Lista 2 de CF368 - Eletromagnetismo I

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Lista 2 de CF368 - Eletromagnetismo I

Fabio Iareke <fi07@fisica.ufpr.br>

18 de dezembro de 2013

1. Um cabo cil´ındrico infinitamente longo de raio R conduz uma corrente I uniformemente dis-tribu´ıda ao longo de sua se¸cão reta. Usando a Lei Circuital de Ampère encontre a indu¸cão magnética a uma distância r quando: (a) r > R; (b) 0 < r < R.

Solu¸cão: Considerando o cabo alinhado com o eixo z a densidade superficial de corrente que atravessa a se¸cão reta é

~ J~ J~ J = I πR2kˆ ˆ k ˆ k Da lei Circuital de Amp`ere

I C ~ BBB · d~l~~ ~l~l = µ0I = µ0 Z S ~ J~ J~ J · ˆnnˆn dSˆ onde ~BBB = B ˆ~~ θˆθˆθ, d~l~l~l = r dθ ˆθˆθˆθ, ˆnˆnˆn = ˆkˆkˆk, dS = r dr dθ, assim (a) r > R I C ~ B~ B~ B · d~l~l~l = µ0I Z 2π 0 B ˆθˆθˆθ · ˆθˆθˆθ r dθ = µ0I Br Z 2π 0 dθ = µ0I Br 2π = µ0I ∴ ~ B~ BB =~ µ0I 2πr ˆ θˆθˆθ (b) 0 < r < R I C ~ B~ BB · d~l~ ~l~l = µ0 Z S ~ J~ J~ J · ˆnnˆˆn dS Z 2π 0 B ˆθˆθˆθ · ˆθˆθˆθ r dθ = µ0 Z r 0 Z 2π 0 I πR2 kˆ ˆ kˆ k · ˆkˆkk r dr dθˆ Br Z 2π 0 dθ = µ0I πR2 Z r 0 r dr Z 2π 0 dθ B r2π = µ0I πR2 r 2 22π ∴ ~ B~ B~ B = µ0Ir 2πR2θˆθˆˆθ

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2. São dadas uma casca dielétrica esférica (raio interno a, raio externo b, constante dielétrica K) e uma carga puntual q, separadas por uma distância infinita. A carga puntual é, agora, colocada no centro da casca dielétrica. Determine a varia¸cão da energia do sistema.

Solu¸c˜ao: seja a energia inicial no infinito Ui= 0. Assim

∆U = Uf− 0 Ui= U tal que, U = 1 2 Z V ~ DDD · ~~~ EEE dV~~ (1) Lei de Gaus ∇ · ~DDD = ρ~~ ⇒ Z V ∇ · ~DDD dV =~~ Z V ρ dV = q e, pelo teorema do divergente, temos

I S ~ D~ D~ D · ˆnˆnn dS = qˆ

Onde S ´e a superf´ıcie gaussiana esf´erica a < r < b, assim ˆnnˆˆn = ˆrˆrˆr dS = r2_{sin θ dθ dφ. Como}

~ DDD = Dˆ~~ rˆrˆr: I S D =1 z}|{ ˆ rˆ rˆr · ˆrˆrˆr r2sin θ dθ dφ = q ⇒ Dr2 =2π z }| { Z 2π 0 dφ =2 z }| { Z π 0 sin θ dθ = q Dr24π = q ⇒ D = q 4πr2 Ent˜ao, ~ DDD =~~ q 4πr2rˆrˆˆr (2)

Pela rela¸c˜ao constitutiva

~ D~ DD = ~~ EEE~~ ⇒ EEE =~~~ ~ D~ D~ D assim, ~ E~ E~ E = q 4πr2rˆˆrˆr (3)

(2) e (3) em (1), tal que, dV = r2_{sin θ dr dθ dφ:}

U = 1 2 Z 2π 0 Z π 0 Z b a q 4πr2rˆˆrˆr · q 4πr2rˆˆrˆr r 2_{sin θ dr dθ dφ} = q 2 32π2 Z 2π 0 dφ Z π 0 sin θ dθ Z b a dr r2 = q2 32π2 =4π z }| { Z dΩ Z b a dr r2 = q 2 8π −1 r b a = q 2 8π −1 b + 1 a sendo que, = K0 ∴ ∆U = q 2 8πK0 1 a− 1 b

3. Duas longas cascas cil´ındricas de raios r1e r2> r1est˜ao dispostas coaxialmente. As placas s˜ao

mantidas a uma diferen¸ca de potencial ∆ϕ.

(a) A região entre as placas é preenchida com um meio de condutividade elétrica g. Use a lei de Ohm para calcular a corrente elétrica entre comprimentos unitários das cascas.

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Solu¸c˜ao: Da lei de Ohm V = RI ⇒ I =V R onde V = ∆ϕ e R = 1 g L A

tal que, a corrente flui entre as cascas, ou seja, ⊥ ˆρˆρˆρ ⇒ dSρ = ρ dθ dz. Assim, seja a ´area

da se¸c˜ao transversal, para um comprimento arbitr´ario Z do condutor, dada por

A = Z Z 0 Z 2π 0 ρ dθ dz = 2πρZ então, a resitência dR relativa a um dρ será

dR = 1 g dρ 2πρZ integrando Z dR = Z r2 r1 1 g dρ 2πρZ R = 1 g 1 2πZ Z r2 r1 dρ ρ R = 1 2πgZ (ln ρ) r2 r1 R = 1 2πgZ ln r2 r1 logo, I = ∆ϕ 1 2πgZ ln r2 r1 = 2πgZ∆ϕ ln r2 r1 ∴ I Z = 2πg∆ϕ ln r2 r1

(b) Se a região entre as cascas for preenchida com um meio não-condutor de permissividade , mostre que o produto da resistência por unidade de comprimento pela capacitância por unidade de comprimento é igual a /g.

4. Um capacitor de placas paralelas tem a região entre suas placas preenchida por uma chapa dielétrica de constante dielétrica K. As dimensões das placas são: largura w, comprimento l e separa¸cão entre as placas d. Carrega-se o capacitor enquanto está conectado a uma diferen¸ca de potencial (∆ϕ)0, após o que é desconectado. A chapa dielétrica é agora parcialmente retirada

na dimensão l até que apenas o comprimento x permane¸ca entre as placas. (a) Qual a diferen¸ca de potencial no capacitor? (b) Qual a for¸ca que tende a recolocar a chapa dielétrica de volta à sua posi¸cão original?

Solu¸c˜ao:

(4)

Pela lei de Gauss Z V ∇ · ~DDD dV =~~ Z V ρ dV = Q tal que, σ = Q A ⇒ Q = σA e, pelo teorema do divergente

I S ~ D~ D~ D · ˆnˆnn dS = Qˆ ⇒ DA = σA _∴ D = σ sendo que, A = lw, assim

D = Q

lw ⇒ Q = lwD e, pela rela¸c˜ao constitutiva

~ D~

DD = ~~ EEE~~ ⇒ D = E logo,

Q = lwE Considerando as placas infinitas: l, w d

E = (∆ϕ)0 d ent˜ao,

Q = lw

d (∆ϕ)0 (4)

II) Após a remo¸cão parcial da chapa, a carga Q adquirida será composta de duas cargas distintas:

Q = Q1+ Q2 (5)

onde Q1 é a carga na região com o restante da chapa, A = xw e Q2 é a carga na

regi˜ao sem a chapa, A = (l − x)w, = 0. Assim, por (4):

Q1= xw d ∆ϕ (6) Q2= 0(l − x)w d ∆ϕ (7)

logo, com (4), (6) e (7) em (5), tal que, = K0:

l w d (∆ϕ)0 = x w d ∆ϕ + 0(l − x)w d ∆ϕ K 0l(∆ϕ)0 = K0x∆ϕ +0l∆ϕ −0x∆ϕ Kl(∆ϕ)0 = (Kx + l − x)∆ϕ ∴ ∆ϕ = Kl l + (K − 1)x(∆ϕ)0 (8)

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(b) Como o sistema est´a isolado Fx= − ∂U ∂x Q tal que, U =1 2Q∆ϕ com (8): U = 1 2Q Kl l + (K − 1)x(∆ϕ)0 sendo que, por (4)

(∆ϕ)0= d lwQ = d lwK0 Q assim, U =1 2Q Kl l + (K − 1)x d lwK0 Q ent˜ao, U (x) = d 20w Q2 l + (K − 1)x ∴ Fx= + d(K − 1)Q2 20w[l + (K − 1)x]2 Fx> 0 pois K > 1.

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