COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I
4ª Lista de Exercícios
1) A entrada (seção A) do porto mostrada na figura abaixo foi projetada para onda extrema com as seguintes características:
altura: HA = 5 m; período: TA = 18 s; profundidade: hA = 15 m; largura: bA = 100 m.
Pergunta-se:
a) a onda de projeto na entrada pode ser considerada de águas profundas? Justifique;
b) determine a largura mínima do porto: bB = ?, na seção B (profundidade: hB = 10m) para que a onda nesta seção B não ultrapasse a altura: HB = 2 m.
Seção B OCEANO
Seção A
2) Dois sensores de pressão estão localizados de acordo com a indicação mostrada na figura abaixo. Considerando-se a passagem de uma onda monocromática de período: T = 8 s, foram registrados, nos sensores, os seguintes valores para a amplitude da pressão dinâmica:
Sensor 1: pd1 = 2,07 x 10 4 N/m2;
Sensor 2: pd2 = 2,56 x 10 4 N/m2.
Obs: ρ = 992 kg/m3; g= 9,81 m/s2
A partir dessas informações, determine:
a) profundidade da região fluida; b) altura da onda;
c) comprimento da onda; d) celeridade da onda;
e) velocidade de grupo da onda.
3) Adotando-se como critério de quebra de onda a condição na qual a velocidade horizontal da partícula na crista da onda ultrapasse a velocidade de propagação da onda, determine a relação amplitude/profundidade para a ocorrência de quebra de ondas, na condição de águas rasas.
4) Uma onda regular tem 300m de comprimento quando se propaga em águas profundas. Qual será a profundidade da região fluida quando essa onda passa a ter apenas 100m de comprimento?
SENSOR 1
d = ???
d = 7,62 m
5) Seja o sistema de ondas formado pela superposição de duas ondas regulares se propagando em águas profundas:
z1 (x,t) = a1 cos (wt – kx + v1)
z2(x,t) = a2 cos (wt – kx + v2)
onde:
a1 = 1m; a2 = 1,5m; k = 0,63 m-1; v1 = 45º ; v2 = - 45º.
Determine o valor da energia potencial média associada à onda resultante.
6) Um campo de onda é observado por satélite. O comprimento de onda é de 312 m em águas profundas e 200 m sobre a plataforma continental. Qual é a profundidade da plataforma continental.
7) Uma onda com as seguintes características de águas profundas está se propagando em direção à costa numa área onde os contornos do fundo são todos retos e paralelos à linha da costa:
s T
m H
10 3
0
= =
O fundo é composto de areia de 0.1 mm de diâmetro. Se a velocidade das partículas da água de 30 cm/s é necessária para iniciar o movimento de sedimentos, qual é a maior profundidade na qual o movimento de sedimentos pode ocorrer?
8) A trajetória de uma partícula (cuja posição média se localiza a 50cm abaixo da superfície média da água) define uma forma elíptica (semi-eixo maior: 10 cm; semi –eixo menor: 5 cm). Considerando-se que esta partícula pertence ao escoamento de um sistema de ondas lineares de gravidade e que a região fluida tem 100 cm de profundidade, determine:
a) a celeridade da onda;
9) Um trem de ondas está se propagando normal e na direção da costa num fundo com contornos retos e paralelos. Em águas profundas, o comprimento e a altura da onda são 300m e 2m, respectivamente.
a) Qual o comprimento, altura e velocidade de grupo da onda numa profundidade de 30m?
b) Qual a energia média por unidade de área de superfície no local de interesse?
10) Para um grupo de ondas em águas profundas, determine o tempo para cada onda individual passar através do grupo e a distância percorrida pelo grupo durante este tempo se o espaçamento entre nós do grupo é L e o período das ondas constituintes é T. Existem n ondas no grupo.
11) Na linearização das condições de contorno cinemática e dinâmica da superfície livre, termos não lineares são negligenciados. Mostre que, em ambos os casos, esta linearização implica em:
1 2 <<
Hk
12) A equação de uma fronteira estacionária de um escoamento incompressível é dada abaixo. A componente de velocidade horizontal pode ser considerada aproximadamente uniforme na direção z. Se u(x=0)=40cm/s, A=30cm e K=0,02 cm-1, calcule w na fronteira superior em x=50cm.
13) As equações da fronteira inferior e superior móvel de um escoamento incompressível são mostradas abaixo.
a) Desenhe as fronteiras em t=0;
b) Discuta o movimento da fronteira superior (velocidade e direção);
c) A velocidade horizontal pode ser considerada aproximadamente uniforme na direção z. Se u(x=0, t=10s)=40cm/s, calcule w na fronteira superior em x=50cm e t=10s.
Kx
Ae x)= − (
1 1
) (
1 , 0
02 , 0
30 0 ) , (
) , (
− −
− −
= =
= =
=
s M
cm k
cm A
t x
Ae t x
l
Mt kx u
ξ ζ
14) Um escoamento bidimensional horizontal é descrito pela equação abaixo. Encontre o ponto de máxima pressão se p=0 em (x,y)=(1,1).
) (
10 ) ,
(x y = x2 − y2 φ
15) Um fazedor de ondas cilíndrico horizontal oscila verticalmente na superfície livre. Examinando o problema bidimensional mostrado abaixo, desenvolva a condição de contorno cinemática para o fluido em contato com a parede do cilindro. Discuta o resultado.
onde T é o período de oscilação.
16) Você está em um navio (100 m de comprimento) no oceano viajando em direção ao norte. As ondas (regulares) propagam-se em direção ao norte também e você observa o seguinte:
1) Quando a proa do navio está posicionada numa crista, a popa está num cavado;
2) Uma crista diferente atinge a proa a cada 20s.
a) Você tem suficiente informação para determinar a velocidade do navio? b) Se a resposta para o item anterior é não, que informação adicional é
necessária?
17) Um tsunami é detectado às 12:00 na extremidade da plataforma continental por um sistema de aviso. Que horas o tsunami irá atingir a costa?
18) Uma forma senoidal rígida está localizada como mostra a figura. A forma é forçada a mover-se no sentido positivo do eixo x com velocidade V.
a) Obtenha uma expressão para o potencial de velocidade para o movimento da água induzido pela forma móvel;
b) Obtenha pc-pt para os seguintes casos:
(1) V2<(g/k)tanh(kh); (2) V2=(g/k)tanh(kh); (3) V2>(g/k)tanh(kh);
Onde pc e pt denotam a pressão logo abaixo da forma na crista e no cavado,
respectivamente.
c) Discuta o significado especial de b(2).
20) Determine a celeridade de uma onda em águas profundas numa correnteza de 50 cm/s e T=5 s. Qual o período da onda para um observador movendo-se com a correnteza.
21) Para uma onda progressiva plana de altura 6m a comprimento 200m que se propaga em águas profundas, obtenha a velocidade de fase, a máxima velocidade das partículas fluidas e a posição onde este máximo ocorre. Qual é a mudança desses valores se a profundidade for alterada para 30m.
22) A função corrente de uma onda progressiva de pequena amplitude é mostrada abaixo. Desenhe uma linha de corrente para t = 0 , quando T = 5s, h = 10m e H = 2,0m
) . cos( . ] cosh[
)] ( [ . .
2 kh kx t
z h k senh g
H σ
σ
ψ =− + −
23) Para o sistema de ondas formado pelas duas componentes de ondas progressivas mostradas abaixo. Derive uma expressão para o fluxo de energia médio propagando-se na direção positiva do eixo x.
(
)
(
r)
r r
i i
i
t kx H
t kx H
ε σ η
ε σ η
− + =
+ − =
cos 2
cos 2
24) Mostrar como aplicar o método de Newton-Rapson para resolver a relação de dispersão para k dados σ e h.
FORMULÁRIO
0
0
=
=
+
∂
Φ
∂
z
em
g
t
wζ
(
)
(
)
t
kx
kh
z
h
k
g
aw
ω
ω
ζ
+
⋅
−
=
Φ
sin
cosh
cosh
0
=
∂
∂
=
∂
Φ
∂
z
em
t
z
wζ
0
e
0
2 2=
=
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
z
m
z
g
t
w wkh
kg
tanh
2=
ω
(
)
(
)
(
(
)
)
1sinh sinh sinh
cosh 1 2
2 1 2 1 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − kh z h k z z kh z h k x x a a ζ ζ
(
)
(
)
(
)
(
)
t kx kh z h k w t kx kh z h k u a aω
ω
ζ
ω
ω
ζ
− ⋅ + = − ⋅ + = sin sinh sinh cos sinhcosh
(
) (
)
t
kx
kh
z
h
k
g
gz
p
=
−
ρ
+
ρ
ζ
a+
cos
−
ω
cosh
cosh
b
kh
kh
c
gH
W
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
2
sinh
2
1
2
8
1
ρ
22 2
8
1
2
1
gH
g
E
=
ρ
ζ
a=
ρ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
kh
kh
c
c
g2
sinh
2
1
2
gEc
W
=
2 2 22
1
4
1
4
1
a aa
P
g
E
g
g
K
=
ρ
ζ
=
ρ
ζ
=
ρ
ζ
( )
15
0
,
0297
tanh
81
,
9
18
2
2=
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
k
k
k
π
(
)
z
t
x
z
x
F
F
t
F
n
V
=
−
∇
∂
∂
−
=
TABELA: Derivadas, Integrais
e Identidades Trigonom´
etricas
•
Derivadas
Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n con-stante.
1. y =un ⇒y′ = n un−1u′. 2. y =uv ⇒y′ =u′v+v′u. 3. y = u
v ⇒y′ =
u′v−v′u
v2 .
4. y =au ⇒y′ =au(lna)u′, (a >0, a6= 1). 5. y =eu ⇒y′ =euu′.
6. y = logau ⇒y′ = u′
u logae.
7. y = lnu ⇒y′ = 1uu′.
8. y =uv ⇒y′ =v uv−1 u′+uv(lnu)v′. 9. y = senu ⇒y′ =u′cos u.
10. y= cos u ⇒y′ =−u′senu. 11. y= tgu ⇒y′ =u′sec2u. 12. y= cotgu ⇒y′ =−u′cosec2u. 13. y= sec u ⇒y′ =u′sec utgu.
14. y= cosecu ⇒y′ =−u′cosecucotgu. 15. y=arcsenu ⇒y′ = √u′
1−u2.
16. y=arc cos u ⇒y′ = −u′
√ 1−u2.
17. y=arctgu ⇒y′ = u′
1+u2.
18. y=arc cotg u ⇒ 1+−uu′2.
19. y=arc sec u, |u|>1
⇒y′ = u′
|u|√u2−1,|u|>1.
20. y=arccosecu,|u|>1
⇒y′ = −u′
|u|√u2−1,|u|>1.
•
Identidades Trigonom´
etricas
1. sen2x+ cos2x= 1.
2. 1 + tg2x= sec2x. 3. 1 + cotg2x= cosec2x. 4. sen2x= 1−cos 2x
2 .
5. cos2x= 1+cos 22 x. 6. sen 2x= 2 senx cos x.
7. 2 senx cos y= sen (x−y) +sen(x+y). 8. 2 senxseny= cos (x−y)−cos (x+y). 9. 2 cos x cos y= cos (x−y) + cos (x+y). 10. 1±senx= 1±cos¡π
2 −x
¢
.
•
Integrais
1. R
du=u+c. 2. R
undu= unn+1+1 +c, n6=−1. 3. R du
u = ln|u|+c.
4. R
audu= au
lna +c, a >0, a6= 1.
5. R
eudu=eu+c. 6. R
senu du=−cos u+c. 7. R
cos u du= senu+c. 8. R
tgu du= ln|sec u|+c. 9. R
cotgu du= ln|senu|+c. 10. R
sec u du= ln|sec u+ tgu|+c. 11. R
cosecu du= ln|cosecu−cotgu|+c. 12. R
sec utgu du= sec u+c. 13. R
cosecucotgu du=−cosecu+c. 14. R
sec2u du= tgu+c.
15. R
cosec2u du=−cotgu+c. 16. R du
u2+a2 = 1aarctgua+c.
17. R du
u2−a2 =21aln
¯ ¯ ¯
u−a u+a
¯ ¯ ¯+c, u
2> a2.
18. R du
√
u2+a2 = ln
¯ ¯ ¯u+
√
u2+a2
¯ ¯ ¯+c.
19. R du
√
u2
−a2 = ln
¯ ¯ ¯u+
√
u2−a2¯¯ ¯+c.
20. R du
√
a2
−u2 =arcsen
u
a+c, u2< a2.
21. R du
u√u2−a2 =
1
aarc sec
¯ ¯ua
¯ ¯+c.
•
F´
ormulas de Recorrˆ
encia
1.R
sennau du=−senn−1au cosau
an
+¡n−1
n
¢ R
senn−2au du.
2. R
cosnau du= sen au cosn−1au
an
+¡n−1
n
¢ R
cosn−2au du.
3. R
tgnau du= tga(nn−−11)au−R
tgn−2au du.
4. R
cotgnau du=−cotga(nn−−1)1au−R
cotgn−2au du.
5. R
secnau du= secn−2au tg au
a(n−1)
+³nn−−21´R
secn−2au du.
6. R
cosecnau du=−cosecna−(2nau cotg au−1) +³n−2
n−1
´ R
