Caminhos mais curtos

(1)

Caminhos mais curtos

CLRS Secs 24.3 e 25.2

Análise de Algoritmos 2º sem 2017 1 / 58

(2)

Caminhos mais curtos

Dados:

G = (V,E): grafo dirigido

Funçãoc que atribui um comprimento c(e) para cada e ∈E.

Para vérticesu e v, adistância deu a v é o comprimento de um caminho deu av de comprimento mínimo.

Problema 1: Dados G,c e um vértices deG, encontrar a distância des a cada vértice de G. Problema 2: Dados G ec,

encontrar a distância entre todo par de vértices deG. Algoritmo de Dijkstra: comprimentos não negativos Algoritmo de Floyd-Warshall: sem circuitos negativos

(3)

Caminhos mais curtos

Dados:

Para vérticesu e v, adistância deu av é o comprimento de um caminho deu av de comprimento mínimo.

(4)

Caminhos mais curtos

Dados:

Problema 1: Dados G,c e um vértices deG, encontrar a distância des a cada vértice de G.

Problema 2: Dados G ec,

(5)

Caminhos mais curtos

Dados:

encontrar a distância entre todo par de vértices deG.

Algoritmo de Dijkstra: comprimentos não negativos Algoritmo de Floyd-Warshall: sem circuitos negativos

(6)

Caminhos mais curtos

Dados:

encontrar a distância entre todo par de vértices deG. Algoritmo de Dijkstra: comprimentos não negativos

Algoritmo de Floyd-Warshall: sem circuitos negativos

(7)

Caminhos mais curtos

Dados:

(8)

Circuitos negativos

Dados:

Para vérticesu e v, adistância deu av é o comprimento de um caminho entreu e v de comprimento mínimo.

Quando há um circuito de comprimento negativo no grafo, a distância entre certos vértices pode car mal-denida. Poderíamos dar voltas num circuito negativo,

cada vez obtendo um caminho de comprimento menor. Assim denimos a distânciaδ(u,v) como

−∞, caso exista circuito negativo alcançavel deu, e o comprimento de um caminho mais curto deu av c.c.

(9)

Circuitos negativos

Dados:

Quando há um circuito de comprimento negativo no grafo, a distância entre certos vértices pode car mal-denida.

Poderíamos dar voltas num circuito negativo,

cada vez obtendo um caminho de comprimento menor. Assim denimos a distânciaδ(u,v) como

(10)

Circuitos negativos

Dados:

cada vez obtendo um caminho de comprimento menor.

Assim denimos a distânciaδ(u,v) como

(11)

Circuitos negativos

Dados:

cada vez obtendo um caminho de comprimento menor.

Assim denimos a distânciaδ(u,v) como

(12)

Propriedades

P: caminho mais curto de s at Subestrutura ótima:

Subcaminhos deP são caminhos mais curtos.

Lema: Dados G e c, seja P =hv₁, . . . ,v_ki um caminho mais curto emG de v1 a v_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k, P_ij :=hv_i, . . . ,v_ji é um caminho mais curto de v_i a v_j.

Corolário: ParaG e c, se o último arco de um caminho mais curto des a t é o arco ut, então δ(s,t) =δ(s,u) +c(ut).

Lema: ParaG,c es,

Lema: δ(s,v)≤δ(s,u) +c(uv) para todos os arcos uv.

(13)

Propriedades

Lema: Dados G ec, seja P =hv₁, . . . ,v_ki um caminho mais curto emG de v1 a v_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k, P_ij :=hv_i, . . . ,v_ji é um caminho mais curto de v_i a v_j.

Lema: ParaG,c es,

(14)

Propriedades

Lema: ParaG,c es,

(15)

Propriedades

Lema: ParaG,c es,

(16)

Algoritmo de Dijkstra

π: representa os caminhos mínimos atés d: guarda estimativa a distância des ao vértice

D^IJKSTRA(G,c,s)

1 para v ∈V(G)faça v.d ← ∞ v.π←nil 2 s.d ←0

3 Q ←V(G) la de prioridade: chave devév.d

4 enquanto Q 6=∅ faça 5 u←EXTRACT-MIN(Q) 6 para cadav ∈adj(u) faça 7 se v ∈Q ev.d >u.d+c(uv)

8 então v.π ← u v.d ←u.d +c(uv) 9 π ed são a informação desejada.

nada nada

Invariantes: u.d =δ(s,u) seu 6∈Q Invariantes: u.d ≥δ(s,u)se u ∈Q

Onde usamos que não há arestas de comprimento negativo?

(17)

Algoritmo de Dijkstra

D^IJKSTRA(G,c,s)

u.d: comprimento de um caminho mínimo des au u.v: cujos vértices internos estão fora de Q

Invariantes: u.d =δ(s,u) seu 6∈Q

Invariantes: u.d ≥δ(s,u)se u ∈Q

(18)

Algoritmo de Dijkstra

D^IJKSTRA(G,c,s)

Invariantes: u.d =δ(s,u)se u 6∈Q Invariantes: u.d ≥δ(s,u)se u ∈Q

(19)

Algoritmo de Dijkstra

D^IJKSTRA(G,c,s)

Invariantes: u.d =δ(s,u)se u 6∈Q Invariantes: u.d ≥δ(s,u)se u ∈Q

(20)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

Se Q for uma lista simples: Linha 3 e^E^XTRACT-^M^IN:O(n)

Consumo de tempo do Dijkstra: O(n²)

(21)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

Se Q for uma lista simples:

Linha 3 e^E^XTRACT-^M^IN:O(n)

(22)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

Se Q for uma lista simples:

Linha 3 e^E^XTRACT-^M^IN:O(n)

(23)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

Consumo de tempo do Dijkstra: O(m lg n)

Consumo de tempo com Fibonacci heap: O(m+n lg n)

(24)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

Se Q for implementada com um heap:

Inicialização: O(n) EXTRACT-MINe ^D^ECREASE-^K^EY:O(lg n) DECREASE-KEY:linha 8

(25)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

(26)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

D^IJKSTRA(G,c,s)

(27)

Problema 2

Dados:

Funçãoc que atribui um comprimentoc(e) para cada e ∈E.

Hipótese:

Não há circuito de comprimento negativo emG.

Algoritmo de Floyd-Warshall: programação dinâmica

(28)

Problema 2

Dados:

Hipótese:

(29)

Problema 2

Dados:

Hipótese:

(30)

Propriedades

Lema: Dados G e c, seja P =hv₁, . . . ,v_ki um caminho mais curto emG de v₁ a v_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k, Pij :=hvi, . . . ,vji é um caminho mais curto de vi a vj. Vamos identicar V = [n] ={1,2, . . . ,n}.

Para k∈[n], seja P um caminho mais curto des at cujos vértices internos estão todos em[k].

Floyd-Warshall: Usa caminhos mínimos

com vértices intermediários em[k−1] para obter caminhos mínimos com vértices intermediários em[k].

(31)

Propriedades

Lema: Dados G ec, seja P =hv₁, . . . ,v_ki um caminho mais curto emG de v₁ a v_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k, Pij :=hvi, . . . ,vji é um caminho mais curto de vi a vj.

Vamos identicar V = [n] ={1,2, . . . ,n}.

(32)

Propriedades

Lema: Dados G ec, seja P =hv₁, . . . ,v_ki um caminho mais curto emG de v₁ a v_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k, Pij :=hvi, . . . ,vji é um caminho mais curto de vi a vj. Vamos identicar V = [n] ={1,2, . . . ,n}.

(33)

Propriedades

Lema: Dados G ec, seja P =hv₁, . . . ,v_ki um caminho mais curto emG de v₁ a v_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k, Pij :=hvi, . . . ,vji é um caminho mais curto de vi a vj. Vamos identicar V = [n] ={1,2, . . . ,n}.

(34)

Algoritmo de Floyd-Warshall

Usa caminhos mínimos

SejaP um caminho mínimo de i a j em G com vértices intermediários em[k].

SeP não usa k como vértice intermediário, então P é um caminho mínimo de i a j emG então com vértices intermediários em[k−1]. senãoP =P⁰·P⁰⁰ onde

senãoP⁰ é um caminho mínimo de i a k em G senãocom vértices intermediários em [k−1]e senãoP⁰⁰ é um caminho mínimo de k a j em G senãocom vértices intermediários em [k−1].

(35)

Algoritmo de Floyd-Warshall

com vértices intermediários em[k−1] para obter caminhos mínimos com vértices intermediários em[k]. SejaP um caminho mínimo de i a j em G

com vértices intermediários em[k].

(36)

Algoritmo de Floyd-Warshall

SeP não usa k como vértice intermediário, então P é um caminho mínimo de i a j emG então com vértices intermediários em[k−1].

senãoP =P⁰·P⁰⁰ onde

(37)

Algoritmo de Floyd-Warshall

senãoP⁰ é um caminho mínimo de i a k em G senãocom vértices intermediários em[k−1]e senãoP⁰⁰ é um caminho mínimo de k a j em G senãocom vértices intermediários em[k−1].

(38)

Recorrência

D^k[i][j]: comprimento de um caminho mínimo de i a j emG D^k[i][j]: com vértices intermediários em [k].

D^k[i][j]=

c_ij se k=0

min{D^k⁻¹[i][j],D^k⁻¹[i][k]+D^k⁻¹[k][j]} se k≥1

A matrix Dⁿ tem a resposta ao Problema 2.

Algoritmo de Floyd-Warshall: calcula Dⁿ pela recorrência.

(39)

Recorrência

D^k[i][j]=

c_ij se k =0

min{D^k⁻¹[i][j],D^k⁻¹[i][k]+D^k⁻¹[k][j]} se k ≥1

(40)

Recorrência

D^k[i][j]=

c_ij se k =0

(41)

Recorrência

D^k[i][j]=

c_ij se k =0

Algoritmo de Floyd-Warshall: calcula Dⁿpela recorrência.

(42)

Algoritmo de Floyd-Warshall

D^k[i][j]: comprimento de um caminho mínimo de i a j emG D^k[i][j]: com vértices intermediários em [k−1].

F^LOYD-W^ARSHALL-(G,c) 1 n← |V(G)|

2 D⁰←c

3 para k←1 até n faça 4 para i ←1 até n faça 5 para j ←1 até n faça

6 D^k[i][j] =min{D^k⁻¹[i][j],D^k⁻¹[i][k] +D^k⁻¹[k][j]}

7 devolva Dⁿ

Consumo de tempo: Θ(n³) Dijkstra: O(nm lg n)

Dijkstra: O(n(m+n lg n))com Fibonacci heap.

(43)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

7 devolva Dⁿ

Consumo de tempo: Θ(n³)

Dijkstra: O(nm lg n)

(44)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

7 devolva Dⁿ

Consumo de tempo: Θ(n³) Dijkstra: O(nm lg n)

(45)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

7 devolva Dⁿ

E os caminhos mais curtos?

Guarde informação durante o processo acima para obter um caminho mais curto entre quaisquer dois vértices deG.

(46)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

7 devolva Dⁿ

E os caminhos mais curtos?

Guarde informação durante o processo acima para obter um caminho mais curto entre quaisquer dois vértices deG.

(47)

Simulação

D⁰ =







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞

2 ∞ −5 0 ∞

∞ ∞ ∞ 6 0







D¹ =







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(48)

Simulação

D⁰ =







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞

2 ∞ −5 0 ∞

∞ ∞ ∞ 6 0







D¹ =







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(49)

Simulação

D¹ =







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D² =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(50)

Simulação

D¹ =







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D² =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(51)

Simulação

D² =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D³ =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(52)

Simulação

D² =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D³ =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(53)

Simulação

D³ =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D⁴ =







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(54)

Simulação

D³ =







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D⁴ =







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(55)

Simulação

D⁴ =







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







D⁵ =







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(56)

Simulação

D⁴ =







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







D⁵ =







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(57)

Simulação

Distâncias:

D⁵ =







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







Como obter os caminhos?

Exercício!

(58)

Simulação

Distâncias:

D⁵ =







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







Como obter os caminhos?

Exercício!