Rectas no plano Rectas no espaço e em ℜ

Álgebra

g

Linear

e

Geometria

Analítica

Rectas no plano

Rectas

no

plano

Rectas no espaço e em

ℜ

Em

geometria

euclidiana:

2

pontos

definem

uma

recta

(u₁+v₁, u₂+v₂) (v₁,v₂)

(4 6)

(u₁+v₁, u₂+v₂) (4,6)

(v₁,v₂)

(‐3,2)

(4 6) (4,6)

u=(7,4)

Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?

É preciso encontrar uma condição a que obedeçam 

(ku₁,ku₂)

(u₁,u₂)

(ku₁,ku₂)

βu

(u₁,u₂)

u

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (‐3, 2) ponto

A   ( 3, 2)  ponto

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (‐3, 2) ponto

A   ( 3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (‐3, 2) ponto

A   ( 3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y)  ponto geral da recta

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (‐3, 2) ponto

A   ( 3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y)  ponto geral da recta

P = A + α u

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

P = A + α u

(x, y) = (‐3, 2) + α (7, 4) equação

(x, y)   ( 3, 2) + α (7, 4) equação 

vectorial

equações

⎨

⎧

x

=

−

3

+

7

α

q ç

paramétricas

⎩

⎨

₌

₊

_α

4

2

⎧

x

=

−

3

+

7

α

⎩

⎨

⎧

+

=

+

−

=

α

α

4

2

7

3

⎧

x

=

−

3

+

7

α

⎩

⎨

⎧

+

=

+

−

=

α

α

4

2

7

3

y

x

⎩

y

26

7

4

+

=

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (‐3, 2) ponto

A   ( 3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y)  ponto geral da recta

26

7

4

+

=

Como encontrar a tal condição?

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (‐3, 2) ponto

A   ( 3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y)  ponto geral da recta

26

7

4

+

=

−

x

y

Observemos:

Observemos:

A = (‐3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

u   (7, 4) vector

26

7

4

+

=

−

x

y

y

26

2

7

)

3

(

4

×

−

+

×

=

Observemos:

Observemos:

A = (‐3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

u   (7, 4) vector

26

7

4

+

=

−

x

y

y

26

2

7

)

3

(

4

×

−

+

×

=

−

(

)

0

4

7

7

4

×

+

×

=

−

4

×

7

+

7

×

4

=

0

Observemos:

Observemos:

A = (‐3, 2)  ponto

u = (7, 4) vector

u   (7, 4) vector

26

7

4

+

=

−

x

y

y

26

2

7

)

3

(

4

×

−

+

×

=

−

(

)

0

4

7

7

4

×

+

×

=

−

4

×

7

+

7

×

4

=

0

−

0

)

4

7

(

)

7

4

(

4

,

7

)

(

7

,

4

)

0

Equação geral da recta no plano:

Equação geral da recta no plano:

c

by

ax

+

by

=

c

Em geral:

Em geral:

A = (a₁, a₂)  ponto

u = (u₁, u₂) vector

u   (u₁, u₂) vector

Em geral:

Em geral:

A = (a₁, a₂)  ponto

u = (u₁, u₂) vector

u   (u₁, u₂) vector

(x, y) = (a₁, a₂) + α (u₁, u₂)

⎨

⎧

x

=

a

+

α

u

⎩

⎨

₌

₊

2

2

u

a

Em geral:

Em geral:

A = (a₁, a₂)  ponto

u = (u₁, u₂) vector

u   (u₁, u₂) vector

(x, y) = (a₁, a₂) + α (u₁, u₂)

⎨

⎧

x

=

a

+

α

u

Em geral:

Em geral:

A = (a₁, a₂)  ponto

u = (u₁, u₂) vector

u   (u₁, u₂) vector

(x, y) = (a₁, a₂) + α (u₁, u₂)

⎨

⎧

x

=

a

+

α

u

⎨ ⎧ ₌ − 1 1 u a x α

⎩

⎨

₌

₊

u

a

y

α

(

)

2

2 x a

u a

y − =

(

)

1 2

Em geral:

Em geral:

A = (a₁, a₂)  ponto

u = (u₁, u₂) vector

u   (u₁, u₂) vector

(x, y) = (a₁, a₂) + α (u₁, u₂)

(

)

1 2

2 x a

u u a

y − = −

1 u ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ +

= 2 2

Em geral:

Em geral:

A = (a₁, a₂)  ponto

u = (u₁, u₂) vector

u   (u₁, u₂) vector

(x, y) = (a₁, a₂) + α (u₁, u₂)

(

)

1 2

2 x a

u u a

y − = −

1 u ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ +

= 2 2

a u a x u y _⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ − + = ₁ 1 2 1 a u a x u y

Equação reduzida:

Equação

reduzida:

Diz

‐

se

que

temos

uma

equação

reduzida

d

t

l

ti

da

recta

no

plano

se

tivermos

uma

equação

q

ç

do

tipo:

p

Equação reduzida:

Equação

reduzida:

Diz

‐

se

que

temos

uma

equação

reduzida

d

t

l

ti

da

recta

no

plano

se

tivermos

uma

equação

q

ç

do

tipo:

p

u₂

θ

2

u

u

tg

=

θ

u 2

1

u

θ

Declive da recta:

Declive

da

recta:

2

u

θ

• A chama‐se declive da recta

1 2

u u tg

θ

Declive da recta:

Declive

da

recta:

2

u

θ

• A chama‐se declive da recta

1 2

u u tg

θ

⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ ₂ 2 u h u ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ − = = ₁ 1 2 2 1 2 a u a h u m

y

=

m

x

+

h

d li

m

declive

Declive da recta:

Declive

da

recta:

2

u

θ

• A chama‐se declive da recta

1 2

u u tg

θ

Rectas ortogonais:

Rectas

ortogonais:

A recta L definida por  { A + 

α

recta L’ definida por { B + 

α

f t i i t é 0

y = 2x + 2 y   2x + 2

9 1

2 9

2 1

+ −

Rectas

ortogonais:

g

Suporp  que:q

L definida por  { A + 

α

reduzida y = m x + h 

L’ definida por { B + 

α

reduzida y = m’ x + h’

ã l l ã

Se as rectas são ortogonais qual a relação  entre m e m’?

⎞ ⎛ u u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = ₁ 1 2 2 1 2 a u u a h u u m

Recta L:

Recta L’: ₌ 2 _{= ⎜⎜}⎛ 2 _⎟⎟⎞

'

' v h b v b m

Recta L : _⎟⎟

⎞ ⎛ u u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = ₁ 1 2 2 1 2 a u u a h u u m

Recta L:

Recta L’: ₌ 2 _{= ⎜⎜}⎛ 2 _⎟⎟⎞

'

' v h b v b m

Recta L : _⎟⎟

⎠ ⎜⎜ ⎝ − = = ₁ 1 2 1 b v b h v m

0

0

⇔

+

=

=

⋅

v

u

v

u

v

⎞ ⎛ u u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = ₁ 1 2 2 1 2 a u u a h u u m

Recta L:

Recta L’: ₌ 2 _{= ⎜⎜}⎛ 2 _⎟⎟⎞

'

' v h b v b m

Recta L : _⎟⎟

⎠ ⎜⎜ ⎝ − = = ₁ 1 2 1 b v b h v m

⇔

=

+

⇔

=

⋅

v

0

u

v

u

v

0

⎞ ⎛ u u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = ₁ 1 2 2 1 2 a u u a h u u m

Recta L:

Recta L’: ₌ 2 _{= ⎜⎜}⎛ 2 _⎟⎟⎞

'

' v h b v b m

Recta L : _⎟⎟

⎠ ⎜⎜ ⎝ − = = ₁ 1 2 1 b v b h v m

⇔

=

+

⇔

=

⋅

v

0

u

v

u

v

0

u

1

'

1

m

m

v

v

u

u

−

=

⇔

−

=

⇔

'

2

v

m

Ângulo de duas rectas:

Ângulo

de

duas

rectas:

O

ângulo

de

duas

rectas

é

igual

â

l

t

ao

menor

ângulo

entre

os

vectores que definem a direcção

vectores

que

definem

a

direcção

Posição relativa de duas rectas:

Posição

relativa

de

duas

rectas:

Duas

rectas

no

plano

podem

ser:

P

l l

•

Paralelas

•

Coincidentes

•

Coincidentes

•

Concorrentes:

Concorrentes:

Posição relativa de duas rectas:

Posição

relativa

de

duas

rectas:

Posição relativa de duas rectas:

Posição

relativa

de

duas

rectas:

Como

reconhecer

cada

caso?

0

:

ax

+

by

+

c

=

r

recta

0

'

'

'

:

a

x

+

b

y

+

c

=

s

Posição relativa de duas rectas:

Posição

relativa

de

duas

rectas:

Como

reconhecer

cada

caso?

0

:

ax

+

by

+

c

=

r

recta

0

'

'

'

:

a

x

+

b

y

+

c

=

s

recta

⎨

⎧

ax

+

by

+

c

=

0

⎩

⎨

₊

₊

₌

0

'

'

⎧

ax

+

by

+

c

=

0

⎩

⎨

⎧

=

+

+

+

+

0

'

'

'

0

c

y

b

x

a

c

by

ax

⎩

1º caso:  sistema possível e determinado: as rectas 

são concorrentes

2º caso: sistema impossível: as rectas são paralelas

2  caso:  sistema impossível: as rectas são paralelas

3º caso: sistema indeterminado: as rectas são 

Rectas em

ℜ

Rectas

em

ℜ

Para definir uma recta são necessários:

• 2 pontos2 pontos

ou

P + u

L’ = {P + αu} P + u

P

L = {0 + αu}

u

L = {0 + αu}

Equações de rectas no espaço:

Equações

de

rectas

no

espaço:

L = {P + αu} 

Equações de rectas no espaço:

Equações

de

rectas

no

espaço:

L = {P + αu} 

com P = (p₁, p₂, p₃) e u = (u₁,u₂,u₃) com P   (p₁, p₂, p₃) e u   (u₁,u₂,u₃)

⎧ x p +

α

⎪ ⎨ ⎧ + = + = 2 2 1 1 u p y u p x

α

α

= _{3 3}

Equações de rectas no espaço:

Equações

de

rectas

no

espaço:

L = {P + αu} 

com P = (p₁, p₂, p₃) e u = (u₁,u₂,u₃) com P   (p₁, p₂, p₃) e u   (u₁,u₂,u₃)

⎧

⎪

⎧ x = p1 +

α

⎪ ⎧ ₋ = 1 1 u p x

α

= _{2 2}

1 1 u p y p

α

⎨ = + − 2 1 2 1 u u p x p y ⎪

⎩ z = p3 +

α

⎪ ⎪ ⎪

− +

= 1 ₃

3 1 u p x p z u

⎪⎩ + 3

1

3 u

u p

Planos em

ℜ

Planos

em

ℜ

Para definir um plano são necessários:

• 3 pontos não colineares3 pontos não colineares

ou

• 1 ponto e 2 vectores linearmente 

independentesp

Planos em

ℜ

Planos

em

ℜ

Um plano M é um conjunto de pontos da 

forma:

{

}

{

+

+

∈

ℜ

}

=

P

α

u

β

v

:

α

,

β

M

em que P é um ponto e u e v são vectores 

li t i d d t

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M Encontrar uma condição que defina o plano M  sendo: P = (1,2,‐3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

( ) ( 2 3) ( 2 ) β( 0 )

Exemplo

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M Encontrar uma condição que defina o plano M  sendo: P = (1,2,‐3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

( ) ( 2 3) ( 2 ) β( 0 )

(x, y, z) = (1,2,‐3) + α(1,2,1) + β(1,0,4)

⎧

x

=

1

+

α

+

β

⎪

⎧

x

=

1

+

α

+

β

⎡

₁

₁

_x

−

₁

⎤

⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

α

β

2

2

y

_⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎡

−

2

1

0

2

1

1

y

x

⎪

⎩

z

=

−

3

+

α

+

4

β

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎣

1

4

z

+

3

⎥

⎤

⎢

⎡

1

1

x

−

1

⎥

⎤

⎢

⎡

1

1

x

−

1

⎥

⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

₋

₋

₋

₊

2

2

2

2

0

y

x

⎥

⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

₋

₋

2

2

0

y

x

⎥⎦

⎢⎣

0

3

z

+

3

−

x

+

1

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎥

⎤

⎢

⎡

1

1

x

−

1

⎥

⎤

⎢

⎡

₁

₁

x

−

1

⎥

⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

₋

₋

2

2

0

y

x

⎥

⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

+

−

2

1

0

y

x

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎣

0

3

z

−

x

+

4

_⎣

⎢

0

3

_z

−

2

_x

+

₄

_⎦

⎥

⎥

⎤

⎢

⎡

1

1

⎥

⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

₋

y

x

1

1

0

1

1

⎥

⎥

⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

⎢

+

−

y

x

2

1

0

⎥

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎢

⎣

−

+

+

−

x

y

0

4

2

3

4

+

+

=

−

x

y

z

4

3

4

+

y

+

4

2

3

4

+

+

=

−

−

x

y

z

8

2

3

8

+

+

=

−

−

x

y

z

8

2

3

8

x

−

3

y

−

2

z

=

8

Exemplo (outra forma de calcular)

Exemplo

(outra

forma

de

calcular)

Exemplo

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M Encontrar uma condição que defina o plano M  sendo: P = (1,2,‐3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

1º ppasso: encontrar um vector n ortogonalg  ao 

⎤ ⎡e1 e2 e3

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 0 1 1 2 1 det" " 3 2

1 e e

e n

⎥⎦ ⎢⎣1 0 4

3 2 1

0

1

2

1

det

4

1

1

1

det

4

0

1

2

det

e

e

e

n

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0

1

4

1

4

0

⎥

⎦

⎢

⎣

⎥

⎦

⎢

⎣

⎥

⎦

⎢

⎣

(

8

,

3

,

2

)

2

3

8

−

−

=

−

−

=

e

e

e

(

)

0

P

X

(

)

0

=

−

⋅

P

X

(

X

P

)

0

(

−

)

=

0

⋅

X

P

n

(

) (

)

(

X

P

)

0

(

−

)

=

0

⋅

X

P

n

(

) (

)

(

8

,

−

3

,

−

2

) (

⋅

x

−

1

,

y

−

2

,

z

+

3

)

=

0

0

6

6

8

2

3

8

x

−

3

y

−

2

z

−

8

+

6

−

6

=

0

(

X

P

)

0

(

−

)

=

0

⋅

X

P

n

(

) (

)

(

8

,

−

3

,

−

2

) (

⋅

x

−

1

,

y

−

2

,

z

+

3

)

=

0

0

6

6

8

2

3

8

x

−

3

y

−

2

z

−

8

+

6

−

6

=

0

8

x

y

z

+

=

8

2

3

Ângulo entre dois planos:

Ângulo

entre

dois

planos:

O

ângulo

entre

dois

planos

é

igual

ao

ângulo entre as rectas ortogonais aos

ângulo

entre

as

rectas

ortogonais

aos

planos

Posição relativa de dois planos:

Posição

relativa

de

dois

planos:

• A intersecção de dois planos não paralelos é 

uma recta

• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia 

ou são coincidentes

Posição relativa de dois planos:

Posição

relativa

de

dois

planos:

i ã d d i l ã l l é

• A intersecção de dois planos não paralelos é 

uma recta

• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia 

ou são coincidentes

• Planos paralelos têm o mesmo vector

• Planos paralelos têm o mesmo vector 

ortogonal.

• Dois planos paralelos são coincidentes se um