DCC008_Aula06_Interpolacao.pdf

(1)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao Forma de Lagrange Diferen¸cas divididas Forma de Newton Erro na Interpola¸c˜ao

Interpola¸c˜ao Polinomial

DCC008 - C´alculo Num´erico

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao Forma de Lagrange Diferen¸cas divididas Forma de Newton Erro na Interpola¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Forma de Lagrange

3 Diferen¸cas divididas

4 Forma de Newton

(3)

Num´erico -UFJF Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange Diferen¸cas divididas Forma de Newton Erro na Interpola¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

(4)

Introdu¸c˜ao

Suponha que temos um

conjunto de pontos

x0,x1, . . . ,xn e os valores de

uma fun¸c˜ao f(x) nestes pontos

y0 =f(x0), . . . ,yn=f(xn).

Interpolar a fun¸c˜aof(x) nos pontosx1, . . . ,xn consiste em

aproxim´a-la por uma fun¸c˜ao

g(x) tal que:

g(x0) =y0 . . .

(5)

Introdu¸c˜ao

• Iremos supor que a fun¸c˜ao interpolante g(x) ´e um

polinˆomio.

• Porque polinômios? Polinômios são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são também polinômios, e etc.

• A interpola¸cão polinomial é usada para aproximar uma fun¸cão f(x), principalmente, nas seguintes situa¸cões:

• Não conhecemos a expressão anal´ıtica def(x). Isto é, somente conhecemos o valor da fun¸cão em um conjunto de pontos (isso ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais).

(6)

Introdu¸c˜ao

• O problema geral da interpola¸c˜ao por meio de polinˆomios consiste em, dadosn+ 1 pontos distintos

x0, x1, . . . , xn

e n+ 1 n´umerosy0, y1, . . . , yn, valores de uma fun¸c˜ao

y =f(x) em x0,x1, . . . ,xn, isto ´e

y0 =f(x0), y1 =f(x1), . . . yn=f(xn) • Determinar um polinˆomio Pn(x) de grau no m´aximo n tal

que:

Pn(x0) =y0, Pn(x1) =y1, . . . Pn(xn) =yn

(7)

Introdu¸c˜ao

• Sendo assim, procuramos um polinˆomio na forma:

Pn(x) =a0+a1x+a2x2+. . .+anxn

• Para isso ´e preciso encontrar os coeficientes a0,a1, . . .an

de tal forma que Pn(x) satifa¸ca

Pn(x0) =a0+a1x0+a2x02+. . .+anx0n=y0

Pn(x1) =a0+a1x1+a2x12+. . .+anx1n=y1

.. .

(8)

Numérico -UFJF Introdu¸cão Forma de Lagrange Diferen¸cas divididas Forma de Newton Erro na Interpola¸cão

Introdu¸c˜ao

• Escrevendo de forma matricial temos



   

1 x0 x02 . . . x0n

1 x1 x12 . . . x1n

..

. ... ... ...

1 xn xn2 . . . xnn

          a0 a1 .. . an      =      y0 y1 .. . yn     

• A matriz de coeficientes ´e chamada de

Matriz de Vandermonde. Sabe-se que det(A)₆= 0 desde que os pontos x0,x1, . . . ,xn sejamdistintos.

Teorema

Dadosn+ 1 pontos distintosx0,x1, . . . ,xn e seus valores

y0 =f(x0),y1=f(x1), . . . ,yn =f(xn), existe um ´unico

(9)

Exemplo: Interpola¸c˜ao linear

Este exemplo consiste em encontrar a reta que passa pelos pontos (x0,y0) e (x1,y1). Existe uma ´unica reta que passa por

esses pontos. Ent˜ao procuramos

P1(x) =a0+a1x

tal que

(i) P1(x0) =a0+a1x0 =y0

(ii) P1(x1) =a0+a1x1 =y1

De (i) temos quea0 =y0−a1x0. Substituindo em (ii) temos

que

(10)

Exemplo: Interpola¸c˜ao linear

Como

a0 =y0−a1x0

a1 =

y1−y0

x1−x0

temos

P1(x) =a0+a1x

P1(x) =y0−

y1−y0

x1−x0

x0+

y1−y0

x1−x0

x

P1(x) =y0+

y1−y0

x1−x0

(x₋x0)

Basta avaliarP1(x) em x=x0 e x=x1 para verificar que de

(11)

Exemplo

Exemplo de interpola¸c˜ao linear Dada a seguinte tabela

x 1 1.1 1.2 1.3

tan (x) 1.5574 1.9648 2.5722 3.6021

use interpola¸c˜ao linear para estimar o valor de tan (1.15).

Assim

(x0,y0) = (1.1,1.9648), (x1,y1) = (1.2,2.5722)

(12)

Resultado da interpola¸c˜ao linear

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y

x

(13)

Resultado da interpola¸c˜ao linear

(

zoom

)

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y

(14)

Matriz de interpola¸c˜ao

De forma geral, dados (xi,yi) parai = 0,1, . . . ,n, para

encontrar o polinˆomio Pn(x), precisamos resolver o sistema de

equa¸c˜oes lineares     

1 x0 x02 . . . x0n

1 x1 x12 . . . x1n

..

. ... ... ...

1 xn xn2 . . . xnn

          a0 a1 .. . an      =      y0 y1 .. . yn     

(15)

Exemplo

x -1 0 1

f(x) 0.54 1 0.54

(16)

Exemplo

x -1 0 1

f(x) 0.54 1 0.54

Vamos encontrar o polinˆomio de grau _≤2 que interpola estes pontos.

Solu¸c˜ao

a0+a1(−1) +a2(−1)2= 0.54

a0+a1(0) +a2(0)2= 1.00

(17)

Exemplo

Solu¸c˜ao  

1 ₋1 ₋12

1 0 02

1 1 12

    a0 a1 a2  =  

0.54 1 0.54





Resolvendo este sistema encontramos quea0= 1, a1= 0 e

a2 =−0.46 e portanto

(18)

Observa¸c˜oes Importantes

• Veremos formas mais simples de se obter o polinˆomio interpolante, sem a necessidade de resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares.

(19)

Exercicios

1) Conhecendo a seguinte tabela:

x -1 0 3

f(x) 15 8 -1

(20)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Diferen¸cas divididas Forma de Newton Erro na Interpola¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

(21)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Para ilustrar a id´eia vamos come¸car com um exemplo onde temos trˆes pontos distintos (x0,y0),(x1,y1) e (x2,y2).

Queremos encontrar o polinˆomio

P2(x) =a0+a1x+a2x2

que satisfaz

P2(xi) =yi, i = 0,1,2

(22)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Uma fórmula para encontrar tal polinômio é a seguinte:

P2(x) =y0L0(x) +y1L1(x) +y2L2(x)

onde

L0(x) = _(x(x₀−−xx11)(x)(x0−−xx22)) L₁(x) = (x−x0)(x−x2)

(x1−x0)(x1−x2) L2(x) = _(x(x₂₋−x_x0₀)(x_)(x₂−₋x_x1₁)₎

As fun¸cõesL0(x),L1(x) eL2(x) são chamadas defun¸cões de

(23)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(24)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Essas fun¸c˜oes possuem a seguinte propriedade

Li(xj) =

(

1 sei =j

0 sei ₆=j

parai,j = 0,1,2. E ainda, cada uma possui grau 2.

ConsequentementeP2(x) tem grau≤2 e assim fica claro que

este polinˆomio interpola os dados, pois

P2(x0) =y0L0(x0)

| {z }

=1

+y1L1(x0)

| {z }

=0

+y2L2(x0)

| {z }

=0

=y0

P2(x1) =y0L0(x1) +y1L1(x1) +y2L2(x0) =y1

(25)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Interpola¸c˜ao Quadr´atica

Exemplo

Voltando ao exemplo anterior

x -1 0 1

f(x) 0.54 1 0.54

Assim

L0(x) =

(x−x1)(x−x2)

(x0−x1)(x0−x2)

= (x−0)(x−1) (−1−0)(−1−1) =

x(x−1) 2

L1(x) =

(x−x0)(x−x2)

(x1−x0)(x1−x2) =

(x+ 1)(x−1) (0 + 1)(0−1) =

x2−1

−1 = 1−x

(26)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Interpola¸c˜ao Quadr´atica

Exemplo - Forma de Lagrange - Interpola¸cão Quadrática Obtemos então

P2(x) =y0L0(x) +y1L1(x) +y2L2(x)

= (0.54)x(x−1)

2 + (1)(1−x

2_{) + (0}_.₅₄₎x(x+ 1)

2

= 0.54

2 x(x−1 +x+ 1) + 1−x

2

= 0.54x2+ 1₋x2

= 1₋0.46x2

(27)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Caso Geral

Vamos considerar que agora temosn+ 1 pontos:

(x0,y0), . . . ,(xn,yn)

e queremos encontrar um polinˆomio Pn(x) de grau ≤n que

interpola os pontos acima. Definindo os polinˆomios de Lagrange:

Li(x) =

(x₋x0)(x−x1). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn)

(xi−x0)(xi −x1). . .(xi −xi−1)(xi−xi+1). . .(xi −xn)

=

n

Y

j=0,j6=i

(x₋xj)

(xi−xj)

(28)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Exemplo

Forma de Lagrange

Dada a seguinte tabela

x 1 1.1 1.2 1.3

tan (x) 1.5574 1.9648 2.5722 3.6021

podemos construir polinˆomios interpoladores de grau

n= 1,2,3, com os seguintes n´os:

x0 = 1, x1= 1.1, x2= 1.2, x3= 1.3

Sem descrever a constru¸c˜ao temos os seguintes resultados

n 1 2 3

Pn(x) 2.2685 2.2435 2.2296

(29)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Forma de Lagrange - Algoritmo

Algoritmo 1:Forma de Lagrange

Entrada: n : n´umero de pontos

x,y : vetores dos dados

z : valor a interpolar

Sa´ıda: r : valor interpolado 1 r= 0 ;

2 parai = 1 at´e n fa¸ca 3 c = 1;

4 d = 1;

(30)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Forma de Lagrange

Exerc´ıcios

1) Considere a tabela:

x 1 3 4 5

f(x) 0 6 24 60

a) Determine o polinˆomio de interpola¸c˜ao, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.

b) Calculef(3.5)

2) Construir o polinômio de interpola¸cão, na forma de Lagrange, para a fun¸cãof(x) =sen(πx), escolhendo os pontos: x0= 0, x1 = 1/6, e x2 = 1/2 (Não se esque¸ca de

colocar sua calculadora em Radianos)

3) Calcular e3.1 usando a f´ormula de Lagrangesobre trˆes pontos e a tabela:

(31)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao Forma de Lagrange

Diferen¸cas divididas

Forma de Newton Erro na Interpola¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

(32)

Num´erico -UFJF

Diferen¸cas divididas

• Antes de estudarmos a forma de Newton para se obter o

polinˆomio interpolador, iremos apresentar o conceito de

operador de diferen¸ca dividida.

• Considere a fun¸c˜ao f(x). A diferen¸ca dividida deordem zero ´e simplesmente o valor de f no pontoxi

f[xi] =f(xi)

• Considere agora dois pontos distintos x0 ex1, definimos

f[x0,x1] =

f[x1]−f[x0]

x1−x0

= f(x1)−f(x0)

x1−x0

que ´e chamada de diferen¸ca dividida de primeira ordem de

(33)

Num´erico -UFJF

Diferen¸cas divididas

Podemos definir os operadores de diferen¸ca divida de ordem mais alta de formarecursiva:

• segunda ordem

f[x0,x1,x2] =

f[x1,x2]−f[x0,x1]

x2−x0 • terceira ordem

f[x0,x1,x2,x3] =

f[x1,x2,x3]−f[x0,x1,x2]

x3−x0 • n-´esima ordem

(34)

Num´erico -UFJF

Diferen¸cas divididas

• Observe que, do lado direito de cada uma das expressões de diferen¸ca dividida de ordem >1, precisamos aplicar sucessivamente a defini¸cão de diferen¸ca dividida até que os cálculos envolvam apenas o valor da fun¸cão nos pontos.

• Exemplo:

f[x0,x1,x2] =

f[x₁,x₂]₋f[x₀,x₁]

x2−x0

=

f(x2)−f(x1)

x2−x1 −

f(x1)−f(x0)

x1−x0 x2−x0

(35)

Num´erico -UFJF

Diferen¸cas divididas

PeloTeorema do Valor M´edio,

f(x1)−f(x0) =f′(c)(x1−x0)

para algumc entre x0 e x1. Ent˜ao

f[x0,x1] =f′(c)

(36)

Exemplo

Sejaf(x) = cos (x) ex0= 0.2 e x1 = 0.3. Ent˜ao

f[x0,x1] =

cos (x1)−cos (x0) x1−x0 =

cos (0.3)−cos (0.2)

0.3−0.2 =−0.2473. . .

Note que

f′

x0+x1

2

=₋sin

x0+x1

2

=₋0.2474. . .

isto ´e

f[x0,x1]≈f′

x0+x1

2

(37)

Num´erico -UFJF

Diferen¸cas divididas

Dada uma fun¸c˜aof(x) e um conjunto de pontos

x0,x1,x2,x3, . . . podemos usar o seguinte esquema para

calcular as suas diferen¸cas divididas.

xi f(xi) [xi,xj] [xi,xj,xk]

x₀ f[x₀] =f(x₀)

f[x₀,x1] =

f[x1]−f[x0]

x1−x0

x₁ f_[x₁_{] =}f₍x₁₎ f_[x₀,x1,x2] =

f[x1,x2]−f[x0,x1]

x2−x0

f[x₁,x2] =

f[x2]−f[x1]

x2−x1

x₂ f_[x₂_{] =}f₍x₂₎ f_[x₁,x2,x3] =

f[x2,x3]−f[x1,x2]

x3−x1

f[x₂,x3] =

f[x3]−f[x2]

x3−x2

x₃ f[x₃] =f(x₃) f[x₂,x3,x4] =

f[x3,x4]−f[x2,x3]

(38)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Sejaf(x) = cos (x), encontref[x0,x1,x2] ondex0 = 0.2,

x1 = 0.3,x2 = 0.4.

x f(x) ordem 1 ordem 2

0.2 0.980

f[x0,x1] = (0.955−0.98)/0.1 =−0.247

0.3 0.955 -0.475

f[x1,x2] = (0.921−0.955)/0.1 =−0.342

0.4 0.921

Observe que

1 2f

′′ x0+x1

2

= 1₂f′′(0.3) =₋1₂cos (0.3) =₋0.4777

(39)

Num´erico -UFJF

Diferen¸cas divididas

Analisandof[x0,x1] vemos que

f[x0,x1] =

f(x1)−f(x0)

x1−x0

= f(x0)−f(x1)

x0−x1

=f[x1,x0]

Ou seja, a ordem dex0 e x1 n˜ao importa. Podemos mostrar

que de forma geral

f[x₀, . . . ,xn] =

f[x1, . . . ,xn]−f[x1, . . . ,xn−1]

xn−x0

´e independente da ordem dos argumentos _{x0, . . . ,xn}, isto ´e

(40)

Num´erico -UFJF

Exerc´ıcios

1) Para a seguinte fun¸c˜ao tabelada:

x -2 -1 0 1 2

f(x) -2 29 30 31 62

(41)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao Forma de Lagrange Diferen¸cas divididas

Forma de Newton

Erro na Interpola¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

(42)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Considere que os dados sejam gerados de uma fun¸c˜aof(x)

yi =f(xi), i = 0,1, . . . ,n

Usando asdiferen¸cas divididas

f[x0,x1], f[x0,x1,x2], . . . f[x0, . . . ,xn]

podemos escrever polinˆomios interpoladores

P1(x), P2(x), . . . ,Pn(x)

de forma simples de calcular

P1(x) =f(x0) +f[x0,x1](x−x0)

(43)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Para o caso geral, temos

Pn(x) =f[x0] +f[x0,x1](x−x0)

+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1) +. . .

+f[x0, . . . ,xn](x−x0). . .(x−xn−1)

que podemos escrever de forma recursiva como

Pn(x) =Pn−1(x) +f[x0, . . . ,xn](x−x0). . .(x−xn−1)

Observa¸c˜oes:

• Desta forma, tendo em m˜aos um polinˆomio de grau

(44)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Polinˆomio interpolador na forma

de Newton

Polinˆomio interpolador na forma de Newton

Pn(x) =f[x0] +f[x0,x1](x−x0)

+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1) +. . .

+f[x0, . . . ,xn](x−x0). . .(x−xn−1)

é o polinômio de interpola¸cão da fun¸cãoy =f(x) sobre os pontosx0,x1, . . . ,xn, isto é,

(45)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exemplo Resolvido

Exemplo

Encontre o polinˆomio de grau_≤2 que interpola os dados:

x -1 0 1

(46)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exemplo Resolvido

Exemplo

Encontre o polinˆomio de grau_≤2 que interpola os dados:

x -1 0 1

f(x) 0.54 1 0.54

Solu¸c˜ao

Pela forma de Newton temos

-1 0.54 0.46 -0.46

0 1 -0.46

(47)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exemplo Resolvido

Solu¸c˜ao

-1 0.54 0.46 -0.46

0 1 -0.46

1 0.54

Logo o polinˆomio P2(x) na forma de Newton ´e dado por

P2(x) =f[x0]+f[x0,x1](x−x0) +f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)

= 0.54 + 0.46(x+ 1)₋0.46(x+ 1)(x₋0)

(48)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exemplo Resolvido

Exemplo de aplica¸c˜ao da forma de Newton Encontre o polinˆomio que interpola os dados

x 0.1 0.3 0.4 0.6

f(x) 0.3162 0.5477 0.6325 0.7746

(49)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exemplo Resolvido

Exemplo de aplica¸c˜ao da forma de Newton Encontre o polinˆomio que interpola os dados

x 0.1 0.3 0.4 0.6

f(x) 0.3162 0.5477 0.6325 0.7746

usando a forma de Newton e avalie no pontox= 0.2.

Solu¸c˜ao do Exemplo

x f(x) ordem 1 ordem 2 ordem 3

0.1 0.3162 1.158 -1.0333 1.1494

0.3 0.5477 0.848 -0.4583 0.4 0.6325 0.710

(50)

Exemplo Resolvido

Solu¸c˜ao

P3(x) = 0.3162

z }| { f[x0] +

1.158

z }| {

f[x0,x1](x− x0

|{z}

0.1

)

+

−1.0333

z }| {

f[x0,x1,x2](x− x0

|{z}

0.1

)(x₋ x1

|{z}

0.3

)

+

1.1494

z }| {

f[x0,x1,x2,x3](x− x0

|{z}

0.1

)(x₋ x1

|{z}

0.3

)(x₋ x2

|{z}

0.4

(51)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exemplo Resolvido

Solu¸c˜ao

P3(x) = 0.3162 + (1.158)(x−0.1) + (−1.033)(x−0.1)(x−0.3)

+ (1.1494)(x−0.1)(x−0.3)(x−0.4)

P3(x) = 1.1494x3−1.95252x2+ 1.789586x+ 0.1556172

Vamos avaliar o polinˆomio em x= 0.2

P₃_{(0.2) = 0.3162 + 1.158(0.2}₋_0.1)₋_1.033(0.2₋_0.1)(0.2₋_0.3)

(52)

Num´erico -UFJF

Forma de Newton

Exerc´ıcios

1) Seja a fun¸c˜ao tabelada:

x -2 -1 1 2

f(x) 0 1 -1 0

a) Determinar o polinˆomio de interpola¸c˜ao usando a formula de Newton.

b) Calcular f(0.5)

2) Dada a fun¸c˜ao tabelada:

x 0 1 1.5 2.5 3.0

f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286 0.25

a) Determinar o polinˆomio de interpola¸c˜ao na forma de Newton sobre 2 pontos (linear)

(53)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao Forma de Lagrange Diferen¸cas divididas Forma de Newton

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

(54)

Num´erico -UFJF

Erro na Interpola¸c˜ao

Estimativa do erro na interpola¸c˜ao

Sejamx0, . . . ,xn um conjunto de n+ 1 pontos distintos. Seja

f(x) uma fun¸cãon+ 1 continuamente diferenciável. Então, em qualquer pontox entre x0, . . . ,xno erro é dado por:

En(x) =f(x)−Pn(x) = (x−x0). . .(x−xn)

f(n+1)(ξ) (n+ 1)!

(55)

Num´erico -UFJF

Erro na Interpola¸c˜ao

• A importância do teorema do erro é mais teórica do que prática, visto que não conhecemos o pontoξ.

• Na prática para estimar o erro cometido ao aproximar o valor da fun¸cão em um ponto por seu polinômio

interpolador, usamos o seguinte resultado.

• SejaEn(x) =f(x)−Pn(x). Sef(x) e suas derivadas at´e

ordem n+ 1 s˜ao cont´ınuas em [a,b], ent˜ao:

|En(x)| ≤ |

x₋x0||x−x1|. . .|x−xn|

(n+ 1)! amax≤t≤b|f

(56)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Exemplo Dada a tabela

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

xe3x 0.0000 0,1350 0,3644 0,7379 1,3280 2,2408

(57)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Exemplo Dada a tabela

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

xe3x 0.0000 0,1350 0,3644 0,7379 1,3280 2,2408

calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando avaliamosf(0.25), onde f(x) =xe3x usando polinˆomio de interpola¸c˜ao desegundo grau

(58)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Solu¸c˜ao

Comof(t) =te3t, temos:

f′(t) =e3t+ 3te3t =e3t(1 + 3t)

f′′(t) = 3e3t(1 + 3t) + 3e3t = 6e3t+ 9te3t f′′′(t) = 18e3t+ 9e3t+ 27te3t = 27e3t(1 +t) Como queremos estimar o valor da fun¸cãof(x) =xe3x no ponto 0.25 usando o polinômio de segundo grau, demos tomar 3 pontos consecutivos nas vizinhansas de 0.25. Tomando então

x0 = 0.2,x1 = 0.3 ex2= 0.4 obtemos que:

max

x0≤t≤x2|

(59)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Solu¸c˜ao

Assim, para calcular o limitante superior:

|E2(x)| ≤ |

0.25₋x0||0.25−x1||0.25−x2|

3! 125.4998

≤ |0.25−0.2||0.25−0.3||0.25−0.4|

6 125.4998

|E2(x)| ≤0.0078≈8×10−3

(60)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Exemplo

Sejamf(x) =ex e o polinˆomio que interpola P1(x) nos pontos

(61)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Exemplo

Sejamf(x) =ex e o polinˆomio que interpola P1(x) nos pontos

x0,x1 ∈[0,1]. Estimar o erro para um ponto x entre x0 e x1.

Solu¸c˜ao do Exemplo Pela f´ormula do erro

|E1(x)| ≤ |x−x0||x−x1| max x∈[x0,x1]

f′′(x) 2

Considerando quex0<x1 e quef′′(x) =ex, temos que

max

x∈[x0,x1]

(62)

Num´erico -UFJF

Exemplo Resolvido

Solu¸c˜ao do Exemplo

|E1(x)| ≤ |x−x0||x−x1|e₂

Vamos calcular agora o maior valor que_|x₋x0||x−x1|pode

tomar no intervalo [x0,x1].

w(x) = (x₋x0)(x−x1)

w′(x) = (x₋x1) + (x−x0) = 0⇒x =

x0+x1

2

Considere quex1−x0=h, ent˜aox = x0+x₂0+h =x0+h₂. Logo

w(x0+h₂) = (x0+h₂ −x0)(x0+h₂ −x0−h) = h₂ −h₂=−h

2

4

(63)

Num´erico -UFJF

Exerc´ıcios

1) Considerando a fun¸c˜aof(x) =√x tabelada:

x 1.00 1.10 1.15 1.25 1.30

xe3x 1.000 1.048 1.072 1.118 1.140

a) Determinar o valor aproximado de√1.12 usando o polinˆomio de interpola¸c˜ao na forma de Newton sobre 3 pontos.

b) Calcular um limitante superior para este erro 2) Conhecendo-se a tabela:

x 0.8 0.9 1.0 1.1 1.3 1.5

cos(x) 0.6967 0.6216 0.5403 0.4536 0.2675 0.0707