Caracteriza¸cão de Conceitos Topológicos Através da No¸cão de Convergência de Redes ∗

(1)

Caracteriza¸c˜

ao de Conceitos Topol´

ogicos Atrav´es da

No¸c˜

ao de Convergˆencia de Redes

∗

Wagner Augusto Almeida de Moraes

†

;

Welington Santos

‡

Departamento de Matem´atica, Universidade Federal do Paran´a, Caixa Postal 019081, 81531-990, Curitiba, PR, Brazil

27 de Junho de 2015

Resumo

Neste trabalho apresentamos alguns conceitos fundamentais da topologia geral, ferramenta básica para vários campos da matemática, como análise e geometria, com ênfase em uma das formas clássicas de se estudar continui-dade: os métodos de convergência. Iremos nos concentrar em dois instrumentos, sequências e redes. Veremos que sequências são mais uteis em espa¸cos topológicos espec´ıficos como, por exemplo, os espa¸cos métricos e que a no¸cão de convergência de redes é muito mais abrangente e capaz de descrever diversas propriedades to-pológicas em espa¸cos topológicos quaisquer, como a continuidade de fun¸cões, a compacidade e a propriedade Hausdorff.

Introdu¸

c˜

ao:

As primeiras no¸cões sobre redes apareceram em 1922, quando E. H. Moore e H. L. Smith publicaram o artigo “A general theory of limits” na American Journal of Mathematics, que teve como inspira¸cão um trabalho de Moore de 1915 intitulado “Definition of limit in general integral analysis”. Por esta razão, a convergência de redes é tambem chamada de convergência de Moore-Smith.

∗_{Palavras-chave: convergˆ}_{encia, rede, sequˆ}_encia †_{e-mail : wagner}

−laranjeiras@yahoo.com.br (W. A. A. Moraes) ‡_{e-mail : wosantos21@gmail.com (W. Santos)}

(2)

Nos espa¸cos métricos os conceitos de convergência se dão por meio de sequências, as quais descrevem completamente as no¸cões de continuidade, bem como a topologia do espa¸co. No entanto, isso não se aplica a todos os espa¸cos topológicos. Da necessi-dade de descrever e caracterizar os principais objetos da topologia, surgem métodos de convergência mais eficazes. Neste trabalho, iremos estudar a convergência de redes.

Na primeira se¸cão revisaremos a defini¸cão de convergência de sequências e vamos expor alguns resultados que visam caracterizar propriedades topológicas, como a com-pacidade e a propriedade de Hausdorff, através de sequências. Contudo, a teoria da convergência sequencial não é suficiente para esta caracteriza¸cão em espa¸cos topológicos quaisquer e exibiremos exemplos desta insuficiência.

Em seguida, apresentaremos a no¸cão de conjuntos dirigidos e redes, além de diversas defini¸cões que visam generalizar o comportamento das sequências. Por fim, iremos caracterizar, por meio da convergencia de redes, as propriedades vistas na primeira se¸cão, mas agora em espa¸cos topológicos quaisquer.

1 Sequˆ

encias

Sabemos que alguns espa¸cos topológicos como, por exemplo, os espa¸cos métricos, podem ter suas propriedades descritas através de convergência de sequências. Nesta se¸cão apresentaremos a defini¸cão da convergência de sequências em espa¸cos topológicos quaisquer. Além disso, veremos que, sob certas hipóteses, algumas propriedades dos espa¸cos topológicos podem ser caracterizadas com essa defini¸cão.

Defini¸cão 1.1. Seja (X, T) um espa¸co topológico. Uma sequência em X é uma fun¸cão x : N → X. Denotaremos o elemento x(n) como xn e a sequência x como (xn)n∈N.

Defini¸cão 1.2. Sejam (X, T) um espa¸co topológico e (xn)n∈N sequência em X.

Dize-mos que (xn)n converge para x ∈ X em (X, T) se para todo V ∈ N(x), existe m ∈ N

tal que para todo n > m, tem-se que xn ∈ V , em que N(x) denota o conjunto das

vizinhan¸cas de x. Denotamos tal fato por xn → x.

Note que essa defini¸cão é uma generaliza¸cão da convergência de sequências em espa¸cos métricos. Neste caso, as vizinhan¸cas de um ponto é que descrevem a no¸cão de proximidade.

(3)

Exemplo 1.3. Seja (R, d) com a m´etrica usual e considere (xn)n∈N = n1

n∈N.

Mos-tremos que xn→ 0.

Seja V ∈ N(0), logo existe U ∈ T(0) tal que U ⊆ V . Como U ´e aberto e 0 ∈ U , existe ε > 0 tal que 0 ∈ B(0, ) ⊆ U ⊆ V . Seja N ∈ N tal que _N1 < ε. Assim, se n > N , temos que xn = _n1 6 _N1 < ε, ou seja, xn∈ B(0, ε) ⊆ U ⊆ V , para todo n > N.

Portanto, xn → 0.

Exemplo 1.4. Sejam (R, Tco-en) e (xn)n∈Nsequˆencia em X tal que xn→ x. Mostremos

que existe N ∈ N tal que xn= x, para todo n > N.

Seja U = R − [

n∈N xn6=x

{xn}. Como U ∈ T(x) e xn → x, existe N ∈ N tal que xn∈ U ,

para todo n > N . Logo, pela constru¸c˜ao de U , temos que xn= x, para todo n > N .

O limite de uma sequência pode não ser único. De fato, em (X, Ttriv), qualquer

sequência converge para todos os pontos de X, pois o espa¸co todo é a única vizinhan¸ca de qualquer ponto. Vejamos sob quais condi¸cões podemos garantir a unicidade do limite e qual propriedade topológica essa unicidade exprime.

Teorema 1.5. Seja (X, T) um espa¸co topol´ogico.

1. Se X é Hausdorff, então o limite de toda sequência convergente é único.

2. Se X ´e 1o_-enumer´_{avel e o limite de toda sequˆ}_{encia convergente ´}_{e ´}_{unico, ent˜}_{ao X}

´e Hausdorff.

Demonstra¸c˜ao. (1) Suponha que existe uma sequˆencia (xn)n∈N em X tal que xn → x

e xn → y, com x, y ∈ X distintos. Como (X, T) ´e Hausdorff, existem Ux, Uy ∈ T tais

que x ∈ Ux, y ∈ Uy e Ux∩ Uy = ∅. Como xn→ x, existe n1 ∈ N tal que xn ∈ Ux para

todo n > n1. Tamb´em, como xn → y, existe n2 ∈ N tal que xn ∈ Uy para todo n > n2.

Assim, para m = max{n1, n2}, temos que xn ∈ Ux∩ Uy, se n > m, o que contradiz o

fato de Ux∩ Uy = ∅. Logo (xn)n∈N n˜ao pode admitir dois limites distintos.

(2) Suponha que (X, T) n˜ao ´e Hausdorff. Assim, existem x, y ∈ X distintos tais que

U ∩ V 6= ∅, ∀U ∈ T(x), V ∈ T(y)

Como (X, T) ´e 1o_-enumer´_{avel, existem}_{B(x) e B(y) bases de vizinhan¸cas enumer´aveis}

decrescentes de x e y,

B(x) = {B1, B2· · · }, B(y) = {B01, B 0 2· · · },

(4)

com Bi+1 ⊆ Bi e Bi+10 ⊆ Bi0, para todo i ∈ N. Agora, para todo k ∈ N, sendo Bk e Bk0

vizinhan¸cas, existem Uk ∈ T(x) e Vk∈ T(y) tais que Uk ⊆ Bk e Vk ⊆ Bk0.

Como Uk∩ Vk 6= ∅, escolha xk ∈ Uk ∩ Vk. Por constru¸c˜ao, a sequˆencia (xk)k∈N

converge para x e para y. De fato, seja W ∈ N(x). Como B(x) ´e base de vizinhan¸ca de x, existe n1 ∈ N tal que x ∈ Bn1 ⊆ W . ComoB(x) ´e base de vizinhan¸ca decrescente,

para todo k > n1, temos que xk ∈ Bn1. Como Bn1 ⊆ W , conclu´ımos que xk ∈ W para

todo n > n1. Portanto xk → x. Analogamente mostra-se que xk → y, o que contradiz

a hip´otese. Logo X ´e Hausdorff.

Observa¸c˜ao 1.1. No Exemplo 1.4, as sequˆencias convergentes em (X, Tco-en) possuem

um único limite, porém o espa¸co (X, Tco-en) não é Hausdorff.

A observa¸c˜ao acima ilustra a necessidade da primeira enumerabilidade do espa¸co topol´ogico no item (2) do Teorema 1.5.

No teorema anterior vimos como determinar quando um espa¸co topológico é Haus-dorff através da unicidade do limite de uma sequência. Nosso intesse agora é caracte-rizar o fecho de um subconjunto utilizando sequências.

Teorema 1.6. Seja (X, T) um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X.

1. Se existe uma sequˆencia (xn)n∈N ⊆ A tal que xn→ x, ent˜ao x ∈ ¯A.

2. Se X ´e 1o_-enumer´_{avel e x ∈ ¯}_{A, ent˜}_{ao existe uma sequˆ}_{encia (x}

n)n∈N ⊆ A tal que

xn→ x.

Demonstra¸cão. (1) Para que x ∈ ¯A, é suficiente e necessário que para todo U ∈ T(x) tenha-se que U ∩ A 6= ∅. Como existe (xn)n∈N em A tal que xn → x, para U ∈ T(x),

existe m ∈ N tal que xn ∈ U para todo n > m. Assim, U ∩ A 6= ∅.

(2) Seja x ∈ ¯A. Como X é 1o-enumerável, existe B(x) base de vizinhan¸ca enu-merável decrescente de x,

B(x) = {B1, B2· · · } com Bi+1⊆ Bi, ∀i ∈ N

Como x ∈ ¯A, temos que A ∩ Bk 6= ∅, para todo k ∈ N. Seja (xk)k∈N sequˆencia em A

tal que xk ∈ Bk, para todo k ∈ N. Desta forma, xk → x, pois dado U ∈ N(x), como

B(x) ´_{e base de vizinhan¸ca de x, existe m ∈ N tal que B}m ∈ U . Por constru¸c˜ao e como

(5)

Exemplo 1.7. A condi¸cão do espa¸co ser 1o-enumerável é realmente necessária em (2). De fato, sejam (R, Tco-en) e A = (−∞, 0]. Como ¯A é a interse¸cão de todos os fechados

que contém A e os fechados em Tco-en são conjuntos enumeráveis e R, temos que o

´

unico fechado que contém A ´_{e R. Desta forma, ¯}_{A = R. Porém, como as sequências} convergentes em (R, Tco-en) são constantes a partir de um determinado ´ındice, temos

que 1 ∈ ¯A, porém não existe sequência em A = (−∞, 0] que converge para 1.

Além da defini¸cão usual de continuidade de fun¸cões entre espa¸cos topológicos, po-demos definir uma continuidade através de sequências.

Defini¸cão 1.8. Seja f : (X, TX) −→ (Y, TY) uma fun¸cão. Dizemos que f é

sequen-cialmente cont´ınua se para toda sequˆencia (xn)n∈N tal que xn → x em X, a sequˆencia

(f (xn))n∈N converge em Y e vale f (xn) → f (x).

Vejamos que, sob certas hipóteses, ambas defini¸cões de continuidade coincidem. Teorema 1.9. Sejam (X, TX) e (Y, TY) espa¸cos topológicos e f : X −→ Y .

1. Se f é cont´ınua, então f é sequencialmente cont´ınua.

2. Se X é 1o-enumerável e f é sequencialmente cont´ınua, então f é cont´ınua. Demonstra¸cão. (1) Seja (xn)n∈N sequência em X tal que xn → x. Mostremos que

f (xn) → f (x). Seja V ∈ NY(f (x)), logo existe U ∈ TY(f (x)) tal que f (x) ∈ U ⊆

V . Como f ´e cont´ınua, f−1(U ) ∈ TX(x). Agora, como xn → x, existe m ∈ N tal

que xn ∈ f−1(U ), para todo n > m, ou seja, f (xn) ∈ U ⊆ V , para todo n > m.

Portanto, f (xn) → f (x). Como a sequência (xn)n∈N é arbitrária, conclu´ımos que f é

sequencialmente cont´ınua.

(2) Suponha que f não é cont´ınua, desta forma existe x ∈ X tal que f não é cont´ınua em x, logo existe V ∈ NY(f (x)) tal que f−1(V ) /∈ NX(x). Como (X, TX) é

1o-enumer´avel, podemos escolher B(x) base de vizinhan¸ca enumer´avel decrescente de x,

B(x) = {B1, B2· · · } com Bi+1⊆ Bi, ∀i ∈ N

Para cada n ∈ N, temos que Bn * f−1(V ), uma vez que f−1(V ) /∈ NX(x), assim, para

todo n ∈ N, pode-se escolher xn ∈ Bn tal que xn ∈ f/ −1(V ), logo f (xn) /∈ V . Por

constru¸c˜ao, temos que xn→ x e, como f ´e sequencialmente cont´ınua, f (xn) → f (x), o

que ´e um absurdo, pois V ∈ NY(f (x)) ´e tal que f (xn) /∈ V , para todo n ∈ N. Portanto,

(6)

Exemplo 1.10. Seja Id : (R, Tco-en) −→ (R, Tdisc) a fun¸c˜ao identidade. Seja (xn)n∈N

sequˆ_{encia em (R, T}co-en) tal que xn → x. Pelo Exemplo 1.4, existe N ∈ N tal que

xn = x, para todo n > N. Logo, temos que xn → x em (R, Tdisc) tamb´em, pois para

qualquer V ∈ Ndisc(x), vale que xn ∈ V , para todo n > N.

Vejamos que Id n˜ao ´e cont´ınua. Seja {1} ∈ Tdisc, assim, Id−1({1}) = {1} /∈ Tco-en,

pois R − {1} não é vazio, nem enumerável.

A última propriedade topológica que iremos caracterizar utilizando sequências será a compacidade. Entretanto, não será suficiente exigirmos a 1a_{-enumerabilidade do espa¸co}

para conseguirmos a equivalência das defini¸cões como fizemos nos casos anteriores. Defini¸cão 1.11. Seja (X, T) espa¸co topológico e A ⊆ X. Dizemos que x ∈ X é ponto de acumula¸cão de A se toda vizinhan¸ca de x possuir pontos de A distintos de x, ou seja, x ∈ A − {x}. Denotamos por A0 o conjunto de todos os pontos de acumula¸cão de A.

Pode-se mostrar que para todo A ⊆ X, vale que ¯A = A ∪ A0.

Defini¸cão 1.12. Um espa¸co topológico (X, T) possui a propriedade de Bolzano-Weierstrass se todo subconjunto infinito de X possuir um ponto de acumula¸cão.

Defini¸cão 1.13. Seja (xn)n∈N sequência em (X, T). Dizemos que (yn)n∈N é

sub-sequˆencia de (xn)n∈N se existir N : N −→ N, com N (k) = nk, fun¸c˜ao crescente

(ou seja, se k > l, ent˜ao nk > nl), tal que y = x ◦ N . Neste caso, note que

yk = y(k) = x ◦ N (k) = x(N (k)) = xN (k) = xnk. Assim, podemos escrever (yn)n∈N

como (xnk)k∈N

Defini¸cão 1.14. Um espa¸co topológico (X, T) é sequencialmente compacto se toda sequência em X possuir uma subsequência convergente.

Proposi¸cão 1.15. Seja (X, T) espa¸co topológico. Se X é sequencialmente compacto, então X possui a propriedade de Bolzano-Weierstrass.

Demonstra¸c˜ao. Seja A ⊆ X infinito, logo podemos extrair uma sequˆencia (xn)n∈N de

elementos distintos em A. Como X é sequencialmente compacto, existe subsequência convergente (xnk)k∈N. Assim, o limite de (xnk)k∈N é um ponto de acumula¸cão de A.

(7)

Teorema 1.16. Seja (X, T) espa¸co topol´ogico.

1. Se X é compacto, então X possui a propriedade de Bolzano-Weierstrass; 2. Se X é compacto e 1o-enumerável, então X é sequencialmente compacto.

Demonstra¸cão. (1) Seja S ⊆ X subconjunto infinito. Suponha que S não possui ponto de acumula¸cão. Assim, como ¯S = S ∪ S0, temos que S é fechado. Como X é compacto, conclu´ımos que S é compacto. Seja x ∈ S. Uma vez que x não é ponto de acumula¸cão de S, existe Ux ∈ T(x) tal que Ux∩ S = {x}. Deste modo, {Ux}x∈S é uma cobertura

aberta de S e, como S ´e compacto, existe uma subcobertura finita {Ux1, · · · , Uxn}.

Assim,

S ⊆ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn.

Como Uxk ∩ S = {xk}, para cada k = 1, · · · , n, temos que S = {x1, · · · , xn},

contra-dizendo o fato de S ser infinito. Portanto S deve possuir pelo menos um ponto de acumula¸c˜ao.

(2) Seja (xn)n∈N sequˆencia em X. Para cada n ∈ N, defina

Un= X − {xi; i > n}

Note que (Un)_n∈N ´e uma fam´ılia crescente de abertos de X, ou seja, Un ⊆ Un+1, para

todo n ∈ N.

Mostremos que [

n∈N

Un 6= X. De fato, caso contr´ario, (Un)_n∈N seria cobertura aberta

de X e, como X ´e compacto, existiria Un1, · · · Unk tal que

X = Un1 ∪ · · · ∪ Unk

Como (Un)_n∈N ´e uma fam´ılia crescente de abertos, X = UM, com M = max

i=1,...,k{ni}, o

que ´e um absurdo pela constru¸c˜ao dos conjuntos Un. Assim,

[

n∈N

Un6= X.

Seja x ∈ X tal que x /∈ Un, para todo n ∈ N. Como X ´e 1o-enumer´avel, podemos

escolher B(x) base de vizinhan¸ca enumer´avel decrescente de x, B(x) = {B1, B2· · · } , com, Bi+1⊆ Bi, ∀i ∈ N.

Como x /∈ U1, tem-se que x ∈ {xi; i > 1}, logo V ∩ {xi; i > 1} 6= ∅, para todo

(8)

Como x /∈ Un1+1, temos que x ∈ {xi; i > n1+ 1}, assim, podemos escolher n2 > n1

tal que xn2 ∈ B2. Repetindo este procedimento, escolhemos ´ındices n1 < n2 < · · · tais

que xnk ∈ Bk, para todo k ∈ N. Desta maneira, (xnk)k∈N ´e subsequˆencia de (xn)n∈N

tal que xnk → x. Portanto X ´e sequencialemnte compacto.

Para a demonstra¸cão da caracteriza¸cão dos conjuntos compactos através das sequências, utilizaremos o seguinte resultado.

Lema 1.17. Seja (X, d) espa¸co m´etrico e U = (Ui)_i∈I uma cobertura aberta de (X, d).

Se X é sequencialmente compacto, existe δ > 0 tal que para cada subconjunto de X de diâmetro menor que δ, existe Ui ∈U que o contém.

O número δ é chamado de Número de Lebesgue de U .

Demonstra¸c˜ao. SejaU = (Ui)i∈I uma cobertura aberta de X e suponha que n˜ao existe

δ > 0 tal que para cada subconjunto de X de diˆametro menor que δ, existe Ui ∈ U

que o contém. Mostremos que neste caso X não é sequencialmente compacto.

Como U n˜ao possui n´umero de Lebesgue, para todo n ∈ N existe Cn ⊆ X de

diˆametro menor que _n1 tal que Cn * Ui, para todo i ∈ I. Para cada n ∈ N, escolha

xn∈ Cn. Mostremos que (xn)n∈N n˜ao possui subsequˆencia convergente.

Suponha que (xnk)k∈Nseja subsequˆencia de (xn)n∈Ntal que xnk → x. ComoU cobre

X, existe i ∈ I tal que x ∈ Ui e, como Ui ´e aberto, existe ε < 0 tal que B(x, ε) ⊆ Ui.

Escolha K ∈ N suficientemente grande tal que d(xnK, x) < ε 2 e 1 nK < ε 2.

Logo, CnK ⊆ B(x, ε) ⊆ Ui, o que contradiz a constru¸c˜ao dos conjuntos Cn.

Teorema 1.18. Seja (X, T) um espa¸co topológico metrizável. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

1. X ´e compacto.

2. X possui a propriedade de Bolzano-Weierstrass. 3. X ´e sequencialmente compacto.

Demonstra¸c˜ao. (1) ⇒ (2)

Foi mostrado o caso geral no item (1) do Teorema 1.16. (2) ⇒ (3)

Seja (xn)n∈N sequˆencia em X. Se o conjunto S = {xn; n ∈ N} for finito, existe

¯

x ∈ X tal que xn = ¯x, para uma infinidade de ´ındices n. Assim, podemos extrair uma

(9)

Se S for infinito, pela hipótese, S possui um ponto de acumula¸cão x. Se existir uma infinidade de ´ındices n tais que xn= x, novamente podemos extrair uma subsequência

constante igual a x, a qual converge.

Caso exista no m´aximo um n´umero finito de ´ındices para os quais xn = x, existe

N ∈ N tal que xn 6= x, para todo n > N. Assim, para extrair uma subsequˆencia

convergente de (xn)n∈N, podemos assumir que x /∈ S.

Como (X, T) é metrizável, em particular é Hausdorff e 1o-enumerável, logo, existe B(x) base de vizinhan¸ca enumerável decrescente de x,

B(x) = {B1, B2· · · } com Bi+1⊆ Bi, ∀i ∈ N

Como x ∈ S0, temos que B1∩ S 6= ∅. Assim, podemos escolher xn1 ∈ B1∩ S. Como

X é Hausdorff, {x1, · · · , xn1} é fechado (e não contém x), logo B2 − {x1, · · · , xn1}

´e vizinhan¸ca de x. Assim, existe xn2 ∈ (B2 − {x1, · · · , xn1}) ∩ S. Desta maneira,

constru´ımos uma subsequˆencia (xnk)k∈N tal que xnk ∈ Bk, para todo k ∈ N. Logo,

xnk → x.

(3) ⇒ (1)

Primeiramente, provaremos que para todo ε > 0, existe uma cobertura aberta finita de X que consiste de bolas de raio ε. De fato, suponha que n˜ao existe tal cobertura. Assim, seja x1 ∈ X qualquer. A bola B(x1, ε) n˜ao cobre todo o X, logo

existe x2 ∈ X − B(x1, ε). Em geral, escolhido x1, x2, . . . , xn, escolha xn+1 tal que

x /∈ B(x1, ε) ∪ · · · ∪ B(xn, ε). Dessa forma, d(xn+1, xi) > , para todo i = 1, . . . , n.

Assim, a sequência (xn)n∈N não possui subsequência convergente, uma vez que, por

constru¸cão, qualquer bola de raio ε₂ possui no máximo um elemento da sequência, o que contradiz o fato de (X, d) ser sequencialmente compacto.

Seja U = {Ui}i∈I cobertura aberta de X. Como X ´e sequencialmente compacto,

existe um n´umero de Lebesgue δ da cobertura U . Seja C = B xj,δ₃

N

j=1 cobertura

finita de X por bolas de raio δ₃. Como cada bola tem diˆametro 2δ₃, para cada j = 1, . . . , N , existe Uj ∈U tal que B xj,δ₃ ⊆ Uj. Assim, X = U1∪ · · · ∪ UN e, portanto,

X ´e compacto.

2 Conjuntos Dirigidos e Redes

Ao analisarmos a convergência sequencial, conclu´ımos que, além de usarmos a fun¸cão que associa a cada natural um ponto do espa¸co, o uso da rela¸cão de ordem presente

(10)

nos números naturais é fundamental. Para generalizar a no¸cão de sequência, um pri-meiro passo é substituir seu dom´ınio por outro conjunto que possua uma certa ordem, semelhante a dos naturais. Observando quais propriedades da ordem dos números na-turais são necessárias para se estudar a convergência de sequências, temos a no¸cão de conjuntos dirigidos apresentada a seguir.

Defini¸cão 2.1. Um conjunto dirigido ´_{e um par (D, >) onde D é um conjunto não} vazio e > é uma rela¸cão binária em D satisfazendo:

(i) Para todos m, n, p ∈ D, Se m > n e n > p ent˜ao m > p; (ii) para todo n ∈ D, n > n;

(iii) Para todos m, n ∈ D, existe um p ∈ D tal que p > m e p > n. Nestas condi¸c˜_{oes, diremos que > direciona o conjunto X.}

Exemplo 2.2. _{a) N com a rela¸c˜ao de ordem usual ´e um conjunto dirigido;}

b) Seja X um espa¸co topol´_{ogico e x ∈ X. Defina U > V quando U ⊆ V , ent˜ao o} sistema de vizinhan¸cas Nx ´e um conjunto dirigido.

Defini¸cão 2.3. Uma rede em um conjunto X é um fun¸cão S : D −→ X onde D é um conjunto dirigido.

Claramente uma sequência é um caso muito especial de rede. Assim como no caso das sequências, dada uma rede S : D −→ X e um n ∈ D, utilizamos a nota¸cão Sn

no lugar de S(n). Seja X um espa¸co topol´ogico e x ∈ X. Escolhendo SU ∈ U para

U ∈ Nx, então (SU)U ∈Nx é uma rede em X. Note então que temos dois exemplos de

redes para os conjuntos dirigidos do Exemplo 2.2.

Defini¸c˜ao 2.4. Seja (X, T) um espa¸co topologico e S : D −→ X uma rede. Ent˜ao dizemos que S converge para o ponto x ∈ X se dado qualquer conjunto aberto U contendo x, existe m ∈ D tal que para qualquer n ∈ D, com n > m temos que Sn ∈ U .

Chamaremos, neste caso, x de um limite de S em X.

Observe que a convergência depende tanto da topologia T como da rede S. Note que a rede SU do parágrafo anterior converge trivialmente para x pois pela defini¸cão

(11)

Defini¸cão 2.5. Um subconjunto E de um conjunto dirigido D é dito eventual se existe m ∈ D tal que para todo n ∈ D com n > m temos que n ∈ E. Uma rede S : D −→ X está eventualmente em um subconjunto A de X se o conjunto S−1(A) é um subconjunto eventual de D.

Ou seja, a defini¸cão nos diz que um subconjunto E é eventual se, e somente se, ele contém todos os elementos de D “após um certo estágio” e uma rede S : D −→ X está eventualmente em A se, e somente se, A contém todos os seus termos após um certo estágio.

Proposi¸c˜_{ao 2.6. Se (D, >) é um conjunto dirigido e E é um subconjunto eventual} de D, então E, com a restri¸c˜_{ao de > é um conjunto dirigido. Além disso, uma rede} S : D −→ X, onde X é um espa¸co topologico, converge para x ∈ X se, e somente se, a restri¸cão S|E : E −→ X converge para x ∈ X.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja >}0 a rela¸c˜_{ao > restrita a E. A transitividade e a reflexividade de} >0 seguem das propriedades correspondentes de >. Sejam m1, m2 ∈ E. Por defini¸c˜ao,

existe m ∈ D tal que n > m implica que n ∈ E para todo n ∈ D. Agora existe um n ∈ D tal que n > m1, n > m2 e n > m . Claramente n ∈ E e n >0 m1, n >0 m2.

Isto prova que >0 direciona E. Seja S : D −→ X uma rede no espa¸co topologico X e x ∈ X. Denotaremos por T a restri¸c˜ao S|E. Suponha que S converge para x e

seja U um aberto em X contendo x. Existe m1 ∈ D tal que para todo n ∈ D com

n > m1, temos que S(n) ∈ U . Considere m como definido inicialmente e m2 ∈ D tal

que m2 > m e m2 > m1. Ent˜ao m2 ∈ E e, para qualquer n ∈ E com n >0 m2, temos

que n > m2 em D e assim, por transitividade, n > m1. Ent˜ao T (n) = S(n) ∈ U , o que

prova que T converge para x ∈ X.

Defini¸c˜_{ao 2.7. Seja (D, >) um conjunto dirigido. Um subconjunto F ⊆ D é dito} cofinal de D se para todo m ∈ D, existe n ∈ F tal que n > m. Uma rede S : D −→ X está frequentemente no subconjunto A de X se S−1(A) é um subconjunto cofinal de D. Pela defini¸cão, é claro que todo subconjunto eventual é um subconjunto cofinal. Porém a rec´ıproca não ´_{e verdadeira. Com efeito, considere N com a rela¸cão de} or-dem usual, os subconjunto dos números pares é um subconjunto cofinal, porém não é eventual.

(12)

Proposi¸c˜_{ao 2.8. Seja F um subconjunto cofinal de um conjunto dirigido (D, >).} Então a restri¸c˜_{ao de > a F transforma este em um conjunto dirigido. Se uma rede} S : D −→ X converge para um ponto x ∈ X, então sua restri¸cão S|F : F −→ X

tamb´em converge para x ∈ X.

A demonstra¸cão desta proposi¸cão segue as mesmas ideias da prova da Proposi¸cão 2.6.

Assim, caso se saiba de que a rede S é convergente, seus limites podem ser en-contrados através da restri¸cão a qualquer subconjunto cofinal. Pode acontecer que a restri¸cão de uma rede para subconjunto cofinal convirja, embora a rede original não seja convergente.

Defini¸cão 2.9. Seja S : D −→ X uma rede. Um ponto x ∈ X é um ponto de acumula¸cão de S se para toda vizinhan¸ca U de x ∈ X, e m ∈ D, existe um n ∈ D tal que n > m e Sn ∈ U . Equivalentemente x é um ponto de acumula¸cão de S se, e

somente se, toda vizinhan¸ca U de x ´e est´a frequentemente em D.

Esta defini¸cão nada mais é do que uma generaliza¸cão da no¸cão de ponto de acu-mula¸cão de uma sequência. É claro que se uma rede S converge para um ponto x ∈ X, então x é um ponto de acumula¸cão. Na realidade, um resultado mais geral é válido. Proposi¸cão 2.10. Suponha que S : D −→ X é uma rede e F é um subconjunto cofinal de S. Se S|F : F −→ X converge para um ponto x ∈ X, então x é um ponto

de acumula¸c˜ao de S.

Demonstra¸c˜ao. Seja U uma vizinhan¸ca de x em X. Ent˜ao existe m1 ∈ F tal que para

qualquer n ∈ F com n > m1 temos que Sn ∈ U . Agora seja m ∈ D dado. Escolha

n1 ∈ D tal que n1 > m e n1 > m1. Agora escolha n ∈ F tal que n > n1. Ent˜ao

Sn ∈ U . Donde S est´a frequentemente em U , e, como U era qualquer, x ´e um ponto

de acumula¸c˜ao de S.

Sabemos que um ponto x é de acumula¸cão de uma sequência de números reais se, e somente se, existe uma subsequência convergindo para ele. Uma propriedade análoga é válida para redes. Para tanto, primeiramente precisamos introduzir o conceito de subrede.

Defini¸cão 2.11. Sejam S : D −→ X e T : E −→ X redes. Então T é dita uma subrede de S se existe uma fun¸cão N : E −→ D tal que,

(13)

(i) T = S ◦ N ;

(ii) Para qualquer n ∈ D, existe p ∈ E tal que para todo m ∈ E com m > p implica que N (m) > n em D, onde a mesma nota¸cão > foi utilizada para as rela¸cões binárias direcionando D e E.

Teorema 2.12. Seja S : D −→ X uma rede em um espa¸co topologico e seja x ∈ X. Então x é um ponto de acumula¸cão de S se, e somente se, existe uma subrede de S que converge para x em X.

Demonstra¸cão. Primeiro suponha que T : E −→ X é uma subrede de S que converge para x em X. Seja N : E −→ D a fun¸cão dada na defini¸cão de subrede. Seja U qualquer vizinhan¸ca de x em X, e seja m1 ∈ D. Então existe p ∈ E tal que para

todo m ∈ E, m > p implica que N (m) > m1. Tamb´em pelo fato de T convergir para

x, existe um q ∈ E tal que para todo m ∈ E tal que m > q temos T (m) ∈ U , isto ´_{e, S(N (m)) ∈ U . Agora escolha m ∈ E tal que m > p, m > q e seja n = N(m).} Ent˜_{ao n > m}1 e Sn ∈ U . Como m1 e U são arbitrários, temos que x é um ponto de

acumula¸c˜ao de S.

Reciprocamente, suponha que x ´e um ponto de acumula¸c˜ao de S. Vamos construir uma subrede T de S que converge para x. Seja Nx um sistema de vizinhan¸ca do ponto

x em X. Seja > a rela¸c˜ao bin´aria do conjunto dirigido D. Defina E por, E := {(n, U ) ∈ D × Nx : Sn ∈ U } .

Para (n, U ), (m, V ) ∈ E defina (n, U ) > (m, V ) se, e somente se, n > m em D e U ⊆ V . É facil ver que esta rela¸cão binária direciona o conjunto E.

Agora defina T : E −→ X por T (n, U ) = S(n) para (n, U ) ∈ E. Então T é uma rede em X e atua como uma subrede de S, pois, se definimos N : E −→ D por N (n, U ) = n, temos que as condi¸cões da defini¸cão de subrede são satisfeitas. Deste modo, T converge para x. De fato, seja G uma vizinhan¸ca dada de x em X. Como x é um ponto de acumula¸cão de S, temos que S está frequentemente em G. Em particular, fixado qualquer n ∈ D tal que Sn ∈ G, temos (n, G) ∈ E. Agora, para

qualquer (m, U ) ∈ E tal que (m, U ) > (n, G), temos que T (m, U) = Sm ∈ U ⊆ G, ou

(14)

3 Caracteriza¸

c˜

ao de propriedades topol´

ogicas

Nesta se¸cão iremos mostrar que certas propriedades topológicas podem ser caracteri-zadas em termos de convergência de redes. O próximo teorema visa caracterizar os espa¸cos topológicos que são Hausdorff.

Teorema 3.1. Um espa¸co topologico X é Hausdorff se, e somente se, os limites de todas as redes em X são únicos.

Demonstra¸cão. Suponha que X é Hausdorff e que S : D −→ X é um rede em X que converge para x e y em X. Vamos mostrar que x = y. Com efeito, suponha que x 6= y como X é Hausdorff existem aberto U e V tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. Pela defini¸cão de convergência, existem m1, m2 ∈ D tais que para todo n ∈ D, n > m1

temos Sn∈ U e n > m2 implica Sn∈ V . Agora como D ´e um conjunto dirigido, existe

n0 ∈ D tal que n0 > m1 e n0 > m2. Assim, temos que Sn0 ∈ U ∩ V , uma contradi¸c˜ao.

Logo devemos ter x = y.

Suponha agora que toda rede em X possui no maximo um único limite em X. Se X não é Hausdorff então existem dois pontos distintos x e y que não podem ser separados por abertos em X. Seja Nx e Ny bases de vizinhan¸cas de X em x e y

respectivamente. Defina D := Nx× Ny e para (U1, V1) , (U2, V2) ∈ D a rela¸c˜ao bin´aria

> dada por (U1, V1) > (U2, V2) se, e somente se, U1 ⊆ U2 e V1 ⊆ V2. Assim constru´ıdo,

D ´e um conjunto dirigido. Vamos agora definir uma rede S : D −→ X. Para quaisquer U ∈ Nx e V ∈ Ny, sabemos que U ∩ V 6= ∅ Defina S(U, V ) para qualquer ponto

em U ∩ V . É claro que a rede S converge para x. De fato, seja G uma vizinhan¸ca aberta de x. Ent˜_{ao (G, X) ∈ D e se, (U, V ) > (G, X) em D então U ⊆ G e então} S(U, V ) ∈ U ∩ V ⊆ U ⊆ G. Assim, S converge para x. Do mesmo modo S converge para y, contradizendo a hipotese. Logo X é Hausdorff.

Note que para o caso das sequências, t´ınhamos uma única implica¸cão e para obter-mos a rec´ıproca, precisávamos da hipótese do espa¸co topológico ser 1o-enumerável, o que não é necessário para as redes, pela liberdade que temos sobre seu dom´ınio, uma vez que para sequências o dom´ınio é sempre o conjunto dos números naturais. Vamos obter agora uma descri¸cão dos conjuntos fechados.

Proposi¸c˜ao 3.2. Seja A um subconjunto do espa¸co topologico X e seja x ∈ X. Ent˜ao x ∈ ¯A se, e somente se, existe uma rede em A que converge para x em X.

(15)

Demonstra¸cão. Suponha que S : D −→ A uma rede convergente para x ∈ X. Seja U uma vizinhan¸ca de x. Ent˜_{ao existe um n ∈ D tal que para todo m ∈ D, m > n implica} Sm ∈ U . Porém Sm ∈ A para todo m ∈ D. Então A ∩ U 6= ∅. Como U era qualquer

concluimos que x ∈ ¯A.

Reciprocamente, suponha que x ∈ ¯A. Assim, toda vizinhan¸ca de x intercepta A. Seja Nx um sitema de vizinhan¸cas de x em X, direcionado do modo usual. Defina

S : Nx −→ A por S(U ) = xU, com xU ∈ U ∩ A qualquer. Ent˜ao S ´e uma rede em A

claramente convergente para x em X. Seja G qualquer conjunto aberto em X contendo x. Ent˜ao para qualquer U ∈ Nx com U > G temos que U ⊆ G e ent˜ao S(U ) ∈ U ⊆ G,

donde S converge para x em X.

Corolário 3.3. Um subconjunto A de X é fechado se, e somente se, os limites de redes em A estão em A.

Demonstra¸cão. Segue da ultima proposi¸cão e do fato que um conjunto A é fechado se, e somente se, A = ¯A.

Teorema 3.4. Um subconjunto B de um espa¸co X ´e aberto se, e somente se, n˜ao existe rede em X − B convergindo para um ponto em B.

Demonstra¸cão. Basta aplicar o último corolário em X − B.

Corol´ario 3.5. Sejam T1 e T2 duas topologias no conjunto X tal que uma rede converge

em X com respeito a T1 se, e somente se, tamb´em converge com respeito a T2. Ent˜ao

T1 = T2.

Demonstra¸cão. Seja B ∈ T1. Então pelo Teorema 3.4 não existe rede em X − B

convergente para um ponto em B com respeito a T1 por´em a convergencia em T2 ´e

dada de maneira igual com respeito a T1 donde n˜ao existe rede em X − B convergindo

para um ponto em B com respeito a T2. Ent˜ao novamente pelo Teorema 3.4 B ´e aberto

com respeito a T2,isto é, B ∈ T2 e então T1 ⊆ T2. De modo análogo T2 ⊆ T1 ou seja,

T1 = T2.

Vamos agora caracterizar as fun¸c˜oes cont´ınua atrav´es de redes.

Teorema 3.6. Sejam X e Y espa¸cos topologicos, x0 ∈ X e f : X −→ Y uma fun¸c˜ao.

Ent˜ao f ´e cont´ınua em x0 se, e somente se, f (S) converge para f (x0) em Y , para toda

(16)

Demonstra¸cão. Suponha que f é cont´ınua em x0 e S : D −→ X é uma rede em X

convergindo para x0. Seja V qualquer vizinhan¸ca de f (x0) em Y . Ent˜ao f−1(V ) ´e

uma vizinhan¸ca de x0 em X. Como S converge para x0, existe m ∈ D tal que para

todo n ∈ D, n > m temos Sn ∈ f−1(V ). Ent˜ao para todo n > m, f (Sn) ∈ V ou seja,

f (S(x0)) converge para f (x0) em Y.

Reciprocamente, suponha que f n˜ao em cont´ınua em x0. Ent˜ao existe uma

vizi-nhan¸ca V de f (x0) tal que f−1(V ) n˜ao ´e uma vizinhan¸ca de x0, ou seja toda

vizi-nhan¸ca de x0 intercepta X − f−1(V ). Agora seja Nx0 um sistema de vizinhan¸cas de

x0 direcionada da forma usual. Defina S : Nx −→ X, sendo S(N ) qualquer ponto em

N ∩ (X − f−1(V )). Ent˜ao S converge para x0 em X. Para qualquer vizinhan¸ca U dada

de x0, U ´e um elemento do dom´ınio Nx0 e tamb´em para qualquer N ∈ Nx0, N > U

implica N ⊆ U e então S(U ) ∈ N ⊆ U . Por outro lado a composta f (S) assume va-lores somente em Y − V . Então V é uma vizinhan¸ca de f (x0) que não contém pontos

de f (S). Então f (S) não converge para f (x0), contradizendo a hipótese. Portanto f é

cont´ınua em x0.

Proposi¸cão 3.7. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia não vazia de espa¸cos topológicos não

vazios,e seja X =Y

i∈I

Xi. Ent˜ao uma rede (Sn)n∈D converge para x ∈ X se, e somente

se, a rede (πi(Sn))n∈D converge para πi(x) em Xi para cada i ∈ I.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que Sn converge para x ∈ X. Ent˜ao πi(Sn) converge para

πi(x) ∈ Xi j´a que cada πi ´e cont´ınua. consequentemente suponha que cada πi(Sn)

converge para πi(x) para casa i ∈ I. seja U =

\

j∈J

π_j−1(Uj), com J finito e Uj aberto em

Xj (note que U ´e uma vizinhan¸ca aberta de x). Para cada j ∈ J , temos que πj(x) ∈ Uj.

Logo existe nj ∈ D tal que,

πj(Sn) ∈ Uj para todo n > nj

Como D ´e um conjunto dirigido, existe um n0 ∈ D tal que n0 > nj para todo j ∈ J .

Segue disto que,

Sn ∈

\

j∈J

π_j−1(Uj) para n > n0

, ou seja, Sn converge para x ∈ X.

Defini¸c˜ao 3.8. Uma fam´ılia F de subconjuntos de um conjunto X possui a propriedade de interse¸c˜_{ao finita (abreviada por p.i.f.), se para qualquer n ∈ N e F}1, F2, . . . , Fn ∈ F,

a intersec˜ao

n

\

i=1

(17)

Proposi¸cão 3.9. Se uma fam´ılia F de subconjuntos de um conjunto X é fechada sob a interse¸cão finita, então F é p.i.f. se, e somente se, ∅ /∈ F.

A demonstra¸c˜ao segue trivialmente da defini¸c˜ao de p.i.f..

Proposi¸cão 3.10. Um espa¸co topológico é compacto se, e somente se, toda fam´ılia que subconjuntos fechados de X, com a propriedade da interse¸cão finita, possui a interse¸cão não vazia.

Demonstra¸cão. Seja X um espa¸co topológico. Suponha que X é compacto. Seja C uma fam´ılia de subconjuntos de X e assuma que C possui p.i.f.. Nós temos que \

C∈C

C é não vazia. Se esta interse¸cão é vazia, pelas Leis de De Morgan, a fam´ıliaU formada por todos os complementares dos membros de C seria uma cobertura de X, então existe uma subcobertura finita, digamos X − C1, X − C2, . . . , X − Cn com Ci ∈ C para

i = 1, 2, . . . , n. Por´em, novamente pelas Leis de De Morgan, isto diz que

n

\

i=1

Ci = ∅,

contradizendo o fato de C possuir a propriedade da interse¸c˜ao finita. Ent˜ao \

C∈C

C ´e n˜ao vazia.

Reciprocamente, suponha que X ´e compacto e seja Fλ com λ ∈ Λ uma fam´ılia de

fechados tais que, \

λ∈Λ

Fλ = ∅. Da´ı, temos que

X = \ λ∈Λ Fλ !c = [ λ∈Λ F_λc. Como cada Fc

λ ´e aberto, temos que

[

λ∈Λ

F_λc forma uma cobertura aberta de X. Sendo X compacto, existe uma subcobertura finita, digamos

n [ i=1 F_ic= X. Donde, ∅ = n [ i=1 F_ic !c = n \ i=1 Fi.

Portanto, a fam´ılia Fλ n˜ao ´e p.i.f..

Por fim, vamos descrever os conjuntos compactos através de convergência de redes. Teorema 3.11. Para um espa¸co topológico (X, T), as seguintes afirma¸cões são equi-valentes:

(18)

(2) Toda rede em X possui um ponto de acumula¸c˜ao em X; (3) Toda rede em X possui uma subrede convergente em X.

Demonstra¸c˜ao. Basta apenas mostrar a equivalencia entre (1) e (2), uma vez que (2) e (3) s˜ao equivalentes pelo Teorema 2.12

(1) ⇒ (2)

Seja S : D −→ X uma rede em X. Suponha que X não possui ponto de acumula¸cão. Então, para cada x ∈ X, existem uma vizinhan¸ca Nx e um elemento mx ∈ D tal

que para todo n ∈ D com n > mx, temos S(n) ∈ X − Nx. Cobrindo X por tais

vizinhan¸cas, pela compacidade de X, existem x1, . . . , xk ∈ X tais que X = k

[

i=1

Nxi.

Sejam m1, . . . , mkos elementos correspondentes em D. Como D ´e um conjunto dirigido,

existe n ∈ D tal que n > mi para i = 1, 2, . . . , k. Desta forma,

S(n) ∈ k \ i=1 (X − Nxi) = X − k [ i=1 Nxi = ∅,

uma contradi¸cão. Então S possui, pelo menos, um ponto de acumula¸cão em X e (2) é válida.

(2) ⇒ (1)

Seja C uma fam´ılia de conjuntos fechados de X possuindo a propriedade da in-terse¸cão finita. Seja D a fam´ılia de todas as interse¸cões finitas de elementos de C. Note que D é fechado para interse¸c˜_{ao finita e que C ⊆ D. Para D, E ∈ D defina D > E} se D ⊆ E. Isto torna D um conjunto dirigido, pois sempre que D, E ∈ D, temos que D ∩ E ∈ D e D ∩ E > E, D ∩ E > D. Note que todo elemento de D é não vazio, pois C possui a propriedade da interse¸cão finita. Assim, podemos definir uma rede S : D −→ X,onde S(D) = x ∈ D qualquer. Por (2), esta rede possui um ponto de acumula¸cão x em X. Temos que x ∈ \

C∈C

C, pois do contrário, existiria um C ∈ C tal que x /∈ C. Então X − C é uma vizinhan¸ca de x. Logo C ∈ D, então por defini¸cão de ponto de acumula¸c˜_{ao, existe D ∈ D tal que D > C e S(D) ∈ X − C, mas desta forma,} D ⊆ C e então, X − C ⊆ X − D, contradizendo o fato de S(D) ∈ D. Então x ∈ \

C∈C

C. Logo X ´e compacto pela Proposi¸c˜ao 3.10.

Referˆ

encias

(19)

[2] JOSHI, K. D.; Introduction to general topology. New Age International. 1983. [3] KELLEY, J. L.; General topology. D. Van Nostrand. 1955.

[4] LIMA, E. L.; Elementos de Topologia Geral. Editora SBM. 2009. [5] MUNKRES, J. R.; Topology, a first course. Prentice-Hall, 1974.