Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Programa de Pós-Graduação em Física Grupo de Teoria da Matéria Condensada

(1)

Álgebra Linear

Jonas Maziero

(2)

Referências

M. A. Nielsen e I. L. Chuang, Quantum Information and Quantum Computation (Cambridge University Press, Cambridge, 2000);

A. F. R. de Toledo Piza, Mecânica Quântica (Edusp, São Paulo, 2009).

(3)

Sumário ±σ

Espaços Vetoriais;

Independência Linear e Bases; Produto Interno; Procedimento de Gram-Schmidt;

Desigualdade de Cauchy-Schwarz; Operadores Lineares e Matrizes;

Produto Externo e a Relação de Completeza; Autovalores e Autovetores;

O Adjunto de um Operador;

Operadores Hermitianos; Projetores; Operador Normal; Operador Unitário; Produto Tensorial;

Funções de Operadores;

Comutadores e Anticomutadores; · · · .

(4)

Números Complexos

Dados dois números reais_{a, b ∈ R}quaisquer, então

z := a + ib ∈ Cé um número complexo, ondei =√−1.

Partes realRez = a ∈ Re imagináriaImz = b ∈ Rdo número complexoz;

Conjugado de um número complexo: z∗ :=_{a − ib ∈ C}; Dados_{z := a + ib ∈ C}e˜_{z := ˜a + i˜b ∈ C}com_{a, b, ˜a, ˜b ∈ R} temos:

z = ˜z ⇒ a = ˜a e b = ˜b; z ± ˜z := (a ± ˜a) + i(b ± ˜b);

z˜z = (a + ib)(ã + i˜b) = aã + ia˜b + ibã − b˜b; z ˜ z := z ˜ z ˜z∗ ˜_z∗ = z˜z∗ ˜_a2_{+ ˜}_b2.

Módulo de um número complexo:

|z| :=√zz∗ ₌p_a2₊_b2_;

(5)

Plano Complexo (plano de Argand-Gauss)

Números complexos podem ser representados como pontos no plano Cartesiano (veja a Figura ao lado). Temos então cos θ = a |z| e sin θ = b |z|. Assim z = a + ib = |z|(cos θ + i sin θ) = |z| exp(iθ), com0 ≤ θ < 2π e 0 ≤ |z| < ∞. Também θ =arctan(b/a).

(6)

Álgebra Linear

É o estudo deespaços vetoriaiseoperações linearesnesses espaços.

UmEspaço Vetorialé um conjunto de objetos que têm

certas propriedades (veja a próxima transparência)

Exemplo.Cn: conjunto de todas as listas de números

complexos (z_i ∈ C)

(z1, · · · ,zn)

Cada objeto (lista) desse conjunto é umvetor. Notação matricial (matriz coluna)

|vi =    v1 .. . vn    ondevi ∈ C

|rótuloié anotação de Diracpara vetores, muito utilizada

em Mecânica Quântica.

(7)

Propriedades de um Espaço Vetorial (C

n

)

1 Existe a operação deadiçãode objetos.

Para |vi = (v1, · · · ,vn) ∈ Cne |ui = (u1, · · · ,un) ∈ Cn

|vi + |ui :=    v1+u1 .. . vn+un   ∈ C n

2 _{Existe a operação}_{multiplicação por escalar}_.

Para |vi = (v1, · · · ,vn) ∈ Cnez ∈ C z    v1 .. . vn   :=    zv1 .. . zvn   ∈ C n

3 _{Existe o}_{elemento nulo}_{0 := |i}_. |vi + |i := |vi ∀|vi

(8)

Independência Linear e Bases

Definição. Um conjunto de vetores {|vii} é linearmente

independente (LI) seP

ici|vii = |i implica em ci=0 ∀i.

Definição. Um conjunto de vetores LI{|vii}dimVi=1 ∈ Vé uma

base paraum espaço vetorialVse qualquer vetor|vi ∈ Vpode

ser escrito como uma combinação linear

|vi = dimV X i=1 ci|vii. Exemplo. Osautoestados de σz, |0i = (1, 0); |1i = (0, 1), formam uma base paraC2:

|vi = (v1,v2) =v1|0i + v2|1i.

Existem infinitas outras bases. e.g. osautoestados de σx_:

|+i = 2−1/2₍_{1, 1); |−i = 2}−1/2₍_{1, −1).}

(9)

Produto interno

Uma função(·, ·) :VxV → Cé umproduto internose satisfaz os seguintes requerimentos

1 _{É linear no segundo argumento:} (|vi,X

i

ci|wii) =X i

ci(|vi, |wii), onde ci∈ C;

2 _{(|vi, |wi) = (|wi, |vi)}∗_;

3 _(|_{vi, |vi) ≥ 0 com igualdade se e somente se |vi = |i.} Produto interno para Cn:

(|vi, |wi) ≡ hv|wi := |vi†|wi =v∗

1 · · · v∗n    w1 .. . wn   = X i v∗iwi Espaço de Hilbert H:

(10)

Teorema

O produto interno é linear-conjugado no primeiro argumento, i.e., dadosci ∈ C e |vii, |wi ∈ V vem que

(X i ci|vii, |wi) = X i c∗_i(|vii, |wi). Demonstração (X i c_i|vii, |wi) = (|wi, X i c_i|vii)∗ = X i ci(|wi, |vii) !∗ = X i c∗_i(|wi, |vii)∗ = X i c∗_i(|vii, |wi) 10 / 63

(11)

Algumas Definições

Dois vetores |vi e |wi sãoortogonaisse seu produto interno é nulo, i.e., se

(|vi, |wi) = 0.

Anorma(“comprimento”) de um vetor |vi é definida como

|||vi|| :=p(|vi, |vi) Vetor unitárioou normalizado:

|||vi|| = 1. Para ∀|vi,se definimos |˜vi := |vi

|||vi||, −1cm então |||˜vi|| = 1. Um conjunto de vetores {|vii} éortonormalse

(12)

Procedimento de Gram-Schmidt

Dada uma base {|wii}dimV

i=1 ∈ V de vetores linearmente independentes, obtemos umabase ortonormal{|vii}dimV_i=1 ∈ V definindo

|v1i := |w1

i |||w1i|| e, para1 ≤ k ≤ dimV − 1, definindo

|vk+1i :=

|wk+1i −

Pk

i=1(|vii, |wk+1i)|vii

|||wk+1i −Pki=1(|vii, |wk+1i)|vii||

.

(13)

Desigualdade de Cauchy-Schwarz (DCS)

Teorema.Dados quaisquer dois vetores |vi, |wi ∈ H, resulta

que |(|vi, |wi)|2_{≤ (|vi, |vi)(|wi, |wi)}

Prova.Partimos do fato que (|ψi, |ψi) ≥0 e definimos

|ψi := |vi + z|wi, com z ∈ C. Assim

(|ψi, |ψi) = (|vi, |vi) + z(|vi, |wi) + z∗(|wi, |vi) + |z|2(|wi, |wi) ≥ 0 Agora, se|wi = |ientão |(|vi, |i)|2=0 = (|vi, |vi)(|i, |i) e a DCS é satisfeita. Por outro lado, se|wi 6= |idefinimos

z := −(|wi, |vi)/(|wi, |wi) e resulta que

(|vi, |vi) − (|wi, |vi)

(|wi, |wi)(|vi, |wi) −

(|wi, |vi)∗

(|wi, |wi)(|wi, |vi) +

|(|wi, |vi)|2

(|wi, |wi)2(|wi, |wi) ≥ 0 (|wi, |wi)(|vi, |vi) − |(|vi, |wi)|2− |(|wi, |vi)|2_{+ |(|wi, |vi)|}2_{≥ 0}

(14)

Temos ainda que(|wi, |wi)(|vi, |vi) = |(|wi, |vi)|2se e somente se|vi ∝ |wi. Prova. Assumimos |vi ∝ |wi = c|wi. Então (|vi, |vi) = |c|2_{(|wi, |wi) e} |(|vi, |wi)|2_{= |c|}2_{(|wi, |wi)}2_{, o que implica que}

(|vi, |vi)(|wi, |wi) = |(|vi, |wi)|2_.

Agora assumimos que (|vi, |vi)(|wi, |wi) = |(|vi, |wi)|2e |||wi|| 6= 0. Usamos o procedimento de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal {|wii}dimVi=1 com |w1i := |wi/|||wi||. Podemos escrever |vi =PdimVi=1 ci|wii. Assim (|vi, |vi) = ( dimV X i=1 ci|wii, dimV X i=1 cj|wji) = dimV X i,j=1 c∗icj δij z }| { (|wii, |wji) = dimV X i=1 |ci|2 e |(|vi, |wi)|2_{= |(} dimV X i=1

ci|wii, |||wi|||w1i)|2= |||wi||2 dimV X i=1 |ci|2| δ_i1 z }| { (|wii, |w1i)|2= |||wi||2|c1|2. Com isso vem que

|||wi||2   dimV X i,j=1 |ci|2− |c1|2  =0

e portantoci=0 se i 6= 1 e consequentemente |vi ∝ |wi.

(15)

Operadores Lineares

Umoperador linearentre espaços vetoriaisV e W é qualquer

função (mapa)A : V → W que é linear em seu domínio, i.e.

A X i ci|vii ! =X i ciA(|vii)

Dizemos que um operador linearA está definido em Vse A : V → V.

Dois operadores lineares importantes: OperadoridentidadeemV:

IV|vi := |vi para todo |vi ∈ V.

OperadorzeroemV:

(16)

Matrizes como Operadores Lineares

Uma matriz complexa {Aij} é um mapa

{Aij}mxn : Cn→ Cm. Explicitamente (Amxnv1xn=w1xm):      A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n .. . ... . .. ... Am1 Am2 · · · Amn           v1 v2 .. . vn      =      w1 w2 .. . wm      onde w_i = n X j=1 A_ijv_j

Dizer que uma matrizA é um operador linearsignifica que

A X i ci|vii ! =X i ciA(|vii) 16 / 63

(17)

Linearidade de Matrizes

ConsideremosA = {Aij}, |vi = {vi} e |wi = {wi}. Definimos

ainda

|xi := a|vi + b|wi = {xi} = {avi+bwi}.

Assim (A|xi)i = X j Aijxj = X j Aij(avj+bwj) = aX j Aijvj+b X j Aijwj = a(A|vi)i+b(A|wi)i. Ou seja,

A|xi = A(a|vi + b|wi) = aA(|vi) + bA(|wi)

(18)

Operadores Lineares como Matrizes

Consideremos um operador linearA : V → We bases de vetores{|vii}mi=1∈ V e{|wji}nj=1 ∈ W. Para cadai existem

{Aji}nj=1 ∈ C tal que A|v_ii = n X j=1 A_ji|wji.

A matriz{Aji}mxné umarepresentação matricial parao

operador linearA.

OBS. Para fazer a conexão entre matrizes e operadores

lineares devemosespecificar as basesde entrada (domínio) e saída (imagem) para o operador linearA e também devemos

especificar comoA atua na sua base domínio.

Resumindo.Os pontos de vista de operadores lineares e de

matrizes são equivalentes.

(19)

Matrizes de Pauli. σ

0

:= I

Vamos considerar_{V = W = C}2 _{e uma}_base_(base

computacional) |0i :=1 0 , |1i :=0 1

Representação matricial paraI := σ0: σ0|0i = σ0₁₁|0i + σ₂₁0 |1i σ0|1i = σ0₁₂|0i + σ₂₂0 |1i Ação de σ0_:

σ0|0i = |0i e σ0|1i = |1i. Ou seja

σ0 =1 0

0 1

(20)

Matrizes de Pauli. σ

1

:= σ

x

Representação matricial paraσx:= σ1:=X: σ1|0i = σ111|0i + σ211 |1i

σ1|1i = σ1₁₂|0i + σ₂₂1 |1i

Ação de σ1(porta lógica NOT da computação clássica e quântica):

σ1|0i = |1i e σ1|1i = |0i. Ou seja

σ1 =0 1

1 0

, que tem autovalores ±1 e autovetores

| ↑_xi = 2−1/2(|0i + |1i) | ↓_xi = 2−1/2(|0i − |1i)

(21)

Matrizes de Pauli. σ

2

:= σ

y

Representação matricial paraσy:= σ2:=Y: σ2|0i = σ211|0i + σ212 |1i

σ2|1i = σ2₁₂|0i + σ₂₂2 |1i Ação de σ2:

σ2|0i = exp(iπ/2)|1i e σ2|1i = exp(−iπ/2)|0i. Ou seja1

σ2 =0 −i

i 0

,

comi =√−1. Temos que σ2 _{tem autovalores ±1 e autovetores}

| ↑_yi = 2−1/2(|0i + i|1i) | ↓_yi = 2−1/2(|0i − i|1i) 1

(22)

Matrizes de Pauli. σ

3

:= σ

z

Representação matricial paraσz:= σ3:=Z: σ3|0i = σ3₁₁|0i + σ₂₁3 |1i σ3|1i = σ3₁₂|0i + σ₂₂3 |1i Ação de σ3:

σ3|0i = |0i e σ3|1i = exp(iπ)|1i. Ou seja

σ3=1 0

0 −1

,

comi =√−1. Temos que σ2_{tem autovalores ±1 e}

autovetores

| ↑_zi = |0i | ↓_zi = |1i

(23)

Representação Matricial para Operadores Compostos

Consideremos operadores linearesA : V → WeB : W → Xe bases{|vii} ∈ V,{|wji} ∈ We{|xki} ∈ X. Questão. Qual a

(24)

Operador Produto Externo e a Relação de Completeza

|wihv|(|˜vi) = |wi(|vi, |˜vi) = (|vi, |˜vi)|wi

Assim, para {|vii}, |˜vi ∈ V e {|wii} ∈ W, a combinação linearPiai|wiihvi| é um operador linear que atua da seguinte forma

X i ai|wiihvi|(|˜vi) = X i ai(|vii, |˜vi)|wii.

Relação de Completeza.Consideremos uma base ortonormal {|ji}dimV

j=1 ∈ V. Qualquer vetor |vi ∈ V pode ser escrito como |vi =P

jvj|ji, com vj= (|ji, |vi) ∈ C. Assim vem que

dimV X j=1 |jihj|(|vi) = dimV X j=1 |ji(|ji, |vi) = dimV X j=1 vj|ji = |vi, ou seja dimV X j=1 |jihj| = IV. 24 / 63

(25)

Outra Demonstração da Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Teorema.Dados quaisquer dois vetores |vi, |wi ∈ H, resulta que

|(|vi, |wi)|2_{≤ (|vi, |vi)(|wi, |wi)}

Prova.Usamos o procedimento de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal {|ji} e definimos

|1i := |wi |||wi||. Utilizando a relação de completezaP

j|jihj| = I escrevemos (|vi, |vi)(|wi, |wi) = (|vi, I(|vi))(|wi, |wi) = (|vi,X

j

|jihj|(|vi))(|wi, |wi) = (|vi,X

j

|ji(|ji, |vi))(|wi, |wi)

= X

j

(|ji, |vi)(|vi, |ji)(|wi, |wi) =X j

|(|vi, |ji)|2(|wi, |wi)

≥ |(|vi, |1i)|2_{(|wi, |wi)} := |(|vi, |wi)|

2

(26)

Representação de Operadores como Produto Externo ConsideremosA : V → W e bases ortonormais {|vii}dimV

i=1 ∈ V e {|wji}dimW

j=1 ∈ W.

Representação deA na forma produto externo

A = _IWAIV =   dimW X j=1 |wjihwj|  A dimV X i=1 |viihvi| ! = dimW X j=1 dimV X i=1

(|wji, A|vii)|wjihvi|

Representação matricial de A

Aji:= (|wji, A|vii) são os elementos na linhaj e coluna i.

Exemplo. Matriz de Pauli σx

σx= |0ih1| + |1ih0|.

(27)

Autovalores e Autovetores

Osautovetoresde um operador linearA são vetores não nulos

|vi ∈ V tais que

A|vi = v|vi, e_{v ∈ C são os}autovalores deA.

Autovalores(equação característica):

(A − vI)|vi = |i ∴ (A − vI)−1₍_{A − vI)|vi = |i ∴ |vi = |i. Portanto} det(A − λI) = 0

Autovetores

(A − λI)|vi = |i

Representação diagonal(decomposição ortonormal) deA em V: A =X

i

λi|iihi|, onde {|ii}dimV

i=1 é uma base ortonormal paraV.

Degenerescência.Um autovalor tem dois ou mais autovetores correspondentes.

(28)

Adjunto de um Operador

Dado um operador linearA : H → H, existe um único operador linearA†tal que, para todo |vi, |wi ∈ H,

(|vi, A|wi) = (A†|vi, |wi).

A†é conhecido com oadjunto (ou Hermitiano conjugado) de

A.

Alguns resultados e definições: A††

=A;

(A|vi, |wi) = (|wi, A|vi)∗= (A†|wi, |vi)∗= (|vi, A†|wi) = ((A†)†|vi, |wi) (AB)†₌_B†_A†

(|vi, AB|wi) = (A†|vi, B|wi) = (B†A†|vi, |wi) = ((AB)†|vi, |wi); Dado um vetor |vi define-sehv| := |vi†_{. Então}₍_A|vi)†_{= h}_v|A†_; (|vihw|)†_{= |wihv|;}

(29)

(P

iaiAi)†=Pia∗iA † i

Prova. Dadosai∈ C, A : H → H e |vi, |wi ∈ H, temos que (|vi,X

i

aiAi|wi) = X

i

ai(|vi, Ai|wi); ((·,·) é linear no 2oargumento)

= X i ai(A † i|vi, |wi) = (X i a∗iA †

i|vi, |wi); ((·,·) é anti-linear no 1 o argumento) = ((X i aiAi) † |vi, |wi) A†= (AT)∗ = (A∗)T.Ex. A =    a11 a12 · · · a21 a22 · · · · · · . ..   ⇒ A †₌    a∗₁₁ a∗₂₁ · · · a∗₁₂ a∗₂₂ · · · · · · . ..   

(30)

Operadores Hermitianos

Um operador é ditoHermitiano (ou auto-adjunto) se

A†=A

Operadores Hermitianos tem autovalores reais (A|ai = a|ai) (|ai, A|ai) = (|ai, a|ai) = a(|ai, |ai) = a

= (A†|ai, |ai) = (A|ai, |ai) = (a|ai, |ai) = a∗(|ai, |ai) = a∗

Portantoa = a∗⇒_{a ∈ R}.

Os autovetores de um operador Hermitiano correspondentes a autovetores diferentes são ortogonais. Consideremos

A|ai = a|ai e A|bi = b|bi com a 6= b.

(|ai, A|bi) = (|ai, b|bi) = b(|ai, |bi)

= (A†|ai, |bi) = (A|ai, |bi) = a(|ai, |bi) Portanto (a − b)(|ai, |bi) = 0 ⇒(|ai, |bi) = 0.

(31)

Projetores

Consideremos uma base {|ji}dimW_j=1 ∈ W, sendo W um subespaço do espaço vetorialV. Assim, podemos construir uma base {|ji}dimV_j=1 ∈ V com dimV ≥ dimW. Por definição

P := dimW X j=1 |jihj| é umprojetor no subespaço W.

P† =P; (P|pi = p|pi comp ∈ R)

P2 ₌_P_{; (P|pi = P}2_{|pi = p}2_{|pi ⇒ p}2₌_{p ⇒}_{p = 0, 1}₎

P + Q = IVcom Q = dimV X j=dimW+1 |jihj| sendo ocomplemento ortonormal de P.

(32)

Operador Normal

Um operadorA é dito normal se

AA†=A†A.

Se um operadorA é Hermitiano (A†=A) então A é normal (A†A = AA).

Teorema (Decomposição Espectral).DadoA : V → V, resulta que A é

normal se e somente se existir uma base ortonormal deV na qual A é diagonal.

Prova.Iniciamos assumindo que existe uma base ortonormal {|aii} na qualA é diagonal, i.e., A =P

iai|aiihai|. Segue então que

AA† = (X i ai|aiihai|)( X j aj|ajihaj|) † =X i X j aia ∗ j|aii δij z }| { (|aii, |aji)haj| = X i a∗iai|aiihai| = X j X i a∗jai|aji(|aji, |aii)hai| = (X j aj|ajihaj|)†( X i ai|aiihai|)=A†A 32 / 63

(33)

Agora assumimos queA é normal, i.e., AA†=A†A.

Sejaai um autovetor deA e P o projetor no auto-espaço de ai

(Vi) e sejaQ o projetor no complemento ortonormal de P, ou

seja,P + Q = IV. Assim A = IVAIV = (P + Q)A(P + Q) = PAP |{z} =aiP +PAQ + QAP | {z } =aiQP=0 +QAQ

ComoA é normal, dado um vetor |vi ∈ Vi, vem que

AA†|vi = A†A|vi = a_iA†|vi. Ou seja,A†|vi é um elemento de Vi. Então

(PAQ)†=Q†A†P†=QA†P |{z}

∈Vi

(34)

Portanto

A = PAP + QAQ.

LembrandoA : V → V. Assim, dada uma base {|vji}dimV_j=1 ∈ V,

podemos escrever A = dimV X j,k=1 Ajk|vjihvk| com A_jk:= (|v_ji, A|vki).

Percebe-se por conseguinte quePAP e QAQ são diagonais com relação a uma base ortonormal do subespaçoP e Q, respectivamente.

PortantoA é diagonal em uma base do espaço total V, completando assim a prova.

(35)

Operadores Positivos

Um operadorA é dito positivo (notação A ≥ 0) se (|vi, A|vi) ≥ 0 ∀|vi.

Se (|vi, A|vi) > 0 ∀|vi 6= |i, então A é dito positivo definido. Um operador positivo (A ≥ 0) é necessariamente Hermitiano (A = A†).

A†A é positivo (A†A ≥ 0) para qualquer operador linear A. Prova. DefinindoA|vi := |wi temos

(36)

Operador Unitário

Um operadorU é dito unitário se U†U = I = UU†

Operadores unitários preservam o produto interno: (U|vi, U|wi)= (U†U|vi, |wi) = (I|vi, |wi)=(|vi, |wi). Os autovalores de um operador unitário (U|ui = u|ui) tem módulo|u| = 1e portanto podem ser escritos de maneira geral comou = exp(iθ), comθ ∈ R.

(|ui, |ui) = 1

= (U|ui, U|ui) = (u|ui, u|ui) = |u|2hu|ui = |u|2 ⇒ |u| = 1

⇒ u = |u| exp(iθ) = exp(iθ)

(37)

O vetores |rii = (ui1,ui2,ui3, · · · )das linhas deU formam um conjunto ortonormal, i.e., (|rii, |rji) = X k uiku ∗ jk= δij UU†= I ∴      u11 u12 u13 · · · u21 u22 u23 · · · u31 u32 u33 · · · .. . ... ... . ..           u∗11 u ∗ 21 u ∗ 31 · · · u∗12 u ∗ 22 u ∗ 32 · · · u∗13 u ∗ 23 u ∗ 33 · · · .. . ... ... . ..      =      1 0 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 1 · · · .. . ... ... . ..     

O vetores |cii = (u1i,u2i,u3i, · · · )das colunas deU formam um conjunto ortonormal, i.e., (|cii, |cji) = X k ukiu ∗ kj= δij U†U = I ∴      u∗ 11 u∗21 u∗31 · · · u∗12 u ∗ 22 u ∗ 32 · · · u∗13 u ∗ 23 u ∗ 33 · · · .. . ... ... . ..           u11 u12 u13 · · · u21 u22 u23 · · · u31 u32 u33 · · · .. . ... ... . ..      =      1 0 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 1 · · · .. . ... ... . ..     

(38)

Operador Unitário. Representação Produto Externo

Consideremos uma base ortonormal {|vii} ((|vii, |vji) = δij).

Assim {|wii} := {U|vii} também forma uma base ortonormal:

(|wii, |wji) = (U|vii, U|vji) = (U†U|vii, |vji) = (|vii, |vji) = δij

Portanto U =X i |wiihvi| Matrizes de Pauli σ0 = |0ih0| + |1ih1| σ1 = |0ih1| + |1ih0| σ2 = −i|0ih1| + i|1ih0| σ3 = |0ih0| − |1ih1|

são Hermitianas e unitárias σi † = σi,i = 0, 1, 2, 3 σi 2 = σ0 38 / 63

(39)

(40)

Produto Tensorial

O produto tensorial é utilizado para tratar espaços vetoriais utilizados na descrição desistemas de muitos corpos a partir

dos espaços vetoriais de suas partes constituintes.

Consideremos dois espaços de Hilbert Ha_{e H}b_{e bases ortonormais}

{|iai} ∈ Hae{|jbi} ∈ Hb

comi = 1, · · · , dimHa_e_{j = 1, · · · , dimH}b_{. Uma base ortonormal} para o espaço produto tensorial Ha_{⊗ H}b_{é definida como}

{|ia_{i ⊗ |j}b_i}.

Temos assim quedimHa_{⊗ H}b₌_dimHa_dimHb_.

Qualquer vetor |ψab_{i ∈ H}a_{⊗ H}b_{pode ser escrito como} |ψabi =X

i,j

ci,j|iai ⊗ |jbi, comci,j∈ C.

(41)

Convenção

|ia_{i ⊗ |j}b_{i ≡ |i}a_i|jb_{i ≡ |i}a_,_jb_{i ≡ |i}a_jb_{i ≡ |iji.}

Propriedades do Produto Tensorial

1 _Para_{z ∈ C e |ψ}ai ∈ Ha _{e |φ}bi ∈ Hb z(|ψai ⊗ |φbi) = (z|ψai) ⊗ |φbi = |ψai ⊗ (z|φbi) 2 _{Para |ψ}ai, |ξai ∈ Ha_{e |φ}bi ∈ Hb (|ψai + |ξai) ⊗ |φbi = |ψai ⊗ |φbi + |ξai ⊗ |φbi 3 _{Para |ψ}ai ∈ Ha_{e |φ}bi, |χbi ∈ Hb |ψai ⊗ (|φbi + |χbi) = |ψai ⊗ |φbi + |ψai ⊗ |χbi

(42)

Operadores Lineares em H

a

⊗ H

b

Consideremos vetores |ψai ∈ Ha_{e |φ}b_{i ∈ H}b_{e operadores}

linearesA : Ha→ ˜Ha eB : Hb→ ˜Hb. Define-se um operador linearA ⊗ B : Ha_{⊗ H}b_{→ ˜}_Ha_{⊗ ˜}_Hb_como A ⊗ B(|ψai ⊗ |φbi) := A(|ψai) ⊗ B(|φbi) Linearidade deA ⊗ B A ⊗ B(|Ψabi) = A ⊗ B(X i,j ci,j|iai ⊗ |jbi) =X i,j ci,jA(|iai) ⊗ B(|jbi) ParaAj: Ha→ ˜Ha_e_Bj_{: H}b_{→ ˜}_Hb_{, um operador linear}

Cab _{: H}a_{⊗ H}b_{→ ˜}_Ha_{⊗ ˜}_Hb_{pode ser representado de maneira}

geral como

Cab =X i,j

ci,jAi⊗ Bj, comci,j ∈ C.

Por definição (X i,j ci,jAi⊗ Bj)(|ψai ⊗ |φbi) :=X i,j ci,jAi(|ψai) ⊗ Bj(|φbi). 42 / 63

(43)

Produto interno e Produto de Kronecker

Produto interno para espaços produto tensorial

(|ψabi, |φab_i) ₌ ₍X j,k cj,k|ja_{i ⊗ |k}b_i,X m,n dm,n|ma_{i ⊗ |n}b_i) := |ψabi†|φabi =X j,k c∗j,kdj,k.

Dadas matrizes {Ai,j}mxn e {Bk,l}p,qoproduto de Kroneckeré definido como A ⊗ B := mxp linhas nxqcolunas z }| {                  A11B A12B · · · A1nB A21B A22B · · · A2nB .. . ... . .. ... Am1B Am2B · · · AmnB       Notação:A⊗n_:= nvezes z }| { A ⊗ · · · ⊗ A. Exemplo. A⊗2₌_{A ⊗ A.}

(44)

Funções de Operadores

Dado um operador normalA com decomposição espectral

A =X

a

a|aiha|,

uma função_{f : C → C desse operador é definida como} f (A) :=X

a

f (a)|aiha|.

Exemplo.

exp(θσ1) =exp(θ)| ↑xih↑x| + exp(−θ)| ↓xih↓x|

(45)

Dados ~_{n ∈ R}3 com ||~_{n|| = 1, θ ∈ R e ~σ = (σ}1, σ2, σ3), segue que exp(iθ~n · ~σ) = cos(θ)I + i sin(θ)~n · ~σ

Prova.Vamos utilizar as séries de Taylor,

f (x)|_x₀ = ∞ X n=0 dn_{f (x)} dxn x0 (x − x0)n n! , para exp(x)|₀=1 + x + x 2 2 + x3 3! + x4 4! + x5 5! + · · · cos(x)|₀ = 1 −x 2 2 + x4 4! − x6 6! + · · · sin(x)|₀ = x −x 3 3! + x5 5! − x7 7! + · · ·

(46)

Mostremos que (~n · ~σ)2 _{= I.} (~n · ~σ)2 = (n1σ1+n2σ2+n3σ3)(n1σ1+n2σ2+n3σ3) = n21(σ1)2+n1n2σ1σ2+n1n3σ1σ3 +n1n2σ2σ1+n22(σ2)2+n2n3σ2σ3 +n1n3σ3σ1+n2n3σ3σ2+n2 3(σ3)2 = (n21+n22+n23)I = I Assim obtemos

exp(iθ~n · ~σ) = I + (iθ~n · ~σ) +(iθ~n · ~σ) 2 2 + (iθ~n · ~σ)3 3! + (iθ~n · ~σ)4 4! +(iθ~n · ~σ) 5 5! + · · · = _{I + iθ~}n · ~σ − θ 2 2I − i θ3 3!~n · ~σ + θ4 4!I + i θ5 5!~n · ~σ + · · · = (1 −θ 2 2 + θ4 4! − · · · )I + i(θ − θ3 3! + θ5 5! − · · · )~n · ~σ = _{cos(θ)I + i sin(θ)~n · ~σ} 46 / 63

(47)

A Função Traço

O traço de um operadorA, numa certa representação matricial, é definido como

tr(A) :=X

j

Ajj

Propriedades da função traço

tr(AB) = tr(BA) (cíclico); Prova.tr(AB) = X i (AB)ii=X i X j AijBji=X j X i BjiAij = X j (BA)jj=tr(BA)

tr(A + B) = tr(A) + tr(B) (linear);

tr(zA) = ztr(A)comz ∈ C.

tr(UAU†_{) =}_tr(U†_{UA) = tr(A)}_(o_{traço não depende da base}

utilizada na representação matricial deA);

(48)

A Função Traço Parcial

Consideremos um operador linearCab: Ha⊗ Hb→ Ha⊗ Hbna sua representação produto externo

(|iaihia| ⊗ |jbihjb|)Cab(|kaihka| ⊗ |lbihlb|)

= X i,j,k,l |iai ⊗ |jbi(hia| ⊗ hjb|Cab|kai ⊗ |lbi)hka| ⊗ hlb| = X i,j,k,l (hia| ⊗ hjb|Cab|kai ⊗ |lbi)|iai ⊗ |jbihka| ⊗ hlb| := X i,j,k,l

Cab_ij,kl|iaihka| ⊗ |jbihlb|

(49)

Um operador linear reduzidoCa _{: H}a_{→ H}a _{pode ser obtido}

através da operação detraço parcial sobre Hb(notaçãotrb),

que é definida como

(50)

Espaço de Operadores Lineares e o

Produto Interno de Hilbert-Schmidt

O espaço formado por operador linearesL(H) : H → Htambém é umespaço de Hilbertcom produto interno definido como

(A, B) := tr(A†B).

L(H) : H → H é uma espaço vetorial.Dados dois operadores linearesA, B : H → H e {|vii} ∈ H, temos

1 _(A+B)(P ici|vii) = A( P ici|vii)+B( P ici|vii) = P ici(A+B)(|vii); 2 _(zA)(P ici|vii) = z P iciA(|vii); 3 _{A + oH}₌_{A com oH|vi}_{i = |i.}

tr(A†_{B) é um produto interno.}_Dados_{A, B : H → H e bi}_{∈ C, temos} 1 ₍_A,P jbjBj) =tr(A† P jbjBj) = P jbjtr(A†Bj) = P jbj(A, Bj); 2 ₍_{A, B) = tr(A}†_{B) = tr(}P iA ∗ jiBik) = P j P iA ∗ jiBij= (P i P jB∗ijAji)∗= (tr(B†A))∗= (B, A)∗; 3 _{(A, A) = tr(A}†_{A) ≥ 0.} 50 / 63

(51)

Comutadores e Anticomutadores

Ocomutador entre dois operadores A e B é definido como

[A, B] ≡ [A, B]−:=AB − BA.

SeAB = BA dizemos que A e B comutam.

Oanti-comutador entre dois operadores A e B é definido

como

{A, B} ≡ [A, B]+:=AB + BA.

SeAB = −BA dizemos que A e B anticomutam.

Comutadores e Anti-comutadores das matrizes de Pauli (j, k = 1, 2, 3) [σj, σk] = 2i 3 X l=1 jklσl {σj_{, σ}k_} ₌ _2δjkI

(52)

Comutadores de Operadores Hermitianos

Teorema.Dados dois operadores HermitianosA e B, então

[A, B] = 0 se e somente se existir uma base ortonormal {|ji} na qualA e B são diagonais, ou seja, A =P

jaj|jihj| e

B =P

jbj|jihj|.

Prova.Assumimos primeiramente queA e B são diagonais na

mesma base. Então

[A, B] = (X j aj|jihj|)( X k bk|kihk|) − ( X k bk|kihk|)( X j aj|jihj|) = X j,k a_jb_k(|jihj|ki |{z} δ_jk hk| − |kihk|ji |{z} δ_jk hj|) = X j a_jb_j(|jihj| − |jihj|) = 0 52 / 63

(53)

Agora assumimos queA e B comutam, ou seja, [A, B] = 0 ⇒ AB = BA.

Seja {|aji} uma base de autovetores não degenerados de A

com autovalorai, teremos

AB|aii = BA|aii = aiB|aii.

PortantoB|a_ii também é autovetor de A com autovalor ai. Isso

implica que

B|aii ∝ |aii = bi|aii.

(54)

Lei de Leibniz

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C] [AB, C] = [A, C]B + A[B, C] Verificação.

[A, B]C + B[A, C] = ABC − BAC + BAC − BCA

= ABC − BCA

= [A, BC]

[A, C]B + A[B, C] = ACB − CAB + ABC − ACB

= ABC − CAB

= [AB, C]

(55)

Identidade de Jacobi

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 Verificação.

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = [A, BC − CB] + [B, CA − AC] + [C, AB − BA]

=ABC − BCA − ACB + CBA + BCA − CAB

−BAC + ACB + CAB − ABC − CBA + BAC =0

(56)

Lema de Hadamard

eABe−A=B + [A, B] + 1

2![A, [A, B]] + 1

3![A, [A, [A, B]]] + · · ·

Prova. Temos exp(±A) = I ± A +A 2 2! ± A3 3! + · · · . Assim eABe−A = I + A +A 2 2! + A3 3! + · · · B I − A +A 2 2! − A3 3! + · · · = B + AB +A 2_B 2! + A3_B 3! + · · · I − A +A 2 2! − A3 3! + · · · = B + (−BA + AB) + BA 2 2! − ABA + A2_B 2! + −BA 3 3! + ABA2 2! − A2BA 2! + A3B 3! + · · · 56 / 63

(57)

eABe−A = B + [A, B] + 1

2!(BAA − 2ABA + AAB) +1

3!(−BAAA + 3ABAA − 3AABA + AAAB) + · · · = B + [A, B] + 1

2!((BA − AB)A + A(−BA + AB)) +1

3!((−BA + AB)AA + 2A(BA − AB)A + AA(−BA + AB)) + · · · = B + [A, B] + 1

2!(−[A, B]A + A[A, B]) +1

3!([A, B]AA − 2A[A, B]A + AA[A, B]) + · · · = B + [A, B] + 1

2!+ [A, [A, B]] +1

3!(([A, B]A − A[A, B])A − A([A, B]A − A[A, B])) + · · · = B + [A, B] + 1

2!+ [A, [A, B]] + 1

3!(−[A, [A, B]]A + A[A, [A, B]]) + · · · = B + [A, B] + 1

2!+ [A, [A, B]] + 1

(58)

Outra prova. Define-se f (s) := esABe−sA. Então f0(s) = esA[A, B]e−sA

f00(s) = esA[A, [A, B]]e−sA f000(s) = esA[A, [A, [A, B]]]e−sA

.. .

Expansão def (s) em série de Taylor em torno de s = 0: f (s) = f (0) + sf0(0) + 1 2!s 2_f00 (0) + 1 3!s 3_f000 (0) + · · · = B + s[A, B] + 1 2!s 2_{[A, [A, B]] +} 1 3!s

3_{[A, [A, [A, B]]] + · · ·}

Agora fazs = 1. Assim eABe−A=B + [A, B] + 1

2![A, [A, B]] + 1

3![A, [A, [A, B]]] + · · ·

(59)

Relação de Baker-Campbell-Housdorff

Dado que [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 então eA+B=eAeBe−[A,B]/2

Prova. Vamos definir C := exA_exB_com_{x sendo um escalar. Com isso} dC dx = e xA_AexB₊_exA_BexB_e−xB_e−xA_exA_exB = A + exABe−xA C = exAexBe−xBe−xA exAAexB+exABexB = C e−xBAexB+B

Do lema de Hadamard, temos queexA_Be−xA₌_{B + x[A, B] e} e−xBAexB₌_{A + x[A, B]. Por conseguinte}

dC

dx = (A + B + x[A, B]) C = C (A + B + x[A, B])

(60)

Como [C, (A + B + x[A, B])] = 0 podemos resolver a equação anterior como uma equação diferencial qualquer. Assim obtemos

C = exp(x(A + B) + x2[A, B]/2) = exAexB.

Mas

[x(A + B), x2_{[A, B]/2]} ₌ x3

2 ([A, [A, B]] + [B, [A, B]]) := 0.

Então

exp(x(A + B) + x2[A, B]/2) = exp(x(A + B)) exp(x2[A, B]/2) e

ex(A+B)=exAexBe−x2[A,B]/2. Fazendox = 1 concluímos a demonstração.

(61)

A Decomposição Polar

Dado um operador linearA : V → V, existe um operador unitárioU e operadores positivos J e K tais que

A = UJ = KU, comJ =√A†_{A e K =} √_AA†_.

Prova.

J =√A†_{A ≥ 0 ⇒ J =}X i

Ji|JiihJi| com (|Jii, |Jji) = δij. AssumimosJi>0 e definimos |aii := J−1_i A|Jii. Assim

(|aii, |aji) = J−1_i J−1_j (A|Jii, A|Jji) = J−1_i J−1_j (A†A|Jii, |Jji) = J−1_j Jiδij

(62)

DefinindoU :=P

UJ|Jii = 0 = |aii.

Portanto a ação deA e de UJ na base {|Jii} é a mesma e por conseguinte

A = UJ.

Podemos ver queJ é unicamente definido fazendo A†A = (UJ)†UJ = J†U†UJ = J2 _{⇒ J =}√_A†_A. Temos também que

A = UJ = UJU†U = KU, comK ≥ 0. Temos ainda que

AA† =UJ(UJ)†=UJJ†U† =UJU†UJU†=K2⇒ K =√AA†_.

(63)

A Decomposição em Valores Singulares

Dada uma matriz quadradaA, existem matrizes unitárias U e V e uma matriz positiva e diagonalD tais que

A = UDV.

Os elementos deD são os valores singulares de A. Prova. Da decomposição polar vem que

A = SJ, sendoS unitária (SS†

= I = S†S) e J positiva (J ≥ 0). Do teorema espectral temos

J = TDT†,

comT unitária e D diagonal e positiva. Assim, se definimos U := ST eV := T†obtemos

A = STDT† := UDV.