ANO LECTIVO DE 2003/2004

ANO LECTIVO DE 2003/2004

Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Charles H. Townes (1915-)

Prémio Nobel da Física em 1964

Desenvolveu, com Arthur L. Schawlow, o pricípio do laser

Arthur L. Schawlow (1921-1999)

Prémio Nobel da Física em 1981

Desenvolveu, com C. H. Townes, o princípio do laser

William P. Shockley (1910-1989)

Prémio Nobel da Física em 1956

Amplificação usando dispositivos semicondutores

Walter H. Brattain (1902-1987)

Prémio Nobel da Física em 1956

Amplificação usando dispositivos semicondutores

John Bardeen (1908-1991)

Prémio Nobel da Física em 1956

Em Novembro de 1999 uma equipa de investigadores, a trabalhar nos

Bell Labs da Lucent Technologies

(em Holmdel, N.J., USA), desenvolveu um único laser ultra- -rápido capaz de transmitir cerca de 1022 canais (com uma separação de 10GHz). Trata-se de um laser pronto a operar em sistemas de comunicação óptica UDWDM (ultra-dense wavelength-division multiplexing). http://www.bell-labs.com/news/1999/november/10/2.html

Índice

Nota prévia 3 Bibliografia 4 1. Oscilação laser 5

2. Equações das taxas 17

3. Regime estacionário 25

4. Modulação da corrente de injecção 38

5. Desvio dinâmico de frequência 48

Adenda – Sistema amplificador laser 52

Izuo Hayashi e Morton B. Panish

conceberam e desenvolveram em 1971 o primeiro laser semicondutor a operar continuamente (regime CW) à temperatura ambiente.

Nota prévia

Do ponto de vista dos sistemas de comunicação óptica, existem dois processos fotónicos fundamentais: (i) a transmissão da informação (em formato analógico ou digital) através das fibras ópticas; (ii) a comutação fotónica da informação nas redes de telecomunicações. Enquanto que o processo da transmissão é, hoje, completamente óptico (mesmo a amplificação é óptica, ultrapassados que estão os regeneradores), o mesmo não se aplica ao caso da comutação: sendo o objectivo, para se alcançar uma total transparência dos sistemas, a comutação fotónica (em inglês: “all-optical switching”), a investigação e o desenvolvimento desenrolam-se, nesta área específica, a um ritmo mais lento.

Porém, quer a transmissão quer a comutação, são processos fotónicos que tendem a dispensar a contribuição da optoelectrónica – nomeadamente, dos dispositivos ópticos semicondutores. Todavia, não é possível descrever um sistema de comunicação óptica sem a contribuição de dois blocos optoelectrónicos terminais: (i) a geração do sinal óptico (no transmissor); (ii) a detecção do sinal óptico (no receptor).

Neste capítulo vamos considerar os dispositivos optoelectrónicos responsáveis pela emissão do sinal óptico. Contudo, na actual geração dos sistemas de comunicação óptica, apenas se consideram fibras ópticas monomodais de pequeno contraste dieléctrico (weakly-guiding fibers). Por essa razão só serão considerados, neste capítulo, os lasers semicondutores; os dispositivos emissores não-coerentes, como os LED’s, não serão aqui abordados.

Um laser semicondutor é, basicamente, uma cavidade óptica semicondutora onde se encontra um meio activo capaz de amplificar um sinal óptico. Enquanto que o meio activo funciona como amplificador laser, a cavidade fornece o mecanismo de realimentação através do qual a amplificação se converte em oscilação e onde, além disso, se processa a selecção das frequências de oscilação laser.

A característica fundamental de um laser é a de amplificar (no caso de um amplificador) ou de emitir (no caso de um oscilador) luz (visível ou invisível) coerente de grande intensidade. Isto significa que a luz amplificada ou emitida é quase monocromática, tem uma polarização bem definida e se propaga numa direcção bem determinada. Com efeito, laser é um acrónimo de light amplification

by the stimulated emission of radiation.

Neste capítulo não se pretende fazer um estudo da interacção entre fotões e electrões. Apenas se passam em revista, de forma muito superficial, os mecanismo básicos de interacção entre fotões e semicondutores. O leitor interessado deve, para o efeito, consultar a bibliografia aconselhada.

Bibliografia

• B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics (New York: Wiley, 1991), Chaps. 15-16

• A. E. Siegman, Lasers

(Sausalito, California: University Science Books, 1986) • G. P. Agrawal and N. K. Dutta, Semiconductor Lasers

(New York: Van Nostrand Reinhold, 2nd ed., 1993), Chaps. 1-2, 6 • S. L. Chuang, Physics of Optoelectronic Devices

(New York: Wiley, 1995), Chaps. 2, 9-11

• H. P. Zappe, Introduction to Semiconductor Integrated Optics (Boston: Artech House, 1995), Chaps. 2-4, 9

• G. P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems (New York: Wiley, 2nd ed., 1997), Chaps. 3, 8 • K. J. Ebeling, Integrated Optoelectronics

(Berlin: Springer-Verlag, 2nd ed., 1992), Chaps. 1, 7-10 • P. Bhattacharya, Semiconductor Optoelectronic Devices

(New Jersey: Prentice Hall, 2nd ed., 1997), Chaps. 1-4, 6-7 • A. Yariv, Optical Electronics in Modern Communications

(New York: Oxford University Press, 5th ed., 1997), Chaps. 5-6, 15 • D. Wood, Optoelectronic Semiconductor Devices

(New York: Prentice-Hall, 1994), Chaps. 1-2, 4

• H. Kawaguchi, Bistabilities and Nonlinearities in Laser Diodes (Boston: Artech House, 1994), Chaps. 1-2

• P. Yeh, Optical Waves in Layered Media (New York: Wiley, 1988), Chap. 12

• Duane Hanselman and Bruce C. Littlefield, Mastering MATLAB 6 (Prentice-Hall, 6th ed., December 2000)

1. Oscilação laser

Um semicondutor é um sólido (cristalino ou amorfo) cuja condutividade eléctrica – tipicamente entre a de um condutor e a de um isolador – pode ser modificada, de forma significativa, através de um (ou vários) dos seguintes processos: (i) variando a temperatura; (ii) dopando o material com impurezas; (iii) iluminando o material com luz.

As transições entre estados com níveis de energia distintos processam-se, num laser semicondutor, de forma diferente dos restantes tipos de lasers: em vez de estados discretos com níveis de energia bem definidos, aparecem bandas de energia. Mais precisamente: existe uma banda de condução de energia E₂ ≥ E_c e uma (ou mais) banda(s) de valência de energia

v E

E₁ ≤ . O intervalo de energia (band gap) será, então,

v c

g E E

E = − , (1.1)

que separa as duas bandas e é típico do material semicondutor em questão.

Existem, basicamente, três processos de interacção dos electrões do semicondutor com os fotões:

• Absorção – Geração de um par electrão-lacuna

• Emissão espontânea – Recombinação radiativa não induzida • Emissão estimulada – Recombinação radiativa induzida

Sendo ω 2= π f a frequência de um fotão, a sua energia é (de acordo com a mecânica quântica) = , onde ω ==h/2π é a constante de Planck reduzida (h=6.6262×10−34Js é a constante de Planck). Na emissão espontânea dá-se a recombinação radiativa não provocada de um par electrão-lacuna seguida da emissão de um fotão de energia =ω≈ Eg; não existe

correlação entre o fotão emitido e os fotões existentes na cavidade (trata-se, pois, de uma emissão não-coerente). A absorção e a emissão estimulada são transições induzidas. Na absorção, um fotão incidente de energia =ω≈Eg provoca a geração de um par

electrão-lacuna. Na emissão estimulada, um fotão incidente de energia =ω≈ Eg provoca a

recombinação de um par electrão-lacuna, seguida da emissão de um fotão clone do fotão incidente (trata-se, pois, de uma recombinação radiativa que produz uma emissão coerente).

Para que um electrão de energia E₂ (na banda de condução) se recombine com uma lacuna de energia E₁ (na banda de valência) emitindo um fotão de energia = , é necessário ω que ω = − ₁ = 2 E E . (1.2)

A Eq. (1.2) é, também, aplicável a um processo de geração, em que um fotão de energia = ω dá origem a um par electrão-lacuna: um electrão de energia E₂ ≥E_c e uma lacuna de energia

v E E₁ ≤ .

Deverá, então, ter-se

g E E

E2 − 1 ≥ , (1.3)

em que E_g é dado pela Eq. (1.1). Assim, a frequência mínima correspondente a este tipo de transição, será fg =Eg /h. Como fg = /c λg (em que 2.9979 10 m/s

8

× =

c é a velocidade da

luz no vácuo), vem ainda

g f f ≥ ⇒ g g E c h = λ ≤ λ . (1.4)

A Eq. (1.4) é, assim, uma condição necessária para a ocorrência de uma transição interbandas – corresponda essa transição a um processo de geração ou recombinação. Quando f < fg ou,

o que é equivalente, λ>λg, o semicondutor comporta-se como um meio passivo sem

transições interbandas. Atendendo a que 1 eV = 1.60219 ×10-19 J, tem-se ainda

[ ]

_{[ ]}

eV 2398 . 1 m g g E = µ λ . (1.5)

A liga ternária AlxGa1-xAs tem uma rede cristalina adaptada ao arsenieto de gálio

< < x

[ ]

x

E_g eV =1.424+1.247 . (1.6)

A liga quaternária In1-xGaxAsyP1-y tem uma rede cristalina adaptada ao fosfato de índio

(InP) desde que

y

x=0.45 , (1.7)

com 10≤ y ≤ . O intervalo de energia é

[ ]

2 12 . 0 72 . 0 35 . 1 eV y y E_g = − + . (1.8)

Como os electrões são fermiões, as probabilidades dos estados de energia estarem ocupados por electrões são dadas pela estatística de Fermi-Dirac. Definem-se as seguintes probabilidades:

• f_c

( )

E₂ = probabilidade do estado de energia E₂, na banda de condução, estar ocupado por um electrão;

• 1− f_c

( )

E₂ = probabilidade do estado de energia E₂, na banda de condução, estar vazio (i.e., ocupado por uma lacuna);

• f_v

( )

E₁ = probabilidade do estado de energia E₁, na banda de valência, estar ocupado por um electrão;

• 1− fv

( )

E1 = probabilidade do estado de energia E1, na banda de valência, estar vazio

(i.e., ocupado por uma lacuna).

Tem-se

( )

1 exp 1 2 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = T k E E E f B fc c (1.9a)

( )

1 exp 1 1 1 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = T k E E E f fv v (1.9b)

onde J/Kk_B =1.3807×10−23 é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta; E_fc e

fv

E representam, respectivamente, os níveis de Fermi na banda de condução e na banda de valência. Note-se que

(

)

(

)

2 1 1 2 = fc = v = fv = c E E f E E f . (1.10)

Em equilíbrio termodinâmico, tem-se Efc =Efv. Em geral, define-se

0 ≥ − = fc fv f E E E . (1.11)

Fig. 1 Bandas de energia e níveis de Fermi num semicondutor.

Na Fig. 1 representam-se as bandas de energia de um semicondutor com os

E

v

E

E

c

E

fv

E

fc electrões lacunas banda de condução banda de valência

E

g

Vejamos, agora, quais são as condições de emissão e de absorção de fotões:

‰ Condição de emissão: Um estado de energia E₂, na banda de condução, está ocupado com um electrão e um estado de energia E₁, na banda de valência, está vazio;

‰ Condição de absorção: Um estado de energia E2, na banda de condução, está

vazio e um estado de energia E1, na banda de valência, está ocupado com um

electrão.

Definem-se, então, as seguintes probabilidades:

• fe

( )

ω = probabilidade da condição de emissão ser observada por um fotão de energia = ; ω

• f_a

( )

ω = probabilidade da condição de absorção ser observada por um fotão de energia = . ω Consequentemente,

( )

f

( )

E2

[

1 f

( )

E1

]

f_e ω = _c − _v , (1.12a)

( )

[

1 f

( )

E2

]

f

( )

E1 fa ω = − c v . (1.12b)

Para que a emissão domine a absorção (i.e., para que o semicondutor se comporte como um meio activo ou amplificador), é necessário que

( )

ω > _a

( )

ω

e f

f . (1.13)

Logo, de acordo com as Eqs. (1.12), deverá ser

( )

E2 f

( )

E1

fc > v . (1.14)

T k E E T k E E B fv B fc _< − − ₁ 2 , (1.15)

pelo que, tendo em consideração as Eqs. (1.2) e (1.3), vem ainda

g

f E

E > =ω≥ . (1.16)

Em equilíbrio termodinâmico é Ef =0 e, portanto, não é possível a emissão dominar a absorção. Só através de um processo de bombeamento é possível inverter a população de forma a que a emissão domine a absorção.

Define-se o coeficiente de inversão da população n , tal que sp

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω− − = ω T k E n B f sp = exp 1 1 . (1.17)

Quando E_f = =ω, seria n_sp =∞; quando E_f →∞, vem n_sp →1. Note-se que não haverá amplificação mas, pelo contrário, atenuação desde que E_f < =ω – caso em que não existe inversão de população e n_sp <0. Como se viu anteriormente, a situação E_g > =ω

corresponde à ausência de transições interbandas. Assim, em síntese, deve ser Ef >Eg e,

para radiação caracterizada pela energia = de um fotão individual, o semicondutor ω comporta-se como:

• Meio activo (amplificador) quando Ef > =ω≥Eg

• Meio passivo (atenuador) quando =ω>Ef

• Meio passivo sem transições interbandas quando =ω<E_g

O facto de, no material semicondutor, a emissão dominar a absorção, não significa que o dispositivo entre em oscilação – apenas significa que se trata de um meio activo, i.e., com ganho. Neste capítulo apenas se consideram os lasers semicondutores de injecção, i.e., em que o bombeamento – para atingir a inversão de população expressa pela Eq. (1.16) – é feito através de uma corrente de injecção cuja finalidade é fazer com que a recombinação radiativa (ou emissão) predomine sobre a geração de pares electrão-lacuna (ou absorção).

Admitamos que a cavidade laser, estratificada em camadas ao longo de x, tem um comprimento L ao longo da coordenada longitudinal z . Seja R₁ a reflectividade do espelho em z=0 e R₂ a reflectividade do espelho em z= . Se as duas interfaces forem idênticas, L

tem-se 2 2 1 1 1⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = = n n R R , (1.18)

em que n é o índice de refracção modal. Se β designar o número de onda longitudinal, será

0 k n

=

β , (1.19)

onde k₀ =2π/λ=ω/c=2π f /c é a constante de propagação no vácuo.

Porém, como o meio tem ganho, a constante de propagação é complexa e tem a forma

2 ~_=β+ α

β i (1.20)

em que α deve contabilizar, simultaneamente, as perdas internas na cavidade – através do coeficiente α – assim como o coeficiente de ganho (ou ganho diferencial) s g da zona activa. a

Ou seja, s a g +α − = α . (1.21)

∑

∞ = = 0 l l U U , (1.22) tendo-se 0 U U_l =ξl , (1.23) com

(

i L

)

R R β = ξ _{1 2} exp2 ~ . (1.24) Como ξ <1, será

∑

∞ = −ξ = ξ 0 1 1 l l . (1.25)

Assim, das Eqs. (1.22) e (1.23), tira-se que

ξ − = 1 0 U U . (1.26)

Designemos por U a amplitude complexa do campo eléctrico incidente em i −

= 0

z e por U a amplitude complexa do campo eléctrico transmitido em _t z= L+. Se forem τ1 e τ2 os

coeficientes de transmissão, respectivamente dos espelhos em z =0 e z = , vem então L

U

U_t =τ₂ , (1.27a)

i U

U₀ =τ₁ . (1.27b)

i t U U =τ , (1.28) obtém-se ξ − τ τ = τ 1 2 1 , (1.29)

de acordo com a Eq. (1.26).

A oscilação laser corresponde a uma situação em que, para Ui =0, se tem Ut ≠0.

Isto significa que a oscilação laser corresponde a ter-se τ →∞, i.e.,

1 =

ξ , (1.30)

de acordo com a Eq. (1.29). Logo, atendendo à Eq. (1.24), tem-se

(

2 ~

)

1 exp

2

1R iβ L =

R . (1.31)

Assim, como β~ é dada pela Eq. (1.19), infere-se que a oscilação laser implica simultaneamente

(

)

1 exp 2 1R − Lα = R , (1.32a)

(

2

)

1 exp iβ L = . (1.32b)

Da Eq. (1.32a) tira-se que

m α − = α , (1.33) com ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α 2 1 1 ln 2 1 R R L m . (1.34)

Note-se que, como αm >0, deverá ser α<0 – o que mostra que o meio é activo, i.e., tem ganho: na Eq. (1.21) deverá ter-se g_a >α_s. Portanto, se se introduzir o coeficiente de atenuação total αr da cavidade tal que

s m r =α +α

α , (1.35)

infere-se das Eqs. (1.21) e (1.33) que

r a

g =α . (1.36)

Sendo v a velocidade de grupo dentro da cavidade, pode-se definir o ganho g G (ou

taxa elementar líquida de recombinação estimulada), como

a g g v

G= . (1.37)

Analogamente, introduz-se o tempo de vida dos fotões na cavidade, como

g r a p v r = α = τ 1 1 (1.38)

em que r_a =α_rv_g é a taxa elementar de aniquilação dos fotões (a taxa de aniquilação total obtém-se multiplicando a taxa elementar pela população de fotões). Então, das Eqs. (1.36)-(1.38), vem

p G

τ

= 1 (1.39)

para que a cavidade oscile em regime CW (continuous wave) correspondente a uma corrente de injecção contínua.

L q k n = π = β ₀ . (1.40)

Assim, atendendo à Eq. (1.19), infere-se que as frequências f = f_q de oscilação laser são dadas por x q q f f = (1.41) com L n c f_x 2 = . (1.42)

Determinemos, agora, a separação f∆ entre frequências consecutivas de oscilação. Como L c q f n 2 = , (1.43) vem

(

∆q=1

)

( )

L c q L c f n 2 2 ∆ = = ∆ . (1.44) Mas como

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∆ = ∆ + ∆ = ∆ df n d f n f f n n f f n (1.45) e o índice de grupo é

df n d f n ng = + , (1.46) conclui-se que

( )

n f =ng ∆f ∆ . (1.47)

Logo, das Eqs. (1.44) e (1.47), obtém-se por fim

L n c f g 2 = ∆ . (1.48)

Como n_g =n_g

( )

f , a separação ∆ entre as sucessivas frequências de oscilação laser não é f

uniforme e vai depender das próprias frequências de oscilação em questão. Isso mesmo já se poderia depreender da Eq. (1.42).

As Eqs. (1.39), (1.41) e (1.48) constituem as equações fundamentais das oscilações laser. É, pois, a estrutura da cavidade que, ao introduzir a realimentação na luz que atravessa o meio activo, selecciona as frequências de oscilação laser.

2. Equações das taxas

Num laser semicondutor, seja no caso de um amplificador seja no caso de um oscilador, existem sempre três processos básicos de transição entre níveis (ou bandas) de energia: (i) absorção; (ii) emissão estimulada; (iii) emissão espontânea. Enquanto que a emissão espontânea não depende da população de fotões, o mesmo não acontece com as transições induzidas (i.e., absorção e emissão estimulada). Com efeito, as taxas correspondentes a transições induzidas são proporcionais ao número de fotões.

Para descrever, num laser semicondutor, os processos de transição entre a banda de condução e a banda de valência, é usual definir as taxas de transição. Em tudo o que se segue,

todas as taxas de transição são expressas na unidade de tempo, i.e., as suas unidades são −1 s .

Definem-se, assim, as seguintes taxas de transição:

‰ r_ab = taxa elementar de absorção

‰ r_st = taxa elementar de emissão estimulada

‰ R_sp = taxa de emissão espontânea

As taxas elementares, que estão associadas a transições induzidas, são designadas por letras minúsculas. A taxa de emissão espontânea, correspondente a uma transição não induzida, é designada por uma letra maiúscula porque não depende dos fotões incidentes.

Na cavidade laser, de comprimento L , encontra-se a zona activa onde se processam as interacções entre fotões e electrões. Esta zona tem uma largura w e uma espessura d. O volume da zona activa é, assim, V_a =wdL. Na Fig. 2 representa-se esquematicamente a estrutura de um laser semicondutor.

Admite-se que a oscilação laser corresponde a um único modo óptico longitudinal, i.e., supõe-se que o laser semicondutor funciona no regime monomodal.

Fig. 2 Geometria do laser semicondutor e correspondente zona activa.

Sendo N_a a densidade média de electrões na zona activa, o número total de electrões correspondentes será então

a aV N

N = . (2.1)

Porém, se S_a designar a densidade média de fotões na cavidade laser, o número total de fotões é superior ao produto S_aV_a. Com efeito, o modo óptico não se confina apenas à zona activa: pode dizer-se, de forma aproximada, que os fotões se localizam (dentro da cavidade) numa espessura efectiva

Γ = d d (2.2)

L

w

y

d

z

x

Zona

activa

que é superior a d uma vez que Γ<1. Ao parâmetro Γ dá-se o nome de factor de confinamento óptico. Pelo que o número total de fotões, na cavidade laser, é dado por

Γ = SaVa

S . (2.3)

Na Eq. (1.21) introduziu-se o coeficiente de ganho g_a da zona activa. Devido ao facto do modo óptico não se confinar à zona activa, o verdadeiro coeficiente de ganho (ou ganho diferencial) do dispositivo é g tal que

g

g_a =Γ . (2.4)

Assim, a Eq. (1.37) pode ser reescrita na forma

g v

G =Γ _g . (2.5)

É agora possível introduzir as chamadas taxas efectivas das transições induzidas e que são proporcionais a S. Definem-se então:

‰ Rab =rab S = taxa efectiva de absorção

‰ R_st =r_st S = taxa efectiva de emissão estimulada

O meio laser é um meio activo porque produz ganho. Este ganho tem a ver com o facto de, através da emissão estimulada, a radiação “incidente” ser consideravelmente inferior à radiação produzida pelo dispositivo semicondutor. Isto só é possível porque existe uma taxa elementar líquida de emissão estimulada dada por

ab st r r

G= − (2.6)

e que é designada frequentemente por ganho do laser semicondutor – não obstante não ser uma grandeza adimensional (uma vez que é uma taxa). O laser funcionará correctamente desde que exista uma corrente de injecção I suficiente para que G>0. A taxa efectiva líquida de emissão estimulada corresponde, então, a

S G R R

R_st = _st − _ab = . (2.7)

A taxa de recombinação radiativa é, deste modo, dada por

sp st

r R R

R = + . (2.8)

A taxa de recombinação total é, por sua vez, a soma dos seguintes termos:

sp st A nr r A nr t R R R R R R R R = + + = + + + . (2.9)

A taxa R_nr é a taxa de recombinação não radiativa, enquanto que R_A é a chamada taxa de recombinação de Auger (também não radiativa). Mostra-se que

N A

R_nr = , R_sp =BN2, R_A =CN3 (2.10)

em que A , B e C são constantes. É usual definir um tempo de vida da recombinação não induzida (também denominado tempo de vida dos portadores de carga), como sendo

R N c =

τ (2.11)

em que se introduziu, ainda, a taxa de recombinação não induzida R tal que

A sp nr R R R R= + + . (2.12) Assim, tem-se

( )

1 ₂ N C N B A N c + + = τ . (2.13)

Donde se infere que

st

t R R

R = + . (2.14)

Define-se a eficiência quântica interna do laser semicondutor como sendo

st st sp t r i R R R R R R + + = = η . (2.15)

Só quando se desprezam todos os processos de recombinação não radiativa (i.e., 0

= = A nr R

R ), é que a eficiência quântica interna é total. Tem-se, então, η_i =1 e

c sp N R = /τ .

Tal como se definiu, através da Eq. (2.11), o tempo de vida dos portadores de carga, também se definem – de forma análoga – os seguintes tempos de vida:

‰ nr nr R N =

τ = tempo de vida da recombinação não radiativa

‰ sp sp R N =

τ = tempo de vida da emissão espontânea

‰ A A R N =

τ = tempo de vida da recombinação de Auger

Facilmente se verifica que

A sp nr c τ + τ + τ = τ 1 1 1 1 . (2.16)

A emissão coerente, num oscilador laser, é devida ao bombeamento que provoca a inversão da população. Num laser semicondutor, o bombeamento é feito através da corrente de injecção I . Sendo q a carga do electrão, a taxa de bombeamento (em inglês: pumping

rate) é dada por

q I

R_p = . (2.17)

A corrente de injecção vai aumentar a população de electrões na banda de condução e, simultaneamente, aumentar também a população de lacunas na banda de valência.

Como o laser semicondutor é limitado pelas paredes reflectoras da cavidade onde está inserido, os fotões vão desaparecendo através da transmissividade dos dois espelhos que limitam (em z =0 e z= ) a cavidade laser – além de serem absorvidos pelas perdas L

dieléctricas do material semicondutor. Sendo τ o tempo de vida dos fotões na cavidade de _p Fabry-Perot, a taxa de aniquilação dos fotões será

(

r_a =α_rv_g

)

p a a S S r R τ = = . (2.18)

Assim, em síntese, o número S de fotões aumenta através de Rst e R e diminui sp

através de Ra. Por outro lado, o número N de electrões aumenta através de Rp e diminui

através de Rt. Note-se, porém, que sendo o laser um emissor de luz coerente, nem toda a

radiação correspondente a Rsp contribui para o modo considerado e associado ao termo R . st

De facto, só uma pequeníssima fracção β (tipicamente _sp β_sp ~10−4 −10−5) da emissão espontânea total é que contribui para o modo considerado. Essa fracção, frequentemente desprezada, é aqui designada por

sp sp

sp R

R′ =β . (2.19)

Ao coeficiente β dá-se o nome de factor de emissão espontânea. O termo _sp R′ encontra-se _sp

relacionado com o ganho G. Efectivamente, tem-se

G n

Rsp′ = sp (2.20)

em que n é o coeficiente de inversão da população já introduzido anteriormente através da _sp

Eq. (1.17).

Nestas circunstâncias, as equações das taxas escrevem-se

a sp st R R R dt dS _{= + ′ −} (2.21a) t p R R dt dN _{= −} . (2.21b)

ou, de forma mais explícita, p sp S R S G dt dS τ − ′ + = (2.22a) c N S G q I dt dN τ − − = . (2.22b)

Embora, de acordo com a Eq. (2.13), τ seja uma função de _c N, é usual considerar este valor como uma constante. Para resolver as Eqs. (2.22) há que determinar de que forma o ganho G

3. Regime estacionário

Nesta secção vai-se analisar o regime estacionário, em que

0 = = dt dN dt dS . (3.1)

Todas as grandezas com subíndice zero referem-se, doravante, ao regime estacionário.

Assim, em regime estacionário, obtêm-se das Eqs. (2.21)

p sp sp S R S G τ = β + (0) 0 0 0 (3.2a) q I N S G c 0 0 0 0 + _τ = (3.2b)

em que se considerou, como é habitual, que β e _sp τ são constantes e onde _c (0) sp

R representa a

taxa de recombinação espontânea em regime estacionário. O ganho ou taxa elementar líquida de emissão estimulada foi definido através da Eq. (2.6). Este ganho relaciona-se com: (i) o coeficiente de ganho da zona activa – através da Eq. (1.37); (ii) o coeficiente de ganho do dispositivo – através da Eq. (2.5).

Em geral a função G=G

(

N,S

)

é uma relação não-linear. No entanto, por motivos pedagógicos, vamos começar por analisar o caso mais simples do modelo linear em que se admite que G apenas varia com N , i.e., não depende do número de fotões.

3.1 Modelo linear

No modelo linear supõe-se que o ganho é dado por

( )

N Ga Gb

(

N N

)

Gb

(

N Nt

)

em que, de acordo com a nossa convenção, N0 representa a população de electrões em

regime estacionário.

Considerando 0βsp = , resulta da Eq. (3.2a) que

0 1 0 0 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ − S G p . (3.4)

Logo, quando o laser está a emitir

(

S₀ >0

)

, infere-se da Eq. (3.4) que

p G

τ = 1

0 . (3.5)

Esta é, portanto, uma forma diferente de se chegar à Eq. (1.39) – a condição de oscilação.

No âmbito deste modelo, a população de electrões é constante (i.e., não depende da corrente de injecção). De facto, sendo G conhecido, resulta da Eq. (3.3) que ₀ N₀ ≡ N_th, com

p b t th G N N τ + = 1 . (3.6)

A Eq. (3.6) só é válida, porém, quando o laser está a emitir (i.e., quando S₀ >0). No caso contrário, em que S₀ =0, tira-se da Eq. (3.2b) que

0

0 I

q N = τc

No limiar de oscilação (em inglês: threshold) a população de electrões atinge o valor N _th

dado pela Eq. (3.6). Deste modo, a corrente de limiar será

c th th N q I τ = (3.8)

de acordo com a Eq. (3.7). Agora, usando a Eq. (3.2b), tira-se que

(

th

)

p I I q S₀ = τ ₀ − . (3.9)

pelo que a emissão de fotões aumenta linearmente com a corrente de injecção. Nas Figs. 3 e 4 representam-se, respectivamente, as populações de electrões e de fotões em função da corrente de injecção.

Fig. 3 Variação do número de electrões com a corrente de injecção no modelo linear. Nth I0 N0 Ith 0 0

Fig. 4 Variação do número de fotões com a corrente de injecção no modelo linear.

Estas conclusões têm de ser revistas quando não se despreza o factor β de emissão _sp espontânea. Assim, da Eq. (3.3), vem G₀ =G_a e

b t G G N N 0 0 = + . (3.10)

Por outro lado, da Eq. (3.2a), tira-se que

p sp sp p G R S τ − β τ = 0 ) 0 ( 0 1 . (3.11) Então, definindo ) 0 ( sp sp p R a=τ β (3.12a) τpIth/q I0 S0 Ith 0 0 2Ith

infere-se que

δ = a

S₀ . (3.13)

Porém, como S₀ >0 e a>0, conclui-se da Eq. (3.13) que deverá ser, também, δ>0. Note-se que, uma forma alternativa de escrever a Eq. (3.12b), é a Note-seguinte:

p G τ δ − =1 0 . (3.14)

Da comparação entre as Eqs. (3.5) e (3.14) resulta que o ganho G diminui ligeiramente 0

quando se entra em consideração com o efeito de β . _sp

Assim, depois de introdizir a Eq. (3.14) na Eq. (3.10), obtém-se

p b th G N N τ δ − = 0 (3.15)

onde se manteve a definição de N através da Eq. (3.6). Agora, substituindo as Eqs. (3.14) e _th

(3.15) na Eq. (3.2b), tira-se que

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ δ + − τ δ − = c b th p G I I q S0 0 1 1 . (3.16)

Esta última equação é a correcção da Eq. (3.9) quanto se contabiliza o efeito do factor de emissão espontânea. De facto, quando β =0 é δ=0 e a Eq. (3.16) reduz-se à Eq. (3.9).

Note-se que, na escrita da Eq. (3.16), se continuou a considerar a definição de corrente de limiar da Eq. (3.8) – o que deve ser visto criticamente: quando se faz I0 =Ith na Eq. (3.16)

não se obtém S₀ =0. Efectivamente, é possível reescrever a Eq. (3.16) como

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − τ δ − = p _x I I q S_{0 0} 1 1 (3.17)

em que se introduziu a corrente

p c b th x G q I I τ τ δ − = . (3.18)

Mas, como δ depende da corrente I , a corrente 0 I não é a nova corrente de limiar. x

Agora, igualando a Eq. (3.16) à Eq. (3.13), vem

(

δ>0

)

0 2 2 + δ− = δ b c ⇒ δ=−b+ b2 +c (3.19) em que

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − τ + τ = th p c b I I q G b 1 0 2 (3.20a) a G c= _bτ_c . (3.20b)

3.2 Modelo não-linear

O modelo não-linear que aqui se vai adoptar é o seguinte:

(

)

(

)

S N N G G S N G a b ε + − + = 1 , 0 . (3.21)

Ao parâmetro ε>0 (adimensional) dá-se o nome de coeficiente de compressão do ganho. Os coeficientes G e a G são constantes características do dispositivo. Note-se que, neste modelo b

não-linear, os factores β e _sp ε podem ser da mesma ordem de grandeza – pelo que não é razoável desprezar, como no modelo linear, o factor de emissão espontânea.

No regime estacionário a corrente de injecção é contínua e vale I . O correspondente 0

ganho é, de acordo com a Eq. (3.21),

(

)

0 0 0 0 1 , S G S N G G a ε + = = . (3.22)

Substituindo a Eq. (3.22) na Eq. (3.2a) e introduzindo os parâmetros

p a G τ − = µ 1 (3.23a) ) 0 ( sp sp pβ R τ ε = ξ (3.23b) obtém-se

(

)

₀ 0 2 0 _ε = ξ − ξ − µ + εS S (3.24)

(

) (

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡_{ξ−µ + ξ−µ + ξ} ε = 4 2 1 2 0 S . (3.25)

Analogamente, substituindo a Eq. (3.22) na Eq. (3.2b), vem

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε + − τ = 0 0 0 0 1 S S G q I q N c a . (3.26) 3.3 Potência emitida

Uma vez determinada a população de fotões no interior da cavidade laser, é possível determinar a radiação emitida pelo oscilador laser.

A energia interna do laser, i.e., a energia correspondente à população de fotões no interior da cavidade, é dada por

( )

S0

E_i = =ω . (3.27)

Sendo vg a velocidade de grupo dos fotões na cavidade e αr =αm +αs a atenuação total,

tem-se

(

m s

)

g r g p v v α = α +α = τ 1 1 . (3.28)

p a r

τ

= 1 (3.29)

a que corresponde, tal como se viu anteriormente, uma taxa efectiva de aniquilação

p a a S S r R τ = = 0 0 . (3.30)

Porém, apenas α está associado à transmissão de fotões para o exterior (a radiação emitida m

pelas duas faces ou espelhos). Assim, devido à inclusão de α , a taxa elementar de saída de _s fotões não é rs = mas sim ra

(

m s

)

p m m g s v r α + α τ α = α = (3.31)

a que corresponde uma taxa efectiva de saída de fotões

0 S r

Rs = s . (3.32)

Seja P_t a potência total emitida pelo laser. Virá então

( )

R S0 E r P p s m m s i s t τ ω α + α α = ω = = = = . (3.33)

Porém, apenas uma fracção desta potência total representa uma potência útil. Seja η o parâmetro que dá conta da fracção de potência que sai através da face emissora do

transmissividade, seria η=1/2. Em geral essas duas transmissividades são diferentes: procura-se maximizar a transmissividade da face emissora e, simultaneamente, minimizar a transmissividade da face diametralmente oposta. Assim, na prática, deve ter-se 1>η>1/2. Designando por P_e a potência emitida útil (aquela que sai através da face considerada emissora), será então

0 S P P p s m m t e τ ω α + α α η = η = = (3.34)

de acordo com a Eq. (3.33).

A taxa de emissão total do laser define-se, deste modo, através da relação

p s m m t e S P R τ α + α α = ω = 0 = . (3.35)

A eficiência quântica externa do laser é, então, definida como

0 0 0 I S q I P q R R p s m m t p e e τ α + α α = ω = = η = . (3.36)

onde Rp = I0 /q é a taxa de injecção de electrões.

Sendo V0 a tensão aplicada ao dispositivo, a potência de alimentação – em regime

estacionário – é dada por

0 0I V

0 0 S P V q P P a p s m m e a t t τ ω α + α α = η ω = = η = = . (3.38)

de acordo com a Eq. (3.36).

Por vezes, na literatura, também se costuma definir uma responsividade diferencial do laser semicondutor como

0 I P R e d _∂ ∂ = . (3.39)

Atendendo à Eq. (3.34), vem

0 0 0 I S I P R p s m m e d ∂ ∂ τ ω α + α α η = ∂ ∂ = = . (3.40)

Define-se, ainda, a eficiência quântica diferencial

η ω = η d d R q = . (3.41)

3.4 Eficiência quântica interna

Nas expressões desta secção não figura explicitamente a eficiência quântica interna introduzida na Eq. (2.15).

Notando que, em regime estacionário, R_st =G₀S₀ e R=N₀/τ_c, infere-se da Eq. (2.15) que

[

0 0

]

) 0 ( 0 0 0 1 S G R S G N sp i c + η = + τ . (3.42)

Assim, atendendo a que Rsp =N0 /τsp )

0 (

, resulta das Eqs. (3.2b) e (3.43) que

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ η − η = sp i i qN I G q S 0 0 0 0 . (3.43)

A Eq. (3.43) é geral, i.e., não depende do modelo escolhido para o ganho. Desta equação tira-se que, no limiar de oscilação em que S0 =0, I0 =Ith com

sp i th th N q I τ η = . (3.44)

A Eq. (3.44) é, deste modo, também uma equação geral. Assim, tem-se

(

th

)

i I I G q S = η ₀ − 0 0 (3.45)

no caso geral, quando se contabiliza a eficiência quântica interna no cálculo do número de fotões.

Quando se pode considerar, com razoável aproximação, que Rst <<Rsp, tira-se da Eq.

Note-se, porém, que a Eq. (3.46) é exacta no limiar de oscilação em que R_st =G₀S₀ =0. Assim, é possível inferir da Eq. (3.46) a Eq. (3.8) para o caso geral.

Note-se agora que, da Eq. (3.45), se infere que

(

th

)

p

i I I

q

S₀ =η τ ₀ − (3.47)

de acordo, ainda, com a Eq. (3.5) – válida no modelo linear e quando se despreza o factor de emissão espontânea. Esta equação deve, portanto, considerar-se como uma correcção da Eq. (3.9) quando se contabiliza a eficiência quântica interna. Assim, no caso do modelo linear com 0β_sp = , obtém-se sucessivamente

s m m i d α + α α η = η (3.48a) q R s m m i d ω α + α α η η = = (3.48b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − η = η 0 1 I Ith d e (3.48c)

(

th

)

d e R I I P = ₀ − . (3.48d)

4. Modulação da corrente de injecção

No funcionamento em regime estacionário, o bombeamento do laser semicondutor é feito através de uma corrente de injecção I₀ contínua. Porém, do ponto de vista dos sistemas de comunicação óptica, o regime estacionário não tem grande interesse: o que interessa é analisar o que se passa quando a corrente de injecção I

( )

t é modulada directamente. Pretende-se, mais precisamente, averiguar de que forma a potência emitida Pe

( )

t varia com o

sinal aplicado à corrente de injecção.

Quando se modula a corrente de injecção, o sinal I

( )

t escreve-se na forma

( )

t I i

( )

t

I = 0 + . (4.1)

Define-se a profundidade de modulação m como

( )

[ ]

th I I t i m − = 0 max . (4.2) Analogamente,

( )

t S s

( )

t S = 0 + (4.3a)

( )

t N n

( )

t N = ₀ + . (4.3b)

Nesta secção apenas se considera o caso dos sinais fracos, i.e., admite-se sempre que

( )

t I0

O modelo não-linear do ganho pode, assim, ser desenvolvido em série em torno do ponto

(

N0, S0

)

correspondente ao regime estacionário. Escreve-se então, retendo unicamente os termos lineares do desenvolvimento,

(

N,S

)

G0 G

(

N N0

)

G

(

S S0

)

G = + _N − + _S − (4.5) em que

(

0 0

)

0 G N , S G = , 0 0,S N N N G G ∂ ∂ = , 0 0,S N S S G G ∂ ∂ = . (4.6)

Assim, de acordo com a notação das Eqs. (4.3), vem

( )

t G G n

( )

t G s

( )

t

G = 0 + N + S . (4.7)

Atendendo então à Eq. (3.21), obtém-se

0 1 S G G b N = _+ε ,

(

)

2 0 1 S G G a S ε + ε − = (4.8)

onde G₀ é dado pela Eq. (3.22).

Em regime de sinais fracos e quando se desprezam os termos de segunda ordem – tais como G_N n

( ) ( )

t s t –, resulta das Eqs. (2.22) que

(

S n

)

G s

( )

t

(

S n

)

G n

( )

t G dt ds N sp S sp p + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + τ − = ₀ 1 _{0 0} (4.9a)

( ) (

G G S

) ( )

s t G S n

( )

t q t i dt dn c N S ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + − + − = _{0 0 0} 1 (4.9b)

onde se consideraram ainda as Eqs. (3.2).

Como S0 >>nsp e, de acordo com a Eq. (3.10), G0 = /1 τp, as Eqs. (4.9) podem ser

escritas na forma mais simples

( )

t G S n

( )

t s dt ds N S + 0 Γ = (4.10a)

( )

_{( )}

_{( )}

t n t s S G q t i dt dn N p S ⎟⎟ −Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ + − = 0 1 (4.10b)

onde se introduziram, ainda, os coeficientes

c b c N N S S G S G τ + ε + = τ + = Γ 1 1 1 0 0 0 (4.11a)

(

)

2 0 0 0 1 S S G S G a S S ε + ε − = = Γ . (4.11b)

Quando se adopta o modelo linear, basta fazer GS =ΓS =0 e GN =Gb nas Eqs. (4.10).

As Eqs. (4.10) permitem analisar a modulação da corrente de injecção em regime de sinais fracos. Estas equações podem ser resolvidas numericamente. Nesta secção, porém, interessa-nos conhecer a resposta no domínio da frequência. Assim, introduzindo as transformadas de Fourier apropriadas, iremos converter este sistema de equações diferenciais num sistema algébrico de fácil resolução analítica.

( )

_∫

∞

( ) ( )

∞ − ω = ω i t i t dt i exp ~ (4.12a)

( )

_∫

∞

( ) (

)

∞ − ω ω − ω π = i i t d t i ~ exp 2 1 . (4.12b)

Definições análogas poderiam ser feitas para s~

( )

ω e n~

( )

ω . Então, no domínio da frequência, as Eqs. (4.10) convertem-se no sistema algébrico

( )

ω =Γ

( )

ω +

( )

ω ω −i ~s S s~ GN S0n~ (4.13a)

( )

( )

_⎟⎟

( )

ω −Γ

( )

ω ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ + − ω = ω ω − G S s n q i n i N p S ~ ~ 1 ~ ~ 0 . (4.13b)

Da Eq. (4.13a) tira-se que

( )

ω =−Γ + ωs

( )

ω S G i n N S ~ ~ 0 . (4.14)

Após substituir a Eq. (4.14) na Eq. (4.13b), vem

( )

_{( ) ( )}

ω ω = ω i D q S G s N / ~ ~ 0 (4.15) em que

( )

(

)

2 0 0 1 ω − Γ − Γ ω − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Γ Γ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ + = ω N S N S p S N S G S i G D . (4.16)

Definindo

( )

(

2 2

)

2 2 ωΓ −ω − Γ + Ω = ω R R i R D (4.17)

facilmente se verifica que

(

N S

)

R = Γ −Γ Γ 2 1 (4.18a) 2 0 0 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Γ +Γ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ + = Ω N S p S N R G S G S . (4.18b)

Note-se que, de acordo com a Eq. (4.17), se tem

( ) (

[

R

)

i R

]

[

(

R

)

i R

]

D ω = Ω +ω + Γ Ω −ω − Γ . (4.19)

Definindo a responsividade espectral

( )

( )

_{( )}

ω ω = ω i s R _~ ~ ~ (4.20)

infere-se da Eq. (4.15) que

( )

_{( )}

₍

₎₍

₎

R R R R N N i i q S G D q S G R Γ − ω − Ω Γ + ω + Ω = ω = ω / / ~ 0 0 . (4.21)

( )

( )

( )

_{( )}

0 ~ ~ R R H ω = ω (4.22) obtém-se

( ) (

R R

)(

R R

)

R R i i H Γ − ω − Ω Γ + ω + Ω Γ + Ω = ω 2 2 . (4.23) Atendendo a que

( )

2

(

2 2 2

)

2 2 2 4 R R R Dω = Ω +Γ −ω + ω Γ (4.24) conclui-se que

( )

(

2 2 2

)

2 2 2 2 2 4 _R R R R R H Γ ω + ω − Γ + Ω Γ + Ω = ω (4.25)

donde se infere que

( )

1 lim

0 ω =

→

ω H , ωlim→∞ H

( )

ω =0. (4.26)

Para determinar a frequência em que ocorre o máximo de H

( )

ω , faz-se y=ω2. Então, de

( )

{

D y 2

}

=−2

(

ΩR2 +ΓR2 −y

)

+4ΓR2 =0 dy d (4.27) vem 2 2 max = ΩR −ΓR ω (4.28) pelo que

(

)

R R R R H Γ Ω Γ + Ω = ω 2 2 2 max . (4.29)

A largura de banda a 3dB da modulação do laser semicondutor é, por definição, a

frequência para a qual H

(

ω3dB

)

=1/2. Facilmente se verifica que

(

)

3

(

)

0 2 2 2 2_3dB 2 2 2 4 dB 3 − Ω −Γ ω − Ω +Γ = ω _{R R R R} . (4.30)

Como 0ω23dB > , infere-se que

(

2 2

)

4 4 2 2

2 dB

3 = ΩR −ΓR +2 ΩR +ΓR +ΩRΓR

ω . (4.31)

Na prática, como Γ_R <<Ω_R, tem-se

R

Ω ≈

Fig. 5 Resposta em frequência do laser semicondutor.

Por outro lado, atendendo a que

S N p S N R R G S G S ⎟⎟−Γ Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ + = Γ + Ω2 2 _{0 0} 1 (4.32) conclui-se que p N R S G τ ≈ Ω 0 (4.33)

uma vez que GS e Γ estão associadas ao parâmetro S ε da não-linearidade.

Na Fig. 5 representa-se a resposta em frequência do laser semicondutor, em que se

1 9 − × = Γ _{Ω =π×} 10 −1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f [GHz] |H (f )| [dB]

Consideremos, a título de exemplo, o caso da modulação sinusoidal da corrente de injecção com

( )

t I

(

t

)

i = _msin ω_m . (4.34) Dado que

( )

( )

∫

∞ ∞ − πδ = x du ixu 2 exp , (4.35) verifica-se que

( )

i Im

[

(

m

) (

m

)

]

i ω = π δω−ω −δω+ω ~ . (4.36)

Assim, atendendo à definição de responsividade espectral da Eq. (4.20), vem

( )

ω =iπI

[

δ

(

ω−ω

) (

−δω+ω

)

] ( )

R ω

s _{m m m} ~

~ _{. (4.37)}

Para a transformada inversa, obtém-se

( )

t i I

[

R

( ) (

i t

) (

R

) (

i t

)

]

s = _m ~ω_m exp − ω_m − ~ −ω_m exp ω_m

2 . (4.38)

De acordo com a Eq. (4.21), é

( )

−ω = ∗

( )

ω

R

R~ ~ (4.39)

pelo que se pode escrever

Então, fazendo

( )

ω = R

( )

ω

[

−iθ

( )

ω

]

R~ ~ exp (4.41) vem ainda

( )

t Sm

(

mt m

)

s = sin ω +θ (4.42) em que θ_m =θ

( )

ω_m e onde

( )

m m m R I S = ~ ω . (4.43) Assim,

(

2 2 2

)

2 2 2 0 4 / R m m R R m N m q S I G S Γ ω + ω − Γ + Ω = , (4.44a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ − Ω − ω Γ ω = θ − 2 2 2 1 2 tan R R m R m m . (4.44b)

5. Desvio dinâmico de frequência (

chirp

)

Na secção anterior analisou-se o problema da modulação directa da corrente de injecção. Nesta secção vai-se mostrar que os sinais ópticos, emitidos pelo laser semicondutor, apresentam um desvio dinâmico de frequência que, doravante, designaremos simplesmente por chirp. Como o chirp é um efeito devido à modulação directa da corrente de injecção, utilizam-se alguns dos resultados anteriores relativos ao caso particular da modulação sinusoidal.

Comecemos por notar que, se

E

designar o campo eléctrico emitido pelo laser, então

(

− Φ

)

=

E

exp i

E

, (5.1)

tendo-se S∝

E

2. Pode demonstrar-se que a fase Φ varia no tempo de acordo com a expressão1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ − β = Φ p c G dt d 1 2 1 (5.2)

em que β é um parâmetro característico do laser, que designaremos por factor de Henry. _c Quando se estudar a propagação de impulsos numa fibra óptica vai-se utilizar um parâmetro adimensional C para caracterizar o chirp. Esse parâmetro é o simétrico do factor de Henry, i.e.,

c

C =−β . (5.3)

Na literatura é, também, frequente chamar a β o factor de alargamento da risca espectral do _c laser. Note-se que β é intrinsecamente positivo. Tipicamente _c β_c ~4−6, embora para os lasers de poços quânticos β possa ser substancialmente menor. _c

1

Substituindo a Eq. (4.7) na Eq. (5.2), vem

( )

t n G dt d N c β = Φ 2 1 , (5.4)

onde se considerou válida a Eq. (3.5) para G e se desprezou 0 G . S

No domínio das transformadas de Fourier, resulta da Eq. (5.4) que

( )

ω = β

( )

ω Φ ω −i cGN n~ 2 1 ~ . (5.5)

Então, substituindo a Eq. (4.13) nesta última expressão, obtém-se (desprezando Γ ) S

( )

ω = β

( )

ω Φ s S c ~ 2 ~ 0 , (5.6)

donde resulta que

( )

s

( )

t S t c 0 2 β = Φ . (5.7)

A Eq. (5.7) é particularmente útil quando se conhece s

( )

t . Por exemplo, no caso da modulação sinusoidal analisado na secção anterior, tira-se – atendendo à Eq. (4.42) – que

( )

t =Φm

(

ωmt+θm

)

Φ sin , (5.8) onde 0 2 S Sm c m β = Φ . (5.9)

(

2 2 2

)

2 2 2 4 2 / R m m R R m N c m q I G Γ ω + ω − Γ + Ω β = Φ . (5.10)

A uma fase variável no tempo corresponde um chirp f

( )

t tal que

( )

dt d t f Φ π = 2 1 . (5.11)

No caso particular da Eq. (5.8), vem assim

( )

t fc

(

mt m

)

f = cosω +θ , (5.12) em que

(

2 2 2

)

2 2 2 4 4 / R m m R R m m N c c q I G f Γ ω + ω − Γ + Ω π ω β = , (5.13)

de acordo com a Eq. (5.10). O chirp é tanto mais importante quanto maior for β e, também, c

quanto maior for I . Quando se tem _m Γ_R <<Ω_R, resulta da Eq. (5.13) que

2 2 4 _{R m} m m N c c q I G f ω − Ω π ω β ≈ . (5.14)

Portanto, f tem um máximo pronunciado em _c ω_m ≈Ω_R e varia inversamente com Ω , pelo 2_R que f diminui com o aumento da componente dc da corrente, i.e., com c I . 0

Quando não se tem m<<1, deve considerar-se a Eq. (5.4). Vem então

( )

t G n

( )

t f c N π β = 4 (5.15)

Até aqui não se considerou o ruído no estudo dos lasers semicondutores. Não obstante, mesmo se não existirem flutuações na corrente de injecção, a saída de um laser semicondutor exibe flutuações de intensidade, fase e frequência. Existem duas causas fundamentais que justificam estas flutuações: (i) a emissão espontânea, uma vez que é uma emissão não-coerente; (ii) o ruído quântico associado à recombinação dos electrões com as lacunas (“shot noise”). O ruído devido à emissão espontânea é, todavia, o factor dominante.

Uma das consequências mais importantes do ruído nos lasers semicondutores é o alargamento da risca espectral emitida. Sendo β o factor de Henry, introduzido na Eq. (5.2), c

a largura da risca espectral emitida será dada por

(

)

0 2 1 f f = +β_c ∆ ∆ (5.16) em que S R S R f sp sp sp π β = π ′ = ∆ 4 4 0 . (5.17)

O alargamento da risca espectral é provocado pelo ruído de fase. O ruído de intensidade, porém, acarreta uma determinada relação sinal-ruído SNR (signal-to-noise ratio) para o laser semicondutor. Tem-se

sp sp R R S β Γ = 2 SNR (5.18)

Theodore H. Maiman (1927-)

Primeiro físico a demonstrar, em 1960, o funcionamento de um laser (de rubi)

ADENDA – Sistema amplificador laser

Num sistema laser os átomos (ou as moléculas) ocupam, de acordo com a mecânica quântica, níveis de energia bem definidos. Num laser semicondutor, porém, os níveis de energia encontram-se tão próximos uns dos outros que se agrupam em bandas.

Nesta adenda, como forma de introduzir alguns conceitos fundamentais da amplificação laser, apenas se considera o caso dos amplificadores laser não-semicondutores com dois níveis de energia.

Quando um átomo transita de um nível de energia E2 para um nível de energia E1

(com E2 >E1), é emitido um fotão de energia

ω = − ₁ =

2 E

E . (I.1)

Seja N₁ (resp., N₂) a densidade populacional, em m−3, do nível de energia E₁ (resp., E₂). De acordo com a estatística de Maxwell-Boltzmann, tem-se

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = T k E E N N B 1 2 1 2 exp (I.2)

desde que o sistema se encontre em equilíbrio termodinâmico à temperatura (absoluta) T . Isto significa que N2 <N1.

Existem três processos básicos de transição entre níveis de energia envolvendo a interacção entre fotões e átomos: (i) a emissão espontânea; (ii) a absorção; (iii) a emissão

(espontânea ou estimulada) correspondem a transições 2→1, enquanto que a absorção é uma transição 1→2.

Na emissão estimulada os fotões emitidos são clones dos fotões incidentes, i.e., têm a mesma direcção, polarização e frequência dos fotões incidentes. Trata-se, portanto, de uma emissão coerente. Na emissão espontânea, pelo contrário, a radiação não é coerente: tem banda larga, é emitida omnidireccionalmente e sem polarização definida.

Designemos por R a taxa (na unidade de tempo) de emissão espontânea. Então, tem-_sp

-se 2 2 N R dt dN sp − = . (I.3)

É costume definir-se o tempo de vida da emissão espontânea como

sp sp R 1 = τ . (I.4)

Nestas condições, em vez da Eq. (I.3), escreve-se

sp N dt dN τ − = 2 2 . (I.5)

Analogamente, se se introduzir a taxa R de absorção, virá ab

1 2 N R dt dN ab = . (I.6)

No caso da emissão estimulada, se for R a respectiva taxa, tem-se st

2 2 N R dt dN st − = . (I.7)

i st

ab R W

R = = , (I.8)

em que W é a taxa de transições induzidas. No caso da luz presente na cavidade laser ser de i

banda larga, a taxa de transições induzidas é dada por

sp sp i S R S W τ = = , (I.9)

em que S é o número médio de fotões correspondente a cada modo de oscilação na cavidade laser. Resulta então das Eqs. (I.5)-(I.9) que

(

)

[

1 2 2

]

2 1 N S N N dt dN sp − − τ = . (I.10)

Em regime estacionário, vem então

S S N N + = 1 1 2 . (I.11)

Porém, de acordo com a Eqs. (I.1) e (I.2), tem-se

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω − = T k N N B = exp 1 2 (I.12)

em equilíbrio termodinâmico. Logo, das Eqs. (I.11) e (I.12), obtém-se

1 exp 1 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω = T k S B = . (I.13)

Se designarmos por E a energia média de um modo de oscilação em equilíbrio

termodinâmico, será então E = =

( )

ω S , donde se tira que

1 exp _⎟⎟− ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω = T k E B = = . (I.14)

Esta equação foi descoberta por Planck em 1900. Se multiplicarmos E pela densidade volúmica de modos M

( )

f , obtemos a densidade espectral de energia por unidade de volume

( )

f ρ em JHz−1m−3. Atendendo a que

( )

8 ₃3 2 c f n f M = π , (I.15)

onde n é o índice de refracção dentro da cavidade laser, então

( )

1 exp 8 3 2 3 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π = ρ T k f h f h c f n f B . (I.16)

A Eq. (I.16) é conhecida, na literatura, por lei de radiação do corpo negro. Esta lei resulta da suposição de que toda a radiação emitida (sob a forma de emissão espontânea ou estimulada) é absorvida – tal como acontece num corpo negro.

Definindo o fluxo monocromático φ de fotões, em m−2s−1, a correspondente intensidade óptica, em Wm−2, é dada por

( )

ω φ = =

I . (I.17)

A taxa de transições induzidas relaciona-se com o fluxo de fotões através de

( )

ω σ φ = i W , (I.18)