padrão. Os autores citados foram escolhidos pela sua utilização pelos praticantes de mercado, o que é evidenciado em Wilmott (2006), e também pela facilidade de replicação, que não é encontrada em modelos GARCH e EWMA (WILMOTT, 2006).

As medidas de Parkinson (1980) e Garman e Klass (1980) afirmam sua eficiência medindo a quantidade de dados que são necessários em uma mesma amostra para se atingir o mesmo nível de variância, embora com metodologias distintas. O modelo sugerido por Parkinson (1980) é considerando como 5 vezes mais eficiente que o desvio padrão e o modelo sugerido por Garman e Klass (1980) é considerado como sendo 7.4 vezes mais eficiente que o desvio padrão.

Rogers e Satchell (1991) defendem a eficiência de seu modelo mais alinhada com o conceito de precisão do estimador, independente do tamanho da amostra. Os autores realizam diversas simulações e utilizam a metodologia sugerida para medir sua precisão quando comparada com o desvio padrão, concluindo que o modelo proposto possui melhor desempenho. Por outro lado, não deixa de ser uma medida de eficiência baseada em se calcular a variância com menos dias de negócio disponíveis.

Desta forma, Wilmott (2006) apresenta diversos modelos de estimação de volatilidade que buscam utilizar mais informações dentre os dados diários e que, desta forma, permitam a geração de dados mais completos. Os modelos das seguintes seções são os apresentados por Wilmott (2006).

Em busca de ter-se um modelo de swap de volatilidade que tenha o melhor hedge para os praticantes, este trabalho também focará na melhor estimativa para medição da volatilidade que vise minimizar retornos diferentes de zero em um portfólio composto pelo portfólio replicante do swap de volatilidade e o swap em si. Para

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tanto, este trabalho testa a aderência de cada uma das medidas sugeridas no swap de volatilidade.

3.1.1. Desvio Padrão Instantâneo

O desvio padrão instantâneo que também pode ser chamado de desvio padrão com média muito pequena (pequeno drift), é uma estimativa de volatilidade utilizada quando se possui uma variação (retorno) média no preço do ativo-objeto muito pequena, sendo estatisticamente insignificante, como são os casos de muitos ativos financeiros. Embora o termo “instantâneo” seja mais utilizado ao se caracterizar a variância, optou-se por utilizar o mesmo termo com o objetivo de padronizar o método.

A variância instantânea, , é medida conforme a equação abaixo:

Em que n é a quantidade de observações da amostra e a observação do i-ésimo dia da amostra.

A volatilidade será a raiz quadrada desta variância, ou seja, . O log(), na expressão acima, assim como no restante deste trabalho, representa a função logaritmo natural.

A medida do desvio padrão poderá ser realizada tanto por dados de fechamento quanto por dados gerados em critérios específicos, como determinado horário e/ou o valor médio da cotação.

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3.1.2. Desvio Padrão com média (drift)

A variância amostral, , é medida conforme a equação abaixo:

! " # $ %&' ( ) * + ,

Em que n é a quantidade de observações da amostra e a observação do i-ésimo dia da amostra.

A volatilidade será a raiz quadrada desta variância, ou seja, .

3.1.3. Modelo de Parkinson (1980)

A variância do modelo de Parkinson, -, é medida conforme a equação abaixo:

- . ( ) /0

Em que n é a quantidade de observações da amostra, / é a maior cotação e 0 é a menor cotação do ativo-objeto da observação do i-ésimo dia da amostra.

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3.1.4. Modelo de Garman & Klass (1980)

A variância do modelo de Garman & Klass, 12, é medida conforme a equação abaixo:

12 345 /0 454 6 87 #/ 08 '

/

8 8 90

Em que n é a quantidade de observações da amostra, / é a maior cotação, 0 é a menor cotação, 8 é a cotação de abertura e 7 é a cotação de fechamento do ativo-objeto da observação do i-ésimo dia da amostra.

A volatilidade será a raiz quadrada desta variância, ou seja, 12 12.

3.1.5. Modelo de Rogers & Satchell (1991)

A variância do modelo de Rogers & Satchell, :;, é medida conforme a equação abaixo:

:; /7 /8 < 70 80

Em que n é a quantidade de observações da amostra, / é a maior cotação, 0 é a menor cotação, 8 é a cotação de abertura e 7 é a cotação de fechamento do ativo-objeto da observação do i-ésimo dia da amostra.

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3.2. Modelos para o Apreçamento de Derivativos de Volatilidade

De maneira geral, existe consenso entre os autores citados neste trabalho (e.g Demeterfi et al (1999), Wilmott et al (2002), Hull (2008), Carr e Lee (2009), dentre outros) a respeito dos modelos adequados para se apreçar e hedgear um derivativo de volatilidade. O principal ponto de consenso ocorre com relação ao swap de variância, no que tange a replicação e apreçamento deste. No entanto, como este derivativo não é muito procurado pelos praticantes do mercado, que estão acostumados a operar e acompanhar a evolução da volatilidade em seus modelos, ao invés da variância, tem-se um conflito neste quesito.

A transformação de um swap de variância em um swap de volatilidade vai além de apenas se extrair a raiz quadrada do primeiro. Segundo a desigualdade de Jensen8, o valor esperado da volatilidade não é maior que a raiz quadrada do valor esperado da variância9. Por esta razão, os autores têm opiniões diversas sobre o melhor modelo para o apreçamento e o hedge de um swap de volatilidade. Além deste fato, a derivação de um payoff que contenha uma raiz quadrada é mais complexa e de difícil replicação pela atual tecnologia disponível.

No que segue, apresenta-se o principal arcabouço teórico que deu origem aos modelos de swap de volatilidade e outros derivativos de volatilidade. No capítulo referente à metodologia, define-se os parâmetros do modelo a ser utilizado. O primeiro derivativo de volatilidade apresentado será o swap de volatilidade, dado que é o objeto de análise deste estudo. O segundo e último derivativo de volatilidade apresentado será o swap de variância que, embora não diretamente utilizado no estudo, constitui-se como parte fundamental no modelo proposto para o swap de volatilidade.

8 De acordo com Mas-Colell et al (1995), a desigualdade de Jensen diz que o valor esperado de uma função não é maior que a função do valor esperado quando esta função for côncava, ou seja,

=(>? @) A >?=( )@.

9 A volatilidade é uma função côncava em variância por ser uma transformação pela raiz quadrada da segunda, enquanto que a variância é uma função convexa em volatilidade por ser uma transformação pelo quadrado da segunda.

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3.2.1. Swap de Volatilidade

Algumas vezes chamados de contratos futuros de volatilidade realizada, os swaps de volatilidade são contratos futuros da volatilidade anualizada, tendo o seguinte

payoff em seu vencimento:

( B CDEF) GDEF

Sendo B a volatilidade realizada do ativo objeto (termos anuais), CDEF a volatilidade

anualizada apreçada no contrato futuro e GDEF o valor do contrato de swap de volatilidade em reais por ponto de volatilidade. Desta forma, o agente que detém o contrato de swap recebe GDEF reais para cada ponto da volatilidade realizada que

exceder o valor estabelecido em contrato. Da mesma forma, pagará quando a volatilidade realizada for inferior ao valor estabelecido no contrato.

O preço de contrato é tipicamente cotado como volatilidade, ou seja, em percentuais anualizados e o valor do contrato em reais por ponto de volatilidade.

As principais publicações de derivativos de volatilidade concordam com o fato de que a modelagem de um swap de volatilidade vai além do simples ajuste da estrutura para a raiz quadrada da variância. Este fato ocorre, em grande parte, pela forma como o swap de variância é modelado, que apreça a taxa deste swap pelo valor esperado.

Os principais autores sobre o tema alegam que o modelo desenvolvido por Carr e Lee (2009b) apresenta-se como sendo o mais robusto para apreçamento e replicação de um swap de volatilidade. O modelo sugerido pelos autores é composto basicamente por um portfólio contendo uma maior concentração em um straddle ATM (at-the-money ou no dinheiro) e um continuum de opções OTM (out of the

money ou fora do dinheiro) contendo calls e puts, juntamente com uma estratégia zero-cost delta-hedge. Ao longo do tempo, o portfólio é rebalanceado para que

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dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

preço

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

volatilidade

Figura 1 apresenta a diferença no de variância e

volatilidade.

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

preço

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

volatilidade

gura 1 apresenta a diferença no de variância e

volatilidade.

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

preço futuro, ain

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

volatilidade

gura 1 apresenta a diferença no de variância e

volatilidade.

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

futuro, ain

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

volatilidade

gura 1 apresenta a diferença no de variância e

volatilidade.

Figura 1 Fonte: Bossu

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

futuro, ain

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

volatilidade

gura 1 apresenta a diferença no de variância e

volatilidade.

Figura 1 Fonte: Bossu

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

futuro, ain

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

volatilidade é

gura 1 apresenta a diferença no de variância e

volatilidade.

Figura 1 Fonte: Bossu

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com

futuro, ain

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

é menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

de variância e

Figura 1 - Payoff

curva) como função da volatilidade realizada, para Fonte: Bossu

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez das opções com strike

futuro, ainda possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

de variância e mostra

Payoff

curva) como função da volatilidade realizada, para Fonte: Bossu et al

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez

strike

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

mostra

Payoff

curva) como função da volatilidade realizada, para et al

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez

strike

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

mostra

Payoff de um

curva) como função da volatilidade realizada, para et al (2005).

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez

strike mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

mostra

de um

curva) como função da volatilidade realizada, para (2005).

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

mostra que

de um swap

curva) como função da volatilidade realizada, para (2005).

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

que

swap

curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott sugerem o apreçamento do swap

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

que swaps

swap de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott

swap

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no

swaps

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott

swap

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v gura 1 apresenta a diferença no payoff

swaps

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott

swap de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v

payoff swaps de

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v

payoff

de

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v

payoff de um

de variância são

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v de um

variância são

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

da possuem risco de liquidez.

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v de um

variância são

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v de um

variância são

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções com concavidades distintas e, pela desigualdade

menor ou igual à raiz quadrada do v de um swap variância são

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções de

menor ou igual à raiz quadrada do v

swap

variância são

de volatilidade (linha reta) e de um curva) como função da volatilidade realizada, para K

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções de Jensen, o valor esperado da menor ou igual à raiz quadrada do valor esperado da variância. A

swap de volatilidade para um

variância são

de volatilidade (linha reta) e de um Kvol =

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um variância são estritamente

de volatilidade (linha reta) e de um = 2

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um estritamente

de volatilidade (linha reta) e de um swap 24%

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um estritamente

swap 4%.

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um estritamente

swap de variância (l

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez mais OTM, pois mesmo as opções com strike

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott de volatilidade como um swap ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um estritamente

de variância (l

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez

strike

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott

swap

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um estritamente

de variância (l

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez

strikes

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott

swap

ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um estritamente convexos em

de variância (l

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s demasiadamente trabalhosa e o custo tende a ser elevado devido ao spread

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez

s próximos do

De maneira alternativa, importantes autores como Hull (2008) e Wilmott et al

de variância ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um

convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um convexos em

de variância (l

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s

spread

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez próximos do

et al

de variância ajustado não apenas pela raiz quadrada do segundo, mas também por um ajuste de convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um convexos em

de variância (linha

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s

spread

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez próximos do

et al

de variância ajuste de convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

de volatilidade para um convexos em

inha

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s

spread entre

as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez próximos do

(2002) de variância ajuste de convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A de volatilidade para um swap

convexos em

inha

dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a s

entre as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez próximos do

(2002) de variância ajuste de convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

swap

convexos em dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de forma que o portfólio permaneça sempre ATM. Esta estratégia tende a ser entre as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez próximos do

(2002) de variância ajuste de convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A

swap

convexos em dinâmica no portfólio de opções, para que o portfólio replicante tenha sucesso, de er entre as ofertas de compra e venda do prêmio das opções e também ao risco de liquidez próximos do

(2002) de variância ajuste de convexidade. Este ajuste é necessário, pois a variância e a volatilidade são funções Jensen, o valor esperado da alor esperado da variância. A convexos em

(26)

Desta forma, os autores sugerem um ajuste dado pela aproximação de Brockhaus e Long (2000), que é uma expansão de Taylor de ordem 2, da função raiz quadrada da variável HI (taxa média da variância realizada) ao redor do ponto HI% >J(HI),

apresentada no lado direito da equação (1):

CDEF >J $ HI& K>J(HI) N>J(HI)HLM(HI)OP 5 ( )

Onde >J(HI) é o valor esperado da variável HI e será apresentado no item seguinte como sendo o CD :, ou seja, a variância anualizada apreçada em um contrato de

swap de variância conforme modelo que será exposto.

3.2.2. Swap de Variância

Embora os participantes de mercado utilizem a volatilidade, é a variância, ou o quadrado da volatilidade, que possui maior significância teórica. Isso ocorre pois a melhor maneira de se apreçar um swap, é pelo portfólio que o replica e o swap que pode ser replicado com maior confiabilidade é o swap de variância.

O swap de variância é um contrato futuro que possui como ativo-objeto a variância realizada (em termos anualizados) e que possui o seguinte payoff:

( B CD :) GD :

Sendo B a variância realizada do ativo objeto (termos anuais), CD : a variância anualizada apreçada no contrato futuro e GD : o valor do contrato de swap de

variância em reais por ponto de volatilidade ao quadrado. Desta forma, o agente que detém o contrato de swap recebe GD : reais para cada ponto realizado que exceder

o preço estabelecido em contrato. Da mesma forma, pagará quando a variância realizada for inferior ao preço de contrato.

(27)

Embora se tenha registro de mais de uma modelagem para a replicação e apreçamento deste tipo de contrato, os principais modelos estudados possuem intensa similaridade e se baseiam na replicação de um contrato log para replicar a volatilidade com pressupostos e resultados similares. As principais diferenças entre os modelos surgem basicamente nos procedimentos a serem adotados e nos passos da derivação utilizada.

Tanto Demeterfi et al (1999) quanto Hull (2008) sugerem a derivação apresentada a seguir, se diferenciando apenas quanto à metodologia utilizada para implementar o portfólio replicador de opções. A principal diferença na metodologia proposta por Demeterfi et al (1999) nasce de um complexo ajuste desenhado para se replicar o portfólio de opções com strikes discretos, dado que não se tem strikes contínuos e completos entre 0 e ∞ para o portfólio replicador. Por outro lado, Hull (2008) não demonstra tal preocupação e propõe um ajuste mais simples.

Optou-se por seguir ambas as linhas, pois o trabalho de Demeterfi et al (1999) é amplamente citado por praticamente todos os autores que tratam do tema, se figurando como uma das publicações pioneiras em swap de variância e possui imensa similaridade com o modelo proposto por Hull (2008) que é reconhecido como uma literatura de referência na área de derivativos.

A modelagem deste contrato considerará que o leitor já está familiarizado com o modelo de Black & Scholes (1973), mantendo deste, apenas o pressuposto de evolução contínua do ativo-objeto, ou seja, sem jumps (saltos). Este pressuposto ocorre quando se considera que o ativo-objeto segue o seguinte processo:

QRS

RS T(U5 RS)QU < (U5 RS)QV

Em um mundo neutro ao risco, onde V é um processo de Wiener, tem-se que

T(U5 RS) M W , quando houver pagamento de dividendos ou quanto o ativo-objeto

(28)

QRS

RS (M W)QU < QV ( )

Em que

X

é a taxa livre de risco,

Y

é a taxa de pagamento de dividendos ou a taxa externa livre de risco, no caso das moedas. Pelo lema de Itô, tem-se:

Q (RS) #M W ' QU < QV (Z)

Subtraindo-se (3) de (2), tem-se o seguinte resultado:

QU QRRS

S Q (RS)

Integrando-se entre o tempo 0 e

[

, a taxa média da variância realizada, HI, entre o tempo 0 e

[

é dada por:

HI \ ]^ QU % \ _] QRS RS ^ % R^ R% ` (.)

Dessa forma, tem-se que o portfólio que replica a variância média entre os tempos zero e

[

é composto pelas seguintes posições, ponderadas por dois de acordo com o definido na fórmula (4):

• Posição comprada em PRS ativos-objeto de valor equivalente a uma unidade

monetária. Esta posição deverá ser continuamente rebalanceada tal que tenha sempre o valor de uma unidade monetária e representa o primeiro termo do lado direito da equação (4);

• Posição vendida em um contrato que pague, no vencimento, o retorno logarítmico total. Esta posição poderá ser montada estaticamente, no momento da concepção do swap de variância e representa o segundo termo do lado direito da equação (4).

De acordo com a fórmula (4), para que este portfólio replique a variância anualizada, o mesmo ainda precisa ser ponderado por 1/

[

.

(29)

Como apenas o contrato que paga o logaritmo do retorno total (contrato log) não pode ser encontrado no mercado, este precisa ser sintetizado. A metodologia de replicação deste contrato, que é apresentada a seguir, é similar à utilizada por Demeterfi et al (1999) e por Hull (2008). Alternativa a esta é exposta no apêndice A, com base na abordagem proposta por Gatheral (2006), que possui resultados finais equivalentes.

Primeiramente, faz-se necessário desenvolver a função:

R^ R% R^ Ra < R a R% ( )

Em que Ra é um valor do ativo-objeto a ser definido. Adiante, esta variável será definida como o melhor strike disponível com valor equiparável ao futuro do ativo-objeto de mesmo vencimento ao contrato de swap. Como padrão, Hull (2008) menciona que Ra tende a ser o strike com valor igual ou imediatamente inferior ao

preço futuro do ativo-objeto de mesmo vencimento ao contrato de swap, porém, Ra

pode ser qualquer valor do ativo-objeto, dado que não existem restrições para esta variável no modelo proposto.

Como exposto no apêndice A, um payoff que possa ser diferenciado pelo menos duas vezes pode ser replicado estaticamente utilizando-se opções, em que a alocação em cada opção é equivalente à segunda derivada do payoff desejado. A segunda derivada de uma posição vendida em contrato log (bc, quando R^ C), é

também apresentada por Wilmott (2006) como sendo o peso alocado, por opção (continuamente distribuídas entre zero e infinito), necessário para se construir um portfólio com Vega constante, independente da posição do ativo-objeto.

Desta forma, Hull (2008) demonstra que para o seguinte payoff:

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