LISTA 3 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA II
Prof. Rodrigo Neves
1. Suponha que S = {x, y, z, w} forme um grupo com elemento neutro x. Verifique que para cada uma das condições adicionais seguintes se tem uma única tabela tal que S é um grupo:
a) y*y= z. b) y*y= w
c) y*y= x e z*z= x. d) y*y= x e z*z= y.
2. Seja G = {a, b, c} um conjunto e (G,*) um grupo. Existe uma única forma de completar a tábua a seguir. Complete-a:
3. Se G = {e, a, b, c} forma um grupo em relação a tábua dada abaixo, complete-a:
4. Mostrar que cada uma das tábuas abaixo define uma operação que confere ao conjunto E = {e, a, b, c}uma estrutura de grupo:
a)
b)
5. Seja F o conjunto das funções definidas de em . Definamos a “adição” (+) e a “multiplicação” (·) neste conjunto, para qualquer valor de x real, da seguinte forma:
(f+g)(x) = f(x) + g(x) e (f·g)(x) = f(x)·g(x)
Note que (F,+) é um grupo. Porque (F,·), em geral, não forma um grupo? Justifique.
6. Mostre que o conjunto das funções afins definidas de em , dadas
por f(x) = ax + b, onde a 0, forma um grupo com a operação de composição de funções.
7. Mostre que em um grupo sempre vale a lei do cancelamento.
a, b, c em G. Determine o valor literal de x em função destes elementos a, b e c.
9. Mostre que um grupo (G,·) é abeliano se, e somente se, para todo a, b em G, (a·b)’ = a’ · b’.
10. Observe a afirmação: Se um grupo finito G multiplicativo possuir ordem par, então existe pelo menos um elemento x diferente da unidade em G, tal que x = x’. Procure dois exemplos distintos de grupos de ordem par e determine qual elemento deste grupo é o seu próprio simétrico (ou inverso, já que o grupo deve ser multiplicativo).
11. Verifique se são subgrupos:
a) H = {x / x > 0}, de ( *, ·).
b) H = {z / z = cos(θ) + i·sen(θ)}, de ( *, ·)
c) H = {...,-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...}, de ( , +)
d) H = { z / |z| = 1}, de ( *, ·)
12. Determine todos os subgrupos de:
a) 6
b) 9
c) 20
d) S3
13. Verifique que 12 tem um subgrupo de ordem k para cada divisor, k de 12.
14. Simplifique cada uma das seguintes expressões em , onde [x] é o conjunto de todos os números inteiros que deixam o mesmo resto que x na divisão por 5:
a) [8] + [4] = b) [2] + [7] = c) [17] + [76] = d) [2] x [7] =
e) ([3] x [2]) + ([3] x [4]) = f) [3] x ([2] + [4]) =
15. Construa as tabelas de ( 3;+), ( 3; ·), ( 4;+) e ( 4;·). Diga em
seguida, quais dos pares em questão são grupos. Conclua que ( n, ·) é grupo se, e só se, n for primo.
16. Observe a afirmação: Se A e B são subgrupos finitos de um grupo G e mdc(o(A),o(B)) = 1, então A ∩ B = {e}. Use exemplos baseados em ( 12, +) para averiguar isto.
17. Seja G um grupo finito e H um subgrupo seu. Mostre que a ordem de H divide a ordem de G (ou seja, o(G) tem que ser sempre múltiplo de o(H)).
18. Seja E = {e, a, b, c, d, f} um conjunto. Para cada uma das operações definidas nas tábuas abaixo, analise se o grupo criado é abeliano ou não, e obtenha seus subgrupos de ordem 2 e 3, respectivamente:
b)
19. Sejam H1 e H2 dois subgrupos de um grupo G. Comprove algebricamente ou exemplificando as seguintes afirmações:
a) H1 ∩ H2 é subgrupo de G.
b) H1 H2 é subgrupo de G se, e só se, H1 H2 ou H2 H1.
20. Considere o subconjunto A ={1, -1, i, -i} de .
a) Mostre que (A; ·) é um grupo abeliano.
b) Verifique se (A; ·) é cíclico e em caso afirmativo indique os elementos geradores.
c) Indique todos os subgrupos de (A; ·).
d) Determine a ordem de todos os elementos deste grupo.
21. Ache um grupo de ordem 4 cíclico e um não-cíclico.
22. Observe a afirmação: Todo grupo cíclico infinito possui dois, e somente dois, geradores. Apresente dois exemplos diferentes de grupos cíclicos infinitos e determine seus elementos geradores.
23. Dado um grupo cíclico G gerado por {a}, de ordem 10. Indique todos os subgrupos de G em forma de potências de a.
24. Seja G um grupo gerado por {a} tal que a56 = a73.
a) Supondo a e, qual é a ordem de G?
b) Se fosse a76 = a72 qual seria a ordem de G?
25. Seja G um grupo cíclico gerado por a tal que a21= a6. a) Que pode concluir quanto à ordem de G? b) Qual a ordem do subgrupo gerado por a7?
26. Se G é um grupo finito de ordem n, então vale que an = e qualquer que seja o elemento a de G. Verifique este fato para o conjunto A do exercício 20.
27. Leia atentamente as afirmações abaixo. Elas são equivalentes ou se contradizem? Justifique.
i) Se um grupo finito G multiplicativo possuir ordem par, então existe um elemento x 1 em G, tal que x = x’.
ii) Se um grupo finito G multiplicativo possuir ordem par, então existe um elemento x 1 em G, tal que o(x) = 2.
iii) Seja G um grupo finito de ordem par. O número elementos de G com período 2 é ímpar.
a) O subgrupo gerado por b. b) O período de d.
c) Os elementos geradores de G.
29. A tábua abaixo define uma operação ⊕ que confere ao conjunto G = {e, a, b, c, d, f, g, h} uma estrutura de grupo. Pede-se que determine:
a) O subgrupo gerado por b. b) O período de d.
c) Os elementos geradores de G.
30. Verifique se (G,*), onde G = {1, 2, 3, 4} e a operação definida pela tábua abaixo é grupo.
* 1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
31. Verificar se (R,*) é grupo, onde x * y = xy + 2x + 2y +2
32. Prove que (R-{3},*) é um grupo, sendo x * y = xy – 3x - 3y + 12.
33. Prove que (G,*) é grupo, sendo G = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a operação * definida pela tabela abaixo.
34. Sabendo que (G,*) é grupo. Completar as tábuas:
* 2 3 4 5 6 7
2 2 3 4 5 6 7
3 3 4 2 6 7 5
4 4 2 3 7 5 6
5 5 7 6 2 4 3
6 6 5 7 3 2 4
7 7 6 5 4 3 2
* 1 2 3 4
1 1 3
2
3 4 1
4 4 1
* 5 6 7 8
5 5
6 6
7 7
35. Seja o grupo (G,*). Dados G = { 0, 1, 2 } e a operação definida pela tabela abaixo.
a) Determinar o neutro de (G5, );
b) Determinar o simétrico de α=(1,0,2,1,2)
G5;c) Determinar o simétrico de α=(2,1,1,2,1)
G5 .36. Seja o grupo (G,*). Dados G = { 0, 1, 2, 3 } e a operação definida pela tabela abaixo.
a) Determinar o neutro de (G7, );
b) Determinar o simétrico de α=(0,3,2,1,3,0,2)
G7;c) Determinar o simétrico de α=(1,3,2,0,0,2,3)
G7 .* 1 2 3 4 5 6
1 5 6 3
2 3 4
3 4 6 5
4 5
6 1
* 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
